05/11/22 16:08:30
さぁ、好きなだけ語れ。
シロート厳禁、質問歓迎！
前スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
2:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:14:55
＾＾；
3:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:34:34
うすら排斥！
4:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:35:29
写経可
5:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:36:48
ひとまず礼を言っておこう。有難う。
ただ、せっかく上げてもらって何だけど、このシリーズは類体論まで
いく予定なんで一桁じゃ済まないだろうから、次からはローマ数字
じゃなく普通の数字で「代数的整数論３」などの様にお願いします。
6:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:38:12
ニートの事故感電死
7:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:39:32
>>6
8:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:42:27
>>5
類体論期待していまつ。
9:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:43:41
あーあ
10:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:45:49
>次からは
ﾊﾞｶが元気にﾅｯﾁﾏｯﾀﾈ
どこまで行く気だ
このお調子者
11:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:46:20
案外208ファンは多いとか
12:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:46:38
じゃがいもはどうした
13:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:48:34
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
プルコギブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
14:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:50:16
961 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/22(火) 15:01:51
>このスレを見たくなければ見なけりゃいいだけの話。
ｺﾉﾋﾄ
ｳｽﾗ
ﾃﾞｽﾈ
15:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:55:50
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
プルコギブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
プルコギブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
16:１３２人目の素数さん
05/11/22 17:14:12
大便的整数論
17:１３２人目の素数さん
05/11/22 17:54:32
便微分まで行きました
18:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:12:03
ほのぼの
19:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:14:05
5 ：20B：2005/09/12(月) 17:21:31
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
20:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:16:25
51 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/21(水) 19:55:21
ガロアスレでx^3+x+1の分解体で31Z以外は分岐しないことが即答できない程度の
人間が何をいきがってんだろ？
21:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:20:51
293 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/17(月) 16:03:51
>>286から自然数の素因数分解の一意性がすぐに出る(演習)。
うそつけ
22:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:22:08
311 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/17(月) 18:15:53
>>310
わからないからって
くやしまぎれ言うんじゃないよ
ま
おまいさんには無理だと思ってたよ
312 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/17(月) 18:17:21
>>310
教えて欲しかったらちゃんと謝れよ
教えてくん
23:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:24:23
406 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/19(水) 18:41:25
>>403
あのね
割り算を使っちゃいけないとは誰も言ってないよ
割り算をつかわなくてはいけないといっているのよ
必須アイテムは「わりざん」でジョルダンヘルダーじゃない
ジョルダンヘルダーだけで素因数分解の一意性がでるかのように
いってるといってるの
割り算が簡単でそれくらいだれでもわかるでしょというなら
その段階でおわってるわけ
24:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:25:38
448 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/20(木) 14:00:00
ま ともかくだ
問題点をつきつけられてわからぬバカは
うそつき以上にたちがわるい
いえばわかる程度の奴だとおもうから
うそつきで我慢してやったがな
君にはがっかりだ
25:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:26:38
459 ：208：2005/10/20(木) 19:44:37
>>447
>使うか使わないかもわかりもしないで
どっから、そういう結論になるんだよ。
俺は、使う使わないは問題が簡単かどうかに関係ないだろ
って言ったんだよ。
素因数分解は自然数の整除が関係してんだから割り算くらい使うだろ
現に >>441 で n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r) を使ってる。
で、使ったからどうだっていうの？
26:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:27:27
468 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/21(金) 13:29:21
>>459
わははははははっは
わははははははっは
これは大笑いだね
大恥さらしだね
こんなバカみたことないね
「割り算」の意味すら理解してないんだな
ここまでバカだとは信じられないね
もうあんまり嬉しがらせないでよね
笑い死にしたらどうすんだよ
ついでだけど>>461の証明もみっともないよ
もういいわ
喋っても無駄なバカの集まりだった
Ass の集まりだよ
27:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:28:21
494 ：208：2005/10/21(金) 19:46:27
n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
これは割り算だろ。
例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
28:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:29:49
496 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/21(金) 21:51:29
>>495
上の方の人が言ってる割り算ってのは多分剰余付きの割り算の事でしょ。
a=qb+rみたいな。
「有理整数環Zでは『割り算』が出来る、つまりZはEuclid整域である」
という事を本質的に使ってる、と言ってるんじゃないの?
『割り算』を本質的に用いなければ
素因数分解はおろかZ/nZの性質のほとんどは導けないかと。
例えばZ/nZがn個の元からなる事とか。
29:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:30:53
517 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/24(月) 13:59:59
>だとすると、剰余付きの割り算 a=qb+r は必ずしも必要ないだろう
ようやくここまできたか
俺がキチガイであっても
アタマのネジはゆるんでいない
ゆるんでるのはおまえらのほうだよ
よく反省して見ろ
もっともバカだから反省の概念はないんだろうけど
30:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:31:43
521 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/24(月) 14:37:14
>>496
が親切に助け船だしてくれたのに
無視する208ってホントに自信過剰で
それゆえにホントの真性バカだと証明されたね
ちょっと前までは
>例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
>これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
などと噴飯ものの恥の上塗りを繰り返しておきながら
>たぶん、奴には別証という概念がないんだろうな。
などと無反省にくりかえす哀れな奴だね
>(詳しく検討したわけではないが)。
といいながら相手をキチガイ扱いする
これが208の正体だよ
31:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:32:47
536 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/25(火) 13:54:16
>525
がいろいろ言ってくれたおかげで
208とそのとりまきのアホにも問題点がようやくわかったわけだ
そして結局208はJordan-Holderと書いてはみたが本質はわかっていないから
ここまで到達するのに教えて君をかましつづけて1週間ほどかかった
1週間かかることは208にとって簡単なことじゃない
簡単なことならただちにわかるはず
それなのに>529のように割り算じゃなくてむしろ引き算だとか
みぐるしいったらありゃしないね
他人のことをキチガイだとか非難する前に
自分の言ったことに責任もてよ
おまえはここに隔離されててしかるべきアホだったよ
32:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:34:31
773 ：208：2005/11/11(金) 16:32:28
>>756
>>727 の記号を使うと、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) だから、
(Λ^1)M = T^1(M)/(I ∩ T^1(M)) だが、定義より T^1(M) = M で
I ∩ M = 0 だから (Λ^1)M = M となる。
774 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 16:34:48
そうそう素直にならなくちゃ
775 ：208：2005/11/11(金) 16:38:25
なまイキ言うんじゃねえ
776 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 16:40:26
もっと素直にならなくちゃ
みんなからイヂメラれますよ
33:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:36:04
809 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 17:21:50
208がやけ糞になって焦土戦術に出たようです
812 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 17:24:18
焦土戦術は、防御側が効果的な反撃をできないと、ただの敗走だべ
34:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:40:55
830 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 19:46:20
この荒れようを見ると、ほんと、208って、数学板で嫌われていたんだな。
つくづくそう思う。
>>261のような信者も中にはいるが・・・
831 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 20:05:43
>>830
そうそう、あの時が208の絶頂期だったんだよね。今思うと。
数学科を出ていないこの板の普通の住人を侮蔑的に排除するような
言動が結果的に命取りになったかな。ブルバキ帝国を再興したい
なら、まず大義を掲げて一般の住民の支持を得ないとだめだね。
35:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:41:53
837 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 22:17:56
>>834
＞08が出没したのはここだけじゃないからね。
どこどこ。ほかにはどこ？
838 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 22:41:37
>>837
知ってる範囲で・・・
・オイラーすれで、198と名乗っていた。住人が温厚だったせいか208の独壇場。
・数学の本スレ（すでに1000超えてdat落ち）でブルバキ関係の話題で現れて
荒れたｗ
・線形代数スレで、発言を well known and trivial と指摘されて切れる。
・圏論スレの594以降を見てみん。すさまじく荒れたｗ
・ご存じガロアスレ。このスレの773以降208の没落始まる。
その他、208の陰を感じさせる発言多数。やりとりをした香具師の
ほとんどが気を悪くしている。数学板きっての嫌われ者。
36:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:44:21
940 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/21(月) 18:18:48
で、お前等、俺の講義を聞きたくないの？
941 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/21(月) 18:20:26
なんちゅう冗談いうてんねんおまえ
おまえ誰？
942 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/21(月) 18:21:41
土足であがりこんできて、
オレのウンコが欲しくないの？
って言うヤクザはまだ聞いたことが無いな
37:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:45:06
946 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/22(火) 09:36:24
>立ててみればいいじゃん
俺は立てないよ。
皆の意見を聞いてると立てて欲しくないようだからな。
それに逆らってまで立てようとは思わない。
38:１３２人目の素数さん
05/11/22 18:45:58
でも立ててもらったら嬉しくて仕方がない
39:１３２人目の素数さん
05/11/22 19:51:55
こんなスレやめちまえ
40:１３２人目の素数さん
05/11/22 20:36:13
algebraic number theory > analytical number theory > elementary number theory
41:１３２人目の素数さん
05/11/22 20:49:42
>>40
Who are you ? Maybe not my wife...
42:１３２人目の素数さん
05/11/22 21:01:53
fundamental number theory
43:１３２人目の素数さん
05/11/22 21:07:15
Are you Japanese ?
44:１３２人目の素数さん
05/11/22 21:22:46
continental number theory
45:１３２人目の素数さん
05/11/23 11:09:43
いや、「208のファンが多い」んじゃなくて、ただ単に208に
絡んでる奴らが低能すぎるだけだろ。
新スレまで来て、まだ割り算ネタ引っ張るってのが、まったく
理解不能なんだけど。
そもそも、（群論の）準同型定理なり同型定理なりってのは、
剰余群（剰余類）の基礎的な理論が土台にある訳だろ？ だか
ら、当然「"Gの位数" / "Nの位数" = "G:Nの位数"」なんていう
定理は、（有限群の場合には）既知もいいとこなんじゃないの？
46:１３２人目の素数さん
05/11/23 11:12:06
この定理、名前なんてったっけ？ ライプニッツ？ ラグラ
ンジュ？ なんかラ行で始まったと思うんだけどね(^^;
まあなんにせよ、これって明らかに「割り切れる」っていう
ステートメントだろ。割り算の存在は、明らかに前提だろ。
だから、割り算抜きでジョルダンヘルダーそのものが議論
できるはずもないだろ。
208に絡んでる馬鹿は、ちょっと見苦しいです・・・。
47:45=46
05/11/23 11:21:03
いや、しつこく絡んでるお馬鹿ちゃんは、オイラの言ってること
理解してくれるだろうか？ 「理解してくれないんじゃないか」
という懸念が・・・。
ちょっと頭冷やして、ジョルダンヘルダーの定理の証明、もっぺ
ん読み直してみ？ ちなみにオイラは、一応読み直してみました
です（笑
48:１３２人目の素数さん
05/11/23 11:44:33
ななしでもプンプン匂いマス。
49:45=46
05/11/23 12:07:11
割り算を使わないのならば。例えば、
「対称群S5の位数は120、交代群A5の位数は60。よってS5:A5の
位数は2なので、A5はS5の正規部分群」
なーんつう議論も、できないってことになるべ。
そんな教科書、見たことねーけどなぁ。剰余群の理論も組成列が
どうちゃらも類方程式がうんちゃらもシローの定理がかんちゃらも、
どれもみんな四則演算を前提としての話なんじゃネーノ？？
50:１３２人目の素数さん
05/11/23 14:36:50
>>Are you Japanese ?
I am a pen
Oh You are takeo!!!
