04/12/05 02:59:23
N|V_{(2^r)*d}、r＜s-1のとき
U_({2^(r+1)}*d)=U_{(2^r)d}*V_{(2^r)*d}よりN|U_({2^(r+1)}*d)
2^(r+1)*d|{N-(D/N)}/2だからIV15より、U_({2^(r+1)}*d)|U_({N-(D/N)}/2)
したがって、N|U_({N-(D/N)}/2)となる。
Nの素因数pを任意に取る
IV17より、ρ(p)|{2^(r+1)}*d、ρ(p)の2の指数がr以下と仮定すると
ρ(p)|(2^r)*dしたがってIV17よりU_{(2^r)*d}がpで割り切れる。
V_{(2^r)*d}もpで割り切れるので、U_{(2^r)*d}とV_{(2^r)*d}が奇素数の公約数pを持つ
ことになり、IV25に反する。
よってρ(p)の2の指数はr+1であることがわかる。…※
またIV19より、ρ(p)|p-(D/p)だから2^(r+1)|p-(D/p)であることがわかった。…◎
ここで、ρ(p)|{p-(D/p)}/2⇔2^(r+2)|p-(D/p)を示そう。
(⇒)
2ρ(p)|p-(D/p)である。※より2ρ(p)の2の指数はr+2だから、2^(r+2)|p-(D/p)がいえた。
逆を示す
2^(r+2)|p-(D/p)より2^(r+1)|{p-(D/p)}/2
※よりρ(p)={2^(r+1)}*f(fは奇数)と書ける。
IV19より、f*{2^(r+1)}=ρ(p)|p-(D/p)=2*({p-(D/p)}/2)である。
fは奇数よりf|{p-(D/p)}/2となる。
したがって、ρ(p)|{p-(D/p)}/2となる。