05/10/13 12:42:13
>>236の補題の証明
上の関係式を行列記法で書くと、TX^t = 0 となる。
ここで、 X = (x_1, x_2, ... , x_n)
X^t は X の転置行列。
T~ を T の余因子行列とする。
線形代数でよく知られているように
T~T = det(T)E となる。ここで、E は n-次の単位行列。
よって、T~TX^t = det(T)X^t = 0 となる。
つまり、det(T)x_i = 0 が各 i で成立つ。
証明終
238:１３２人目の素数さん
05/10/13 13:11:57
定義
環 A のすべての極大イデアルの共通集合を A の Jacobson根基といい、
rad(A) と書く。Jacobson根基を省略して J-根基ということもある。
239:１３２人目の素数さん
05/10/13 14:09:07
よく恥ずかしげもなくassなんて書けるな
240:208
05/10/13 17:26:14
補題
A を環、x を A の元で x = 1 (mod rad(A)) とする。
このとき、 x は可逆元である。
証明
x ∈ m となる A の極大イデアルがあるとする。
rad(A) ⊂ m だから x = 1 (mod m) である。
当然、x = 0 (mod m) だから 1 = 0 (mod m) となって矛盾。
よって、Ax = A でなければならない。
何故なら、Ax ≠ A とすると Zornの補題より、Ax を含む極大イデアル
が存在するから。
証明終
241:208
05/10/13 17:27:04
補題
A を環、E, F を A の元を成分とする n-次の正方行列とする。
I を A のイデアルとする。
E = F (mod I) とは、行列の成分毎の mod I での合同を意味する
とする。このとき、det(E) = det(F) (mod I) である。
証明
明らか。
242:208
05/10/13 17:36:29
中山の補題
A を環、I を A のイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群とする。
IM = M なら M = 0 である。
証明
M の A-加群としての生成元を x_1, ... , x_n とする。
IM = M より、I の元の列 a_(i,j), 0≦i, j≦n があり、
これ等の間に次の関係式が成立つ：
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = x_1
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = x_2
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = x_n
つまり、TX^t = X^t となる。
よって、(E - T)X^t = 0 となる。
ここで、T = (a_(i,j))、
X = (x_1, x_2, ... , x_n)
X^t は X の転置行列。 E は n-次の単位行列。
よって det(E - T)x_i = 0 が各 i で成立つ(>>236)。
よって、det(E - T)M = 0 となる。
一方、E - T = E (mod I) となるから、
det(E - T) = 1 (mod I) となる(>>241)。
よって、det(E - T) は可逆元である(>>240)。
よって、M = 0 となる。
証明終
243:208
05/10/13 17:47:48
中山の補題(>>242)の別証１
>>242の記号を使う。
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = x_1 より、
(a_(1,1) - 1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = 0
a_(1,1) - 1 は可逆(>>240)だから、
x_1 ∈ Ax_2 + ... + A x_n となる。
よって、M = Ax_2 + ... + A x_n となる。
これから、n に関する帰納法より、M = 0 となる。
証明終
244:208
05/10/13 17:58:50
補題
A を環、M を有限生成 A-加群とする。
N を M の部分加群で N ≠ M とする。
N を含む M の極大部分加群が存在する。
証明
N を含む M の部分加群で M と異なるものから構成される
全順序集合(包含関係による) S があるとする。
S の要素全体の和集合 L は M の部分加群で M と異なる。
何故なら M = L とすると L は M の有限個の生成元を含むから
S の要素で M と一致するものがあることになり矛盾。
よって Zorn の補題より N を含む M の極大部分加群が存在する。
証明終
245:１３２人目の素数さん
05/10/14 08:33:28
>>244
明らかな事を証明するな馬鹿
246:１３２人目の素数さん
05/10/14 08:51:11
>>244
明らかな事を証明するな馬鹿
omae usero BOKE!!!
247:１３２人目の素数さん
05/10/14 09:07:51
>208
O-BOKE!!! !!!
248:１３２人目の素数さん
05/10/14 09:20:45
>>245-247 寝た子を起こすな。
249:208
05/10/14 10:24:13
補題
A を環、I を A のイデアル、M を A-加群とする。
(A/I)(x)M は M/IM と標準的に同型である。
証明
A-加群の完全列
0 → I → A → A/I → 0
より完全列
I(x)M → A(x)M → (A/I)(x)M → 0
が得られる。これより明らか。
証明終
250:208
05/10/14 10:29:27
中山の補題(>>242)の別証２
M ≠ 0 とする。
>>244 より、M の極大部分加群 N が存在する。
M/N は 0 以外に真の部分加群を持たない。つまり単純加群である。
よって M/N は１個の元で生成されるから、A の適当なイデアル m に
対して A/m と同型である。N は極大だから m は極大イデアルである。
よって、完全列
M → A/m → 0
が得られる。
よって、完全列
M(x)(A/I) → (A/m)(x)(A/I) → 0
が得られる。
一方、>>249より、
M(x)A/I = M/IM
(A/m)(x)(A/I) = A/m (I ⊂ m に注意)
と見なされる。つまり、完全列
M/IM → A/m → 0
が得られる。
よって、M/IM ≠ 0
証明終
251:208
05/10/14 10:38:20
個人的には、>>250の証明が中山の補題の本質を突いてると思う。
どの証明もZornの補題を本質的に使っていることに注意。
A がネーター環ならZornの補題はいらないが。
252:208
05/10/14 11:23:43
中山の補題と準素イデアル分解の応用として「Krullの共通イデアル定理」
を証明する。
定理(Krull)
A をネーター局所環、m をその極大イデアルとすると、
∩m^n = 0 となる。ここで n はすべての正の整数 n > 0 を動く。
証明
I = ∩m^n とおく。
mI = I を示せば、中山の補題より I = 0 となる。
mI ⊂ I は明らかだから I ⊂ mI を示す。
mI = q_1 ∩ ... ∩ q_r とする。ここで、各 q_i は準素イデアル。
ある i に対して、I ⊂ q_i とならないと仮定する。
mI ⊂ q_i だから m の各元は mod q_i で零因子となる。
よって、{m} = Ass(A/q_i) である。
よって、m^n ⊂ q_i となる整数 n > 0 がある(>>168)。
一方、I = ∩m^n だから I ⊂ m^n である。
よって、I ⊂ q_i となって矛盾。
証明終
253:208
05/10/14 12:05:02
定義
A を環、M を A-加群とする。
M ≠ 0 で
M ≠ N かつ N ≠ 0 となる部分加群 N が存在しないとき
M を単純加群と呼ぶ。
254:208
05/10/14 12:06:05
定義
A を環、M を A-加群とする。
M の部分加群の列
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0
があり、各 i に対して M_i/M_(i+1) が単純とする。
このとき、列 (M_i) を M の組成列と呼ぶ。
n をこの組成列の長さという。
255:１３２人目の素数さん
05/10/14 14:26:25
アホかお前
256:１３２人目の素数さん
05/10/14 14:27:57
>>255
たのむからこのスレに文句つけるのやめてくれ。
257:208
05/10/14 18:45:16
可換環論においてネーター環が重要なことは当然だし、ネーター環は
色々、好都合な性質を持っている。だから、常にネーター性を
仮定出来れば、すっきりする。ところが、そうは問屋がおろしてくれない。
ネーター環でない重要な環がある。例えば離散付値でない付値環。
それに、不幸なことにネーター整域のその商体における整閉包は必ずしも
ネーター環ではない。
258:１３２人目の素数さん
05/10/14 19:34:24
そ れ が な に か ？
259:１３２人目の素数さん
05/10/14 19:44:55
>>256
260:１３２人目の素数さん
05/10/15 10:11:17
可換環論においてネーター環が重要なことは当然だし、ネーター環は
色々、好都合な性質を持っている。だから、常にネーター性を
仮定出来れば、すっきりする。ところが、そうは問屋がおろしてくれない。
ネーター環でない重要な環がある。例えば離散付値でない付値環。
それに、不幸なことにネーター整域のその商体における整閉包は必ずしも
ネーター環ではない。
tatoeba hokaniaru?
261:感想
05/10/15 12:28:52
おつかれさま。これからもがんばって。
いや、なんだか大変そうだから。読んで文句をいうだけなら楽でも書くのは大変かと。
以下愚痴：素人というのはつまり、今はどんな状態からどんな状態へとつなぐ為に
こんなことをしています、っていうイメージがわかないひとのことかな、って思った。
たどれる（なぞれる）だけでは意味がなくてそれぞれの場面でどこを目指せばいいか
そんなレベルで知りたくて見てる私は素人なので、途中の道に目印だけ置かれて
途中で迷子にならないように何とかとりあえずついていくだけだと、ちょっとさびしく。
原語がわかるから言語的イメージを持てるのかもしれないけれど、
図形などの視覚的イメージや同じ～類似の形式的性質を持つモデルがあったらな。
でもわかるひとには長くてくどくなるし、かくのにも面倒だから、無理なんだろうな…。
たとえば？えーと上の局所化って内部相互差の一部の同一視なのかな、とか、
それによって扱うべき差異に注目して、本題以外の情報を視野から外せるかなとか、
ネイター環なら閉集合縮小時＝限定条件強化＝焦点化に限界があって、
開集合拡大時＝存在条件ゆるめ時の限界と表裏で、操作時いろいろ便利だ、とか。
かなり雑で不正確な気がするけど、ここの文だけだとそんなイメージになったよ。
262:１３２人目の素数さん
05/10/15 12:52:02
そんな無茶苦茶な理解しても役に立たんよ
数学は基礎からきちんと勉強しないと身につかない
それからネイター環じゃなくてNoether(ネター/ネーター）ね
物理の人とかたまにナーターとか読んでたりするけど
263:感想
05/10/15 14:06:13
そうそう、そんな感じで。
何がどう間違ってるか突っ込まない教授って
あまり学習者には役に立たないものだから。
単に不正確とかいうのは、まず無意味。
ちゃんと正しい記述に直してくれてありがとう。
ちなみにこのｏｅは円唇音（≒咽頭開け音でも可、
口腔内前後径延長によって同様の音の変化
＝全フォルマントの低音化が起きるから容認発音）
のエで、やや長めなので、その通りになります。
他で基礎を全部学ぶならこの場はいらない。
半分の理解（＝誤解）の段階が想定対象だから、
軌道修正が中心になるのは当然、でもそれがない
参考書等が多く、このスレッドを頼りに学ぶわけで。
参考文献が入手困難か読みにくい外国語だけ、
または本の記述の細かさのムラのために
初学者が理解困難な場面の解説をしてくれている
そんな親切なひとのスレッドなのです。
だけど一人だと負担が重くなりすぎるので、
焦点が外れていたらスレ主は流すしかない。
こういった親切な人が助けてくれないと、
質問者は「？？？」なままになるわけ。
で、ＲＯＭは気が引けるので、声援・応援レスなのです。
264:１３２人目の素数さん
05/10/15 15:46:55
ラのために
初学者が理解困難な場面の解説をしてくれている
そんな親切なひとのスレッドなのです。
だけど一人だと負担が重くなりすぎるので、
焦点が外れていたらスレ主は流すしかない。
こういった親切な人が助けてくれないと、
質問者は「？？？」なままになるわけ。
で、ＲＯＭは気が引けるので、声援・応援レスなのです。
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265:208
05/10/15 16:30:38
>>260
>tatoeba hokaniaru?
