05/11/18 11:03:01
A を可換環、M を A-加群とする。
f_1, ... , f_n ∈ Hom(M, A) のとき
θ(f_1Λ...Λf_n) = (f_n)...(f_1)
= (-1)^(n(n-1))/2 (f_1)...(f_n)
である。ここで、θは >>888 の
θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
である。
M が A 上の階数 m の自由加群で、e_1, ..., e_m
をその基底とする。
f_1, ..., f_m をその双対基底とする。
つまり、f_1, ..., f_m ∈ Hom(M, A) で f_i(e_j) = δ(i,j)
である。ここで、δ(i,j) は Kronecker の δ
I が {1,...,m} の部分集合で
I = {i_1, ..., i_p}, i_1 < ... < i_p のとき、
f_I = f_(i_1)Λ...Λf_(i_p) と書く。
同様に e_I も定義する。
>>890 の最後の式
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = det(f_i(x_j))
より、
(-1)^(p(p-1))/2 θ(f_I)(e_J) = δ(I, J)
となる。
ここで、δ(I, J) は Kronecker の δ の拡張で
I = J のとき δ(I, J) = 1、I ≠ J のとき δ(I, J) = 0
よって、{(-1)^(p(p-1))/2 θ(f_I)} は {e_J} の Hom((Λ^p)M, A)
における双対基底である。
よって θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
は同型射である。