02/12/22 16:05
３人の囚人A、B、Cの内、２人までが処刑され、
１人は釈放されることになっている。
Aは看守に尋ねた。
「B、Cの内、少なくとも１人は処刑されるわけだから、
どちらが処刑されるか教えてくれないか？」
すると看守はこう答えた。
「Ｂは処刑されるよ。」
Aは少しホッとした。
自分が処刑される確率が２／３≒６６．６％から１／２＝５０％に
減ったと思ったからだ。
看守はウソをつかないものとして、
本当にAが処刑される確率は減ったのだろうか？
2:１３２人目の素数さん
02/12/22 16:05
未だにこれがよく分かりません。
誰か教えてください。
マジレスきぼん。
3:１３２人目の素数さん
02/12/22 16:12
今年だけでもう何回見たことか・・・
4:１３２人目の素数さん
02/12/22 16:13
「激しく既出」スレがもうちょっと機能してくれたらなぁ、と思う
5:１３２人目の素数さん
02/12/22 16:16
(･∀･)ｲｲﾖｲｲﾖｰ
6:１３２人目の素数さん
02/12/22 16:16
スマン、もしスレへのリンク先がかちゅーしゃ等に
残っているのなら、誘導してくれませんか？
7:１３２人目の素数さん
02/12/22 16:19
(･∀･)ﾆﾔﾆﾔ (･∀･)ﾆﾔﾆﾔ (･∀･)ﾆﾔﾆﾔ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:726番)
8:１３２人目の素数さん
02/12/22 18:04
>>2
マジレス。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:748番)
9:１３２人目の素数さん
02/12/22 18:12
極端にすればわかるか？
100本のクジがあり、当りは1本だけとする。1本引いて、まだ見ないでおいて、
クジ屋に「どうせ残りの99本のうち、少なくとも98本はハズレなのだから、
どの98本がハズレなのか教えてくれないか？」と持ちかけて、ハズレの98本
を開けてもらった。残りは1本。引いたクジも1本。これでさっき引いたほう
が当っている確率が1/2に増えたと思うかね？ 思うとしたらずいぶんおめで
たいヤシだな(w 特に幸運でなくても必ずできる機械的な作業で、当りの確率
が飛躍的に上がるんだからな（激藁
残っている1本のほうが当っている確率のほうがずっと大きいに決まっている
だろうが。どのくらい大きいかというと、99:1で大きいのだよ、ワトスン君。
10:１３２人目の素数さん
02/12/22 18:20
>>1
元々、Aは処刑されるか処刑されないかだから
処刑される確率は50％。だから、50％に減ったという
わけではない。Aはアホ。
11:１３２人目の素数さん
02/12/22 18:25
９の理解は不十分。
数学的な条件が十分明確に与えられていない「問題」に対して、
隠された条件（クジ屋の心理＝非数学）を暗に推理させる部分が本当の問題なワケ。
12:１３２人目の素数さん
02/12/22 18:40
>>11の理解だと、すでに数学ではないな。とすると板違い。
>>8の本も数学じゃないけどね。Aが処刑される場合に看守がBとCを等確率で
選ばないモデルも論じてあるよ。
13:１３２人目の素数さん
02/12/22 18:47
エルデシュに一杯食わせた御仁は、数学屋の心理を的確に捉えていたのかもしれない。
14:１３２人目の素数さん
02/12/22 19:05
>>10
宝くじを1本買ったら、当っているか当っていないかだから、当っている確率
は50%なんですね。ヤッター!!（・∀・）
ネタに追い討ちスマソ
15:１３２人目の素数さん
02/12/22 21:04
ドラフトみたいなのでさ、監督三人がクジで獲得選手一人を選ぶとして、
一人ずつひいたクジを開くとするよね。
で、三人のうち一人目がはずれたとしたら、
この時点で残りの監督は二人とも５０％の確率だから
この場合は１／３ → １／２になるのかなー？
でも確率がアップしたわけじゃないから、どうなってんの？
16:１３２人目の素数さん
02/12/22 21:14
>>15
その場合は本当に確率がアップしている。
17:１３２人目の素数さん
02/12/22 21:17
>>16
頭いたいよ・・。一体どうなってるの？
18:１３２人目の素数さん
02/12/22 21:22
>>15
たとえば>>9の例でいうと、クジ屋に頼んで確実にはずれている98本を見せて
もらうのでなく、本当に適当に選んで開けて、「当りが出るかもしれない」と
いうドキドキ試練を98回乗り越えた上で1本残ったのなら、残った1本が当りで
ある確率と手元の1本が当りである確率は同じだから1/2になる。
19:１３２人目の素数さん
02/12/22 21:26
サーベロニの問題だな
懐かしいな
工房のとき友達と議論したな
20:１３２人目の素数さん
02/12/22 21:27
>>1
減ってます。
21:１３２人目の素数さん
02/12/22 21:45
じゃあ>>1の問題をこうしよう。
自分Ａと他の囚人Ｂの二人のうち一人は少なくとも
処刑されるのだからこの際Ｂが死ぬのか教えてくれ。
で、看守がＢは死ぬと返答。
この時点でＡは選択死を一つ乗り越えたわけだが、
助かる確率は２／３に上がっているのか
それとも２／１のままなのか。
22:１３２人目の素数さん
02/12/22 21:50
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（●＾o＾●）（●＾o＾●）（●＾o＾●）
23:１３２人目の素数さん
02/12/22 22:00
囚人が嘘をつくかも知れないという条件だったらどうなるの？
24:１３２人目の素数さん
02/12/22 22:00
間違えた、看守が嘘をつくかも知れない場合。
25:１３２人目の素数さん
02/12/22 22:07
>>21
2/1
26:１３２人目の素数さん
02/12/22 22:16
>>25
2/3だよ。
27:１３２人目の素数さん
02/12/22 22:18
＞助かる確率は２／３に上がっているのか
＞それとも２／１のままなのか。
味わい深い文章だ
28:１３２人目の素数さん
02/12/22 22:18
なんで？
29:１３２人目の素数さん
02/12/22 22:23
>>28は2/1を1月2日と読むのだろうか。
30:１３２人目の素数さん
02/12/22 22:43
じゃあ>>1の問題をこうしよう。
自分Ａと他の囚人Ｂの二人のうち一人は少なくとも
処刑されるのだからこの際Ｂが死ぬのか教えてくれ。
で、看守がＢは死ぬと返答。
この時点でＡは選択死を一つ乗り越えたわけだが、
助かる確率は２／３に上がっているのか
それとも１／２のままなのか。
31:１３２人目の素数さん
02/12/22 22:46
>>30
２／３に上がっている。
32:１３２人目の素数さん
02/12/22 22:50
じゃない。ちょっとまて。文章変だぞ。
「助かる確率は１／２に上がっているのか、
それとも１／３のままなのか。」
じゃないのか？
そんで解答は「１／２に上がっている」
33:１３２人目の素数さん
02/12/22 22:55
じゃあ>>1の問題をこうしよう。
自分Ａと他の囚人Ｂの二人のうち一人は少なくとも
処刑されるのだからこの際Ｂが死ぬのか教えてくれ。
で、看守がＢは死ぬと返答。
この時点でＡは選択死を一つ乗り越えたわけだが、
助かる確率は
２／３なのか
１／３なのか
１／２なのか。
34:１３２人目の素数さん
02/12/23 00:15
結局>>1の問題に的確に答えられるひとはいないのか・・・
過去ログみろってことしか答えられない。
35:１３２人目の素数さん
02/12/23 00:21
不発燃料(ﾟ⊿ﾟ)ｲﾗﾈ
36:１３２人目の素数さん
02/12/23 00:23
>>35
解答知ってる？
37:１３２人目の素数さん
02/12/23 00:32
Bは死ぬ
２人処刑される場合
A死C生
A生C死
どちらか一方が処刑される。
１人処刑される場合
A生C生
どちらも処刑されない
Aが処刑される確立は1/3
38:１３２人目の素数さん
02/12/23 00:37
２人処刑される場合
A死死生
B死生死
C生死死
１人処刑される場合
A生生死
B生死生
C死生生
39:１３２人目の素数さん
02/12/23 00:51
■答え■
看守が告げた後も、Aが助かる確率は1/3で変らないというのが答えである。
つまり、Aの助かる確率は2/3である。
次のように考えると少しわかりやすくなるだろう。
もし、Aが看守に向かって「3人のうち死刑になる1人を教えてくれ」ときいて
「Bが死刑になる」と答えたならば、確かにビルの助かる確率は1/2に上がる。
しかし、看守はBとCの二人のうちから、死刑になる囚人を選んだのである。
ここにAとBの違いがある。
しかし、この問題の記述からは、ニ者のそのような差を簡単に見つけることはできない。
そのため、推測に間違いが生じるのである。
40:１３２人目の素数さん
02/12/23 00:51
>>39
＞ここにAとBの違いがある。
ここにAとCの違いがある。 に訂正
41:１３２人目の素数さん
02/12/23 00:54
>37
そういう問題ではない。必ず二人処刑される。
42:１３２人目の素数さん
02/12/23 00:56
>>41
>>1の
＞囚人A、B、Cの内、２人までが処刑され、
って間違い？
43:１３２人目の素数さん
02/12/23 01:09
>>39
２行目までがおかしくにゃい？
44:４１
02/12/23 01:14
一般的には２人確実に処刑という設定。だから看守はすんなり、Ｂが処刑
されるという情報を与えている。
看守自身はＢ,Ｃのどちらかが処刑されるのは確実だからＢだと教えても