例えば、Krull環、例えば、ネーター整域のその商体における整閉包とか
266:208
05/10/15 16:35:11
初学者？ そうね、我慢して証明を追っていく。
そのうち、トンネルを抜けるように見晴らしがパーっと良くなる。
この感覚は言葉でいくら説明してもわからない。
体験するしかない。
267:208
05/10/15 16:46:04
まあ、そう突き放すのも何だから、わからないところは質問して
くれればいい。
268:１３２人目の素数さん
05/10/15 16:49:10
さて、ここでクリトリスについて考察してみよう。
まず、「リス」を漢字で書くと「栗鼠」、すなわち
(リス) = (栗鼠)
ここで、
(栗) + (栗鼠) = (栗) (1 + 鼠)
故に、
(クリトリス) = (栗) (1 + 鼠)
を得る。
269:208
05/10/15 16:55:44
何なんだろうね。釣りに反応するのもなんだけど。
数学がなんかすごくまじめくさった面白くもなんともないもんだと
誤解してんだろうね。数学ってのは場合によるとセックスより気持ち
いいもんなんだよ。これは知るひとぞ知る公然の秘密
270:１３２人目の素数さん
05/10/15 17:15:22
問題が解けたときって、１００円玉拾ったときと脳波がおなじじぇあねーの？
271:シュリ
05/10/15 18:26:57
今、就職活動中で、もし数学に事を何も知らない面接官に「代数学って何？」ってき
聞かれたら、何て説明しますか！？（素朴な疑問でスミマセン・・・。）
あとこの掲示板では、代数的整数論の話題以外の分野で質問するのは、マズイですか！？
272:１３２人目の素数さん
05/10/15 18:29:15
おでん屋みたいなものですとネタを入れる
273:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/10/15 18:44:30
talk:>>271 集合に、いくつかの演算の構造を入れた空間を考える学問。(もはや「代数」などとは呼べないかもしれないが。)
274:１３２人目の素数さん
05/10/15 18:53:07
>>273
それは「数学」の説明では？
275:１３２人目の素数さん
05/10/15 19:10:33
暗号に使える高級数学とでもいっておけば。。。どんな暗号ってって会話が続くかも
営業で代数専攻でっていったら客がぽかーんとするから、そのときどう答えるかを聞いてるんだよ。
代数なんかで商売できる仕事はない
276:１３２人目の素数さん
05/10/15 19:14:27
まあとにかく
・好きでやった
・一生懸命やった
・努力する才能はある
という点をアピールするのが目的だから、
説明と言う手段にこだわりすぎないほうがよい。
277:１３２人目の素数さん
05/10/16 15:46:59
・好きでやった
・一生懸命やった
・努力する才能はある
・本質は馬鹿である
・他人に教える才能も無い
・つぶしが利かない
・人生やめたほうが良い
278:１３２人目の素数さん
05/10/16 16:24:57
もとの話題に戻りましょ。208さん、すみません。
279:１３２人目の素数さん
05/10/16 16:37:52
微分幾何学と数値解析はなにに使えるって聞かれて。。。
リアクターの中のケミカル物質の濃度解析につかえるといったら。。
うちでは使う機会がないといわれた。。。
だったら面接に呼ぶなよな。。。忙しいのに。。。
馬鹿の面接官を出す会社は最初から蹴ったほうがいい
280:１３２人目の素数さん
05/10/16 16:41:26
大手は形式だけ試験受けてくれで。。。即決だった。
判断が速い。格の違いを感じた。
281:208
05/10/17 09:48:11
最近(実はほんの２、３日前)、Kummerの理想数に関して以外な発見を
した。俺だけが気がついたとは思はないが。
足立の「フェルマーの大定理」という本を１ヶ月ほど前にアマゾンで
買った。この本にはKummerの理想数について書いてあると聞いたから。
ところが読んでみるとあまり詳しく書いてない。
ただ、定義は書いてあった。
K を代数体(実は円分体だが一般の代数体でも同様)、A をその主整環、
p を素数とする。p の素因子とは、p と A の元ωの組 (p, ω)
で以下の条件を満たすものである。
1) ω ≠ 0 (mod pA) である。つまり ω ⊂ pA とならない。
2) α、βを A の元で、αβω = 0 (mod pA) なら、
αω = 0 (mod pA) または βω = 0 (mod pA) となる。
このとき、(p, ω) は p の素因子 P を定めるという。
αω = βω (mod pA) のとき α と β は 素因子 P を法として
合同といい、α = β (mod P) と書く。
初めこれを読んだとき、なんじゃこれは？ 奇妙な定義だなと思った。
ところが、２、３日前に読み返してみて気がついた。
皆、もうわかるよね？ そう 素因子 P とは A/pA の随伴素イデアル、
つまり P ∈ Ass(A/pA) のことだ(>>89)。
これは驚きだよね。随伴素イデアルの概念はやっと１９５０年代の
終わりにBourbakiが定式化したものだ。それを、Kummerが100以上前に
代数体でやっていたとは。
282:208
05/10/17 10:24:37
Kummerの定義によると α ∈ A が (p, ω) で定義される素因子 P の
n乗で割れるとは αω^n = 0 (mod (p^n)A) となることをいう。
A がDedekind環であることを使うと、これはイデアルとして
αA ⊂ P^n と同値であることが分かる。
283:１３２人目の素数さん
05/10/17 10:54:37
偉大なり、kummer
拡大スレをあげるんだ！
284:208
05/10/17 12:06:11
補題
A を環、M を A-加群とする。
M が長さ n の組成列(>>254)を持てば、M の任意の部分加群 N は、
長さ ≦ n の組成列を持つ。
証明
n に関する帰納法。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
(N + M_1)/ M_1 は N/(M_1 ∩ N) と同型である。
N + M_1 = M_1 つまり N ⊂ M_1 の場合は帰納法の仮定より、
N は長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。
N + M_1 ≠ M_1 の場合は、N + M_1 = M であり、N/(M_1 ∩ N) は
単純加群(>>253)である。一方、M_1 ∩ N は帰納法の仮定より、
長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。よって、N は長さ ≦ n の組成列を持つ。
証明終
(注) 図を書くと証明が良く分かる。
285:208
05/10/17 12:22:24
補題
A を環、M を A-加群とする。
M が長さ n の組成列(>>254)を持てば、M の任意の部分加群 N に
対して、M/N は長さ ≦ n の組成列を持つ。
証明
n に関する帰納法。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
(N + M_(n-1))/N は M_(n-1)/(N ∩ M_(n-1)) と同型である。
N + M_(n-1) ⊃ M_(n-1) であり、M/M_(n-1) は長さ = n-1 の
組成列を持つ。よって、N + M_(n-1) に帰納法の仮定が使える。
残りの証明は読者に任す。
286:208
05/10/17 12:30:31
定理(Jordan-Holder)
A を環、M を A-加群とする。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
M の任意の組成列の長さは n であり、その剰余群の列は、
順序を別にして 列 (M_i/M_(i+1)) と同型である。
証明
n に関する帰納法。
M = N_0 ⊃ N_1 ⊃ N_2 ... ⊃ N_m = 0 を別の組成列とする。
M_1 ∩ N_1 は補題(>>284)より長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。
これと、帰納法の仮定を使えばわかる。
詳しくは読者に任す。
287:208
05/10/17 12:32:51
>>286から自然数の素因数分解の一意性がすぐに出る(演習)。
だから、>>286は非常に基本的な定理ということが出来る。
288:208
05/10/17 12:37:52
定義
A を環、M を長さ n の組成列を持つ A-加群とする。
>>286より n は組成列の取り方によらない。
n を leng(M) と書き、M の長さと呼ぶ。
一般に組成列をもつ加群を長さ有限の加群と呼ぶ。
289:208
05/10/17 12:41:14
命題
A を環、M を長さ有限の加群、N をその部分加群とする。
このとき、N も M/N も長さ有限であり、
leng(M) = leng(N) + leng(M/N) となる。
証明
>>284と>>285から明らか。
290:208
05/10/17 12:45:08
命題
A を環、M をA-加群とする。
M が長さ有限であるためには、部分加群に関して極大条件と
極小条件を同時に満たすことが必要十分である。
証明
>>286や>>289を使えば簡単なので読者にまかす。
291:208
05/10/17 12:49:44
>>281
自画自賛だけど、このスレで随伴素イデアルを扱ったのは正解だね。
なにしろ、Kummerがやってるんだから。
普通は代数的整数論の導入部で随伴素イデアルに関してここまでやらない。
292:208
05/10/17 16:00:19
定義
A を環とする。それをA-加群とみたとき極小条件を満たすなら、それを
Artin環という。
293:１３２人目の素数さん
05/10/17 16:03:51
>>286から自然数の素因数分解の一意性がすぐに出る(演習)。
うそつけ
294:208
05/10/17 16:06:13
命題
Artin環が整域なら、それは体である。
証明
a ∈ A を 0 でない元とする。
イデアルの列 aA ⊃ (a^2)A ... ⊃ (a^n)A ⊃ ...
は途中で停留するから、(a^n)A = (a^(n+1))A となる整数 n > 0 が
ある。よって、a^n = a^(n+1)x となる x ∈ A がある。
A は整域だから、1 = ax となる。
証明終
295:208
05/10/17 16:15:32
>>293
素直に、わからないから教えてくださいと言えばいいものを。
296:208
05/10/17 16:19:35
>>294の系
Artin環の素イデアルは極大である。
297:１３２人目の素数さん
05/10/17 16:20:38
>>295
おしえてなんかいらねーよ
298:１３２人目の素数さん
05/10/17 16:21:46
208は教えてクンでもあったのか・・・
299:208
05/10/17 16:28:42
命題
Artin環の素イデアルは有限個である。
証明
p_1, p_2, ... , p_n を相異なる素イデアルとする。
p_1 ≠ (p_1)(p_2) である。
何故なら、p_1 = (p_1)(p_2) なら、p_1 ⊂ p_2 となるが、
p_1 は極大イデアルだから(>>296)、p_1 = p_2 となって矛盾。
同様に、(p_1)(p_2) ≠ (p_1)(p_2)(p_3) である。
何故なら、(p_1)(p_2) = (p_1)(p_2)(p_3) なら、p_1 ⊂ p_3
または p_2 ⊂ p_3 となるから。
よって、降鎖列 p_1 ⊃ (p_1)(p_2) ⊃ (p_1)(p_2)(p_3) ...
