05/10/27 10:37:05
>>567 では 有限生成イデアル (a, b) が単項となりことを使ったが、
Z では任意のイデアル I が単項となる。
証明
I に含まれる最小の正数をa とすると、b ∈ I なら、
b = aq + r, 0 ≦ r < a となる q, r ∈ Z がある。
r ∈ I だから a の最小性より r = 0
よって、I = (r) となる。
証明終
570:208
05/10/27 10:40:36
>>569 を使ったほうが >>564 の証明はすっきりするが、
>>564 の証明は構成的であるという利点がある。
571:208
05/10/27 10:41:35
>>569
>よって、I = (r) となる。
よって、I = (a) となる。
572:208
05/10/27 11:35:24
>>565の証明は、次のようにしても証明できる。
Z/pZ が体であることを示せばよい。
証明
Z/pZ の加法群は位数 p の群であるから単純群である。
よって pZ ⊂ I ⊂ Z となる non-trivial なイデアル I は
存在しない。よって、Z/pZ は体である。
証明終
573:208
05/10/27 12:01:44
命題
φ: A → B を環の射、I = Ker(φ) とする。
f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。
B が A 上整なら、Im(f) = V(I) である。
証明
A/I ⊂ B と見なせるから、V(I) ⊂ Im(f) は、>>520 殻出る。
p ∈ Spec(A) - V(I) とする。
s ∈ I - p となる元 s がある。φ(s) = 0 だから、
S = A - p としたとき、φ(S) は 0 を含む。
よって、B_p = 0 である。よって、f^(-1)(p) は空(>>539)。
証明終
574:208
05/10/27 12:12:23
命題
A, B を環で、A ⊂ B とし、B は A 上整とする。
p ∈ Spec(A), q_1, q_2 ∈ Spec(A) で、
q_1 ⊂ q_2 かつ p = q_1 ∩ A = q_2 ∩ A とする。
このとき、q_1 = q_2 である。
証明
A_p ⊂ B_p だから、A, B を A_p, B_p で置き換えてよい(>>514)。
よって、p は極大としてよい。よって q_1, q_2 は極大となる(>>515)。
よって、q_1 ⊂ q_2 なら q_1 = q_2 である。
証明終
575:208
05/10/27 12:13:21
>>574
>p ∈ Spec(A), q_1, q_2 ∈ Spec(A) で、
p ∈ Spec(A), q_1, q_2 ∈ Spec(B) で、
576:208
05/10/27 12:18:40
定義
A, B を環で、A ⊂ B とする。
B の元で A 上整なもの全体は B の部分環となる(>>510)。
これを A の B における整閉包という。
577:208
05/10/27 12:21:31
注意：
環の部分環というときは断らない限り単位元を共有するものと
仮定している。環の射も単位元を単位元に写すものとする。
578:208
05/10/27 12:24:14
定義
A を整域とする。A のその商体における整閉包が A と一致するとき、
A を整閉整域という。
579:208
05/10/27 12:45:07
補題
A を環、I をそのイデアル、p_1, ... , p_n ∈ Spec(A)、
I ⊂ p_1 ∪ ... ∪ p_ n とする。
このとき、I ⊂ p_i となる p_i が存在する。
証明
p_i ⊂ p_j なら p_i を除いて考えればよいから、
p_1, ... , p_n の間には包含関係はないと仮定してよい。
I ⊂ p_i がどの i でも成立たないとして矛盾を導けばよい。
J_i を集合{p_1, ... , p_n} から p_i を除いたものの積イデアル
とする。IJ_i ⊂ p_i とはならないから、
元 x_i ∈ IJ_i - p_i が存在する。
x = x_1 + ... + x_n とおく。
j ≠ i のとき、x_j = 0 (mod p_i) だから、x = x_i (mod p_i)
となる。一方 x_i ≠ 0 (mod p_i) だから、x ≠ 0 (mod p_i)
が任意の i で成立つ。
一方、x ∈ I だから I ⊂ p_1 ∪ ... ∪ p_ n より、
x ∈ p_i となる i がある。これは矛盾。
証明終
580:208
05/10/27 12:49:13
>>579 の証明は中国式剰余定理(>>341)の証明と似ている。
581:１３２人目の素数さん
05/10/27 14:52:05
哲学と数学
582:208
05/10/27 16:22:06
ついでに、>>579 と形式上、似たような命題を証明する。
その前に次の補題を用意する。
補題
K を無限体、X を K-加群、V, W_1, ... , W_n をその部分加群、
V ⊂ W_1 ∪ ... ∪ W_n とする。
x, y ∈ V なら、x, y ∈ W_i となる i がある。
証明
t ∈ K とすると、x + ty ∈ W_i となる i がある。
t にこの i を対応させることにより、集合としての写像
K → {1, ..., n} が得られる。K は無限体だから、この写像は
単射ではありえない。よって、x + ty = x + sy ∈ W_i となる
t, s ∈ K で t ≠ s となるものがある。
よって、(t - s)y ∈ W_i となる。これから、y ∈ W_i となり、
x ∈ W_i ともなる。
証明終
583:208
05/10/27 16:23:10
命題
K を無限体、X を K-加群、V, W_1, ... , W_n をその部分加群、
V ⊂ W_1 ∪ ... ∪ W_n とする。
このとき、V ⊂ W_i となる i が存在する。
証明
V が W_n に含まれないとする。x ∈ V - W_n をとる。
y ∈ V を任意にとる。補題(>>582)より x, y ∈ W_i となる i があるが
i = n では有り得ない。よって、V ⊂ W_1 ∪ ... ∪ W_(n-1) となる。
帰納法より、証明が終わる。
証明終
系
無限体上のベクトル空間はその真の部分空間の有限個の和集合には
ならない。
584:208
05/10/27 16:24:38
命題
K を無限体、L/K を体の拡大とする。L/K の中間体が有限個なら
L = K(c) となる元 c がある。
証明
L/K の中間体で L と異なるものを L_1, ..., L_n とする。
L は K-加群とみなされ、L_1, ..., L_n はその部分加群となる。
よって命題(>>583)より L ≠ L_1 ∪ ... ∪ L_n である。
よって、c ∈ L - (L_1 ∪ ... ∪ L_n) が存在する。
K(c) はどの L_i とも一致しないから、L = K(c) である。
証明終
585:208
05/10/27 17:00:38
気がついた人も多いと思うけど、俺の証明のスタイルは、non-trivialな
命題であっても、それをなるべくtrivialな命題に分割して証明していく。
これは言うのは簡単だけど、ある程度の思考とコツを必要とする。
しかし、これがうまくいった場合は、あまりにもその証明が簡単なので
読者は、最終的に得られた結果さえtrivialと勘違いする場合もある。
べつにそれでかまわないが。
これは、BourbakiやGrothendieck などのスタイルでもある。
Atiyah-MacDonald は、その序文にもあるように明確にこのスタイルを
意識して書かれている。
586:208
05/10/27 18:09:16
定義
K を体、L/K を K の代数拡大体とする。
L の任意の元α の K 上の最小多項式が K において１次式の
積に完全に分解するとき、L/K を準ガロワ(quasi-Galois)拡大という。
因みにquasiは強いてカタカナで書くと英語読みでクェイザイと発音する。
L/K が準ガロワ拡大で分離的なとき L/K をガロワ拡大という。
準ガロワ拡大は昔(今も?)は正規拡大と呼んでいたが、Bourbaki流の
準ガロワのほうがよいと思う。
587:208
05/10/27 18:14:02
>>586
quasiの発音を聞きたい人はMerriam-Webster Online Dictionary
をGoogleで検索して、そこに行き、quasiを検索すると２通りの
発音が聞ける。
588:１３２人目の素数さん
05/10/27 18:55:43
どこの何様が知らぬが、ご親切なことで。
589:208
05/10/28 08:56:09
>>586
>L の任意の元α の K 上の最小多項式が K において１次式の
>積に完全に分解するとき、L/K を準ガロワ(quasi-Galois)拡大という。
L の任意の元α の K 上の最小多項式が L において１次式の
積に完全に分解するとき、L/K を準ガロワ(quasi-Galois)拡大という。
590:208
05/10/28 09:01:54
>>547 には反応あるけど >>546 にはないね。
俺なんか、>>546 の事実のほうが数倍衝撃的だけどな。
研究の動機よりもその過程と結果がもっと重要だろう。
591:208
05/10/28 09:08:17
>>588
皮肉のつもりだろうが、わからんな。
親切のどこが気にくわないんだ？
592:208
05/10/28 09:16:53
ああ、わかった。
例のよくある自分の知ってることを丁寧に教えられると腹が立つという、
劣等感からくるやつね。くだらねえ奴。
593:１３２人目の素数さん
05/10/28 09:17:56
善意か悪意か灰色の文面は善意に取ろう。てぃむぽと面の皮は多少は厚くないと。
594:208
05/10/28 09:33:04
「どこの何様が知らぬが、」
これは灰色じゃなくて黒だよ。
595:１３２人目の素数さん
05/10/28 09:37:21
人間に関する事は結局全部灰色だよ。そうじゃない部分で白黒つけてさよ。
596:208
05/10/28 09:55:10
>>584
>命題
>K を無限体、L/K を体の拡大とする。L/K の中間体が有限個なら
>L = K(c) となる元 c がある。
L/K が有限次と仮定すると、以下のような簡単な別証がある。
L = K(α, β) と２個の元で生成される場合を考えればよい。
t ∈ K として、中間体 K(α + tβ) を考える。K は無限体だから、
K(α + tβ) = K(α + sβ) となる、t, s ∈ K で t ≠ s となる
ものがある。よって、(α + tβ) - (α + sβ) = (t - s)β は
K(α + tβ) に含まれ、これから β、よってαも K(α + tβ)
に含まれる。よって、 L = K(α + tβ) となる。
597:208
05/10/28 10:29:38
俺は何も諸君が俺の書いてる事柄を知らないと思ってるわけじゃない。
自分の知ってることは読みとばしてくれていい。
こんなことは断るまでもなく当たり前だけど、>>588みたいな
奴もいるからね。
598:208
05/10/28 11:06:45
>>559
秋月・永田の近代代数学という古い本(1957年頃が初版)も
少しだが参考にしてる。これは題名からは想像出来ないが
可換代数そのもの。薄いけど内容はわりと高度。
ネーター整域の整閉包がKrull環という、Bourbakiにも松村にも
載ってないことが書かれている。永田の可換環論には載ってる
だろうが。
他には、Dirichletの初等整数論講義にあるDedekindの付録。
この本の邦訳。しかし、この訳はちょっと読みづらい。
いちいち名詞の複数形に達をつけてる。例えば、ｎ個の整数達とか。
599:１３２人目の素数さん
05/10/28 13:34:12
どこのお偉いお方か存じませぬがご親切なことでございますね。
600:208
05/10/28 16:12:18
基本的には自分のためにやってる。考えを整理するには書くのが
一番いい。まあノート代わりだな。だけど、読者にも役立つんだから
そう目くじらたてなくてもいいだろ。それに、こちらからの
一方通行というわけでもないし。
601:１３２人目の素数さん
05/10/28 16:45:14
南無阿弥陀仏南無阿弥陀仏南無阿弥陀仏南無阿弥陀仏
602:208
05/10/28 16:55:49
あれ、知らなかったの？
おいおい、それは甘すぎだよ。
俺は慈善事業やってるわけじゃない。
だけど、俺が得して諸君も得する。こなにいいことないだろ。
603:１３２人目の素数さん
05/10/28 17:12:42
御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏
604:１３２人目の素数さん
05/10/28 21:37:55
色即是空色即是空色即是空色即是空色即是空色即是空色即是空
605:１３２人目の素数さん
05/10/29 08:39:45
PaiPPPPaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiaiPaiPaiPaiPaiPaiaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiai
606:１３２人目の素数さん
05/10/29 08:40:27
（＾ω＾）⊃ ｱｳﾄ!!!