かまわないと考えている。ついで、そのことによりＡの処刑される確率は
変わらないと考えている。（減ってしまったら罰の意義がない）
45:１３２人目の素数さん
02/12/23 01:26
ＢかＣのどちらか一方は必ず死刑。とりあえずそいつをＸとする。
ＢかＣのうちＸでないほうをＹとする。ＡかＹのどちらかが死刑
になるわけだから、看取に聞くまでもなくＡの助かる確率は１／２。
46:１３２人目の素数さん
02/12/23 01:27
>>39
看守が告げた後、
Aが助かる確率＝１／３
Bが助かる確率＝２／３
Cが助かる確率＝０
ってことで良い？
47:１３２人目の素数さん
02/12/23 01:28
Ａ「Ｂは？」
看守「処刑される」
という会話であればＡの助かる確率が上がる。
Ａが何も聞かないのに勝手に看守がＡに
「Ｂは処刑される」
と言った場合はＡの助かる確率は聞く前と変わらない。
…ということですか？
48:１３２人目の素数さん
02/12/23 01:29
看守さん、僕ら三人の中で死ぬﾔｼは誰ですか？
看守「Ｂは死ぬね。」
→この時点でAの助かる確率＝1/2
看守さん。あそこに二人いるんですけどね、
少なくともどっちか死ぬわけでしょ。じゃあ教えてよ。
看守「Ｂは死ぬね。」
→この時点でAの助かる確率＝1/3
49:１３２人目の素数さん
02/12/23 01:32
ワケ ワカ ラン ワケ デモ ナイ
∧＿∧ ∧＿∧ ∧＿∧ ∧＿∧ ∧＿∧ (⌒)(⌒)
（ ・∀・） （ ・∀・） （ ・∀・） （ ・∀） （∀・ ） 彡│ || ｜
⊂ ⊂ ） （ Ｕ つ ⊂__へ つ （ ○ つ ⊂ ○ ） （∧＿∧⊃
< < < ） ） ） （＿）| ＼＼ ＼ ／ ／／ （ ・∀・）
（＿（＿） （_＿）＿） 彡（_＿） （＿（＿_） （＿（＿） ∪
50:１３２人目の素数さん
02/12/23 01:32
天気予報のほうがまだ当てになるな
51:１３２人目の素数さん
02/12/23 01:35
「来週は晴れの日が一日だけあります
木曜日は雨です
でわさようなら」
…嫌な天気予報だな
52:１３２人目の素数さん
02/12/23 01:42
そういや天気予報の確率ってどう解釈したらいいの？
もしかして天気予報の事後評価のためのものだろか。
どこかに天気予報の事後評価記録とかないかな。
53:１３２人目の素数さん
02/12/23 01:54
>>48に気づけばおしまいかな？
54:１３２人目の素数さん
02/12/23 02:01
気象板を初めて見てきた
あっちはあっちで独特の雰囲気が（ｗ
55:１３２人目の素数さん
02/12/23 02:11
この問題を確率の問題とした時点で「看守がランダムに答える」という
奇妙な前提を課す必要がある訳さ。
56:１３２人目の素数さん
02/12/23 02:14
道筋のわからん問題作るなよ。
57:１３２人目の素数さん
02/12/23 02:17
看守がＢが死ぬと言った時点で
もし端から見ているあなたがどちらかが生き残るか賭けるとしたら
「看守が選ばなかったことに意味があるかもしれないＣ」を
選ぶだろう？つまりなぜあなたがそういう賭け方をしたか。
それはつまりＣの生き残る確率が2/3、つまりAの生き残る確率は1/3だからだ。
58:１３２人目の素数さん
02/12/23 02:18
つまりつまり言っちゃった。
59:１３２人目の素数さん
02/12/23 02:38
P(A=釈放｜Bは処刑といわれる)を求めればいいんでしょ。
今、P(Bは処刑|A=釈放)=1/2, P(Bは処刑|B=釈放)=0, P(Bは処刑|C=釈放)=1
P(A=釈放)=P(B=釈放)=P(C=釈放)=1/3
だから、後はベイズの定理でとけますな。
これですっきりした？
60:１３２人目の素数さん
02/12/23 03:09
たくさん回答例や参考意見が出てるのですが、
どれが真でどれが偽か、誰かチョイスしてくださいませんか？
61:１３２人目の素数さん
02/12/23 03:29
前者の確率2/3は、誰が釈放されるか分からないことを前提とした確率。
後者の確率1/2は、Bが処刑されることを前提とした条件つき確率。
どちらの値も看取からの情報によって変化するわけじゃない。
看取からの情報によって前提が変化したと考えるとき、
注目するのが確率から条件つき確率になるためその値は減少する。
>>57のような言外の情報があると考えることを禁止するためには
>>55の条件が必要。そうしないとABとBCが先験的に等確率とみなせない。
62:１３２人目の素数さん
02/12/23 03:34
スレの>>1-10を何度も繰り返してることに気付けない人、
そういう人に対する最も適した答えは『どうせその場限りの理解なんだからさっさと帰れ』
63:１３２人目の素数さん
02/12/23 03:44
言い替えで理解できるんならそれでいいんじゃないの。
こういうのは問題の出し方も含めて言い方の問題なんだから。
仕事と違ってガイシュツに意味がないわけじゃないんだし、
立ったスレに隔離した方がよっぽどいいと思うけど。
64:１３２人目の素数さん
02/12/23 04:02
理解できるのなら繰り返してる事に気付けます。
気付けない人の話をしているのです。
65:１３２人目の素数さん
02/12/23 04:02
>>61
（サーベロニの作った問題ってのは）
看守の発言にはよらないってことを言いたいの？
66:キリ番厨房（トロピカルマンコ）
02/12/23 04:06
66げと
67:１３２人目の素数さん
02/12/23 05:24
>>52
天気予報の確率は例えば80％で雨だとすると、過去に似たような状態の日が
100日あったとするとそのうち80日は雨が降ったというような感じ。基本はね。
ところでこの問題まだ分かってない奴いるの？そういう奴って大体、
言い方以前にわかってないような気がするが。1は分かったんだろうか。
68:１３２人目の素数さん
02/12/23 07:58
>>67
違う。
例えば東京で降水確率80％だったら東京の80％にあたる場所で雨が降ることになる。
69:１３２人目の素数さん
02/12/23 08:04
ゴメン嘘
70:１３２人目の素数さん
02/12/23 13:58
3人のうち2人が処刑されるという情報しかない状態では，Aが処刑される
確率は2/3．ついでに言えば，BもCも同じく，処刑される確率は2/3．
看守は誰が処刑されるかは正確に知っているとして，看守はうそを言わな
いとする．
実際に起こったのが，「看守がA と B と C のうちから処刑される一人を
でたらめに選んだらBだった」という事象だと解釈する（これが起こる確
率は1/3で，これは「Bは処刑される」という事象とは異なる）．このとき
は，Aを選択肢に含めているので，この事象は「Aが処刑される」事象と独
立ではない．このときは，Bが処刑される確率は1にアップ，A,Cが処刑さ
れる確率は1/2にダウン．
実際に起こったのは，「看守がB と C のうちから処刑される一人をでた
らめに選んだらBだった」という事象と解釈する（これが起こる確率は1/2
である）．このときは，Aを切り離してBとCだけを問題にするとあらかじめ
宣言しているので，この事象は「Aが処刑される」事象とは独立である．
このとき，Aが処刑される確率は2/3のまま．Bが処刑される確率は１にア
ップ．Cが処刑される確率は1/3にダウン．
71:１３２人目の素数さん
02/12/23 14:45
最後まで確率は変化無し
72:１３２人目の素数さん
02/12/23 17:26
>>70
何か変ですね．錯覚してました．
一般には「Aを切り離してBとCだけを問題にするとあらかじめ宣言してい
る」からといって「この事象が「Aが処刑される」事象とは独立である」
とは言えません．ただ，計算してみると「Aが処刑される」事象と
「B or C の処刑者うちからランダムに一人選ぶとBになる」事象は独立な
んです．なぜなら，「Aが処刑される」確率は2/3，「B or C の処刑者
うちからランダムに一人選ぶとBになる」確率は1/2，両方同時に起こる
のは「A，Bの2人が処刑される」ことでこの確率は1/3＝(2/3)×(1/2)．
実際，「看守がBのうちから処刑される一人をランダムに選んだらBだっ
た」という事象は「看守が「Bは処刑されるか」と聞かれてイエスと答え
た」という事象と同じです．この場合は，「Aが処刑される」事象と「Bが
処刑される」事象は独立ではありませんから，このようなことが起こると
「Aが処刑される」確率に影響を与えます．実際，「Aが処刑される」確率
も「Bが処刑される」も2/3．一方「A，Bの2人が処刑される」確率は1/3．
しかし (1/3)≠(2/3)×(2/3)．
確率は錯覚しやすいので，きちんと式で確率の値を確かめないと間違えま
すね．ごめんなさい．
73:１３２人目の素数さん
02/12/23 19:03
処刑される人がＡ、Ｂの場合の看守の答えは
「Ｂは処刑される。」
処刑される人がＡ、Ｃの場合の看守の答えは
「Ｃは処刑される。」
処刑される人がＢ、Ｃの場合の看守の答えは
「Ｂは処刑される。」もしくは「Ｃは処刑される。」
よってどの場合でも「〇が処刑される。」と看守が答えるわけである。
また、この〇が、ＢであってもＣであっても、Ａに何の影響も与えてないことがわかる。
１００％期待される結果が起こったことで条件つき確率は変わらないだろう。
疑わしいと思う人に問うが、今の場合、看守が「Ｃは処刑される。」と答えたときＡの処刑確率は上がったのだろうか？
74:１３２人目の素数さん
02/12/23 19:51
>>72
>>8で紹介されている本で詳しく論じられているが、A,B,Cの処刑確率が異なるよう
に設定した「変形3囚人問題」では、（看守がすべてを知っており、かつ嘘をつかず、