が得られ、隣合うイデアルは異なる。
極小条件から、この列は無限に続かない。
証明終
300:208
05/10/17 16:30:46
>>298
お前はアフォか。
301:１３２人目の素数さん
05/10/17 16:33:13
おまえの返答、教えてクンの定型そのものだよ。
302:208
05/10/17 16:38:47
>>301
だから、素直に謝れ。そしたら答えを教えてやる。
303:１３２人目の素数さん
05/10/17 16:40:27
>>302
見当違いだって
うそつけっていったのは俺だよ
304:１３２人目の素数さん
05/10/17 16:43:13
いや結構。俺は>>293じゃないから。敵は一人症候群、早く治せよ。
305:208
05/10/17 16:46:41
>>303
要は、答えが分からないんだろ。
分からないのに、人を嘘つき呼ばわりするんじゃない。
この問題は、そんなに大騒ぎするほどのもんじゃない。
だからこれで終わり。答えは自分で考えろよ。
ヒントは Z/nZ の組成列を考える。
このヒントでほとんど終わりだけどな。
306:１３２人目の素数さん
05/10/17 16:48:18
>>305
おまえは馬鹿だね
それでおわりだとおもってるからうそつきなの
307:208
05/10/17 17:40:52
>>306
何を悔し紛れに。これで勉強になったろ。
その程度で俺に喧嘩を売るのはまだ早いんだよ。
308:１３２人目の素数さん
05/10/17 17:42:56
>>307
あ まだわからないんだ
いつまでもそうやって自己満足してろ
309:１３２人目の素数さん
05/10/17 18:05:32
やっと208らしくなってきたｗ
310:208
05/10/17 18:14:21
>>308
こんな簡単な問題につべこべ言ってるならここに来る資格なし。
来るなよ。邪魔だから。
311:１３２人目の素数さん
05/10/17 18:15:53
>>310
わからないからって
くやしまぎれ言うんじゃないよ
ま
おまいさんには無理だと思ってたよ
312:１３２人目の素数さん
05/10/17 18:17:21
>>310
教えて欲しかったらちゃんと謝れよ
教えてくん
313:208
05/10/17 18:36:50
笑っちゃうね。そんなに説明してもらいたいのか。いじらしいね。
それならもうちょっと言い方があるだろうに。
314:１３２人目の素数さん
05/10/17 19:09:32
抽象論の中で自己完結しているやつらの糞スレだな。
まあ、趣味でやる分にはいいだろうが、実社会では
もっとも使えない連中だｗ
315:１３２人目の素数さん
05/10/17 19:17:38
>>314
自己完結しない抽象論なんてないよ。
君は実社会で糞でも食べてなさい。
316:208
05/10/17 19:22:03
趣味でやってんだけど。将棋とか野球とかと同じ
上(>>269)にも書いたけど何か勘違いしてんだろうね。
317:１３２人目の素数さん
05/10/17 19:38:34
実社会の甘い果実がわからんとな！
コチコチの自己完結頭の将来には、フリーターかニート
しかないってことかｗ
318:１３２人目の素数さん
05/10/17 19:41:21
数学に関係のない価値を持ち出すなって。
319:208
05/10/17 19:47:56
だから勘違い。一種の嫉妬だろ。みっともねえ。
320:１３２人目の素数さん
05/10/17 19:51:55
フリーターかニート はもうすぐ捕獲されて収容所に送られます
321:１３２人目の素数さん
05/10/17 20:01:44
208の方こそ数学に（しかも自分が得意なもの限定）すがりついて
るんじゃないか。だから、ささいなことに過剰に反応する。
余裕があるときとないときの落差大きすぎｗ
322:１３２人目の素数さん
05/10/17 20:02:51
ニコリのパズルなら良くて数学ならダメというのがわからん。絡むなよ。
323:１３２人目の素数さん
05/10/17 21:53:52
>>322
要するに２０８の態度が不快ということだろう？ 空気嫁。
324:１３２人目の素数さん
05/10/17 21:55:52
>>323
ニコリのパズルについて嬉々として話している人がいたとして、
それを不快がるヤシの気持ちがわからん、という話をしている。
325:１３２人目の素数さん
05/10/17 22:10:56
>>324
「嬉々として話している」だけなら誰も文句は言わん。
繰り返す、空気嫁。
326:１３２人目の素数さん
05/10/17 22:15:07
>>325
おまいの脳の中だけの空気は読めん。スレを１個消費するだけ。無視すれ。
327:１３２人目の素数さん
05/10/17 22:18:01
>>326
自分の脳の中しかわからんか。典型的な自己完結厨だな。
328:１３２人目の素数さん
05/10/17 22:18:22
>>325
おまえの村の空気だけで地球は覆えない。
329:１３２人目の素数さん
05/10/17 22:22:40
>>327
暗に、「数学の価値はニコリのパズル程度と思え」という価値の改革を迫っている。改革しろ。
330:１３２人目の素数さん
05/10/17 22:32:21
>>328
君の脳内世界についていけん。
>>329
被害妄想。
331:１３２人目の素数さん
05/10/17 22:33:03
d一つであぼーんできる2chブラウザを使ってる俺は勝ち組
332:１３２人目の素数さん
05/10/18 00:06:58
THAT"S BOTTOM LINE!!!!!!!!!1
THE undertaker takes Tomb Stone PiLe Driver!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1
333:208
05/10/18 08:55:00
俺の態度？ バカヤロ。
俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴
の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
別の言い方があるだろうが。
334:208
05/10/18 09:26:34
補題
体 k 上の加群 V が部分加群に関して極小条件をみたせば、
V は ｋ上有限次である。
証明
V が k 上無限個の基底を持つとする。
容易にわかるように、部分加群の無限降鎖列で途中で停滞しないものが
得られる。
証明終
335:208
05/10/18 09:30:37
命題
A を局所Artin環とする。つまりただ１つの極大イデアル m をもつ
Artin環とする。m がべき零なら A は A-加群として長さ有限である。
証明
m^n = 0 とする。
A-加群の降列
A ⊃ m ⊃ m^2 ⊃ ... ⊃ m^(n-1) ⊃ m^n = 0
を考える。
0 ≦ i ≦ n-1 に対して M_i = m^i/m^(i+1) とおく。
m(M_i) = 0 だから、M_i は 体 A/m 上のベクトル空間とみなせる。
M_i の A-加群としての部分加群は、A/m 上の部分ベクトル空間でも
あり、逆も成立つ。よって補題(>>334)より M_i は A-加群として
長さ有限である。よって A も長さ有限である。
証明終
336:208
05/10/18 09:47:16
命題
A をArtin環とし、J を A の J-根基(>>238)とする。
J はべき零となる。
証明
A-加群の降列
J ⊃ J^2 ⊃ ... ⊃ J^n ⊃ ...
は途中で停滞するから、J^n = J^(n+1) となる整数 n > 0 がある。
N = J^n とおく。N^2 = N である。
N ≠ 0 として矛盾を導けば証明が終わる。
NI ≠ 0 となるイデアル I の集合 S を考える。N^2 = N だから、
N ∈ S だから S は空でない。よってこの集合に極小なものがある。
それを I とする。NI ≠ 0 だから Na ≠ 0 となる I の元がある。
I の極小性より、I = aA である。(N^2)a = Na だから、
Na ∈ S であり、Na ⊂ aA より再び I の極小性より Na = aA
となる。よって x ∈ N で xa = a となるものがある。
(x^2)a = xa = a を繰り返して (x^n)a = a が任意の n > 0 で
成立つ。
一方、N ⊂ J であり、J = nil(A) でもあるから(>>296 と >>163)、
x はべき零である。よって a = 0 となって矛盾。
証明終
337:１３２人目の素数さん
05/10/18 09:49:50
俺の態度？ バカヤロ。
俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴
の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
別の言い方があるだろうが
Do not worry about it. You do a good job..
338:208
05/10/18 09:51:21
補題
A を環、I, J を A のイデアルで I + J = A とする。
このとき、IJ = I ∩ J となる。
証明
IJ ⊂ I ∩ J は明か。
I ∩ J = (I ∩ J)(I + J) ⊂ IJ + IJ = IJ
証明終
339:208
05/10/18 10:01:23
補題
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
このとき、(I_1)(I_2)...(I_n) = I_1 ∩ I_2 ∩ ... ∩ I_n となる。
証明
>>338 と帰納法を使う。
340:208
05/10/18 10:19:36
すまん。>>339の証明には次の補題がいるな。
補題
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
各 i に対して J_i を I_1, I_2, .. I_n から I_i を除いた積とする。
このとき I_i + J_i = A となる。
証明
I_i + J_i ⊂ m となる 極大イデアルがあったとする。
J_i ⊂ m だから i ≠ j のとき I_j ⊂ m となって、
I_i + I_j = A に矛盾する。
証明終
この補題は極大イデアルを使わなくても証明できる。
341:208
05/10/18 10:50:05
命題(中国式剰余定理)
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
A/(I_1)(I_2)...(I_n) は (A/I_1) x (A/I_2) x ... x (A/I_n) と
標準的に同型である。
証明
環の射 f
f: A → (A/I_1) x (A/I_2) x ... x (A/I_n)
を f(x) = (x mod I_1) x ... x (x mod I_n) で定義する。
これが全射であることを示せばよい。
何故なら Ker(f) = I_1 ∩ I_2 ∩ ... ∩ I_n だが、>>339
より Ker(f) = (I_1)(I_2)...(I_n) となる。
x_1, x_2, ..., x_n を A のかってな元の列とする。
x = x_1 (mod I_1)
x = x_2 (mod I_2)
...
x = x_n (mod I_n)
となる A の元 x を求めればよい。
>>340 より、各 i に対して I_i + J_i = A
だから、z_i + e_i = 1 となる z_i ∈ I_i と e_i ∈ J_i
がある。
e_i = 1 (mod I_i)
i ≠ j のとき、e_i = 0 (mod I_j)
となる。
x = (x_1)(e_1) + (x_2)(e_2) + ... + (x_n)(e_n)
が求めるもの。
証明終
342:208
05/10/18 11:01:55
定理
Artin環はネーター環でもある。
証明
A を Artin環とする。A の極大イデアルを m_1, ..., m_r とする。
J = m_1 ∩ ... ∩ m_r とする。>>336より J^n = 0 となる整数 n > 0
がある。>>339 より、J = (m_1)...(m_r) であるから、
(m_1)^n...(m_r)^n = 0 である。
>>341 より A は (A/(m_1)^n) x ... x (A/(m_r)^n) と 同型である。
各 A/(m_i)^n は Artin 環 であるが >>335 より ネーター環でもある。
よって A 自身もネーター環でもある。
証明終
343:208
05/10/18 13:50:21
命題
A をネーター環、M を A-加群で長さ有限とする。
Ass(M) の元はすべて極大イデアルである。
証明
p ∈ Ass(M) とする。A-加群としての単射 A/p → M がある。
よって A/p の長さは有限(>>284)。よって p は極大イデアル(>>296)
証明終
344:208
05/10/18 13:51:18
命題
A をネーター環、M を A-加群で長さ有限とする。
Supp(M) の元はすべて極大イデアルである。
証明
p ∈ Supp(M) とすると定義から M_p ≠ 0 である。
Ass(M_p) は空でない(>>90)。Ass(M_p) は Ass(M) の部分集合
Ass(M) ∩ Spec(A_p)と同一視される(>>95)。
よって、p は Ass(M) の元を含む。
Ass(M) の元は極大(>>343)だから p は極大である。
証明終
345:208
05/10/18 13:52:11
命題
A をネーター環、M を有限生成 A-加群とする。
Ass(M) の元がすべて極大なら M は長さ有限である。
証明
Supp(M) の元はすべて極大イデアルである(>>344)。
一方、>>193 より
M の部分群の列
0 = M_0 ⊂ M_1 ⊂ ... ⊂ M_n = M で 各 M_i/M_(i-1) が A/p_i
と同型になるものが存在する。p_i は素イデアル。
各 p_i は Supp(M) に属す(>>172)から極大である。
よって、M_i/M_(i-1) は単純加群、つまり、この列は組成列である。
証明終
346:１３２人目の素数さん
05/10/18 13:56:50
>俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴
>の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
>仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
>別の言い方があるだろうが。
そうだったな
おまえが親切にも(小さな親切大きなお世話)誰も頼んでない
問題を出して自己満足に浸っていたのに
冷や水かけられてアタマにきたわけだな
でもな
おまえこそが問題の本質ががわかってないんだろ
自分で顔でも洗ってろ
っての
347:１３２人目の素数さん
05/10/18 13:58:12
いっとくけどな俺は親切でうそつけって言ったんだからな
348:208
05/10/18 14:15:55
定義
A を環、p を A の素イデアル、n > 0 を整数とする。
φ: A → A_p を標準射とする。
(p^n)A_p の φによる逆像を p^(n) と書く。
これを p の記号的 n-乗(symbolic n-th power)という。
349:208
05/10/18 14:17:54
>>347
あそ。じゃあ、どこが嘘なのか説明してもらおうか。
説明できないなら、それこそお前が嘘つきってことになる。
350:１３２人目の素数さん
05/10/18 14:20:58
うそなのは
簡単ってとこ
あとはおしえたらへん
ひんとは自然数以外にも一意性はなりたつのかな
351:208
05/10/18 14:22:12
命題
A をネーター環、p を A の素イデアル、n > 0 を整数とする。
p の記号的 n-乗 p^(n) は、準素イデアルであり Ass(A/p^(n)) = {p}
となる。
証明
p^n を含む素イデアルは p を含む(>>203)から p は
V(p^n) = Supp(A/p^n) の極小元である。
よって p ∈ Ass(A/p^n) である(>>146)。
p^n = q_1 ∩ ... ∩ q_r を最短準素分解(>>188)とする。
Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
p ∈ Ass(A/p^n) だから、p_i = p となる i がただ１つある。
p_1 = p とする。φ: A → A_p を標準射とする。
q_1 は (p^n)A_p のφによる逆像である(>>198)。
証明終
352:208
05/10/18 14:27:12
>>350
ｗｗｗ...
