05/11/14 15:34:56
命題
A を可換環、M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、f を M^p から N への交代的多重線形写像とする。
A-加群としての射 g:(Λ^p)M → N で f = gh となるものが一意に
存在する。
ここで h: M^p → N は、h(x_1, ... , x_p) = x_1Λ...Λx_p で定義
される交代的多重線形写像である。
証明
>>727 の記号を使う、
定義より、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) であるから、
I ∩ T^p(M) は T^p(M) の部分加群として、x_1(x)...(x)x_p,
x_i = x_(i+1) の形の元で生成される。
一方、テンソル積の普遍性より、A-加群としての射 φ:T^p(M) → N で
f = φu となるものが一意に存在する。
ここで、u(x_1, ... , x_p) = x_1(x)...(x)x_p である。
よって、I ∩ T^p(M) ⊂ Ker(φ) となる。
よって、g(x_1Λ...Λx_p) = φ(x_1(x)...(x)x_p)
と定義すればよい。g の一意性は明らか。
証明終