Aを意図的に除外し、かつBとCに優劣をつけないとしたときでも）、看守から情報を
得たあとの処刑確率が変化し、しかも確率の設定によっては事前より「増える」とい
う、より直観に反する事態も起こる。
たとえば、A,B,Cの処刑確率がそれぞれ3/4,3/4,1/2だったとして（1人だけ釈放
され、釈放確率が1/4,1/4,1/2ということ）、看守についての上記の条件のもとで
看守から「Bが処刑される」という情報を得たあとのAの処刑確率は、4/5に増える。
このことはベイズの定理で計算すればわかるが、ライバルが減ったにもかかわらず
処刑確率が増えるのは不思議といえば不思議。この種の問題を直観的に処理すると
き無意識に使っている「確率不変の原理（関係ない情報のはずだから確率は不変だ
ろう）」や「事前確率比例配分（AとCの確率比を、Bなしで再配分）」などが必ず
しも正しくないことが分かる。
（なぜ直観が食い違うのか、数式に頼らず理解する方法はないのか、などは>>8の
本に詳しく書いてある、というか本一冊書けるほど奥が深い。）
75:クリスマス企画
02/12/23 19:51
1/2組と1/3組で討論
76:１３２人目の素数さん
02/12/23 20:02
「看守が B or C の処刑者うちからランダムに一人選んだらBになった」
とすれば「Aが処刑される」確率は2/3．理由は両者が互いに独立な事象だ
から．また，同じ理由で「看守が B or C の処刑者うちからランダムに一
人選んだらCになった」とすれば「Aが処刑される」確率はやはり2/3．この
どちらかしか起きず，どちらかは必ず起きる．どちらが起きても「Aが処刑
される」確率は2/3で変わらない．だから，看守がBと答えようがCと答えよ
うが「Aが処刑される」確率は2/3．
ただし，「看守が「B（あるいはC）は処刑されるか？」と聞かれて，イエ
スと答えた」とすれば「Aが処刑される」確率は1/2．理由は，残るAもC
（あるいはB）も処刑される確率は同じだから．
77:１３２人目の素数さん
02/12/23 21:10
>>74
看守が「関係ない情報のはずだ」と勘違いしているだけだ罠
看守が、BとCが処刑者のとき1/2の確率で一方を選ぶこと自体が
実はAに情報を与えているだけの事
ちなみに>>8で紹介されている本は読んでない
78:１３２人目の素数さん
02/12/23 21:20
>>77
＞看守が、BとCが処刑者のとき1/2の確率で一方を選ぶこと自体が
＞実はAに情報を与えているだけの事
同意。ただ、>>74の変形問題で、処刑確率が「変化する」のはいいとしても
「むしろ増える」ことの理解は難しい。たしかに釈放されやすいＣがライバル
として残った以上、Ａの不利は否めないが、釈放確率の比1:2を比例配分して
Ａの釈放確率を1/3（すなわち処刑確率2/3）とすることのどこがいけないのか、
直観的に説明できるか…。
79:１３２人目の素数さん
02/12/23 22:11
>>74
A，B，Cが確率a,b,cで釈放されるとする．ただし，a,b,c は非負でa+b+c=1．
一方で，すでに処刑者は決まっていて，看守はそれを知っているものとしよ
う．「Aが処刑される」確率は(1-a)，「看守がB or C の処刑者うちからラ
ンダムに一人選ぶとBになる」確率はc+a/2．両方同時に起こるのは「A，Bの
2人が処刑される」という事象だがこの確率はc．
だから「Aが処刑される」と「看守がB or C の処刑者うちからランダムに一
人選ぶとBになる」の両者が独立であるためには (1-a)×(c+a/2)=c じゃなき
ゃいけないが確かにこれはいつも成り立つとは限りませんね．a=0 かa=1-2c
のときだけ．だから，これ以外のときは「Aが処刑される」確率も変化し得ま
すね．
80:１３２人目の素数さん
02/12/23 22:13
>>78
しかし，a=1-2c なら b=c ということも成り立つし，逆も正しいので，独立
性が成り立つためには，BとCが同等の確率で釈放されればよい．これは直観
にあうだろう．a=0 はAは絶対釈放されないということを意味するから，Bと
Cの情報を聞いても関係ないということで直観にあう．
「看守がB or C の処刑者うちからランダムに一人選ぶとBになる」という条
件のもとに「Aが処刑される」確率はc/(c+a/2)，もともとの「Aが処刑され
る」確率は(1-a)．だから c/(c+a/2) > (1-a) ならば「Aが処刑される」確率
はあがる．これは a > 1-2c を意味しているからcが1/2より真に大きいなら
ば必ず成り立つ．つまり，cの釈放確率が1/2を越えると，Bの処刑が確定して
もAの処刑確率は上がる．Bの持っていた釈放確率がA，Cに配分された結果，
かえって差が開いたということかな？ そう考えれば，直観にあわないことも
ない．
以上の計算が間違っていなければのことですが．
81:１３２人目の素数さん
02/12/23 22:19
>>74後半の場合、BとCが処刑者のとき看守が2/3の確率で
Bが死刑になるといい、1/3の確率でCが死刑になるといえば
Aが処刑される確率は3/4で変化しない
82:１３２人目の素数さん
02/12/23 22:44
>>79-80のa,b,cを使わせてもらうと
BとCが処刑者のとき看守がc/(b+c)の確率で
Bが死刑になるといい、b/(b+c)の確率でCが死刑になるといえば
Aが処刑される確率はaで変化しない
要するに重みの分を看守が補正すれば（・∀・）イイ！
83:１３２人目の素数さん
02/12/23 23:11
・BとC（のどちらか少なくとも1人）が処刑されるのはアタリマエ。
・上の通り、Bが処刑されることがわかった。
○アタリマエの事を確かめただけなのだから、確率は不変なのではないか？、という論
Aは看守に「B、Cの内、どちらが処刑されるか？」と尋ね、看守は「Bは処刑される。」と答えた。
というくだりが「B、Cの中での結果が確定しただけで、自分（A）には影響が無い」という錯覚を誘導している。
カップとボールの問題に置きかえれば（主観がAから外に移り）分かりやすいと思う。
・3つのカップA、B、Cがふせてあり、その中の1つにボールが（等確率で）入っている。
・2つのカップ（例えばBとC）の内、1つは空であるのはアタリマエ。
・あなたはボールを隠した人に「BとCの内どちらか空のカップを1つ教えてくれ」と尋ね、
「Bのカップは空」という事実を教えてもらった。
○この時カップAにボールのある確率
中身が確定したカップ（B）は結果に影響しないので外してしまえば、
残りの2つのカップは等確率でボールが存在するからAにある確率は1/2。
重要なのは“結果が確定したものが現れた”ということで、これは他の確率に影響を及ぼす。
>>74
「処刑確率:3/4,3/4,1/2」は“結果が全て一度に出る時の確率”であって、
Bが決定した後の確率として使えるものではない。
「釈放確率:1/4,1/4,1/2」で同様の計算をすると食い違いが生じるのではないか。
84:１３２人目の素数さん
02/12/23 23:18
＞83
長いけど間違ってるよ
85:83
02/12/23 23:32
>>84
長文ｽﾏｿ｡
それとどこが間違ってるか教えて頂けるとありがたい。
86:84ではないが
02/12/24 00:00
＞残りの2つのカップは等確率でボールが存在するからAにある確率は1/2。
ここは違うね
87:１３２人目の素数さん
02/12/24 00:04
>>82
「看守がB or C の処刑者うちから，確率を勘案して（BとCが処刑者の場合
はそれぞれp,1-pの確率で）一人選ぶとBになる」という条件のもとに「Aが
処刑される」確率はc/(c+ap)，もともとの「Aが処刑される」確率は(1-a)．
だから c/(c+ap) < (1-a) ならば「Aが処刑される」確率は下がる．これよ
り，p>c/(b+c) ならば「Aが処刑される」確率は下がるし，p<c/(b+c)ならば
「Aが処刑される」確率は上がる．
Cの（事前）釈放確率が大きいと，看守がBとCを平等に扱ったんでは，Aの
（事後）処刑確率が上がってしまうが，看守がCよりBと答えたくなる環境
であれば，それが補正されるということかな？
88:83
02/12/24 00:46
>>86
2つのカップが残り、「前提条件:等確率」だから1/2としたのだが…。
わかりづらいなら結果から逆算すると、
「ボールがAにある」結果と「ボールがBにある」結果と「ボールがCにある」結果は等確率。
今、「ボールがBにある」は否定された。
残りは「ボールがAにある」と「ボールがCにある」で等確率（同様に確からしい）。
よって1/2。
89:１３２人目の素数さん
02/12/24 00:48
カップの中身を知ってる者が
Ｂ、Ｃから選択したということは
一つはどっちにもはいっているのでとりあえずＢを選んだ。ってのと
もう一つはＢに入っているがＣには入っていないのでＢを選んだ。って可能性がある。
ということは客観的に見ても、
単純に入っているかいないかのＡよりも
「Ｂに入っているがＣには入っていないので選ばれなかったＣ」
という可能性の経緯のあるＣの方が入っていない可能性が高いのは明らか。
90:１３２人目の素数さん
02/12/24 00:49
変な文になったので死のう・・・
91:１３２人目の素数さん
02/12/24 02:04
>>89
問題が変わってる気が･･･
92:１３２人目の素数さん
02/12/24 09:55
>>87
一般的には，看守が何か言うと必ず「Aが処刑される」確率は変化す
る．しかし「看守が○○と言った」事象と「Aが処刑される」事象が
独立であれば「Aが処刑される」確率は変化しない．これを「守秘性」
が守られたということにしよう．
