05/08/21 08:25:14
>>337
φ≠ A⊂Q で A が上に有界、最大元がない、∀x,y(x<y∈A → x∈A) である
ものを実数という。(補集合に最小元があるものを有理数という)
順序、加法の定義は非常にうまくいきます。問題はかけ算で、定義しようとす
ると、+,- の場合わけが生じます。そんなに大したことではないのですが、そ
の場合分けを使って分配律の証明をすることは面倒です。
-A = { -x | ∃y∈A^c (y<x) } となるのですが、これを使って証明を細かく
実行するのは ∃がジャマです。それを避けると有理数との場合分けがしょう
じます。
といったわけがあるのと、コーシー列での完備化も重要な概念なので、混合し
た形で進めるのが一般的なのではないか、と思います。
しかし、コーシー列には同値類というイマイ糞ジジイの大敵があり、といって
超準解析のためには論理性の欠如というイマイ糞ジジイの大弱点が壁になり、
まあお爺さんもなかなか頭の痛いことではあるのでしょう。(本当はそんなこ
と考えられないでしょうから、頭など痛くはないだろうとは思います。でも、
ときどき、「これはこまりました」なんて書いているので笑ってしまいます。)