07/02/03 13:57:29
>>497は模試の問題。
答えるべからず。
499:１３２人目の素数さん
07/02/03 16:25:04
てか，その程度の問題ぐらい自力で解け
500:１３２人目の素数さん
07/02/03 18:10:36
一辺が１の正方形の内部または周上に存在しうる正五角形の面積の最大値を求めよ。
501:１３２人目の素数さん
07/02/03 22:48:18
>494
2sin(x) = {1/sin(π/2n)} {cos(x - π/2n) - cos(x + π/2n)} (← 積和公式)
L = Σ[k=1,n-1] 2sin(kπ/n)
= {1/sin(π/2n)} Σ[k=1,n-1] {cos[(k-1/2)π/n] - cos[(k+1/2)π/n]}
= {1/sin(π/2n)} {cos(π/2n) - cos((n-1/2)π/n)}
= 2/tan(π/2n).
>500
最大の正５角形の外接円の半径Rは
R = 1/{cos(3π/20) + cos(π/20)} = 1/{2cos(π/10)cos(π/20)} = 0.5322844…
(正５角形の1頂点から対辺への垂線が正方形の対角線上に来るように置く)
sin(2π/5) = √{(5+√5)/2} = 0.9510565… より
S = (5/2)sin(2π/5)･R^2 = 2.377641… R^2 = 0.67364926…
502:501
07/02/03 22:55:03
>501 の訂正
sin(2π/5) = cos(π/10) = √{(5+√5)/８} = 0.9510565…
503:１３２人目の素数さん
07/02/04 19:50:33
>>501
「正５角形の1頂点から対辺への垂線が正方形の対角線上に来るように置」
けば良い理由が核だと思うが。
504:１３２人目の素数さん
07/02/04 20:20:17
Problem 256.
sin(1ﾟ)sin(2ﾟ)……sin(89ﾟ) = (3/2^89)√10.
を示せ。
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
hint >>479, n=180.
505:１３２人目の素数さん
07/02/04 23:29:31
>>500
5α/4(α+1) (ただしα=cos18°)
発想を転換し、五角形を単位円に内接するものと固定し、
これを回転させるときx座標のとりうる値の幅とy軸のとりうる値の幅のうち大きな方をminimizeすれば良い。
すると、結局、0≦θ≦π/5での
min{cosθ,sin(θ+(2π/5))}
の最小点を調べれば良い。
これはすぐにθ=π/20だと分かる。
これは、>>503のことの証明になっている。
506:１３２人目の素数さん
07/02/04 23:31:35
間違えた
すると、結局、0≦θ≦π/5での
max{cosθ,sin(θ+(2π/5))}
の最小点を調べれば良い。
507:１３２人目の素数さん
07/02/04 23:56:02
3つの連続したピタゴラス数が無限に存在する事を示せ。
508:１３２人目の素数さん
07/02/07 00:31:13
入試も近いので本番形式の問題でも。
1. xy平面上の曲線y=x^2上に点P,Qが、Pのx座標がの値とQのx座標の値の差が4であるように動く。
このとき、線分PQが通過する範囲を図示せよ。
2. α,β,γはどれも実数ではない複素数の定数である。このとき
α+β+γ、α^2+β^2+γ^2、α^3+β^3+γ^3の少なくとも一つは実数でないことを示せ。
3. xyz空間で原点を中心とする半径1の球の内部で
|x^2+2y^2-1|≦(1-x^2)cos(πx/2)を満たす部分の体積を求めよ。
509:１３２人目の素数さん
07/02/07 00:35:47
4. 一辺の長さが1の正三角形ABCの辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、辺CA上に点Rと点Sを、四角形PQRSが長方形となるようにとる。
このとき直線ABを軸として長方形PQRSを回転してできる立体の体積の最大値を求めよ。
5. aを正の実数の定数とし、f(x)=x^3-axとする。xy平面上でy=f(x)で表される曲線をＣとする。
原点を中心とし曲線Ｃと接するような円が二つ存在し、その二つの円の面積の差が4πであるようなaの値を求めよ。
6. 数列{a[n]}はa[1]=ｰ1、a[n+1]=√(2+a[n]) で定まる。
(1)lim[n→∞] a[n]を求めよ。
(2)(1)で求めた値をαとしkを正の定数とする。このとき lim[n→∞] (αｰa[n])*(k^n) が0以外の値に収束するkの値とその時の収束値を求めよ。
510:１３２人目の素数さん
07/02/07 00:41:43
素数様来てくれ！！
511:１３２人目の素数さん
07/02/07 01:27:59
>>509
30分で1,2,5解けた
4と6(1)は半分くらい出来た感じ
あとはわからん
512:１３２人目の素数さん
07/02/07 02:36:51
>508
1.
P(a-2,(a-2)^2), Q(a+2,(a+2)^2) とおく。
PQの中点は (a, a^2 +4), PQの傾きは 2a.
PQ: y= 2a(x-a) + a^2 +4 ≧ -(a+2-x)(x-a+2) + 2a(x-a) + a^2 +4 = x^2 (∵ 下に凸)
PQ: y= 2a(x-a) + a^2 +4 ≦ (x-a)^2 +2a(x-a) +a^2 +4 = x^2 +4,
∴ 求める領域は x^2 ≦ y ≦ x^2 +4. (2つの放物線の間)
2. 背理法による。
S1 = α+β+γ、S2 = α^2+β^2+γ^2、S3 = α^3+β^3+γ^3 がすべて実数だったと仮定する。
然らば、基本対称式
α+β+γ= S1, αβ+βγ+γα = (S1^2 -S2)/2, αβγ = (S1^3 -3･S1･S2 + 2･S3)/6,
も実数となる。
f(x) = (x-α)(x-β)(x-γ) = x^3 - S1･x^2 + {(S1^2 -S2)/2}x - {(S1^3 -3･S1･S2 +2･S3)/6}
は実3次函数だから f(-∞) <0, f(∞) >0.