51:208
05/11/24 09:59:18
ここで今まで述べたことの整理をしよう。
A を可換環、M を A-加群とする。
ΛM は余代数であり余結合的(>>870)で余単位を持つ(>>871)
ので、Homgr(ΛM, A) は結合的で単位元をもつ代数となる
(>>867 と >>869)。
しかも、歪可換(>>885)で交代的なので、
A-代数としての標準射 θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
が存在する(>>888)。
θは具体的には次の公式で与えられる(>>891, >>892)。
θ(f_1Λ...Λf_n)(x_1Λ...Λx_n) = (-1)^(n(n-1))/2 det(f_i(x_j))
M が A 上の有限生成の自由加群のとき(これが応用では多い)
θは同型となる(>>892)。
よって、(-1)^(n(n-1))/2 θ(f)(x) を (x, f) で表すと、
(x, f) は (Λ^p)M と Λ^p(Hom(M, A)) の非退化の双一次形式
(Λ^p)M×Λ^p(Hom(M, A)) → A となる。
52:208
05/11/24 10:06:15
ΛM は、Homgr(ΛM, A)-右加群となる(>>914)。
よって θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op により、
Λ(Hom(M, A))-左加群となる
>>915 と >>892 より
f_1, ..., f_p ∈ Hom(M, A)
x_1, ..., x_(p+q) ∈ M のとき、
(f_1Λ...Λf_p)→(x_1Λ...Λx_(p+q)) =
(-1)^(p(p-1))/2 Σε(σ)det(f_i(x_σ(j)))(x_σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q))
となる。
なお、Bourbakiの代数３章の英語版では、この式がミスプリとなって
いる。因みに英語版はミスプリが多い。
53:208
05/11/24 10:28:29
A を可換環、M を A-加群とする。
M の双対加群 Hom(M, A) を M^* と書く。
標準的な射 ρ:M → M^(**) が存在する。
ここで、M^(**) は M^* の双対を表す。
x ∈ M, f ∈ M^* のとき、
ρ(x)(f) = f(x) である。
上(>>52) より、Λ(M^*) は、Λ(M^(**))-左加群となるが、
ρ:M → M^(**) により、ΛM → Λ(M^(**)) が誘導されるので、
Λ(M^*) は、ΛM-左加群となる。
x_1, ..., x_p ∈ M
f_1, ..., f_(p+q) ∈ M^* のとき、
(x_1Λ...Λx_p)→(f_1Λ...Λf_(p+q)) =
(-1)^(p(p-1))/2 Σε(σ)det(f_σ(j)(x_(i)))(f_σ(p+1)Λ...Λf_σ(p+q))
となる。
54:208
05/11/24 10:43:02
一方、前スレの >>908 より Homgr(ΛM, A)は、ΛM-右加群となる。
つまり、
x_1, ..., x_p ∈ M
f ∈ Hom((Λ^(p+q))M, A) のとき、
(f←(x_1Λ...Λx_p))(y_1Λ...Λy_q)
= f(x_1Λ...Λx_pΛy_1Λ...Λy_q)
である。
よって、Homgr(ΛM, A)^op は ΛM-左加群となる。
即ち、
((x_1Λ...Λx_p)→f)(y_1Λ...Λy_q)
= f(y_1Λ...Λy_qΛx_1Λ...Λx_p)
である。
55:208
05/11/24 11:10:15
補題
A を可換環、M を A-加群とする。
本スレの>>53 より Λ(M^*) は、ΛM-左加群となる。
x ∈ M, f ∈ (Λ^p)(M^*), g ∈ (Λ^q)(M^*) のとき、
x→(fΛg) = (x→f)Λg + (-1)^p fΛ(x→g)
となる。
証明
x ∈ M, f_1, ..., f_p ∈ M^* のとき、本スレの>>53 より
x→(f_1Λ...Λf_p) =
Σ(-1)^(i+1) f_i(x)(f_1Λ..[f_i]..Λf_p)
となる。ここで、[f_i] は f_i を除いたことを示す。
これから、前スレの>>916と同様。
証明終
56:208
05/11/24 11:17:29
補題
A を可換環、M を A-加群とする。
本スレの>>54 より Homgr(ΛM, A)^op は、ΛM-左加群となる。
x ∈ M, f ∈ Hom((Λ^p)M, A), g ∈ Hom((Λ^q)M, A) のとき、
x→(fg) = (x→f)g + (-1)^p f(x→g)
となる。
証明
上の>>55と同様。
57:208
05/11/24 12:17:16
命題
本スレの>>53, >>54より、A-代数としての標準射
θ: Λ(M^*) → Homgr(ΛM, A)^op
において、両方ともΛM-左加群であるが、
θは、ΛM-左加群としての射にもなっている。
つまり、x ∈ ΛM, f ∈ Λ(M^*) のとき、
θ(x→f) = x→θ(f) となる。
証明
ΛM は A-代数として M から生成されるから、
これを示すには、x ∈ M と仮定してよい。
f, g ∈ Λ(M^*) のとき、本スレの >>55 より
θ(x→(fΛg)) = θ(x→f)θ(g) + (-1)^p θ(f)θ(x→g)
ここで、θ(x→f) を d(f) とおくと、微分の公式に類似の、
d(fΛg) = d(f)θ(g) + (-1)^p θ(f)d(g)
が得られる。
同様に本スレの >>56 より
x→θ(fΛg) = x→θ(f)θ(g)
= (x→θ(f))θ(g) + (-1)^p θ(f)(x→θ(g))
ここで、 x→θ(f) を d'(f) とおくと、やはり、微分の公式に類似の、
d'(fΛg) = d'(f)θ(g) + (-1)^p θ(f)d'(g)
が得られる。
d - d' も同様の公式を満たす。
よって、容易に分かるように Ker(d - d') は Λ(M^*) の
A-部分代数となる。
f ∈ M のときは、x→f と x→θ(f) はともに f(x) に等しいから
Ker(d - d') は M^* を含む。
よって、 Ker(d - d') = Λ(M^*) であり、d = d' である。
証明終
58:１３２人目の素数さん
05/11/24 14:32:06
なにこのスレ？
59:１３２人目の素数さん
05/11/24 14:40:16
>>58
前スレを読め
60:１３２人目の素数さん
05/11/24 17:08:46
>>49
は208と同等のバカ
恥ずかしいから書き込むな
61:１３２人目の素数さん
05/11/24 17:34:27
>>49
みたいな奴が208を尊敬する。
62:１３２人目の素数さん
05/11/24 17:40:11
>>19
＞おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
誰かこのオイラースレの怖い部分をお教えくだはい。
どう怖いのか、怖いもの見たさというやつで。
63:１３２人目の素数さん
05/11/24 18:30:04
>>62
まだあるから読んでみればいいじゃん。
オイラースレに降臨したときの、素人衆相手のお言葉
670 ：198：2005/08/08(月) 14:50:28
>>666
お前よりは１００倍以上知ってるよ。
64:１３２人目の素数さん
05/11/24 18:55:50
>>63
このスレのことでしたか。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
65:１３２人目の素数さん
05/11/24 22:08:33
・・・尊敬？ なぜ？（苦笑
208って、写経厨なんでしょ？ まともにブルバキ読んだこと
ないから、自分じゃよう判断せんが、でも確かにそんな雰囲気
はあるわいな。だから、別に尊敬なんかしないよ。
絡むなら、きっともっと別のポイントが多々あるだろうに、よ
りによって「割り算」ってのが解せないだけっす。他にいくら
でも絡みようはあるだろうに、割り厨の低能ぶりはあまりにも
顕著だからナー・・・。
66:１３２人目の素数さん
05/11/24 22:15:31
ちなみに、「恥ずかしい」ってのは、それこそ>>60みたいな
奴のことだと思うよ。
どこぞのスレで誰かが言ってたじゃん。「『匿名なら何を書い
ても恥ずかしくない』という態度が恥ずかしい(w」って。これ、
名言だと思うけどね。
まあ何はともあれ、>>60の研究者生活が充実したものである
ことを祈るばかりですよ（失笑
67:１３２人目の素数さん
05/11/24 22:18:41
頭（というか性格）が少しばかりおかしいねじけ者に
頭の螺子が緩んださらなる精神異常者が挑む、って感じだよねｗ
68:１３２人目の素数さん
05/11/25 10:30:30
アフォどもに前スレを終わらされたな。奴らは数学に興味ないんだろうな。
少なくとも前スレに書いてあることに。アフォにあれを理解しろというのも
無理だが。
奴らの興味っていうのは、単に俺を挑発して俺にバカにされたいというだけ。
69:１３２人目の素数さん
05/11/25 10:54:42
>>68
なんか勘違いしているなｗ 2chは亜ふぉの方が圧倒的に多いよ。
君も亜ふぉをたたくのが楽しいから、ここに来てるんだろ？
結局、自分でホームページ作って、ここで釣れた信者と会員制で
運営すればいいのでは？
70:１３２人目の素数さん
05/11/25 11:05:15
勉強も大切だが、心も磨けよ
71:１３２人目の素数さん
05/11/25 11:06:35
勘違いしてないよｗ
そのとうり。
前にも書いたとうり、ホームページなんて面倒だし、それこそ
アフォを叩く楽しみが少なくなる。
72:１３２人目の素数さん
05/11/25 11:07:12
>>70
やだ
73:１３２人目の素数さん
05/11/25 11:17:17
>>71
おやおや、亜ふぉの力を見くびってぼろぼろになるまで
叩かれたのは誰だったかな？
ホームページは東○図書にでも作ってもらえば？
未だに売れない在庫があったりしてｗ
74:208
05/11/25 11:18:51
外積代数のここらあたりは代数的整数論に直接関係ないけど
ついでなんでやってる。このあたりは、あまり知られてないことだし。
確かにBourbakiのコピ－なんだけど、なんせこのあたりBourbakiの
独壇場なんで、素直にまとめている。
75:208
05/11/25 11:40:37
A を可換環、M を階数 n の A-自由加群とする。
e_1, ... , e_n をその基底とする。
I を集合 {1, ... , n} とし、J ⊂ I で、
J = {j_1, ... , j_r}, j_1 < ... < j_r のとき
e_J = e_(j_1)Λ...Λe_(j_r) とおく。
J が空集合のときは e_J = 1 とする。
J を I の部分集合全体に動かしたとき、列 (e_J) は
ΛM の基底となる(前スレの753, 855)。
J, K を I の部分集合としたとき、
前スレの744より、
J ∩ K = φ なら
e_JΛe_K = ε(J, K)e_(J∪K)
となる。ここで、ε(J, K) = (-1)^ν であり、
ν は j > k となる (j, k) ∈ J × K の個数である。
J ∩ K ≠ φ なら
e_JΛe_K = 0 である。
76:208
05/11/25 12:09:42
>>75 の続き：
M^* を M の双対加群、つまり Hom(M, A) とし、
f_1, ... , f_n を e_1, ... , e_n の双対基底とする。
J ⊂ I で J = {j_1, ... , j_r}, j_1 < ... < j_r のとき
f_J = f_(j_1)Λ...Λf_(j_r) とおく。
本スレの>>53よりΛ(M^*)は、ΛM-左加群となる。
A-加群としての射 φ: ΛM → Λ(M^*) を
φ(x) = x→f_I により定義する。
φ(xΛy) = (xΛy)→f_I = x→(y→f_I) = x→φ(y)
であるから、φは (ΛM)-加群としての射でもある。
φの(Λ^p)M への制限をφ_p と書く。
φ_p: (Λ^p)M → (Λ^p)(M^*) である。
>>53 より
φ_p(e_J) = e_J→f_I
= (-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2) ε(J, I-J) f_(I-J)
よって、φ_p: (Λ^p)M → (Λ^(n-p))(M^*) は同型である。
77:１３２人目の素数さん
05/11/25 12:18:38
>>73
> 未だに売れない在庫があったりしてｗ
最近は在庫というものはほとんど持たなくなっている。
在庫を持っていると倉庫の経費がかかるし課税されるから。
売れない本はすぐに裁断し廃棄される。だからすぐに
市場から消える。ブルバキの原論もとっくに在庫切れ。
78:１３２人目の素数さん
05/11/25 12:40:37
>おやおや、亜ふぉの力を見くびってぼろぼろになるまで
>叩かれたのは誰だったかな？
寝ぼけるなよ。夢と現実をゴッチャにするんじゃない。
お前の夢(脳内)のなかで俺を叩いたって俺が知るわけ無い
79:１３２人目の素数さん
05/11/25 14:37:29
>>78
> 寝ぼけるなよ。夢と現実をゴッチャにするんじゃない。
>お前の夢(脳内)のなかで俺を叩いたって俺が知るわけ無い
すさまじい妄想癖。前スレその他であれだけ叩かれてまだこりないらしい。
80:１３２人目の素数さん
05/11/25 14:47:42
お前等が叩いたつもりになってるだけだろ。
お前等のスカスカの脳ミソで俺を叩こうとは、呆れる。
割り算がどうだとかこうだとかｗ
81:１３２人目の素数さん
05/11/25 15:00:00
70 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 11:05:15
勉強も大切だが、心も磨けよ
82:１３２人目の素数さん
05/11/25 15:11:40
>勉強も大切だが、心も磨けよ
以下は負け犬の常套句
・勉強も大切だが、
・仕事も大切だが、
・金も大切だが、
・顔がいくら良くっても...