笑わせるやろうだ。
そんなことだったのかよ。
もういいから失せろ
353:１３２人目の素数さん
05/10/18 14:30:29
おまえな自然数をなめるなよ
354:１３２人目の素数さん
05/10/18 14:32:02
>笑わせるやろうだ。
>そんなことだったのかよ。
>もういいから失せろ
しったかこいてるぜ
355:208
05/10/18 15:09:28
>>353
じゃあ、どのくらい難しいのか、ここで自然数の素因数分解の一意性を
Jordan-Holderを使って証明してみてくれ。
356:１３２人目の素数さん
05/10/18 15:14:28
だからJordan-Holderだけじゃ証明できないだろ
って指摘してるのがわからない
血の巡りのとことん悪いアホの癖に
偉そうにだらだらお勉強ノート書いて
えっ
お前何様なんだよ
どこの教授様なんだよ
教授なら辞表かけ
そうでないならもっと謙虚になれ
このくそったれが
357:208
05/10/18 15:27:40
じゃあ他も使っていいから証明してみてくれよ。
358:１３２人目の素数さん
05/10/18 15:28:23
やめろよ教えてくん
359:１３２人目の素数さん
05/10/18 15:29:22
結局教えてくんだったね
360:208
05/10/18 16:55:47
命題
A をネーター環、p を A の素イデアルとする。
φ: A → A_p を標準射とする。
∩p^(n) = Ker(φ) である。
ここで n はすべての正の整数を動く。
証明
∩p^(n) = ∩φ^(-1)(p^nA_p) = φ^(-1)(∩p^nA_p)
ここで、∩p^nA_p = 0 である(>>252)。
よって、∩p^(n) = φ^(-1)(0) = Ker(φ)
証明終
361:208
05/10/18 17:10:26
>>359
どっちが正しいかはっきりしたいだけ。
だから、証明してみてくれ。
362:１３２人目の素数さん
05/10/18 17:18:31
どっちもこっちもありゃしないさ
じょるだんへるだーだけで素因数分解の一意性なんか
証明できるわけないだろって
いくら馬鹿だってそれくらいは理解できるだろ
363:１３２人目の素数さん
05/10/18 17:57:14
208の代わりに証明してみる。
Z/pZ が単純⇔pが素数は自明。
したがって、nを自然数とすると、Z/nZの組成列は
Z/nZ ⊃ pZ/nZ ⊃pqZ/nZ ・・・ ⊃pq・・・rZ/nZ = 0 （p、q、・・・r は素数、pq・・・r = 1)
という形をしている。
したがって商群の列の（順序を除いた）一意性から、素因数分解の一意性がでる。
おわり。
364:１３２人目の素数さん
05/10/18 17:59:36
ｽﾏｿ
「pq・・・r = 1」じゃなくて「pq・・・r = n」
365:１３２人目の素数さん
05/10/18 18:09:23
>>363
素直なよい子だね
それを代数体の整数環でやったらどうかな
そこでも素因数分解の一意性はなりたつかな
366:１３２人目の素数さん
05/10/18 18:16:07
あ！？
代数体の整数環の素イデアル分解の話は最初から誰もしてねーだろ。
大体それは「素因数分解」っていわねーよ、フツー。何言いたいんだおめーは？
367:１３２人目の素数さん
05/10/18 18:21:16
いであるのことなんか言ってないよ
数の話をいってるのさ
368:１３２人目の素数さん
05/10/18 18:21:50
208レベル大杉だな
369:１３２人目の素数さん
05/10/18 18:22:28
もういいや
すきにやって
370:１３２人目の素数さん
05/10/18 18:23:06
「数の話」って何よ。釣りか？
371:１３２人目の素数さん
05/10/18 18:23:39
飛んで飛んで飛んで～
372:１３２人目の素数さん
05/10/18 21:08:59
イデアルの話じゃないのなら、何の話をしてるの？？
言っとくけど俺、このスレ初カキコだから。イコール厨は勘弁して
くれよな（聞いてるだけなんで、「教えてクン」呼ばわりされるの
は別に構わんが・・・(^^;
373:１３２人目の素数さん
05/10/18 21:27:14
出るかもしれないけど自然数の素因数分解の一意性の証明っていうより
素因数分解の一意性の一般化になっているから重要だってことだよね
まあJordan-Holderは
（一般には作用域を持つ）加群の一種の「分解」になってるわけで
素因数分解の一般化だろうが仮にそうでなかろうが重要なのは間違いないね
374:１３２人目の素数さん
05/10/18 21:35:01
どうでもいい。オナニーさせろや。
375:208
05/10/19 09:26:18
>>362
お前には、ここは無理。代数の基礎からやり直してこい。
376:208
05/10/19 09:35:41
>>359
しつこいな。お前、アフォだろ。
どっから、俺が教えてくんというのが出てくるんだよ。
演習問題を出して、それを嘘だと言われたら、誰でも
理由を聞くだろうが。それを、教えてくん呼ばわりするってのは(略
377:１３２人目の素数さん
05/10/19 09:38:06
「イデアルのことではなく、数の話である」という主張の意味を、一晩
寝ないで考えてみました（まあ嘘ですけど(w
でも、結局全然分からんかった。
「イデアル」って、「理想数」というほどのニュアンスで命名されたん
だよね？ だったら、「イデアルではなく数の話」っていうのは、つま
りは「理想的でない数」の話ということだ。結局、何言ってんだか全然
分からんということだ！！
378:208
05/10/19 10:17:51
>>340 と似たようなものだけど、次の命題を>>340と別の方法で
証明しておく。
命題
A を環、I, J, L を A のイデアルで
I + J = A
I + L = A
とする。
このとき、I + JL = A となる。
証明
A = (I + J)(I + L) = I^2 + IL + JI + JL
⊂ I + JL
証明終
これと帰納法を使って、>>340 が出る。
379:208
05/10/19 10:21:50
定義
A を環、A の素イデアルの列
p_0 ⊃ p_1 ⊃ p_2 ⊃ ... ⊃ p_n
で各p_i が異なるものを長さ n の素イデアル鎖と呼ぶ。
長さ n の素イデアル鎖が存在し、長さ n + 1 の素イデアル鎖が
存在しないとき、n を A の Krull次元と呼ぶ。
A の Krull次元を、dim(A) または dim A と書く。
p を A 素イデアルとしたとき、dim A_p を p の高さといい、
ht(p) または ht p と書く。
これは、p = p_0 ⊃ p_1 ⊃ p_2 ⊃ ... ⊃ p_n
となる素イデアル鎖の長さの最大である。
I をイデアルとしたとき inf{ht(p); I ⊂ p, p ∈ Spec(A)}
を I の高さといい、ht(I) または ht I と書く。
380:208
05/10/19 10:56:05
中山の補題(>>242)の系
A を環、I を A のイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群とする。 N を M の部分加群で、
M = N + IM とすると、M = N である。
証明
I(M/N) = (IM + N)/N = M/N
よって、中山の補題より M/N = 0
証明終
381:208
05/10/19 11:08:56
定理(Krullの単項イデアル定理)
A をネーター整域、a を A の 0 でなく可逆でもない元とする。
p を Supp(A/aA) の極小元とする。
このとき、ht(p) = 1 となる。
証明
Supp(A/aA) = V(aA) であるから(>>176)、これの極小元というのは、
aA を含む素イデアルの集合の極小元ということである。
A を A_p で置き換えて A を局所環と仮定してよい。
よって、p は A の極大イデアルである。
よって、Supp(A/aA) = {p} となる。
Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(>>99)、Ass(A/aA) = {p} となる。
q を A 素イデアルで、q ⊂ p かつ q ≠ p とする。
q = 0 を示せばよい。
イデアルの列
q + aA ⊃ q^(2) + aA ⊃ q^(n) + aA ⊃ ...
を考える。ここで q^(n) は q の記号的 n-乗(>>348)。
Supp(A/aA) = {p} で p は極大だから、A/aA は 長さ有限である(>>345)。
よって、q^(n) + aA = q^(n+1) + aA となる n がある。
q^(n) ⊂ q^(n+1) + aA である。x ∈ q^(n) とすると、
x = y + az となる、y ∈ q^(n+1) と z ∈ A がある。
az = x - y ∈ q^(n) であり、Ass(A/q^(n)) = {q} で(>>351) a は q に
含まれないから、a は A/q^(n) に関して正則である(>>180)。
よって、z ∈ q^(n) となる。つまり、q^(n) ⊂ q^(n+1) + aq^(n)
である。逆の包含関係は明らかだから、q^(n) = q^(n+1) + aq^(n)
となる。よって、中山の補題の系(>>380)より q^(n) = q^(n+1)
となる。同様に、q^(n+1) = q^(n+2) = ... である。
一方 >>360 より ∩q^(n) = 0 である。よって q^(n) = 0
である。q^n ⊂ q^(n) だから q^n = 0、A は整域だから q = 0 である。
証明終
382:208
05/10/19 11:20:29
Krullの単項イデアル定理(>>381) はネーター環の準素イデアル分解、
共通イデアル定理(>>252)、中山の補題、環の局所化など可換代数に
おける基本的な道具や結果を動員して証明された。
だから今までの命題と較べてやや深い結果といえるだろう。
これは、Krullの次元定理の特別な場合だが、次元定理は、これを
利用して帰納法により証明される。
383:１３２人目の素数さん
05/10/19 12:49:59
>>375
やっぱり無理だったなお前にはな
やっぱり染みついた馬鹿はとれないな
顔にケチャップついてますよといわれても
余計なお世話だって道歩いてんだろうな
まっこれ以上ヒント出しても無駄だから
アホは死んでね
クルルの次元定理なんて偉そうにいっても自然数の
素因数分解が理解できないのじゃ意味無いね
384:208
05/10/19 13:14:25
>>383
ヒントって何のヒントだよ。Jordan-Holderから自然数の素因数分解の
一意性がすぐ出るんだよ。それは動かせない事実。
それを否定してるお前は初歩の代数の基礎がわかってないの。
これも動かせない事実。頭を冷やせ。
385:１３２人目の素数さん
05/10/19 13:34:18
「Bが部分環A上、忠実平坦とする。
このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
ことを証明してくれ。
386:１３２人目の素数さん
05/10/19 15:57:50
クルルの次元定理って、偉そうなの？(hagewara
387:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:05:32
>Jordan-Holderから自然数の素因数分解の
>一意性がすぐ出るんだよ。それは動かせない事実。
でないよ
自然数の素因数分解の本質は割り算にあるというのが
動かせない事実
それを使わない限り証明できるわけがない
おまえこそアタマを冷やせ
ここまで言ってわからなきゃ死ね
388:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:33:51
あんたが「何も使わないで」というのを、割り算も使わないでって意味だと
勝手に思い込んでただけじゃないのか？
>>208も別に割り算を使わないで証明できるとか
そんな極端なこと言ってなかったと思うけど、、
お前は微積の授業で、平均値の定理からRolleの定理から何も使わないで出ます、
と先生が言ったら、
「先生！平均値の定理は一次函数の微分を使わないと出て来ません！
平均値の定理は一次函数の微分が根幹にあるから、、、
ここまで言えば莫迦な先生でも理解できるでしょ？出来なきゃ死ね」とか言って噛み付くのか？
389:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:35:09
ヒントってどのレスのこと？
馬鹿な私には分かんないんだけど
あんたはただ出ない出ないと鸚鵡みたいに繰り返してただけだろ
390:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:41:54
>「先生！平均値の定理は一次函数の微分を使わないと出て来ません！
>平均値の定理は一次函数の微分が根幹にあるから、、、
>ここまで言えば莫迦な先生でも理解できるでしょ？出来なきゃ死ね」とか言って噛み付くのか？
噛みつくね
391:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:43:55
＞>>208も別に割り算を使わないで証明できるとか
＞そんな極端なこと言ってなかったと思うけど、、
だからお前も同類の馬鹿なんだよ
な
ジョルダンヘルダーから簡単にでるって
じゃあどういう意味なんだよ
392:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:44:54
>あんたはただ出ない出ないと鸚鵡みたいに繰り返してただけだろ
ばかよくレス読んでこい
393:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:55:03
>平均値の定理
そういうのよく思いつくね
394:１３２人目の素数さん
05/10/19 17:58:13
