04/03/03 11:22
一応、省略記号を使わない書き方でも書いておきます。
Ｌ（５ｎ）Ｌ（４ｎ）Ｌ（３ｎ）Ｌ（２ｎ）Ｌ（ｎ）
＝Ｆ（１６ｎ）/Ｆ（ｎ）+（（－１）＾ｎ）（Ｆ（１０ｎ）/Ｆ（ｎ）+
Ｆ（６ｎ）/Ｆ（ｎ））
101:２０
04/03/04 06:24
フィボナッチ数論って、人気ないですねぇ。もちろん、孤立した小島のような
ところがあるから無理もないかもしれませんが。
102:２０
04/03/05 10:16
ＬＬ（６）はできました。
ＬＬ（６）＝Ｇ（２２）+Ｇ（１０）+ｐ（Ｇ（１６）+Ｇ（１２）+Ｇ（４））
です。ＬＬ（７）は、まだ出来ない・・・。Ｌ（７ｎ）という項が出てきて
なかなか消えてくれません・・。
103:１３２人目の素数さん
04/03/05 11:08
>>102
G(k)L(ln)=G(k+l)+p^l*G(k-l) (k≧lの場合) ,G(k+l)-p^k*G(l-k) (K≦Lの場合)
ただしG(0)=0としておく。
これより
LL(7)
LL(6)*L(7n)
=G(29)+(17)+G(9)+G(5)+p{G(23)+G(19)+G(15)+G(11)}
LL(8)=G(37)+G(25)+G(21)+G(17)+G(13)+G(9)+1+p{G(31)+G(27)+G(23)+G(19)+G(15)+G(11)+G(7)}
以下計算を繰り返してLL(9)、LL(10)を求められるが一般項を求められるかはよくわからん。
104:２０
04/03/06 09:58
>>103
・・・その通りですね。僕はＧ（２９）の展開式のなかにＬＬ（７）の項が
あらわれることから逆算して解こうとしていた。だから、Ｌ（７ｎ）の項が
消えてくれないなどと寝言を言っていた。それより、ＬＬ（６）の式の両辺
にＬ（７ｎ）を掛け、あとは基本定理の３をくり返し使うだけですよね・・・。
（１０３さんが使っているのは、３にａ＝（ｋ+ｌ）ｎ、ｂ＝ｌｎを代入した式
Ｆ（（ｋ+ｌ）ｎ）＝Ｌ（ｌｎ）Ｆ（ｋｎ）ー（（－１）＾（ｌｎ））Ｆ（（ｋ－ｌ）ｎ）
を移行して、Ｆ（ｎ）で割ったものです。上記の式のほうが使いやすいかも
知れないので、定理３の系１として置きます。）
105:２０
04/03/06 10:10
もう少し、詳しく言いますと
２+２＝４、４+３＝７、７+４＝１１、１１+５＝１６、１６+６＝２２、
まず、ＬＬの展開式の最大項に上の関係が成り立つことから、２２+７＝２９
でＧ（２９）の展開式のなかにＬＬ（７）があらわれることが予測できたという
訳ですが・・・なんとも遠回りしてますね。
106:２０
04/03/08 09:33
１０４では、基本定理３を繰り返し使うだけ・・などと書いて
しまいましたが、そんなに簡単ではありませんでした。
おもしろい箇所があるので、ぜひ実際に計算してみてください。
特に、ＬＬ（４）辺りの計算を。
107:２０
04/03/08 09:39
ＬＬ（９）以上の計算はきわめて膨大化するので、コンピュータ
にやらせないと無理かも。僕も、ちょっとそちらの方面を勉強
してみようと思ってます。リサ/アジールは一応持ってるので・・・。
108:２０
04/03/10 11:29
Ｆ（ｎ+ｋ）＾２＋Ｆ（ｎ-ｋ）＾２
＝Ｌ（２ｋ）*Ｆ（ｎ）＾２-（（-1）＾ｋ）２Ｆ（ｋ）＾２
＝１/５｛Ｌ（２ｎ）*Ｌ（ｋ）＾２-（（-1）＾ｋ）２Ｌ（ｎ）＾２｝
109:１３２人目の素数さん
04/03/10 14:25
期待あげ
110:１３２人目の素数さん
04/03/14 14:21
なんかないのか？ いいネタ。
111:１３２人目の素数さん
04/03/21 09:41
自然数nを奇数の和で書き表す方法(和の順序を考慮にいれる.)の数をS(n)とする。
例えば 4=1+1+1+1=1+3=3+1 なのでS(4)=3
S(n)を求めよ。
112:１３２人目の素数さん
04/03/22 15:30
これは面白いですね。ありがとうございます。
113:１３２人目の素数さん
04/03/26 23:06
(∑[v=1,∞]F(v)/(10^(v+2)))=1/89
114:１３２人目の素数さん
04/03/27 13:56
１１３の証明、誰かわかる？
115:１３２人目の素数さん
04/03/27 23:03
S=(∑[v=1,∞]F(v)/(10^(v+2)))=1/89 とする。(ただしF(0)=0)
S=F(1)/10^2+F(2)/10^3+F(3)/10^4+F(4)/10^5+・・・・・・
=(1/100)+(F(0)/10^3+F(1)/10^3)+(F(1)/10^4+F(2)/10^4)+(F(2)/10^5+F(3)/10^5)+・・・・・・
(並べ替えると)
=1/100+(F(1)/10^4+F(2)/10^5+・・・・・・)+(F(1)/10^3+F(2)/10^4+F(3)/10^5・・・・・・)
=1/100+S/10+S/100
よって、S=1/100+S/10+S/100 これを解くと
S=1/89
116:１３２人目の素数さん
04/03/28 14:43
もしくは、フィボナッチ数列の一般項 F(n)=(((1+5^2)/2)^n-((1-5^2)/2)^n)/5^2
から等比数列の和と出してもいいかな。めんどくさいけど・・・
117:１３２人目の素数さん
04/03/29 08:16
>>115
サンクス！
118:牛宿も入れようよ
04/03/29 20:12
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:767-783番)
リュカ数列参考にさせていただきました。他にもなにかあるんでしょうねぇﾜｸﾜｸ
119:１３２人目の素数さん
04/04/04 18:48
fib
120:１３２人目の素数さん
04/04/10 00:21
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1 パスカルの三角形を変形させて
（各行の和）
1 ・・・・1
1 ・・・・1
1 1 ・・・・2
2 1 ・・・・3
1 3 1 ・・・・5
3 4 1 ・・・・8
1 6 5 1 ・・・・13
4 10 6 1 ・・・・21
1 10 15 7 1 ・・・・34
5 20 21 8 1 ・・・・55
1 15 35 28 9 1 ・・・・89
6 35 56 36 10 1 ・・・・144
1 21 70 84 45 11 1・・・・233
121:１３２人目の素数さん
04/04/17 00:06
>>120
URLﾘﾝｸ(www004.upp.so-net.ne.jp)
にあることのようですね。
122:１３２人目の素数さん
04/04/21 10:31
期待あげ
123:１３２人目の素数さん
04/04/21 23:51
[nが素数]⇒[L(n)≡1(mod.n)]逆は謎。
124:１３２人目の素数さん
04/04/24 15:41
∀n,∃m Ｆ(m)≡0(mod.n)
125:１３２人目の素数さん
04/04/28 01:36
迫関数列f[n]について、
f[L(n)](n)=L(n)
126:１３２人目の素数さん
04/05/02 22:54
４つの連続するフィボナッチ数の積は、あるピタゴラスの三角形の面積。
127:１３２人目の素数さん
04/05/09 03:56
407
128:１３２人目の素数さん
04/05/10 21:44
>126
４つの数を b-a, a, b, a+b の積は (1/2)(2ab)(b^2-a^2).
129:１３２人目の素数さん
04/05/10 22:08
↓もありますた。（q=1)
Σ[k=0,[n/2]]Ｃ[n-k,k] = F(n+1)
シンプルで難しい問題
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:344番)
130:129
04/05/11 02:04
120,121 にガイシュツ、スマソ．
131:129
04/05/11 02:31
Σ[k=0,[n/2]] Ｃ[n-k,k](-Q)^k = U_{n+1}(Q).
ここに、U_n(Q)={(b^n)－(a^n)}/(b-a) は[26]の一般化フィボナッチ数列。
a,b は特性方程式 x^2-x+Q=0 の解
132:129
04/05/11 02:45
[26]の一般化フィボナッチ数列をU_n(P,Q)、特性方程式 x^2-Px+Q=0 の解をa,bとする。このとき
U_n = {(b^n)-(a^n)}/(b-a) だから、
U_{n+1} - a･U_n = b^n, U_{n+1} - b･U_n = a^n.
辺々掛けて、 [U_{n+1}]^2 －P･U_n･U_{n+1} +Q･[U_n]^2 = Q^n.
P^2-4Q>0 双曲線、 P^2-4Q=0 二直線、 P^2-4Q<0 楕円.
133:１３２人目の素数さん
04/05/16 23:46
任意の２０個の連続するフィボナッチ数の和はF(10)＝55で割り切れる。
134:１３２人目の素数さん
04/05/21 23:08
保守あげ。１３３の証明をしましょうね？
135:133
04/05/22 13:34
F(n)+F(n+1)+･･･+F(n+19)＝F(n+21)-F(n+1)
F(n+21)≡F(n+1) (mod.F(10))
より
任意の２０個の連続するフィボナッチ数の和はF(10)＝55で割り切れる。
136:１３２人目の素数さん
04/05/30 04:49
414
137:１３２人目の素数さん
04/05/30 18:05
(∑[v=1,∞]1/(F(v)F(v+2)))
＝1/F(1)F(3)+1/F(2)F(4)+1/F(3)F(5)+F(4)F(6)+････
＝1
138:１３２人目の素数さん
04/06/01 12:16
>137
F(v+1) = F(v+2) - F(v)
∴ 1/{F(v)F(v+2)} = 1/{F(v)F(v+1)} - 1/{F(v+1)F(v+2)}.
∴ 与式 = 1/{F(1)F(2)}.