83:１３２人目の素数さん
05/11/25 15:36:58
>>80
お前は208でいいのか？ 名前にちゃんと書けよな。
それとも、208と名乗ったときいじめられたトラウマか。
84:１３２人目の素数さん
05/11/25 15:47:13
>それとも、208と名乗ったときいじめられたトラウマか。
本気でそう思ってるとしたら笑える。
基本的に208は、数学用。
無駄話には使わない(例外もある、思いっきり叩くときとかｗ)。
検索のときに不便だからな。
85:１３２人目の素数さん
05/11/25 15:57:49
>>84
> 本気でそう思ってるとしたら笑える。
空しい強がり
86:１３２人目の素数さん
05/11/25 16:02:22
81 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 15:00:00
70 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 11:05:15
勉強も大切だが、心も磨けよ
87:208
05/11/25 16:20:50
>>76の続き
本スレの>>52よりΛM は、Λ(M^*)-左加群となる。
A-加群としての射 φ': Λ(M^*) → ΛM を
φ'(f) = f→e_I により定義する。
φ'(fΛg) = (fΛg)→e_I = f→(g→e_I) = f→φ'(g)
であるから、φ'は Λ(M^*)-加群としての射でもある。
φ'の(Λ^p)(M^*) への制限をφ'_p と書く。
φ'_p: (Λ^p)(M^*) → (Λ^(n-p))M である。
>>53 より
φ'_p(f_J) = f_J→e_I
= (-1)^(p(p-1)/2) ε(J, I-J) e_(I-J)
よって、φ'_p: (Λ^p)(M^*) → (Λ^(n-p))M は A-加群としての
同型である。
88:208
05/11/25 16:43:42
命題
>>75 の仮定と記号を踏襲する。
J ∩ K = φ なら
ε(J, K)ε(K, J) = (-1)^(pq) となる。
ここで、p, q はそれぞれ、J, K の元の個数。
証明
>>75 より、
e_JΛe_K = ε(J, K)e_(J∪K)
e_KΛe_J = ε(K, J)e_(J∪K)
である。
一方、前スレの744より e_JΛe_K = (-1)^(pq) (e_KΛe_J) である。
よって、
ε(J, K)e_(J∪K)
= e_JΛe_K
= (-1)^(pq) (e_KΛe_J)
= (-1)^(pq) ε(K, J)e_(J∪K)
よって、この等式の両端の一致より、
ε(J, K) = (-1)^(pq) ε(K, J) となる。
この両辺に ε(J, K) を掛けて
ε(J, K)^2 = (-1)^(pq) ε(J, K)ε(K, J)
ε(J, K)^2 = 1 だから、
(-1)^(pq) ε(J, K)ε(K, J) = 1 となる。
この等式の両辺に、(-1)^(pq) を掛ければ
ε(J, K)ε(K, J) = (-1)^(pq) が出る。
証明終
89:１３２人目の素数さん
05/11/26 22:40:07
代数的整数論というか可換環論だよね
90:１３２人目の素数さん
05/11/28 09:30:34
>>89
今は準備段階に過ぎない。それもごく初歩的な準備。
当分準備が続く。
高木の本のように準備をそれ程必要としない古典的なやり方も出来る。
ただ、このスレはもっと現代的な手法を選ぶことにしたわけ。
91:208
05/11/28 09:55:42
>>76
>A-加群としての射 φ: ΛM → Λ(M^*) を
>φ(x) = x→f_I により定義する。
以下のように訂正する。
A-加群としての射 φ: ΛM → Λ(M^*) を
φ(x) = (-1)^(n(n-1)/2 (x→f_I) により定義する。
92:208
05/11/28 10:20:43
>>87の続き
>>76 より
φ_p(e_J) = e_J→f_I
= (-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2) ε(J, I-J) f_(I-J)
これと >>87 より
φ'_(n-p)φ_p(e_J)
= (-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2) ε(J, I-J) φ'_(n-p)(f_(I-J))
= (-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2 +(n-p)(n-p-1)/2) ε(J, I-J)ε(I-J, J) e_J
= (-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2 +(n-p)(n-p-1)/2 + p(n-p)) e_J
ここで、>>88 より
ε(J, I-J)ε(I-J, J) = (-1)^(p(n-p)) を使った。
一方、単純計算により
(-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2 +(n-p)(n-p-1)/2 + p(n-p)) = (-1)^(n(n-1))
となる。n(n-1)偶数なので、結局
φ'_pφ_p(e_J) = e_J
となる。
同様に
φ_(n-p)φ'_p(f_J) = f_J
となる。
よって、φ と φ' は互いに逆写像である。
93:208
05/11/28 10:57:28
K を可換体、X を K 上の n 次元のベクトル空間とする。
X の１次元の部分空間の全体は射影空間となる。
では、X の p 次元の部分空間 E の全体はどうか？
これが Grassmann または Plucker の問題意識だったのではないか。
E の基底 x_1, .., x_p に対して x_1Λ...Λx_p ∈ (Λ^p)X
を考える。E の別の基底 y_1, .., y_p に対する y_1Λ...Λy_p は、
x_1Λ...Λx_p と定数倍の違いしかない。よって、これ等は (Λ^p)X
の１次元の部分空間を定める。
よって、集合としての写像 φ: G(X, p) → G((Λ^p)X, 1) が得られる。
ここで、G(X, p) は X の p 次元の部分空間全体の集合である。
G((Λ^p)X, 1) は射影空間 P((Λ^p)X) に他ならない。
容易にわかるようにφは単射である。
では、φ(E) は、P((Λ^p)X) の元としてどのように特徴付けられる
だろうか？
この問題は、次のように言い換えられる。
x を (Λ^p)X の元としたとき、x = x_1Λ...Λx_p と書けるための
条件は何か？
ここで、x_1, ..., x_p は E の元である。
一般に、(Λ^p)X の元を p-べクトルと呼び、
x ≠ 0 で、x = x_1Λ...Λx_p と書けるとき、x を 純 p-べクトルと呼ぶ。
X の基底を e_1, ..., e_n とすれば、x = Σa_J e_J と書ける。
ここで、J は 集合 I = {1, ... , n} の濃度 p の部分集合を動く。
よって、上の問題は、x が 純 p-べクトルであるために (a_J) が満たす
条件は何か？
と言い換えてもいい。
94:208
05/11/28 11:02:00
>>93
>この問題は、次のように言い換えられる。
>x を (Λ^p)X の元としたとき、x = x_1Λ...Λx_p と書けるための
>条件は何か？
>ここで、x_1, ..., x_p は E の元である。
ここで、x_1, ..., x_p は X の元である。
95:208
05/11/28 11:14:12
>>93 において、(Λ^p)E を、(Λ^p)X の部分空間とみなしている。
これは、次の命題から正当化できる。
命題
K を可換体、E, X を K 上の(有限次とは限らない)加群とする。
φ: E → X を K-加群としての射で単射とする。
このとき、(Λ^p)φ: (Λ^p)E → (Λ^p)X も単射である。
証明
完全列 0 → E → X → X/E → 0 は分解する(前スレの648参照)。
よって、
0 → (Λ^p)E → (Λ^p)X → (Λ^p)(X/E) → 0 も分解する完全列となる。
証明終
96:208
05/11/28 12:17:21
>>93 の問題の解答の１つは、以下のようになる。
K を可換体、X を K 上の n 次元のベクトル空間とする。
x ∈ (Λ^p)X が 純 p-ベクトル であるためには、
x ≠ 0 で、
(f→x)Λx = 0 が任意の f ∈ (Λ^(p-1))(X^*) で成立つことが
必要十分である。
この証明を今してもいいけど、このスレと余り関係ないし面倒なんで
(それ程でもないが)単因子論に進むことにする。
興味のある人はBourbakiを読むなり、自分で考えるなりして下さい。
97:１３２人目の素数さん
05/11/28 12:29:26
「ジョルダン標準形と単因子論」という本がありましたが
どうなんでしょうか？
98:208
05/11/28 12:40:09
次の定理を証明することを当面の目標とする。
定理
A を単項イデアル整域(前スレの644のあたりを参照)とする。
X を A の元を成分とする (m, n)型の 行列とする。
可逆な正方行列 U と V が存在して、UXV が対角行列
Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] となる。
ここで、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) である。
99:１３２人目の素数さん
05/11/28 12:42:26
>>97
俺(208)に聞いてるのなら、読んでない。
100:208
05/11/28 13:01:21
ここで記法を導入する(図を書きにくいので)。
対角行列は、[a_1, ..., a_n] などと表す。
(a, b | c, d) は １行目が (a, b) ２行目が (c, d) の(2, 2)-型の
行列を表す。３次、その他の行列も同様。
E_n で n 次の単位行列を表す。
正方行列 C と D の直和 を C (+) D で表す。
ここで、m 次の C と n次の D の直和とは、対角線上の左上に C、
対角線上の右下に D を配置し、その他の項目を 0 とした、
m+n 次の正方行列である。
101:１３２人目の素数さん
05/11/28 13:07:17
>>99
失礼しました。
102:208
05/11/28 13:12:21
A の元を成分とする (m, n)型の行列 X に対して
以下の操作を考える
1) ２つの行を入れ替える
2) ある行の定数倍を別の行に加える
3) ２つの列を入れ替える
4) ある列の定数倍を別の列に加える
5) X の各項に A のある単数(可逆元のこと)を掛ける
これ等は、X に適当な可逆行列を右または左から掛けることに
より実現されることは容易にわかる。
103:208
05/11/28 13:37:06
補題
A を単項イデアル整域とする。
a_1, ..., a_n を A の元で、それらで生成されるイデアル
(a_1, ..., a_n) が A と一致するとする。
このとき、a_1, ..., a_n を行または列とする可逆行列が存在する。
証明
L = A^n を A-自由加群と見なす。
L の標準基底を e_1, .. e_n とする。
仮定より、Σ(a_i)(b_i) = 1 となる元の列 b_1, ..., b_n が
存在する。
A-加群としての射 f: L → A を、
f(x_1, ... , x_n) = Σ(x_i)(b_i) で定義する。
a = (a_1, ... , a_n) とすれば f(a) = 1 となる。
s: L → A を s(1) = a で定義すれば、fs = 1 である。
よって、前スレの648より
0 → Ker(f) → L → A → 0 は分解する。
つまり、L = Aa + Ker(f) (直和) となる。
前スレの650より Ker(f) は自由だから、
a は L の基底の一部になる。
標準基底 e_1, .. e_n をこの基底に変換する行列が求めるものである。
証明終
104:208
05/11/28 13:43:51
>>103 から (a, b) = (1) のとき、2次の行列 (a, b | c, d) が
可逆となるような c, d が存在することがわかるが、これは
次のように直接にもわかる。
ax + by = 1 とすれば (a, b | -y, x) の行列式は 1 だから
(a, b | -y, x) は可逆である。
105:１３２人目の素数さん
05/11/28 14:36:31
ﾄﾃﾓｱﾀﾏﾜﾙｲです
106:208
05/11/28 15:45:32
A がユークリッド整域、例えば有理整数環なら、>>102 の操作で、
行列 X を >>98 のような対角行列に変形出来る。
基本的な方法は X の要素のユークリッド整域としての次数の最小を
基本変形により下げていく。このとき、割り算の公式 b = aq + r
deg(r) < deg(a) が本質的である。
ところが、A が一般の単項イデアル整域ではこの公式は使えない。
ところが、以下のアイデアによって、この困難を回避できる。
A の元 a ≠ 0 を素元に分解したときに現れる素元の重複度を込めた個数
を s(a) と書く。例えば p, q を相異なる素元としたとき、
s(qp^2) = 3 である。
このとき、
補題
A の非零元 a, b があり、b は a で割れないとする。
d を a と b の最大公約数とすると、s(d) < s(a) となる。
証明は明らかだろう。
この補題がユークリッド整域の割り算の公式
b = aq + r, deg(r) < deg(a)
の代わりになるのである。
107:１３２人目の素数さん
05/11/28 16:14:52
>>105
荒らしは黙ってろ！
ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！
お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！
落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
108:208
05/11/28 16:44:46
補題
A を単項イデアル整域とする。
X = (x_(i,j))を A の元を成分とする (m, n)型の 行列とする。
a = x_(1,1), b = x_(1,2) とし、a ≠ 0, b ≠ 0 とする。
a, b の最大公約元を d とする。
可逆な正方行列 U が存在して、XU の (1,1)-要素が d となる
ように出来る。
証明
a = da'
b = db'
とおく。
a' と b' の最大公約元は 1 だから、a'x + b'y = 1 となる x, y が
存在する。
W = (x, -b' | y, a')
とすれば、det(W) = 1 であるから W は可逆である(>>104 参照)。
W と E_(n-2) の直和行列(>>100) W (x) E_(n-2) を U とすればよい。
ここで、E_(n-2) は (n-2)次の単位行列。
証明終
109:208
05/11/28 16:47:29
>>108
>W と E_(n-2) の直和行列(>>100) W (x) E_(n-2) を U とすればよい。
W と E_(n-2) の直和行列(>>100) W (+) E_(n-2) を U とすればよい。
110:１３２人目の素数さん
05/11/28 17:44:24
>>107
Who are you?
