05/11/04 15:12:58
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
M は A-加群として長さ有限である。
証明
Ass(M) ⊂ Supp(M) (>>99) と >>670 と >>345 より。
証明終
672:208
05/11/04 15:20:40
定義
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
>>671 より M は長さ有限である。
M の組成列に現れる剰余加群は、A/p と同型である。
ここで、p は A のある極大イデアル。
M の組成列に現れる極大イデアルを重複度もいれて
p_1, ..., p_r としたとき それらの重複を考慮した積
を M の内容(content)とよび、|M| と書く。
673:208
05/11/04 15:28:46
>>672 の記号 |M| は、私が勝手に決めたものであり、
一般的ではない。
Serreは χ(M) を使っている。
674:208
05/11/04 15:41:30
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
N を M の部分加群とすると、
|M| = |N||M/N| となる。
証明
明らか。
675:208
05/11/04 15:53:07
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
|M|M = 0 となる。つまり、|M| ⊂ Ann(M) となる。
証明
leng(M) に関する帰納法を使う。
M ≠ 0 とする。
M/N が A/p と同型になるような M の部分加群をとる。
ここで、p は A の極大イデアル。
|M/N| = p だから、帰納法の仮定より p(M/N) = 0 となる。
よって、pM ⊂ N となる。再び帰納法の仮定より |N|N = 0
となるから、p|N|M = 0 となる。
一方、>>674 より、p|N| = |M| である。
証明終
676:208
05/11/04 16:01:09
>>675 から Hamilton-Cayley の定理が出る。
これは、前に線形代数スレで書いた。
677:１３２人目の素数さん
05/11/04 16:14:22
Omaewa erai!!!!!
678:208
05/11/04 16:32:38
命題
A を単項イデアル整域、I を A のイデアルとする。
|A/I| = I である。
証明
中国式剰余定理(>>341)より、I が極大イデアルのベキ p^n のときに
証明すればよい。しかし、この場合は明らか。
証明終
679:208
05/11/04 16:38:42
>>675 の別証
x ∈ M のとき、|M|x = 0 を示せばよい。
Ax は A/Ann(x) に同型である。よって、|Ax| = Ann(x)となる(>>678)。
よって、|Ax|x = 0 となる。
|M| = |Ax||M/Ax| だから(>>674)、当然 |M|x = 0 となる。
証明終
680:208
05/11/04 17:07:45
定義
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の加群とする。
A のある素元 p があり、M の任意の元 x に対して (p^n)x = 0
となる整数 n > 0 があるとき、M を p-加群と呼ぶ。
ここで、n は x に依存する。p の生成する A の極大イデアル
を (p) と したとき、M を (p)-加群とも呼ぶ。
681:208
05/11/04 17:20:08
定義
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を p-加群とする。
M の任意の元に x 対して Ann(x) = p^n となる整数 n ≧ 0 があるが、
この n を x の指数と呼ぶ。
(注意):
この定義は、ここだけのものであり一般的ではない。
682:１３２人目の素数さん
05/11/04 17:22:09
>>676
17 ：１３２人目の素数さん ：04/07/31 12:25
>>11-16
well known and trivial
683:１３２人目の素数さん
05/11/04 17:47:25
おばかなおりそうもないね
684:208
05/11/04 17:57:04
命題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を p-加群とする。
Ann(M) = p^n となる。ここで、n ≧ 0。
証明
定義より M は有限生成である。
M の生成元を x_1, ... , x_r とする。
(p^m)x_i = 0 がすべての x_i について成立つような m > 0 がある。
(p^m)M = 0 となるから、p^m ⊂ Ann(M) である。
これから、命題の主張は明らか。
証明終
685:208
05/11/04 18:16:24
>>683
ばかはお前だろ。>>682は線形代数のスレでカタがついてんだよ。
well known じゃないことは確か。Hamilton-Cayleyをtrivial
というのは、度胸がいるだろ。
686:１３２人目の素数さん
05/11/04 19:06:12
>>685
17 ：１３２人目の素数さん ：04/07/31 12:25
>>11-16
well known and trivial
687:１３２人目の素数さん
05/11/04 19:38:16
>>686
まねするな馬鹿！
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:17番)
688:１３２人目の素数さん
05/11/04 19:53:16
>>685
17 ：１３２人目の素数さん ：04/07/31 12:25
>>11-16
well known and trivial
689:208
05/11/07 09:58:44
補題
A を単項イデアル整域、p を A の素元、M を p-加群(>>680)
とする。 x を M の元でその指数 n が M の元のなかで最大のもの
とする。N = Ax とおく。M/N はあきらかに p-加群である。
y を M の任意の元とする。y (mod N) の M/N における指数(>>681)を
m とすると、M の元 z で、その指数が m となり、y = z (mod N) と
なるものが存在する。
証明
まず、y の指数は m 以上だから m ≦ n に注意する。
(p^m)y = tx となる t ∈ A がある。
(p^n)y = (p^(n-m))tx = 0 であるから、
(p^(n-m))t = sp^n となる s ∈ A がある。
両辺を p^n で割ると、tp^(-m) = s
よって、t = s(p^m)
(p^m)y = tx だから、(p^m)y = s(p^m)x
よって、(p^m)(y - sx) = 0 となる。
z = y - sx とおけばよい。
何故なら、z の指数が m より小さいとすると、
y (mod N) の指数も m より小さいことになって矛盾。
証明終
690:208
05/11/07 10:21:05
命題
A を単項イデアル整域、p を A の素元、M を p-加群(>>680)
とする。 M は、単項 p-加群つまり一個の元で生成される
p-加群の直和となる。
証明
M は長さ有限(>>671)だから、leng(M) に関する帰納法を使う。
x を M の元で、その指数 n が M の元のなかで最大のものとする。
M の各元の指数は>>684より有界だから、このような元は存在する。
leng(M/Ax) < leng(M) だから、帰納法の仮定より、M/Ax は
単項 p-加群 の直和となる。これらの単項 p-加群の生成元を
それぞれ y_1 (mod Ax), ... , y_r (mod Ax) とする。
補題(>>689) より、y_i の指数は、y_i (mod Ax) の指数と一致する
としてよい。すると、M は Ax, A(y_1), ... , A(y_r) の直和となる。
何故なら、ax + (b_1)(y_1) + ... + (b_r)(y_r) = 0 とする。
ここで、a, b_1, ... , b_r は A の元。
(b_1)(y_1) + ... + (b_r)(y_r) = 0 (mod Ax) となるから、
各 b_i = 0 (mod p^(m_i))となる。ここで、m_i は y_i の指数。
よって、各 (b_i)(y_i) = 0 である。よって、ax = 0 となる。
これと、leng(M) = leng(Ax + A(y_1) + ... + A(y_r)) に注意
すれば、M = Ax + A(y_1) + ... + A(y_r) (直和)となる。
証明終
691:208
05/11/07 10:27:37
>>690 の証明は Burnside の有限群論にある有限アーベル群に対する
同様の命題の証明をやや修正して借りた。この証明をこのように
単項イデアル整域上の加群に適用した例を知らない。
692:208
05/11/07 10:52:49
単因子論を一般の単項イデアル整域上で満足のいく形で展開してる
本はBourbakiくらいしか知らない。もっとも現代の教科書を
全部チェックしたわけではないが。Langだったらやってるかも
しれない。
大抵、有理整数環か多項式環またはせいせいユークリッド整域
しか扱ってないし、たまに単項イデアル整域を扱っていても、
詰めが甘かったりする。
693:208
05/11/07 10:59:23
Bourbakiにしたところで、具体的に与えられた行列を一般の単項イデアル整域上で
単因子の標準形に変形する方法については本文ではなくて演習問題に
なってる。だけど、この演習問題はいい。この方法を思いついた人は偉い。
694:208
05/11/07 11:11:51
Van der Waerden によると >>690 から単因子論の基本定理、
つまり行列を単因子の対角行列に変形出来るという定理が
出るらしいけど、その方法を知らない。ちょっと考えたけど
わからない。
695:１３２人目の素数さん
05/11/07 12:22:44
>>692単因子論を一般の単項イデアル整域上で満足のいく形で展開してる
岩波基礎数学講座「環と加群」だったかにも書かれている。
696:208
05/11/07 13:37:47
>>695
Thanks. 岩波の現代数学概説Ｉにも載ってるのを忘れてた。
だけどこれはBourbakiとよく似ている。
697:１３２人目の素数さん
05/11/07 14:18:54
おばかなおりそうもないね
698:208
05/11/07 15:17:49
現代数学概説Ｉは、単因子の単因子たる由来の命題(後で述べる)については
書いてない。行列の基本変形についても書いてない。
だから、これも満足のいくものじゃない。
これから、私がBourbakiを参考に単因子論を展開する。
699:１３２人目の素数さん
05/11/07 15:24:35
もうすこしいろんなことべんきょうしてもらわねばなるまい
700:１３２人目の素数さん
05/11/07 15:25:14
今日は暖かいね
701:１３２人目の素数さん
05/11/08 13:00:43
what is principalization theorem?
702:１３２人目の素数さん
05/11/08 16:35:54
Does someone explain what is almost etale extensions by Faltings?
703:１３２人目の素数さん
05/11/08 17:18:19
Does ?