139:１３２人目の素数さん
04/06/02 10:44
>>138
別に証明しろといってるわけではないのですが･･･
むしろ、何かいい性質･定理はないですか？
140:１３２人目の素数さん
04/06/05 19:59
フィボナッチの漸化式で定まる数列を「フィボナッチ型数列」と呼ぶことにする。
このとき、初項をうまく設定することで、全ての自然数が一度だけ表れるような
「フィボナッチ型数列群」を構成することができる。
141:１３２人目の素数さん
04/06/11 13:31
一週間書き込まないだけで何故ここまで落ちねばならぬ
142:１３２人目の素数さん
04/06/15 21:51
4n個の連続するフィボナッチ数の和はF(2n)で割り切れる。
143:１３２人目の素数さん
04/06/26 03:16
296
144:１３２人目の素数さん
04/07/03 14:47
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|::::i:;', '''''" ヽ￣ ヾ''''＼:::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 書き込みはまだか…
|:::::::;;', -─‐- -─-- i::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;| もう待ちくたびれた…
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145:１３２人目の素数さん
04/07/03 14:58
任意の自然数に対し、その倍数となるフィボナッチ数が存在するが、
リュカ数は5の倍数とならぬ。
146:１３２人目の素数さん
04/07/03 15:01
フィボナッチ数スレから転載。
109 名前：１３２人目の素数さん ：04/06/26 17:32
F_(n+1)^3 + F_n^3 - F_(n-1)^3 = F_3n
(Kingsberg)
111 名前：１３２人目の素数さん ：04/07/03 14:12
(F_m, F_n) = F_(m, n)
147:１３２人目の素数さん
04/07/07 21:09
リュカ数と言わずにボナッチ数と呼ぼう。
148:１３２人目の素数さん
04/07/07 21:33
>>147
Serre が Spinor に対して Pinor なる言葉を作ったのと同じ考え方から。
149:１３２人目の素数さん
04/07/09 11:42
Lucasさんに失礼だろ。
150:１３２人目の素数さん
04/07/09 11:48
ｎ＞ｍのとき
F(ｎ)をF(ｍ)で割った余りをRとすると、RまたはF(ｍ)－Rがフィボナッチ数。
151:１３２人目の素数さん
04/07/09 18:26
フィボ（ ● ´ ー ｀ ● ）
152:１３２人目の素数さん
04/07/12 08:10
>>149
Lucasはおこりゃせんさ。
153:１３２人目の素数さん
04/07/14 22:55
今、「コンピュータの数学」って本のP.270で見たのだけど、
Fibonacci number systemって面白いね。
「自然数は必ずいくつかの異なるF(k)の和で表す事が出来る。」っての。
n = (b_m b_m-1 ... b_2)_F ⇔ n = Σ_{k=2...m}b_k*F(k)
具体的には
1 = (000001)_F, 10 = (010010)_F
2 = (000010)_F, 11 = (010100)_F
3 = (000100)_F, 12 = (010101)_F
4 = (000101)_F, 13 = (100000)_F
5 = (001000)_F, 14 = (100001)_F
6 = (001001)_F, 15 = (100010)_F
7 = (001010)_F, 16 = (100100)_F
8 = (010000)_F, 17 = (100101)_F
9 = (010001)_F, 18 = (101000)_F
154:153
04/07/14 22:58
あ。b_k=0または1ね。
155:153
04/07/14 23:12
あと、この無限和は収束し、その値は有理数となるってのも、率直で面白かった。
0.1
+0.01
+0.003
+0.0005
+0.00008
+0.000013
...
+10^(-n)*F(n)
...
156:153
04/07/14 23:58
また別の本から。n→∞で Σ1/F(n) は収束し、その値は無理数となる。
のだそうな、証明は、私にはまだ理解不能、、、。
また、その収束する値も具体的にはよくわからんけど、
試しに18項目まで足してみたら 3.359... と言った数字だった。
収束する値はもう少し大きくなりそう。収束めちゃ遅いっぽい。
↓計算を試した結果。
1 1 1.0 1.0
2 1 1.0 2.0
3 2 0.5 2.5
4 3 0.333333333333 2.83333333333
5 5 0.2 3.03333333333
6 8 0.125 3.15833333333
7 13 0.0769230769231 3.23525641026
8 21 0.047619047619 3.28287545788
9 34 0.0294117647059 3.31228722258
10 55 0.0181818181818 3.33046904076
11 89 0.0112359550562 3.34170499582
12 144 0.00694444444444 3.34864944026
13 233 0.00429184549356 3.35294128576
14 377 0.0026525198939 3.35559380565
15 610 0.0016393442623 3.35723314991
16 987 0.00101317122594 3.35824632114
17 1597 0.000626174076393 3.35887249522
18 2584 0.000386996904025 3.35925949212
157:１３２人目の素数さん
04/07/16 17:58
>>155
は
>>113
>>115
に詳しくあるよ。
逆数和についてはこの１０年でいくつか証明されているようですね。
158:１３２人目の素数さん
04/07/16 18:11
∑1/F(n)が無理数というのが分かったのも1989年ですしね。まだ超越数かどうかは不明だそうです。
∑1/F(n)^2,∑1/F(n)^4,∑1/F(n)^6・・・が超越数だということは分かっているのですが。
∑1/F(n)^3,∑1/F(n)^5,∑1/F(n)^7・・・についてはどの一つも分かっていないようです。
また2003年には立谷洋平が 任意の整数a≧1,b≧0に対し ∑1/F(an+b) が無理数であることも証明したそうです。
159:１３２人目の素数さん
04/07/16 18:27
∑[n=1,∞]F(n)a^n＝x/(1-a-a^2) (lal＜1/τ τ＝黄金比)
∑[n=1,∞]L(n)a^n＝(2-a)/(1-a-a^2) (lal＜1/τ)
∑[n=1,∞]nF(n)a^n＝a(1+a^2)/((1-x-x^2)^2) (lal＜1/τ)
160:１３２人目の素数さん
04/07/17 16:04
なんとそんな最近の結果だったんですか。>>158
私の見た本ではもうひとつａ>=2,b>=0で
∑1/F(a^n+b)が超越数だって書いてありました。96年のnishiokaって方の結果だそうです。
すいません。見えてなかったです。＜155
161:１３２人目の素数さん
04/07/21 17:02
>>160
西岡久美子？
162:１３２人目の素数さん
04/07/21 17:38
ちんこがたってしょうがない
163:１３２人目の素数さん
04/07/30 06:44
217
164:１３２人目の素数さん
04/07/30 13:19
F(2^m)＝L(2^(m-1))L(2^(m-2))・・・L(4)L(2)L(1)
F(n)F(n+3)-F(n+2)^3＝(-(-1)^n)F(n+1)
165:１３２人目の素数さん
04/08/05 22:17
age
166:１３２人目の素数さん
04/08/13 04:24
945
167:１３２人目の素数さん
04/08/20 13:53
629
168:１３２人目の素数さん
04/08/21 08:57
>>164
F(2n) = F(n)L(n) より帰納法で。
169:１３２人目の素数さん
04/08/24 23:07
要するに明らか
170:１３２人目の素数さん
04/08/29 14:54
L(2n + 1) は 5 の倍数でない。
#このスレをここまで全部読んだ人なら、自明に近いが、
#あなたは何秒で出来ますか???
171:１３２人目の素数さん
04/08/31 13:25
>>170
というより、L(ｎ)が5の倍数でないことが、2秒でいえると思うのだが・・
172:１３２人目の素数さん
04/09/02 05:56
>>171
確かにそうだな。
173:１３２人目の素数さん
04/09/08 01:31
170
174:１３２人目の素数さん
04/09/13 00:01:32
969
175:１３２人目の素数さん
04/09/18 02:07:19
リュカ・・・聖路加病院の事だな
176:１３２人目の素数さん
04/09/19 17:45:10
・・・基地外病院
177:１３２人目の素数さん
04/09/25 04:40:05
530
178:１３２人目の素数さん
04/09/29 21:42:51
237
179:１３２人目の素数さん
04/10/05 11:03:40
465
180:１３２人目の素数さん
04/10/10 16:23:07
995
181:１３２人目の素数さん
04/10/15 03:38:47
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182:１３２人目の素数さん
04/10/20 01:40:39
114
183:１３２人目の素数さん
04/10/24 21:52:18
690
184:１３２人目の素数さん
04/10/24 21:57:31
フィボナッチ数列って一般項に√５とかはいってきたりして
すごい嫌。
示唆に富んでる
185:１３２人目の素数さん
04/10/31 00:13:27
713
186:１３２人目の素数さん
04/10/31 00:58:00
>>184
言っている事が矛盾している。
187:ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw
04/10/31 11:58:24
それじゃあ、a(n+2)=2a(n+1)-a(n)にしてみるか？
これなら、一般項に無理数は入らない。
(これは等差数列になるんだけどね。)
でもやっぱり√(5)とかが入ったほうが色々面白いことが起こるのではないか？
188:１３２人目の素数さん
04/10/31 12:08:50
_,,.. -─‐- .､.._.
, '´ ╋ ヽ
〈::::::: _:::)
/´＼:::::::::_,. - ― - ､.〃/
, '/〈∨〉’‐'´ ｀ ' ､
/ ,'. 〈∧〉/ ,.' , ｉ , ｌ } ! `, ヽ ヽ ＼
｛ｿ{. ﾆ二|,' / / _! Ll⊥ｌ| .Ll_! } 、.ヽ
{ソl ﾆ二.!!ｲ /´/|ﾉ_l_,|.ﾉレ'ﾚ_l｀ﾉ|! | .l }
ﾊｿt.ｰ-;ュ;Vl /,ｨｴ下 ｢ﾊ ﾚ| j| j|丿
＼ !（(.ヽﾆ{fj ! l ` ﾊ|li_] |iﾘ {､|,ﾉ!' ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
<＼ｎ )’（ (‘ｰｌ | ° ´ __,' ﾟ,' ） | Kiｎgくん♪
/.）＼_, ｀ ） ﾉﾉ＼ ｔﾉ ／(（. ＜ うんこ食べのお時間よ！
Ｖ二ｽ.Y´| （( (ｒ个 . ___. イヽ） ）) | 他の素数さんに迷惑だからおとなしくしなさいね♪
{. r_〉｀! }>' ） ／ ゝ ､,,_o]lム` ｰ- ､ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＼ ｆ ,. '´／ o ..::: ＼
`! {／⌒ヽ:::::: :::. ＼_:: ヽ
| .|:::/::| ',::::: ::'､:: ヾ:: ,〉、
189:１３２人目の素数さん
04/10/31 13:14:31
>>187
恥ずかしいコテ使ってんじゃねーよ
190:１３２人目の素数さん
04/10/31 13:25:47
無理数がお好みなら a(n+2)=2(a(n+1)+a(n)) の一般項とかでも全然おｋ
191:１３２人目の素数さん
04/11/05 15:08:39
586
192:１３２人目の素数さん
04/11/06 21:10:51
>>187>>189
別にどうでもいいが統一しろよ
193:１３２人目の素数さん
04/11/13 03:31:23
244
194:１３２人目の素数さん
04/11/13 18:56:06
寒いなぁ
195:１３２人目の素数さん
04/11/15 20:42:54
GCD(U(n),V(n))=1 または 2
U(n), V(n) は 26 さんが定義した一般Lucas数列で
GCD(a,b)は a, bの最大公約数とします.
私には証明できないので誰か証明していただけますか?
196:１３２人目の素数さん
04/11/15 23:04:32
>>195
(P, Q)=1であるとする。
V(n)^2-DU(n)^2=4Q^n(>>26)
より、U(n), V(n)をともに割り切る素数は2Qの約数。
U(n)≡V(n-1)(mod Q), V(n)≡P^n(mod Q)(>>27の8)
より、(U(n), Q)=(V(n), Q)=1だから、(U(n), V(n))=1 or 2.