111:１３２人目の素数さん
05/11/28 17:48:24
674 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/25(金) 15:01:08
勉強も大切だが、心も磨けよ
675 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/25(金) 15:27:05
うすらが
112:１３２人目の素数さん
05/11/28 17:50:47
65 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/24(木) 22:08:33
・・・尊敬？ なぜ？（苦笑
208って、写経厨なんでしょ？ まともにブルバキ読んだこと
ないから、自分じゃよう判断せんが、でも確かにそんな雰囲気
はあるわいな。だから、別に尊敬なんかしないよ。
絡むなら、きっともっと別のポイントが多々あるだろうに、よ
りによって「割り算」ってのが解せないだけっす。他にいくら
でも絡みようはあるだろうに、割り厨の低能ぶりはあまりにも
顕著だからナー・・・。
66 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/24(木) 22:15:31
ちなみに、「恥ずかしい」ってのは、それこそ>>60みたいな
奴のことだと思うよ。
どこぞのスレで誰かが言ってたじゃん。「『匿名なら何を書い
ても恥ずかしくない』という態度が恥ずかしい(w」って。これ、
名言だと思うけどね。
まあ何はともあれ、>>60の研究者生活が充実したものである
ことを祈るばかりですよ（失笑
67 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/24(木) 22:18:41
頭（というか性格）が少しばかりおかしいねじけ者に
頭の螺子が緩んださらなる精神異常者が挑む、って感じだよねｗ
105 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/28(月) 14:36:31
ﾄﾃﾓｱﾀﾏﾜﾙｲです
113:１３２人目の素数さん
05/11/28 17:59:33
そもそも、（群論の）準同型定理なり同型定理なりってのは、
剰余群（剰余類）の基礎的な理論が土台にある訳だろ？ だか
ら、当然「"Gの位数" / "Nの位数" = "G:Nの位数"」なんていう
定理は、（有限群の場合には）既知もいいとこなんじゃないの？
46 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/23(水) 11:12:06
この定理、名前なんてったっけ？ ライプニッツ？ ラグラ
ンジュ？ なんかラ行で始まったと思うんだけどね(^^;
まあなんにせよ、これって明らかに「割り切れる」っていう
ステートメントだろ。割り算の存在は、明らかに前提だろ。
だから、割り算抜きでジョルダンヘルダーそのものが議論
できるはずもないだろ。
208に絡んでる馬鹿は、ちょっと見苦しいです・・・。
いまだにこんなことしかかけないのは
ほんとに見苦しいです
論点をまるっきり理解してないし
ライプニッツとかバカ丸出し
114:１３２人目の素数さん
05/11/28 19:02:00
ところで何故今ブルバキなの？ 今時はやらないんでしょ？
115:208
05/11/29 10:37:22
>>102 の操作 1), 2), 3), 4) と
2次の可逆行列 U と 単位行列 E の直和行列 U (+) E を
X の 左または右に掛ける操作を基本操作と呼ぼう。
基本操作を繰り返すことを X の変形と呼ぶことにする。
補題
A を単項イデアル整域とする。
X = (x_(i,j)) を A の元を成分とする (m, n)型の行列で零行列で
ないとする。 >>106 で定義した s(x_(i,j)) の最小値を s(X) と書く。
s(X) = s(x_(i,j)) となる要素 x_(i,j) をとる。
X の要素で x_(i,j) で割れないものがあると、X を基本操作で変形して
s(Y) < s(X) に出来る。
証明
X の行または列の交換を繰り返して s(x_(1,1)) = s(X)
と仮定してよい。
X の１行目に x_(1,1) で割れないものがあると、
>>106 と >>108 より X を Y に変形して、
s(Y) < s(X) と出来る。同様に、X の１列目にx_(1,1) で割れない
ものがあると、X を Y' に変形して、s(Y') < s(X) と出来る。
よって、X の１行目と１列目の要素がすべて x_(1,1) で割れる
ように変形出来る。>>102 の操作 2) と 4) を使えば、
１行目と１列目の要素が x_(1,1)を除いてすべて 0 に変形出来る。
よって初めから X はこの形であると仮定してよい。
X に x_(1,1) で割れない要素 x_(i,j) があれば、i 行目を 1 行目
に加えて x_(i,j) を 1 行目 の要素に出来る。i 行目の先頭は 0
だから、x_(1,1) は変化しない。よって、X を変形して Y とし、
s(Y) < s(X) に出来る。
証明終
116:208
05/11/29 10:40:41
>>102 の 5) は不要だった。別にあってもいいが。
117:208
05/11/29 10:48:46
>>98 の定理を再度述べる。
定理
A を単項イデアル整域とする。
X を A の元を成分とする (m, n)型の 行列とする。
可逆な正方行列 U と V が存在して、UXV が対角行列
Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] となる(0 は無い可能性もある)。
ここで、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) である。
証明
>>115 と min(m, n) に関する帰納法を使えばよい。
118:１３２人目の素数さん
05/11/29 12:01:28
>>114
温故知新
119:208
05/11/29 13:10:27
前にも書いたけど>>117 の証明方法はあまり知られていない
(A がユークリッド整域ならあれに似た方法は良く知られている)。
普通は、単項イデアル整域上の有限生成自由加群の部分加群の
基底に関する定理(後で述べる)を構成的でない方法で証明して、
その系として得る。
一般の単項イデアル整域では２元の最大公約元を求めるアルゴリズム
があるとは限らないから、あの証明も構成的とはいえない。
しかし、ユークリッド整域なら最大公約元公約元を求める
アルゴリズムがあるし(即ちユークリッドの互除法)、
例えば、２次の代数体の整数環でその体の類数が１ならそれが
ユークリッド整域でなくても最大公約元を求めるアルゴリズムはある。
何故なら２次体ではイデアルの素イデアル分解を求めるアルゴリズムが
あるから(高木の初等整数論)、類数が１なら素元分解のアルゴリズムが
あることになる。素元分解出来れば、当然、最大公約元公約元も
求められる。この場合、あの証明は行列の(あの定理のような)対角化の
アルゴリズムを与えていることになる。
120:１３２人目の素数さん
05/11/29 14:13:06
>>118
>>107
> 荒らしは黙ってろ！
> ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！
> お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！
> 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
121:１３２人目の素数さん
05/11/29 14:17:24
予備校の仕事大変そうだな
122:１３２人目の素数さん
05/11/29 18:11:31
80 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/25(金) 14:47:42
お前等が叩いたつもりになってるだけだろ。
お前等のスカスカの脳ミソで俺を叩こうとは、呆れる。
割り算がどうだとかこうだとかｗ
ﾐｼﾞﾒﾃﾞｽﾈ
123:１３２人目の素数さん
05/11/29 18:46:14
ﾀﾀｶﾚﾃ
ﾀﾀｶﾚﾃ
ﾎﾞﾛﾎﾞﾛﾆﾅｯﾃﾓ
ｷｶﾞﾂｶﾅｲ
ｽｶｽｶﾉ脳
124:１３２人目の素数さん
05/11/29 18:47:44
割り算は208のﾄﾗｳﾏにﾅﾘﾏｼﾀﾈ
125:１３２人目の素数さん
05/11/29 22:20:19
>>122->>124
> 荒らしは黙ってろ！
> ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！
> お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！
> 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
126:208
05/11/30 09:30:03
>>115
>よって、X の１行目と１列目の要素がすべて x_(1,1) で割れる
>ように変形出来る。>>102 の操作 2) と 4) を使えば、
>１行目と１列目の要素が x_(1,1)を除いてすべて 0 に変形出来る。
>よって初めから X はこの形であると仮定してよい。
念のために補足すると、ここで、暗黙に以下の自明な事実を使っている。
X に x_(1,1) で割れない要素 x_(i,j) があれば、c を A の任意の元
としたとき、x_(i,j) + c x_(1,1) も x_(1,1) で割れない。
127:208
05/11/30 10:31:26
>>117 の系として
命題
A を単項イデアル整域とする。
L を階数 m の A-自由加群、M をその 0 でない部分加群とする。
L の基底 f_1, ..., f_m と M の生成元 y_1, ..., y_r
および、A の非零元 a_1, ..., a_r
で (a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) となるものがあり、
y_1 = a_1f_1
.
.
.
