05/10/18 11:01:55
定理
Artin環はネーター環でもある。
証明
A を Artin環とする。A の極大イデアルを m_1, ..., m_r とする。
J = m_1 ∩ ... ∩ m_r とする。>>336より J^n = 0 となる整数 n > 0
がある。>>339 より、J = (m_1)...(m_r) であるから、
(m_1)^n...(m_r)^n = 0 である。
>>341 より A は (A/(m_1)^n) x ... x (A/(m_r)^n) と 同型である。
各 A/(m_i)^n は Artin 環 であるが >>335 より ネーター環でもある。
よって A 自身もネーター環でもある。
証明終