単に難しい道具を用意したりしなくても直接に出るって言ってるだけだろ？
割り算くらい代数学の勉強してる人間は理解しているとして話してるんじゃないのか？
そうすると難しい道具、の定義が無いとか言うのか？
>>208は別に今、数学を集合論から論理的に構築しているわけではないだろ？
395:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:00:30
はなしにならん
396:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:24:12
俺は>>390にビックリしたよｗ
大学生の頃余程変な学生だったんだろうなあｗ
397:208
05/10/19 18:26:05
初めからアフォだと思ってたけどこれほどとは。
珍しい奴だな
398:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:28:57
>珍しい奴
はお前だよ
>俺は>>390にビックリしたよｗ
冗談を真に受けるな
399:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:30:45
都合が悪くなると冗談にしちゃうのか
400:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:31:28
>大学生の頃余程変な学生だったんだろうなあｗ
普通の学生だったら208みたいに平凡になってるってか
おまえおもしろいね
401:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:32:35
>>399
ばか都合の問題でこまかしてんのはどっちだよ
402:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:33:53
ともかくだ
おまえらは教育のし甲斐の無い奴らだってことが
よくわかった
破門だ
403:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:34:06
そんなことより。
割算も使っちゃいけないってのは、なんでなの？
404:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:35:12
>>399
いっとくが冗談だというのは冗談だよ
405:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:39:26
あのね、俺、別に煽ってる訳じゃないんだけど。
俺はヘヴィな2cherではないし、正直この数板くらいしか覗かないんだ
けど、でも俺の知る限りでは、アンタみたいな思わせぶり炸裂の奴って、
経験的に言って馬鹿が多いんだよね。
俺はさ、208でも何でもないから（っていうか俺は>>372ね）、既出の
通り「教えてクン」呼ばわりされるのは全然構わないんだ。だから、ご
ちゃごちゃ誤魔化してないで、はっきり教えて欲しいんだけど。
割算を使うということが、どのように問題なワケ？
406:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:41:25
>>403
あのね
割り算を使っちゃいけないとは誰も言ってないよ
割り算をつかわなくてはいけないといっているのよ
必須アイテムは「わりざん」でジョルダンヘルダーじゃない
ジョルダンヘルダーだけで素因数分解の一意性がでるかのように
いってるといってるの
割り算が簡単でそれくらいだれでもわかるでしょというなら
その段階でおわってるわけ
407:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:43:49
>>405
雑魚は引っ込んでろ。208が出てくればいい。
ちなみ、俺402じゃないからね。
408:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:44:25
>>405
これだけ言ってわからないってのはね
>経験的に言って馬鹿が多いんだよね。
>>406
でわからないかね
409:405
05/10/19 18:47:58
・・・なんか、つまんない話っぽいなぁ。
うーん、あくまでも俺が馬鹿だから理解できないのかなぁ？ いやね、
内容を見る限り、>>406その他が馬鹿で無知であるとは、あんまし思え
ないんだけど。
でも、>>406の言ってることって、あまり面白い話ではなさそうだね。
それとも、あれかい？ ジョルダンヘルダーは、実は本質的に素因数分
解の一意性を使っているのかい？ そういう話なら、得るところも大き
いんだけど・・・。
410:405
05/10/19 18:49:52
>>407
じゃあ、君は雑魚じゃないんだね？
それなら、君が分かるように解説したらどうなん？？
411:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:52:43
>それとも、あれかい？ ジョルダンヘルダーは、実は本質的に素因数分
>解の一意性を使っているのかい？ そういう話なら、得るところも大き
>いんだけど・・・。
そうそう そう考えなくちゃね あんたは208より数等上のアタマの使い方
知ってるよ
412:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:55:11
>>411
>>286のどこで本質的に使ってるの？
413:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:55:30
>>409
つまらない話にもっていったのは208だからな
しかたがないね
ジョルダンヘルダー使って素因数分解の一意性証明した
そのどこで割り算使ってるか208にはわかってるのかね
414:１３２人目の素数さん
05/10/19 18:56:53
>>412
使ってないよ
だからどこに隠れてるのかって
415:１３２人目の素数さん
05/10/19 19:01:55
>>409
それでもまだつまらないってのか
416:１３２人目の素数さん
05/10/19 19:11:07
>>410
ぺちゃくちゃうるさい。黙ってろ。
417:208
05/10/19 19:30:34
>>387の話が分かったひと(>>387以外)いたら説明してくれ。
俺にはさっぱりわからん。割り算を使わないと証明出来ないと
してそれで俺が嘘をついたことになるのか？
俺は割り算は使わないとは言ってない。
418:１３２人目の素数さん
05/10/19 19:34:52
>>417
もういいから
>俺は割り算は使わないとは言ってない。
そのとおりだよ
何度もいうように「すぐに」がうそだって言ったの
でどこで割り算つかったんだよ
419:208
05/10/19 19:37:36
>>418
>もういいから
もういいからじゃねえよ。
きっちり決着つけようじゃないか。
割り算のどこが難しいんだよ。
420:１３２人目の素数さん
05/10/19 19:39:55
>>417
嘘の問題じゃないんだよ
おまえが自分に誠実かが問われているんだよ
421:１３２人目の素数さん
05/10/19 19:39:56
割り算はすらすらなんだけど、文章題になると突然思考が止まるんですが。。。
422:１３２人目の素数さん
05/10/19 19:41:24
>割り算のどこが難しいんだよ。
だれが難しいって言ったの
423:１３２人目の素数さん
05/10/19 19:42:25
>きっちり決着つけようじゃないか。
だからどこで使ってるんだよ
424:１３２人目の素数さん
05/10/19 19:43:23
>もういいからじゃねえよ。
だったら謝れよ
425:363
05/10/19 19:44:46
ちなみに>>363では、「Z/pZ が単純⇔pが素数は自明」ってとこに
「割り算」使ってる。
>>387は単に>>208にイチャモンつけたいだけだと思われ。無視しよう。
426:208
05/10/19 19:45:30
>>420
>嘘の問題じゃないんだよ
>>293でお前が「うそつけ」と言ったのがこの騒ぎの発端なんだよ。
今更、嘘の問題じゃないもないだろ。
427:１３２人目の素数さん
05/10/19 19:46:09
>>425
まちがい
428:１３２人目の素数さん
05/10/19 19:47:40
>>426
この期におよんで自分の理解が浅はかだったことを
そういう態度でごまかすのは見苦しいね
429:363
05/10/19 19:48:51
>>427
427=387か？
どこが間違い？
また最初から同じような話が繰り返されそうな悪寒・・・
430:１３２人目の素数さん
05/10/19 19:49:19
>>363
は208よりちょっとだけ賢いが
もうちょっと素直にならないといけないな
431:１３２人目の素数さん
05/10/19 19:50:28
あとは自分で勉強しなさい
お父さんは帰るから
432:208
05/10/19 19:50:31
>>422
>だれが難しいって言ったの
簡単に出るといったら、嘘つき呼ばわりされた。
その理由は、割り算を使うからだと。
つまり、割り算は簡単でないと思ってんだろ。
簡単でないとは（ほぼ）イコール難しいだろ。
433:363
05/10/19 19:50:55
みなさん427=387=430はスルーしましょう。
434:１３２人目の素数さん
05/10/19 19:51:55
>>432
見苦しい言い訳すんなよ
435:１３２人目の素数さん
05/10/19 19:53:03
>>363
雑魚が
436:208
05/10/19 19:54:39
だめだこりゃ。話しにならない。
割り算が簡単でないだと。キ印だな
437:１３２人目の素数さん
05/10/19 19:56:44
>>436
だからどこでつかってんだよ
438:208
05/10/19 20:03:19
>>437
そんなのどっちでもいいだろ。
割り算を使うにしろ、使わないにしろ簡単なことに変わりないんだから。
お前の、割り算にこだわるところが病的なんだよ。
トラウマでもあるのか。小学生のときに割り算がわからなくて
先生にどやしつけられて皆の前で恥を書いたとかｗ
439:１３２人目の素数さん
05/10/19 20:04:13
>割り算が簡単でないだと。キ印だな
おれはき印でいい
おまえは嘘つきだ
440:１３２人目の素数さん
05/10/19 20:07:25
>そんなのどっちでもいいだろ。
>使わないにしろ
よくわかった
やっぱりお前はわかっていないんだ
証明を完全に書ききってみることをおすすめする
そしてお前が不誠実であることもよくわかった
素因数分解に割り算をつかわないならお前は大発見をしたことに
なるよ
441:208
05/10/19 20:29:12
>>440
しょうがねえな。俺が答えたら演習にならないだろうが。
ほれ
命題
自然数の素因数分解は順序を除いて一意的である。
証明
n を自然数として、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
を n の素因数分解とする。
G を位数 n の巡回群とし、それが 組成列の剰余群として、n_1 個の Z/(p_1)Z,
... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つことを n に関する帰納法で証明する
(各 Z/(p_i)Z は単純なのは明らか)。
G = Z/nZ の位数を p_1 は割るから G は位数 p_1 の部分群 H を
持つ。G/H は巡回群であり、その位数は
n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
で n より小さいから、帰納法の仮定より、G/H は、組成列の剰余群
として (n_1 - 1) 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つ。
よって、G は、最初の主張の剰余群列を持つ。
これからJordan-Holderより、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
の分解は一意に決まる。
証明終
442:208
05/10/19 20:43:44
>>440
使わないなんて言ってないだろ。
お前、日本語も駄目なんだな
443:208
05/10/19 20:45:27
>>439
>おまえは嘘つきだ
何故なのか、とっくりと聞こうじゃないか。
444:208
05/10/20 12:22:52
Krullの単項イデアル定理(>>381)の系
A をネーター環、
p ⊃ p_1 ⊃ p_2 を A の長さ２の素イデアル鎖(>>379)とする
(よって、この３個の素イデアルは互いに異なる)。
x を p の元で、p_1 に含まれないものとする。
このとき x を含む素イデアル q で
p ⊃ q ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となるものが存在する。
証明
A を A_p で置き換えて、A は局所環で p はその極大イデアルと
してよい。
Supp(A/(xA + p_2)) の極小元を q とする。つまり、q は xA + p_2
を含む素イデアルの中で極小である。
A は局所環だから、p ⊃ q となる。q ⊃ p_2 は明らか。
ネーター整域 B = A/p_2 と x' = x (mod p_2) に単項イデアル定理
(>>381)を適用すると、q/p_2 の高さは１であることが分かる。
よって p = q では有り得ない。何故なら、 p = q とすると、
q ⊃ p_1 ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となって、q/p_2 の高さが１
であることに矛盾するから。
よって、 p ⊃ q ⊃ p_2 は長さ２の素イデアル鎖である
(q ≠ p_2 は明らか)。
証明終
445:208
05/10/20 12:24:43
補題
A をネーター環、
p ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_n を A の長さ n ≧ 2 の素イデアル鎖(>>379)