看守は「守秘性」が守られるように情報を操作できることもある．た
とえば「B or C の処刑者うちから処刑者を一人漏らし」ても，「Aが
処刑される」確率が変わらないようにしておけば，「Aの処刑」に関す
る情報を漏らしたことにはならない．具体的には「BとCが共に処刑者
の場合はそれぞれp,1-pの確率で一人選ぶ」ときのpの値をp=c/(b+c)と
操作すればよい．
最初の問題に戻れば，a=b=c=1/3のときはp=1/2と選べばよい（これ以
外は「守秘性」が崩れる）．
93:１３２人目の素数さん
02/12/24 09:56
>>83
ちょっとまずいですね．「Bのカップは空か？」と聞かれて「はい」
と答えたのならともかく，「BとCのうちどちらか空のカップを1つ教
えてくれ」と聞かれて「Bだ」と答えたのでしょう？
両方の条件は同じではありません．同じなのは「BとCのうちどちらか
空のカップを1つ教えてくれ．ただし，BとCのどちらも空の場合は必ず
Bと答えてくれ」と尋ねて「B」という返答を得た場合です（この場合
はAが空の確率は2/3から1/2に変化する）．
いままでずっと議論してきたように，これらの条件のもとに「Aが空
である」確率は変化し得ます．後者の条件ならば，返答をした人が，
（BとCのカップが共に空の場合に）どのような確率でBと答えるかに
よっても変わります．変わらない場合の例は，A，B，Cのいずれも同
確率で空であり「BとCのうちどちらか空のカップを1つ教えてくれ．
ただし，BとCのどちらも空の場合は必ず平等に（ランダムに）BとCを
選んで答えてくれ」と尋ねて「B」という返答を得た場合です．この
場合はAが空の確率は2/3のままです．
94:83
02/12/24 12:12
>>89,>>93
むぅ…。
そちら方の論のほうが理がありますね。
ﾓﾚが患痴害ｸﾝですた。
もう少し考えてみまつ。
95:１３２人目の素数さん
02/12/24 12:35
>>94
確率の問題の場合は，「陽に確率が指定されていない事象は
それらが当該の確率の問題に影響をおよぼさないものとして
（平等に）扱う」という了解があります．そうでなければ，
天気から国際情勢まであらゆることの確率を求めない限り，
どのような確率の確定も不可能です．
問題には「A，B，C のうちひとつだけにボールがある」とあ
るだけですから，A，B，Cは平等な確率でボールがある，と考
えるのが妥当です．また，すべてを知っている解答者がBとC
を区別せず，平等に扱うしうそを言わないというのも前提で
す．質問には「BとCのうちどちらか空のカップを1つ教えてく
れ」とあるだけですから当然BとCは平等に扱われて解答され
ます．「平等に扱う」ということは確率の大原則です．
じつは，このように平等に扱うことに徹しているから，「Bと
Cのうちどちらか空のカップを1つ教えてくれ」と聞かれて解
答者が「B」と答えたときはAが空の確率は2/3のままだし，
「Bは空ですか」の質問に「はい」と答えたならAが空の確率
は1/2に変化するのです．
96:１３２人目の素数さん
02/12/24 12:35
>>94
「じゃぁ，Bが空とわかった段階でAとCは平等なんだから各々
がボールを持つ確率は1/2ずつじゃないか？」
「そうね，でも「BとCのうちどちらか空のカップを1つ教えて
くれ」と聞かれて解答者が「B」と答えている．B，Cともに空
ということもあるのに「B」なんだ．君は「解答された」BをA
と平等に扱っていないのに（Bが空である確率は1にしている），
なぜ「解答されなかった」CをAと平等に扱うのかな？ それこ
そ不平等だろう？ Aが解答の中に現われる確率はゼロだが，C
はそうではない．つまりAとCはもはや平等とは考えられない」
「一方，もし「Bは空ですか」の質問に「はい」と答えるなら，
ここに「CとAでは空である確率に差があります」という解答が
出てくる余地はない（質問も解答もA，Cを平等に扱っている）．
だからそのあともAとCは平等に扱ってよいし，扱わねばな
らない．」
97:１３２人目の素数さん
02/12/24 15:24
>>95
また，間違ってますね．錯覚でした．次のように言うのが正
しいと思います．
「確率の問題の場合は，「陽に確率が指定されていない事象
はそれらが当該の確率の問題に影響をおよぼさないものとし
て扱う」という了解があります．そうでなければ，天気から
国際情勢まであらゆることの確率を求めない限り，どのよう
な確率の確定も不可能です．また「当該の確率の問題に影響
を及ぼす確率分布が指定されていないとすると，それは一様
分布に従う（すなわち平等な確率分布を持つ）」という前提
も置きます．」
前者は独立性，後者は素事象の確率の一様性で別の概念です
ね．そして，おもに問題になるのは後者のほうです．何を素
事象と考えるかで，一様分布そのものが変わってしまうこと
がある．前者は当然の仮定で，今回の問題に関係ないですね．
申し訳ありませんでした．
98:１３２人目の素数さん
02/12/24 15:26
そういえば、この問題で確率空間のΩってどうとったらいいんだろ。
99:１３２人目の素数さん
02/12/24 16:13
確率の問題を解くとき、単にモデル化して解いているに過ぎない
100:１３２人目の素数さん
02/12/24 16:14
100どうわぁ！
101:１３２人目の素数さん
02/12/24 20:47
>1
もともとＡが処刑される確率が2/3だから、上記の場合
Ａが処刑されるとき看守がＢと言う確率=(2/3)×(1/2)=1/3
Ａが処刑されないで看守がＢと言う確率=(1/3)×(1/2)=1/6
言い方を変えると、
（看守がＢと言う）かつ（Ａが処刑される）確率=1/3
（看守がＢと言う）かつ（Ａが処刑されない）確率=1/6
だから看守がＢと言ったときにＡが、
処刑される確率：処刑されない確率=2:1
なので、看守がＢと言ったあとにＡが処刑される確率=2/(1+2)=2/3
かと思った。
102:１３２人目の素数さん
02/12/24 20:54
三囚人とは、今井、山口、白石ですか？
103:>
02/12/24 21:28
>102
その場合三人のうち誰であれ一人でも生き残るのは好ましくない。
104:１３２人目の素数さん
02/12/24 21:39
看守：Dr.G
105:１３２人目の素数さん
02/12/24 21:58
>>98
(釈放される人, 看守の答え)という順序対であらわすことにして、
Ω={(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C)}
というのが一例。
釈放確率は3人とも同じなので、
P(A,･) = P({(A,A),(A,B),(A,C)}) = 1/3
P(B,･) = P({(B,A),(B,B),(B,C)}) = 1/3
P(C,･) = P({(C,A),(C,B),(C,C)}) = 1/3
さらに通常の解釈では、
P(A,A)=P(B,A)=P(C,A)=0 （看守は絶対にAを答えない）
P(A,B)=P(A,C) （Aが釈放されるとき、BとCをランダムに選んで答える）
P(B,B) = P(C,C)=0 （B,Cの中から処刑されるほうを選んで答える）
とするから、けっきょく根元事象の確率は
Ω={(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C)}
_____0____1/6___1/6____0_____0____1/3____0____1/3____0___
となる（最初から(･,A)はなくしたほうが見やすいかもしれない）。
このとき問題の条件付確率は、
P(Aが釈放される|Bと答えた)=P(A,B)/P({(A,B),(C,B)})=(1/6)/(1/6+1/3)=1/3
として計算できる。
106:１３２人目の素数さん
02/12/24 23:26
>>105
おお！激しく理解しました。感謝します。
これだと「『Bは処刑されるか』と訊いて『yes』と答える」のが、
P((･,B)∩((A,･)∪(C,･))) = P({(A,B),(C,B)}) = 1/6 + 1/3 = 1/2
などといった状況も表示できますね。
また >>74 にある変形問題
P(A,･) = 1/4, P(B,･) = 1/4, P(C,･) = 1/2
の場合も、
P(A,B) = 1/8 = P({(A,C)})
P(B,C) = 1/4
P(C,B) = 1/2
P(A,A) = 0 = P(B,A) = P(C,A) = P(B,B) = P(C,C)
と確率が設定できて、
P((A,･)|(･,B)) = P(A,B)/P({(A,B),(C,B)}) = (1/8)/(1/8+1/2) = 1/5
と導けるわけです。
107:１３２人目の素数さん
02/12/25 00:51
( ・,A･) 、 ｹッ
108:トンデモ改
02/12/25 13:42
>三囚人とは、今井、山口、白石・・・
＼∧＿ﾍ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
,,､,､,,, / ＼〇ノゝ∩ ＜ で、看守はオレかよ！！
/三√ ﾟДﾟ) / ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
/三/| ﾟＵﾟ|＼ ,,､,､,,,
,,､,､,,, Ｕ （:::::::::::） ,,､,､,,, ,,､,､,,, ,,､,､,,,
//三/|三|＼ ←鬼平の配下、ウザ厨
∪ ∪
なお、答が分からん奴は、下のHPをみるべし
URLﾘﾝｸ(homepage2.nifty.com)
109:１３２人目の素数さん
02/12/28 00:36
激しくあげ