704:VIPPER
05/11/09 10:43:28
ＶＩＰからきますた、数学の天才、ちょっときてくれ(`・ω・´)
開成中の入試過去問題にお手上げ状態┐(´ー｀)┌
【秀才】 この問題の解き方教えてくれ 【集まれ】
ｽﾚﾘﾝｸ(news板)
705:１３２人目の素数さん
05/11/09 17:48:17
208は充電中？
706:208
05/11/10 08:59:35
補題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を 単項 p-加群
とする。 つまり M は、p-加群(>>680)でかつ一個の元で生成される
とする。Ann(M) = p^n とする(>>684)。>>678 より |M| = p^n である。
k ≧ 0 を整数として、(p^k)M を考える。
0 ≦ k ＜ n のとき、|(p^k)M| = p^(n-k) であり、
k ≧ n のとき、(p^k)M = 0 である。
証明
簡単なので読者に任す。
707:208
05/11/10 09:12:10
補題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を 単項 p-加群
とし、Ann(M) = p^n とする。
k ≧ 0 を整数として、p^(k-1)M/(p^k)M を考える。
0 ＜ k ≦ n のとき、|p^(k-1)M/(p^k)M| = p であり、
k > n のとき、p^(k-1)M/(p^k)M = 0 である。
証明
>>706より明らか。
708:208
05/11/10 09:13:36
命題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を 単項 p-加群
M_i, i = 1, ..., r の有限個の直和とする。|M_i| = p^(m_i) とする。
n を {m_1, ... , mr} の最大値とする。
0 ＜ k ≦ n のとき、leng(p^(k-1)M/(p^k)M) は、m_i ≧ k となる
i の個数に等しい。
証明
>>707より明らか。
709:208
05/11/10 09:24:01
命題
p を A の極大イデアル、M を p-加群 とする。
>>690より M は 単項 p-加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の直和となる。
|M_i| = p^(m_i) とする。
m_1 ≧ ... ≧ m_r と仮定してよい。
このとき、整数の組 (m_1, ... , m_r) は、 M により一意に決まる。
証明
Ann(M) = p^n とする。M の部分加群の列
M ⊃ pM ⊃ ... ⊃ p^(n-1)M ⊃ 0
を考える。この列の各剰余加群 p^(k-1)M/(p^k)M の長さを s_k と
する。p の生成元をπとしたとき、πによる乗法により、
全射: p^(k-1)M/(p^k)M → (p^k)M/(p^(k+1))M が得られるから
s_k ≧ s_(k+1) である。つまり、整数の降列
s_1 ≧ ... ≧ s_n が得られる。この列は、明らかに M だけで決まる。
これから、(m_1, ... , m_r) が決まることは、次のような図を書けば
わかる。
まず、>>708 より s_1 = r_1 である。
s_1 個のブロック（レンガをイメージするとよい）を
横に水平に並べる。その上に左詰めに s_2 個のブロックを並べる。
同様にして、最後に s_n 個のブロックを並べる。
この図の左端の縦１列に並んだブロックの数が m_1 である(>>708)。
その隣の縦１列に並んだブロックの数が m_2 である(>>708)。
以下同様。
証明終
710:208
05/11/10 09:30:44
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
M は 単項 加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の
直和となる。
証明
>>669 と >>690 より明らか。
711:208
05/11/10 09:40:03
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
>>710 より M は 単項加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の
直和となるが、このとき、|M_1| ⊃ ... ⊃ |M_r| と出来る。
証明
>>669 と >>709 から明らか。
712:208
05/11/10 09:42:19
命題
>>711 のイデアルの列 |M_1| ⊃ ... ⊃ |M_r| は M だけで決まり、
単項加群 M_i の取り方によらない。
証明
>>709 より明らか。
713:208
05/11/10 09:44:16
定義
>>712 のイデアルの列 |M_1| ⊃ ... ⊃ |M_r| を M の不変因子と呼ぶ。
714:208
05/11/10 11:47:37
>>680
p-加群というより p-準素加群(p-primary module) と呼んだほうが
よかったかもしれない。さらに有限生成も仮定しないほうがいいかも。
715:１３２人目の素数さん
05/11/10 12:54:56
Problem:
A:integral domain
B:A-algebra of finite type
Then there exists an element a(=/=0) of A such that B[1/a] is free A[1/a] module.
716:１３２人目の素数さん
05/11/10 15:03:18
↑はFreitag＆Kiehlに主張されてるけど、一般には成り立たない。
AがBの部分環でなければ成り立たない気がする。
717:１３２人目の素数さん
05/11/10 15:45:24
>>716
AがBの部分環でないときはBで0になるa(=/=0)が存在し
B[1/a]は零環だから>>715の主張は自明。
718:208
05/11/10 17:13:35
定義
A を可換環、 M を A-加群とする。
T^n(M) を M の n 重のテンソル積 M(x)...(x)M とする。
T^p(M) (x) T^q(M) は T^(p+q)(M) と同一視出来るから、
２重線形写像 f_(p,q): T^p(M) × T^q(M) → T^(p+q)(M) が
f_(p,q)(x, y) = x(x)y により得られる。
T^0(M) = A と定義して直和 T(M) = ΣT^p(M) を考える。
T(M) は f_(p,q) により成分毎の積を定義することにより、
可換とは限らない A-代数となる。
これを A-加群 M 上のテンソル代数と呼ぶ。
719:208
05/11/10 17:15:21
おっと、>>718 の前書きを忘れてた。
Bourbakiによる単因子理論を紹介する前に、その準備として外積代数
について述べる。
720:208
05/11/10 17:18:50
定義
A を必ずしも可換とは限らない環で、次の条件を満たすとする。
1) A = ΣA_p (直和) となる。ここで、p は有理整数全体をわたり、
A_p は A を加法に関してアーベル群とみたときの部分群
2) (A_p)(A_q) ⊂ A_(p+q)
このとき A を(Z型の)次数環という。
p < 0 のとき A_p = 0 となるとき、非負の次数環という。
同様に、Z の n 個の直積を添字集合として、Z^n 型 の次数環
も定義される。
721:208
05/11/10 17:22:14
命題
A を次数環とする。
1 ∈ A_0 となる。従って、A_0 は A の部分環である。
証明
読者にまかす。
722:208
05/11/10 17:28:03
定義
A を次数環とする。M を A-加群で次の条件を満たすとする。
1) M = ΣM_p (直和) となる。ここで、p は有理整数全体をわたり、
M_p は M のアーベル群としての部分群
2) (A_p)(M_q) ⊂ M_(p+q)
このとき M を(Z型の)A-次数加群という。
p < 0 のとき M_p = 0 となるとき、非負という。
M_p の元を同次元という。x ∈ M_p のとき p を x の次数と呼び、
p = deg(x) と書く。
同様に、Z^n 型 の次数加群も定義される。
723:208
05/11/10 17:32:41
定義
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
N を M の A-加群としての部分加群とする。
N = Σ(N ∩ M_p) となるとき、N を M の同次部分加群という。
724:208
05/11/10 17:34:58
定義
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
x ∈ M で x = Σx_p, x_p ∈ M_p であるとき、各 x_p を x の
p 次の同次成分と呼ぶ。
725:208
05/11/10 17:36:33
命題
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
N を M の A-部分加群とする。
N が M の同次部分加群となるためには、以下が成立つことが必要十分である。
x ∈ N なら、その各同次成分も N に含まれる。
証明
明らか。
726:208
05/11/10 17:37:36
命題
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
N を M の A-部分加群とする。
N が M の同次部分加群となるためには、N が同次元で生成される
ことが必要十分である。
証明
読者にまかす。
727:208
05/11/10 17:44:15
定義
A を可換環、 M を A-加群とする。
T(M) を A 上の M から生成されるテンソル代数とする。
T(M) は明らかに次数 A-代数である。
T(M)の部分集合 {x^2; x ∈ M} から生成される両側イデアルを
I とする。T(M)/I を A 上の M から生成される外積代数と呼び、
ΛM と書く。I は同次元で生成されるから同次イデアルである(>>726)。
よって、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) とおけば、
ΛM = Σ(Λ^p)M (直和) となる。よって ΛM も次数 A-代数である。
(Λ^0)M = A であり、(Λ^1)M = M となる。
ΛM の２元 x, y の積を xΛy と書く。
728:１３２人目の素数さん
05/11/10 19:09:40
おろかしい
729:１３２人目の素数さん
05/11/10 19:28:08
1スレッドぐらい私物化しても構わんけどageるな
730:１３２人目の素数さん
05/11/10 19:33:39
208に外積代数がわかるとはおもえん
つっこめばぼろが出るにきまってる
だからつっこむのはやめろよ
731:１３２人目の素数さん
05/11/10 19:36:41
でもブルバキ写してるだけだろ
732:１３２人目の素数さん
05/11/10 19:44:03
だからつっこむのやめろよ
733:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:01:48
対称代数ならもっとやばい
734:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:08:42
退屈だなここは
もっと殺伐としなくちゃ
割り算もういっかい蒸し返すかな
どうせ208はわかってないし
735:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:13:10
>読者にまかす。
そこまで写すかね。
736:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:15:47
とほほすぎるね
737:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:20:22
なんのためにブルバキを写すのか
習字でもやってるのか
738:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:23:29
りはびり
739:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:31:46
外積代数というならもっと実質的なこと書いてほしいね
無理か
740:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:37:39
ブルバキが最新の外積代数らしい
うわっ
741:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:56:43
>>715を証明してくれ。
B:domain,A上有限生成環
AはBの部分環でいい。
742:１３２人目の素数さん
05/11/11 09:45:37
：１３２人目の素数さん ：2005/11/10(木) 20:56:43
>>715を証明してくれ。
B:domain,A上有限生成環
AはBの部分環でいい。
By generic flatness....
