05/11/14 16:13:40
>>753 の別証
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
p > n なら (Λ^p)M = 0 であり、
p ≦ n なら (Λ^p)M は階数 nCp の A-自由加群である。
証明
p > n なら (Λ^p)M = 0 は明らか。
p ≦ n なら (Λ^p)M は e_(i_1)Λ...Λe_(i_p), i_1 < ... < i_p
で生成される。この e_(i_1)Λ...Λe_(i_p) を e_I と書く。
I は {1, .... , n} の濃度 p の部分集合 {i_1, ... , i_p} を
表す。e_I の全体が A上一次独立であることを言えばよい。
p = n なら >>853 より明らか。
p < n で Σ(a_I)(e_I) = 0 とする。ここで、a_I ∈ A である。
１つの I をとり、その補集合を J とする。
e_J Λ(Σ(a_I)(e_I)) = (a_I)e_J Λ e_I + Σ(a_K)e_J Λ e_K
= 0 である。ここで、Σ(a_K)e_J Λ e_K は K ≠ I, |K| = p となる
K に関する和である。
e_J Λ e_K = 0 であるから、(a_I)e_J Λ e_I = 0 となる。
>>853 より e_J Λ e_I ≠ 0 であるから、a_I = 0 となる。
証明終