110:１３２人目の素数さん
02/12/28 18:34
てゆか>>105-106で糸冬了だろ？
111:１３２人目の素数さん
02/12/28 21:13
もっと前に終了してるよ
112:１３２人目の素数さん
02/12/29 15:50
>>51見て思ったんだが、
天気予報が禿しく頭使うのだったら・・・
「12/29 日曜日のニュースです。
・・・
・・・では天気予報です。
来週は、晴れが３日、曇りが２日、雨が２日あります。
曇りは２日連続していません。
雨は２日連続して降るでしょう。
月曜日から水曜日のうちちょうど２日が晴れます。
～～以下延々と続く
」
やだな。
すれ違いｽﾏｿ。
113:１３２人目の素数さん
02/12/30 00:53
Ｂだよ って言われたとき、Ｃの助かる確率ってあがってるの？
114:１３２人目の素数さん
03/01/01 15:47
>>113
倍になってる。
115:１３２人目の素数さん
03/01/01 19:31
年始だし、あげてみよう
116:１３２人目の素数さん
03/01/11 04:56
過去ログ見てないが…なぜ看守がＢが処刑と言ったのか。それはＡも処刑されるからに他ならない。そうでなければ、Ａの密告で看守が処刑になる。
よってＡが助かる確率は０
117:山崎渉
03/01/11 12:24
（＾＾）
118:１３２人目の素数さん
03/01/13 12:44
同じく過去ログみてないが
最初から処刑される人は決まっていて
看守はその事実を知っていた。
だからBかCかを答えた訳で。
最初から処刑される人は決まっていた訳だから確率は最初から2/3
119:１３２人目の素数さん
03/01/13 12:48
>>118
その程度の釣りレベルではマジレスは期待できないと思うぞ。
120:１１６
03/01/13 22:38
別に本屋で｢数学｣って書いてあるところにあるような数学だけが数学じゃないと思う
121:１３２人目の素数さん
03/01/15 04:59
「B、Cの内、少なくとも１人は処刑されるわけだから、
どちらが処刑されるか教えてくれないか？」→2/3→2/3
「俺も混ぜてだれが処刑されるか一人だけ教えてくれないか？」→1/3→1/2
122:１３２人目の素数さん
03/01/20 11:22
123:１３２人目の素数さん
03/02/07 00:23
久しぶりに上げてみっか
124:某数学科学生
03/02/07 03:10
看守さんはＡが処刑だと知っていても言えないんだよねー
Ａさんが自分でＢとＣの話に限定してるから。
①ＡとＢ
②ＡとＣ
③ＢとＣ
っていう組み合わせがあるけど②のＡとＣってのはありえない。
だって処刑されるのＢって言ってるから。
すると①か③になるけど、
①だと看守はＢとしか言えないわけ。これ味噌。
③だと看守はＢと言うのは1/2の確率。
看守がＢと言ったという条件下の条件付き確率だから、
①の確率は③の二倍になるんだわさー(←頭ひねれ)
よって①＝Ａの処刑率2/3
Ｃはうはうは。(←知らないだろうけど)
暇だったのでまじでときますた。
過去ログもこのスレの内容も見てません、すまそ。
125:素人
03/02/07 06:55
当初Aが処刑される確率は2/3
看守の発言でBは処刑されることが決まってしまったので
ACのうち残り1人しか処刑されないことになる。
つまりAが処刑される確率は1/2
2/3→1/2で確率は減った と考えたけど多分ひっかけか何かなんだろうな。。。
126:１３２人目の素数さん
03/02/08 13:08
あげとく
127:１３２人目の素数さん
03/02/08 13:28
URLﾘﾝｸ(bbs.1oku.com)
★もうすぐ春ですよ★
128:132人目の素数さん
03/02/08 13:41
競馬の障害レース。発走後に何かの原因で馬が落馬したからといって自分の購入した
馬券に対する的中率が変化するわけじゃない。
129:１３２人目の素数さん
03/02/08 16:05
みんな複雑に考えてるね、もっと単純に考えれば簡単だとおもうよ。
まずＡＢＣの内の2人が処刑される場合のＡが処刑される確立は2/3。
次にＡＢＣの内Ｂの処刑が確定した後のＡＣの内の1人が処刑される場合のＡが処刑
される確立は1/2。従ってＡの処刑される確立は2/3から1/2へ変化したというのが正しい。
選択肢と非選択肢の数が共に変化したのだから確立が変化して当然。確立が減ったと考えるのは
ナンセンスです。
130:１３２人目の素数さん
03/02/08 16:10
一回くらい「確率」って変換されそうなもんだがな
131:通りがかり（文系）
03/02/08 16:41
「B、Cの内、少なくとも１人は処刑されるわけだから、
どちらが処刑されるか教えてくれないか？」
ってさ、「少なくとも１人」と言っておいて
「どちらが･･･？」って聞くこと自体矛盾している。
または日本語がおかしい。
と思うんだけど違うかしらん。
132:１３２人目の素数さん
03/02/08 16:51
「どっちが正解でしょうか」というクイズで
「正解はどちらでもありません」という答えにキレるタイプだな。
漏れも怒るけどな（ｗ
133:１３２人目の素数さん
03/02/08 18:59
３人の内、誰と誰を処刑するか決まった時点で確率は１か０
134:１３２人目の素数さん
03/02/09 03:10
「Aが処刑される確率は減る」が正解でよろしいですか？皆の衆。
135:１３２人目の素数さん
03/02/09 08:59
105で終
136:１３２人目の素数さん
03/02/09 09:34
誰にとっての確立だ？
137:１３２人目の素数さん
03/02/09 19:21
>>105
数式で説明されてもなぁ。。
誰か文学的に表現してください。
なんで確率は変らないの？
138:。
03/02/09 19:38
Aが頭の中で確率を考えているだけであって、
Bが処刑される事が分かったからといってAの処刑される確率は変わらない。
まだ3人生きているのだから。
ただAの脳内では自分が処刑される確率は下がっている。
と、いう事じゃないの？
つまり、客観的に見れば確率は変わっていないが、
Aが主観的に考えている確率は下がったという事。
139:131
03/02/09 21:39
ちょっと粘着するんだけど、
問題文の日本語やっぱり意味が特定できない。俺が看守だったら
「質問の意味がよく分からない。俺が思うにお前の言わんとしていることは
・・・ということだと思うが、そうか？」とか問い直したい。
細かいけど２人のうちどちらか１人、または両方が該当するという場合に、
「どちらが」という問いが成り立たないんじゃないの？
「少なくとも一人は処刑されるのだから、処刑される人を一人教えてほしい」
とかなら誤解がないのでは。
140:１３２人目の素数さん
03/02/09 22:10
>>10の論理展開に
「サイコロは1が出るか1以外が出るかの二者択一と考えられるので、
1が出る確率は50％である。といってるのと同じ。」と反論しようと思ったが、
すでに>>14が反論していた。鬱。
141:１３２人目の素数さん
03/02/10 00:10
もし「Bが実際に処刑された」なら、Aが処刑される確立は66.6%->50%で問題ないんでしょ。
この問題の要点は
「看守に『Bは処刑されるよ』と聞いた」と「実際にBは処刑された」を、同じとみるかどうかの
問題だと思うのだが、どうだろうか。
142:１３２人目の素数さん
03/02/10 09:03
>>141
それは数学素人の美形の私でも間違ってるってわかる。
だって看守は嘘つかないのだから実際にBが処刑されるのと同じってことでしょ？
143:１３２人目の素数さん
03/02/10 09:06
>>138
意味わかんねぇ。
>Bが処刑される事が分かったからといってAの処刑される確率は変わらない。
>まだ3人生きているのだから。
Bが処刑確実ならAC中1人が処刑だから確率1/2に減少だべ？
144:１３２人目の素数さん
03/02/10 13:09
>>141
> もし「Bが実際に処刑された」なら、Aが処刑される確立は66.6%->50%で問題ないんでしょ。
うん。それはあってると思うよ
それで、看守は嘘つかないって条件があるんだからやっぱ確立は減るよ
145:１３２人目の素数さん
03/02/10 13:11
看守は絶対に嘘つかないということを
Aが知っているという仮定が不自然
146:１３２人目の素数さん
03/02/10 13:31
＞Bが処刑確実ならAC中1人が処刑だから確率1/2に減少だべ？
サイコロの出る目は１か１以外かだから１の出る確率は1/2って
いう程度の思考回路だな
147:１３２人目の素数さん
03/02/10 15:39
結局>>1のでは釈放の確率＝1/3のままだってことか。
148:１３２人目の素数さん
03/02/10 16:30
>>59 のが正解。
東京大学出版会「自然科学の統計学」 p274-5 参照。
149:132人目の素数さん
03/02/10 19:07
つーか、Bが処刑確実ならばもはやBは関係ない。AとCの問題でしかない。
ABCの3人の問題として語りたいのなら看守の情報を入れる事など論外。
問いかけ自体が間違ってる。同じ事何回も言わせんな！
150:１３２人目の素数さん
03/02/10 21:52
>>149
つまり、釈放の確率＝1/3のままだってことだね？
151:１３２人目の素数さん
03/02/11 14:50
だいたいだな釈放が1/3で処刑が2/3みたいな香具師は100％死刑になるものさ。
152:１３２人目の素数さん
03/02/11 14:54
釈放が1/3で処刑が2/3みたいな香具師は100％死刑になるなんてことは100％ありえないよ。
153:１３２人目の素数さん
03/02/11 15:15
>>59
?
