04/02/09 03:39
同様に(1+x)^n-(1-x)^n について、話を簡単にするためn=2mとして偶数の場合とする。
実数aについて x^(2m)=a^(2m)と言う方程式を解くと、ドモアブルの定理より
x=aexp(Kπi/m) k=0,1,･･･2m-1 となり、このうち実数解はk=0,m また共役な解をセットにすると
x=±a, aexp(±Kπi/m) k=1,･･･m-1 となり これより
x^(2m)-a^(2m)=(x-a)(x+a)Π[k=1 to m-1]{x-aexp(kπi/m)}{x-aexp(-kπi/m)}=(x-a)(x+a)Π[k=1 to m-1]{x^2-2axcos(kπ/m)+a^2}
を得る。これにx=(1+x) a=(1-x)を代入して整理すると
(1+x)^(2m)-(1-x)^(2m)=4xΠ[k=1 to m-1]{2+2x^2+2(1-x^2)cos(kπ/m)}
三角関数の半角公式etcを用いて整理すると 2m=n だから
2+2x^2+2(1-x^2)cos(kπ/m)=4sin^2(kπ/n)+4cos^2(kπ/n)x^2=4+4cos^2(kπ/n)*(x^2-1) これより
(1+x)^(2m)-(1-x)^(2m)
=4xΠ[k=1 to m-1]{4+4cos^2(kπ/n)*(x^2-1)}
=(4^m)xΠ[k=1 to m-1]{1+cos^2(kπ/n)*(x^2-1)}
x=√5 を代入して 両辺を4^m=2^(2m) で割れば >>64のCのn=2mの場合を得る。
n=2m-1 とした場合も最初の因数分解が少し変わるだけで後はほぼn=2mの場合と同じ。