y_r = a_rf_1
となる。
128:208
05/11/30 10:42:26
>>127
>y_r = a_rf_1
これは y_r = a_rf_r の間違い。
129:208
05/11/30 10:43:27
>>127 の証明
L の基底を e_1, ..., e_m とする。
x1, ..., x_n を M の生成元とする。
各 j (1 ≦ j ≦ n) に対して
x_j = Σx_(i,j)e_i とする。
X = (x_(i,j)) とおく。これは、(m,n)-型の行列である。
上の式を行列記法でまとめて書くと
(e_1, ..., e_m)X = (x_1, ..., x_n) となる。
>>117 より、可逆行列 U, V があり、UXV は対角行列
Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] となる(0 は無い可能性もある)。
ここで、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) である。
(e_1, ..., e_m)X = (x_1, ..., x_n)
より
(e_1, ..., e_m)XV = (x_1, ..., x_n)V
となる。
UXV = Y より、XV = U^(-1)Y だから
(e_1, ..., e_m)U^(-1)Y = (x_1, ..., x_n)V
(f_1, ..., f_m) = (e_1, ..., e_m)U^(-1)
(y_1, ..., y_n) = (x_1, ..., x_n)V
とおけば
(f_1, ..., f_m)Y = (y_1, ..., y_n)
となる。
U は可逆だから f_1, ..., f_m は L の基底であり、
V も可逆だから y_1, ..., y_n は M の生成元である。
よって、この命題の主張が出る。
証明終
130:208
05/11/30 11:20:39
命題
>>127 の命題のイデアルの列 (a_1), ..., (a_r) は L と M だけで
決まり、L の基底 f_1, ..., f_m と M の生成元 y_1, ..., y_r
の取りかたによらない。
(a_1), ..., (a_r) を M の不変因子と呼ぶ。
単元の違いを無視して、a_1, ..., a_r を M の不変因子と呼ぶ
こともある。
証明
L/M は L_1/M = (Af_1 + ... + Af_r)/(Aa_1f_1 + ... + Aa_rf_r) と
L_2 = Af_(r+1) + ... + Af_m の直和である。
よって、L_1/M は L/M の捩れ部分(前スレの653) t(L_1/M) である。
よって、この命題は、前スレの712から出る。
証明終
131:208
05/11/30 11:56:49
>>130 の別証明を述べる。
以後、環や代数は特に断らなければ可換とする。
次の補題は前スレにもあるかもしれないが述べておこう。
補題
A を環、B を A-代数、
I を A のイデアルとする。
(A/I)(x)B は標準的に B/IB に A-代数として同型である。
ここで、(A/I)(x)B は A-代数としてのテンソル積。
証明
完全系列
0 → I → A → A/I → 0
より完全系列
I(x)B → A(x)B → (A/I)(x)B → 0
が得られる。
これより明らか。
証明終
132:208
05/11/30 12:03:38
補題
A を環、I, J をそのイデアルとする。
(A/I)(x)(A/J) は A/(I + J) と A-代数として同型である。
証明
A/J = B とおけば、>>131 より
(A/I)(x)(A/J) = B/IB = (A/J)/((I + J)/J) = A/(I + J)
ここで、等号は同型を表す。
証明終
133:208
05/11/30 12:26:17
補題
A を環、I_1, ..., I_n をそのイデアルとする。
M を A-加群として A/I_1, ..., A/I_n の直和とする。
1 ≦ p ≦ n のとき、
(Λ^p)M = ΣA/I_J (直和) となる。ここで、J は {1, ..., n}
の濃度 p の部分集合を走り、I_J は I_k, k ∈ J のイデアル
としての和を表す。
証明
前スレの 751 と 844 から ΛM は Λ(A/I_i), i = 1,..,n の
歪テンソル積である。これと >>132 より明らか。
134:208
05/11/30 14:53:36
補題
A を環、I_1, ..., I_n をそのイデアルとし、
I_1 ⊃ ... ⊃ I_n とする。
M を A-加群として A/I_1, ..., A/I_n の直和とする。
1 ≦ p ≦ n のとき、Ann((Λ^p)M) = I_(n-p+1) である。
証明
I_1 ⊃ ... ⊃ I_n だから、>>133 の記法で、I_J は I_min(J) である。
一方、一般に A のイデアル I, K に対して
直和 A/I + A/K の 零化イデアル(Annihilator) は I ∩ K である。
よって、ΣA/I_J (直和) の零化イデアルは I_(n-p+1) となる。
よって >>133 より Ann((Λ^p)M) = I_(n-p+1) となる。
証明終
135:208
05/11/30 15:18:59
>>134 から >>130 の別証が出ることは明らかだろう。
136:１３２人目の素数さん
05/11/30 17:52:22
予備校で教えるのに飽きたのかな
137:１３２人目の素数さん
05/11/30 18:01:41
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
138:１３２人目の素数さん
05/11/30 18:03:56
外積の使い方がいまいちだね
139:１３２人目の素数さん
05/11/30 21:46:58
> 荒らしは黙ってろ！
> ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！
> お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！
> 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
140:208
05/12/01 12:55:25
補題
A を環、n > 0 を整数とし L = A^n を A-自由加群とみる。
L の元 x は縦ベクトルとみなす。
e_1, ..., e_n を L の標準基底とする。
x_1, .., x_p を L の元とする。ここで、1 ≦ p ≦ n である。
x_1 = x_(1,1)e_1 + ... + x_(n,1)e_n
.
.
x_p = x_(1,p)e_1 + ... + x_(n,p)e_n
とすると、A の元を要素とする 行列 X = (x_(i,j)) は (n, p)-型になる。
この行列の各列が x_1, .., x_p である。
J を {1, ..., n} の濃度 p の部分集合とし、J の要素を昇順に並べて
j_1 < ... < j_p としたとき、
X の小行列 (x_(j_i, k)), j_i ∈ J, 1 ≦ k ≦ p を X_J とおく。
このとき (Λ^p)L において、
x_1Λ...Λx_p = Σdet(X_J) e_(j_1)Λ...Λe_(j_p)
となる。ここで J は {1, ..., n} の濃度 p の部分集合全体を動く
証明
外積の交代性(前スレの 744, 746)より明らかだろう。
141:１３２人目の素数さん
05/12/01 13:55:55
荒らしども！
ありがたく読ませてもらえ！
まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな！
142:１３２人目の素数さん
05/12/01 14:07:26
>>141
煽りとしてはおもしろくない
バカはこの程度のことしかおもいつかないらしい
143:208
05/12/01 16:21:43
補題
A を環、m > 0 を整数とし L を 階数 n のA-自由加群とする。
e_1, ..., e_n を L の基底とする。
x を L の元とし、x = Σ a_i e_i, a_i ∈ A とする。
つまり、(a_1, ..., a_n) は x の 基底 e_1, ..., e_n に関する
座標である。
他方、f_1, ..., f_n を L の別の基底とし、
x = Σ b_i f_i, a_i ∈ A とする。
このとき、各 b_i は a_1, ..., a_n の一次結合で表される。
証明
明らかと思うが、念のために証明しよう。
行列記法を使う。
x = (e_1, ..., e_n)(a_1, ..., a_n)'
である。ここで、(a_1, ..., a_n)' は転置行列、この場合は
(a_1, ..., a_n) を縦ベクトルにしたものを表す。
(e_1, ..., e_n) = (f_1, ..., f_n)U となる n 次の可逆行列 U がある。
よって、
x = (e_1, ..., e_n)(a_1, ..., a_n)'
= (f_1, ..., f_n)U(a_1, ..., a_n)'
一方、
x = (f_1, ..., f_n)(b_1, ..., b_n)' である。
よって、
(b_1, ..., b_n)' = U(a_1, ..., a_n)' である。
証明終
144:208
05/12/01 16:26:21
補題
A を環、m > 0 を整数とし L を 階数 m のA-自由加群とする。
e_1, ..., e_m を L の基底とする。
M を L の部分加群とし、x_1, .., x_n をその生成元とする。
x_j = Σx_(i,j)e_i, 1 ≦ j ≦ n とする。
x_(i,j) を要素とする行列を X = (x_(i,j)) とする。
他方、f_1, ..., f_m を L の別の基底とし、
y_1, .., y_n を M の別の生成元とする。
y_j = Σy_(i,j)f_i, 1 ≦ j ≦ n とし、
Y = (y_(i,j)) とする。
p を 1 ≦ p ≦ min(m, n) である整数とする。
I ⊂ {1, ... , m}, J ⊂ {1, ... , n} で |I| = |J| = p とする。
ここで、|I|, |J| は、それぞれ I, J の濃度、即ち各集合の要素
の個数を表す。
X から I に対応する行と J に対応する列をとりだして作った
p 次の正方行列を X_(I,J) と書く。 Y_(I,J) も同様。
det(Y_(I,J)) = Σa_(K,L)det(X_(K,L)) となる。
ここで、a_(K,L) は A の元で、
和は K ⊂ {1, ... , m}, L ⊂ {1, ... , n} で
|K| = |L| = p となる K, L の組 (K, L) 全体を動く。
145:208
05/12/01 16:34:55
>>144 の証明
J = {1, ... , p} と仮定する。こうしても一般性を失わない。
x_1, .., x_n は M の生成元だから、
y_1Λ...Λy_p = Σb_(j_1, ..., j_p) x_(j_1)Λ...Λx_(j_p)
となる。ここで、b_(j_1, ..., j_p) ∈ A で、和は j_1 < ... < j_p の
組を動く。
>>140 より det(Y_(I,J)) は y_1Λ...Λy_p を L の基底 f_1, ..., f_m で
展開したときの、f_(i_1)Λ...Λf_(i_p) の係数である。
ここで、i_1 <...< i_p は I を構成する元である。
det(X_(K,L)) についても同様のことが言える。
{f_(i_1)Λ...Λf_(i_p)} と {e_(i_1)Λ...Λe_(i_p)} は
それぞれ、(Λ^p)L の基底である。
よって、>>143 から >>144 の主張が得られる。
証明終
146:208
05/12/01 16:57:54
命題
A を環、X を A の元を要素とする (m,n)-型の行列
U, V をそれぞれ A の元を要素とする m, n 次の可逆行列とする。
Y = UXV とおく。p を 1 ≦ p ≦ min(m, n) である整数とする。
Y の p 次の任意の小行列式は、X の p 次の小行列式の一次結合として
表される。
証明
これは >>144 を行列の言葉で書き直したもの。
147:208
05/12/01 17:04:12
>>146 の系
>>146 と同じ条件で、Y の p 次の小行列式全体で生成される
A のイデアルは X の p 次の小行列式全体で生成されるイデアルと
一致する。
証明
Y の p 次の小行列式全体で生成されるイデアルを I_p(Y) とおく。
同様に、I_p(X) も定義する。
>>146 より、I_p(Y) ⊂ I_p(X) である。
Y = UXV より、 X = U^(-1)YV^(-1) となるから、
再び >>146 より I_p(X) ⊂ I_p(Y) である。
証明終
148:208
05/12/01 18:52:11
>>98 の定理において 1 ≦ p ≦ r のとき
対角行列 Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] の p次小行列式全体の
最大公約元は、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) に注意すれば a_1...a_p
であることがわかる。
よって、>>147 より δ_p = a_1...a_p は X の
p次小行列式全体の最大公約元であることが分かる。
δ_p を X の p-次の行列式因子と呼ぶ。
a_p = δ_p/δ_(p-1) となる(δ_0 = 1 とする)。
よって、a_1, ..., a_r は 行列 X により単元の違いを除いて
一意に決まる。
a_1, ..., a_r を 行列 X の単因子と呼ぶ。
149:208
05/12/01 19:06:59
>>148 によっても >>130 の別証が得られるが、これは本質的には
>>134 を使った証明と同じだろう。
150:208
05/12/01 19:19:44
>>148 が単因子の由来だろう。つまり、行列式因子 δ_p の因子
ということで。
151:１３２人目の素数さん
05/12/01 19:28:11
>>150
「単」が付いているのは？
152:208
05/12/02 12:24:51
補題
A, B を環で、A ≠ 0, B ≠ 0 とする。
C = A×B とおく。
C は A と B の環としての直積である。
このとき、Spec(C) (前スレの81)は連結ではない。
証明
α: A → C を標準射とする。
α(x) = (x, 0) である。
β: B → C を標準射とする。
β(x) = (0, x) である。
I = α(A), J = β(B) とおく。
I, J は C のイデアルで
C = I + J
I ∩ J = 0
となる。
よって、
Spec(C) = V(I) ∪ V(J)
V(I) ∩ V(J) = φ
となる。
I ≠ 0, J ≠ 0 だから、C ≠ I, C ≠ J である。
よって、V(I) ≠ φ, V(J) ≠ φ である。
V(I), V(J) は、Spec(C) の閉集合だから Spec(C) は連結でない。
証明終
153:208
05/12/02 12:25:38
>>151
各 a_i は Y の１次の行列式だし、δ_pはｐ次の行列式だから。
つまり、
a_i は１次⇔単
δ_pはｐ次⇔複 (p > 1 のとき)
154:１３２人目の素数さん
05/12/02 13:39:48
>>153
あほ
155:１３２人目の素数さん
05/12/02 13:47:21
質問者に言えよ。
つまらん質問にはつまらん答えしか返らない
156:１３２人目の素数さん
05/12/02 13:49:10
>つまらん質問にはつまらん答えしか返らない
あほの二乗
157:208
05/12/02 15:41:03