なお、(P, Q)=1でなければ成立しないので要注意。
197:195
04/11/15 23:37:43
ありがとうございます。
( P, Q )= 1 という条件を忘れていました＾＾
Lucas 擬素数, Euler-Lucas 擬素数, 強 Lucas 擬素数を
研究している者ですが、ついでにと思い証明しようと思ったら
出来なかったので・・・・
本当にありがとうございました。
198:１３２人目の素数さん
04/11/15 23:44:32
>>197
どんな本で(擬)素数について勉強したのでつか？
199:１３２人目の素数さん
04/11/15 23:47:42
>>198
P.リーベンボイム著の「素数の世界」(共立出版)
だと思われ
200:195
04/11/15 23:56:32
はい。そうですよ。
第２版なのにミスプリが激しいあの本です。
201:１３２人目の素数さん
04/11/16 00:03:08
趣味として(擬素数を)研究してるんでつか？
>>200
202:195
04/11/16 00:09:21
修論の材料のほんの一部です。
203:１３２人目の素数さん
04/11/16 00:11:45
>>202
理科大？
204:195
04/11/16 00:23:06
いやぁ大学名までは・・・
とりあえず院生です。
205:１３２人目の素数さん
04/11/16 00:51:42
>>199-200
その原著
The New Book of Prime Number Records
を持ってるけど、>>195の証明は載ってたよ。
206:１３２人目の素数さん
04/11/21 18:39:48
669
207:１３２人目の素数さん
04/11/27 23:28:26
510
208:１３２人目の素数さん
04/11/30 21:35:01
ρ(p) | (p - (D/p))
が成り立つ。って本には書いてある。証明は知らない。
209:１３２人目の素数さん
04/12/01 00:22:13
>>208
証明は
P.リーベンボイム著の「素数の世界」(共立出版)
に載ってますよ。
210:１３２人目の素数さん
04/12/01 00:43:43
>>209
何ページに書いてます？
見つからない。
211:１３２人目の素数さん
04/12/01 18:52:28
>>61で式が間違ってたって書かれてますけど、そうなると
>>28の12
n, k≧1ならばU(n)|U(kn)
の証明はどうなりますか？
212:１３２人目の素数さん
04/12/01 20:41:36
>>28の12の証明（訂正）
>>61より
U((k+1)n)=U(n)V(kn)-Q^(kn) U(-(k-1)n)=U(n)V(kn)-Q^n U((k-1)n)
≡Q^n U((k-1)n)≡...≡(Qの累乗)*U(n)または(Qの累乗)*U(0)(mod U(n)).
213:１３２人目の素数さん
04/12/02 01:18:45
>>210
44～45ページにあるはず。
214:213
04/12/02 01:22:54
ただし日本語版で、原語でも一般化されたルカス巣列のところを探せば
載っていると思う。
215:213
04/12/02 01:45:13
この本に書かれている証明は以下のとおり
C(n,k)を二項係数とする
nが偶数のとき
2^(n-1)*U_n＝C(n,1)P^(n-1)+C(n,3)P^(n-3)+…+C(n,n-1)P*D^{(n-1)/2}
(D/p)=-1のとき
2^p*U_(p+1)=C(p+1,1)P^(p-1)+C(p+1,3)P^(p-3)+…+C(p+1,p-1)P*D^{(p-1)/2}
C(p+1,1)=C(p+1,p)=p+1≡1 (mod p)
2≦i≦p-1なるiに対して、C(p+1,i)=(p+1)*p…*(p+1-i)/i!≡0 (mod p)
C(p+1,1)P^(p-1)+C(p+1,3)P^(p-3)+…+C(p+1,p-1)P*D^{(p-1)/2}≡P^p-PD^{(p-1)/2}≡P-P≡0 (mod p)
したがって、U_(p+1)≡0 (mod p)
216:213
04/12/02 01:52:07
(D/p)=1のとき
2^(p-1)*U_(p)=C(p-1,1)P^(p-3)+C(p-1,3)P^(p-5)+…+C(p-1,p-2)P*D^{(p-2)/2}
1≦i≦p-1なるiに対して、(i!)C(p-1,i)=(p-1)*(p-2)…*(p+1-i)≡(-1)*(-2)*…*(-i)=(-1)^i*i! (mod p)
したがって、C(p-1,i)≡(-1)^i
C(p-1,1)P^(p-2)+C(p-1,3)P^(p-4)+…+C(p-1,p-2)P*D^{(p-2)/2}≡-P^(p-2)-P^(p-4)D-…-PD{(p-2)/2}
≡-P(P^(p-1)-D^{(p-1)/2})/(P^2-D)≡-P{1-1}/4Q≡0 (mod p)
したがって、U_(p-1)≡0 (mod p)
本の大筋ではこうだった。
217:213
04/12/02 12:31:26
この本の43ページにあるρ(n)|k⇔n|U_kを使えば証明できるはず。
218:213
04/12/02 12:32:28
あとは、この本の43ページにあるρ(n)|k⇔n|U_kを使えば
ρ(p)|p-(D/p)は示せるはず。
219:１３２人目の素数さん
04/12/02 21:23:39
>>213
詳しくありがとうございます。
自分なりにやってみます。
220:195
04/12/05 01:26:33
強 Lucas 擬素数 → Euler-Lucas 擬素数 → Lucas 擬素数
誰か詳しい証明わかりますか？
221:213
04/12/05 01:33:44
Euler-Lucas 擬素数 → Lucas 擬素数
NがEuler-Lucas 擬素数ならば
N|U_({N-(D/N)}/2)ならばN|U_{N-(D/N)}=U_({N-(D/N)}/2)*V_({N-(D/N)}/2)
N|V_({N-(D/N)}/2)ならばN|U_{N-(D/N)}=U_({N-(D/N)}/2)*V_({N-(D/N)}/2)
よってNはLucas 擬素数である。
(Q/N)=1は関係ありませんでした。
222:213
04/12/05 02:00:26
強 Lucas 擬素数 → Euler-Lucas 擬素数
Pリーベンボイム著の「素数の世界」(日本語版)の40ページ～49Nが強 Lucas 擬素数ならばN=2^s*d+(D/N)(dは奇数)
N|U_dまたはN|V_(2^r*d)
(0≦r＜s)となります。
N|U_dのとき
IV15より
U_d|U_({N-(D/N)}/2)だからN|U_({N-(D/N)}/2)
Nの素因数pを任意に取る
IV17より、ρ(p)|d、だからρ(p)は奇数である。
IV19より、ρ(p)|p-(D/p)=2*({p-(D/p)}/2)となる。
したがって、ρ(p)|U_({p-(D/p)}/2)
よって、IV17よりp|U_({p-(D/p)}/2)となる。
IV23より、(Q/p)=1であることがわかる。
よって(Q/N)=Π(Q/p)=Π1=1
したがって、N|U_dならばNはEuler-Lucas 擬素数であることがいえました。ページの定理を引用します。
223:213
04/12/05 02:01:33
強 Lucas 擬素数 → Euler-Lucas 擬素数
Pリーベンボイム著の「素数の世界」(日本語版)の40ページ～49ページの定理を引用します。
Nが強 Lucas 擬素数ならばN=2^s*d+(D/N)(dは奇数)
N|U_dまたはN|V_(2^r*d)
(0≦r＜s)となります。
N|U_dのとき
IV15より
U_d|U_({N-(D/N)}/2)だからN|U_({N-(D/N)}/2)
Nの素因数pを任意に取る
IV17より、ρ(p)|d、だからρ(p)は奇数である。
IV19より、ρ(p)|p-(D/p)=2*({p-(D/p)}/2)となる。
したがって、ρ(p)|U_({p-(D/p)}/2)
よって、IV17よりp|U_({p-(D/p)}/2)となる。
IV23より、(Q/p)=1であることがわかる。
よって(Q/N)=Π(Q/p)=Π1=1
したがって、N|U_dならばNはEuler-Lucas 擬素数であることがいえました。
224:213
04/12/05 02:59:23
N|V_{(2^r)*d}、r＜s-1のとき
U_({2^(r+1)}*d)=U_{(2^r)d}*V_{(2^r)*d}よりN|U_({2^(r+1)}*d)
2^(r+1)*d|{N-(D/N)}/2だからIV15より、U_({2^(r+1)}*d)|U_({N-(D/N)}/2)
したがって、N|U_({N-(D/N)}/2)となる。
Nの素因数pを任意に取る
IV17より、ρ(p)|{2^(r+1)}*d、ρ(p)の2の指数がr以下と仮定すると
ρ(p)|(2^r)*dしたがってIV17よりU_{(2^r)*d}がpで割り切れる。
V_{(2^r)*d}もpで割り切れるので、U_{(2^r)*d}とV_{(2^r)*d}が奇素数の公約数pを持つ
ことになり、IV25に反する。
よってρ(p)の2の指数はr+1であることがわかる。…※
またIV19より、ρ(p)|p-(D/p)だから2^(r+1)|p-(D/p)であることがわかった。…◎
ここで、ρ(p)|{p-(D/p)}/2⇔2^(r+2)|p-(D/p)を示そう。
(⇒)
2ρ(p)|p-(D/p)である。※より2ρ(p)の2の指数はr+2だから、2^(r+2)|p-(D/p)がいえた。
逆を示す
2^(r+2)|p-(D/p)より2^(r+1)|{p-(D/p)}/2
※よりρ(p)={2^(r+1)}*f(fは奇数)と書ける。
IV19より、f*{2^(r+1)}=ρ(p)|p-(D/p)=2*({p-(D/p)}/2)である。
fは奇数よりf|{p-(D/p)}/2となる。
したがって、ρ(p)|{p-(D/p)}/2となる。
225:213
04/12/05 03:00:03
IV17,IV23より2^(r+2)|p-(D/p)⇔ρ(p)|{p-(D/p)}/2⇔p|U_({p-(D/p)}/2)⇔(Q/p)=1
したがって(Q/p)=-1⇔2^(r+2)が{p-(D/p)}を割り切らないもいえる。
ここで、(Q/p)=-1となるpは偶数個であることを示す。
N=Πp≡(Π[p-(D/p)が2^(r+2)で割り切れる](D/p))(Π[p-(D/p)が2^(r+2)で割り切れない]p) (mod 2^(r+2))
p-(D/p)が2^(r+2)で割り切れない素数p、p'をとる
◎よりp-(D/p)とp'-(D/p')は2^(r+1)で割り切れるので、
p=2^(r+1)*(2s+1)+(D/p)=2^(r+2)s+2^(r+1)+(D/p)、
p'=2^(r+1)*(2s'+1)+(D/p')=2^(r+2)s'+2^(r+1)+(D/p')、
pp'≡{2^(r+1)+(D/p)}{2^(r+1)+(D/p')}=2^(2r+2)+2^(r+1){(D/p)+(D/p')}+(D/pp')
(D/p)+(D/p')は2あるいは0あるいは-2だから
2^(2r+2)+2^(r+1){(D/p)+(D/p')}+(D/pp')≡(D/pp')となる。
(Q/p)=-1となるpが奇数個と仮定すると
Π[p-(D/p)が2^(r+2)で割り切れない]p≡2^(r+1)+Π[p-(D/p)が2^(r+2)で割り切れない](D/p)
したがって、
N=Πp≡(Π[p-(D/p)が2^(r+2)で割り切れる](D/p))(Π[p-(D/p)が2^(r+2)で割り切れない](D/p))+2^(r+1)*(±1)
=Π(D/N)≡(D/N)+2^(r+1) (mod 2^(r+2))となる。
実はr+2≦sより、N=(2^s)*d+(D/N)≡(D/N) (mod 2^(r+2))だから不合理
よって、(Q/p)=-1となるpは偶数個であることがいえた
よって(Q/N)=Π(Q/p)=Π[偶数個](-1)=1となります。
226:213
04/12/05 03:09:11
N|V_{(2^r)*d}、r=s-1のとき
2^r*d={N-(D/N)}/2ですから、V_({N-(D/N)}/2)がNで割り切れる。
N=(2^s)*d+(D/N)=2^(r+2)*{(d-1)/2}+2^(r+1)+(D/N)≡2^(r+1)+(D/N) (mod 2^(r+2))
であることを除けば、
>>224-225の証明とほぼ同様にして(Q/N)=-1がいえます。
よって、N|V_{(2^r)*d}のときも、NはEuler-Lucas 擬素数であることがいえました。
したがって、Nが強擬素数ならば、NがEuler-Lucas 擬素数であることが示されました。
227:213
04/12/05 03:11:28
>>220
証明は
>>221
>>223-226
をご覧ください。
228:195
04/12/05 12:52:36
どうもありがとうございます。
229:１３２人目の素数さん
04/12/12 00:02:56
464
230:１３２人目の素数さん
04/12/14 12:41:12
保守あげ
231:１３２人目の素数さん
04/12/14 12:42:08
１です。長い間、ほっといてごめんね。
232:伊丹公理
04/12/14 21:00:29
既出かも氏らんがペル方程式
(L_n)^2 - 5*(F_n)^2 = ±4
233:１
04/12/15 20:10:14
プラスマイナス４というのは下せんな。もっと限定した表現があるはず・・・
234:伊丹公理
04/12/15 21:08:57
n の偶奇によって決まる。
後は自分で調べろ
235:風あざみ
04/12/15 23:59:52
>>223
の
＞IV19より、ρ(p)|p-(D/p)=2*({p-(D/p)}/2)となる。
＞したがって、ρ(p)|U_({p-(D/p)}/2)
＞よって、IV17よりp|U_({p-(D/p)}/2)となる。
は
IV19より、ρ(p)|p-(D/p)=2*({p-(D/p)}/2)となる。
したがって、ρ(p)|p-(D/p)
よって、IV17よりp|U_({p-(D/p)}/2)となる。
の誤りだった。
236:１３２人目の素数さん
04/12/22 08:21:34
保守
237:１３２人目の素数さん
04/12/22 14:51:49
>IV19より、ρ(p)|p-(D/p)=2*({p-(D/p)}/2)となる。
>したがって、ρ(p)|p-(D/p)
>よって、IV17よりp|U_({p-(D/p)}/2)となる。
>の誤りだった。
は
IV19より、ρ(p)|p-(D/p)=2*({p-(D/p)}/2)となる。
したがって、ρ(p)|{p-(D/p)}/2
よって、IV17よりp|U_({p-(D/p)}/2)となる。
の誤りですか？
238:風あざみ
04/12/22 18:03:33
>>237
そのとおり
239:１３２人目の素数さん
04/12/23 19:01:45
586
240:１３２人目の素数さん
04/12/25 14:54:34
強Lucas擬素数→Euler-Lucas擬素数を証明する際に
IV17を使っているが, これは, (n,Q)=1
(本は (n,2Q)=1 だが, n は奇数だから, (n,Q)=1 で OK)
という仮定があって, 初めて成り立つんじゃないの？
一応証明しておこうか・・・・
補題:
n を D と互いに素な 1 以上の整数とする.
