05/11/01 16:23:45
命題
k を体、K/k を k のガロワ拡大、つまり準ガロワで分離的な拡大とし、
G = Aut(K/k) とする。H を G の部分群とする。
K^H = {x ∈ K; 各σ∈H で、σ(x) = x } とおく。
つまり、K^H は H で固定化される K の部分体である。
G(K^H) すなわち Aut(K/K^H) は H の閉包である。
証明
H の閉包を cl(H) とする。
H ⊂ G(K^H) は明らかである。G(K^H) は G の閉部分群である(>>627)
から、cl(H) ⊂ G(K^H) である。よって、σ∈G(K^H) の任意の近傍が
H の元を含むことを示せばよい。L/k を K の中間体で有限次ガロワ拡大
となるものとする。M を L と K^H の合成部分体、すなわち K の部分体で
L と K^H を含む最小のものとする。M/K^H は有限次ガロワ拡大である。
H の元を M に制限することにより射 φ: H → Aut(M/K^H) が得られる。
φ(H) で固定される M の部分体は、K^H である。
よって有限次ガロワ拡大の基本定理より、φ(H) = Aut(M/K^H) である。
つまり、φ は全射である。
σ∈G(K^H) の M への制限をσ|M とすれば、σ|M は Aut(M/K^H)
の元であるから、σ|M = φ(τ) となる τ∈ H がある。
L ⊂ M であるから、σ|L = τ|L となる。これは、τ∈σG(L) を
意味する。σG(L) はσの基本開近傍だから cl(H) = G(K^H) である。
証明終