補題
A を環、そのベキ零元根基 Nil(A) が素イデアルなら
A は 非自明な環の直積に分解されない。
つまり、 A = B×C, B ≠ 0, C ≠ 0 となる環 B, C は存在しない。
証明
前スレの 208 より Spec(A) は既約であるから、連結でもある。
よって >>152 よりわかる。
158:208
05/12/02 15:53:50
定義
A を環、M ≠ 0 を A-加群とする。
M が非自明な部分加群の直和にならないとき、M を直既約加群という。
つまり、M = N + L (直和) となる部分加群 N ≠ 0, L ≠ 0 が存在
しないことをいう。
159:208
05/12/02 16:54:52
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とすると、
前スレの 709, 710 より、
M は A/(p^k) の形の加群の有限個の直和となる。
ここで、p は A の素元である。
各 A/(p^k) は >>157 より A-加群として直既約である。
前スレの 709 より M のこの分解は同型を除いて一意である。
このことは、Krull-Remak-Schmidt の定理からも分かる。
Krull-Remak-Schmidt の定理
A を環、M を 長さ有限(前スレの288)の A-加群とする。
M は直既約な部分加群の有限個の直和になる。
さらに、この分解は同型を除いて一意的である。
証明
ちょっと程度の高い代数額の教科書には載っているはず。
例えば、古いが、秋月-鈴木の高等代数学Ｉ。
Van der Wearden にもたぶん載ってるだろう。
160:208
05/12/02 17:04:32
単因子論はこのへんで終わりにする。
欲をいうと >>127 の命題の非構成的証明をしたいところだけど
ちょっと飽きてきたｗ
161:208
05/12/02 17:11:33
次は、可換環のPicard群や因子類群について述べる。
スキーム論の初歩を仮定する箇所もあるけど、スキーム論を知らない人
は読み飛ばしてかまわない。知らなくてもこのシリーズで扱う
代数的整数論の大筋には影響ない。
162:208
05/12/02 17:29:33
>>152 の逆が言えることを忘れていた。
証明には、スキーム論の初歩を仮定する。
スキーム論を知らない人は読み飛ばしてかまわない。
補題
X を(可環)環付き空間, O_X をその構造層とする。
X が連結でないなら、Γ(X, O_X) の非零元 e_1, e_2 で
(e_1)^2 = e_1
(e_2)^2 = e_2
(e_1)(e_2) = 0
1 = e_1 + e_2
となるものが存在する。
証明
X は連結でないから、
X = U ∪ V
U ∩ V = φ
となる空でない開集合 U, V が存在する。
e_1 ∈ Γ(X, O_X) を
e_1|U = 1
e_1|V = 0
となる元とする。このような元の存在と一意性は O_X が層で
あることから分かる。
同様に
e_2 ∈ Γ(X, O_X) を
e_2|U = 0
e_2|V = 1
で定義する。
この e_1 と e_2 が求めるもの。
証明終
163:208
05/12/02 17:38:04
命題
A を環で、Spec(A) は連結でないとする。
このとき、A = B×C となる非自明な環 B, C がある。
証明
>>162 より A の非零元 e_1, e_2 で
(e_1)^2 = e_1
(e_2)^2 = e_2
(e_1)(e_2) = 0
1 = e_1 + e_2
となるものが存在する。
Ae_1, Ae_2 は部分環で A = Ae_1 × Ae_2 となる。
証明終
164:208
05/12/02 17:41:12
>>163のスキーム論を使わない証明って出来るのかな？
165:208
05/12/02 17:49:37
>>163
>Ae_1, Ae_2 は部分環で
Ae_1, Ae_2 は環となり
166:208
05/12/02 17:53:54
>>165 を補足すると、このスレでは部分環というのは常に
親の環と単位元を共有するものと仮定している。
だから Ae_1, Ae_2 は A の部分環ではない。
167:１３２人目の素数さん
05/12/02 19:08:55
ﾅﾆをｶｷﾂﾊﾞﾀ
168:１３２人目の素数さん
05/12/02 19:36:25
有限体上の楕円曲線からリーマン麺を作る棚
169:１３２人目の素数さん
05/12/02 19:45:18
>>167
> 荒らしは黙ってろ！
> ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！
> お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！
> 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
> 荒らしども！
> ありがたく読ませてもらえ！
> まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな！
170:208
05/12/05 09:28:25
Hilbertは代数体の３基本定理として以下のものを挙げている。
1) 主整環がDedekind整域となる。
2) Dirichletの単数定理
3) Dedekindのゼータ関数を使った類数公式
これに
4)Dedekindの判別定理
を追加したいところ。
これ等を述べるのがまず当面の目標だ。
今、ちょっと迷っているのは、これ等の証明に絞って
最短距離で行こうかどうかということ。
今までのように悠長にやってると途中で飽きてくる恐れがあるｗ
171:208
05/12/05 09:42:48
話は前後するけど、前スレとこのスレの単因子論はBourbakiのコピー
ではない。
主定理(>>117)の証明は、Bourbakiにはない。
前スレの690, 709も単因子論の基本定理だけど、その証明もBoubakiにはない。
172:208
05/12/05 09:49:49
>>171
>その証明もBoubakiにはない。
念のために補足すると、Bourbakiには同様の方法を使った証明が
ないという意味。当然、別方法による証明はある。
173:208
05/12/05 10:10:40
>>161 の Picard群に関係してCartier因子の話をしようと思ったけど
これを一般のスキーム上に展開するのは結構大変。
EGAの IV-4 の最後の方でやっているように、強有理写像(EGAでは
pseudo-morphism)の概念が必要となる。これを扱ってる本は少ない。
174:208
05/12/05 10:58:47
>>159
>Van der Wearden にもたぶん載ってるだろう。
なかった。LangのAlgebraにはあると聞いた(確かめてない)。
いずれにしろ、あの定理の証明はネットに転がってるはず。
175:208
05/12/05 11:07:30
>>170
代数体の絶対判別式の絶対値が１とはならないというMinkowskiの
定理も著しい。これの代数的証明ってあるのかな？
176:206
05/12/05 13:39:48
定義
A を環、M を A-加群とする。
完全列
L_1 → L_2 → M → 0
が存在するとき、M を有限表示を持つ加群、または強有限生成という。
ここで、L_1, L_2 は有限生成の A-自由加群。
177:206
05/12/05 13:53:01
補題
A を環、
A-加群の完全列
0 → K → M → N → 0
において、K, N が有限生成なら M も有限生成である。
証明
読者に任す。
178:１３２人目の素数さん
05/12/05 14:21:27
>>169
いちいち反応するのがかわゆいね
179:206
05/12/05 14:21:43
命題
A を環、M を有限表示を持つ A-加群とする。
完全列
0 → K → L → M → 0
において、L は有限生成の A-自由加群とすれば、
K は有限生成となる。
証明
仮定より、完全列
L_1 → L_2 → M → 0
がある。
ここで、L_1, L_2 は有限生成の A-自由加群。
次の可換図式が存在する。
L_1 → L_2 → M → 0
| ｜ ｜
v v v
0 → K → L → M → 0
snake lemma より
0 → Coker(L_1 → K) → Coker(L_2 → L) → 0
は完全である。
Coker(L_2 → L) は有限生成だから、Coker(L_1 → K) も有限生成。
完全列
L_1 → K → Coker(L_1 → K) → 0
において、Im(L_1 → K) は有限生成だから、>>177 より K も有限生成である。
証明終
180:１３２人目の素数さん
05/12/05 14:27:10
>>179
snake lemma については既知と仮定した。それがどういう補題か
というのはネットに転がってるだろう。証明はいわゆる
diagram chase でほとんど機械的に出来る。
181:208
05/12/05 14:46:08
定義
A を環、M を A-加群とする。
関手 T(N) = M(x)N が完全のとき M を平坦加群という。
つまり、A-加群の完全列
0 → E → F → G → 0
に対して
0 → M(x)E → M(x)F → M(x)G → 0
も完全になること。
182:208
05/12/05 15:20:51
命題
A を局所環、M を有限表示を持つ平坦な A-加群とする。
このとき、M は自由である。
証明
A の極大イデアルを m とし、k = A/m とおく。
M/mM = k(x)M の k 上の基底 を x_1 (mod mM), ..., x_n (mod mM)
とし、N = Ax_1 + ... + Ax_n とする。
M の任意の元 x は N の元と mod mM で等しいから
M = mM + N である。
よって、m(M/N) = (mM + N)/N = M/N となる。
中山の補題(前スレの242)より、M/N = 0 つまり M = N となる。
L = A^n を階数 n の自由加群とし、その基底を
e_1, ..., e_n とする。 各 e_i に x_i を対応させる
ことにより、A-加群としての全射 f: L → M が得られる。
Ker(f) = K とおく。
次の可換図式において、
m(x)K → m(x)L → m(x)M → 0
｜ ｜ ｜
ｖ ｖ ｖ
0 → K → L → M → 0
M は平坦だから、m(x)M → M は単射である(M = A(x)M と見なす)。
よって snake lemma より、
0 → K/mK → L/mL → M/mM → 0
は完全となる。
L → M の定義から、L/mL → M/mM は同型である。
よって K/mK = 0 となる。>>179 より K は有限生成だから、
中山の補題より K = 0 となる。
証明終
183:208
05/12/05 15:31:11
ホモロジー代数の初歩を既知とすれば、>>182 の別証が
以下のように得られる。
>>182 の完全列
0 → K → L → M → 0
より、Torのホモロジー完全列
→ Tor^1(k, M) → k(x)K → k(x)L → k(x)M → 0
が得られるが、M は平坦だから、Tor^1(k, M) = 0 である。
よって、
0 → k(x)K → k(x)L → k(x)Mは完全となる。
つまり、
0 → K/mK → L/mL → M/mM → 0
は完全となる。
これから後は >>182 と同じ。
184:208
05/12/05 15:55:55
>>181 と同様に、
定義
A を環、M を A-加群とする。
関手 T(N) = Hom(M, N) が完全のとき M を射影加群という。
つまり、A-加群の完全列
0 → E → F → G → 0
に対して
0 → Hom(M, E) → Hom(M, F) → Hom(M, G) → 0
も完全になること。
185:１３２人目の素数さん
05/12/05 15:58:49
>勉強も大切だが、心も磨けよ
以下は負け犬の常套句
・勉強も大切だが、
・仕事も大切だが、
・金も大切だが、
・顔がいくら良くっても...
186:208
05/12/05 16:00:34
命題
A を環、M を A-加群とする。
M が射影加群であることは自由加群の直和因子であることと同値である。
証明
よく知られているし簡単なので、読者に任す。
187:１３２人目の素数さん
05/12/05 16:09:18
ねえねえバナナとリンゴどっちが好き？
188:208
05/12/05 16:23:32
命題
射影加群は平坦である。
証明
>>186より。
189:１３２人目の素数さん
05/12/05 16:24:41
ねえねえねえバナナとリンゴどっちが好き？
190:208
05/12/05 16:25:52
命題
有限生成射影加群は有限表示を持つ。
証明
>>186より明らか。
191:208
05/12/05 16:28:18
命題
A を局所環、M をA-加群で有限生成かつ射影的とする。
このとき、M は自由である。
証明
>>188, >>190 と >>182 より出る。
192:１３２人目の素数さん
05/12/05 16:30:42
さむいね
193:１３２人目の素数さん
05/12/05 17:00:17
>>192
そうかい。
ぼくはパプアニューギニアにいるから暑くてかなわん。
でも昨夜は南十字星がきれいに見えたよ。
194:208
05/12/05 17:02:30
ここでは、環 A 上の有限生成射影加群が Spec(A) 上の
ベクトルバンドルに対応することを言いたいわけ。
射影加群というのは Cartan-Eilenbergが最初に定義した。
このとき、彼等はこの事実を知っていたかどうか。
勿論、A が体上の有限生成代数という古典的な代数幾何の場合の話。
たぶん、知らなかったのではないか。
SerreのFAC(1955年)では、言及されている。
195:１３２人目の素数さん
05/12/05 17:05:19
そんなバナナ
196:１３２人目の素数さん
05/12/05 17:11:07
ねえねえねえねえバナナとリンゴどっちが好き？
197:１３２人目の素数さん
05/12/05 17:12:27
(ねえ)^4とかした方がいい。
198:１３２人目の素数さん
05/12/05 17:32:18
ねぇーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
バナナとリンゴどっちがイチゴ？
199:１３２人目の素数さん
05/12/05 17:47:12
東京タワーと富士山
どっちが東京タワー？
200:１３２人目の素数さん
05/12/05 17:49:13
>>194
ところでアファイン空間上のベクトル束が
自明だというのは、191でAを多項式環に
置き換えた命題になるわけですが、たしか
QuillenとSuslinが独立に示した結果でしたね。
これは大分前の話ですが、現在では簡単な証明が知られているのでしょうか？
201:208
05/12/05 17:56:40
>>200
Rotmanのホモロジー代数の入門書にその証明が載っている。
202:１３２人目の素数さん
05/12/05 18:11:29
そうですか。やはりこの辺も進歩しているのですね。
どうもありがとうございます。
203:１３２人目の素数さん
05/12/05 18:31:34
パプアニューギニアにはどうやって行ったのですか？
船ですか？
204:１３２人目の素数さん
05/12/05 19:12:37
426 ：１３２人目の素数さん ：2005/08/07(日) 10:24:29
>>425
お前最近各所で荒らしまわってる208だな。不快な文調とピントはずれ
な論点で有名そうだな。虚数乗法説明してくれるんじゃなかったの
かｗｗｗ
英訳が手に入らないor入りにくい書籍や論文なんて山ほどあるだろ。
論文をフランス語で書いてるやつもいっぱいるだろ。いい年した
おっさんなんだからさっさと働け！
205:１３２人目の素数さん
05/12/06 06:05:17
Furtwangler..
