05/11/16 11:38:46
命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
ΛM は余結合的である。
証明
対角射 Δ: M → M + M
と h = (1, Δ): M + M → M + M + M の合成
hΔ: M → M + M → M + M + M を考える。
ここで、h は h(x, y) = (x, y, y) で定義される射である。
よって、hΔ(x) = (x, x, x) である。
同様に、対角射 Δ: M → M + M
と g = (Δ, h): M + M → M + M + M の合成
gΔ: M → M + M → M + M + M を考える。
ここで、g は g(x, y) = (x, x, y) で定義される射である。
よって、gΔ(x) = (x, x, x) である。
よって、hΔ = gΔ である。
Δ から誘導される A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が
ΛM の余代数としての構造射である(>>861)。
よって、ΛM が余結合的であることは、
Λh = 1(x)(ΛΔ), Λg = (ΛΔ)(x)1 に注意すれば、
hΔ = gΔ から明らか。
証明