154:132人目の素数さん
03/02/11 19:08
>>149
いや、看守の情報があってもなくても確率は変化しない。なぜなら
最初の段階ではまず助かる率は1/3。これは当然。ではこれから順に看守の
情報を仕入れたとして最終的に助かるためには
１： 1回目に尋ねた時にBかCと答える必要がある。これは６６．６％
２： 2回目に尋ねた時にさらにAでない方を答える必要がある。これは５０％
従って 最終的に６６．６％の５０％は ３３．３％ である。
155:１３２人目の素数さん
03/02/11 21:07
1回目？2回目？はぁ？なんでこんな馬鹿ばっかりなんだ！？
156:１３２人目の素数さん
03/02/11 21:32
死刑の組み合わせは3C2.このうちAが死刑となるのは2通り。
生き残る確率は1/3.
ここでBは処刑されると聞いた。前記の状態とは全く別の状況となったので
全く別の問題と変化する。
死刑の組み合わせは2通り。そのうちAが死刑となるのは1通り。
よって1/2.
駄目？
157:１３２人目の素数さん
03/02/11 22:00
>>154
一回目に看守がＢかＣと答える確立は100％じゃない？
二回目にＡと答える確立は0％または100％
看守が答える前に規定しているわけだから。
聞いてからサイコロを振るわけじゃないから、条件は変化しない。
158:１３２人目の素数さん
03/02/11 22:06
>>158
全く別の問題に変化させたんだね？ＯＫ！でもスレ違い！
159:１３２人目の素数さん
03/02/11 22:07
ｼﾏﾀ>>158ぢゃなくて>>156！
160:132人目の素数さん
03/02/11 22:20
>>157
＞一回目に看守がＢかＣと答える確立は100％じゃない？
確かにそうでなければ質問する意味が無いような気もする。が、
確率が変化する、ということは前の状態があって次の状態に移行するという事。
この問題では助かる者は最初から確定していてAがそれを知らないだけだ。
ではいったいAを取り巻く状況の何が変化したのだろうか。何も変化していない。
ただ看守がAに処刑される一人を教えただけだ。Aの脳内で一つ知識が増えただけで
確率の法則が変わる事はない。
161:１３２人目の素数さん
03/02/11 23:19
>>156
＞死刑の組み合わせは2通り。そのうちAが死刑となるのは1通り。
＞よって1/2.
コインにどんな仕掛けがしてあっても、表が出るのは１通りだから
1/2 と判断するの？
この問題には、事前に仕掛けがしてある。
162:通りすがり
03/02/12 05:45
>>1
Aが処刑される確率は50パーセントに減ると見た。
163:148
03/02/12 14:53
>>156
駄目。A は「 B か C の少なくとも一方は処刑されるんだから、一人だけ教えて。」と
自分を含めない返答を看守から得ているから。
A が「三人のうち誰が処刑されるのか、一人だけ教えて」と聞いて、看守が「 B だよ。」
と答えたなら、君の考え方でよし。
オリジナルの問題では、A と C は対象じゃないんだ。
「 A か C のどちらかが処刑されるんだから、A が処刑される確率は 1/2 じゃないの！？」
と違和感を覚える香具師は、A が看守から得たのは自分自身を含めていない（自分に
関係ない）情報だ、ということに注意。そのかわり、看守の返答の後 C が処刑される確率は
1/3 に減少する。看守の返答は C に関係ある情報だから。
それから B が実際に処刑されれば云々ってのもあったけど、関係ないよ。
看守が「 B は処刑されるよ。ばらしちゃったから先に処刑しちゃおうっと。」っつって処刑した
後でも A が処刑される確率は 2/3 のまま。
まーでも確かにこの問題、最初は何だか不思議だよね。
164:148
03/02/12 14:54
対象→対称
typo ｽﾏｿ
165:132人目の素数さん
03/02/12 18:03
未来が不透明だからこその確率だからな。確実な情報を入れちゃー話が違うってこった。
166:１３２人目の素数さん
03/02/13 18:21
なぜ看守はAに誰が処刑されるかという情報を漏らしたのか？
普通ならそう簡単に情報を漏らしたりはしないだろう。
それは実はAの処刑も確定しているから、
自分が情報を漏らしたことをチクられないだろうと踏んだからだ。
いわゆる｢冥土の土産｣というやつだ。
つまりAの助かる確率は0％!!!
ッて書いて気づいたんだが、>>116に同じ事が書いてあった･･･。
167:１３２人目の素数さん
03/02/13 19:22
なんだかんだ言ってBがかわいそすぎる
168:１３２人目の素数さん
03/02/13 20:08
死刑が一人って問題ならわかりやすかったのにね。
確率の取扱いは一緒だしね。
169:１３２人目の素数さん
03/02/13 20:10
Ａが処刑されると思う人の数↓
URLﾘﾝｸ(f8.aaacafe.ne.jp)
170:１３２人目の素数さん
03/02/13 22:28
>>160
数学なんてぜんぜん知らないのに、たまたま覗いて、魔がさしちゃったのでした。
親切なレスありがとうございます。
考えてみれば、「条件」で変化したと考える場合は条件の起こる確立を考慮する
のは、人間として当然ですよね。
例え死に直面していたとしても。・・でもまじめな話、情報によって条件が変化
する（主観的事実）と考えるのか、最初から１／３は変化していない（客観的観
察）と考えるのか。。計算式としてはどちらが正しいんですか？
171:170
03/02/13 22:30
>>170
どっちにしろ、答えは１/３であるにしても。
172:170
03/02/13 22:31
てか、確率だよね、失礼。。
173:１３２人目の素数さん
03/02/13 23:37
結局は「どちらが処刑されるか」という質問に対し答えはBかCだが、
数学的に考えるとBと答える確立は2/3、Cと答える確立も2/3。その中に
Aが生きる（つまりBもCも処刑される）という可能性もあるわけだから
結局2/3になるわけだ。その2/3の中で1/2の確立で死ぬわけだから、結局
生きられる確立は1/3ってことになる。
かなぁ？とりあえず>>160の考えに禿同
174:１３２人目の素数さん
03/02/14 09:43
ABが処刑される事になっている時(1/3)→看守は必ず『B』と答える→1/3＞a
ACが処刑される事になっている時(1/3)→看守は必ず『C』と答える→1/3＞b
BCが処刑される事になっている時(1/3)→看守は1/2の確率で『B』と答える→1/6＞c
1/2の確率で『C』と答える→1/6＞d
よって看守が『B』と答えた時Aが処刑される確率は a/(a+ｃ)＝2/3
175:132人目の素数さん
03/02/14 18:56
＞１７０
この場合一般的な代数計算では対処できないと思われ。問題点がAの視点から構築されている
事を考えれば Aの過去 -> Aの現在 -> Aの未来
と、確率は何通りにも変化し得る。（といってもこれは単純過ぎる問題だけど）
時間の流れを無視すれば如何なる試行の如何なる結果も計算上の確率に収束するだろう。
しかしこのような問題では時間の経過こそが問題なのだ。
176:170
03/02/14 23:59
>>175
なるほど。
12歳の少年にとって、自分が100歳で死ぬ確率を算出した場合と、
その少年が99歳まで生き延びたあとで、自分が100歳で死ぬ確率を
算出した場合と似てますね。
条件付確率（失礼。高校レベルしか勉強していません）で計算したら、
両方とも同じ確率になるのかもしれないけど、人生の現実としては
納得できない。
うーん、数学板の皆さん、ふかいっすねー。
177:１３２人目の素数さん
03/02/15 01:25
３人の囚人A、B、Cの内、２人までが処刑され、
１人は釈放されることになっている。
Aは看守に尋ねた。
「B、Cの内、少なくとも１人は処刑されるわけだから、
どちらが処刑されるか教えてくれないか？」
すると看守はこう答えた。
「Ｂは処刑されないよ」
Aはガッカリした。
自分が処刑される確率が２／３≒６６．６％から２／２＝１００％に
なったと思ったからだ。
看守はウソをつかないものとして、
看守に聞いたことで、本当にAが処刑される確率は上がったのだろうか？
178:１３２人目の素数さん
03/02/15 11:07
>>1 の問題はよくわからなかったが
>>177 の問題はわかる。はっきりわかる。
なんでだろう～～
179:１３２人目の素数さん
03/02/16 20:59
おまえら理解してないんだからsageるなよ！
180:（･∀-)ﾁｪｷﾗｯ!
