フィボナッチ・リュカ数列の定理を並べるスレat MATHフィボナッチ・リュカ数列の定理を並べるスレ - 暇つぶし2ch■コピペモード□スレを通常表示□オプションモード□このｽﾚｯﾄﾞのURL■項目テキスト50:１３２人目の素数さん 04/01/28 20:31 >>49 補題 自然数nについてn≧F(k)＞n/2となるフィボナッチ数F(k)が存在する。 ∵n以下の最小のフィボナッチ数F(k)がn/2>F(k)とするとF(k)>F(k-1)より F(k+1)<n が導かれF(k)の最小性に反する。 定理 全ての自然数nはいくつかの異なるフィボナッチ数の和で表すことができる。 n=1のときは明らかに成り立つ。 m以下の自然数で成り立つとする。 m+1に対してm+1≧F(k)>(m+1)/2となるものが取れる。(∵補題より) F(k)=m+1ならばそれでよい。 F(k)>m+1のとき m+1-F(k)<m であるので、仮定より異なるフィボナッチ数の和(*)で表せる。 このときm+1-F(k)<(m+1)/2<F(k)であるので、表示(*)のなかにF(k)は含まれない。 よって m+1=F(k)+(*) は題意を満たす表示となる。 51:２０ 04/01/29 09:32 ５０さん、どうもありがとう！ 52:４０の解法 04/02/01 20:55 基本公式 Ｆ（ａ）＝Ｌ（ｂ）Ｆ（ａ－ｂ）－（（－１）＾ｂ）Ｆ（ａ－２ｂ）・・・（１） に、ａ＝ｋｎ，ｂ＝ｎを代入する事により（ｋ≧２とする）、 Ｆ（ｋｎ）＝Ｌ（ｎ）Ｆ（（ｋ－１）ｎ）－（（－１）＾ｎ）Ｆ（（ｋ－２）ｎ）・・・（２） 両辺をＦ（ｎ）で割り（ｎ≧１）、Ｆ（ｋｎ）/Ｆ（ｎ）＝Ｇ（ｋ）と置けば、 Ｇ（ｋ）＝Ｌ（ｎ）Ｇ（ｋ－１）－（（－１）＾ｎ）Ｇ（ｋ－２）・・・（３） 簡略化のために、Ｌ（ｎ）＝ｘ，（（－１）＾（ｎ－１））＝ｙと置くことにより 漸化式、Ｇ（ｋ）＝ｘＧ（ｋ－１）+ｙＧ（ｋ－２）・・・（４） を得る。 ただし、Ｇ（１）＝Ｆ（ｎ）/Ｆ（ｎ）＝１ Ｇ（２）＝Ｆ（２ｎ）/Ｆ（ｎ）＝Ｌ（ｎ）＝ｘ である。 （つづく） 次ページ最新レス表示レスジャンプ類似スレ一覧スレッドの検索話題のニュースおまかせリストオプションしおりを挟むスレッドに書込スレッドの一覧暇つぶし2ch