07/01/18 03:18:09
さて、二進法で0.111…を考えると、これは→←→→→…=→←[→]=({1/2,3/4,7/8,…,((2^n)-1)/(2^n)),…},1)である。また、0.000…は、→←←←…=→[←]=(0,{…,1/(2^(n-1)),…,1/8,1/4,1/2,1})となる。
小数点以下が消しあうので0.111+0.000…=→←+→←=1/2+1/2==1だから0.000…==1-0.111…。よって、もし0.000…≠0が示されれば0.111…≠1が証明される。
ところで、ω段階では実は実数でない次のような超現実数も出来る。
[→]=({1,2,3,…},φ)
これは全ての自然数より大きいので、いわば正の無限大ωである。
このωに0と0.000…をそれぞれかけて結果を比較してみる。
0*ωは積の定義により(φ,φ)=0である。
一方、0.000…*ω=(0,φ)=1になるので、0≠0.000…が、従って、0.111…≠1が証明された。（0.000…=1/ωは正の無限小に相当する。どのような通常の意味での正の実数よりも小さく0より大きい数になる。）
これでこのスレ的には終わりだが、実はω+1段階、ω+2段階、…といくらでも考えることが出来るので、ω+1(=1+ω),ω+2,…,2ω,…（それどころかω-1=({1,2,3,…},ω)やω/2とかも）さらにω^2,…,ω^ω,…と
続けていくことも出来るわけである。もちろん、1/(2ω)とかも作られていく。
以上。