中間値の定理により、少なくとも一つ実根をもつ。
>509
6.
a[n] = 2cos(θ[n]), 0≦θ≦π とおくと、題意より
θ[n+1] = θ[n] /2 = …… = θ[1]*(1/2)^n, θ[1] = 2π/3.
(1) Lim[n→∞) θ[n] = 0, Lim[n→∞) a[n] =2 =α.
(2) α- a[n] = 2(1-cosθ[n]) = {2(1-cosθ[n])／θ[n]^2}･θ[n]^2
= {2(1-cosθ[n])／θ[n]^2}･(θ[1]^2)*(1/4)^(n-1),
∴ k=4, Lim[n→∞) (α- a[n])*(4^n) = 4θ[1]^2.
513:１３２人目の素数さん
07/02/07 04:02:01
>>509
計算ミスがあるかもしれない。
６．(1)
n≧2のときa[n]＝2cos{x/2^(n-2)} (x＝π/3)となる…＊ことを数学的帰納法で示す。
n＝2のとき…明らかに成り立つ。
n＝k≧2のとき成り立つとすると、n＝k＋1のときa[n]＝a[k＋1]＝√(2＋a[k])
＝√(2＋2cos{x/2^(k-2)})＝2√{(1＋cos{x/2^(k-2)})/2}＝2√{(cos{x/2^(k-1)})^2}
＝2|cos{x/2^(k-1)}|＝2cos{x/2^(k-1)} となり、成り立つ。
以上より、確かに＊は成り立つ。よって、lim[n→∞]a[n]＝2となる。
６．(2)β＝lim[n→∞](k^n)*(α－a[n])とおく。α＝2であるから、n≧2のときα－a[n]
＝2－2cos{x/2^(n-2)}＝4{(1－cos{x/2^(n-2)})/2}＝4(sin{x/2^(n-1)})^2となる。
よって、(k^n)*(α－a[n])＝4(k^n)(sin{x/2^(n-1)})^2となる。簡単のため
c[n]＝x/2^(n-1)とおくと、4(k^n)(sin{x/2^(n-1)})^2＝4(k^n)(sinc[n])^2
＝4{(k^n)/c[n]^2}{(sinc[n])/c[n]}^2 となる。c[n]→0であるから、
{(sinc[n])/c[n]}^2→1となる。これと4(k^n)/c[n]^2＝4(k^n){4^(n－1)}/x^2
＝(4k)^n/x^2であることより、β＝lim[n→∞]{(4k)^n/x^2}{(sinc[n])/c[n]}^2となり、よって
|4k|＜1のとき…β＝0
|4k|＞1のとき…β＝∞あるいは不定
4k＝－1のとき…β＝不定
4k＝1のとき…β＝1/x^2＝9/π^2
となる。以上より、k＝1/4,lim[n→∞] (αｰa[n])*(k^n)＝9/π^2となる。
514:513
07/02/07 04:08:11
さっそく間違えたお( ＾ω＾)
６．(2)(途中から)
簡単のためc[n]＝x/2^(n-1)とおくと、4(k^n)(sin{x/2^(n-1)})^2＝4(k^n)(sinc[n])^2
＝4{(k^n)c[n]^2}{(sinc[n])/c[n]}^2 となる。c[n]→0であるから、
{(sinc[n])/c[n]}^2→1となる。これと4(k^n)c[n]^2＝4(k^n){x^2/4^(n－1)}
＝(16x^2)(k/4)^nであることより、
β＝lim[n→∞]{(16x^2)(k/4)^n}{(sinc[n])/c[n]}^2となり、よって
|k/4|＜1のとき…β＝0
|k/4|＞1のとき…β＝∞あるいは不定
k/4＝－1のとき…β＝不定
k/4＝1のとき…β＝16x^2＝(16π^2)/9
となる。以上より、k＝4,lim[n→∞] (αｰa[n])*(k^n)＝(16π^2)/9となる。
515:１３２人目の素数さん
07/02/08 11:31:32
6.(1)は
Aをある有限値として
lim[n→∞]a[n]=Aとおくと
lim[n→∞]a[n+1]=Aであるから
与式より A=√(2+A)>0
両辺二乗 A^2=2+A
∴A=2 (A=-1<0より不適)
∴lim[n→∞]a[n]=2
では駄目？
516:１３２人目の素数さん
07/02/08 16:51:44
>>515
物理や工学の人はよく使ってるね
数学的にはダメ
収束することの証明が必要
517:１３２人目の素数さん
07/02/08 17:08:16
>>515 値の目星を付けるのにその方法は使えるけど、厳密性にかける。2に収束しそうだなと予想したら
2-a[n+1]=2-√(2+a[n])
=(2-a[n])/{2+√(2+a[n])}
<(2-a[n])/2
とか大雑把に大小関係を評価して2-a[n]が0に収束することを示せばOKかと。
518:１３２人目の素数さん
07/02/08 18:50:07
>>516-517
どうもです