743:208
05/11/11 10:18:27
テンソル代数は次の命題で特徴付けられる。
命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
B を可換とは限らない A-代数とし、
f: M → B を A-加群としての射とする。
このとき、A-代数としての射 g: T(M) → B で
f = gj となるものが一意に存在する。
ここで、j: M → T(M) は標準単射。
証明
読者に任す。
744:208
05/11/11 10:26:57
命題
A を可換環、M を A-加群とする。
x_1, ... , x_p を M の元とする。
このとき、次の等式が成立つ。
x_σ(1)Λ...Λx_σ(p) = ε(σ)x_1Λ...Λx_p
ここで、両辺は M の外積代数(>>727) ΛM の p-次同次成分 (Λ^p)M
の元である。
証明
x, y ∈ M のとき、(x+y)Λ(x+y) = 0 となる。
これから n = 2 のときの証明が終わる。
n > 2 のときは帰納法を使う。
詳細は読者に任す。
745:208
05/11/11 10:28:51
>>744
σは集合{1, ..., n} の任意の順列であり、ε(σ)は、σの符号。
746:208
05/11/11 10:36:48
命題
A を可換環、M を A-加群とする。
x_1, ... , x_p を M の元とする。
i ≠ j のとき x_i = x_j なら、
x_1Λ...Λx_p = 0 となる。
証明
まず、x_1 = x_2 のときは、x_1Λ...Λx_p = 0 となることに注意
する。これは、x_1Λx_2Λ...Λx_p = (x_1Λx_2)Λ...Λx_p
で、x_1Λx_2 = 0 から明らか。
一般の場合は、σを集合{1, ..., n} の順列で σ(i) = 1, σ(j) = 2
とすれば、>>744 より、最初の場合に帰着する。
証明終
747:208
05/11/11 10:43:23
外積代数は次の命題で特徴付けられる。
命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
B を可換とは限らない A-代数とし、
f: M → B を A-加群としての射で、
f(x)^2 = 0 が任意の x ∈ M で成立つとする。
このとき、A-代数としての射 g: ΛM → B で
f = gj となるものが一意に存在する。
ここで、j: M → ΛM は標準単射。
証明
読者に任す。
748:208
05/11/11 11:03:35
定義
R を可換環、 A, B を可換とは限らない R-次数代数とする。
Z^2 型の R-次数代数 C を以下のように定義する。
C の (p,q)次の成分を C_(p,q) = A_p(x)B_q とする。
x ∈ A_p, y ∈ B_q
z ∈ A_r, w ∈ B_s
のとき、(x(x)y)(z(x)w) = (-1)^(qr) xz(x)yw
と定義する。
この積が結合律を満たすことは読者に任す。
C を A と B の歪テンソル積と呼び、A(x)'B と書く。
749:208
05/11/11 11:48:10
命題
R を可換環、 A, B を可換とは限らない R-次数代数とする。
C を Z^2 型の R-次数代数とする。
f: A → C
g: B → C
を R-代数の射で、
f(A_p) ⊂ C_(p,0)
g(B_q) ⊂ C_(0,q)
とする。
さらに、x ∈ A_p, y ∈ B_q のとき
f(x)g(y) = (-1)^(pq) g(y)f(x)
とする。
このとき、R-次数代数の(次数を保つ)射
h: A(x)'B → C
で、hu = f, hv = g となるものが一意に存在する。
ここで、A(x)'B は A と B の歪テンソル積(>>748)で
u: A → A(x)'B, v: B → A(x)'B は標準射。
証明
読者に任す。
750:１３２人目の素数さん
05/11/11 12:49:16
>>749
以下のように訂正する。
命題
R を可換環、 A, B, C を可換とは限らない R-次数代数とする。
f: A → C
g: B → C
を R-代数の射で次数を保つ、即ち
f(A_p) ⊂ C_p
g(B_q) ⊂ C_q
とする。
さらに、x ∈ A_p, y ∈ B_q のとき
f(x)g(y) = (-1)^(pq) g(y)f(x)
とする。
このとき、R-代数の射
h: A(x)'B → C で、
h(A_p(x)B_q) ⊂ C_(p+q)
hu = f, hv = g となるものが一意に存在する。
ここで、A(x)'B は A と B の歪テンソル積(>>748)で
u: A → A(x)'B, v: B → A(x)'B は標準射。
証明
読者に任す。
751:１３２人目の素数さん
05/11/11 13:00:42
命題
A を可換環、 M, N を A-加群とする。
L = M + N (直積)とする。
ΛL は (ΛM)(x)'(ΛN) に A-次数代数として標準的に同型となる。
ただし、(ΛM)(x)'(ΛN) の次数型は全次数 n = p + q により
Z 型と考える。
証明
標準射 f: ΛM → ΛL と g: ΛN → ΛL がある。
これは、>>750 の命題の条件を満たす。
よって、h: (ΛM)(x)'(ΛN) → ΛL が定義される。
一方、標準射 M → (ΛM)(x)'(ΛN) と N → (ΛM)(x)'(ΛN)
から、射 L → (ΛM)(x)'(ΛN) が定義される。
これは、>>747 の命題の条件を満たす。
よって、射 k: ΛL → (ΛM)(x)'(ΛN) が定義される。
h と k が互いに逆射となっていることは読者に任す。
証明終
752:１３２人目の素数さん
05/11/11 13:12:43
208には本質がわかってないね
753:208
05/11/11 13:13:59
命題
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
(Λ^p)M は階数 nCp の A-自由加群である。
ここで、nCp は n 個の集合から p 個の部分集合を取る組み合わせの数。
証明
M の基底を e_1, ... , e_n とする。
M = ΣAe_i （直和) だから、>>751 より
ΛM = (ΛAe_1)(x)'...(x)' (ΛAe_n) となる。
各 ΛAe_i = A + A_ei に注意すればよい。
証明終
754:１３２人目の素数さん
05/11/11 13:21:28
はずかし
755:１３２人目の素数さん
05/11/11 14:14:54
>>747
先生わかりません！ 解答を
> ぜひ教えてください。お願いします。ペコリ
756:１３２人目の素数さん
05/11/11 15:31:42
>>755
そうだね
>ここで、j: M → ΛM は標準単射。
は特にわかりにくいね
でも208にきいてもむだだよきっと
本写してるだけだから
757:１３２人目の素数さん
05/11/11 15:35:14
だから
つっこむのやめろよ
またわやくちゃになるぞ
758:１３２人目の素数さん
05/11/11 15:36:34
その通り。オナニーは自由にさせるのがいい。途中でやめさせるから、
精液が回復する。
759:１３２人目の素数さん
05/11/11 15:45:13
はやく本を写し終わって極楽浄土に成仏してくれないかな
760:１３２人目の素数さん
05/11/11 15:49:41
ブルバキ浄土
761:208
05/11/11 16:06:22
>>755
教えてほしいならふざけるなよ。
>>743 はいい？
762:756
05/11/11 16:12:06
>>781
>>743
のことなんか聞いてないだろ
ごまかすなよ
763:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:12:31
２０８は研究に時間を使ったほうがよくないか
764:208
05/11/11 16:13:30
>>743 から出るんだよ、うすらが
765:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:14:56
>>764
他人が二人以上いることにはやく気付けよ。
766:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:17:05
>>764
だんだん余裕がなくなってきてるな。
767:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:18:06
>764
>>756をよく読みましょうね
768:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:19:15
こいつも「敵は一人症候群」か。餓鬼は必ずこれを患ってるな。
769:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:23:38
208には細かい点が理解できないので
それがわかりにくいようにつっこむと
どつぼにはまる
しまいに怒鳴りだして
からかったやつの思うツボ
いまでも割り算で怒鳴ってるし
救いようがない
770:208
05/11/11 16:27:05
>こいつも「敵は一人症候群」か。
うすらが
771:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:28:39
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
772:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:31:14
うっすらバブ－
773:208
05/11/11 16:32:28
>>756
>>727 の記号を使うと、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) だから、
(Λ^1)M = T^1(M)/(I ∩ T^1(M)) だが、定義より T^1(M) = M で
I ∩ M = 0 だから (Λ^1)M = M となる。
774:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:34:48
そうそう素直にならなくちゃ
775:208
05/11/11 16:38:25
なまイキ言うんじゃねえ
776:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:40:26
もっと素直にならなくちゃ
みんなからイヂメラれますよ
777:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:41:12
もっと素直にならなくちゃ
みんなからもっとイヂメラれますよ
778:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:42:16
もっともっと素直にならなくちゃ
みんなからもっともっとイヂメラれますよ
779:208
05/11/11 16:42:44
>>765
他人が一人と決め付けるわけないだろ。>>762に言ってるんだよ。
そいつが誰かなんて関係ねえんだよ。うすらが
780:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:45:01
>>779
誰が誰かぐらいは特定しろよorz
781:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:45:43
もっともっともおーっと素直にならなくちゃ
みんなからもっともっともおーっとイヂメラれますよ
782:208
05/11/11 16:46:34
特定出来るわけないだろ。
見当はつくけどな
783:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:47:20
>>782
じゃあつけた見当を利用して書き分けろよ。
784:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:48:33
妄想
785:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:49:53
>>784
じゃますんな。キチガイ
786:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:51:41
じゃあつけた妄想を利用して書き分けろよ。
787:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:53:22
>>786
利用できる結果は利用しろよ。キチガイ
788:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:57:23
なまイキ言うんじゃねえ
789:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:00:41
>>788
おまえはオッカムのかみそりの向いてる方向が逆なんだよ。
790:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:02:08
なまイキ言うんじゃねえ
791:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:02:47
208の迷語録スレはこちらですか？
792:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:03:05
> ぜひ教えてください。お願いします。ペコリ
こんな素直な子が、背伸びしてブルバキをやったばかりに、
> じゃますんな。キチガイ
> なまイキ言うんじゃねえ
になってしまうなんて、日本の数学教育って一体・・・
793:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:04:16
>>789
なにか勘違いしてるらしいね
794:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:04:51
うすらが
795:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:06:58
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
796:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:08:09
せっかく大学まで行かせてやり
機嫌良く数学やってたんですよ
でもある日
いつも座る席に知らない学生が座っていたので
すねて帰ってきました
それ以来なんです
家にひきこもったきりなんですよ
797:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:09:22
>>793
組みあわせて材料を増やしてからオッカムの剃刀で削るんだよ。
組み合わせる材料をオッカムの剃刀で削ってどうする。
798:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:10:01
なまイキ言うんじゃねえ
799:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:10:21
>>791
208隔離スレでしたが．．．今は．．．あっ
800:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:11:32
>>797
なにか勘違いしてるね
801:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:13:51
>オッカムの剃刀
おお新手の言いがかり登場だぞ
でも何が言いたいのか
奥歯にうんこがはさまっているようだ
802:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:14:10
>>800
なにがさ？
803:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:15:25