とする。x を p の元で、p_1 に含まれないものとする。
n - 1 個の素イデアル q_1, ... , q_(n-1) で
p ⊃ q_1 ⊃ ... ⊃ q_(n-1) ⊃ p_n が長さ n の素イデアル鎖
となり、x ∈ q_(n-1) となるものが存在する。
証明
n に関する帰納法と >>444 を使う。
446:208
05/10/20 12:32:43
命題
A をネーター環、x を rad(A) (>>238) の元とすれば。
dim(A) ≦ dim(A/xA) + 1 となる。
証明
dim(A) が 0 または 1 のときは明らか。
よって、
p_0 ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_n を A の長さ n ≧ 2 の素イデアル鎖で
x ∈ p_0 なら、長さ n-1 の素イデアル鎖
p_0 ⊃ q_1 ⊃ ... ⊃ q_(n-1) で x ∈ q_(n-1) となるものが存在
することを示せばよい。n に関する帰納法を使う。
x ∈ p_1 なら帰納法の仮定を使えばよいから、x は p_1 に含まれない
とする。よって、補題(>>445)を使えばよい。
証明終
447:１３２人目の素数さん
05/10/20 13:56:07
>>440
>使わないなんて言ってないだろ。
>お前、日本語も駄目なんだな
お前こそが日本語だめだろ
しかも
使うか使わないかもわかりもしないで
証明したことにしてるんだし
448:１３２人目の素数さん
05/10/20 14:00:00
ま ともかくだ
問題点をつきつけられてわからぬバカは
うそつき以上にたちがわるい
いえばわかる程度の奴だとおもうから
うそつきで我慢してやったがな
君にはがっかりだ
449:１３２人目の素数さん
05/10/20 14:02:12
代数的整数論と解析的整数論とはどちらが成功したといえるのでしょうか？
450:１３２人目の素数さん
05/10/20 14:13:16
[問]
π＝３．１４１５・・・＝３．p1p2p3p4・・・pn・・・
{p_i}_[i=1,∞]の内、素数であるものの集合をＸ、それ以外をＹ
とした時に、Ｘ，Ｙの元の数を｜Ｘ｜、｜Ｙ｜とした時に、
｜Ｘ｜/｛｜Ｘ｜＋｜Ｙ｜｝を見積もれ。
451:１３２人目の素数さん
05/10/20 14:20:53
π＝３．１４１５・・・＝３．p1p2p3p4・・・pn・・・
{p_i}_[i=1,∞]という数列が、完全にランダムである、つまり、
乱数であるか否かを示せ、また、もし乱数である場合、πという
数はどんな性質を持つ事になるか？更に、πを用いて乱数を順次
発生するプログラムを作るとするとどんなプログラムになるか？
452:１３２人目の素数さん
05/10/20 14:27:46
[問２]
完全にランダムな数列{q_i}_[i=1,∞]が存在した時に、別の
完全にランダムな数列{r_i}_[i-1,∞]が存在しうるか？
453:１３２人目の素数さん
05/10/20 14:31:55
存在し得るならば、それは唯一か？それとも任意に別の
完全にランダムな数列{q_i}_[i=1,∞]が存在するのか？
存在するとした時に、それを生成するプログラムを具体
的に書き下せるのか？それとも存在はするあ具体的には
書き下せいないのか？それを検討、証明せよ。
454:208
05/10/20 14:39:02
命題
A をネーター環、x_1, ... , x_r を rad(A) (>>238) の元とすれば。
dim(A) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + r となる。
証明
r に関する帰納法。r = 1 のときは、>>446 そのもの。
r > 1 とし、B = dim(A/x_2A + ... + x_rA) とする。
x_1 の B における像を y とすると、再び >>446 より
dim(B) ≦ dim(B/yB) + 1
B/yB は、A/x_1A + ... + x_rA に同型である。
よって、
dim(A/x_2A + ... + x_rA) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + 1 となる。
一方、帰納法の仮定より、
dim(A) ≦ dim(A/x_2A + ... + x_rA) + r - 1 となる。
よって、dim(A) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + r となる。
証明終
455:208
05/10/20 14:48:43
Krullの次元定理
A をネーター環、I をそのイデアルで、r 個の元 x_1, ... , x_r
で生成されるものとする。p を I を含む素イデアルの中で極小な
ものとすると、ht(p) ≦ r である。
証明
A を A_p で置き換えて、A は局所環で、p はその極大イデアル
としてよい。>>454 より dim(A) ≦ dim(A/I) + r である。
I を含む素イデアルは、p だけだから、dim(A/I) = 0 である。
よって、dim(A) ≦ r である。
あとは、dim(A) = ht(p) に注意すればよい。
証明終
456:１３２人目の素数さん
05/10/20 17:32:35
どこで使ってんだよって、、
そんなの割り算を使うから簡単には出ないって主張してる側が探して
ここからここに行くときにどうしても使わざるを得ない、って主張するべきじゃねえのか？
もう基地外は無視しようぜ
457:１３２人目の素数さん
05/10/20 18:08:33
>>456
できないやつがごまかすなよ
降参しろよばーか
こんなかんたんなことなのにな
ほんとにおまえらってなさけない
いっしょうじべたをはいずってろって
458:１３２人目の素数さん
05/10/20 18:14:08
>>456
いいか雑魚おれは基地概でもなんでもいい
答えをしっている
おまえは答えがわからない単なるアホなんだよ
無視してくれるのがありがたいね
459:208
05/10/20 19:44:37
>>447
>使うか使わないかもわかりもしないで
どっから、そういう結論になるんだよ。
俺は、使う使わないは問題が簡単かどうかに関係ないだろ
って言ったんだよ。
素因数分解は自然数の整除が関係してんだから割り算くらい使うだろ
現に >>441 で n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r) を使ってる。
で、使ったからどうだっていうの？
460:１３２人目の素数さん
05/10/21 00:49:41
「Bが部分環A上、忠実平坦とする。
このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
これが証明できるレベルの奴は折らんのか？
461:１３２人目の素数さん
05/10/21 08:38:08
しょうがねえな。俺が答えたら演習にならないだろうが。
ほれ
命題
自然数の素因数分解は順序を除いて一意的である。
証明
n を自然数として、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
を n の素因数分解とする。
G を位数 n の巡回群とし、それが 組成列の剰余群として、n_1 個の Z/(p_1)Z,
... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つことを n に関する帰納法で証明する
(各 Z/(p_i)Z は単純なのは明らか)。
G = Z/nZ の位数を p_1 は割るから G は位数 p_1 の部分群 H を
持つ。G/H は巡回群であり、その位数は
n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
で n より小さいから、帰納法の仮定より、G/H は、組成列の剰余群
として (n_1 - 1) 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つ。
よって、G は、最初の主張の剰余群列を持つ。
これからJordan-Holderより、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
の分解は一意に決まる。
証明終
Thanks. This is interesting.
462:１３２人目の素数さん
05/10/21 08:39:36
>>「Bが部分環A上、忠実平坦とする。
このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
Is this easy when $A$ is Noetherian?
463:208
05/10/21 09:12:20
>>460
ちょっと考えたけどわからん。
ところで、質問するならその背景を少し説明してくれ。
その問題のソースとか。
大体、それが成立つ保障はあるのか？
成立たない問題をいくら証明しようとしても無駄だからな。
464:208
05/10/21 09:26:22
Krullの次元定理(>>455)の別証
r に関する帰納法を使う。
A を A_p で置き換えて、A は局所環で、p はその極大イデアル
としてよい。
dim(A) ≦ 0 のときは明らかだから dim(A) ≧ 1 とする。
p ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_s を長さ s の素イデアル鎖とする。
p_1 は、 p に含まれ p と異なる素イデアルの中で極大とする。
このような素イデアルが存在するのは、A がネーター環であること
により保障される。
I は p_1 に含まれないから、p_1 に含まれない x_i がある。
x_1 が p_1 に含まれないとしてよい。
(x_1)A + p_1 を含む素イデアルは p のみだから、
Ass(A/x_1A + p_1) = {p} である。よって p^n ⊂ (x_1)A + p_1
となる n > 0 がある。
I ⊂ p だから、各 i ≧ 2 で (x_i)^n ∈ (x_1)A + (y_i)A となる
p_１の元 y_i がある。
J = (y_2, ... , y_r) とおく。I の生成元 x_1, ... , x_r は
mod (x_1)A + J で、べき零だから、I の十分高いべきは、(x_1)A + J
に含まれる。よって、(x_1)A + J を含む素イデアルは p のみである。
さて、p_1 ⊃ q ⊃ J となる素イデアルがあるとする。
(x_1)A + q ⊃ (x_1)A + J だから、(x_1)A + q を含む素イデアルも
p のみである。よって、単項イデアル定理(>>381)により整域 A/q
において x_1 mod q で生成される単項イデアルの高さは 1 である。
よって、dim(A/q) = 1 である。これは、p_1 = q を意味する。
よって、p_1 は J を含む素イデアルの中で極小である。
J は r - 1 個の元で生成されるから、帰納法の仮定より、
ht(p_1) ≦ r -1 である。つまり、s - 1 ≦ r -1 である。
よって、s ≦ r である。これは、ht(p) ≦ r を意味する。
証明終
465:208
05/10/21 09:36:17
Krullの次元定理(>>455)は、可換代数においてネーター環における
準素イデアル分解定理の次に得られた大定理だろう。
代数的整数論では１次元の環、とくにDedekind環を扱うので、
表面的には高次元の環はあまり関係ないとも言える(実は関係はある)。
しかし、Krullの次元定理は、このスレの今までの知識で証明
出来るので述べてみた。
466:１３２人目の素数さん
05/10/21 11:53:57
Raynaud「Anneaux Locaux Henseliens」の第８章94ページの定理３の（２）
「局所環Bが局所環A上local-ind-etaleのとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
とある。
証明は、Aが整閉整域ならBもそうであることはBがA上local-ind-etaleであることから分かる。と書いている。これは俺も納得している。
逆は明らかなのか説明は書いてない。おそらく一般的に成り立つと思われる。
たとえば、AがBの部分環であることは次のようにして分かる．
ｆ：A->Bをstructure morphismとして，I=Ker(f)とおく．
すると，（A/I）○B＝A○Bであることから，I○B=0であることが分かるが,
BはA上local-ind-etaleであるから，A上忠実平坦であるので，I=0である．
但し，○はテンソル積の意味．
最後に，A上local-ind-etaleとは次のように定義される：
局所環（A,m）上etale環Cをｍの上にlie-overする素イデアルpで局所化した環C_pをlocal-etale環と呼び，
local-etale環のfiltrant帰納系（morphismはlocal morphism，すなわち極大イデアルの逆増が極大イデアル）の極限をA上local-ind-etaleと呼ぶ．
だから，上の主張は，Bがlocal-etaleの場合でも成り立つのでそれが手がかりにもなる．
467:１３２人目の素数さん
05/10/21 12:14:45
>> 466
Olivier, J.-P. Going up along absolutely flat morphisms. J. Pure Appl. Algebra 30 (1983), no. 1, 47--59.
I think your question is related to the content of this paper
and not so trivial. So I strongly recommend you to read it.
Absolutely flat morphism is more general than ind-etale maps.