n|U_k となるような k が存在すれば, (n,Q)=1.
証明:
(n,Q)>1 と仮定し, p を (n,Q) の素因数とする.
P が p で割り切れないならば, 任意の k>1 に対して
U_k は p で割り切れない. これは仮定に反する.
一方, P が p で割り切れるならば, D は p で割り切れる.
これは, (n,D)=1 に矛盾する. (証明終)
強Lucas擬素数→Euler-Lucas擬素数 の証明の途中に
「 N|U_({N-(D/N)}/2) 」 という条件があるから,
ここで上の補題を使って (n,Q)=1 となるから
IV17 が使えるようになると思う.
どうだろう？間違えているかな？
241:風あざみ
04/12/25 18:34:18
>>240
そうだね。(Q/N)の値を調べることがメインだと思ったからスッコーンと抜けとった。
あとついでの話だが、実をいうとIV17の仮定の(N,2Q)=1なんだが、実は(N,Q)=1で良い
(Nが偶数、奇数にかかわらず)んだよね。
242:１３２人目の素数さん
04/12/25 18:43:18
＞あとついでの話だが、実をいうとIV17の仮定の(N,2Q)=1なんだが、
＞実は(N,Q)=1で良い(Nが偶数、奇数にかかわらず)んだよね。
あっ そうなんですか？
知りませんでした。ありがとうございました。
243:風あざみ
04/12/25 19:07:59
>>242 一応証明しておく
ρ(n)が存在し、(n,Q)=1となると仮定する。
n|U_m ⇔ ρ(n)|mとなる。
⇒
mがρ(n)割り切れないと仮定する。m=ρ(n)s+r
U_m*V_{ρ(n)s}-U_{ρ(n)s}*V_m=2Q^{ρ(n)s}*U_r…※
よって2Q^{ρ(n)s}*U_rはnで割り切れる。
nが偶数のとき
n|U_m,U_{ρ(n)s}よりU_m,U_{ρ(n)s}は偶数、よってIV18よりV_m,V_{ρ(n)s}も偶数である。
よって
U_m*{(V_{ρ(n)s})/2}-U_{ρ(n)s}*(V_m/2)=Q^{ρ(n)s}*U_r
Qとnは互いに素だからU_rがnで割り切れる。
nが奇数のとき
※より
nと2、nとQは互いに素だから n|U_rとなる。
いずれにしても、n|U_rとなるが、これはρ(n)の最小性に反する。
逆はIV15より明らか。
244:風あざみ
04/12/26 23:42:53
命題
P,Qを以下のような整数とする。
(P,Q)=1かつ数列U_nはU_0=0、U_1=1、U_(n+2)=PU_(n+1)-QU_nを取ると
n→∞ならば|U_n|→∞となる。
このときM≡1 (mod K)となるパラメーター(P,Q)の強Lucas擬素数が無数に存在すること。
(強Lucas擬素数の定義はRibenboimの「素数の世界」のP91～P92を参照ください。)
証明ではRibenboimの「素数の世界」のP40～P49のIV1～IV30とヤコビの記号の基本性質
LとNを正の奇数とすると
(-1/L)=(-1)^{(L-1)/2}、(2/L)=(-1)^{(L^2-1)/8}、(N/L)=(L/N)(-1)^({(N-1)/2}{(L-1)/2})
となることを既知とする。
245:風あざみ
04/12/26 23:43:25
準備として、補題を二つ示す。
補題１
任意のmをとる。
n≧γ(m)なる任意の自然数nに対して、U_{n+θ(m)}≡U_(n) (mod m)
となるような0以上の整数、θ(m),γ(m)が存在する。
特に、(m,Q)=1のときは、γ(m)=0となる。
証明
{U_0,U_1}、{U_1,U_2}、…、{U_(m^2),U_(m^2+1)}とm^2+1個の組を考える。
|Z/mZ×Z/mZ|=m^2だから、U_i≡U_j (mod m)、U_(i+1)≡U_(j+1) (mod m)
となるような自然数、iとj(0≦i＜j≦m^2)が存在する。
U_(j+2)≡PU_(j+1)-QU_j≡PU_(i+1)-QU_i≡U_(i+2) (mod m)
同様に、U_(j+3)≡U_(i+3)、…、U_(j+k)≡U_(i+k) (mod m)となる。
よって、n≧iなる自然数nに対して、U_(n+j-i)≡U_(n-i+j)≡U_n (mod m)となる。
特に(m,Q)=1のとき
QU_(j-1)≡PU_j-U_(j+1)≡PU_i-U_(i+1)≡QU_(i-1) (mod m)
(Q,m)=1よりU_(j-1)≡U_(i-1) (mod m)
同様に、U_(j-2)≡U_(i-2) (mod m)、…、U_(j-k)≡U_(i-k) (mod m)
したがって、任意の整数n≧0に対して、U_(n+j-i)≡U_(n-i+j)≡U_n (mod m)となる。
(m,Q)=1のときγ(m)=0、θ(m)=j-i
そうでないときγ(m)=i、θ(m)=j-iとおけばよい。
証明終
246:風あざみ
04/12/26 23:44:47
補題２
mを任意の自然数とする。
以下のような0以上の整数α(m)とβ(m)が存在する。
s≧β(m)、t≡1 (mod α(m))ならば、U_(st)/U_s≡1 (mod m)となります。
(IV15よりU_(st)/U_sは整数である)
証明
m=Π[pはQを割り切る]{p^a}*Π[qはQを割り切れない]{q^b}と書く。
以下mの素因数のうち、Qの素因数であるものをpそうでないものをqとする。
補題1よりn≧γ(p^a)なる任意のnに対してU_{n+θ(p^a)}≡U_n (mod p^a)
γ(p^a)のうち、最大になるものをw、θ(p^a)たちの最小公倍数をvと置くと
n≧wなる任意のnに対して、U_(n+v)≡U_n (mod p^a)
したがって、g≡1 (mod v)となる自然数gに対して、U_(gw)≡U_w (mod p^a)となる。
U_gのqの指数cを取る。
補題1より任意のnに対して、U_(n+θ{p^(b+c)})≡U_n (mod q^(b+c))
θ{p^(b+c)}たちの最小公倍数をv’とすると、U_(n+v’)≡U_n (mod q^(b+c))
よって、g’≡1なる任意の自然数g’に対して、U_(g’w)≡U_w (mod q^(b+c))
vとv’の最小公倍数をα(m)、wをβ(m)とする。
sをs≧β(m)なる整数、tをt≡1 (mod α(m))となる自然数とする。
U_s*{U_(st)/U_s}≡U_s (mod p^a)
(P,Q)=1だからIV24より(U_s,Q)=1だからU_sとpは互いに素
よってU_(st)/U_s≡1 (mod p^a)
U_s*{U_(st)/U_s}U_(st)≡U_s (mod q^(b+c))
{(U_s)/q^c}{U_(st)/U_s}≡U_s/q^c (mod q^b)
U_s/q^cとqは互いに素だから、U_(st)/U_s≡1 (mod q^b)
よってU_(st)/U_s≡1 (mod m)となります。
証明終
247:風あざみ
04/12/26 23:49:42
さて命題を示す。
Kを任意の整数とする。
DをD=±(2^e)*h(hは奇数)と書く
sやtを以下の性質を満たす素数とする。
s≡1 (mod 8h)、s≧β(8hf)
t≡1 (mod α(8hK)*(s-1))、U_sはtで割り切れない。
tはsに対して十分大きいものとする。
U_(st)/U_sは求める強Lucas擬素数である。
証明
M＝U_(st)/U_sとおく。
補題２よりM≡1 (mod 8hK) したがって、(D,M)=1となる。
(D/M)=(±1/M)(2/M)^e(h/M)=(M/h)=1
同様に(D/s)=(D/t)=1となるから
よってIV30より
M*U_s=U_(st)≡U_s (mod t)
U_sとtは互いに素だから、M≡1 (mod t)
(P,Q)=1だからIV30よりM≡M*U_s=U_(st)≡U_s≡1 (mod s)
よってM≡1≡(D/M) (mod st)
U_t|U_(st)=M*U_s
IV26よりU_sとU_tは互いに素だからU_t|Mとなる。
よってMは合成数である。
M=2^r*d+(D/M)=2^r*d+1(ただしrは正の整数かつdは奇数)とかけるので、d≡0 (mod st)
U_(st)≡0 (mod M)だからU_d≡0 (mod M)となる。
よってM= U_(st)/U_sは求める強Lucas擬素数である。
条件を満たす素数sとtは等差数列におけるDirichletの素数定理より無数に存在することがわかる。
よって、条件を満たすMも無数にある。
証明終
248:風あざみ
04/12/26 23:55:37
さて命題を示す。
Kを任意の整数とする。
DをD=±(2^e)*h(hは奇数)と書く
sやtを以下の性質を満たす素数とする。
s≡1 (mod 8h)、s≧β(8hK)
t≡1 (mod α(8hK)*(s-1))、U_sはtで割り切れない。
tはsに対して十分大きいものとする。
U_(st)/U_sは求める強Lucas擬素数である。
証明
M＝U_(st)/U_sとおく。
補題２よりM≡1 (mod 8hK) したがって、(D,M)=1となる。
(D/M)=(±1/M)(2/M)^e(h/M)=(M/h)=1
同様に(D/s)=(D/t)=1となるから
よってIV30より
M*U_s=U_(st)≡U_s (mod t)
U_sとtは互いに素だから、M≡1 (mod t)
(P,Q)=1だからIV30よりM≡M*U_s=U_(st)≡U_s≡1 (mod s)
よってM≡1≡(D/M) (mod st)
U_t|U_(st)=M*U_s
IV26よりU_sとU_tは互いに素だからU_t|Mとなる。
よってMは合成数である。
M=2^r*d+(D/M)=2^r*d+1(ただしrは正の整数かつdは奇数)とかけるので、d≡0 (mod st)
U_(st)≡0 (mod M)だからU_d≡0 (mod M)となる。
よってM= U_(st)/U_sは求める強Lucas擬素数である。
条件を満たす素数sとtは等差数列におけるDirichletの素数定理より無数に存在することがわかる。
よって、条件を満たすMも無数にある。
証明終
249:風あざみ
04/12/27 00:16:01
>>246の
＞ g’≡1なる任意の自然数g’に対して、U_(g’w)≡U_w (mod q^(b+c))
は
g’≡1 (mod v')なる任意の自然数g’に対して、U_(g’w)≡U_w (mod q^(b+c))
だな。
250:風あざみ
04/12/27 01:14:03
自己満で>>244-249を使ってしまってスマソ
251:195
04/12/28 00:04:07
自己満ですか＾＾
252:１３２人目の素数さん
04/12/28 12:28:08
新しい結果なら、自己満じゃないでしょ？ だいたい自己満なんて
言い出したら、たいていの事は自己満なんだからさ。
253:１３２人目の素数さん
04/12/29 15:15:11
age
254:１３２人目の素数さん
05/01/05 08:41:47
保守アゲ
255:１３２人目の素数さん
05/01/08 19:34:17
強 Lucas 擬素数 → Euler-Lucas 擬素数 → Lucas 擬素数
の証明で, (P,Q)=1 という仮定をして良いのですか？
もし、仮定していないのならば >>224 の
「 U_{(2^r)*d}とV_{(2^r)*d}が奇素数の公約数pを持つ
ことになり、IV25に反する。 」は嘘ですね.