>>801
うんこ美味しいよね
804:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:16:11
>>802
だれが何を削ってるってのか？
805:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:17:18
皆んなぁ！ ケンカはやめて仲良くしようよ！！
806:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:17:54
>>804
なにをかんちがいしてるかね？
807:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:18:50
基地外の巣でしたか。ここは。
808:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:20:02
>806
なにも削ってないだろ
削ってるのは208の脳味噌だけ
809:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:21:50
208がやけ糞になって焦土戦術に出たようです
810:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:21:59
>>808
２０８の脳味噌が削っているのかね？
それとも何かが２０８の脳みそを削っているのかね？？？
811:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:23:03
あと200くらいすぐだな
812:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:24:18
焦土戦術は、防御側が効果的な反撃をできないと、ただの敗走だべ
813:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:24:38
>>それとも何かが２０８の脳みそを削っているのかね？？？
そんなおそろしいことを！！！
208は狂牛病なのか？？？
814:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:25:53
ようするに敗走だった
と後でわかる
815:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:26:12
>>811
ということは、ここに封印されていた208が外にあふれ出すのか。
危険！危険！ 900を超えたら全スレに警報を発令せよ！
816:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:29:38
>>815
それはただの上げ荒らしだからたのむからやめてくれ。
817:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:30:13
208隔離スレがあらたに必要なのか
でもおとなしく隔離されるかな？
818:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:31:56
>>817
ズバリ！「２０８隔離スレ」でスレ立ててくれ。ファンスレという事でゆるす。
819:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:42:01
ガロア理論part2の残骸ものせて
820:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:52:51
新スレが立ってしまったが208はいずこへ？
821:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:55:52
208は、最後に「うすらが」という言葉を残して
休眠状態に transfer した。
822:１３２人目の素数さん
05/11/11 18:08:50
こうして、208のブルバキ帝国再興の夢は潰えた。
そして千年後の復活に備えて、永い冬眠状態に
入ったのであった・・・（完）
単に、いじけて泣いているだけという説もあるという。
823:１３２人目の素数さん
05/11/11 18:09:05
208泣いてるよ
ほら
824:１３２人目の素数さん
05/11/11 18:15:10
新生208は
ガウスラ
か？
825:１３２人目の素数さん
05/11/11 18:37:13
ああ単因子よ外積よ
日の目をみずに眠るのか
どうか安らかに死んだように眠っておいてくれ
826:１３２人目の素数さん
05/11/11 18:43:14
208軍団指揮官ガウスラ将軍はいまニューロードを進軍中。
827:１３２人目の素数さん
05/11/11 19:00:24
>>826
フロンティアの開拓村がガウスラ将軍指揮下の精鋭部隊によって壊滅する。
ブルバキ帝国再興の夢は叶うのか。
828:１３２人目の素数さん
05/11/11 19:14:16
一体いままでなんのために写経してきたんだ
これがあの208の最後の姿なのか
それでいいのか208よ
おまえの子分どもが泣いているぞ
さあガウスラとなって立ち上がるのだ
829:１３２人目の素数さん
05/11/11 19:40:08
ガウスラ帝国 万歳！！
830:１３２人目の素数さん
05/11/11 19:46:20
この荒れようを見ると、ほんと、208って、数学板で嫌われていたんだな。
つくづくそう思う。
>>261のような信者も中にはいるが・・・
831:１３２人目の素数さん
05/11/11 20:05:43
>>830
そうそう、あの時が208の絶頂期だったんだよね。今思うと。
数学科を出ていないこの板の普通の住人を侮蔑的に排除するような
言動が結果的に命取りになったかな。ブルバキ帝国を再興したい
なら、まず大義を掲げて一般の住民の支持を得ないとだめだね。
832:１３２人目の素数さん
05/11/11 20:08:16
↓信者へのお答えがこれじゃあねえ。まさに宗教
初学者？ そうね、我慢して証明を追っていく。
そのうち、トンネルを抜けるように見晴らしがパーっと良くなる。
この感覚は言葉でいくら説明してもわからない。
体験するしかない。
833:１３２人目の素数さん
05/11/11 20:55:49
＞＞８３１
このスレで数学科出てない人がいる？とは思えないけど
834:１３２人目の素数さん
05/11/11 21:25:54
>>833
興味がある人はいたと思うよ。2chのような開かれた掲示板で
玄人だけくるようにさせるのは不可能。
それと、208が出没したのはここだけじゃないからね。
835:１３２人目の素数さん
05/11/11 21:28:37
ブルマ履き
836:１３２人目の素数さん
05/11/11 22:10:20
そういえば学会で意味のないらしい内容の発表を５回もするので、本来１５分の発表時間を数分に短縮されていた人がいたけど、２０８ではないよね。
837:１３２人目の素数さん
05/11/11 22:17:56
>>834
＞08が出没したのはここだけじゃないからね。
どこどこ。ほかにはどこ？
838:１３２人目の素数さん
05/11/11 22:41:37
>>837
知ってる範囲で・・・
・オイラーすれで、198と名乗っていた。住人が温厚だったせいか208の独壇場。
・数学の本スレ（すでに1000超えてdat落ち）でブルバキ関係の話題で現れて
荒れたｗ
・線形代数スレで、発言を well known and trivial と指摘されて切れる。
・圏論スレの594以降を見てみん。すさまじく荒れたｗ
・ご存じガロアスレ。このスレの773以降208の没落始まる。
その他、208の陰を感じさせる発言多数。やりとりをした香具師の
ほとんどが気を悪くしている。数学板きっての嫌われ者。
839:１３２人目の素数さん
05/11/11 22:51:30
オイラースレでの言動
670 ：198：2005/08/08(月) 14:50:28
>>666
お前よりは１００倍以上知ってるよ。
自慢にはならないがｗ
840:１３２人目の素数さん
05/11/11 23:23:01
>>838
なるほど。ブルバキ教徒だからすぐわかるってこともあるね。
841:１３２人目の素数さん
05/11/12 13:19:29
ガウスラ将軍の軍団はどこに消えたんだ？
842:１３２人目の素数さん
05/11/14 11:07:31
>>841
ブルバキ帝国正規軍ガウスラ将軍の軍団はただのニートの208に
準同型写像された。
843:１３２人目の素数さん
05/11/14 12:21:05
>>715
A がネーターなら EGA IV-2 p.153 に証明がある。
Eisenbud の本(Commutative algebra with a view ...) にも。
844:208
05/11/14 13:05:37
>>753 の前に以下を述べるべきだった。
R を可換環、 A_1, ... , A_n を必ずしも可換でない R 上の次数代数とする。
これ等の歪テンソル積 (A_1)(x)'...(x)'(A_n) も >>748 と同様に
定義される。
詳しく述べると、
(x_1)(x)...(x)(x_n) と (y_1)(x)...(x)(y_n) の積は
ε(p,q)(x_1y_1)(x)...(x)(x_ny_n) と定義する。
ここで、各 x_i ∈ (A_i)_(p_i), y_i ∈ (A_i)_(q_i)
ε(p,q) = (-1)^（Σ(p_i)(q_j))
Σは i > j のすべての組合わせを動くものとする。
p、q、r ∈ Z^n のとき、
ε(p+q, r) = ε(p, r)ε(q, r)
ε(p, q+r) = ε(p, q)ε(p, r)
となる。
これから、ε(p, q)ε(p+q, r) = ε(p, q+r)ε(q, r)
となる。
これから、結合律 (xy)z = x(yz) が出る。
歪テンソル積の結合律
(A(x)'B)(x)'C = A(x)'(B(x)'C) = A(x)'B(x)'C も成立つ。
845:１３２人目の素数さん
05/11/14 13:07:46
208さんお帰りなさい。まったく酷い荒れようでした。
846:１３２人目の素数さん
05/11/14 14:17:48
>>845
jisakujien, jisakujien
847:１３２人目の素数さん
05/11/14 14:20:38
>>843
本当にありがとう。Eisenbudの本は読んだことあるんだけどな。読んでも覚えないな。
848:１３２人目の素数さん
05/11/14 15:00:50
熱烈歓迎
>数学板きっての嫌われ者。
849:208
05/11/14 15:08:59
定義
A を可換環、 M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、M^p から N への多重線形写像 f
が交代的 であるとは x_i = x_j, i ≠ j のとき常に
f(x_1, ... x_p) = 0 となることをいう。
850:208
05/11/14 15:09:32
命題
A を可換環、M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、f を M^p から N への交代的多重線形写像、
x_1, ... , x_p を M の元とし、σを {1, ... , p} の順列とする。
このとき、次の等式が成立つ。
f(x_σ(1), ... , x_σ(p)) = ε(σ)f(x_1, ... , x_p)
証明
>>746と同様。
851:１３２人目の素数さん
05/11/14 15:15:30
関数y=√3x-2sinx(0＜x＜2π)の極値を求めなさい
って問題がどうしても解けません(´;ェ;`)
852:208
05/11/14 15:34:56
命題
A を可換環、M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、f を M^p から N への交代的多重線形写像とする。
A-加群としての射 g:(Λ^p)M → N で f = gh となるものが一意に
存在する。
ここで h: M^p → N は、h(x_1, ... , x_p) = x_1Λ...Λx_p で定義
される交代的多重線形写像である。
証明
>>727 の記号を使う、
定義より、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) であるから、
I ∩ T^p(M) は T^p(M) の部分加群として、x_1(x)...(x)x_p,
x_i = x_(i+1) の形の元で生成される。
一方、テンソル積の普遍性より、A-加群としての射 φ:T^p(M) → N で
f = φu となるものが一意に存在する。
ここで、u(x_1, ... , x_p) = x_1(x)...(x)x_p である。
よって、I ∩ T^p(M) ⊂ Ker(φ) となる。
よって、g(x_1Λ...Λx_p) = φ(x_1(x)...(x)x_p)
と定義すればよい。g の一意性は明らか。
証明終
853:208
05/11/14 15:53:18
>>753 の別証を行う。
補題
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
n > 0 なら (Λ^n)M ≠ 0 である。
証明
M^n から A への交代的多重線形写像の１つとして行列式 det がある。
つまり、M のある基底により M を縦ベクトル空間 A^n と同一視
して、M^n の元 X を nxn 型の行列と考え det(X) を対応させればよい。
X が単位行列なら det(X) = 1 だから、これは 0 でない。
よって、>>752 より (Λ^n)M ≠ 0 である。
証明終
854:１３２人目の素数さん
05/11/14 16:09:47
ぷっ
855:208
05/11/14 16:13:40
>>753 の別証
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
p > n なら (Λ^p)M = 0 であり、
p ≦ n なら (Λ^p)M は階数 nCp の A-自由加群である。
証明
p > n なら (Λ^p)M = 0 は明らか。
p ≦ n なら (Λ^p)M は e_(i_1)Λ...Λe_(i_p), i_1 < ... < i_p
で生成される。この e_(i_1)Λ...Λe_(i_p) を e_I と書く。
I は {1, .... , n} の濃度 p の部分集合 {i_1, ... , i_p} を
表す。e_I の全体が A上一次独立であることを言えばよい。
p = n なら >>853 より明らか。
p < n で Σ(a_I)(e_I) = 0 とする。ここで、a_I ∈ A である。
１つの I をとり、その補集合を J とする。
e_J Λ(Σ(a_I)(e_I)) = (a_I)e_J Λ e_I + Σ(a_K)e_J Λ e_K
= 0 である。ここで、Σ(a_K)e_J Λ e_K は K ≠ I, |K| = p となる
K に関する和である。
e_J Λ e_K = 0 であるから、(a_I)e_J Λ e_I = 0 となる。
>>853 より e_J Λ e_I ≠ 0 であるから、a_I = 0 となる。
証明終
856:208
05/11/14 16:23:24
>>753 から、有限階数 の A-自由加群 M の階数は基底の取り方に
よらないことが分かる。この事実の別証としては A の極大イデアル
m をとり k = A/m としたとき、M(x)k の体 k 上の次元は
M の A 上の階数に一致することを使う。ただし、この証明は
A がネーターでないとき Zorn の補題が必要である。
857:208
05/11/14 16:36:44
定義
A を可換環、 B を A-加群とする。
A-加群としての射 φ: B → B(x)B があるとき、
組 (B, φ) または B を A-余代数(A-coalgebra)という。
858:１３２人目の素数さん
05/11/14 17:57:11
寒くないのか？
859:１３２人目の素数さん
05/11/14 23:14:13
>>857
つつつ?