468:１３２人目の素数さん
05/10/21 13:29:21
>>459
わははははははっは
わははははははっは
これは大笑いだね
大恥さらしだね
こんなバカみたことないね
「割り算」の意味すら理解してないんだな
ここまでバカだとは信じられないね
もうあんまり嬉しがらせないでよね
笑い死にしたらどうすんだよ
ついでだけど>>461の証明もみっともないよ
もういいわ
喋っても無駄なバカの集まりだった
Ass の集まりだよ
469:１３２人目の素数さん
05/10/21 13:44:20
>>459
の回答はいつまでも晒しておきたいくらい愚かだな
470:１３２人目の素数さん
05/10/21 15:03:36
>>60
亀レスながら…
Weber の代数学教程第3巻のみ邦訳有。
（ただし、代数関数の部分は省略されています）
片山氏が邦訳したものが私家版で出版されています。
在庫の有無は津田塾に尋ねると良いでしょう。
確か送料込みで４ｋ弱だったはず。
（紙代＋製本代を実費負担、という感じです）
471:１３２人目の素数さん
05/10/21 15:38:07
>>467
本当にありがとうございます。早速手に入れて読んでみます。
467さんは、この代数幾何・整数論・可換環論などの専門家なのですね。
恐れ入りました。
Raynaudの本はもう８章で終わらそうと思っています。
なんか８章の最後が飛びすぎてて、９章以降読んでも完全に分かりそうな気がしなくなった。
472:１３２人目の素数さん
05/10/21 16:00:15
>>468
こんなに痛いやつは次世代のワイルズ以来だが、
同一人物か？
473:１３２人目の素数さん
05/10/21 16:05:08
そんな事を言っても208の自演だと言い出すに決まっている。
相手をすると病状が悪くなるらしい。俺はこのスレ好きだから
無視してやって欲しい。オネガイ。
474:１３２人目の素数さん
05/10/21 16:37:03
>>472>>473
おまえらも同レベルのバカなのね
おまえらも一緒にさらしてやるわ
475:１３２人目の素数さん
05/10/21 16:44:13
>>472>>473
ねんのため言っておいてやろう
たとえば>>425>>363
は「割り算」の意味を理解してるね
>>459が冗談で言ってるんじゃなかったら
真性のアホだよ
それがわからないｵﾏｴﾗは同類ということだよ
476:208
05/10/21 16:49:02
整数論ってのはトンデモを引き寄せるんだよな。
自然数という素朴な対象を相手にしてるからとっつきやすいんだろうな。
奴もJordan-Holderなんて頭素通りなんだろうね。
分かるのは四則演算くらい。だから、素因数分解と聞いて飛びついた。
ところが、期待してた証明と違うんで八つ当たり。
こんなとこだろ。
477:１３２人目の素数さん
05/10/21 16:56:40
>>476
おまえが何を言おうと今回は大恥かいてるよ
それすらわからないんだな
重症だな
>>459というﾊﾞｶ丸出しを引き出せて俺は心底満足してる
しかしおまえの名誉のためつけ加えてやろう
他の数学の書き方はまあちゃんとしてるから
症状は自閉症だろ
478:１３２人目の素数さん
05/10/21 16:59:42
>>476
ところで今更>>459が冗談だなんて言わないよな
479:208
05/10/21 17:31:59
はっきりさせようじゃないか。
普通の人間にわかるように説明してみろ。
お前のいう割り算とはどういう意味で、それが何故簡単じゃないのか。
480:１３２人目の素数さん
05/10/21 17:46:49
おいおい
>>425でも読んでアタマ冷やせよ
これ以上恥の上塗りするのかね
とんでもない教えてくんだね
いままでの罵詈雑言を考えたらね
おれはおまえのようなバカに教えてやる義理はないよ
おまえはエライからなんでもわかってるんだろ
しかしヒントだけいってやろう
おまえだって素因数分解の一意性の普通の証明しってるだろ
それを反省してみなよ
481:１３２人目の素数さん
05/10/21 17:53:11
>>479
いっとくがおれは>>459が出たから
ここで引き下がって痛くも痒くもない
わかる人間がよめばはっきりするからな
悔し紛れに逃げたとかほざいても
恥の上塗りだって覚えておきなよ
おれはその方がおもしろいけど
482:208
05/10/21 17:54:24
ヒントじゃねえよ。
いいから、説明しろよ、この野郎。
説明出来ないなら初めから引っ込んでろ。
483:１３２人目の素数さん
05/10/21 18:00:13
やだよ
恥かき男が強がり言うな
わからなきゃはじめから演習だなんて
偉そうなこと書くんじゃねえよ
ばか
やっぱりおまえは教えて君そのものだったな
484:１３２人目の素数さん
05/10/21 18:03:08
自閉症をからかっちゃいけないよ
485:１３２人目の素数さん
05/10/21 18:11:24
>>485
そうだね好きでなったわけじゃないし
486:208
05/10/21 18:14:18
お前さあ、俺の証明にケチつけたんだろ。
だったら、その理由を説明しろよ。
それを、やだよって、気は確かかよ（キ印クンにこう聞くのは、
我ながら書いてて可笑しいが）。
理由を説明するのは、お前の名誉の為なんだよ。
説明出来ないのは、お前がトンデモだってこと。
487:１３２人目の素数さん
05/10/21 18:18:13
いいか
もう終わってるの
終わってないのはおまえだけ
俺がトンデモでも何でもいいの
恥をかいてるのは お ま え
強がりしかいわないおまえなんかに誰がおしえてやるかよバカ
488:１３２人目の素数さん
05/10/21 18:21:01
おれはもうおまえが
あがけばあがくほど愉快になってきてるよ
ホントに>>459は傑作
世の中にこんなバカがいるなんて
楽しいことだね
いくらでも罵詈雑言いってもいいからね
おまえの>>459は不滅の金字塔だよ
489:１３２人目の素数さん
05/10/21 18:23:00
208
のおかげですく
1000
行きそうだなｗ
490:１３２人目の素数さん
05/10/21 18:24:40
つまり、「分数は割り算とは違う」という主張かね。
491:１３２人目の素数さん
05/10/21 18:25:43
とことん人が悪いね
492:１３２人目の素数さん
05/10/21 18:30:13
208は小学校で割り算習わなかったのかな
493:１３２人目の素数さん
05/10/21 18:35:02
分かったら赤面するか、青ざめるか、どっちだ。
494:208
05/10/21 19:46:27
n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
これは割り算だろ。
例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
495:208
05/10/21 20:04:31
>>488
とにかく、お前の考えはわかってんだよ。素因数分解の普通の
証明のことを言ってんだろ。それが、お前には、難しいんだよな。
だから、俺が、Jordan-Holderを使えばすぐ出ると言ったことに
カチンときたわけだ。そんな、はずはないとな。
Jordan-Holderは、お前の理解を超えてんだよ。
だから、見当違いのレスを書く。
496:１３２人目の素数さん
05/10/21 21:51:29
>>495
上の方の人が言ってる割り算ってのは多分剰余付きの割り算の事でしょ。
a=qb+rみたいな。
「有理整数環Zでは『割り算』が出来る、つまりZはEuclid整域である」
という事を本質的に使ってる、と言ってるんじゃないの?
『割り算』を本質的に用いなければ
素因数分解はおろかZ/nZの性質のほとんどは導けないかと。
例えばZ/nZがn個の元からなる事とか。
497:１３２人目の素数さん
05/10/22 01:55:14
>>208
もうキチガイは無視しようよ
言っても通じないって
どっか頭のネジが緩んでるみたいだし
498:１３２人目の素数さん
05/10/22 04:10:21
>>471
In case all rings are local Noetherian, you can use Serre's
criterion of normality ((R_{1}) and (S_{2})) to solve
the problem. See Matsumura.
499:１３２人目の素数さん
05/10/22 04:16:39
キチガイの勘違いのヒントは>>365にあり、だな。
500:１３２人目の素数さん
05/10/22 15:52:01
どっか頭のネジが緩んでる!!
501:１３２人目の素数さん
05/10/22 21:10:53
age
502:208
05/10/24 09:42:45
496
>「有理整数環Zでは『割り算』が出来る、つまりZはEuclid整域である」
>という事を本質的に使ってる、と言ってるんじゃないの?
それ(代数の初歩で習うこと)を俺に説教しようと思ってるんだろうなw
たぶん、奴には別証という概念がないんだろうな。
つまり、素因数分解の証明はただ１種類しかないと思ってるんだろう。
>>441の証明の G は 位数 n の巡回群であればいい。Z/nZ である
必要ない。俺は、分かりやすくしようと、Z/nZ を例にしただけ。
例えば、G として対称群における長さ n の巡回置換の生成する部分群
をとればいい。
だとすると、剰余付きの割り算 a=qb+r は必ずしも必要ないだろう
(詳しく検討したわけではないが)。
さらに、G は巡回群でなくても有限アーベル群ならいい。
503:208
05/10/24 10:24:00
定義
A を環、B を A-代数とする。つまり、環としての射 A → B
があるとする。B が A-代数として有限生成または有限型であるとは、
A 上の多項式環 A[X_1, ... , X_n] から B への A-代数としての
全射 A[X_1, ... , X_n] → B があることをいう。
つまり、B に有限個の元の列 b_1, ... , b_n があり、
B は A-代数として、これらで生成される。
このとき、B = A[b_1, ... , b_n] と書く。
この射の核が A[X_1, ... , X_n] のイデアルとして
有限生成であるとき、B を強有限生成または有限表示
(finite presentation)をもつという。
A がネーター環のときは、A[X_1, ... , X_n] もネーター環だから
B が A 上有限生成であるなら強有限生成でもある。
504:208
05/10/24 10:26:32
定義
A を環、B を A-代数とする。
B が A-加群として有限生成のとき、B を A 上有限な代数という。
505:208
05/10/24 10:42:46
命題
A を環、B を有限なA-代数とする。
このとき、B の各元 x に対してモニックな多項式 f(X) ∈ A[X]
があり、f(x) = 0 となる。
証明
B の A-加群としての生成元を ω_1, ... , ω_n とする。
以下の関係式が成立つ。
xω_1 = a_(1,1) ω_1 + a_(1,2) ω_2 + ... + a_(1,n) ω_n
xω_2 = a_(2,1) ω_1 + a_(2,2) ω_2 + ... + a_(2,n) ω_n
.
.
.