（⊃ ）
／ ヽ
⊂（ ＾ω＾）⊃ ｾｰﾌ!!!
（ ）
／ ヽ
（ ＾ω＾） ヨヨイの!!
（⊃⊂ ）
／ ヽ
⊂⌒ヽ (⌒⊃
＼ ＼ ／⌒ヽ / /
⊂二二二（ ＾ω＾）ニニ二⊃
＼ ＼_∩_／ ／
（ (::)(::) ）
ヽ＿,*､＿ノ ﾌﾞｰﾝ
／／／
／／／
607:208
05/10/31 09:56:27
Cohen-Seidenbergの第２定理(いわゆるGoing-down定理)に関連して、
無限次ガロワ拡大について述べる。これは数論においても重要である。
位相群の初歩については既知と仮定する。
命題
G を群、S を G の正規部分群の集合で以下の条件(F)を満たすものとする。
(F) N_1, N_2 ∈ S なら N_1 ∩ N_2 ⊃ N_3 となる N_3 ∈ S がある。
x ∈ G に対して、{xN; N ∈ S} を x の基本近傍系と定義することにより、
G は位相群となる。
証明
G の部分集合 U が以下の性質(O)を満たすとき、G の開部分集合と
定義する。
(O) x ∈ U なら xN ⊂ U となる N ∈ S が存在する。
G の開部分集合全体が位相を定めることは、条件 (*) より明らか。
y ∈ xN なら、yN = xN だから xN は開部分集合である。
よって、{xN; N ∈ S} は x の基本近傍系となる。
S の元 N は正規部分群だから、任意の x ∈ G に対して
xN = Nx となることに注意する。よって、
x, y ∈ G, N ∈ S に対して、(xN)(yN) = xyNN = xyN となる。
これから、G の積算法が定める写像 G x G → G は連続である。
(xN)^(-1) = Nx^(-1) = x^(-1)N だから、
x に その逆元 x^(-1) を対応させる写像 G → G も連続である。
よって G はこの位相により位相群となる。
証明終
608:208
05/10/31 10:09:51
命題
>>607 で定義された G の位相がハウスドルフであるためには、
∩{N; N ∈ S} = {e} が必要十分である。ここで e は G の単位元。
証明
{e} の閉包が ∩{N; N ∈ S} となることに注意すればよい。
609:208
05/10/31 10:24:26
命題
f, g: X → Y を位相空間 X から Y への２個の連続写像とする。
Y がハウスドルフなら、X の部分集合 E = {x ∈ X; f(x) = g(x)}
は閉集合である。
証明
Y x Y の対角集合をΔとする。つまり、Δ = {(y, y); y ∈ Y} とする。
Y はハウスドルフだから、Δ は Y x Y の閉集合である。
h(x) = (f(x), g(x)) により、写像 h: X → Y x Y を 定義する。
これが連続なことは明らか。E = h^(-1)(Δ) だから、
E は閉である。
証明終
610:208
05/10/31 10:33:12
命題
I を前順序集合、(X_i) を I を添字集合とする位相空間の射影系とする。
各 X_i がハウスドルフなら、射影極限 proj.lim X_i は
直積空間 X = ΠX_i の閉集合である。
証明
pr_i: X → X_i を射影とする。
i ≦ j に対して E_(i,j) = { x ∈ X; pr_i(x) = f_(i,j)pr_j(x) }
と定義する。f_(i,j): X_j → X_i は射影系(X_i)を定義する射である。
E_(i,j) は命題(>>609)より X の閉集合である。
proj.lim X_i は i ≦ j を任意に変化させたときの E_(i,j) の
共通集合だから閉である。
証明終
611:１３２人目の素数さん
05/10/31 14:56:00
Gを代数的数を成分にもつGL(n,C)の有限生成部分群とする。
このときある自然数kがあり、任意のGの元gに対し
g^kの成分が代数的整数になる。
上記のことは成り立つでしょうか？知っている方がいたら
教えて下さい。
612:208
05/10/31 15:08:55
>>611
少なくとも n = 1 のときは成り立たないけど。
例えば 1/2 で生成されるGL(1,C)の部分群。1/2 を何乗しても整数にならない。
613:１３２人目の素数さん
05/10/31 15:47:43
ASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASAS
614:１３２人目の素数さん
05/10/31 15:54:32
>>612
有理整数でなく代数的整数だから，
2x-1=0⇒x=1/2
でOKなのでは？？
615:208
05/10/31 16:23:50
>>614
1/2 は代数的整数じゃない。後でやるけど、有理整数環 Z は整閉
だから、有理数で代数的整数であるものは有理整数しかない。
616:611
05/10/31 16:34:47
>>612
確かに…すぐに思いつかなかったのがなさけない…orz
何か適当な（例えば位相的な）条件を追加して
成り立つようにできないでしょうか？
617:208
05/10/31 16:50:23
>>616
今、無限次ガロワ拡大について書くのに忙しいんで、これ以上
相手出来ない。悪いが．．．
618:１３２人目の素数さん
05/10/31 17:18:47
無限次ガロワ拡大 is full!!!!!!!!!!!1
619:611
05/10/31 20:29:28
すみません。正しい主張は、
Gを代数的数を成分にもつGL(n,C)の有限生成部分群とする。
このときGの有限の生成系{g_i}に対しある自然数kがあり、
kg_iの成分が代数的整数になる。
でした。これじゃ説明省いて使うよな…
620:208
05/11/01 10:11:07
命題
I を有向前順序集合、(X_i) を I を添字集合とする位相空間の射影系とする。
射影極限 proj.lim X_i を X とおく。f_i: X → X_i を標準射とする。
X の任意の開集合は、(f_i)^(-1)(U) の形の開集合の合併である。
ここに、 i は I の要素を動き、U は X_i の開集合を動く。
証明
X は直積空間 ΠX_i の部分空間であるから、
X の開集合 U は、f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r)
の形の開集合の合併である。ここで、i_1, ... , i_r は I の要素で
あり、 U_k は X_i_k の開集合である。
x を U の任意の点とし、
x ∈ f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r) とする。
I は有向前順序集合だから、i_1 ≦ j, ... i_r ≦ j となる j がある。
V_k = f_(i_k, j)^(-1)(U_k) とおく。
ここで、f_(i_k, j) : X_j → X_i_k は射影系を定義する射。
f_(i_k, j) は連続だから、V_k は X_j の開集合である。
(f_j)^(-1)(V_k) ⊂ f_(i_k)^(-1)(U_k) だから、
V = V_1 ∩ ... ∩ V_r とおけば、
(f_j)^(-1)(V) ⊂ f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r)
となる。x ∈ (f_j)^(-1)(V) だから、命題の主張が出る。
証明終
621:208
05/11/01 10:24:29
>>607 において、各 N ∈ S に対して G/N に離散位相を入れる。
N_1, N_2 ∈ S で N_1 ⊃ N_2 のとき N_1 ≦ N_2 と定義して、
S に順序を入れる。N_1 ≦ N_2 のとき、G/N_2 → G/N_1 が自然に
定義される。よって S を添字集合として、(G/N), N ∈ S は
離散位相群からなる射影系となる。よって、proj.lim G/N が定義
される。
各N ∈ S は開集合だから、標準射 G → G/N は連続である。
さらに、この射は、射影系(G/N)と両立するから、
連続写像 f: G → proj.lim G/N が自然に定義される。
このとき、f(G) は、proj.lim G/N において稠密である。
証明
proj.lim G/N から G/N への標準射を f_N とする。
(f_N)f : G → G/N は標準射である。したがって、全射である。
これと、>>620 からわかる。
証明終
622:208
05/11/01 10:45:34
命題
>>621 において f: G → proj.lim G/N は G から f(G) への全射を
引き起こすが、これは開写像である
(f(G)には proj.lim G/N の部分位相をいれておく）。
証明
G の単位元の基本開近傍の像が f(G) の単位元の開近傍であることを
示せばよい。proj.lim G/N から G/N への標準射を f_N とし、
e を G/N の単位元とする。
f(G) ∩ (f_N)^(-1)(e) = f(N) である。G/N の位相は離散だから{e}
は、開集合である。よって、(f_N)^(-1)(e) も開集合である。
証明終
623:208
05/11/01 11:22:15
k を体、K/k を k の準ガロワ拡大(>>586)とする。
K の k-自己同型のなす群を Aut(K/k) と書く。
G = Aut(K/k) とおく。
K/k の中間体 L/k で有限次準ガロワ拡大となるものを考える。
G の元を L に制限することにより、群の射 G → Aut(L/k) が得られる。
これは、全射である。この核を G(L) と書く。G(L) は G の正規部分群
である。このような G(L) の全体は、>>607 の条件 (F) を満たす。
よって、G は >>607 により位相群となる。
命題
G はコンパクトである。
証明
>>621 より連続写像 f: G → proj.lim G/G(L) が定義される。
Ker(f) = ∩G(L) だが、これは明らかに G の単位元のみからなる。
よって、f は単射。G/G(L) = Aut(L/k) とみなされるから、
proj.lim G/G(L) の元 (σ_L)は、各 L/k にその自己同型 σ_L
を引き起こし、L ⊃ L' のときは σ_L' は σ_L の制限となっている。
K はこのような L の合併集合であるから、(σ_L)は G のある元σ
から引き起こされる。よって、f: G → proj.lim G/G(L) は全射である。
G/G(L) は有限群だから、離散位相でコンパクトである。
よってその直積 ΠG/G(L) もコンパクト。
proj.lim G/G(L) は、>>610より閉集合だから、proj.lim G/G(L) も
コンパクトである。f は、>>622 より開写像であるから、
G は、proj.lim G/G(L) と位相同型である。
よって、G もコンパクトである。
証明終
624:208
05/11/01 12:20:39
k を体、K/k を k の準ガロワ拡大(>>586)とする。
G = Aut(K/k) とおく。
一般に、K/k の中間体 L/k に対して、K/L は準ガロワ拡大である。
Aut(K/L) を G(L) と書く。G(L) ⊂ G とみなすことにする。
特に、K/k の中間体 L/k で有限次拡大となるものを考える。
L を含むK/k の中間体 L'/k で、有限次準ガロワ拡大となるものがある。
例えば、L/k のすべての共役体で生成される体をとればよい。
G(L) ⊃ G(L') であるから、G(L) も G の単位元の近傍となる。
x_1, ..., x_n を K の元とする。G の元σ に対して
U(σ; x_1, ... , x_n) =
{τ ∈ G; σ(x_1) = τ(x_1), ... , σ(x_n) = τ(x_n)}
とおく。容易にわかるように U(σ; x_1, ... , x_n) は σ の開近傍
であり、x_1, ..., x_n を変化させると、σ の基本開近傍系が得られる。
さて、K から K への集合としての写像全体からなる集合を K^K と書く。
K^K は K を添字集合とする直積集合とみなせる。
K に離散位相を入れ、K^K に直積位相を入れる。
G の位相は、この K^K の部分空間としての位相をいれたものに
他ならない。
625:１３２人目の素数さん
05/11/01 12:41:14
What is 準ガロワ拡大?
626:208
05/11/01 13:05:17
>>625
>k を体、K/k を k の準ガロワ拡大(>>586)とする。
って書いてあったら普通、>>586 に準ガロワ拡大の説明があるだろう。
わからない用語が出てきたら、このスレ全体をテキストファイルにコピーして
その用語で検索すればいい。前のほうに説明があるはず。
627:208
05/11/01 13:17:54
命題
k を体、K/k を k の準ガロワ拡大とし、L を K/k の中間体とする。
G = Aut(K/k), G(L) = Aut(K/L) とする。
G(L) は G の閉部分群である。
証明
L/k が有限次のときは、G(L) は G の開部分群であるから、
閉部分群でもある。L が有限次でないときは、L は有限次拡大 L_i/k
の合併集合となる。G(L) = ∩G(L_i) で、各 G(L_i) は閉だから、
G(L) も閉である。
証明終
628:208
05/11/01 13:25:52
>>627 から有限次ガロワ拡大の基本定理は、無条件では無限次の
ガロワ拡大に拡張出来ないことがわかる。
つまり、G の閉でない部分群 H は K/k の中間体 L をどんなに
とっても H = G(L) とならない。
629:１３２人目の素数さん
05/11/01 14:31:26
ASASASASASASASASASASASASASAASASASASASASASASASASASASASAASASASASASASASASASASASASASA
630:１３２人目の素数さん
05/11/01 15:48:29
>>625
Sorry, i was a bit stupid.....