860:１３２人目の素数さん
05/11/14 23:44:22
>>855
写すのはいいけど、せめて正確に写そうよｗ
861:208
05/11/15 09:28:58
A-余代数(>>857)の例：
A を可換環、 M を A-加群とする。
対角射 Δ: M → M + M を考える。ここで M + M は直和であり、
Δ(x) = (x, x) である。
Δ により、A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が誘導される。
>>751 より Λ(M + M) = (ΛM)(x)'(ΛM) である。
(ΛM)(x)'(ΛM) は加群としては普通のテンソル積であるから、
ΛΔ により、ΛM は A-余代数となる。
ΛΔ は次数を保つことに注意。
862:208
05/11/15 10:02:32
>>861 の ΛΔ: ΛM → (ΛM)(x)'(ΛM) を具体的に求めよう。
x ∈ M のとき ΛΔ(x) = x(x)1 + 1(x)x である。
よって、x_1, ... , x_n が M の元であるとき、
ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) =
Σ(-1)^μ (x_(i_i)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_i)Λ...Λx_(j_(n-p)))
となる。ここで μ は i_k > j_l となるペアの個数である。
863:208
05/11/15 10:17:12
外積代数 ΛM が自然に余代数となることは余り知られていない。
このあたりはBourbakiの独壇場だろう。
864:208
05/11/15 10:22:09
>>862 の式の訂正
正しくは、
ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) =
Σ(-1)^μ (x_(i_1)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_1)Λ...Λx_(j_(n-p)))
865:208
05/11/15 10:47:45
A を可換環、 (B, φ) を A-余代数とする。
C を結合的とは限らない A-代数 とする。
m: C(x)C → C を乗法から得られる A-加群としての射とする。
u: B → C
v: B → C
を A-加群としての射とする。
φ: B → B(x)B と u(x)v : B(x)B → C(x)C と m: C(x)C → C
の合成 m(u(x)v)φ: B → C を u と v の積と定義することにより、
Hom(B. C) は結合的とは限らない A-代数 となる。
866:208
05/11/15 15:56:56
>>865 の Hom(B. C) が結合的となる条件を考えよう。
A を可換環、E を結合的な A-代数とする。
μ: E(x)E → E を乗法から得られる A-加群としての射とする。
μ(x)1: (E(x)E)(x)E → E(x)E と μ: E(x)E → E の合成
E(x)E(x)E → E(x)E → E と
1(x)μ: E(x)(E(x)E) → E(x)E と μ: E(x)E → E の合成
E(x)E(x)E → E(x)E → E は結合的より一致する。
ここで、(E(x)E)(x)E と E(x)(E(x)E) を E(x)E(x)E と同一視している。
これの双対として、つまり、矢印の向きを変えることにより次の定義が得られる。
定義
(B, φ) を A-余代数とする。
φ: B → B(x)B と φ(x)1: B → (B(x)B)(x)B の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B と
φ: B → B(x)B と 1(x)φ: B → B(x)(B(x)B) の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B が一致するとき、B は余結合的という。
ここで、(B(x)B)(x)B と B(x)(B(x)B) を B(x)B(x)B と同一視している。
867:208
05/11/16 10:07:39
命題
(B, φ) を A-余代数で余結合的とする。
C を結合的な A-代数 とする。
Hom(B, C) は >>865 の乗法により結合的な A-代数となる。
証明
u, v, w を Hom(B, C) の元とする。
u(x)v(x)w: B(x)B(x)B → C(x)C(x)C と
乗法から得られる C(x)C(x)C → C の合成を h とする。
h: B(x)B(x)B → C
これと、φ: B → B(x)B と φ(x)1: B(x)B → B(x)B(x)B の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B → C
は、(uv)w に等しい。
同様に h と φ: B → B(x)B と 1(x)φ: B(x)B → B(x)B(x)B の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B → C
は、u(vw) に等しい。
B は余結合的だから (uv)w = u(vw) となる。
証明終
868:208
05/11/16 10:54:15
>>865 の Hom(B. C) が単位元を持つ条件を考えよう。
A を可換環、E を単位元 1 を持つ A-代数とする。
ν: A → E を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。
μ(ν(x)1): A(x)E → E(x)E → E は A(x)E を E と見なしたとき
E の単位射である。ここで、μ: E(x)E → E は E の乗法から
得られる射。同様に
μ(1(x)ν): E(x)A → E(x)E → E は E の単位射である
これの双対として、つまり、矢印の向きを変えることにより次の定義が得られる。
定義
(B, φ) を A-余代数とする。
A-加群としての射 η: B → A が以下の条件 1) と 2) を満たすとき
η を B の余単位と呼ぶ。
1) (ν(x)1)μ: B → B(x)B → A(x)B は A(x)B を B と見なしたとき
B の単位射である。
2) (1(x)ν)μ: B → B(x)B → B(x)A は B(x)A を B と見なしたとき
B の単位射である。
869:208
05/11/16 11:08:40
命題
(B, φ) を A-余代数で余単位を持つとする。
C を単位元を持つ A-代数 とする。
Hom(B, C) は >>865 の乗法により単位元を持つ A-代数となる。
証明
η: B → A を余単位とする。
ν: A → C を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。
νη: B → C が Hom(B, C) の単位元となる。
この証明は読者にまかす。
870:208
05/11/16 11:38:46
命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
ΛM は余結合的である。
証明
対角射 Δ: M → M + M
と h = (1, Δ): M + M → M + M + M の合成
hΔ: M → M + M → M + M + M を考える。
ここで、h は h(x, y) = (x, y, y) で定義される射である。
よって、hΔ(x) = (x, x, x) である。
同様に、対角射 Δ: M → M + M
と g = (Δ, h): M + M → M + M + M の合成
gΔ: M → M + M → M + M + M を考える。
ここで、g は g(x, y) = (x, x, y) で定義される射である。
よって、gΔ(x) = (x, x, x) である。
よって、hΔ = gΔ である。
Δ から誘導される A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が
ΛM の余代数としての構造射である(>>861)。
よって、ΛM が余結合的であることは、
Λh = 1(x)(ΛΔ), Λg = (ΛΔ)(x)1 に注意すれば、
hΔ = gΔ から明らか。
証明
871:208
05/11/16 11:49:45
命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
ΛM は余単位(>>869)を持つ。
証明
ΛM = Σ(Λ^p)M (直和) であり、A = (Λ^0)M である。
η: ΛM → A をこの直和における射影とする。
これが余単位であることは、>>862 の公式から分かる。
証明終
872:208
05/11/16 13:45:53
ここで、次数加群の Hom について少し述べる。
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
u :M → N を A-加群としての射で、ある p ∈ Z があり、
u(M_n) ⊂ N_(n+p) が任意の n ∈ Z で成立つとき
u を次数 p の同次射という。次数 p の同次射 u: M → N の集合
を仮に H_p と書こう。H_p は Hom(M, N) の Z-加群としての
部分加群である。H_p で生成される Hom(M, N) の部分加群
ΣH_p は H_p の直和である(証明は読者に任す)。
ΣH_p を Homgr(M, N) と書く(gr は graded の略)。
Homgr(M, N) は H_p を同次部分加群とする A-次数加群である。
873:208
05/11/16 14:28:25
命題
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明
x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。
u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。
ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p 次の同次成分。
u_p(x_i) = Σz_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N) を定義する。
u_p は同次でありその次数は p - deg(x_i) である。
u_p が well-defined であることは、
Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき 各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を
確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。
これを確かめるのは読者に任せる。
u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明終
874:208
05/11/16 14:42:29
規約：
A を可換環、 M を A-次数加群とする。 ただし A は A_0 = A,
p ≠ 0 のとき A_p = 0 として次数環と見なす。
Homgr(M, A) の p 次部分 Homgr(M, A)_p は Hom(M_(-p), A) と
見なせる。しかし、我々は Homgr(M, A) を考えるときは
Homgr(M, A)_p = Hom(M_p, A) と定義することにする。
何故、このように定義するかは後にわかる。
875:208
05/11/16 14:52:54
A を可換環、 M を A-加群とする。
Homgr(ΛM, A) は A-次数加群である。
これが、結合的な A-次数代数で単位元を持つことは、ΛM が余代数
となり(>>861)、余結合的で(>>870)、余単位を持つ(>>871)
ことから明らかだろう(>>867 と >>869 より)。
876:208
05/11/16 16:33:06
A を可換環、 M を A-加群とする。
整数 p > 0 に対して、M^p から A への交代的多重線形写像(>>849)の
集合をAlt(M^p, A)と書こう。これは、A-加群である。
>>874 の規約より、Homgr(ΛM, A)_p = Hom((Λ^p)M, A) だが、
これは >>852 より Alt(M^p, A) と見なせる。
u ∈ Alt(M^p, A), v ∈ Alt(M^q, A) のとき A-次数代数としての
Homgr(ΛM, A) における u と v の積を明示的に求めてみよう。
>>862 より
ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) =
Σ(-1)^μ (x_(i_1)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_1)Λ...Λx_(j_(n-p)))
である。
よって、(ΛM)(x)'(ΛM) を (Z^2)-型の次数代数と見たときの
ΛΔ(x_1Λ...Λx_(p+q)) の (p, q)-成分は、
Σε(σ) (x_σ(1)Λ...Λx_σ(p)) (x) (σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q))
となる。ここで、σは集合 {1, ... , p+q} の置換で、それぞれ
区間 {1, ... , p} と 区間 {p, ... , p+q} において狭義単調増加
するものを動く。ε(σ) は σ の符号。
これと >>865 から
(uv)(x_1, ... , x_(p+q)) =
Σε(σ) u(x_σ(1), ..., x_σ(p))v(x_σ(p), ..., x_σ(p+q))
となる。
877:１３２人目の素数さん
05/11/16 17:02:34
無眼界乃至無意識界無無明亦無無明尽
878:208
05/11/16 17:08:21
話は変わるけど(実は外積代数と関係あるが)、不変式論って面白そうだね。
以下はEisenbudその他の受け売り。
不変式論は１９世紀の半ば頃から末まで流行ったが、Hilbertが不変式論で
大きな仕事をしてから廃れてしまい、２０世紀半ばくらいまでは
内容を知ってる人間はわずかだった。それが、Mumford が