xω_n = a_(n,1) ω_1 + a_(n,2) ω_2 + ... + a_(n,n) ω_n
ここで、各 a(i,j) は A の元。
行列 (a_(i,j)) を T とおく。
>>236 より det(xE - T)B = 0 となる。E は n-次の単位行列。
よって、det(xE - T) = 0 である。
この行列式を展開すると、命題の主張が得られる。
証明終
506:208
05/10/24 12:42:46
定義
A を環、B を A-代数とする。
B の x に対してモニックな多項式 f(X) ∈ A[X] があり、
f(x) = 0 となるとき、x を A 上、整(integral)であるという。
B のすべての元が A 上整のとき、B を A 上整であるという。
(注意) この定義における A-代数 B の構造射 A → B は必ずしも
単射でなくともよい。
507:208
05/10/24 12:43:19
命題
A を環、B を A-代数とする。
B の x が A 上整であるなら A[x] は A-加群として有限生成である。
証明
A の元の列 a_1, ... , a_n で、
x^n + a_1x^(n-1) + ... + a_n = 0
となるものがある。
よって、x^n ∈ A+ Ax + ... + Ax^(n-1) である。
これから帰納法で任意の m に対して
x^m ∈ A+ Ax + ... + Ax^(n-1) となることがわかる。
よって、A[x] = A+ Ax + ... + Ax^(n-1)
証明終
508:208
05/10/24 12:44:27
命題(有限代数の推移律)
環の射 A → B → C において、
B は A 上有限、C は B 上有限とする
このとき、C は A 上有限である。
証明
B = Ax_1 + ... + Ax_n
C = By_1 + ... + By_m
とする。
C = ΣA(x_i)(y_j)
となる。ここに、和は i, j のすべての組み合わせを渡る。
証明終
509:208
05/10/24 12:51:59
命題
A を環、B を有限生成かつ整な A-代数とする。
B は A 上有限である。
証明
>>507 と >>508よりわかる。
証明終
510:208
05/10/24 12:58:00
命題
A を環、B を A-代数とする。
A 上整な B の元全体は B の部分 A-代数となる。
証明
x, y を B の元で A 上整とする。
>>509 より A[x, y] は、A 上有限である。
よって、>>505 より、A[x, y] は、A 上整である。
証明終
511:208
05/10/24 13:05:44
命題(整代数の推移律)
環の射 A → B → C において、
B は A 上整、C は B 上整とする
このとき、C は A 上整である。
証明
C の元 y は
y^n + b_1y^(n-1) + ... + b_n = 0
の形の関係式を満たす。
ここで、b_1, ... , b_n は、B の元の列。
よって、y は A[b_1, ... , b_n] 上整である。
よって、A[b_1, ... , b_n, y] は A 上有限代数である(>>507, >>508)。
よって、y は A 上整である(>>505)。
証明終
512:208
05/10/24 13:21:58
命題
環の射 A → B → C において、
B は A 上整とする
B → C が全射なら、C は A 上整である。
証明
明らか。
513:208
05/10/24 13:30:13
命題(整代数の係数拡大)
A を環、B を A 上整な代数とする。
A → C を環の射とする。
B(x)C は C 上整である。
ここで、B(x)C は B と C の A 上のテンソル積。
証明
B → B(x)C を x に x(x)1 を対応させる標準射とする。
この射の像を B' とする。
B' の元は A 上整である(>>512)から C 上整でもある。
よって、B(x)C は C 上整である。
証明終
514:208
05/10/24 13:34:53
命題(整代数の局所化)
A を環、B を A 上整な代数とする。
S を A の積閉集合(>>63)とする。
B_S は A_S 上整である。
証明
B_S = B(x)A_S である(>>85)。
よって、これは >>513 の特別な場合である。
証明終
515:208
05/10/24 13:47:43
命題
B を整域で、k をその部分体とする。
B が k 上整なら、B は体である。
証明
y ≠ 0 を B の元とする。
k[y] は k 上有限代数である(>>507)。よってこれは Artin環である。
よって、これは体である(>>294)。よって、1/y ∈ k[y] ⊂ B
証明終
516:208
05/10/24 13:54:11
命題
K を体、A をその部分環とする。
K が A 上整なら、A は体である。
証明
x ≠ 0 を A の元とする。
(1/x)^n + a_1(1/x)^(n-1) + ... + a_n = 0
ここで、a_1, ... , a_n は、A の元の列。
この式の両辺に x^(n-1) を掛けると、
1/x ∈ A となる。
証明終
517:１３２人目の素数さん
05/10/24 13:59:59
>だとすると、剰余付きの割り算 a=qb+r は必ずしも必要ないだろう
ようやくここまできたか
俺がキチガイであっても
アタマのネジはゆるんでいない
ゆるんでるのはおまえらのほうだよ
よく反省して見ろ
もっともバカだから反省の概念はないんだろうけど
518:208
05/10/24 14:07:21
補題
A を局所環、B を A 上整な代数とする。
m を A の極大イデアルとする。
B の任意の極大イデアル q に対して φ^(-1)(q) = m である。
ここで、φは 構造射 A → B である。
証明
環の射 A → B → B/q の合成 A → B/q を考える。
この射の核は、φ^(-1)(q) である。
よって、単射 A/φ^(-1)(q) → B/q が得られる。
B/q は A 上整である(>>512)から、A/φ^(-1)(q) 上整でもある。
よって、A/φ^(-1)(q) は体である(>>516)。
よって、φ^(-1)(q)は、極大イデアルである。
A は局所環だから、φ^(-1)(q) = m である。
証明終
519:１３２人目の素数さん
05/10/24 14:10:39
>ようやくここまできたか
ここまで来るのに一週間。バカの巣窟。
520:208
05/10/24 14:26:10
定理(Cohen-Seidenberg)
φ: A → B を環の射で単射とする。
q に φ^(-1)(q) を対応させることにより、
標準射 Spec(B) → Spec(A) が得られるが(>>206)、
B が A 上整なら、これは全射である。
証明
p ∈ Spec(A) に対して S = A - p とおく。
A_S → B_S は単射である(>>86)。
よって、B_S は空でない。よって Spec(B_S) も空でない。
B_S は A_S 上整(>>514)であり、A_S は局所環だから、
B_S の極大イデアル q' の射 A_S → B_S による逆像は
A_S の極大イデアル pA_S である(>>518)。
q' に対応する B の素イデアルを q とすれば、
φ^(-1)(q) = p となる(適当な可換図式を描けば分かる)。
証明終
521:１３２人目の素数さん
05/10/24 14:37:14
>>496
が親切に助け船だしてくれたのに
無視する208ってホントに自信過剰で
それゆえにホントの真性バカだと証明されたね
ちょっと前までは
>例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
>これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
などと噴飯ものの恥の上塗りを繰り返しておきながら
>たぶん、奴には別証という概念がないんだろうな。
などと無反省にくりかえす哀れな奴だね
>(詳しく検討したわけではないが)。
といいながら相手をキチガイ扱いする
これが208の正体だよ
522:１３２人目の素数さん
05/10/24 14:43:12
>俺に説教しようと思ってるんだろうなw
ふふふおまえは説教される値打ちはないよ
あとその取り巻きの雑魚の>>497もね
523:１３２人目の素数さん
05/10/24 14:52:47
あのーここはもともと208隔離用のスレなので
208が好き勝手書いていいところなんですよ
524:208
05/10/24 16:18:19
>>520
>よって、B_S は空でない。
よって、B_S は 0 でない。
525:１３２人目の素数さん
05/10/24 23:58:37
長さnの巡回置換が位数n(ここでは「n乗して始めて1になる」と定義)
ってのは特に何も使わずに示せるけど、
「位数nの元の生成する部分群の位数はn」ってのは『割り算』しないと導けないかと。
aを位数nの元として、{a^i|i=0, 1, ..., n-1}が部分群となる事を示すには、
任意のi, j=0, 1, ..., n-1に対しあるk=0, 1, ..., n-1が存在して
a^i・a^j=a^kである事を示せなきゃいけない。
このkとしては、i+jをnで『割った』余りとするか、
i+jとnの大小関係で場合分け(実質的に『割り算』するのと同じ)する事になる。
ここで『割り算』が必要になる。
あと、
＞G は巡回群でなくても有限アーベル群ならいい。
にしても、位数nのAbel群の存在を示さなきゃいけない。
また、あの証明はあんまり一般化出来ない。
例えばEuclid整域であるZ[√(-1)]にさえ適用できない。
最後の部分で「Z/pZの同型類からpが(可逆元倍を除いて)一意に定まる」って事実を使ってる。
けど、Z[√(-1)]/(2+√(-1))とZ[√(-1)]/(2-√(-1))は同型なので、
これはZ[√(-1)]には適用できない。
なので、一般の整域において成り立つ事実「素元分解の一意性」の証明に使える訳じゃない。
やっぱりJordan-Holderの定理は、素因数分解の一意性とは
方向性が微妙にずれてる気がする(本質を捉えてない気がする)。
「ZはEuclid整域」ってのを認めた時点で、
「Euclid整域はUFD」っていう一般的事実から素因数分解の一意性が出る訳だし。
上記の通り、「Euclid整域はUFD」の証明に>>441の証明が流用できる訳じゃないし。
無茶苦茶細かい論点だけどね。
526:１３２人目の素数さん
05/10/25 00:13:55
書き忘れたけど、>>525においては「素元:=生成する単項イデアルが素イデアル≠既約元」ね(素数:=Zの既約元)。
527:１３２人目の素数さん
05/10/25 00:30:33
一般化になっている、ってことじゃ駄目なの？
あるいは同種の状況、とか
ってかこんなどうでも良いことでも昔々ののメンバーたちは多分
528:１３２人目の素数さん
05/10/25 00:32:39
小指がEnterに当たって送信しちゃったよorz
ってかこんなどうでも良いことでも昔々のBourbakiのメンバーたちは
多分喧々諤々の物凄い議論をして、数学原論をつくったんだろうな
まあ彼らの中に論点を無駄に隠して引っ張ったり矢鱈偉そうに俺が出したヒントがどうの、
というキチガイは居なかっただろうが
529:208
05/10/25 10:12:10
>>525
>i+jとnの大小関係で場合分け(実質的に『割り算』するのと同じ)する事になる。
>ここで『割り算』が必要になる。
君の言ってることは、百も承知してるけど(そういう意見が出るのは予想して>>502を書いた)、
それは見方によると思うが。
i + j から n を引けば n 以下になるのは明らか(i、ｊ が n 以下のとき)。
これは、割り算っていうより引き算だろう(見方によるが)。
>また、あの証明はあんまり一般化出来ない。
俺はあの証明が一般化出来るとか既存の証明より優れているとか
一言も言ってないよ。
530:208
05/10/25 10:58:49
>>528
>ってかこんなどうでも良いことでも昔々のBourbakiのメンバーたちは
>多分喧々諤々の物凄い議論をして、数学原論をつくったんだろうな
ないってw
Bourbakiに失礼だよ。
Jordan-Holderから素因数分解の一意性が出るというのはBourbakiも書いてるけどな。
531:208
05/10/25 12:44:44
>>515 は次の命題を使ったほうがいいだろう。
命題
A を環、M を長さ有限の A-加群、
f ∈ Hom(M, M) とする。
f が単射なら全射である。
証明
leng(M) = leng(Im(M)) である。
よって M = Im(M) でなければならない(>>289)。
証明終
>>515 の k[y] において、この命題を写像 f(x) = yx に適用すればよい。
532:208
05/10/25 12:50:54
>>520
>φ^(-1)(q) = p となる(適当な可換図式を描けば分かる)。
以下の図が、その可換図式
A → A_S
| |
v v
B → B_S
これの各環に Spec を作用させて得られる可換図式を考えてもいい。
この場合、矢印の向きが逆になる。
533:208
05/10/25 12:52:20
>>532
半角の空白は駄目だったな。
A → A_S
| |
v v
B → B_S
534:208
05/10/25 13:02:55
命題
A を環、p ∈ Spec(A) とする。
A_p/pA_p は A/p の商体に標準的に同型である。
証明
S = A - p とおく。
完全列 0 → p → A → A/p → 0 より、
0 → p_S → A_S → (A/p)_S → 0
は完全。よって、(A/p)_S = A_S/pA_S。
一方、(A/p)_S は、A/p の商体に同型である。
証明終
535:208
05/10/25 13:08:12
定義
A を環、p ∈ Spec(A) とする。
A_p/pA_p を k(p) またはκ(p)と書く。
EGA などはκ(p) を使ってるが、k(p)のほうが書きやすいので
このスレではk(p)を使う。ただし、k は体の記号としてよく使う
ので、紛らわしい場合はκ(p)を使うことにする。
536:１３２人目の素数さん
05/10/25 13:54:16
>525
がいろいろ言ってくれたおかげで
208とそのとりまきのアホにも問題点がようやくわかったわけだ
そして結局208はJordan-Holderと書いてはみたが本質はわかっていないから
ここまで到達するのに教えて君をかましつづけて1週間ほどかかった
1週間かかることは208にとって簡単なことじゃない
簡単なことならただちにわかるはず
それなのに>529のように割り算じゃなくてむしろ引き算だとか
みぐるしいったらありゃしないね
他人のことをキチガイだとか非難する前に
自分の言ったことに責任もてよ
おまえはここに隔離されててしかるべきアホだったよ
537:１３２人目の素数さん
05/10/25 16:56:34
>208はほんとに自閉症なのか。
538:１３２人目の素数さん
05/10/25 18:21:58
>>530
例えば「積分」をどう書くかでかなり議論してて、
議論のたびにもう辞めてやる！とか言う人が居たとか居なかったとかｗ
ってか知ってるだろうけど
多分代数なんか書くのにすごい時間が掛かってるはずだと思うよ
今では群、環、体の順番に書き始めるのは当たり前で何の創意も要らないが
そもそもこれを創めたのはBourbakiな訳で、彼らが草稿を議論するときには
いろんな書き方の選択肢があって議論したはず
Jordan-Holderで議論したかどうかは知らんよ
539:208
05/10/25 18:40:38
命題
φ: A → B を環の射、p ∈ Spec(A) とする。
f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。
つまり、f(q) = φ^(-1)(q) とする。
S = A - p とおいたとき、B_S を B_p と書く。
Spec(B_p/pB_p) は Spec(B_p) の部分集合と同一視される(これは明らか)。
さらに、Spec(B_p) は Spec(B) の部分集合と同一視される(>>81)。
この同一視により、f^(-1)(p) は集合としてSpec(B_p/pB_p)と同一視される。
証明
まず、B_p は B の積閉集合 φ(S) に関する局所化 B_φ(S) に一致
することに注意する。
f(q) = p のとき、q ∩ φ(S) であり pB_p ⊂ qB_p となることは明らか。
よって、f^(-1)(p) ⊂ Spec(B_p/pB_p) とみなされる。
逆に、q ∈ Spec(B) で、q ∩ φ(S) かつ pB_p ⊂ qB_p とする。
x ∈ p とすると、φ(x)/1 ∈ qB_p となるから、φ(s)φ(x) ∈ q
となる s ∈ A - p がある。φ(s) は q に含まれないから、
φ(x) ∈ q となる。よって、p ⊂ φ^(-1)(q) である。
逆に、x ∈ φ^(-1)(q) とする。φ(x) ∈ q だから、x ∈ A - p では
ありえない。つまり、x ∈ p。よって、p = φ^(-1)(q) である。
証明終