631:208
05/11/01 16:23:45
命題
k を体、K/k を k のガロワ拡大、つまり準ガロワで分離的な拡大とし、
G = Aut(K/k) とする。H を G の部分群とする。
K^H = {x ∈ K; 各σ∈H で、σ(x) = x } とおく。
つまり、K^H は H で固定化される K の部分体である。
G(K^H) すなわち Aut(K/K^H) は H の閉包である。
証明
H の閉包を cl(H) とする。
H ⊂ G(K^H) は明らかである。G(K^H) は G の閉部分群である(>>627)
から、cl(H) ⊂ G(K^H) である。よって、σ∈G(K^H) の任意の近傍が
H の元を含むことを示せばよい。L/k を K の中間体で有限次ガロワ拡大
となるものとする。M を L と K^H の合成部分体、すなわち K の部分体で
L と K^H を含む最小のものとする。M/K^H は有限次ガロワ拡大である。
H の元を M に制限することにより射 φ: H → Aut(M/K^H) が得られる。
φ(H) で固定される M の部分体は、K^H である。
よって有限次ガロワ拡大の基本定理より、φ(H) = Aut(M/K^H) である。
つまり、φ は全射である。
σ∈G(K^H) の M への制限をσ|M とすれば、σ|M は Aut(M/K^H)
の元であるから、σ|M = φ(τ) となる τ∈ H がある。
L ⊂ M であるから、σ|L = τ|L となる。これは、τ∈σG(L) を
意味する。σG(L) はσの基本開近傍だから cl(H) = G(K^H) である。
証明終
632:208
05/11/01 16:52:43
命題
k を体、K/k を k のガロワ拡大とし、L/k をその任意の中間体とする。
G(L) すなわち Aut(K/L) で固定される体 は L である。
すなわち、K^G(L) = L である。
証明
K/L はガロワ拡大であり、特に分離拡大である。
x を K の元で L に含まれないものとする。x は L 上分離的だから
x の L に関する共役元 y で x と異なるものがある。
x を y に写す Aut(K/L) の元が存在する。
これは、K^G(L) = L を意味する。
証明終
633:208
05/11/01 17:04:48
無限次ガロワ拡大体の基本定理
k を体、K/k を k のガロワ拡大とする。
G = Aut(K/k) とおく。
L/k をその任意の中間体とする。L に G(L) を対応させることにより、
K/k の中間体と G の閉部分群の間に１対１の対応がつく。
この逆対応は、G の閉部分群 H に対して、H で固定される部分体
K^H を対応させるものである。
証明
>>632 より K^G(L) = L であり、>>631 より G(K^H) = H である。
証明終
634:208
05/11/02 09:52:53
環の整拡大の話題に戻ろう。
補題
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
p_0 ⊂ p_1 を A の長さ１の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_0 を p_0 の上にある B の素イデアルとする。
B の長さ１の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 で
q_1 が p_1 の上にあるものが存在する。
証明
A/p_0 ⊂ B/q_0 とみなせる。>>520 の定理(Cohen-Seidenberg)
より、p_1/p_0 の上にある B/q_0 の素イデアル q_1/q_0 がある。
p_1/p_0 ≠ 0 だから q_1/q_0 ≠ 0
証明終
635:208
05/11/02 09:54:27
命題
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_0 を p_0 の上にある B の素イデアルとする。
B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で
各 q_i が p_i の上にあるものが存在する。
証明
>>634 に帰納法を使う。
証明終
636:208
05/11/02 09:58:17
命題
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n を B の素イデアル鎖(>>379)とする。
各 i で p_i = A ∩ q_i とおく。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n は A の素イデアル鎖である。
証明
>>574 より明らか。
637:208
05/11/02 10:01:08
命題
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
dim A = dim B である(dim A の定義は、>>379 にある)。
証明
>>635 と >>636 より明らか。
638:208
05/11/02 10:05:24
命題
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
q を B の素イデアルとする。
ht(q) ≦ ht(A ∩ q) である。
証明
>>636 より明らか。
639:１３２人目の素数さん
05/11/02 10:55:54
命題
A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次準ガロワ拡大(>>586)
とする。B を A の L における整閉包(>>576)とする。
p を A の素イデアル、q_1, q_2 を p の上にある B の素イデアルと
すると、σ(q_1) = q_2 となる σ∈ Aut(L/K) がある。
証明
x ∈ q_1 とする。y = Πσ(x) とおく。ここで、積は Aut(L/K) の
すべての元σを動くものとする。y は Aut(L/K) の元で不変だから、
y^q ∈ K となる整数 q がある。ただし、q は、L/K が分離的なときは
1 であり、そうでないときは、K の標数 p の適当なベキである。
y^q ∈ K ∩ B であり、A は整閉だから、A = K ∩ B となる。
よって、y^q ∈ A となる。一方、明らかに y^q ∈ q_1 だから、
y^q ∈ p となる。p ⊂ q_2 であるから、y^q ∈ q_2 となる。
これから、ある σ(x) ∈ q_2 となる。よって、x ∈ σ^(-1)(q_2)
となる。以上から、q_1 ⊂ ∪σ^(-1)(q_2) となる。ここでσは
Aut(L/K) のすべての元σを動く。よって、>>579 より
q_1 ⊂ σ^(-1)(q_2) となるσがある。σ^(-1)(q_2) は、p の上にあるから、
>>574 より q_1 = σ^(-1)(q_2) である。
証明終
640:208
05/11/02 11:26:58
>>639 の命題は L/K が有限次でなくても成立つ。
命題
A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次とは限らない
準ガロワ拡大(>>586)とする。
B を A の L における整閉包(>>576)とする。
p を A の素イデアル、q_1, q_2 を p の上にある B の素イデアルと
すると、σ(q_1) = q_2 となる σ∈ Aut(L/K) がある。
証明
M を L/K の中間体で、M/K が有限次準ガロワ拡大とする。
S をこのような M の集合とする。
M ∈ S に対して
F(M) = {σ∈ Aut(L/K); σ(q_1 ∩ M) = q_2 ∩ M} とおく。
σ∈ Aut(L/K) を M に制限することにより、
連続写像 Aut(L/K) → Aut(M/K) が得られる。
F(M) は、この写像による、離散群 Aut(M/K) のある部分集合の逆像だから
閉集合である。一方、>>639 よりこれは空ではない。
M, M' ∈ S のとき、F(M) ∩ F(M') ⊃ F(M(M')) となる。
ここで、M(M') は M と M' から生成される L の部分体で
M(M') ∈ S である。
Aut(L/K) は >>623 よりコンパクトだから、∩F(M) は空でない。
L は M ∈ S の合併集合となるから、σ ∈ ∩F(M) が求めるものである。
証明終
641:208
05/11/02 11:42:11
補題
A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次とは限らない
準ガロワ拡大(>>586)とする。
B を A の L における整閉包(>>576)とする。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_n を p_n の上にある B の素イデアルとする。
このとき、B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で
p_i = A ∩ q_i が各 i で成立つものがある。
証明
>>635 より、p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n の上にある、
B の素イデアル鎖 r_0 ⊂ r_1 ⊂ ... ⊂ r_n がある。
>>640 より、σ(r_n) = q_n となる σ∈ Aut(L/K) がある。
q_i = σ(r_i) とおけばよい。
証明終
642:208
05/11/02 11:55:42
定理(Going-down定理)
A を整閉整域(>>578)、A ⊂ B を整域の包含関係、B は A 上整とする。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_n を p_n の上にある B の素イデアルとする。
このとき、B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で
p_i = A ∩ q_i が各 i で成立つものがある。
証明
K を A の商体、L を B の商体とする。B は A 上整だから、
L/K は代数拡大である。M/K を L/K を含む準ガロワ拡大とする。
C を M における B の整閉包とする。C は A の整閉包でもある(>>511)。
q_n の上にある C の素イデアル r_n が存在する(>>520)。
>>641 より、C の素イデアル鎖
r_0 ⊂ r_1 ⊂ ... ⊂ r_n で p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n の上に
あるものがある。q_i = B ∩ r_i とおけばよい。
証明終
643:208
05/11/02 12:00:41
命題
A を整閉整域(>>578)、A ⊂ B を整域の包含関係、B は A 上整とする。
q を B の素イデアルとする。
ht(A ∩ q) = ht(q) となる。
証明
>>638 と >>642 から明らか。
644:208
05/11/02 12:58:37
整閉整域については、他にも基本的な事項があるけど後回しにする。
次に離散付値環について述べるが、その前に単項イデアル整域に
ついて基本的なことを述べる。
定義
整域 A において、そのイデアルが常に単項となるとき
単項イデアル整域と呼ぶ。
この定義によると体も単項イデアル整域になるが、
このスレでは特に断らない限り、単項イデアル整域というとき
体でないものを意味するものとする。
645:208
05/11/02 13:02:02
定義
(体でない)単項イデアル整域で局所環であるものを離散付値環と呼ぶ。
646:208
05/11/02 13:19:49
定義
単項イデアル整域 A において極大イデアルを生成する元を素元とよぶ。
647:208
05/11/02 13:21:21
次の命題は、代数の初歩でよく知られているので、ここでは証明しない。
命題
単項イデアル整域においては、任意の０でない元が素元の積に
可逆元(単元)を除いて一意に分解される。
648:208
05/11/02 14:44:55
定義
A を環、
0 → N → M → L → 0 を A-加群の完全列とする。
N → M の像が M の直和因子となるとき、この完全列は分解(split)
するという。
命題
A を環、
0 → N → M → L → 0 を A-加群の完全列とする。
これが分解するためには、f: M → L のとき、
A-加群の射 s: L → M で fs = 1 となるものがあることが
必要十分である。
証明
各自に任せる。
649:208
05/11/02 14:51:33
命題
A を環、
0 → N → M → L → 0 を A-加群の完全列とする。
L が自由加群なら、この完全列は分解する。
証明
>>648より明らか。
650:208
05/11/02 15:11:28
命題
A を単項イデアル整域、L を A 上の有限階数 n の自由加群とする。
L の部分加群は、階数 ≦ n の自由加群である。
証明
n に関する帰納法。
e_1, ... , e_n を L の基底とする。
p_n : L → A を e_n に関する射影とする。
q: M → A を p_n の M への制限とする。
q(M) は A のイデアルだから単項であり、A は整域だから
このイデアルは A-加群として自由である。
Ker(q) = N とおく。
0 → N → M → q(M) → 0 は完全である。
N ⊂ Ae_1 + ... + Ae_(n-1) だから帰納法の仮定より、
階数 ≦ n-1 の自由加群である。
q(M) は自由だから、>>649 よりこの完全列は分解する。
よって、M は自由である。q(M) の階数 ≦ 1 だから、
M の階数 ≦ n である。
証明終
651:208
05/11/02 15:36:53
>>650
q(M) = 0 のときは、q(M) は自由加群ではないが、この場合、
N = M となって自明。
652:208
05/11/02 16:26:24
定義
A を整域、M を A-加群とする。
x ∈ M が捩れ元であるとは、A の元 a ≠ 0 があり
ax = 0 となることである。
M のすべての元が捩れ元であるとき、M を捩れ加群(torsion module)という。
M の捩れ元が 0 以外にないとき M を捩れのない(torsion-free)加群という。
653:208
05/11/02 16:34:09
定義
A を整域、M を A-加群とする。
M の捩れ元全体は、部分加群となる。
これを、M の捩れ部分とよび、t(M) と書く。
A の商体を K としたとき、S = A - {0} は積閉集合であり、
M(x)K は M の S による局所化とみなされる。
標準射 : M → M(x)K の核は t(M) に他ならない。
よって、
0 → t(M) → M → M(x)K
は完全である。
654:１３２人目の素数さん
05/11/02 16:51:21
ASASASASASASASASASASASASAS
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655:208
05/11/02 17:01:32
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上の有限生成かつ捩れのない加群
とする。このときM は自由加群である。
証明
M は捩れがないから、A の商体を K としたとき、
標準射: M → M(x)K は単射となる。よって、M ⊂ M(x)K とみなす。
M(x)K は、K-加群として M の元で生成されるから、
M の有限個の元からなる(K-加群としての)基底をもつ。
これらを、x_1, ... , x_n とする。
一方、M の A-加群としての生成元を、y_1, ... , y_m とする。
各 y_i は y_i = Σα(i,j)x_j, α(i,j) ∈ K と表される。
よって、a(y_i) ∈ Ax_1 + ... + Ax_n が全ての i で成立つような
a ∈ A, a ≠ 0 がある。L = Ax_1 + ... + Ax_n とおくと、
L は A-自由加群であり、aM ⊂ L となる。よって、M ⊂ (1/a)L
となる。(1/a)L も自由であるから、>>650 より M も自由である。
証明終
656:208
05/11/02 17:09:39
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上の有限生成加群とする。
M は、捩れ部分 t(M) と有限生成自由加群の直和となる。
証明
完全列
0 → t(M) → M → M/t(M) → 0
を考える。
M/t(M) は、明らかに捩れがない。これが有限生成であることは
明らか。よって、>>655 より自由加群である。
よって、>>649 よりこの完全列は分解する。
証明終
657:１３２人目の素数さん
05/11/03 00:08:59
自由加群の部分群は自由であることはどうやって証明する？
658:１３２人目の素数さん
05/11/03 04:59:10
自由加群の部分群は自由であることはどうやって証明する？
Use elementary divisors, since every abelian group is
a $Z$-module.