03/02/17 03:27
ぬごご
181:１３２人目の素数さん
03/02/18 19:40
>>177
上がっﾄﾙ
182:170
03/02/18 21:11
>>178
やっぱり、自分が死んじゃうってことはそれだけ重要な問題なんですよ、きっと。
175のありがたい教えを敷衍すると、「現在」とはいつかってことなんじゃない
かな。
「過去」のある時点から問題全体を見直したとき、自分が「あした」死ぬ確立に
変動が起こってなかったとしても、今「がっかり」することのほうが、よっぽど
重要だ。なんせ人生は一度しかないからなー。
１の場合も、10年後、保釈された後のＡの視点から見れば、助かる確立は100％
ですよね。
183:132人目の素数さん
03/02/19 21:06
>>176
確率っていうのは現実だからね。論理的に計算可能だから現実との整合性に
確証を欠く錯覚を与えがちだけど両者は完全に一致している。
９９歳の老人なら１年後どころか１時間後に芯でもおかしくない。
それだけ老人の生命というのは不安定なものだという現実が存在する。
184:１３２人目の素数さん
03/02/19 22:17
なんだこれ
なんでこんなくだらねー議論してるの？
条件付確率と確率とのちがいだろ？
185:183
03/02/19 22:33
>>184
くだらねーのではなく現実。１８４氏の敗残の人生もまた現実。
186:１３２人目の素数さん
03/02/19 23:31
情報がふえたら確率変わるに決まってんじゃん
187:１３２人目の素数さん
03/02/20 02:29
「確率は変らない」が正解らしいがイマイチイメージわかないぜ
Cが処刑される確率が2/3から1/3になるのもイメージわかない
頭悪いな＞自分
188:１３２人目の素数さん
03/03/01 05:40
最初はちょっと惑わされたが、問題の「処刑される」と「釈放される」を入れ替えて、
Aが「釈放される確率が減っちまった」と落胆している場合を考えてみたら、
Aの考え方のおかしさが、わりとすんなり理解できた。
解答者自身の死にたくないという心理が、混乱を生みだす原因なのかもしれないとおもた。
189:㌦箱の詐欺師
03/03/02 21:52
すでに何人かの方が同じ趣旨のことを触れられていますが・・・。
囚人の誰が処刑されるかすでに決まっているのですから、確率ではなく推定ですよね。
Ａが処刑されるかどうかすでに決まっているが、われわれはそれを知らない。そこで、
“知り得た情報”と“もっともらしい仮定”をおいて推定しているのですから、情報が
増えれば推定値が変化するのは当然です。それを確率が変化したと勘違いするから気持
ち悪いと感じ、おかしいと思い込む。
（“もっともらしい仮定”というのは三人が処刑されるかどうかは、特段の情報がない
限り同じように考えよう（えこ贔屓しない）ということです。これを「三人が処刑され
る確率は等しい」と考えた時点で歯車が狂いだします）
宝くじを買う。10枚に3枚が当たりとして1枚買ったが当たる確率は？ といえば0.3だ。
ただし1週間後に発表があり、当たった。このときは強いて言えば確率1ですが、正確に
言うと「既に結果は出て発表を見た人は100％正しい推測ができる」ということですよね。
ところが、実は当たりは抽選ではなく発売前から決められていたとすれば状況が変わっ
てきます。宝くじ関係者は何番があたりが知っている。そうすると、“この”1枚の宝
くじが当たるかどうかは、宝くじ関係者は“100％正しい推測ができる”ということに
なります（看守と同じ立場です）。ところが結果を知らない一般人は情報がないので
0.3と推測するしかない。どの宝くじもおなじように考えようということです。こうい
う人たちにとって「当たり外れはまだわからず確率は0.3」と考えたとしても仕方のな
いことですし、普通はそれでいいのでしょうが・・・。
だから結果を知っている看守から見ればこのようなスレッドで議論しているわれわれは
バカに見えるかもしれませんな。（笑
ちなみに、死刑になる２人が、「一人はＢ、もう一人は当日ＡとＣがジャンケンして負
けた方」という”ルール”が決まっていればどうでしょう？
看守は同じようにＢと答えるでしょうが、この場合は明らかにＡの”確率”は0.5ですね。
190:１３２人目の素数さん
03/03/08 10:11
ＢとＣが同時に処刑される場合、看守がどちらを選ぶか1/2の確率とは
限らないが、かりにそれが1/2じゃなかっても、
Aの助かる率は1/3。Cの助かる率は2/3だな。
191:１３２人目の素数さん
03/03/08 10:16
>>190
なぜですか？
数学知らない香具師より
192:１３２人目の素数さん
03/03/08 15:24
>>190
BとCが処刑される場合必ずBというとして計算したら
Aの助かる率1/2となったが？
193:１３２人目の素数さん
03/03/08 15:48
残りの2人の囚人のいずれもが処刑される場合、看守はどちらが処刑されると
告げるのを選ばないといけないんだよな
194:190
03/03/08 15:49
Ｂを選ぶ確率をXとする。問題の意図からいって0<x=<1
ｃを選ぶ確率は1-Xだな。
その場合のBが処刑されると聞いてAの助かる率はx/（x+1)
しかし 実際の所 Aは知っているとは書いていないので
そんな仮定の話はここで出したら問題にならないじゃん。
そこでｘの値の確率分布の話になってくるんだよ。
つまり勝手にＸを1/2に仮定して計算するのは大胆すぎると
いうこと。でも分布が正規分布ならAの助かる可能性は1/3。
195:１３２人目の素数さん
03/03/08 16:00
>>190
ＢとＣが処刑の時、看守はＸの確率でＢを告げるものとする。
このとき、Ａが処刑でＢが告げられるのは、（ＡＢが処刑のときなので、）
１／３となる。
また、Ａが処刑ではなくＢが告げられるのは、（ＢＣが処刑のときなので、）
Ｘ／３となる。
よって、Ｂが告げられるのは１／３（１＋Ｘ）となる。
これより、Ｂが告げられたとき、Ａが処刑であるのは、（１／３）／（１／３（１＋Ｘ））
よって、１／（１＋Ｘ）である。
どこが、つねに１／３なのでつか？
あとさ、計算式の途中で文系の解答になるの、やめたほうがいいよ。（ｗ
「しかし、」から「１／３」の導出計算式が一切ないのはあまりにも不自然。
196:１３２人目の素数さん
03/03/08 16:10
>>195
ヴァカ？おまいは「Aは（確率を）知っているとは書いていないので」
が読みとれないのかと問いたい。
197:１３２人目の素数さん
03/03/08 17:03
で190はあってるのか間違ってるのか。
間違ってたら論破しないとな
198:１３２人目の素数さん
03/03/08 18:11
>>195
＞Aは（確率を）知っているとは書いていないので
これがどうかしたか？
199:１３２人目の素数さん
03/03/08 19:20
＞１の問題で『看守がＢは処刑と言う前にすでに二人決まっている』なら確率は変わらない。
『看守がＢは処刑言った後に、またＡ＆Ｃから選ぶ』なら確立は50%になる
↑
これはどうなんでしょう？
200:１３２人目の素数さん
03/03/08 19:39
>>198は>>196に対して。
201:１３２人目の素数さん
03/03/08 20:21
二日に分けて処刑すると考えれば?
「明日処刑されるのは誰ですか？」
202:１３２人目の素数さん
03/03/09 10:12
>>195
もし問題文が、ＢとＣが処刑の場合、看守がサイコロを振って
出目が奇数ならＢと告げ、偶数ならＣと告ぐという条件だった
なら、そのＸの値は1/2なので Aの助かる率は1/3。これなら
簡単だろう。この問題では看守がどう判断するか解らない状況。
頭の中で判断するわけだからちょうど0.5になるはずもない。
ＢとＣが両方とも処刑の時、看守がＢを選ぶ確率Ｘの値が0.1か
もしれないし、0.9かもしれない。もしかしたら数値で表現する
こと自体間違っているかもしれない。また当然Aはその値Ｘを知
らない。看守が公平に判断するだろうとの期待だけである。もし
仮に、Ｘの確率分布を自然界に普遍的な正規分布（平均値0.5）
と仮定する。1/（Ｘ+1）の値とＸの確率を掛け合わせ、Ｘの値
を0～1まで積分すると、Aの助かる可能性は1/3に収束。しかし、
正規分布でたまたま1/3になるだけのことで、他の分布では1/3
になるとは限らない。本質的にはＸの値を知り得ないAが看守か
ら処刑されるのがＢとかＣとかという情報を聞いても自分の助か
る率に変化はないということ。分かる？ボク。
AにとってはＸは0.5と期待するしかない。そのため本当のＸの値
がいくつであったとしてもAが判断する助かる率には影響しないん
だよちみ？
どうだ？ヴォケ！分かったか！アホ脳しか持ってないテメーは
ほざくんじゃねえ！
203:１３２人目の素数さん
03/03/09 11:25
>>202
Ｘの値は看守が持っているものではないんですが・・・
Ｘの値は「実際に調べたと想定した、条件下の看守の動作確率」です。
ここで、条件より客観は看守から一切の思惑を取得しません。
このとき、看守は客観により「０か１かをランダムに出すコンピュータ」と
みなされます。つまり同確率により、（この場合は）Ｘ＝１／２と設定する
しかないのです。Ｘを他の値に設定するならば、
例えば「この看守はＢかＣかを選ぶ試行１００回中、
Ｃを９０回出すほどのＣ好きでした。」などの条件を加え、客観に
看守の思惑を取得させなくてはなりません。
つまり、１／３がより客観的な答えと言えるというわけです。
看守の思惑という概念は、問題の看守１万人に聞けば（平均が支配する世界では）
無に等しくなります。
Ｘの値について議論している>>190,>>194,>>195,>>202は少し論点が
ずれているのでは？
204:１３２人目の素数さん
03/03/09 16:23
>>202
＞アホ脳しか持ってないテメーはほざくんじゃねえ！
>>195と五十歩百歩だったってわけだ（藁
205:１３２人目の素数さん
03/03/09 16:28
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03/03/09 16:28
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207:190
03/03/09 19:43
>>203
>>148
>このとき、看守は客観により「０か１かをランダムに出すコンピュータ」と
>みなされます。つまり同確率により、（この場合は）Ｘ＝１／２と設定する
>しかないのです。
そう。初めからそう割り切れれば簡単な問題。
実際には看守の判断というのが、あまりにもいい
加減なので、素人的にどんなモノなのか、議論に
するために、Ｘという確率を出してややこしくし
てしまった。
どんな正確なサイコロでも出目の確率は実際には
ちょうど1/6になるとは限らないだろ？？？？？？？
しかし確率の計算をするときは1/6でするのと同じなんじゃ。分かったか！
208:１３２人目の素数さん
03/03/09 23:17
?
