05/11/02 17:01:32
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上の有限生成かつ捩れのない加群
とする。このときM は自由加群である。
証明
M は捩れがないから、A の商体を K としたとき、
標準射: M → M(x)K は単射となる。よって、M ⊂ M(x)K とみなす。
M(x)K は、K-加群として M の元で生成されるから、
M の有限個の元からなる(K-加群としての)基底をもつ。
これらを、x_1, ... , x_n とする。
一方、M の A-加群としての生成元を、y_1, ... , y_m とする。
各 y_i は y_i = Σα(i,j)x_j, α(i,j) ∈ K と表される。
よって、a(y_i) ∈ Ax_1 + ... + Ax_n が全ての i で成立つような
a ∈ A, a ≠ 0 がある。L = Ax_1 + ... + Ax_n とおくと、
L は A-自由加群であり、aM ⊂ L となる。よって、M ⊂ (1/a)L
となる。(1/a)L も自由であるから、>>650 より M も自由である。
証明終