659:１３２人目の素数さん
05/11/03 06:29:28
??
有限生成とは限らない場合だぞ。
660:１３２人目の素数さん
05/11/03 09:29:43
あやまれ、ロリコンにあやまれ（AA略
661:１３２人目の素数さん
05/11/03 09:36:50
>> ??有限生成とは限らない場合だぞ。
Perhaps take the direct limit...
662:１３２人目の素数さん
05/11/03 11:33:27
Perhaps?
and じゃないのか
663:１３２人目の素数さん
05/11/03 17:21:04
永田他「抽象代数幾何」のｐ２０８のZariskiMainTheoremの証明する過程での次の主張
「Bが整域、AをBの部分環、A[T]もBの部分環でTはA上超越的元。BはA[T]上整拡大。このとき、Bの任意の素イデアルｑはｐ＝A∩ｑ上孤立である。」
を証明するはじめの一行目の次の設定をして良い理由が分からない。
「ｑがｐ上極大なイデアルとして・・・」の仮定を設定して良い理由が分からない。
Raynauldの本でも全く同じ記述になっている。
だれかわかっている人がいたら教えてください。
664:208
05/11/04 09:29:24
>>663
q ∩ A[T] で局所化すればいいんでは？
つまり、p' = q ∩ A[T] とおいて、B_p' を考える。
そして、B を B_p' で置き換え、q を qB_p' で置き換える。
A は、当然 A_p に置き換える。
665:１３２人目の素数さん
05/11/04 12:00:00
Perhaps?
and じゃないのか
?????
666:１３２人目の素数さん
05/11/04 13:20:55
「Bが整域、AをBの部分環、A[T]もBの部分環でTはA上超越的元。BはA[T]上整拡大。このとき、Bの任意の素イデアルｑはｐ＝A∩ｑ上孤立で 'ない’。」でした。
667:１３２人目の素数さん
05/11/04 13:23:06
>>663の記入に誤り。正しくは>>666でした。
668:208
05/11/04 13:38:40
補題
A を単項イデアル整域、M を A-加群とする。
a と b を A の元で互いに素とする。
x ∈ M で、abx = 0 なら、x = y + z, ay = 0, bz = 0
となる M の元 y, z がある。
証明
as + bt =1 となる A の元 s, t がある。
よって、x = asx + btx となる。
y = btx, z = asx とすればよい、。
証明終
669:208
05/11/04 15:03:26
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
A の素元 p に対して M(p) = {x ∈ M; (p^n)x = 0 となる n > 0 がある}
とおく。M = ΣM(p) (直和) となる。ここで p は、Ann(M) を割る素元
全体を動く。
証明
まず、M は有限生成の捩れ加群だから、Ann(M) ≠ 0 である。
x ∈ M, x ≠ 0 とし、Ann(x) = aA とする。M は捩れ加群だから、
a ≠ 0 である。>>668 より x ∈ ΣM(p) となる。ここで p は
a の素因子を渡る。あとは、Ann(M) ⊂ aA に注意すればよい。
証明終
670:208
05/11/04 15:08:43
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
Supp(M) は、極大イデアルのみからなる。
証明
Supp(M) = V(Ann(M)) と Ann(M) ≠ 0 より明らか。
証明終
671:208
05/11/04 15:12:58
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
M は A-加群として長さ有限である。
証明
Ass(M) ⊂ Supp(M) (>>99) と >>670 と >>345 より。
証明終
672:208
05/11/04 15:20:40
定義
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
>>671 より M は長さ有限である。
M の組成列に現れる剰余加群は、A/p と同型である。
ここで、p は A のある極大イデアル。
M の組成列に現れる極大イデアルを重複度もいれて
p_1, ..., p_r としたとき それらの重複を考慮した積
を M の内容(content)とよび、|M| と書く。
673:208
05/11/04 15:28:46
>>672 の記号 |M| は、私が勝手に決めたものであり、
一般的ではない。
Serreは χ(M) を使っている。
674:208
05/11/04 15:41:30
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
N を M の部分加群とすると、
|M| = |N||M/N| となる。
証明
明らか。
675:208
05/11/04 15:53:07
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
|M|M = 0 となる。つまり、|M| ⊂ Ann(M) となる。
証明
leng(M) に関する帰納法を使う。
M ≠ 0 とする。
M/N が A/p と同型になるような M の部分加群をとる。
ここで、p は A の極大イデアル。
|M/N| = p だから、帰納法の仮定より p(M/N) = 0 となる。
よって、pM ⊂ N となる。再び帰納法の仮定より |N|N = 0
となるから、p|N|M = 0 となる。
一方、>>674 より、p|N| = |M| である。
証明終
676:208
05/11/04 16:01:09
>>675 から Hamilton-Cayley の定理が出る。
これは、前に線形代数スレで書いた。
677:１３２人目の素数さん
05/11/04 16:14:22
Omaewa erai!!!!!
678:208
05/11/04 16:32:38
命題
A を単項イデアル整域、I を A のイデアルとする。
|A/I| = I である。
証明
中国式剰余定理(>>341)より、I が極大イデアルのベキ p^n のときに
証明すればよい。しかし、この場合は明らか。
証明終
679:208
05/11/04 16:38:42
>>675 の別証
x ∈ M のとき、|M|x = 0 を示せばよい。
Ax は A/Ann(x) に同型である。よって、|Ax| = Ann(x)となる(>>678)。
よって、|Ax|x = 0 となる。
|M| = |Ax||M/Ax| だから(>>674)、当然 |M|x = 0 となる。
証明終
680:208
05/11/04 17:07:45
定義
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の加群とする。
A のある素元 p があり、M の任意の元 x に対して (p^n)x = 0
となる整数 n > 0 があるとき、M を p-加群と呼ぶ。
ここで、n は x に依存する。p の生成する A の極大イデアル
を (p) と したとき、M を (p)-加群とも呼ぶ。
681:208
05/11/04 17:20:08
定義
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を p-加群とする。
M の任意の元に x 対して Ann(x) = p^n となる整数 n ≧ 0 があるが、
この n を x の指数と呼ぶ。
(注意):
この定義は、ここだけのものであり一般的ではない。
682:１３２人目の素数さん
05/11/04 17:22:09
>>676
17 ：１３２人目の素数さん ：04/07/31 12:25
>>11-16
well known and trivial
683:１３２人目の素数さん
05/11/04 17:47:25
おばかなおりそうもないね
684:208
05/11/04 17:57:04
命題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を p-加群とする。
Ann(M) = p^n となる。ここで、n ≧ 0。
証明
定義より M は有限生成である。
M の生成元を x_1, ... , x_r とする。
(p^m)x_i = 0 がすべての x_i について成立つような m > 0 がある。
(p^m)M = 0 となるから、p^m ⊂ Ann(M) である。
これから、命題の主張は明らか。
証明終
685:208
05/11/04 18:16:24
>>683
ばかはお前だろ。>>682は線形代数のスレでカタがついてんだよ。
well known じゃないことは確か。Hamilton-Cayleyをtrivial
というのは、度胸がいるだろ。
686:１３２人目の素数さん
05/11/04 19:06:12
>>685
17 ：１３２人目の素数さん ：04/07/31 12:25
>>11-16
well known and trivial
687:１３２人目の素数さん
05/11/04 19:38:16
>>686
まねするな馬鹿！
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:17番)
688:１３２人目の素数さん
05/11/04 19:53:16
>>685
17 ：１３２人目の素数さん ：04/07/31 12:25
>>11-16
well known and trivial
689:208
05/11/07 09:58:44
補題
A を単項イデアル整域、p を A の素元、M を p-加群(>>680)
とする。 x を M の元でその指数 n が M の元のなかで最大のもの
とする。N = Ax とおく。M/N はあきらかに p-加群である。
y を M の任意の元とする。y (mod N) の M/N における指数(>>681)を
m とすると、M の元 z で、その指数が m となり、y = z (mod N) と
なるものが存在する。
証明
まず、y の指数は m 以上だから m ≦ n に注意する。
(p^m)y = tx となる t ∈ A がある。
(p^n)y = (p^(n-m))tx = 0 であるから、
(p^(n-m))t = sp^n となる s ∈ A がある。
両辺を p^n で割ると、tp^(-m) = s
よって、t = s(p^m)
(p^m)y = tx だから、(p^m)y = s(p^m)x
よって、(p^m)(y - sx) = 0 となる。
z = y - sx とおけばよい。
何故なら、z の指数が m より小さいとすると、
y (mod N) の指数も m より小さいことになって矛盾。
証明終
690:208
05/11/07 10:21:05
命題
A を単項イデアル整域、p を A の素元、M を p-加群(>>680)
とする。 M は、単項 p-加群つまり一個の元で生成される
p-加群の直和となる。
証明
M は長さ有限(>>671)だから、leng(M) に関する帰納法を使う。
x を M の元で、その指数 n が M の元のなかで最大のものとする。
M の各元の指数は>>684より有界だから、このような元は存在する。
leng(M/Ax) < leng(M) だから、帰納法の仮定より、M/Ax は
単項 p-加群 の直和となる。これらの単項 p-加群の生成元を
それぞれ y_1 (mod Ax), ... , y_r (mod Ax) とする。
補題(>>689) より、y_i の指数は、y_i (mod Ax) の指数と一致する
としてよい。すると、M は Ax, A(y_1), ... , A(y_r) の直和となる。
何故なら、ax + (b_1)(y_1) + ... + (b_r)(y_r) = 0 とする。
ここで、a, b_1, ... , b_r は A の元。
(b_1)(y_1) + ... + (b_r)(y_r) = 0 (mod Ax) となるから、
各 b_i = 0 (mod p^(m_i))となる。ここで、m_i は y_i の指数。
よって、各 (b_i)(y_i) = 0 である。よって、ax = 0 となる。
これと、leng(M) = leng(Ax + A(y_1) + ... + A(y_r)) に注意
すれば、M = Ax + A(y_1) + ... + A(y_r) (直和)となる。
証明終
691:208
05/11/07 10:27:37
>>690 の証明は Burnside の有限群論にある有限アーベル群に対する
同様の命題の証明をやや修正して借りた。この証明をこのように
単項イデアル整域上の加群に適用した例を知らない。
692:208
05/11/07 10:52:49
単因子論を一般の単項イデアル整域上で満足のいく形で展開してる
本はBourbakiくらいしか知らない。もっとも現代の教科書を
全部チェックしたわけではないが。Langだったらやってるかも
しれない。
大抵、有理整数環か多項式環またはせいせいユークリッド整域
しか扱ってないし、たまに単項イデアル整域を扱っていても、
詰めが甘かったりする。
693:208
05/11/07 10:59:23
Bourbakiにしたところで、具体的に与えられた行列を一般の単項イデアル整域上で
単因子の標準形に変形する方法については本文ではなくて演習問題に
なってる。だけど、この演習問題はいい。この方法を思いついた人は偉い。
694:208
05/11/07 11:11:51
Van der Waerden によると >>690 から単因子論の基本定理、
つまり行列を単因子の対角行列に変形出来るという定理が
出るらしいけど、その方法を知らない。ちょっと考えたけど
わからない。
695:１３２人目の素数さん
05/11/07 12:22:44
>>692単因子論を一般の単項イデアル整域上で満足のいく形で展開してる
岩波基礎数学講座「環と加群」だったかにも書かれている。
696:208
05/11/07 13:37:47
>>695
Thanks. 岩波の現代数学概説Ｉにも載ってるのを忘れてた。
だけどこれはBourbakiとよく似ている。
697:１３２人目の素数さん
05/11/07 14:18:54
おばかなおりそうもないね
698:208
05/11/07 15:17:49
現代数学概説Ｉは、単因子の単因子たる由来の命題(後で述べる)については
書いてない。行列の基本変形についても書いてない。
だから、これも満足のいくものじゃない。
これから、私がBourbakiを参考に単因子論を展開する。
699:１３２人目の素数さん
05/11/07 15:24:35
もうすこしいろんなことべんきょうしてもらわねばなるまい
700:１３２人目の素数さん
05/11/07 15:25:14
今日は暖かいね
701:１３２人目の素数さん
05/11/08 13:00:43
what is principalization theorem?