幾何的不変式論を発表してから再び日の目を見るようになった。
Hilbertは、不変式論の研究で四つの大きな発見をした。
1) 多項式イデアルの基底定理
2) 多項式イデアルの零点定理
3) 同次イデアルのHilbert多項式
4) 同次イデアルのSyzygy定理
これらは、可換環論で重要なものばかり。これらが不変式論から
出てきたということから、この理論が只者じゃないことがわかる。
879:１３２人目の素数さん
05/11/16 17:38:40
>>878
Hilbert's Invariant Theory Papers
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
880:１３２人目の素数さん
05/11/16 17:58:09
永田雅宜先生も古典的な不変式論を高く評価されています。
881:１３２人目の素数さん
05/11/16 18:14:28
>>877
乃至無老死亦無老死尽無苦集滅道無智亦無得
882:１３２人目の素数さん
05/11/16 20:55:17
永田氏の思考力には驚嘆する。すごく入り組んだことを考えれる人だ。
883:208
05/11/17 09:33:16
>>873を以下のように訂正する。
命題
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明
x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。
u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。
ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p + deg(x_i) 次の同次成分。
各 i に対して u_p(x_i) = z_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N)
を定義する。 u_p は同次でありその次数は p である。
u_p が well-defined であることは、
Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき 各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を
確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。
これを確かめるのは読者に任せる。
M は有限生成だから u_p は有限個を除いて 0 である。
u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明終
884:208
05/11/17 09:52:06
A を可換環、 M を A-加群とする。
x_1, ... , x_p ∈ M
y_1, ... , y_q ∈ M
とする。
ΛM において、
(x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q) =
(-1)^(pq) (y_1Λ...Λy_q)Λ(x_1Λ...Λx_p)
となる。
よって、x ∈ (Λ^p)M, y ∈ (Λ^q)M のとき、
xΛy = (-1)^(pq) yΛx となる。
定義
B を (Z+)-型の(結合的な)次数代数とする。
ここで Z+ は非負の有理整数の集合を表す
x ∈ B_p, y ∈ B_q のとき、xy = (-1)^(pq) yx となるとき、
B を歪可換次数代数という。
885:208
05/11/17 10:04:22
A を可換環、 M を A-加群とする。
x ∈ (Λ^p)M とする。
x = Σx_i で各 x_i = x_(i_1)Λ...Λx_(i_p), x_(i_j) ∈ M
とする。
xΛx = Σx_iΛx_i + Σ(x_iΛx_j + x_jΛx_i) となる。
ここで２番目の和は i < j となる組を動くとする。
i < j のとき、x_jΛx_i = (-1)^(p^2) x_iΛx_j であるから、
p が奇数のときは x_iΛx_j + x_jΛx_i = 0 となる。
よって、このとき xΛx = 0 である。
定義
A を可換環、 B を A 上の歪可換な次数代数とする。
x ∈ B_p で p が奇数のとき x^2 = 0 となるとき、
B を交代代数という。
886:208
05/11/17 10:53:13
これ良さげだね
Classical Invariant Theory
URLﾘﾝｸ(www.amazon.com)
887:１３２人目の素数さん
05/11/17 11:08:38
永田雅宜先生も古典的な不変式論を高く評価されています。
881 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/16(水) 18:14:28
>>877
乃至無老死亦無老死尽無苦集滅道無智亦無得
882 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/16(水) 20:55:17
永田氏の思考力には驚嘆する。すごく入り組んだことを考えれる人だ。
888:208
05/11/17 11:25:59
A を可換環、 M を A-加群とする。
>>876 より
f, g ∈ Hom(M, A) のとき、Homgr(ΛM, A) において、
(fg)(x, y) = f(x)g(y) - f(y)g(x)
となる。
よって、f^2 = 0 である。
よって、>>747 より
A-代数としての射 θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op で
f ∈ Hom(M, A) のとき、θ(f) = f となるものが一意に存在する。
ここで、Homgr(ΛM, A)^op は Homgr(ΛM, A) の乗法を逆にした
代数を表す(op は opposite の略)。
乗法を逆にするのは後の計算を簡単にするためであり、便宜的なもの
に過ぎない。
889:208
05/11/17 12:34:13
A を可換環、 E を A-余代数(>>857)で余結合的(>>866)とする。
φ: E → E(x)E をその構造射とする。Hom(E, A) は >>867 より
結合的な A-代数となる。u_1, ... , u_n ∈ Hom(E, A) のとき
その積 u_1...u_n を求めよう。
E から E の n 個のテンソル積 E(x)...(x)E への A-加群としての射
φ_n: E → E(x)...(x)E を帰納的に
φ_n = (φ_(n-1)(x)1)φ で定義する。
つまり φ_n を φ: E → E(x)E と
φ_(n-1)(x)1: E(x)E → (E(x)...(x)E)(x)E の合成で定義する。
ここで、E(x)...(x)E は E の(n-1)個のテンソル積。
双対的に A の n 個のテンソル積 A(x)...(x)A から A への射を
A の乗法で定義したものを μ_n とおく。
μ_n = μ(μ_(n-1)(x)1) である。
このとき、
u_1...u_n = μ_n(u_1(x)...(x)u_n)φ_n
となる。
証明
n に関する帰納法。
u_1...u_(n-1) = μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))φ_(n-1)
とする。
u_1...u_(n-1)u_n
= μ(μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))φ_(n-1))(x)u_n)φ
= μ(μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))(x)u_n)(φ_(n-1)(x)1))φ
= μ((μ_(n-1)(x)1)(u_1(x)...(x)u_(n-1)(x)u_n))(φ_(n-1)(x)1))φ
= μ((μ_(n-1)(x)1)(u_1(x)...(x)u_(n-1)(x)u_n))(φ_(n-1)(x)1))φ
= μ_n(u_1(x)...(x)u_n)φ_n
証明終
890:208
05/11/17 17:20:43
A を可換環、M を A-加群とする。
ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) は ΛM の余代数としての構造射である
簡単のために ΛΔ = φ とおく。
f_1, ... , f_n ∈ Hom(M, A) のとき
これ等の積 f_1...f_n を具体的に求めよう。
>>889 より f_1...f_n = μ_n(f_1(x)...(x)f_n)δ_n である。
ここで、δ_n は φ_n の 次数 (1,...,1) の成分を表す。
同様に δ は φ の 次数 (1,...,1) の成分を表す。
ただし、ここでは ΛM の n 個のテンソル積 (ΛM)(x)...(x)(ΛM) に
(Z^n)-型の次数付けを入れている。
δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n))
となることを n に関する帰納法により証明する。
δ は φ の 次数 (1,...,1) の成分だから
>>862 より
δ_n(x_1Λ...Λx_n) = (δ_(n-1)(x)1)δ(x_1Λ...Λx_n)
= Σ(-1)^(n-j) φ_(n-1)(x_1)Λ..[x_j]..Λx_n) (x) x_j
ここで、x_1)Λ..[x_j]..Λx_n は x_j を除いたことを意味する。
この右辺に帰納法の仮定を適用して
= Σ(-1)^(n-j)(Σε(σ)(x_σ(1)(x)..[x_σ(j)]..(x)x_σ(n))(x)x_j
= Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n))
つまり
δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n))
である。よって、
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n)
= μ_n(f_1(x)...(x)f_n)δ_n(x_1Λ...Λx_n)
= Σε(σ) f_1(x_σ(1))...f_n(x_σ(n))
= det(f_i(x_j))
となる。
891:208
05/11/18 10:36:15
>>890 の最後の式
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = det(f_i(x_j))
は、>>889 を使わなくても >>876 から帰納法により証明できる。
つまり、
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n)
= (f_1...f_(n-1))f_n(x_1, ... , x_n)
= Σ(-1)^(n-j-1) (f_1...f_(n-1))(x_1,..[x_j]..,x_(n-1)))f_n(x_j)
= Σ(-1)^(n-j-1) Σε(σ) f_1(x_σ(1))..[x_j]..f_(n-1)(x_σ(n-1))f_n(x_j)
= Σε(σ) f_1(x_σ(1))...f_n(x_σ(n))
= det(f_i(x_j))
892:208
05/11/18 11:03:01
A を可換環、M を A-加群とする。
f_1, ... , f_n ∈ Hom(M, A) のとき
θ(f_1Λ...Λf_n) = (f_n)...(f_1)
= (-1)^(n(n-1))/2 (f_1)...(f_n)
である。ここで、θは >>888 の
θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
である。
M が A 上の階数 m の自由加群で、e_1, ..., e_m
をその基底とする。
f_1, ..., f_m をその双対基底とする。
つまり、f_1, ..., f_m ∈ Hom(M, A) で f_i(e_j) = δ(i,j)
である。ここで、δ(i,j) は Kronecker の δ
I が {1,...,m} の部分集合で
I = {i_1, ..., i_p}, i_1 < ... < i_p のとき、
f_I = f_(i_1)Λ...Λf_(i_p) と書く。
同様に e_I も定義する。
>>890 の最後の式
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = det(f_i(x_j))
より、
(-1)^(p(p-1))/2 θ(f_I)(e_J) = δ(I, J)
となる。
ここで、δ(I, J) は Kronecker の δ の拡張で
I = J のとき δ(I, J) = 1、I ≠ J のとき δ(I, J) = 0
よって、{(-1)^(p(p-1))/2 θ(f_I)} は {e_J} の Hom((Λ^p)M, A)
における双対基底である。
よって θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
は同型射である。
893:１３２人目の素数さん
05/11/18 11:07:10
>>882
>永田氏の思考力には驚嘆する。すごく入り組んだことを考えれる人だ。
別に反対はしないけど、永田の可換体論の本は分かりにくい。
あの本の内容はそれほど難しくはないんだが。
894:１３２人目の素数さん
05/11/18 11:15:18
永田の local rings は Eisenbud が褒めてるね。
deep and beautiful って。
あの本を褒める人は珍しい。普通、重要な結果を載せているとは
認めていても almost unreadable とか言ってる(例えばMilne)。
895:１３２人目の素数さん
05/11/18 11:21:31
>>893
入り組んだ思考の跡をそのまま記述するのが永田の限界かも。
この特徴は教科書の執筆にも現れている。
896:１３２人目の素数さん
05/11/18 11:41:31
なるほど
897:１３２人目の素数さん
05/11/18 11:51:08
>>895
と言うより、彼にとって当然の事が普通の(数学をやってる)人に
とって当然じゃないんだろうね。才能のある人にありがちな事。
898:１３２人目の素数さん
05/11/18 11:58:18
almost unreadable とか言ってる(例えばMilne)
where??