ここは, (P,Q)=1 という仮定があって成り立つのですから.
256:風あざみ
05/01/08 20:04:12
>>255
そうだな、このままじゃ>>224は間違いだ。
訂正版
>>240の証明から
(N,Q)=1となるはずだが、
U_{(2^r)*d}とV_{(2^r)*d}がpで割り切れるとき
(pはNの公約数のひとつ)
IV6より2Q^{(2^r)d}がpで割り切れることになるが
pは奇素数だからQがpで割り切れるので(N,Q)=1に反する。
257:風あざみ
05/01/08 20:16:38
IV6はこういう式ね
(V_{(2^r)*d})^2-D(U_{(2^r)*d})^2=4Q^{(2^r)d}
だから
＞IV6より2Q^{(2^r)d}がpで割り切れることになるが
＞pは奇素数だからQがpで割り切れるので(N,Q)=1に反する。
は
IV6より4Q^{(2^r)d}がpで割り切れることになるが
pは奇素数だからQがpで割り切れるので(N,Q)=1に反する。
だな。
258:１３２人目の素数さん
05/01/08 20:28:58
なんという早いレス・・・
259:遅刻
05/01/13 14:04:45
高卒DQNですが、最近数学に興味を持ちました。
今から勉強するにはいったいどのようにするのがお勧めでしょうか。
どなたか是非ご指南ください。
ちなみに32歳です。
260:１３２人目の素数さん
05/01/13 14:07:37
>>259高校のときの教科書と参考書
261:１３２人目の素数さん
05/01/14 19:28:29
そんなもん捨ててしまっただろうよ
262:１３２人目の素数さん
05/01/15 10:45:02
高校用の参考書買え
263:１３２人目の素数さん
05/01/15 14:24:31
F(n) を Fibonacci数列とするとき
(1) n>2を整数 とすると、Σ[k=1..n] 1/F(k) > (n^2)/{F(n+2)-1}
(2) Σ[n=1..∞] 1/F(n) > 803/240 を示せ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:908番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:871-873番)
264:１３２人目の素数さん
05/01/16 06:50:00
５／２＞１６／７。
265:１３２人目の素数さん
05/01/16 17:05:48
>263 (1)
F(2)=1 なので、相加･調和平均の不等式より
左辺 > (n^2)/{Σ[h=1..n] F(h)} = (n^2)/{Σ[h=1..n] (F(h+2)-F(h+1)) = (n^2)/{F(n+2)-F(2)} = 右辺.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:927番)
266:265
05/01/16 17:32:14
【補足】 (相加･調和平均の不等式)
A_1 ････ A_n >0 のとき、
{Σ[h=1..n] A_h} {Σ[k=1..n] 1/A_k} = n^2 + Σ[k<h]{A_h/A_k +A_k/A_h -2}
= n^2 + Σ[k<h] {A_h -A_k}^2 /{A_h･A_k} ≧ n^2.
267:風あざみ
05/01/19 03:29:01
age
268:263
05/02/04 20:04:10
Fibonacci数列Ｆ(n)に対して
(3) Ｆ(2n) = Ｆ(n+1)^2 -Ｆ(n-1)^2 = F(n){Ｆ(n+1) +Ｆ(n-1)}.
(4) {Σ[k=1,n] Ｆ(k+1)^2}{Σ[k=1,n] 1/Ｆ(2k)} ≧ n^2.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:58番)
269:１３２人目の素数さん
05/02/16 13:21:46
109
270:１３２人目の素数さん
05/02/26 08:03:31
641
271:１３２人目の素数さん
05/02/27 08:57:42
>>268
F(ｎ+１）+F(ｎ－１）＝L(ｎ）（リュカ数）ですので
F(２ｎ）＝F(n)L（ｎ）となります。３９以降を参考にしてください。
272:１３２人目の素数さん
05/03/01 14:43:35
U_n(2,4)=((2^n)/√3)sin(nπ/3)
V_n(2,4)=2^{n+1}cos(nπ/3)
他にもたくさん sin cos がらみのLucas数列あり.
273:１３２人目の素数さん
05/03/06 09:15:38
２７２は、本当に正しい？ フィボナッチ数なら単調増加するはずだが・・・
274:272
05/03/07 13:48:56
>>273
判別式が「プラス」なら単調増加になるかも知れんが、
上の判別式は「マイナス」だから・・・
275:272
05/03/07 17:50:04
U_1(2,4)～U_15(2,4), V_1(2,4)～V_15(2,4) を
プログラムを作って実際に求めてましたよ。
U_0 = 0 V_0 = 2
U_1 = 1 V_1 = 2
U_2 = 2 = 2 V_2 = -4 = -2^2
U_3 = 0 V_3 = -16 = -2^4
U_4 = -8 = -2^3 V_4 = -16 = -2^4
U_5 = -16 = -2^4 V_5 = 32 = 2^5
U_6 = 0 V_6 = 128 = 2^7
U_7 = 64 = 2^6 V_7 = 128 = 2^7
U_8 = 128 = 2^7 V_8 = -256 = -2^8
U_9 = 0 V_9 = -1024 = -2^10
U_10 = -512 = -2^9 V_10 = -1024 = -2^10
U_11 = -1024 = -2^10 V_11 = 2048 = 2^11
U_12 = 0 V_12 = 8192 = 2^13
U_13 = 4096 = 2^12 V_13 = 8192 = 2^13
U_14 = 8192 = 2^13 V_14 = -16384 = -2^14
U_15 = 0 V_15 = -65536 = -2^16
276:１３２人目の素数さん
05/03/09 08:59:38
２７２で示されたのはリュカ数列の一種な訳ですか？
私の知っているリュカ数列とずいぶん違う気が・・・。
277:272
05/03/09 14:23:22
>>272 は >>26 で定義された一般Lucas数列ですね.
Lucas数列 というのは普通は V_n(1,-1) のよですが,
混乱がないのなら >>26 で定義された
U_n(P,Q), V_n(P,Q) もLucas数列と呼ぶときがあります.
同伴Lucas数列と呼ぶときもありますしね.
いろいろ呼び方があるんですよ.
ただ１つ言えることは,
U_n(2,4)=((2^n)/√3)sin(nπ/3)
V_n(2,4)=2^{n+1}cos(nπ/3)
この２つの数列は何て読んでよいかは正確にはわかりませんが,
式が正しいのは間違いありません.
お詫び >>275 の計算結果, 見にくくなってしまい申し訳ありませんでした.
278:１３２人目の素数さん
05/03/19 14:27:42
723
279:１３２人目の素数さん
05/03/19 21:36:04
みんなきとるな・・・
280:風あざみ ◆c/j2mAZ2V6
05/03/20 11:42:51
何も驚くことはない。
一般Lucas数列のすべてが、単調増加ではないということ。
(俺も気づいていたがあえて書かなかった)
281:Arith ◆Arithtz1sk
05/03/20 19:21:07
正の判別式のLucas数列の絶対値なら単調増加するけどね。
定理：
n≧1, |α|≠|β|ならば|W_{n+1}|≧|W_n|(W_i=U_i(P, Q) or V_i(P, Q))
等号はn=1, P=±1, Q<0, W_i=U_i(P, Q)のときのみ成り立つ。
証明：
α, βの順序、符号を入れ替えα>0, |α|>|β|とする。
|αβ|≧1よりα>1だから、
α^(n+1)±β^(n+1)-(α^n±β^n)=α^n(α-1)±β^n(β-1)≧α^n|α-1| -|β|^n |β-1|
=|β|^n （|α/β|^n|(α-1)/(β-1)|-1）.
（β=0または1のときはα^n|α-1| -|β|^n |β-1|=α^n|α-1|>0）
また
そこで|α/β|^n|(α-1)/(β-1)|と1の大小を比較する。
282:Arith ◆Arithtz1sk
05/03/20 19:21:55
(2/2)
n=1のときを考える。
β>1のとき。α>β>1より
(α/β)(α-1)/(β-1)-1=（α^2-β^2-(α-β)）／（β(β-1)）=(α-β)(α+β-1)／（β(β-1)）>0.
1>β>0のとき。
(α/β)(α-1)/(1-β)-1=（α^2+β^2-(α+β)）／（β(1-β)）=（α(α-1)+β(β-1)）／（β(1-β)）.
α>1より、P=α+β≧2. よって
α(α-1)+β(β-1)≧(2-β)(1-β)+β(β-1)≧2(β-1)^2>0.
β<0のとき。
(α/β)(α-1)/(β-1)-1=（α^2-β^2-(α-β)）／（β(β-1)）=(α-β)(α+β-1)／（β(β-1)）.