702:１３２人目の素数さん
05/11/08 16:35:54
Does someone explain what is almost etale extensions by Faltings?
703:１３２人目の素数さん
05/11/08 17:18:19
Does ?
704:VIPPER
05/11/09 10:43:28
ＶＩＰからきますた、数学の天才、ちょっときてくれ(`・ω・´)
開成中の入試過去問題にお手上げ状態┐(´ー｀)┌
【秀才】 この問題の解き方教えてくれ 【集まれ】
ｽﾚﾘﾝｸ(news板)
705:１３２人目の素数さん
05/11/09 17:48:17
208は充電中？
706:208
05/11/10 08:59:35
補題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を 単項 p-加群
とする。 つまり M は、p-加群(>>680)でかつ一個の元で生成される
とする。Ann(M) = p^n とする(>>684)。>>678 より |M| = p^n である。
k ≧ 0 を整数として、(p^k)M を考える。
0 ≦ k ＜ n のとき、|(p^k)M| = p^(n-k) であり、
k ≧ n のとき、(p^k)M = 0 である。
証明
簡単なので読者に任す。
707:208
05/11/10 09:12:10
補題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を 単項 p-加群
とし、Ann(M) = p^n とする。
k ≧ 0 を整数として、p^(k-1)M/(p^k)M を考える。
0 ＜ k ≦ n のとき、|p^(k-1)M/(p^k)M| = p であり、
k > n のとき、p^(k-1)M/(p^k)M = 0 である。
証明
>>706より明らか。
708:208
05/11/10 09:13:36
命題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を 単項 p-加群
M_i, i = 1, ..., r の有限個の直和とする。|M_i| = p^(m_i) とする。
n を {m_1, ... , mr} の最大値とする。
0 ＜ k ≦ n のとき、leng(p^(k-1)M/(p^k)M) は、m_i ≧ k となる
i の個数に等しい。
証明
>>707より明らか。
709:208
05/11/10 09:24:01
命題
p を A の極大イデアル、M を p-加群 とする。
>>690より M は 単項 p-加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の直和となる。
|M_i| = p^(m_i) とする。
m_1 ≧ ... ≧ m_r と仮定してよい。
このとき、整数の組 (m_1, ... , m_r) は、 M により一意に決まる。
証明
Ann(M) = p^n とする。M の部分加群の列
M ⊃ pM ⊃ ... ⊃ p^(n-1)M ⊃ 0
を考える。この列の各剰余加群 p^(k-1)M/(p^k)M の長さを s_k と
する。p の生成元をπとしたとき、πによる乗法により、
全射: p^(k-1)M/(p^k)M → (p^k)M/(p^(k+1))M が得られるから
s_k ≧ s_(k+1) である。つまり、整数の降列
s_1 ≧ ... ≧ s_n が得られる。この列は、明らかに M だけで決まる。
これから、(m_1, ... , m_r) が決まることは、次のような図を書けば
わかる。
まず、>>708 より s_1 = r_1 である。
s_1 個のブロック（レンガをイメージするとよい）を
横に水平に並べる。その上に左詰めに s_2 個のブロックを並べる。
同様にして、最後に s_n 個のブロックを並べる。
この図の左端の縦１列に並んだブロックの数が m_1 である(>>708)。
その隣の縦１列に並んだブロックの数が m_2 である(>>708)。
以下同様。
証明終
710:208
05/11/10 09:30:44
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
M は 単項 加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の
直和となる。
証明
>>669 と >>690 より明らか。
711:208
05/11/10 09:40:03
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
>>710 より M は 単項加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の
直和となるが、このとき、|M_1| ⊃ ... ⊃ |M_r| と出来る。
証明
>>669 と >>709 から明らか。
712:208
05/11/10 09:42:19
命題
>>711 のイデアルの列 |M_1| ⊃ ... ⊃ |M_r| は M だけで決まり、
単項加群 M_i の取り方によらない。
証明
>>709 より明らか。
713:208
05/11/10 09:44:16
定義
>>712 のイデアルの列 |M_1| ⊃ ... ⊃ |M_r| を M の不変因子と呼ぶ。
714:208
05/11/10 11:47:37
>>680
p-加群というより p-準素加群(p-primary module) と呼んだほうが
よかったかもしれない。さらに有限生成も仮定しないほうがいいかも。
715:１３２人目の素数さん
05/11/10 12:54:56
Problem:
A:integral domain
B:A-algebra of finite type
Then there exists an element a(=/=0) of A such that B[1/a] is free A[1/a] module.
716:１３２人目の素数さん
05/11/10 15:03:18
↑はFreitag＆Kiehlに主張されてるけど、一般には成り立たない。
AがBの部分環でなければ成り立たない気がする。
717:１３２人目の素数さん
05/11/10 15:45:24
>>716
AがBの部分環でないときはBで0になるa(=/=0)が存在し
B[1/a]は零環だから>>715の主張は自明。
718:208
05/11/10 17:13:35
定義
A を可換環、 M を A-加群とする。
T^n(M) を M の n 重のテンソル積 M(x)...(x)M とする。
T^p(M) (x) T^q(M) は T^(p+q)(M) と同一視出来るから、
２重線形写像 f_(p,q): T^p(M) × T^q(M) → T^(p+q)(M) が
f_(p,q)(x, y) = x(x)y により得られる。
T^0(M) = A と定義して直和 T(M) = ΣT^p(M) を考える。
T(M) は f_(p,q) により成分毎の積を定義することにより、
可換とは限らない A-代数となる。
これを A-加群 M 上のテンソル代数と呼ぶ。
719:208
05/11/10 17:15:21
おっと、>>718 の前書きを忘れてた。
Bourbakiによる単因子理論を紹介する前に、その準備として外積代数
について述べる。
720:208
05/11/10 17:18:50
定義
A を必ずしも可換とは限らない環で、次の条件を満たすとする。
1) A = ΣA_p (直和) となる。ここで、p は有理整数全体をわたり、
A_p は A を加法に関してアーベル群とみたときの部分群
2) (A_p)(A_q) ⊂ A_(p+q)
このとき A を(Z型の)次数環という。
p < 0 のとき A_p = 0 となるとき、非負の次数環という。
同様に、Z の n 個の直積を添字集合として、Z^n 型 の次数環
も定義される。
721:208
05/11/10 17:22:14
命題
A を次数環とする。
1 ∈ A_0 となる。従って、A_0 は A の部分環である。
証明
読者にまかす。
722:208
05/11/10 17:28:03
定義
A を次数環とする。M を A-加群で次の条件を満たすとする。
1) M = ΣM_p (直和) となる。ここで、p は有理整数全体をわたり、
M_p は M のアーベル群としての部分群
2) (A_p)(M_q) ⊂ M_(p+q)
このとき M を(Z型の)A-次数加群という。
p < 0 のとき M_p = 0 となるとき、非負という。
M_p の元を同次元という。x ∈ M_p のとき p を x の次数と呼び、
p = deg(x) と書く。
同様に、Z^n 型 の次数加群も定義される。
723:208
05/11/10 17:32:41
定義
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
N を M の A-加群としての部分加群とする。
N = Σ(N ∩ M_p) となるとき、N を M の同次部分加群という。
724:208
05/11/10 17:34:58
定義
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
x ∈ M で x = Σx_p, x_p ∈ M_p であるとき、各 x_p を x の
p 次の同次成分と呼ぶ。
725:208
05/11/10 17:36:33
命題
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
N を M の A-部分加群とする。
N が M の同次部分加群となるためには、以下が成立つことが必要十分である。
x ∈ N なら、その各同次成分も N に含まれる。
証明
明らか。
726:208
05/11/10 17:37:36
命題
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
N を M の A-部分加群とする。
N が M の同次部分加群となるためには、N が同次元で生成される
ことが必要十分である。
証明
読者にまかす。
727:208
05/11/10 17:44:15
定義
A を可換環、 M を A-加群とする。
T(M) を A 上の M から生成されるテンソル代数とする。
T(M) は明らかに次数 A-代数である。
T(M)の部分集合 {x^2; x ∈ M} から生成される両側イデアルを
I とする。T(M)/I を A 上の M から生成される外積代数と呼び、
ΛM と書く。I は同次元で生成されるから同次イデアルである(>>726)。
よって、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) とおけば、
ΛM = Σ(Λ^p)M (直和) となる。よって ΛM も次数 A-代数である。
(Λ^0)M = A であり、(Λ^1)M = M となる。
ΛM の２元 x, y の積を xΛy と書く。
728:１３２人目の素数さん
05/11/10 19:09:40
おろかしい
729:１３２人目の素数さん
05/11/10 19:28:08
1スレッドぐらい私物化しても構わんけどageるな
730:１３２人目の素数さん
05/11/10 19:33:39
208に外積代数がわかるとはおもえん
つっこめばぼろが出るにきまってる
だからつっこむのはやめろよ
731:１３２人目の素数さん
05/11/10 19:36:41
でもブルバキ写してるだけだろ
732:１３２人目の素数さん
05/11/10 19:44:03
だからつっこむのやめろよ
733:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:01:48
対称代数ならもっとやばい
734:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:08:42
退屈だなここは
もっと殺伐としなくちゃ
割り算もういっかい蒸し返すかな
どうせ208はわかってないし
735:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:13:10
>読者にまかす。
そこまで写すかね。
736:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:15:47
とほほすぎるね
737:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:20:22
なんのためにブルバキを写すのか
習字でもやってるのか
738:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:23:29
りはびり
739:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:31:46
外積代数というならもっと実質的なこと書いてほしいね
無理か
740:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:37:39
ブルバキが最新の外積代数らしい
うわっ
741:１３２人目の素数さん
05/11/10 20:56:43
>>715を証明してくれ。
B:domain,A上有限生成環
AはBの部分環でいい。
742:１３２人目の素数さん
05/11/11 09:45:37
：１３２人目の素数さん ：2005/11/10(木) 20:56:43
>>715を証明してくれ。
B:domain,A上有限生成環
AはBの部分環でいい。
By generic flatness....
