05/11/01 10:24:29
>>607 において、各 N ∈ S に対して G/N に離散位相を入れる。
N_1, N_2 ∈ S で N_1 ⊃ N_2 のとき N_1 ≦ N_2 と定義して、
S に順序を入れる。N_1 ≦ N_2 のとき、G/N_2 → G/N_1 が自然に
定義される。よって S を添字集合として、(G/N), N ∈ S は
離散位相群からなる射影系となる。よって、proj.lim G/N が定義
される。
各N ∈ S は開集合だから、標準射 G → G/N は連続である。
さらに、この射は、射影系(G/N)と両立するから、
連続写像 f: G → proj.lim G/N が自然に定義される。
このとき、f(G) は、proj.lim G/N において稠密である。
証明
proj.lim G/N から G/N への標準射を f_N とする。
(f_N)f : G → G/N は標準射である。したがって、全射である。
これと、>>620 からわかる。
証明終