05/11/01 10:11:07
命題
I を有向前順序集合、(X_i) を I を添字集合とする位相空間の射影系とする。
射影極限 proj.lim X_i を X とおく。f_i: X → X_i を標準射とする。
X の任意の開集合は、(f_i)^(-1)(U) の形の開集合の合併である。
ここに、 i は I の要素を動き、U は X_i の開集合を動く。
証明
X は直積空間 ΠX_i の部分空間であるから、
X の開集合 U は、f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r)
の形の開集合の合併である。ここで、i_1, ... , i_r は I の要素で
あり、 U_k は X_i_k の開集合である。
x を U の任意の点とし、
x ∈ f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r) とする。
I は有向前順序集合だから、i_1 ≦ j, ... i_r ≦ j となる j がある。
V_k = f_(i_k, j)^(-1)(U_k) とおく。
ここで、f_(i_k, j) : X_j → X_i_k は射影系を定義する射。
f_(i_k, j) は連続だから、V_k は X_j の開集合である。
(f_j)^(-1)(V_k) ⊂ f_(i_k)^(-1)(U_k) だから、
V = V_1 ∩ ... ∩ V_r とおけば、
(f_j)^(-1)(V) ⊂ f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r)
となる。x ∈ (f_j)^(-1)(V) だから、命題の主張が出る。
証明終