743:208
05/11/11 10:18:27
テンソル代数は次の命題で特徴付けられる。
命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
B を可換とは限らない A-代数とし、
f: M → B を A-加群としての射とする。
このとき、A-代数としての射 g: T(M) → B で
f = gj となるものが一意に存在する。
ここで、j: M → T(M) は標準単射。
証明
読者に任す。
744:208
05/11/11 10:26:57
命題
A を可換環、M を A-加群とする。
x_1, ... , x_p を M の元とする。
このとき、次の等式が成立つ。
x_σ(1)Λ...Λx_σ(p) = ε(σ)x_1Λ...Λx_p
ここで、両辺は M の外積代数(>>727) ΛM の p-次同次成分 (Λ^p)M
の元である。
証明
x, y ∈ M のとき、(x+y)Λ(x+y) = 0 となる。
これから n = 2 のときの証明が終わる。
n > 2 のときは帰納法を使う。
詳細は読者に任す。
745:208
05/11/11 10:28:51
>>744
σは集合{1, ..., n} の任意の順列であり、ε(σ)は、σの符号。
746:208
05/11/11 10:36:48
命題
A を可換環、M を A-加群とする。
x_1, ... , x_p を M の元とする。
i ≠ j のとき x_i = x_j なら、
x_1Λ...Λx_p = 0 となる。
証明
まず、x_1 = x_2 のときは、x_1Λ...Λx_p = 0 となることに注意
する。これは、x_1Λx_2Λ...Λx_p = (x_1Λx_2)Λ...Λx_p
で、x_1Λx_2 = 0 から明らか。
一般の場合は、σを集合{1, ..., n} の順列で σ(i) = 1, σ(j) = 2
とすれば、>>744 より、最初の場合に帰着する。
証明終
747:208
05/11/11 10:43:23
外積代数は次の命題で特徴付けられる。
命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
B を可換とは限らない A-代数とし、
f: M → B を A-加群としての射で、
f(x)^2 = 0 が任意の x ∈ M で成立つとする。
このとき、A-代数としての射 g: ΛM → B で
f = gj となるものが一意に存在する。
ここで、j: M → ΛM は標準単射。
証明
読者に任す。
748:208
05/11/11 11:03:35
定義
R を可換環、 A, B を可換とは限らない R-次数代数とする。
Z^2 型の R-次数代数 C を以下のように定義する。
C の (p,q)次の成分を C_(p,q) = A_p(x)B_q とする。
x ∈ A_p, y ∈ B_q
z ∈ A_r, w ∈ B_s
のとき、(x(x)y)(z(x)w) = (-1)^(qr) xz(x)yw
と定義する。
この積が結合律を満たすことは読者に任す。
C を A と B の歪テンソル積と呼び、A(x)'B と書く。
749:208
05/11/11 11:48:10
命題
R を可換環、 A, B を可換とは限らない R-次数代数とする。
C を Z^2 型の R-次数代数とする。
f: A → C
g: B → C
を R-代数の射で、
f(A_p) ⊂ C_(p,0)
g(B_q) ⊂ C_(0,q)
とする。
さらに、x ∈ A_p, y ∈ B_q のとき
f(x)g(y) = (-1)^(pq) g(y)f(x)
とする。
このとき、R-次数代数の(次数を保つ)射
h: A(x)'B → C
で、hu = f, hv = g となるものが一意に存在する。
ここで、A(x)'B は A と B の歪テンソル積(>>748)で
u: A → A(x)'B, v: B → A(x)'B は標準射。
証明
読者に任す。
750:１３２人目の素数さん
05/11/11 12:49:16
>>749
以下のように訂正する。
命題
R を可換環、 A, B, C を可換とは限らない R-次数代数とする。
f: A → C
g: B → C
を R-代数の射で次数を保つ、即ち
f(A_p) ⊂ C_p
g(B_q) ⊂ C_q
とする。
さらに、x ∈ A_p, y ∈ B_q のとき
f(x)g(y) = (-1)^(pq) g(y)f(x)
とする。
このとき、R-代数の射
h: A(x)'B → C で、
h(A_p(x)B_q) ⊂ C_(p+q)
hu = f, hv = g となるものが一意に存在する。
ここで、A(x)'B は A と B の歪テンソル積(>>748)で
u: A → A(x)'B, v: B → A(x)'B は標準射。
証明
読者に任す。
751:１３２人目の素数さん
05/11/11 13:00:42
命題
A を可換環、 M, N を A-加群とする。
L = M + N (直積)とする。
ΛL は (ΛM)(x)'(ΛN) に A-次数代数として標準的に同型となる。
ただし、(ΛM)(x)'(ΛN) の次数型は全次数 n = p + q により
Z 型と考える。
証明
標準射 f: ΛM → ΛL と g: ΛN → ΛL がある。
これは、>>750 の命題の条件を満たす。
よって、h: (ΛM)(x)'(ΛN) → ΛL が定義される。
一方、標準射 M → (ΛM)(x)'(ΛN) と N → (ΛM)(x)'(ΛN)
から、射 L → (ΛM)(x)'(ΛN) が定義される。
これは、>>747 の命題の条件を満たす。
よって、射 k: ΛL → (ΛM)(x)'(ΛN) が定義される。
h と k が互いに逆射となっていることは読者に任す。
証明終
752:１３２人目の素数さん
05/11/11 13:12:43
208には本質がわかってないね
753:208
05/11/11 13:13:59
命題
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
(Λ^p)M は階数 nCp の A-自由加群である。
ここで、nCp は n 個の集合から p 個の部分集合を取る組み合わせの数。
証明
M の基底を e_1, ... , e_n とする。
M = ΣAe_i （直和) だから、>>751 より
ΛM = (ΛAe_1)(x)'...(x)' (ΛAe_n) となる。
各 ΛAe_i = A + A_ei に注意すればよい。
証明終
754:１３２人目の素数さん
05/11/11 13:21:28
はずかし
755:１３２人目の素数さん
05/11/11 14:14:54
>>747
先生わかりません！ 解答を
> ぜひ教えてください。お願いします。ペコリ
756:１３２人目の素数さん
05/11/11 15:31:42
>>755
そうだね
>ここで、j: M → ΛM は標準単射。
は特にわかりにくいね
でも208にきいてもむだだよきっと
本写してるだけだから
757:１３２人目の素数さん
05/11/11 15:35:14
だから
つっこむのやめろよ
またわやくちゃになるぞ
758:１３２人目の素数さん
05/11/11 15:36:34
その通り。オナニーは自由にさせるのがいい。途中でやめさせるから、
精液が回復する。
759:１３２人目の素数さん
05/11/11 15:45:13
はやく本を写し終わって極楽浄土に成仏してくれないかな
760:１３２人目の素数さん
05/11/11 15:49:41
ブルバキ浄土
761:208
05/11/11 16:06:22
>>755
教えてほしいならふざけるなよ。
>>743 はいい？
762:756
05/11/11 16:12:06
>>781
>>743
のことなんか聞いてないだろ
ごまかすなよ
763:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:12:31
２０８は研究に時間を使ったほうがよくないか
764:208
05/11/11 16:13:30
>>743 から出るんだよ、うすらが
765:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:14:56
>>764
他人が二人以上いることにはやく気付けよ。
766:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:17:05
>>764
だんだん余裕がなくなってきてるな。
767:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:18:06
>764
>>756をよく読みましょうね
768:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:19:15
こいつも「敵は一人症候群」か。餓鬼は必ずこれを患ってるな。
769:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:23:38
208には細かい点が理解できないので
それがわかりにくいようにつっこむと
どつぼにはまる
しまいに怒鳴りだして
からかったやつの思うツボ
いまでも割り算で怒鳴ってるし
救いようがない
770:208
05/11/11 16:27:05
>こいつも「敵は一人症候群」か。
うすらが
771:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:28:39
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
772:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:31:14
うっすらバブ－
773:208
05/11/11 16:32:28
>>756
>>727 の記号を使うと、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) だから、
(Λ^1)M = T^1(M)/(I ∩ T^1(M)) だが、定義より T^1(M) = M で
I ∩ M = 0 だから (Λ^1)M = M となる。
774:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:34:48
そうそう素直にならなくちゃ
775:208
05/11/11 16:38:25
なまイキ言うんじゃねえ
776:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:40:26
もっと素直にならなくちゃ
みんなからイヂメラれますよ
777:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:41:12
もっと素直にならなくちゃ
みんなからもっとイヂメラれますよ
778:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:42:16
もっともっと素直にならなくちゃ
みんなからもっともっとイヂメラれますよ
779:208
05/11/11 16:42:44
>>765
他人が一人と決め付けるわけないだろ。>>762に言ってるんだよ。
そいつが誰かなんて関係ねえんだよ。うすらが
780:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:45:01
>>779
誰が誰かぐらいは特定しろよorz
781:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:45:43
もっともっともおーっと素直にならなくちゃ
みんなからもっともっともおーっとイヂメラれますよ
782:208
05/11/11 16:46:34
特定出来るわけないだろ。
見当はつくけどな
783:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:47:20
>>782
じゃあつけた見当を利用して書き分けろよ。
784:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:48:33
妄想
785:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:49:53
>>784
じゃますんな。キチガイ
786:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:51:41
じゃあつけた妄想を利用して書き分けろよ。
787:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:53:22
>>786
利用できる結果は利用しろよ。キチガイ
788:１３２人目の素数さん
05/11/11 16:57:23
なまイキ言うんじゃねえ
789:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:00:41
>>788
おまえはオッカムのかみそりの向いてる方向が逆なんだよ。
790:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:02:08
なまイキ言うんじゃねえ
791:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:02:47
208の迷語録スレはこちらですか？
792:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:03:05
> ぜひ教えてください。お願いします。ペコリ
こんな素直な子が、背伸びしてブルバキをやったばかりに、
> じゃますんな。キチガイ
> なまイキ言うんじゃねえ
になってしまうなんて、日本の数学教育って一体・・・
793:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:04:16
>>789
なにか勘違いしてるらしいね
794:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:04:51
うすらが
795:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:06:58
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
796:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:08:09
せっかく大学まで行かせてやり
機嫌良く数学やってたんですよ
でもある日
いつも座る席に知らない学生が座っていたので
すねて帰ってきました
それ以来なんです
家にひきこもったきりなんですよ
797:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:09:22
>>793
組みあわせて材料を増やしてからオッカムの剃刀で削るんだよ。
組み合わせる材料をオッカムの剃刀で削ってどうする。
798:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:10:01
なまイキ言うんじゃねえ
799:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:10:21
>>791
208隔離スレでしたが．．．今は．．．あっ
800:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:11:32
>>797
なにか勘違いしてるね
801:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:13:51
>オッカムの剃刀
おお新手の言いがかり登場だぞ
でも何が言いたいのか
奥歯にうんこがはさまっているようだ
802:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:14:10
>>800
なにがさ？
803:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:15:25