α>|β|よりα+β≧1である。α+β>1ならば(α/β)(α-1)/(β-1)>1。α+β=1ならば(α/β)(α-1)/(β-1)=1。
よって、|α/β|^n|(α-1)/(β-1)|≧1, 等号はα+β=1, β<0かつn=1のときのみ成り立つ。
Q.E.D.
283:１３２人目の素数さん
05/03/22 20:24:41
それよりも、むしろこちらこそが臭い中年(30)の悪臭腹話劇かと。
敵役キャラの導入の仕方が毎度のことながら池沼丸出しｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(kyozin板)
120 名前：ナナシマさん 投稿日：2005/03/22(火) 19:44:43 ???
臭ヲタは「臭」の字が大好き ｍ９(^д^)ﾌﾟｷﾞｬｰ
121 名前：ナナシマさん 投稿日：2005/03/22(火) 19:45:21 ???
臭ヲタは文字通り臭すぎ ｍ９(^д^)ﾌﾟｷﾞｬｰ!
122 名前：ペプタイドＸ 投稿日：2005/03/22(火) 20:16:12 7fn/imhY
>>120->>121
連レス乙。腋臭は自分では気付かないってホントなんだね？香水でも買うといいよｗ
123 名前：ナナシマさん 投稿日：2005/03/22(火) 20:17:29 ???
>>122 臭い粘着臭ヲタ ｍ９(^д^)ﾌﾟｷﾞｬｰ!
124 名前：ペプタイドＸ 投稿日：2005/03/22(火) 20:20:50 7fn/imhY
>>123
粘着乙。ｍ９(^д^)ﾌﾟｷﾞｬｰ! とかいいながらお前必死な。あっオナニー中
だったらゴメンｗ
284:１３２人目の素数さん
05/03/22 20:25:48
誤爆した。逝って来る。
285:272
05/03/28 13:38:30
気分直しに・・・
P, Q を 0 でない整数とし, n を奇の合成数 >0 とする. このとき,
n が底(P,Q)に関する Lucas 擬素数
⇔ n が底(-P,Q)に関する Lucas 擬素数
n が底(P,Q)に関する Euler-Lucas 擬素数
⇔ n が底(-P,Q)に関する Euler-Lucas 擬素数
n が底(P,Q)に関する 強Lucas 擬素数
⇔ n が底(-P,Q)に関する 強Lucas 擬素数
基本過ぎるかな.
286:風あざみ ◆c/j2mAZ2V6
05/03/28 23:46:02
U_n(-P,Q)=(-1)^n*U_n(P,Q)
V_n(-P,Q)=(-1)^n*V_n(P,Q)
だから
N|U_n(-P,Q)⇔N|U_n(P,Q)
N|V_n(-P,Q)⇔N|V_n(P,Q)
287:272
05/03/29 14:42:34
>>286
U_n(-P,Q)=(-1)^n*U_n(P,Q) は
U_n(-P,Q)=(-1)^{n+1}*U_n(P,Q) の間違いですか？
V_n(-P,Q)=(-1)^n*V_n(P,Q) は正しいようで.
288:風あざみ ◆c/j2mAZ2V6
05/03/29 22:20:05
>>287
そうだな。
289:１３２人目の素数さん
05/04/14 03:11:00
358
290:１３２人目の素数さん
05/05/02 17:33:54
319
291:１３２人目の素数さん
05/05/19 06:20:12
463
292:１３２人目の素数さん
05/06/19 18:22:05
231
293:１
05/06/24 10:16:13
まだ、落ちてなかった。良かったなあ。もう少しゆとりができたら
新しく書き込みますんで・・・。
294:１３２人目の素数さん
05/06/24 10:53:12
激しく期待
295:１３２人目の素数さん
05/07/10 09:24:34
数学できるって、ゆとりの証拠だよ。。。ゆとりがないと数学できない。
296:１３２人目の素数さん
05/07/11 21:06:59
[805] 次を示してくださいです。
(F_n)^4(F_{n+1})^4 ≦ (n^3){(F_1)^8 + (F_2)^8 + … + (F_n)^8}
College Math. Journal, Vol.36, No.3, (2005 May)
URLﾘﾝｸ(www.math.northwestern.edu)
deadline: 2005/08/15
297:１３２人目の素数さん
05/07/20 08:48:55
あ～～。新しい書き込みだ。うれしいね。考えてみます。
298:297
05/07/22 08:20:27
解けますた。みかけはごっついけど、解いてみると初等的な手段でキレイに
解けるのできもちいい問題ですね。いい出題だと思いました。まだ、考え中
のひとがいるかも知れないので、解答は１週間くらい後にカキコしようと
思います。
299:同上
05/07/27 08:30:21
あ～、っと。。。。
ちょっとしたカン違いでした。解けてなかった。ゴメンね。
300:同上
05/07/27 13:41:58
２９６さん、ギブアップするから早く答えをおしえて！
301:同上
05/07/29 09:17:29
・・そうだ。８月１５日なんて遅すぎる。待ちきれないので、答えを教えて
ほしい。誰でもいいから、わかった人。
302:１３２人目の素数さん
05/07/31 08:33:07
誰にも解けないほどの難問なのか、あるいは間違った不等式で反例があり得る
のか、どちらかだな。
303:１３２人目の素数さん
05/08/01 05:17:26
F_nF_(n+1)=Σ[k=1,n](F_k)^2=nΣ[k=1,n](1/n)(F_k)^2 より
{F_nF_(n+1)}^4=n^4{Σ[k=1,n](1/n)(F_k)^2}^4
x^4は下に凸な関数なので、凸不等式より
{Σ[k=1,n(1/n)](F_k)^2}^4≦Σ[k=1,n](1/n){(F_k)^2}^4=1/nΣ[k=1,n](F_k)^8 ゆえ
{F_nF_(n+1)}^4≦n^3Σ[k=1,n](F_k)^8
304:１３２人目の素数さん
05/08/01 23:22:49
>>303
チェビシェフ一発ですか・・案外簡単に解けるんですね。
ｎが大きいときに自明な不等式なので、あまりいい問題とは言えない気がします。
305:１３２人目の素数さん
05/08/09 01:42:43
あまりいい問題でなくとも、何もださないよりははるかにいいですよ。
306:１３２人目の素数さん
05/09/03 16:55:09
>>305
じゃあ問題^^
自然数nに対しf(F(n),F(n+1))＝1を満たす、斉次多項式 f(x,y)を全て求めよ。
307:１３２人目の素数さん
05/09/04 00:08:05
数学はどうやったら得意になるのか教えてください。現在、哲学科4年生なのですが、苦手でも数学科に編入したいと思っておりまして。みなさんは昔から数学が好きでしたか？
308:１３２人目の素数さん
05/09/13 02:23:25
>>307
スレ違い
309:１３２人目の素数さん
05/09/16 03:10:43
age
310:１３２人目の素数さん
05/09/25 18:00:45
>>307
フィボナッチ数の勉強から
311:１３２人目の素数さん
05/10/07 13:30:45
何で数学科に行くの？
312:すれ違いですみません
05/10/25 14:01:14
だれか至急解いてください↓
1 2 2 2 4 8 16 (64)となる理由をききたいです
313:１３２人目の素数さん
05/10/25 23:28:24
何を解くのか分からないんだけど・・・
1,2,2,2,4,8,16,64,512,8192・・・
とかいう数列だったらｳｹる。
314:１３２人目の素数さん
05/10/26 01:14:07
たぶんそれです なぜそうなるか教えてください
315:１３２人目の素数さん
05/10/26 04:34:46
>>314
a[n+3]=a[n+2]*a[n]
316:１３２人目の素数さん
05/10/26 15:08:57
これにあてはめてこの数列になりますかね？計算あいませんよ
317:１３２人目の素数さん
05/10/27 02:49:00
合うでしょ。
a[1]=1
a[2]=2
a[3]=2
だよ。
318:１３２人目の素数さん
05/10/27 03:38:51
aは初こうですよね？
319:１３２人目の素数さん
05/10/27 04:21:30
先頭３つの項は適当に定義してよいと思われます。
数列の増えかたは規則の通りです。
320:１３２人目の素数さん
05/11/18 10:45:52
140
321:１３２人目の素数さん
05/12/18 06:35:22
944
322:１３２人目の素数さん
05/12/23 00:21:14
すみません、レベルの高いスレでアホなことを聞いて申し訳ないのですが
下記を馬鹿にもわかるように証明してください。
任意の連続する10個のフィボナッチ数列の和は、7番目の値の11倍に等しい。
よろしくお願いします。
323:１３２人目の素数さん
05/12/23 02:17:25
フィボナッチ数列をF_nと書き、a_n=Σ[k=0,9]F_(n+k) と置く。
a_nは漸化式 a_(n+2)=a_(n+1)+a_n を満たし
a_1=143=11*F_7 a_2=231=11*F_8 となる。
後は帰納法でも何でも。
324:１３２人目の素数さん
05/12/23 11:36:59
>>323
ありがとうございます。すっきりしました。
325:１３２人目の素数さん
05/12/27 01:01:33
>322
フィボナッチ数列をF_nと書き、d_n = F_(n+2) -F_(n+1) -F_n と置く。
∑[k=0,9]F_(n+k) - 11*F_(n+6)
= -d_n -2d_(n+2) +d_(n+3) -4d_(n+4) +4d_(n+5) +2d_(n+6) +d_(n+7)
= 0.
326:１３２人目の素数さん
05/12/27 01:03:00
291 ：簡単かなぁ ：2005/12/26(月) 20:26:43
コインをn回投げる時、表が2回続けて現れる確率は？
☆東大入試作問者スレ☆６
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:291番) ,296-297
327:１３２人目の素数さん
06/01/02 04:08:34
340
328:１３２人目の素数さん
06/01/02 04:17:47
age
329:１
06/01/12 00:58:50
うわあん！ごめんな、我が子よ・・・。漏れにはもう無理です・・・。
ひとりでたくましく生き延びてくれい・・・。
330:なんという偶然！！
06/01/12 01:01:47
今日はおまえの２歳の誕生日だね・・・。ハッピーバースディ、ツーユー！！
331:ダメ親父
06/01/12 01:22:50
お前の弟、「連結碁＆ライフゲーム倶楽部」のやつもまだまだ元気だ・・。
兄弟なかよく、できるだけ長生きしておくれ・・・。
332:１３２人目の素数さん
06/01/12 23:45:30
二年。
333:１３２人目の素数さん
06/02/05 06:11:08
486
334:１３２人目の素数さん
06/03/02 16:29:08
374
335:１３２人目の素数さん
06/03/04 12:53:28
age
336:１３２人目の素数さん
06/03/26 14:09:28
337:１３２人目の素数さん
06/04/15 19:27:49
338:１３２人目の素数さん
06/04/23 21:09:41
┌-―ー-';
| (・∀・) ﾉ
＿＿＿＿ 上―-―' ＿＿＿_
| （･∀･） ｜ ／ ＼ | (・∀・) |
|￣￣￣￣ （￣￣￣） |￣￣￣
∧ （[[[[[[|]]]]]） ,∧
<⌒> [=|=|=|=|=|=] <⌒>
／⌒＼ _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ ]
| . ∩ |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[
／i~~i' l ∩∩l .ｌ ∩ ∩ l |__| .| .∩| .| l-,
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| l ,==,-'''^^ l |. ∩. ∩. ∩. | |∩| |∩∩| |~~^i~'i、
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l~| .| | ,,,---== ヽﾉ i ヽﾉ~~~ ヽﾉ ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
.|..l i,-=''~~--,,, ＼ ＼ l ／ ／ ／ __,-=^~
|,-''~ -,,,＿ ~-,,. ＼ .＼ | .／ ／ ＿,,,-~ ／
~^''=、＿ _ ^'- i=''''''^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^''''''''=i -'^~
~^^''ヽ ヽ i ｼﾞｴﾝｷｬｯｽﾙ / ／ ノ
ヽ 、 l | ｌ l / .／ ／
＼_ 、i ヽ i / ,,=='
''==,,,,＿＿＿,,,=='~
339:１３２人目の素数さん
06/04/27 07:30:30
age
340:１３２人目の素数さん
06/05/13 21:12:00
715
341:１３２人目の素数さん
06/05/26 12:51:04
158
342:１３２人目の素数さん
06/06/04 13:13:56
URLﾘﾝｸ(0.)<) ./,-、,-、,-ヽ ,-‐‐‐-、
URLﾘﾝｸ(0.)<) ‐―|‐┰┰‐|―‐
URLﾘﾝｸ(0.)<) 〇ニニ|/TTTヽ|ヽ、
URLﾘﾝｸ(0.)<) (￣￣)―(￣￣)
343:１３２人目の素数さん
06/06/16 01:40:00
703
344:１３２人目の素数さん
06/07/28 15:55:12
357
345:１３２人目の素数さん
06/08/30 14:59:59
136
346:１３２人目の素数さん
06/10/01 03:08:59
トリボナッチ数
T_1=1, T_2 =1, T_3=2,
T_n = T_(n-1) + T_(n-2) + T_(n-3).
