05/09/21 10:05:19
>>43の命題の証明
pB = (P^e)I, I + P = B とする。
>>41より、以下の条件を満たすθ∈B が存在する。
1) L = K(θ)
2) θ∈I
2) 任意のω∈B と任意の整数 m > 0 に対して、
ω = G(θ) (mod P^m) となる多項式 G(X) ∈ A[X] がある。
c ∈ f'(θ)B ∩ A となる c ≠ 0 をとる。
f'(θ) ≠ 0 だから、このような c は存在する。
c が p に含まれないとすると、f'(θ)B は P に含まれない
ことになり、f'(θ)B = D(L/K)F より、F は P に含まれない。
よって、この場合は証明が終了する。
よって、 cA = (p^h)J, h > 0, J + p = A とする。ここで J は A のイデアル。
>>42より、dA = JR, R + p = A となる元 d ∈ J と A のイデアルRが
存在する
>>41より、任意のω∈B に対して、ω = G(θ) + β となる、
G(X) ∈ A[X] と β∈P^(eh) がある。
θ∈ I だから、(θ^h)β∈(I^h)P^(eh) = (IP^e)^h = (p^h)B
d(θ^h)β ∈ (p^h)JRB = cRB ⊂ f'(θ)B ⊂ F ⊂ A[θ]
よって、d(θ^h)ω = d(θ^h)G(θ) + d(θ^h)β ∈ A[θ]
ωは任意のB の元だから、d(θ^h) ∈ F となる。
d と θ は P に含まれないから F は P に含まれない。
証明終