05/06/26 20:55:51
そもそも、割り算とは何かを考える必要がある。ここでは、一般に用いられている公理系を採用している。
でもその前に0の定義の確認。
任意の実数aに対してa+b=aとなるような実数bのことである。 …①
(bは常に存在する。)
このbを-aと書く。
任意の実数aに対して、a×c=1となる実数cを掛けることがcで割るということである。
このcをa^(-1)と書く。
a^(-1)≠0を証明する。背理法を使う。
a^(-1)=0と仮定すると a×0=1 …②
a^(-1)は実数だから、a^(-1)+0=0
したがつて a×(a^(-1)+0)=1
分配法則を用いてa×a^(-1)+a×0=1
②より a×a^(-1)+1=1
両辺に-1を右から加えて
a×a^(-1)+0=0
0は実数だから、①より
a×a^(-1)=0
これは、a^(-1)の定義、すなわちa×a^(-1)=1に反する。