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:264-287番)
分かスレ２５９
347:１３２人目の素数さん
06/10/01 03:12:04
>346
特性方程式 x^3 -x^2 -x-1=0 の3根を a,b,c とする。
x^3 -x^2 -x-1 = (x-a){x^2 +(a-1)x+(1/a)}
a = {1 + (19-3√33)^(1/3) + (19+3√33)^(1/3) }/3 = 1.83928675521416113255185256465329… トリボナッチ定数
b = (1/√a)exp(iθ),
c = (1/√a)exp(-iθ).
θ = arccos{-(1/2)(a-1)√a} = 90ﾟ + (1/2)arccos{(a-1)^2 /2} = 124.68899739147561093738917517977…ﾟ
T_n = k_1･a^n + {k_2･cos(nθ) + k_3･sin(nθ)}(1/a)^(n/2).
k_1 = -k_2 = 0.33622811699493…, k_3=0.3996482801623…
348:１３２人目の素数さん
06/10/01 03:14:23
>346
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
349:１３２人目の素数さん
06/10/01 19:19:41
age
350:１３２人目の素数さん
06/10/03 02:17:24
n-bonacci 数
F_k = F_(k-1) + F_(k-2) + …… + F_(k-n).
特性方程式
x^n = x^(n-1) + … + x+1.
x^(n+1) -2･x^n +1 =0, x≠1.
2-x = (1/x)^n, x≠1.
x_2 = (1+√5)/2 = 1.61803398874989…
x_3 = {1 + (19-3√33)^(1/3) + (19+3√33)^(1/3)}/4 = 1.839286755214161132….
x_4 = {1 +√u +√(11-u +26/√u)}/4 = 1.927561975482925...,
u = {11 +2*(12*√1689 -260)^(1/3) -2*(12*√1689 +260)^(1/3)}/3 = 1.704371307008…
u^3 -11u^2 +115u -169 =0 の実根
nが大きいとき
x_n ≒ 2 - (1/N) - (n/2)(1/N)^2 - {n(3n+1)/8}(1/N)^3 - {n(2n+1)(4n+1)/24}(1/N)^4 -…
ここに N=2^n.
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
351:350
06/10/04 00:39:41
>350 (補足)
x_2 = (1+√5)/2 = 1.61803398874989484820458683436564…
x_3 = {1 + (19-3√33)^(1/3) + (19+3√33)^(1/3)}/３ = …. ｽﾏｿ
x_4 = 1.92756197548292530426190586173648…
(u = 1.70437130700810135321359904631276…)
352:１３２人目の素数さん
06/11/13 00:32:25
606
353:1
06/12/21 17:35:32
(F_(n+1))^7 - (F_n)^7 - (F_(n-1))^7 = 7(F_(n+1))(F_n)(F_(n-1))(2(F_n)^2+(-1)^n)^2
354:１３２人目の素数さん
06/12/30 01:26:02
age
355:１３２人目の素数さん
06/12/30 01:27:17
375
356:１３２人目の素数さん
06/12/30 01:36:34
開成の数研は毎年必ずこれ
357:１３２人目の素数さん
07/01/12 23:45:18
三年。
358:１３２人目の素数さん
07/01/28 04:04:46
>>357
3年？どうですか？
ここ開成のシェルターにするかな
359:１３２人目の素数さん
07/02/02 13:00:35
よろ。
360:１３２人目の素数さん
07/02/04 02:34:22
新厨三よろ。
361:１３２人目の素数さん
07/02/05 04:58:47
age
362:１３２人目の素数さん
07/02/17 23:33:37
新高2よろ。
363:１３２人目の素数さん
07/02/17 23:34:25
咲いた咲くかね
364:１３２人目の素数さん
07/02/24 16:13:55
n[i]を整数としS[k]=∑[i=1→k] n[i]とおく
ここで1≦i≦2^(k-1)、1≦j≦kとする
aをbで割ったときの余りをa mod bと表す
δ[i,j]を以下のように定義する
(1)j=1のとき
iが奇数 ⇒ δ[i,j]=1
iが偶数 ⇒ δ[i,j]=0
(2)1<j<kのとき
1≦i mod 2^j≦2^(j-2) ⇒ δ[i,j]=1
2^(j-2)<i mod 2^j≦2^j - 2^(j-2) ⇒ δ[i,j]=0
2^j - 2^(j-2)<i mod 2^j≦2^j ⇒ δ[i,j]=-1
(3)i=kのとき
1≦i≦2^(k-2) ⇒ δ[i,j]=0
2^(k-2)<i≦2^(k-1) ⇒ δ[i,j]=-1
フィボナッチ数列をF[n]と表せば
F[S[k]] = ∑[i=1→2^(k-1)] Π[j=1→k] F[n[j]+δ[i,j]]
が成り立つ
365:１３２人目の素数さん
07/02/24 16:15:58
>>364 はフィボナッチ数列の加法定理の1つの拡張
ただし、全く実用的でないし何も新しい結果を導き出さない
366:１３２人目の素数さん
07/02/24 16:49:15
数学とはそもそも実用的でないものだよ
367:１３２人目の素数さん
07/03/07 08:12:48
リュカ数列がメルセンヌ素数の判定に使われるとは知らなかった。
368:１３２人目の素数さん
07/03/11 21:33:48
157
369:１３２人目の素数さん
07/03/18 21:50:18
>>363
割いたよね 賞とってしつこいくらいにやなひとだよね
370:１３２人目の素数さん
07/06/23 23:44:20
あ
371:１３２人目の素数さん
07/07/11 05:45:41
>>367
誤解している
372:１３２人目の素数さん
07/07/11 10:30:49
メルセンヌ素数の判定に使われてるのは一般ルーカス数列の一種。
V_n=α^n + β^n、α, β は x^2-2x-2=0 の解。
373:１３２人目の素数さん
07/07/11 23:34:43
2^n+1という形の数が素数ならばnは2の累乗（フェルマー数）
2^n-1という形の数（メルセンヌ数）が素数ならばnは素数
{(1+√5)/2}^n+{(1-√5)/2}^nという形の数（リュカ数）が素数ならば
nは素数または2の累乗
[{(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]/√5という形の数（フィボナッチ数）が
素数ならばnは素数または2の累乗
374:１３２人目の素数さん
07/07/15 20:21:59
高校生のときに見つけたフィボナッチたんの法則
何年も前に発見済みなんだろうけどさ
桁が上がるまでの計算回数に規則性がある
375:１３２人目の素数さん
07/08/22 02:25:56
>>3の証明を教えていただけないでしょうか
376:１３２人目の素数さん
07/08/22 03:31:46
>>375 以下の式を全部足す。
F(2n) = F(2n-1)+F(2n-2)
F(2n-2) = F(2n-3)+F(2n-4)
...