>>801
うんこ美味しいよね
804:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:16:11
>>802
だれが何を削ってるってのか？
805:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:17:18
皆んなぁ！ ケンカはやめて仲良くしようよ！！
806:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:17:54
>>804
なにをかんちがいしてるかね？
807:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:18:50
基地外の巣でしたか。ここは。
808:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:20:02
>806
なにも削ってないだろ
削ってるのは208の脳味噌だけ
809:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:21:50
208がやけ糞になって焦土戦術に出たようです
810:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:21:59
>>808
２０８の脳味噌が削っているのかね？
それとも何かが２０８の脳みそを削っているのかね？？？
811:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:23:03
あと200くらいすぐだな
812:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:24:18
焦土戦術は、防御側が効果的な反撃をできないと、ただの敗走だべ
813:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:24:38
>>それとも何かが２０８の脳みそを削っているのかね？？？
そんなおそろしいことを！！！
208は狂牛病なのか？？？
814:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:25:53
ようするに敗走だった
と後でわかる
815:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:26:12
>>811
ということは、ここに封印されていた208が外にあふれ出すのか。
危険！危険！ 900を超えたら全スレに警報を発令せよ！
816:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:29:38
>>815
それはただの上げ荒らしだからたのむからやめてくれ。
817:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:30:13
208隔離スレがあらたに必要なのか
でもおとなしく隔離されるかな？
818:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:31:56
>>817
ズバリ！「２０８隔離スレ」でスレ立ててくれ。ファンスレという事でゆるす。
819:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:42:01
ガロア理論part2の残骸ものせて
820:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:52:51
新スレが立ってしまったが208はいずこへ？
821:１３２人目の素数さん
05/11/11 17:55:52
208は、最後に「うすらが」という言葉を残して
休眠状態に transfer した。
822:１３２人目の素数さん
05/11/11 18:08:50
こうして、208のブルバキ帝国再興の夢は潰えた。
そして千年後の復活に備えて、永い冬眠状態に
入ったのであった・・・（完）
単に、いじけて泣いているだけという説もあるという。
823:１３２人目の素数さん
05/11/11 18:09:05
208泣いてるよ
ほら
824:１３２人目の素数さん
05/11/11 18:15:10
新生208は
ガウスラ
か？
825:１３２人目の素数さん
05/11/11 18:37:13
ああ単因子よ外積よ
日の目をみずに眠るのか
どうか安らかに死んだように眠っておいてくれ
826:１３２人目の素数さん
05/11/11 18:43:14
208軍団指揮官ガウスラ将軍はいまニューロードを進軍中。
827:１３２人目の素数さん
05/11/11 19:00:24
>>826
フロンティアの開拓村がガウスラ将軍指揮下の精鋭部隊によって壊滅する。
ブルバキ帝国再興の夢は叶うのか。
828:１３２人目の素数さん
05/11/11 19:14:16
一体いままでなんのために写経してきたんだ
これがあの208の最後の姿なのか
それでいいのか208よ
おまえの子分どもが泣いているぞ
さあガウスラとなって立ち上がるのだ
829:１３２人目の素数さん
05/11/11 19:40:08
ガウスラ帝国 万歳！！
830:１３２人目の素数さん
05/11/11 19:46:20
この荒れようを見ると、ほんと、208って、数学板で嫌われていたんだな。
つくづくそう思う。
>>261のような信者も中にはいるが・・・
831:１３２人目の素数さん
05/11/11 20:05:43
>>830
そうそう、あの時が208の絶頂期だったんだよね。今思うと。
数学科を出ていないこの板の普通の住人を侮蔑的に排除するような
言動が結果的に命取りになったかな。ブルバキ帝国を再興したい
なら、まず大義を掲げて一般の住民の支持を得ないとだめだね。
832:１３２人目の素数さん
05/11/11 20:08:16
↓信者へのお答えがこれじゃあねえ。まさに宗教
初学者？ そうね、我慢して証明を追っていく。
そのうち、トンネルを抜けるように見晴らしがパーっと良くなる。
この感覚は言葉でいくら説明してもわからない。
体験するしかない。
833:１３２人目の素数さん
05/11/11 20:55:49
＞＞８３１
このスレで数学科出てない人がいる？とは思えないけど
834:１３２人目の素数さん
05/11/11 21:25:54
>>833
興味がある人はいたと思うよ。2chのような開かれた掲示板で
玄人だけくるようにさせるのは不可能。
それと、208が出没したのはここだけじゃないからね。
835:１３２人目の素数さん
05/11/11 21:28:37
ブルマ履き
836:１３２人目の素数さん
05/11/11 22:10:20
そういえば学会で意味のないらしい内容の発表を５回もするので、本来１５分の発表時間を数分に短縮されていた人がいたけど、２０８ではないよね。
837:１３２人目の素数さん
05/11/11 22:17:56
>>834
＞08が出没したのはここだけじゃないからね。
どこどこ。ほかにはどこ？
838:１３２人目の素数さん
05/11/11 22:41:37
>>837
知ってる範囲で・・・
・オイラーすれで、198と名乗っていた。住人が温厚だったせいか208の独壇場。
・数学の本スレ（すでに1000超えてdat落ち）でブルバキ関係の話題で現れて
荒れたｗ
・線形代数スレで、発言を well known and trivial と指摘されて切れる。
・圏論スレの594以降を見てみん。すさまじく荒れたｗ
・ご存じガロアスレ。このスレの773以降208の没落始まる。
その他、208の陰を感じさせる発言多数。やりとりをした香具師の
ほとんどが気を悪くしている。数学板きっての嫌われ者。
839:１３２人目の素数さん
05/11/11 22:51:30
オイラースレでの言動
670 ：198：2005/08/08(月) 14:50:28
>>666
お前よりは１００倍以上知ってるよ。
自慢にはならないがｗ
840:１３２人目の素数さん
05/11/11 23:23:01
>>838
なるほど。ブルバキ教徒だからすぐわかるってこともあるね。
841:１３２人目の素数さん
05/11/12 13:19:29
ガウスラ将軍の軍団はどこに消えたんだ？
842:１３２人目の素数さん
05/11/14 11:07:31
>>841
ブルバキ帝国正規軍ガウスラ将軍の軍団はただのニートの208に
準同型写像された。
843:１３２人目の素数さん
05/11/14 12:21:05
>>715
A がネーターなら EGA IV-2 p.153 に証明がある。
Eisenbud の本(Commutative algebra with a view ...) にも。
844:208
05/11/14 13:05:37
>>753 の前に以下を述べるべきだった。
R を可換環、 A_1, ... , A_n を必ずしも可換でない R 上の次数代数とする。
これ等の歪テンソル積 (A_1)(x)'...(x)'(A_n) も >>748 と同様に
定義される。
詳しく述べると、
(x_1)(x)...(x)(x_n) と (y_1)(x)...(x)(y_n) の積は
ε(p,q)(x_1y_1)(x)...(x)(x_ny_n) と定義する。
ここで、各 x_i ∈ (A_i)_(p_i), y_i ∈ (A_i)_(q_i)
ε(p,q) = (-1)^（Σ(p_i)(q_j))
Σは i > j のすべての組合わせを動くものとする。
p、q、r ∈ Z^n のとき、
ε(p+q, r) = ε(p, r)ε(q, r)
ε(p, q+r) = ε(p, q)ε(p, r)
となる。
これから、ε(p, q)ε(p+q, r) = ε(p, q+r)ε(q, r)
となる。
これから、結合律 (xy)z = x(yz) が出る。
歪テンソル積の結合律
(A(x)'B)(x)'C = A(x)'(B(x)'C) = A(x)'B(x)'C も成立つ。
845:１３２人目の素数さん
05/11/14 13:07:46
208さんお帰りなさい。まったく酷い荒れようでした。
846:１３２人目の素数さん
05/11/14 14:17:48
>>845
jisakujien, jisakujien
847:１３２人目の素数さん
05/11/14 14:20:38
>>843
本当にありがとう。Eisenbudの本は読んだことあるんだけどな。読んでも覚えないな。
848:１３２人目の素数さん
05/11/14 15:00:50
熱烈歓迎
>数学板きっての嫌われ者。
849:208
05/11/14 15:08:59
定義
A を可換環、 M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、M^p から N への多重線形写像 f
が交代的 であるとは x_i = x_j, i ≠ j のとき常に
f(x_1, ... x_p) = 0 となることをいう。
850:208
05/11/14 15:09:32
命題
A を可換環、M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、f を M^p から N への交代的多重線形写像、
x_1, ... , x_p を M の元とし、σを {1, ... , p} の順列とする。
このとき、次の等式が成立つ。
f(x_σ(1), ... , x_σ(p)) = ε(σ)f(x_1, ... , x_p)
証明
>>746と同様。
851:１３２人目の素数さん
05/11/14 15:15:30
関数y=√3x-2sinx(0＜x＜2π)の極値を求めなさい
って問題がどうしても解けません(´;ェ;`)
852:208
05/11/14 15:34:56
命題
A を可換環、M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、f を M^p から N への交代的多重線形写像とする。
A-加群としての射 g:(Λ^p)M → N で f = gh となるものが一意に
存在する。
ここで h: M^p → N は、h(x_1, ... , x_p) = x_1Λ...Λx_p で定義
される交代的多重線形写像である。
証明
>>727 の記号を使う、
定義より、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) であるから、
I ∩ T^p(M) は T^p(M) の部分加群として、x_1(x)...(x)x_p,
x_i = x_(i+1) の形の元で生成される。
一方、テンソル積の普遍性より、A-加群としての射 φ:T^p(M) → N で
f = φu となるものが一意に存在する。
ここで、u(x_1, ... , x_p) = x_1(x)...(x)x_p である。
よって、I ∩ T^p(M) ⊂ Ker(φ) となる。
よって、g(x_1Λ...Λx_p) = φ(x_1(x)...(x)x_p)
と定義すればよい。g の一意性は明らか。
証明終
853:208
05/11/14 15:53:18
>>753 の別証を行う。
補題
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
n > 0 なら (Λ^n)M ≠ 0 である。
証明
M^n から A への交代的多重線形写像の１つとして行列式 det がある。
つまり、M のある基底により M を縦ベクトル空間 A^n と同一視
して、M^n の元 X を nxn 型の行列と考え det(X) を対応させればよい。
X が単位行列なら det(X) = 1 だから、これは 0 でない。
よって、>>752 より (Λ^n)M ≠ 0 である。
証明終
854:１３２人目の素数さん
05/11/14 16:09:47
ぷっ
855:208
05/11/14 16:13:40
>>753 の別証
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
p > n なら (Λ^p)M = 0 であり、
p ≦ n なら (Λ^p)M は階数 nCp の A-自由加群である。
証明
p > n なら (Λ^p)M = 0 は明らか。
p ≦ n なら (Λ^p)M は e_(i_1)Λ...Λe_(i_p), i_1 < ... < i_p
で生成される。この e_(i_1)Λ...Λe_(i_p) を e_I と書く。
I は {1, .... , n} の濃度 p の部分集合 {i_1, ... , i_p} を
表す。e_I の全体が A上一次独立であることを言えばよい。
p = n なら >>853 より明らか。
p < n で Σ(a_I)(e_I) = 0 とする。ここで、a_I ∈ A である。
１つの I をとり、その補集合を J とする。
e_J Λ(Σ(a_I)(e_I)) = (a_I)e_J Λ e_I + Σ(a_K)e_J Λ e_K
= 0 である。ここで、Σ(a_K)e_J Λ e_K は K ≠ I, |K| = p となる
K に関する和である。
e_J Λ e_K = 0 であるから、(a_I)e_J Λ e_I = 0 となる。
>>853 より e_J Λ e_I ≠ 0 であるから、a_I = 0 となる。
証明終
856:208
05/11/14 16:23:24
>>753 から、有限階数 の A-自由加群 M の階数は基底の取り方に
よらないことが分かる。この事実の別証としては A の極大イデアル
m をとり k = A/m としたとき、M(x)k の体 k 上の次元は
M の A 上の階数に一致することを使う。ただし、この証明は
A がネーターでないとき Zorn の補題が必要である。
857:208
05/11/14 16:36:44
定義
A を可換環、 B を A-加群とする。
A-加群としての射 φ: B → B(x)B があるとき、
組 (B, φ) または B を A-余代数(A-coalgebra)という。
858:１３２人目の素数さん
05/11/14 17:57:11
寒くないのか？
859:１３２人目の素数さん
05/11/14 23:14:13
>>857
つつつ?