206:208
05/12/06 09:48:45
>>114
>ところで何故今ブルバキなの？ 今時はやらないんでしょ？
Bourbakiが扱ってるのは基礎的な部分なんだよ。基礎に流行りも
廃りもない(例外もあるが)。パラダイムが変化しない限り。
Bourbakiは基礎的事項のreferenceとして便利。
すべての命題に丁寧な証明をつけていて自己完結してるからね。
因みに俺が持ってるのは、集合、位相、積分は日本語版(位相の後半は
フランス語版も持ってる)、その他は英語版とフランス語版。
それからBourbakiはまだ刊行が続いている(例えば、可換代数)。
207:208
05/12/06 11:45:04
補題
A を環、M を 射影的 A-加群とする。
B を A-代数とすると、M(x)B は B-加群として射影的である。
証明
任意の B-加群 E に対して
Hom_B(M(x)B, E) = Hom_A(M, E)
となる(A-加群としての同型)。ここで、右辺の E は 構造射 A → B
により A-加群とみなす。
仮定より、関手 Hom_A(M, *) は完全だから関手 Hom_B(M(x)B, *)
も完全となる。よって、M(x)B は射影的である。
証明終
208:208
05/12/06 11:53:51
命題
A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。
A の各素イデアル p に対して M_p は A_p-加群として自由である。
証明
>>207 と >>191 より。
209:１３２人目の素数さん
05/12/06 15:04:35
大文字焼きひとつください
210:209
05/12/06 16:52:56
補題
A を環、M を A 上の有限生成加群とする。
p を A の素イデアルとする。
M_p = 0 なら、f ∈ A - p が存在し、M_f = 0 となる。
証明
M の生成元を x_1, ..., x_n とする。
各 i に対して M_p において x_i/1 = 0 となる。
よって、s_ix_i = 0 となる、s_i ∈ A - p がある。
f = Πs_i とおけばよい。
証明終
211:１３２人目の素数さん
05/12/06 17:10:17
>>209
はい。いらっしゃいませ。
Ｓ、Ｌ、Ｍとございますが。
お飲み物はよろしかったでしょうか？
212:209
05/12/06 17:20:06
命題
A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。
A の各素イデアル p に対して f ∈ A - p が存在し
M_f は A_f-加群として自由である。
証明
>>208 より M_p は A_p-加群として自由である。
M_p のA_p-自由加群としての基底を x_1/s, ..., x_n/s とする。
ここで、x_i ∈ M, s ∈ A - p である。
>>207より M_f は A_f-加群として自由であるから、
A を A_s, M を M_f で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。
L = A^n とし、L の標準基底を e_1, ..., e_n とする。
A-加群としての射 φ: L → M を φ(e_i) = x_i で定義する。
R = Coker(φ) とおく。
完全列 L → M → R → 0 より
L_p → M_p → R_p → 0 も完全。
一方、L_p → M_p は同型だから、R_p = 0 となる。
>>210 より、R_g = 0 となる g ∈ A - p が存在する。
よって、L_g → M_g → 0 は完全となる。
再び A を A_g, M を M_g で置き換えて、g = 1 と仮定してよい。
つまり、L → M → 0 は完全となる。
K = Ker(L → M) とおくと、
0 → K → L → M → 0 は完全となる。
>190 より M は有限表示を持つから、>>179 より K は有限生成となる。
0 → K_p → L_p → M_p → 0
は完全だから、K_p = 0 となる。
再び >>210 より K_f = 0 となる f ∈ A - p が存在する。
よって、
0 → L_f → M_f → 0
は完全となる。
証明終
213:１３２人目の素数さん
05/12/06 17:22:28
俺は位相仏語版は全部持ってるぞ
海賊版っぽいけどな
勝ったな。圧倒的に勝った（＠藁ぷ
まあそれはおいといてBourbakiってまだ刊行してるにせよ
ほとんど停止状態だろ
絶版になってるやつもあるし
214:１３２人目の素数さん
05/12/06 17:32:28
>>211
じゃあLで
飲み物は餃子ジュース
215:１３２人目の素数さん
05/12/06 18:18:41
>>214
はい。かしこまりました。（奥へ）大文字焼きＬひとつ入りまーす。
相済みません。餃子ジュースは午前中のみの販売となっております。
焼売ジュースのＬということでよろしいでしょうか？
穴子はみ出し丼もご一緒にいかがですか。
216:１３２人目の素数さん
05/12/06 18:29:56
ええっ餃子ジュースたのしみにしてたのに！
しょうがないな
じゃあ焼売ジュースでいいです。
それと穴子よりサソリのほうがいいんだけど
サソリも午前中だけ？
217:１３２人目の素数さん
05/12/06 18:41:17
ヴェイユの講義姿は格好良かったな
もちろん京都賞じゃないよ
そのときはかなり弱ってた
218:１３２人目の素数さん
05/12/06 18:56:22
すいませーーん
行者ジュースありませんか？
219:１３２人目の素数さん
05/12/06 19:29:13
比叡山の雪景色をみながら
大文字焼きをたべ餃子ジュースを飲む至福
ヴェイユにも味あわせてやりたかった
220:208
05/12/07 09:37:47
>>212
>>>207より M_f は A_f-加群として自由であるから、
>A を A_s, M を M_f で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。
>>207より M_s は A_s-加群として射影的であるから、
A を A_s, M を M_s で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。
221:208
05/12/07 10:52:07
定義
A を環、B を A-代数とする。
B が A-加群とみて平坦(>>181)なとき、平坦な A-代数と呼ぶ。
222:208
05/12/07 10:52:51
命題
A を環、M を A 上の有限表示を持つ加群とする。
B を平坦な A-代数とする。任意の A-加群 N に対して
Hom(M, N)(x)B = Hom(M(x)B, N(x)B)
となる。ここで、等号は B-加群としての同型を表す。
証明
任意の A-加群 P に対して
F(P) = Hom(P, N)(x)B
G(P) = Hom(P(x)B, N(x)B) とおく。
任意の射φ: P → N
は φ(x)1: P(x)B → P(x)B
を誘導するから、射 F(P) → G(P) が得られる。
M は有限表示を持つから完全列
L_2 → L_1 → M → 0
が存在する。ここで、L_1, L_2 は有限生成自由加群。
よって次の可換図式が得られる。
0 → F(M) → F(L_1) → F(L_2)
｜ ｜ ｜ ｜
0 → G(M) → G(L_1) → G(L_2)
水平の列は完全である。
F(A) = Hom(A, N)(x)B = N(x)B
G(A) = Hom(A(x)B, N(x)B) = N(x)B
だから、L が A 上の有限生成自由加群のとき、
F(L) → G(L) は同型である。
よって、上の可換図式の右の縦２列は同型である。
よって、左端の F(M) → G(M) も同型である。
証明終
223:208
05/12/07 10:59:59
>>222 の系
A を環、M を A 上の有限表示を持つ加群とする。
S を A の積閉部分集合(前スレの63)とする。
任意の A-加群 N に対して
Hom(M, N)_S = Hom(M_S, N_S)
となる。ここで、等号は A_S-加群としての同型を表す。
証明
A_S は A-加群として平坦(前スレの86)だから >>222 より明らか。
224:208
05/12/07 11:25:12
補題
A を環、M を A-加群とする。
A の任意の極大イデアル m に対して標準射 M → M_m がある。
よって射 φ: M → ΠM_m が得られる。ここで、右辺は、A の全ての
極大イデアル m を動く。
このとき、Ker(φ) = 0 である。
証明
x ∈ Ker(φ) で x ≠ 0 とする。
Ann(x) ≠ A だから、Ann(x) ⊂ m となる極大イデアル m がある。
仮定より M_m において x/1 = 0 となる。
よって、s ∈ A - m があって sx = 0 となる。
よって、s ∈ Ann(x) ⊂ m となって矛盾。
証明終
225:１３２人目の素数さん
05/12/07 12:32:00
>>217
＞ヴェイユの講義姿は格好良かったな
＞もちろん京都賞じゃないよ
ああ、55年のときね。永田君も話してたな。
谷山君が欠席したのが惜しかった。
あのときにたしかヴェイユが南禅寺で
写経しながら大文字焼き食べてたよ。
当時はまだ餃子ジュースがなくて、
生八つ橋シェイク飲んでたっけ。懐かしいな～。
226:１３２人目の素数さん
05/12/07 12:42:12
>>225
そうだったな。岡先生が餃子コーヒーを注文したら
店の人が「そんなもんあらしませんえ」とかいって
笑ったっけ。あれが、餃子ジュースを思いつくきっかけ
になったらしいね。後で店長から聞いたことだけど。
227:１３２人目の素数さん
05/12/07 12:58:25
永田君はなにをしゃべったんだい？
228:１３２人目の素数さん
05/12/07 13:17:44
ヒルベルト・永田の定理の原型だったかな？
志村君がいつものように意地の悪い質問していたけど、
どこか的が外れていたな。
229:１３２人目の素数さん
05/12/07 13:23:15
志村君ね。嫌われ者だったな。あの当時から。
ジーゲル先生が嫌がって志村君とは口もきかなかった。
230:208
05/12/07 14:26:27
A を環とする。
E を A の部分集合としたとき
V(E) = {p ∈ Spec(A); E ⊂ p} と書く。
さらに、D(E) = Spec(A) - V(E) と書く。
補題
A を環とする。
Spec(A) は準コンパクト(前スレの215)である。
証明
Spec(A) = ∪D(E_λ) とする。ここで、λ はある添字集合 L を動き、
E_λ は A の部分集合である。E = ∪E_λ とすれば、
∪D(E_λ) = D(E) である。よって、V(E) は空集合となる。
よって E で生成されるイデアルを J とすれば、J = A となる。
何故なら、J ≠ A とすれば J ⊂ m となる極大イデアルが存在
するから。よって、1 = Σ(g_i)(f_i) となる有限個の元
g_i ∈ A, f_i ∈ E がある。これから Spec(A) = ∪D(f_i) となり、
f_i ∈ E_λ(i) とすれば、Spec(A) = ∪D(E_λ(i)) となる。
証明終
231:208
05/12/07 14:53:31
補題
A を環、M を A-加群とする。
f_1, ..., f_n を A の元とし、
Spec(A) = ∪D(f_i) とする。
各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として有限生成なら M も A-加群として
有限生成である。
証明
各 i に対して x_ij/(f_i)^m, j = 1, ..., i_r を M_(f_i) の
生成元とする。m は 各 i で共通としてよい。
{x_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} で生成される M の
部分加群を N とする。
x ∈ M に対して、x/1 ∈ M_(f_i) より、
((f_i)^t)x ∈ N となる整数 t > 0 がある。
t は 各 i で共通としてよい。
D(f_i) = D((f_i)^t) だから
Spec(A) = ∪D((f_i)^t) = D((f_1)^t, ..., (f_n)^t) となる。
よって、(f_1)^t, ..., (f_n)^t が生成するイデアルは A となる。
よって、1 = Σg_i(f_i)^t となる元 g_1, ..., g_n がある。
よって、x = Σg_i((f_i)^t)x ∈ N となる。
x は任意だから、M = N である。
証明終
232:208
05/12/07 15:03:14
フフン
233:208
05/12/07 15:04:04
はっきり書くよ。
ノーベル賞をとった科学者で、「故人」になった人で、
天国にも地獄にも行けず、「人間に転生」するしかなくなった人は、
全員「日本人の科学者」に「輪廻転生」しています。
だから、日本ならば、ノーベル賞を１００個くらい、とれなければ「おかしい」。
234:208
05/12/07 15:27:19
補題
A を環、M を A-加群とする。
f_1, ..., f_n を A の元とし、
Spec(A) = ∪D(f_i) とする。
各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として有限表示を持てば M も A-加群として
有限表示を持つ。
証明
各 i に対して x_ij/(f_i)^m, j = 1, ..., i_r を M_(f_i) の
生成元とする。
>>231の証明より M は {x_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} で
生成される。
L を {e_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} を基底とする
A-自由加群とする。射 φ: L → M を、φ(e_ij) = x_ij で定義する。
Ker(φ) = K とおく。
完全列
0 → K → L → M → 0
より、各 i に対して完全列
0 → K_(f_i) → L_(f_i) → M_(f_i) → 0
が得られる。
L_(f_i) は A_(f_i)-加群として自由であるから、>>179 より K_(f_i) は
A_(f_i)-加群として有限生成である。
よって、>>231 より K は A-加群として有限生成である。
証明終
235:208
05/12/07 15:47:32
命題
A を環、M を有限表示を持つ A-加群とする。
A の各極大イデアル m に対して M_m が A_m-加群として自由なら
M は射影的である。
証明
P → Q → 0 を A-加群の完全列とする。
Hom(M, P) → Hom(M, Q) の余核を T とする。
よって、
Hom(M, P) → Hom(M, Q) → T → 0
は完全である。
m を A の任意の極大イデアルとすると、
Hom(M, P)_m → Hom(M, Q)_m → T_m → 0
も完全である。
>>223 より
Hom(M_m, P_m) → Hom(M_m, Q_m) → T_m → 0
は完全である。
一方、M_m は自由であるからもちろん射影的なので、
完全列 P_m → Q_m → 0 より、
Hom(M_m, P_m) → Hom(M_m, Q_m) は全射である。
よって、T_m = 0 である。
m は任意の極大イデアルだから、>>224 より T = 0 となる。
証明終
236:208
05/12/07 16:07:11
命題
A を環、M を A-加群とする。
A の各素イデアル p に対して f ∈ A - p が存在し
M_f は A_f-加群として自由であるとする。
このとき、M は有限生成射影加群である。
証明
>>230 より Spec(A) は準コンパクトだから、
A の元 f_1, ..., f_n があり、Spec(A) = ∪D(f_i) となり、
各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として自由となる。
よって、>>234 より M は有限表示を持つ。
A の各極大イデアル m に対して、m ∈ D(f_i) とすれば、
mA_(f_i) は A_(f_i) の極大イデアルであり、
M_m は M_(f_i) の mA_(f_i) による局所化とみなせる。
よって、M_m は A_m-加群として自由である。
よって >>235 より M は射影的である。
証明終
237:１３２人目の素数さん
05/12/07 16:15:44
nikuudaaa!!!! sanyushiii!!!!!