F(6) = F(5)+F(4)
F(4) = F(3)+F(2)
377:１３２人目の素数さん
07/08/22 08:50:46
>>376
ありがとうございます
378:１３２人目の素数さん
07/09/12 02:08:36
Σ[n=0,∞] 1/(F(2n+1)+1) = √5/2
Σ[n=0,∞] 1/F(2n+1) = (1/2)√{Σ[n=1,∞] (3/F(n)^2 + 5/L(n)^2)}
= (3-φ){Σ[n=0,∞] φ^(-2n(n+1))}^2, φ=(√5+1)/2
379:１３２人目の素数さん
07/09/14 12:01:15
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)l50
10日ぶりの解決
380:１３２人目の素数さん
07/09/14 15:34:39
Σ[n=1,∞] 1/F(n)^2 = Σ[n=1,∞] (-1)^(n+1) L(2n)/F(2n)^2
381:１３２人目の素数さん
07/09/14 18:13:48
1 + 4Σ[n=1,∞] 1/L(2n) = √{1 + 8Σ[n=1,∞] 1/L(n)^2}
= (π/(2logφ)) {Σ[n=-∞,∞] e^(-(πn)^2/(2logφ))}^2,
φ=(√5-1)/2
382:１３２人目の素数さん
07/09/14 19:26:34
>>381 φ=(√5+1)/2
Σ[n=0,∞] 1/F(2n+1)^3 = 3αβ-2α^3,
α = Σ[n=0,∞] 1/F(2n+1),
β = Σ[n=1,∞] 1/F(n)^2
383:１３２人目の素数さん
07/10/07 18:49:29
〔補題〕
任意の自然数mに対して、F[n] がmの倍数になるような 自然数nが存在する。
(略証)
便宜上 F[0] =0 とする。
F[n] を mを割った余りを a[n] とおく。
F[n] ≡ a[n] (mod m)
0 ≦ a[n] ≦ m-1,
さて，m^2+1個の組
(a[0],a[1]), (a[1],a[2]), (a[2],a[3]), ……, (a[m^2],a[m^2+1])
を考える。
F[n] を m で割った余りa[n] は 0～m-1 の m 通りしかないので，組の組合せは m^2 通りしかない。
よって，上記の m^2+1 個の組の中には，同じ組がある。*)
それを (a[j], a[j+1]) と (a[k], a[k+1]) とする。（0≦j＜k≦m^2）
F[j-1] = F[j+1] - F[j] と F[k-1] = F[k+1] - F[k] より
a[j-1]≡a[j+1]-a[j] と a[k-1]≡a[k+1]-a[k] ，
(a[j-1],a[j]) と (a[k-1],a[k]) も同じ組になっている。
これを繰り返すと，(a[0],a[1]) と (a[k-j],a[k-j+1]) も等しいことが言える。
k-j>0 より k-j=n は自然数で，a[n] = a[0] = 0 なので，
F[n] が m の倍数となる自然数 n が存在する。(終)
*) 鳩の巣原理、ディリクレの引出し原理 とか言うらしい。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:476番)
東大入試作問者スレ１１
384:１３２人目の素数さん
07/10/07 23:50:02
>>14,11
双曲線函数の方だお･･･
α = logφ = log((1+√5)/2) ≒ 0.481211825 とおくと >>13 より
F(n) = (2/√5)cosh(nα), L(n) = 2sinh(nα) (n:奇数),
F(n) = (2/√5)sinh(nα), L(n) = 2cosh(nα) (n:偶数),
385:１３２人目の素数さん
07/10/30 13:55:04
336
386:１３２人目の素数さん
08/01/03 16:28:48
Π_(k=1, [n/2]) (1 + 4*cos(kπ/n)^2) = F_n, (n≧2)
(解説)
カステレインは平方格子グラフ上のダイマー模型について分配函数Zを計算した。
これはグラフの隣接行列に適当な重みと符号を乗じて得られる反対称行列（カステレイン行列）
のパフ形式（Pfaffian）として表わされた。
その後、（平方格子でない）一般の平面的２部グラフに拡張された。
(文献)
1. P.W.Kasteleyn, Physica, ２７, p.1209-1225 (1961)
"The physics of dimers on a lattice"
2. URLﾘﾝｸ(www.math.h.kyoto-u.ac.jp)
「ダイマー模型とその周辺」 (京都大 人間･環境学部)
3. 細矢, ｢数学100の問題｣, 数セミ増刊, 日本評論社, p.90-92 (1984.9)
「フィボナッチ数の問題｣
387:１３２人目の素数さん
08/01/07 22:40:39
問題18) フィボナッチ数列をF(n)とおく。 p,q,r を任意の整数とするとき、
F(p+1)F(q+1)F(r+1) + F(p)f(q)F(r) - F(p-1)F(q-1)F(r-1) = F(p+q+r),
が成立する事を証明せよ。
URLﾘﾝｸ(www.iis.it-hiroshima.ac.jp)
388:１３２人目の素数さん
08/01/07 22:51:13
〔加法公式〕
F_n の隣接する3項の間に斉1次な漸化式が成立つならば、ある2次の対称行列Cがあって、
F(m+n) = Σ[1≦i,j≦2] F(m+i-1)C(i,j)F(n+j-1)
が成立つ。
(略証)
A = [ F(0), F(1) ]
[ F(1), F(2) ]
とおき、さらに C=A^(-1) とおく。
m=0,1 のときは
(右辺) = Σ[j=1,2] {Σ[i=1,2] F(m+i-1)*C(i,j)} F(n+j-1)
= Σ[j=1,2] {Σ[i=1,2] A(m+1,i)*C(i,j)} F(n+j-1)
= Σ[j=1,2] δ_(m+1,j) F(n+j-1)
= F(m+n),
m>1 のときも、斉1次な漸化式により成立つ。(終)
例) フィボナッチ数列
A = [ 0, 1 ]
[ 1, 1 ]
C = [-1, 1 ]
[ 1, 0 ]
ゆえ
F(m+n) = F(m)F(n+1) + F(m+1)F(n) - F(m)F(n),
>387
これを2回使えば出るだろう。
389:１３２人目の素数さん
08/01/07 23:01:18
>386
ド・モアブルの定理から
x^(2n) - 1 = Π[k=0,2n-1]{x-exp(ikπ/n)} = Π[k=-n,n-1]{x-exp(ikπ/n)}
k=1,…n-1 について
{x-exp(ikπ/n)}{x-exp(i(2n-k)π/n)}
= {x-exp(ikπ/n)}{x-exp(-ikπ/n)}
= x^2 -2cos(ikπ/n)x +1
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:313番) 308
390:１３２人目の素数さん
08/01/07 23:38:09
>>64>>67
391:１３２人目の素数さん
08/01/28 04:45:16
四年十五日五時間。
392:１３２人目の素数さん
08/02/10 19:57:44
ここのサイトに書かれている「還暦数」って考え方が面白い。
URLﾘﾝｸ(yohei627.hp.infoseek.co.jp)
393:１３２人目の素数さん
08/03/28 17:17:45
592
394:１３２人目の素数さん
08/03/29 02:30:16
age
395:１３２人目の素数さん
08/04/20 21:58:21
〔問題〕
数列a[n] (n=0,1,2,････) は以下の条件を満たすとする。
・a[0] =0, a[1] =1,
・a[n+1] = (1/a[n])∑[k=1～n] (a[k])^2,
(1) a[n] を n の式であらわせ。
(2) b[n] = a[n+1]/a[n] とおくとき、lim[n→∞) b[n] を求めよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:390番) ,402
東大入試作問者スレ１４
396:１３２人目の素数さん
08/04/28 15:06:26
上げ
397:１３２人目の素数さん
08/05/29 10:57:25
保守
398:１３２人目の素数さん
08/07/12 13:49:47
保守
399:１３２人目の素数さん
08/07/22 08:27:57
保守
400:１３２人目の素数さん
08/07/22 19:53:22
まだこのスレのやつも気づいてないようだなｗ
F(n)を行列で(おもしろおかしく)∩(へぇ～)みたいな感じでL(n)との関係を(ry
401:１３２人目の素数さん
08/08/06 08:58:43
保守
402:１３２人目の素数さん
08/08/06 18:03:56
あるスレで見たんだが。
f(1)=0
f(2)=2
f(3)=3
f(n+3)=f(n+1)+f(n)
のとき、
f(n)/n
が整数となるのはｎがどのような値のときか。
ってフィボナッチと関係あるの？
403:１３２人目の素数さん
08/08/06 20:08:07
S(f(n+3)-f(n+2))=S(f(n+1)-f(n-1))
f(n)/n=(f(4)+f(1)+f(2)+f(n-3)+f(n-2))/n=(4+f(n-3)+f(n-2))/n
404:１３２人目の素数さん
08/09/05 14:41:38
>>402
むしろルカスと関わりがある。
405:１３２人目の素数さん
08/10/26 12:12:40
188
406:１３２人目の素数さん
08/10/30 09:25:23
F(1)^2-F(2)^2+F(3)^2-F(4)^2+……+(-1)^n-1*F(n)^2=1/5{2n+1+(-1)^n-1*F(2n+1)}
左辺
第1項の2乗から2項の2乗を引いて、その後も引いて足してを繰り返す。
nが奇数なら+、偶数なら-、って感じ??
このフィボナッチの定理を証明しろと言われたｹﾄﾞ、根本的にやり方が分からんから困った。
誰か証明の解説して下さい。
407:１３２人目の素数さん
08/10/30 22:04:39
>>406
n=1から成立が怪しい感じなんだが、初期値はどういう設定よ？
408:１３２人目の素数さん
08/10/31 20:49:03
今日、ガリレオの再放送見てたら出てきた
レッドマーキュリー ﾅﾂｶｼｽ…
409:１３２人目の素数さん
08/11/03 22:00:47
>>407
普通にn=正の整数だぜ
あとn=1でも成り立つよ
410:１３２人目の素数さん
08/11/29 06:51:19
６乗和の新公式
F(1)^6＋F(2)^6＋…＋F(n)^6 ＝ (F(n)^5 F(n+3)+F(2n))/4
「数学の花束」より
411:１３２人目の素数さん
08/12/07 14:49:58
I am Fibonacci
412:１３２人目の素数さん
08/12/07 14:53:58
>>410
それはいちいち特筆すべきレベルのものか?
n乗和を計算しましたと言っても、別に等比数列の
和を計算しましたってのと大差ないし。
413:１３２人目の素数さん
08/12/07 15:31:29
↑
あなたには、この公式の導出は無理だと思う。
414:１３２人目の素数さん
08/12/07 16:04:33
俺が導出できるできないなんてどうでもいいよ。
導出できようができまいが、6乗和が何らかの
閉じた形で表現できるってのは当たり前で、
>>410に見るべき点があるとしたら、それはその
「閉じた形」が右辺のように書けるってことか、
右辺のように書くことで証明が簡潔になるかって
ことぐらいしかない。これはそのどちらなの?
もしくは>>413の指摘どおり馬鹿な俺には考えも付かない
重要な事項が他にあるの？その辺をぜひご教示くださいよ。
415:１３２人目の素数さん
08/12/07 18:19:46
www
416:１３２人目の素数さん
08/12/07 18:39:01
まぁその程度だよね。
417:１３２人目の素数さん
09/01/11 09:52:39
705
418:１３２人目の素数さん
09/01/13 23:45:16
五年一日。
419:１３２人目の素数さん
09/01/14 14:28:23
age
420:１３２人目の素数さん
09/01/29 09:39:51
661
421:１３２人目の素数さん
09/02/28 14:26:52
〔問題585〕
フィボナッチ数列を三角関数で表現しなさい.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:585番)
東大入試作問者スレ１６
422:１３２人目の素数さん
09/02/28 14:29:03
>>421
φ = (1+√5)/2, -1/φ = (1-√5)/2,
とおくと、
φ + (-1/φ) = 1,
φ - (-1/φ) = √5,
φ^2 + (-1/φ)^2 = 3,
φ･(-1/φ) = -1,
これと「ビネの公式」より
F_n = {φ^n - (-1/φ)^n} / √5,
= Π[k=1,[(n-1)/2]] {3 + 2cos(2kπ/n)}
= Π[k=1,[(n-1)/2]] {1 + 4cos(kπ/n)^2},
〔補題〕 n≧3 のとき
x^n - y^n = (x-y)Π[k=1,n-1] {x - y･exp(2ikπ/n)}
= (x-y){(x+y)^d}Π[k=1,[(n-1)/2]] {x^2 +y^2 -2xy･cos(2kπ/n)}.
nが偶数のとき d=1, nが奇数のとき d=0,
(参考)
1. 数セミ増刊「数学100の問題」, 日本評論社 (1984.9) ISBN:4-535-70405-8
p.90-92, 細矢治夫, 「フィボナッチ数の問題」
2. P.W.Kasteleyn, <<Physica>>, ２７, p.1209-1215 (1961)
"The statistics of dimers on a lattice"
正方格子上のある量(分配函数Z)を統計力学的に数え上げた際に出てきた式の副産物とか。
423:１３２人目の素数さん
09/02/28 14:51:42
既出
424:１３２人目の素数さん
09/03/04 02:18:47
さあ
425:１３２人目の素数さん
09/04/25 15:04:11
405
426:１３２人目の素数さん
09/05/03 12:48:10
さあ
427:１３２人目の素数さん
09/07/01 22:39:52
>>388
便宜上 F(0) =0 とする。
[ F(n-1), F(n) ]
[ F(n), F(n+1) ]
という行列 M(n) を作ると、M(1) = A のn乗になるから、
M(m+n) = M(m)･M(n) より加法公式が出てくるちゅーこと。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:084番)
不等式スレ４
428:１３２人目の素数さん
09/08/18 09:32:07
128
429:１３２人目の素数さん
09/09/05 03:38:40
681
430:１３２人目の素数さん
09/09/27 10:39:52
430
431:１３２人目の素数さん
09/12/05 00:52:55
133
432:１３２人目の素数さん
09/12/08 14:18:11
ぶりぶり
433:１３２人目の素数さん
10/01/19 02:45:16
六年六日三時間。
434:１３２人目の素数さん
10/01/24 11:19:27
ひさしぶりの保守
435:１３２人目の素数さん
10/03/10 16:27:24
314
436:１３２人目の素数さん
10/03/15 12:56:41
age