05/11/14 15:53:18
>>753 の別証を行う。
補題
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
n > 0 なら (Λ^n)M ≠ 0 である。
証明
M^n から A への交代的多重線形写像の１つとして行列式 det がある。
つまり、M のある基底により M を縦ベクトル空間 A^n と同一視
して、M^n の元 X を nxn 型の行列と考え det(X) を対応させればよい。
X が単位行列なら det(X) = 1 だから、これは 0 でない。
よって、>>752 より (Λ^n)M ≠ 0 である。
証明終