899:１３２人目の素数さん
05/11/18 12:00:28
英語が奇妙ってことはあるが
900:１３２人目の素数さん
05/11/18 12:02:24
大学、大学院では数学（の勉強、研究）をやらずに
塾講師と非常勤（中～大学で）をバリバリやってた
奴だけがアカポス獲得競争への参加資格が得られる
時代になった、ということだ。要するにね
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:77番)
901:１３２人目の素数さん
05/11/18 12:06:08
>>898
Milne の online book の代数幾何学の最後の方に参考書のリストと
感想が載ってる。その本はMilne のwebサイトからdownload出来る。
902:１３２人目の素数さん
05/11/18 12:09:10
>>899
そういう意味じゃない。
Milne のコメントを引用すると、
Contains much important material, but it is concise to the point
of being almost unreadable.
903:１３２人目の素数さん
05/11/18 14:32:07
Thanks!!
904:１３２人目の素数さん
05/11/18 18:05:06
>>902
＞そういう意味じゃない。
でもそういう意味にも読めるけど？どういう意味にとればいいんだ？
905:１３２人目の素数さん
05/11/18 18:07:39
>>904
もっと英語勉強しろ
906:１３２人目の素数さん
05/11/19 15:39:19
可換体論のようなスタイルが
数学だと思って論文を書いて投稿したら
”too concise”というコメントつきで
かえされてしまった。
これが本当の「顰みに習う」だね。
907:１３２人目の素数さん
05/11/21 09:30:04
先週、GrothendieckのスレでKummerの話をちょっとしたけど、
Kummerというのは過小評価されてる天才の数少ない例だろうね。
数学では天才というのは、概ね、遅かれ早かれ正等に認められる。
ところが、KummerというのはFermatの問題に一生を費やした
好事家というイメージが多少ある。
908:208
05/11/21 11:20:57
A を可換環、M を A-加群とする。
x ∈ (Λ^p)M に対して
φ(x)(y) = xy により、A-次数加群としてのp次の射 φ(x): ΛM → ΛM
が得られる。この双対 φ(x)^*: Homgr(ΛM, A) → Homgr(ΛM, A)
を i(x) と書く。つまり、y ∈ (Λ^(n-p))M, f ∈ Homgr(ΛM, A)_n
に対して (i(x)f)(y) = f(xy) と定義する。
i(x)f ∈ Homgr(ΛM, A)_(n-p) である。
i(xy) = i(y)i(x) となる。
よって、Homgr(ΛM, A) は f・x = i(x)f と定義することにより、
右 ΛM-次数加群となる。
i(x)f を f の x による内積と呼ぶ。
i(x)f を 仮に f←x とも書こう。このように書くのは、x が f に
作用していることを示すためである。
さらに、f(x) をベクトルの内積の記号で (f, x) とも書く。
すると、
(f←x, y) = (f, xy)
となる。
909:１３２人目の素数さん
05/11/21 12:18:31
Beethoven
910:１３２人目の素数さん
05/11/21 12:57:33
誤爆か？
911:208
05/11/21 13:48:24
定義
A を可換環、E を Z+型の次数付けをもった A-加群で
余代数(>>857)とする。
さらに、E は余結合的(>>866)で余単位(>>868)
をもつとする。
φ: E → E(x)E をその構造射とする。
φは次数加群として次数0の射とする。
つまり、φ(E_n) ⊂ Σ(E_p)(x)(E_q), n = p + q である。
このとき、E をA-次数余代数という。
912:１３２人目の素数さん
05/11/21 14:07:10
usuraga
913:208
05/11/21 14:29:49
A を可換環、E を A-次数余代数(>>911)とする。
f, g を Homgr(E, A) の同次元とする。
x ∈ E_n とし、
φ(x) = Σx_i(x)y_i
とする。
(fg)(x) = Σf(x_i)g(y_i) = g(Σf(x_i)y_i) = g(f(x)1)(x)
である。
ここで、f(x)1 : E → A(x)E = E により、
f(x)1 を射 E → E と見なしている。
f(x)1 を i(x)と書く。(i(x))f を x←f とも書く。
f(x) をベクトルの内積の記号で (x, f) と書くと、
(x←f, g) = (x, fg)
となる。
914:208
05/11/21 14:38:07
>>913 の続き。
φ(x) = Σx_i(x)y_i
φ(x_i) = Σu_(i,j)(x)v_(i,j)
φ(y_i) = Σz_(i,j)(x)w_(i,j)
とすると
(1(x)φ)φ(x) = Σx_i(x)z_(i,j)(x)w_(i,j)
(φ(x)1)φ(x) = Σu_(i,j)(x)v_(i,j)(x)y_i
である。
(x←f)←g = Σf(x_i)(Σg(z_(i,j))w_(i,j))
= Σf(x_i)g(z_(i,j))w_(i,j)
= (f(x)g(x)1)(1(x)φ)φ(x)
x←(fg) = Σ((fg)(x_i))y_i
= ΣΣf(u_(i,j))g(v_(i,j))y_i
= (f(x)g(x)1)(φ(x)1)φ(x)
E は余結合的だから、
(1(x)φ)φ= (φ(x)1)φ
よって、
(x←f)←g = x←(fg)
となる。
よって、E は Homgr(E, A)-右加群となる。
x ∈ E_n で f ∈ Homgr(E, A)_p のとき、
x←f ∈ E_(n-p) である。
915:208
05/11/21 15:10:38
A を可換環、M を A-加群とする。
ΛM は明らかに A-次数余代数 だから、>>914 より
Homgr(ΛM, A)-右加群となる。
x ∈ (Λ^(p+q))M_n で f ∈ Homgr(ΛM, A)_p のとき、
x←f ∈ (Λ^(n-p))M を具体的に求めよう。
>>876 より、
((x_1Λ...Λx_(p+q))←f) =
Σε(σ) f(x_σ(1)Λ...Λx_σ(p))(x_σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q))
ここで、σは集合 {1, ... , p+q} の置換で、それぞれ
区間 {1, ... , p} と 区間 {p, ... , p+q} において単調増加
するものを動く。ε(σ) は σ の符号。
916:208
05/11/21 15:39:51
>>915の続き。
f ∈ Homgr(M, A)_1 とする。つまり、f は Hom(M, A) の元とする。
(x_1Λ...Λx_p)←f
= Σ(-1)^(i-1)f(x_i)(x_1Λ..[x_i]..Λx_p)
となる。ここで、[x_i] は x_i を除くという意味である。
よって、
(x_1Λ...Λx_pΛy_1Λ...Λy_q)←f
= Σ(-1)^(i-1)f(x_i)(x_1Λ..[x_i]..Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q)
+ Σ(-1)^(p+j-1)f(y_j)(x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ..[y_j]..Λy_q)
= ((x_1Λ...Λx_p)←f)Λy_1Λ...Λy_q
+ (-1)^p(x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q)←f
となる。
つまり、x ∈ (Λ^p)M, y ∈ (Λ^p)M のとき、
(xΛy)←f = (x←f)Λy + (-1)^p(xΛ(y←f))
これは、内積 x←f が歪可換代数 ΛM の微分であることを示している。
917:208
05/11/21 15:58:31
>>915の続き。
f による 内積 i(f)(x) 即ち x←f は ２乗すると 0 となる。
つまり、(x←f)←f = 0 である。
何故なら、(x←f)←f = x←(ff) であるが、ff = 0 だから。
よって、ΛM は i(f) を境界作用素(または微分!)とする複体になる。
918:１３２人目の素数さん
05/11/21 16:15:22
とことんトホホな奴。
919:１３２人目の素数さん
05/11/21 16:40:52
このバカ
セミナーで延々と関係ないこと喋ってたんだろうな学生時代
920:１３２人目の素数さん
05/11/21 16:41:14
スレも終わりなのに、まだDedekind環までいってない。
可換代数の講義が俺の目的ではないんだけどね。
代数的整数論のほんとにおいしい所は可換代数とは別のところにある。
当然だけど。
921:１３２人目の素数さん
05/11/21 16:44:30
関係ないことはない。
Leray も多少過小評価されてるな。
922:１３２人目の素数さん
05/11/21 16:50:35
そろそろ新しいスレに移ろうか？
このスレを生かしておかないと参照に不便だから１０００まで
すぐに行かないように。
923:１３２人目の素数さん
05/11/21 16:53:09
誰か次のスレ立ててくれないかな。
俺は慣れてないんで。
次のスレの題名は簡単に「代数的整数論２」にしてくれ。
924:１３２人目の素数さん
05/11/21 16:55:39
わがままな奴
おまえいつの間に講義してたんだ
脳内大学か？
925:１３２人目の素数さん
05/11/21 16:59:16
847 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/14(月) 19:39:33
あれ？
喧嘩はもう終わったのか。
ﾂﾏﾝﾈ
848 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/14(月) 19:56:04
ケンカというより、208の化けの皮がはがれたんで
お仕置きされていたというのが正しい。
926:1
05/11/21 17:24:06
今回はスレ立て無理みたいです。スマソ。
927:１３２人目の素数さん
05/11/21 17:29:13
208は見捨てられたのか。
928:１３２人目の素数さん
05/11/21 17:30:03
誤ることはない、残念だけど。
類体論までいく予定だったけど
929:１３２人目の素数さん
05/11/21 17:31:11
208専用スレはもうとっくに立ってるじゃないか！
930:１３２人目の素数さん
05/11/21 17:40:16
予備校で類体論でも課外授業してれば
931:１３２人目の素数さん
05/11/21 17:57:50
だめだよ
932:208
05/11/21 17:59:05
駄目って何が？
933:１３２人目の素数さん
05/11/21 18:00:25
だめだよ
934:１３２人目の素数さん
05/11/21 18:03:03
>>926
なんで？ 208がブラックリストに載ったとか？
問題ばかり起こしているからなぁ。
935:１３２人目の素数さん
05/11/21 18:05:37
>>930
無理だよ。わかってないんだもの。まあ、分数わかってなくても