860:１３２人目の素数さん
05/11/14 23:44:22
>>855
写すのはいいけど、せめて正確に写そうよｗ
861:208
05/11/15 09:28:58
A-余代数(>>857)の例：
A を可換環、 M を A-加群とする。
対角射 Δ: M → M + M を考える。ここで M + M は直和であり、
Δ(x) = (x, x) である。
Δ により、A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が誘導される。
>>751 より Λ(M + M) = (ΛM)(x)'(ΛM) である。
(ΛM)(x)'(ΛM) は加群としては普通のテンソル積であるから、
ΛΔ により、ΛM は A-余代数となる。
ΛΔ は次数を保つことに注意。
862:208
05/11/15 10:02:32
>>861 の ΛΔ: ΛM → (ΛM)(x)'(ΛM) を具体的に求めよう。
x ∈ M のとき ΛΔ(x) = x(x)1 + 1(x)x である。
よって、x_1, ... , x_n が M の元であるとき、
ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) =
Σ(-1)^μ (x_(i_i)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_i)Λ...Λx_(j_(n-p)))
となる。ここで μ は i_k > j_l となるペアの個数である。
863:208
05/11/15 10:17:12
外積代数 ΛM が自然に余代数となることは余り知られていない。
このあたりはBourbakiの独壇場だろう。
864:208
05/11/15 10:22:09
>>862 の式の訂正
正しくは、
ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) =
Σ(-1)^μ (x_(i_1)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_1)Λ...Λx_(j_(n-p)))
865:208
05/11/15 10:47:45
A を可換環、 (B, φ) を A-余代数とする。
C を結合的とは限らない A-代数 とする。
m: C(x)C → C を乗法から得られる A-加群としての射とする。
u: B → C
v: B → C
を A-加群としての射とする。
φ: B → B(x)B と u(x)v : B(x)B → C(x)C と m: C(x)C → C
の合成 m(u(x)v)φ: B → C を u と v の積と定義することにより、
Hom(B. C) は結合的とは限らない A-代数 となる。
866:208
05/11/15 15:56:56
>>865 の Hom(B. C) が結合的となる条件を考えよう。
A を可換環、E を結合的な A-代数とする。
μ: E(x)E → E を乗法から得られる A-加群としての射とする。
μ(x)1: (E(x)E)(x)E → E(x)E と μ: E(x)E → E の合成
E(x)E(x)E → E(x)E → E と
1(x)μ: E(x)(E(x)E) → E(x)E と μ: E(x)E → E の合成
E(x)E(x)E → E(x)E → E は結合的より一致する。
ここで、(E(x)E)(x)E と E(x)(E(x)E) を E(x)E(x)E と同一視している。
これの双対として、つまり、矢印の向きを変えることにより次の定義が得られる。
定義
(B, φ) を A-余代数とする。
φ: B → B(x)B と φ(x)1: B → (B(x)B)(x)B の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B と
φ: B → B(x)B と 1(x)φ: B → B(x)(B(x)B) の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B が一致するとき、B は余結合的という。
ここで、(B(x)B)(x)B と B(x)(B(x)B) を B(x)B(x)B と同一視している。
867:208
05/11/16 10:07:39
命題
(B, φ) を A-余代数で余結合的とする。
C を結合的な A-代数 とする。
Hom(B, C) は >>865 の乗法により結合的な A-代数となる。
証明
u, v, w を Hom(B, C) の元とする。
u(x)v(x)w: B(x)B(x)B → C(x)C(x)C と
乗法から得られる C(x)C(x)C → C の合成を h とする。
h: B(x)B(x)B → C
これと、φ: B → B(x)B と φ(x)1: B(x)B → B(x)B(x)B の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B → C
は、(uv)w に等しい。
同様に h と φ: B → B(x)B と 1(x)φ: B(x)B → B(x)B(x)B の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B → C
は、u(vw) に等しい。
B は余結合的だから (uv)w = u(vw) となる。
証明終
868:208
05/11/16 10:54:15
>>865 の Hom(B. C) が単位元を持つ条件を考えよう。
A を可換環、E を単位元 1 を持つ A-代数とする。
ν: A → E を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。
μ(ν(x)1): A(x)E → E(x)E → E は A(x)E を E と見なしたとき
E の単位射である。ここで、μ: E(x)E → E は E の乗法から
得られる射。同様に
μ(1(x)ν): E(x)A → E(x)E → E は E の単位射である
これの双対として、つまり、矢印の向きを変えることにより次の定義が得られる。
定義
(B, φ) を A-余代数とする。
A-加群としての射 η: B → A が以下の条件 1) と 2) を満たすとき
η を B の余単位と呼ぶ。
1) (ν(x)1)μ: B → B(x)B → A(x)B は A(x)B を B と見なしたとき
B の単位射である。
2) (1(x)ν)μ: B → B(x)B → B(x)A は B(x)A を B と見なしたとき
B の単位射である。
869:208
05/11/16 11:08:40
命題
(B, φ) を A-余代数で余単位を持つとする。
C を単位元を持つ A-代数 とする。
Hom(B, C) は >>865 の乗法により単位元を持つ A-代数となる。
証明
η: B → A を余単位とする。
ν: A → C を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。
νη: B → C が Hom(B, C) の単位元となる。
この証明は読者にまかす。
870:208
05/11/16 11:38:46
命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
ΛM は余結合的である。
証明
対角射 Δ: M → M + M
と h = (1, Δ): M + M → M + M + M の合成
hΔ: M → M + M → M + M + M を考える。
ここで、h は h(x, y) = (x, y, y) で定義される射である。
よって、hΔ(x) = (x, x, x) である。
同様に、対角射 Δ: M → M + M
と g = (Δ, h): M + M → M + M + M の合成
gΔ: M → M + M → M + M + M を考える。
ここで、g は g(x, y) = (x, x, y) で定義される射である。
よって、gΔ(x) = (x, x, x) である。
よって、hΔ = gΔ である。
Δ から誘導される A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が
ΛM の余代数としての構造射である(>>861)。
よって、ΛM が余結合的であることは、
Λh = 1(x)(ΛΔ), Λg = (ΛΔ)(x)1 に注意すれば、
hΔ = gΔ から明らか。
証明
871:208
05/11/16 11:49:45
命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
ΛM は余単位(>>869)を持つ。
証明
ΛM = Σ(Λ^p)M (直和) であり、A = (Λ^0)M である。
η: ΛM → A をこの直和における射影とする。
これが余単位であることは、>>862 の公式から分かる。
証明終
872:208
05/11/16 13:45:53
ここで、次数加群の Hom について少し述べる。
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
u :M → N を A-加群としての射で、ある p ∈ Z があり、
u(M_n) ⊂ N_(n+p) が任意の n ∈ Z で成立つとき
u を次数 p の同次射という。次数 p の同次射 u: M → N の集合
を仮に H_p と書こう。H_p は Hom(M, N) の Z-加群としての
部分加群である。H_p で生成される Hom(M, N) の部分加群
ΣH_p は H_p の直和である(証明は読者に任す)。
ΣH_p を Homgr(M, N) と書く(gr は graded の略)。
Homgr(M, N) は H_p を同次部分加群とする A-次数加群である。
873:208
05/11/16 14:28:25
命題
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明
x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。
u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。
ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p 次の同次成分。
u_p(x_i) = Σz_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N) を定義する。
u_p は同次でありその次数は p - deg(x_i) である。
u_p が well-defined であることは、
Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき 各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を
確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。
これを確かめるのは読者に任せる。
u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明終
874:208
05/11/16 14:42:29
規約：
A を可換環、 M を A-次数加群とする。 ただし A は A_0 = A,
p ≠ 0 のとき A_p = 0 として次数環と見なす。
Homgr(M, A) の p 次部分 Homgr(M, A)_p は Hom(M_(-p), A) と
見なせる。しかし、我々は Homgr(M, A) を考えるときは
Homgr(M, A)_p = Hom(M_p, A) と定義することにする。
何故、このように定義するかは後にわかる。
875:208
05/11/16 14:52:54
A を可換環、 M を A-加群とする。
Homgr(ΛM, A) は A-次数加群である。
これが、結合的な A-次数代数で単位元を持つことは、ΛM が余代数
となり(>>861)、余結合的で(>>870)、余単位を持つ(>>871)
ことから明らかだろう(>>867 と >>869 より)。
876:208
05/11/16 16:33:06
A を可換環、 M を A-加群とする。
整数 p > 0 に対して、M^p から A への交代的多重線形写像(>>849)の
集合をAlt(M^p, A)と書こう。これは、A-加群である。
>>874 の規約より、Homgr(ΛM, A)_p = Hom((Λ^p)M, A) だが、
これは >>852 より Alt(M^p, A) と見なせる。
u ∈ Alt(M^p, A), v ∈ Alt(M^q, A) のとき A-次数代数としての
Homgr(ΛM, A) における u と v の積を明示的に求めてみよう。
>>862 より
ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) =
Σ(-1)^μ (x_(i_1)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_1)Λ...Λx_(j_(n-p)))
である。
よって、(ΛM)(x)'(ΛM) を (Z^2)-型の次数代数と見たときの
ΛΔ(x_1Λ...Λx_(p+q)) の (p, q)-成分は、
Σε(σ) (x_σ(1)Λ...Λx_σ(p)) (x) (σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q))
となる。ここで、σは集合 {1, ... , p+q} の置換で、それぞれ
区間 {1, ... , p} と 区間 {p, ... , p+q} において狭義単調増加
するものを動く。ε(σ) は σ の符号。
これと >>865 から
(uv)(x_1, ... , x_(p+q)) =
Σε(σ) u(x_σ(1), ..., x_σ(p))v(x_σ(p), ..., x_σ(p+q))
となる。
877:１３２人目の素数さん
05/11/16 17:02:34
無眼界乃至無意識界無無明亦無無明尽
878:208
05/11/16 17:08:21
話は変わるけど(実は外積代数と関係あるが)、不変式論って面白そうだね。
以下はEisenbudその他の受け売り。
不変式論は１９世紀の半ば頃から末まで流行ったが、Hilbertが不変式論で
大きな仕事をしてから廃れてしまい、２０世紀半ばくらいまでは
内容を知ってる人間はわずかだった。それが、Mumford が
幾何的不変式論を発表してから再び日の目を見るようになった。
Hilbertは、不変式論の研究で四つの大きな発見をした。
1) 多項式イデアルの基底定理
2) 多項式イデアルの零点定理
3) 同次イデアルのHilbert多項式
4) 同次イデアルのSyzygy定理
これらは、可換環論で重要なものばかり。これらが不変式論から
出てきたということから、この理論が只者じゃないことがわかる。
879:１３２人目の素数さん
05/11/16 17:38:40
>>878
Hilbert's Invariant Theory Papers
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
880:１３２人目の素数さん
05/11/16 17:58:09
永田雅宜先生も古典的な不変式論を高く評価されています。
881:１３２人目の素数さん
05/11/16 18:14:28
>>877
乃至無老死亦無老死尽無苦集滅道無智亦無得
882:１３２人目の素数さん
05/11/16 20:55:17
永田氏の思考力には驚嘆する。すごく入り組んだことを考えれる人だ。
883:208
05/11/17 09:33:16
>>873を以下のように訂正する。
命題
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明
x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。
u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。
ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p + deg(x_i) 次の同次成分。
各 i に対して u_p(x_i) = z_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N)
を定義する。 u_p は同次でありその次数は p である。
u_p が well-defined であることは、
Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき 各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を
確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。
これを確かめるのは読者に任せる。
M は有限生成だから u_p は有限個を除いて 0 である。
u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明終