okumimooooo!!!! sanyushiiii!!!!!!
omaira suugaku bakari yattorande
yasukuni sampai shirooooooo!!!!!!!!!
238:１３２人目の素数さん
05/12/07 16:20:58
>>237
靖国神社にはあえなく戦死した数学崩れの御霊も祀られているが。
239:208
05/12/07 16:28:36
>>236 の証明はBourbakiとは違う。
Bourbakiの証明が思い出せないんで自分で考えた。
もっとも、昔、何かで読んだ証明が潜在意識にあったのかもしれん。
だけど、それが何か思い出せない。
240:208
05/12/07 17:15:57
定義
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
F~ を O_X-加群の層とする。X の各点 p に対してその近傍 U が
存在して F~|U が (O_X|U)-係数の階数有限の自由加群の層
になるとき、F~ を階数有限の局所自由層という。
(F~)_p の (O_X)_p 上の自由加群としての階数を rank(F~)_p と書く。
関数 p → rank(F~)_p は X 上の局所定数関数である。
よって、X の各連結成分上では定数になる。
rank(F~)_p が X のすべての点で一定値 n のとき F~ を階数 n の
局所自由層という。
241:１３２人目の素数さん
05/12/07 18:03:00
ヴェイユ全集もってないの？
242:１３２人目の素数さん
05/12/07 22:26:02
持ってるわけないじゃん！
243:１３２人目の素数さん
05/12/08 06:20:47
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
244:208
05/12/08 09:40:21
>>243
勝手に俺に成り代わらないでくれ。
245:208
05/12/08 10:01:28
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
X 上の階数 n の局所自由層 F~ は (U_i) を X の開被覆としたとき
(O_X|U_i)^n を張り合わせたものとみなせる。
よって、このような層の同型類は(集合論における通常の意味の)
集合となる。これに反して、O_X-加群の任意の層の同型類は集合には
ならない。これを見るには、例えば、T を任意の集合として、
O_X の直和 (O_X)^T を考えればよい。 S を別の集合で
その濃度が T の濃度と異なるものとする。すると、(O_X)^T と
(O_X)^S は同型ではないし(何故か？)、濃度の全体は集合ではない。
246:208
05/12/08 10:35:12
定義
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
X 上の階数１の局所自由層を可逆層という。
247:208
05/12/08 10:35:41
命題
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
(L_1)~, (L_2)~ を X 上の可逆層とすると、そのテンソル積
(L_1)~(x)(L_2)~ も可逆層である。
証明
問題は局所的なので L_1 = O_X, L_2 = O_X と仮定してよい。
この場合は、(L_1)~(x)(L_2)~ = O_X となって明らか。
証明終
248:208
05/12/08 10:44:08
命題
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
L~ を X 上の可逆層とすると、その双対 Hom~(L~, O_X)
も可逆層である。ここで、Hom~ は花文字のHomを表す。
つまり、Γ(Hom~(L~, O_X), U) = Hom(L~|U, O_X|U) である。
証明
問題は局所的なので L = O_X と仮定してよい。
この場合は、Hom~(O_X, O_X) = O_X となって明らか。
証明終
249:208
05/12/08 10:59:53
命題
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
L~ を O_X-加群の層とすると、
標準射 φ: Hom~(L~, O_X)(x)L~ → O_X が
u ∈ Γ(Hom~(L~, O_X), U), t ∈ Γ(L~, U) に
u(U)(t) ∈ Γ(O_X, U) を対応させることにより得られる。
L~ が可逆層なら、この標準射は同型である。
証明
問題は局所的なので L = O_X と仮定してよい。
この場合は、Hom~(O_X, O_X) = O_X となって明らか。
証明終
250:208
05/12/08 11:07:58
定義
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
>>245 より X 上の可逆層の同型類は集合となる。
>>247, >>248, >>249 より、この集合は群となる。
この群を X の Picard 群と呼び Pic(X) と書く。
251:208
05/12/08 11:38:20
命題
A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。
X = Spec(A) とし、O_X をその構造層とする。
M~ を M から得られるO_X-準連接層とすれば、
M~ は階数有限の局所自由層である。
証明
>>240 の定義と>>212 より明らか。
252:208
05/12/08 11:59:06
命題
A を環、X = Spec(A) とし、O_X をその構造層とする。
F~ を X 上の階数有限の局所自由層とする。
Γ(F~, X) = M は A 上の有限生成射影加群であり、
F~ は M~ と標準的に同型になる。
証明
f ∈ A に対して Γ(F~, D(f)) は A_f-加群である。
M → Γ(F~, D(f)) を F~ の制限射とすれば、
これは、M_f → Γ(F~, D(f)) を誘導する(M_f = M(x)(A_f) に注意)。
よって、標準射 M~ → F~ が得られる。
F~ は明らかに準連接だから、この標準射は同型である
(これはスキーム論の基本定理の１つ)。
よって、>>236 より M は有限生成射影加群である。
証明終
253:208
05/12/08 12:15:51
>>240 を可換代数の言葉で述べると、次の定義になる。
定義
A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。
>>208 より、A の各素イデアル p に対して、
M_p は A_p-加群として自由である。
M_p の A_p 上の自由加群としての階数を rank(M)_p と書く。
>>212 より、関数 p → rank(M)_p は Spec(A) 上の局所定数関数である。
よって、Spec(A) の各連結成分上では定数になる。
rank(M)_p が Spec(A) のすべての点で一定値 n のとき M を階数 n の
射影加群という。
254:208
05/12/08 13:49:48
定義
A を環とする。Spec(A) の Picard群(>>250) を Pic(A) と書く。
255:208
05/12/08 13:59:13
命題
A を環とする。A 上の階数１の射影加群の同型類と
Spec(A) 上の可逆層の同型類は１対１に対応する。
証明
>>212 と >>252 より明らか。
256:１３２人目の素数さん
05/12/08 14:33:24
ヴェイユとワイルの区別もつかなかったくせに
257:１３２人目の素数さん
05/12/08 16:04:02
>>256
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
940 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/21(月) 18:18:48
で、お前等、俺の講義を聞きたくないの？
69 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/02(金) 19:45:18
> 荒らしは黙ってろ！
> ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！
> お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！
> 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
> 荒らしども！
> ありがたく読ませてもらえ！
> まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな！
258:１３２人目の素数さん
05/12/08 16:21:06
ヴェイユとワイルの区別もつかなかったくせに
図星だったくせに
259:208
05/12/08 16:29:08
5 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/22(火) 16:36:48
ひとまず礼を言っておこう。有難う。
ただ、せっかく上げてもらって何だけど、このシリーズは類体論まで
いく予定なんで一桁じゃ済まないだろうから、次からはローマ数字
じゃなく普通の数字で「代数的整数論３」などの様にお願いします。
ここは、俺様208が降臨した伝説のスレとして語り継がれる場所だ。
貴様のようなクズが書き込んでいいと思っているのか？
悔しかったら、俺様よりもいいネタを提供しろ、蛆虫が！
260:１３２人目の素数さん
05/12/08 16:38:39
ヴェイユとワイルの区別もつかなかったくせに
図星だったくせに
ヴェイユ全集もってないくせに
261:208
05/12/08 16:40:36
環 A 上の階数１の射影加群の同型類は、テンソル積
により可換群になることは、>>250 と >>255 より明らかだが
スキーム論を知らない人のために直接の証明を行う。
命題
環 A 上の有限生成射影加群 P, Q のテンソル積
P(x)Q は有限生成射影加群である。
証明
p を A の素イデアルとする。
>>212 より、f ∈ A - p が存在し P_f は A_f-加群として自由である。
同様に、g ∈ A - p が存在し Q_g は A_g-加群として自由である。
g/1 を A_f の元と考えて局所化 (A_f)_(g/1) をとる。
(A_f)_(g/1) は A_(fg) に標準的に同型である。
同様に、(P_f)_(g/1) は P_(fg) に標準的に同型である。
同様に、(Q_g)_(f/1) は Q_(fg) に標準的に同型である。
P_(fg), Q_(fg) は、ともに自由加群の局所化だから
A_(fg)-加群として自由である。
よって、初めから f = g と仮定してよい。
(P(x)Q)_f = (P_f)(x)(Q_f) であり、(P_f)(x)(Q_f) は
A_f-加群として自由である。
よって、>>236 より P(x)Q は有限生成射影加群である。
証明終
262:208
05/12/08 16:54:47
命題
環 A 上の階数１の射影加群 P, Q のテンソル積
P(x)Q は階数１の射影加群加群である。
証明
>>261 とその証明より明らか。
263:208
05/12/08 17:05:58
命題
環 A 上の階数１の射影加群 P に対して
Hom(P, A) も階数１の射影加群である。
証明
p を A の素イデアルとする。
>>212 より、f ∈ A - p が存在し P_f は A_f-加群として A_f と
同型である。P は射影加群だから >>190 より有限表示を持つ。
よって、>>223 より Hom(P, A)_f = Hom(P_f, A_f) となる。
Hom(P_f, A_f) は Hom(A_f, A_f) = A_f に同型だから、
>>236 より Hom(P, A) は階数１の射影加群である。
証明終
264:208
05/12/08 17:41:06
補題
A を環とする。
φ: M → N を A-加群の射とする。
A の各極大イデアル m に対して
φ_m: M_m → N_m が単射なら、φも単射である。
証明
Ker(φ) = K とおく。
完全列
0 → K → M → N
より、完全列
0 → K_m → M_m → N_m
が得られる。
M_m → N_m は単射だから K_m = 0 となる。
よって、>>224 より K = 0 である。
証明終