偉そうに教えている小学校の教師もいるようだから、なくはないか。
936:１３２人目の素数さん
05/11/21 18:11:53
ブルバキ写すのが講義だったら
類体論でもなんでも講義できるね
937:１３２人目の素数さん
05/11/21 18:14:13
その心を見事に写せば、間違いなく立派な講義なんだけどね
さて、この写経の心は・・・うすらが、でしたっけ？
938:１３２人目の素数さん
05/11/21 18:14:26
そう甘くはない。質問されたらどうする？
それに、ここは誰でも見れる。
専門家もな
939:１３２人目の素数さん
05/11/21 18:17:00
>質問されたらどうする？
208はそれでこけた
940:１３２人目の素数さん
05/11/21 18:18:48
で、お前等、俺の講義を聞きたくないの？
941:１３２人目の素数さん
05/11/21 18:20:26
なんちゅう冗談いうてんねんおまえ
おまえ誰？
942:１３２人目の素数さん
05/11/21 18:21:41
土足であがりこんできて、
オレのウンコが欲しくないの？
って言うヤクザはまだ聞いたことが無いな
943:１３２人目の素数さん
05/11/21 22:53:21
人の本の丸写しに近いのは東大や京大では講義とは言わないよ
実際にはそういう講義もたまにあるけど
>>922
にくちゃんねるとかmimizunとかで、数ヶ月もすれば過去ログとして無償公開してくれるけどね
まあその間不便か
>>923
立ててみればいいじゃん
944:１３２人目の素数さん
05/11/22 09:18:02
>人の本の丸写しに近いのは東大や京大では講義とは言わないよ
丸写しじゃないだろ。
これを丸写しというなら松村だってそうだろ。
あれの随伴素イデアルのところとか、平坦加群とか完備化の扱い
はBourbakiだし、次元論はＥＧＡ ＩＶだし。
945:１３２人目の素数さん
05/11/22 09:27:30
今やってるとこは初歩的なところだからBourbaki参照で済ましたい
ところなんだよ、俺の本音は。
だけど、そうすると敷居が高くなるだろ。
そういう、俺の親切心を分からないんだから。
こんなとこでやたら独創性を発揮してもうざいだけだろ。
946:１３２人目の素数さん
05/11/22 09:36:24
>立ててみればいいじゃん
俺は立てないよ。
皆の意見を聞いてると立てて欲しくないようだからな。
それに逆らってまで立てようとは思わない。
947:１３２人目の素数さん
05/11/22 10:23:22
>>946
自分でホームページ立ち上げれば？ あんたのことをぼろくそに
言っている連中（おれ含む）のIPアドレスがわかるぞ。
948:１３２人目の素数さん
05/11/22 10:28:27
ホームページなんてめんどうだろ。
レスポンスが遅いし。
949:１３２人目の素数さん
05/11/22 10:59:51
実はたたかれるのが快感？
950:１３２人目の素数さん
05/11/22 11:15:32
逆だよ
951:１３２人目の素数さん
05/11/22 11:26:00
>>942
比喩になってないだろ、ボケが。
このスレは俺が人に頼んで立ててもらったもの。
土足で上がりこんでるのはお前なんだよ。
952:１３２人目の素数さん
05/11/22 12:58:07
そろそろ終わりが近づいてきた。やれやれ
953:１３２人目の素数さん
05/11/22 13:45:24
なにこのスレ
954:１３２人目の素数さん
05/11/22 14:02:28
写経スレ
955:１３２人目の素数さん
05/11/22 14:26:43
208はじゃがいも好きか？
956:１３２人目の素数さん
05/11/22 14:41:15
>土足で上がりこんでるのはお前なんだよ。
おまえ人前でフリチンはやめろよ。
957:１３２人目の素数さん
05/11/22 14:48:45
秘書がやりました、みたいだな。凄い論理感覚
典型的な数学馬鹿
958:１３２人目の素数さん
05/11/22 14:55:48
>>957
勘違いするなよ、ボケが。
このスレを見たくなければ見なけりゃいいだけの話。
959:１３２人目の素数さん
05/11/22 14:58:18
>このスレを見たくなければ見なけりゃいいだけの話。
ｺﾉﾋﾄ
ｱﾀﾏ
ﾜﾙｲ
ﾃﾞｽﾈ
960:１３２人目の素数さん
05/11/22 14:59:59
>>958
うすらが
961:１３２人目の素数さん
05/11/22 15:01:51
>このスレを見たくなければ見なけりゃいいだけの話。
ｺﾉﾋﾄ
ｳｽﾗ
ﾃﾞｽﾈ
962:１３２人目の素数さん
05/11/22 15:03:33
>>959
>>961
病院から抜けてきたひとですか？
963:１３２人目の素数さん
05/11/22 15:06:41
>病院から抜けてきたひとですか？
毛ｶﾞﾇｹﾃｷﾀﾋﾄﾃﾞｽｶ?
964:１３２人目の素数さん
05/11/22 15:09:26
208ﾊｼﾞｬｶﾞｲﾓﾃﾞｽｶ？
965:１３２人目の素数さん
05/11/22 15:12:15
>>962
人間一つくらい病気があるもんだけどな
208は完璧人間ｻﾝﾃﾞｽﾈｰ
966:１３２人目の素数さん
05/11/22 15:35:09
>>965
>208は完璧人間ｻﾝﾃﾞｽﾈｰ
ｿｳ ｵﾓﾜﾅｹﾘｬ ﾔｯﾃｲｹﾅｲ ﾂﾗｲ ｼﾞﾝｾｲ ﾅﾝﾀﾞﾛｳﾈ
967:１３２人目の素数さん
05/11/22 15:51:40
ニートの自己完全視と似たようなものか
968:１３２人目の素数さん
05/11/22 15:53:48
写経主義は永遠に不滅。写経主義者は完璧人間のみ。
969:１３２人目の素数さん
05/11/22 15:55:08
ニートの事故感電死？
社共主義？
970:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:10:54
208 よ！
次スレ 立ててやったぞ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
971:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:30:31
七十一日。
972:１３２人目の素数さん
05/11/22 16:52:35
>>970
みんなを敵に回したな
973:１３２人目の素数さん
05/11/22 17:10:42
>>972
受けて立とう！
皆って何人だ？、全員名乗れ。
974:１３２人目の素数さん
05/11/22 17:12:24
307（ミンナ）
975:１３２人目の素数さん
05/11/22 17:31:14
みんなは誰でもだ
普通そうだろ
みんな普通そうなんだよ
な
208の口癖
976:１３２人目の素数さん
05/11/22 17:31:56
>>975
正鵠
977:１３２人目の素数さん
05/11/22 19:39:52
208は線型代数2の最初のヤツと同じ
978:１３２人目の素数さん
05/11/23 16:30:31
七十二日。
979:１３２人目の素数さん
05/11/24 05:06:00
208の口癖
976 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/22(火) 17:31:56
>>975
正鵠
977 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/22(火) 19:39:52
208は線型代数2の最初のヤツと同じ
978 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/23(水) 16:30:31
七十二日。
980:１３２人目の素数さん
05/11/24 10:45:11
nikudaaaan sanyushiii!!!!!!
onikumo sanyushiiiiiii!!!!
kora!!!! omaira yasukuni sampaishireiiiiii!!!
981:１３２人目の素数さん
05/11/24 10:45:59
四天王
982:１３２人目の素数さん
05/11/24 11:34:05
頼むからこのスレ、しばらく生かしておいておくれ。
983:１３２人目の素数さん
05/11/24 11:35:01
kora!!!! omaira yasukuni sampaishireiiiiii!!!
981 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/24(木) 10:45:59
四天王
982 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/24(木) 11:34:05
頼むからこのスレ、しばらく生かしておいておくれ。
319 KB [ ２ちゃんねるが使っている 完
984:１３２人目の素数さん
05/11/24 12:55:03
頼むからこのスレ、しばらく生かしておいておくれ。 頼むからこのスレ、しばらく生かしておいておくれ。
985:１３２人目の素数さん
05/11/24 13:34:42
>>984
全レスを表示してページ保存をすれば良かろう。
986:１３２人目の素数さん
05/11/24 14:06:48
>>985
分かってないなお主は。
今、このスレの続きが立ってるだろ。そこで、このスレを参照
してるのだよ。このスレが無くなってから初めてそこに来た人は、
どうする？
いずれにしろ、無いよりあったほうがいいだろ。
いいから、このスレをほっといてくれ、頼むよ。
987:１３２人目の素数さん
05/11/24 14:40:44
>>986
Who are you????
988:１３２人目の素数さん
05/11/24 16:30:31
七十三日。
989:１３２人目の素数さん
05/11/24 16:55:56
いちいちあげるから目立つんじゃないの？
990:１３２人目の素数さん
05/11/24 17:48:24
w.w.w.w.w.w.w.w.w.w.w.w.w.wwww
p.p.p.p.p.p.p.p.p.p.p.p.p.pppp
k.k.k.k.k.k.k.k.k.k.k.k.k.kkkk
991:GiantLeaves ◆0RbUzIT0To
05/11/24 17:49:29
>>1 お前誰だよ？
992:１３２人目の素数さん
05/11/24 18:10:46
臨終の時は迫れり
993:１３２人目の素数さん
05/11/24 18:16:30
心を静かに保ち、姿勢を正して、
一字ずつに真心を込めて写経すれば、
こころが癒されるであろう。
994:１３２人目の素数さん
05/11/24 18:19:31
摩訶般若古馬鹿心経
995:１３２人目の素数さん
05/11/24 18:21:24
老兵は消えゆくのみ
996:１３２人目の素数さん
05/11/24 18:21:59
唯我独尊
997:GiantLeaves ◆0RbUzIT0To
05/11/24 18:23:36
king 氏ね。
998:１３２人目の素数さん
05/11/24 18:24:13
心は世界にどうつながっているのか
999:１３２人目の素数さん
05/11/24 18:25:48
208はつぶやく、「このうすらが」
だが、ここでどんなに叫ぼうとも、誰も聞くものもいない。
怨念に満ちた声だけが空しく響いてゆく・・・
1000:１３２人目の素数さん
05/11/24 18:26:12
現代思想の源流
1001:１００１
Over 1000 Thread
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もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。