05/10/31 09:56:27
Cohen-Seidenbergの第２定理(いわゆるGoing-down定理)に関連して、
無限次ガロワ拡大について述べる。これは数論においても重要である。
位相群の初歩については既知と仮定する。
命題
G を群、S を G の正規部分群の集合で以下の条件(F)を満たすものとする。
(F) N_1, N_2 ∈ S なら N_1 ∩ N_2 ⊃ N_3 となる N_3 ∈ S がある。
x ∈ G に対して、{xN; N ∈ S} を x の基本近傍系と定義することにより、
G は位相群となる。
証明
G の部分集合 U が以下の性質(O)を満たすとき、G の開部分集合と
定義する。
(O) x ∈ U なら xN ⊂ U となる N ∈ S が存在する。
G の開部分集合全体が位相を定めることは、条件 (*) より明らか。
y ∈ xN なら、yN = xN だから xN は開部分集合である。
よって、{xN; N ∈ S} は x の基本近傍系となる。
S の元 N は正規部分群だから、任意の x ∈ G に対して
xN = Nx となることに注意する。よって、
x, y ∈ G, N ∈ S に対して、(xN)(yN) = xyNN = xyN となる。
これから、G の積算法が定める写像 G x G → G は連続である。
(xN)^(-1) = Nx^(-1) = x^(-1)N だから、
x に その逆元 x^(-1) を対応させる写像 G → G も連続である。
よって G はこの位相により位相群となる。
証明終