209:１３２人目の素数さん
03/03/09 23:53
>>207
ちみは「モデル化」という事を知らない様だが
210:１３２人目の素数さん
03/03/11 13:15
処刑 看守の返答 Ａ助かる
①ＡとＢ Ａが処刑される ×｜ 全集合はこんな感じ
②ＡとＣ Ａが処刑される ×｜ 看守の返答で言及される囚人が等確率で決定し、
③ＡとＢ Ｂが処刑される ×｜ かつ嘘をつかないことを前提とするので
④ＢとＣ Ｂが処刑される ○｜ 下の３つは除外して考えるが、
⑤ＡとＣ Ｃが処刑される ×｜ Ａが処刑されない確率は１／３であることがわかる。
⑥ＢとＣ Ｃが処刑される ○｜
ＢとＣ Ａが処刑される
ＡとＣ Ｂが処刑される
ＡとＢ Ｃが処刑される
----------------------------------
ここで、ＢとＣについて処刑される囚人を一人教えるように看守に頼むのだが、
これによって①と②の場合の返答が
ＡとＢ Ｂが処刑される ×
ＡとＣ Ｃが処刑される ×
と変化するに過ぎず、全集合は下のようになって、確率に変化はない。
①ＡとＢ Ｂが処刑される ×
③ＡとＢ Ｂが処刑される ×
④ＢとＣ Ｂが処刑される ○
②ＡとＣ Ｃが処刑される ×
⑤ＡとＣ Ｃが処刑される ×
⑥ＢとＣ Ｃが処刑される ○
211:１３２人目の素数さん
03/03/11 23:40
>>207
＞どんな正確なサイコロでも出目の確率は実際には
＞ちょうど1/6になるとは限らないだろ？？？？？？？
ふーん。それはうなずけるが・・・
＞しかし確率の計算をするときは1/6でするのと同じなんじゃ。
ヴァカ？「同じ」じゃなくて、統計的にそうなるから、「振るさいころの
出目の確率の期待値」で考えるのが最も真実に近づくんだよ！
だいいち一個あたりなんか１／６近辺を減ったりも増えたりもするし、
どっちかわからないならその平均（＝出目率の期待値）を利用するんだろ！
おまえのは計算方法しか書いてなく、「どうしてそうなるのか」を無視している。
こんな記述しかできないんじゃ、理系として失格だな。
212:１３２人目の素数さん
03/03/12 03:17
理系なら全角英数使うなよ
213:山崎渉
03/03/13 13:06
（＾＾）
214:１３２人目の素数さん
03/03/16 00:51
>>210間違ってるよ・・・
215:１３２人目の素数さん
03/03/16 01:04
>>210の場合だと
看守がまだ何も答えてない時の状態だから
確率なんて考える意味が無いよ
看守はBが処刑されるって言ってるんだから
Ｂが処刑されるって言ってるのだけを選ばないと
①ＡとＢ Ｂが処刑される ×
③ＡとＢ Ｂが処刑される ×
④ＢとＣ Ｂが処刑される ○
でAが助かる確率はやっぱり1/3
216:１３２人目の素数さん
03/03/16 01:09
これがもしAかBで処刑される囚人を教えてもらって、
Bだという返事が返ってきたとしたら
①ＡとＢ Ａが処刑される ×
②ＡとＣ Ａが処刑される ×
⑤ＡとＣ Ａが処刑される ×
③ＡとＢ Ｂが処刑される ×
④ＢとＣ Ｂが処刑される ○
⑥ＢとＣ Ｂが処刑される ○
こう変化してこの中からＢが処刑されるものを選ぶと
③ＡとＢ Ｂが処刑される ×
④ＢとＣ Ｂが処刑される ○
⑥ＢとＣ Ｂが処刑される ○
Ａが助かる確率は2/3に上がったと言える
217:１３２人目の素数さん
03/03/17 22:59
218:１３２人目の素数さん
03/04/12 11:56
219:１３２人目の素数さん
03/04/12 21:21
これって、別のいい方すると、
当たり１、はずれ２のくじがあって、一回、くじを引いた時、
結果はまだ見ずに、ひかなかったくじのどちらかは
確実にどちらかはずれだから、どっちがはずれだったのか店員に聞いた、
ってパターンと一緒だと思う。
この時、三本から１つ選ぶんだから、くじを引いた後、残りのはずれを聞いたとしても、
１／３にはかわりないでしょ。
でも、引く前にはずれくじを一つ教えてくれたら当然確率は１／２
だから、この囚人のケースの場合、結果がすでに決まってるとしたら、
確率は１／３のまま変化していない、という論理ではだめか？
当方、しょせｎ法学部の学生ですが。
220:１３２人目の素数さん
03/04/12 22:28
>>219
そういう論理展開はまずい。
条件付確率を求めよって言っているのに､条件を考慮してないところがまずい。
結果的には正しい値に辿り着くし､直感的に説明できているけど､
その調子で、自分が引いてなくて、はずれと決まってないほうのくじが
あたりである確率が 2/3 であることも直感的に理解させられる説明ができるかな。
221:１３２人目の素数さん
03/04/12 23:45
数学科でない人にそこまでのものを求める必要もないと思うが。
条件付き確率なんて言葉も知らねーだろーし。
222:１３２人目の素数さん
03/04/12 23:47
しょせｎ法学部。
223:221
03/04/12 23:57
いや別に｢しょせん｣とかそういうことではなくて、
専門外でしょってことを言いたかったわけで。
224:220
03/04/13 00:11
だめか？って訊かれたから､だめって言うことを
ただ単に理由を添えて書いたつもりだったんだが……。
225:１３２人目の素数さん
03/04/13 00:33
>>219
＞この時、三本から１つ選ぶんだから、くじを引いた後、残りのはずれを聞いたとしても、
＞１／３にはかわりないでしょ。
店員（看守）の情報は「直接関係ない」から確率は不変で当然、という直観は間違い。
（このスレの初めのほうで紹介されているように）事前確率の設定と店員（看守）の
選択確率の設定によっては、情報で事後確率が変化することがありうる。
通常の設定では店員（看守）の情報の前後で確率が変化しないが、それは結果的にそ
うなるというだけで、一般には確率は変化し得る。直観的に「不変」、（あるいは
「増加」）と感じられる場合でも、計算結果は「変化」（あるいは「減少」）となる
場合もあるので、この手の問題で直観的理屈に頼るのは危険。
226:１３２人目の素数さん
03/04/13 00:56
ちなみに条件付き確率は高校で普通にやるよ。
中学でもやったかもしれない。
227:山崎渉
03/04/17 09:19
（＾＾）
228:１３２人目の素数さん
03/04/17 19:24
すでに結論が出ているかどうかも確認せずにカキコ。
>>1
「変わらない」
Ｂの処刑が確定された場合でも
Ｃの処刑が確定された場合でも
Ａが処刑される確率は変わらない、
つまり自分が処刑される確立には何も影響しない。はず・・。
～いろいろと考えてみた～
ＡＢＣの誰が処刑されるかまったく分からない場合、
処刑のパターンは
ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ
の３パターン。このうちＡが処刑されるのはＡＢとＡＣの二つ。
つまり２/３かな。
Ｂの処刑は確実ということは、ＡＢとＢＣに絞られることになる。
ＢではなくＣの処刑が確実となった場合、
ＡＣとＢＣの二つ。
これを見る限りでは３分の２から２分の１になったようだが、
ぜったいにＢＣのどちらかが処刑されるのはわかっているのだから、
どっちが処刑されようと関係ない。
229:１３２人目の素数さん
03/04/23 19:10
３人の囚人、A,B,Cがいる。
一人が恩赦になって釈放され、のこり二人が処刑されることがわかっている。
恩赦になる確率はABCそれぞれ、1/4,1/4,1/2であった。
（これまでの問いではみんなそれぞれ1/3でしたが）
だれが恩赦になるか知っている看守に対し、Aが「BとCのうちすくなくとも一人処刑されるのは確実なのだから、２人のうち処刑される一人の名前を教えてくれても私についての情報を与えることにはならないだろう。一人を教えてくれないか」と頼んだ。
看守はAの言い分に納得して、「Bは処刑される」と答えた。
さて、この答えを聞いたあと、Aの釈放される確率はいくらになるか。
答えは1/5らしい
230:１３２人目の素数さん
03/04/23 22:00
>>229
ここまでくると、もう条件付き確率の公式使わないとダメだね。
意味考えて解こうとすると、わけがわからなくなる。
231:１３２人目の素数さん
03/04/23 22:56
>>229
烈しく外出だが、問題が曖昧でこれでは確率は出ない
確率の問題はモデル化が命
232:１３２人目の素数さん
03/04/24 02:44
>>229
・もしAが恩赦されるのならば、看守は処刑される二人の囚人のうち、Aに答える方の名をそれぞれ等しい確率（1/2）で決定した。
・看守は嘘をついていない。
以上が成立するなら、この問題の解答は以下の通り。
看守がBと答えるのは次の２通り。
１．Aが釈放され、看守が1/2の確率でBと答える。
２．Cが釈放され、看守がBと答える。
まだ看守が処刑される囚人の名を告げていないとき、
１．の確率は、(1/4)*(1/2)=1/8。
２．の確率は、1/2。
残りの確率は条件からはずれる（看守がCと答える）ので、看守がBと答えたとき、Aが恩赦される確率は、
(1/8)/(1/8+1/2)=1/5。
でよいか？
233:１３２人目の素数さん
03/04/24 08:33
>>232
「Aに答える方の名をそれぞれ等しい確率（1/2）で決定した
↑
この部分が看守の無知による勘違い
Ｂ，Ｃが恩赦になる確率は違うので看守側でも調整しなければ
Ａに情報を与えてしまう事になる
234:１３２人目の素数さん
03/04/24 08:43
図で解くと簡単なんだけどなぁ・・・
235:１３２人目の素数さん
03/05/11 13:15
236:１３２人目の素数さん
03/05/11 23:50
じゃあ図。
・看守が1/2で答えるモデル（看守が恩赦確率を知らなかった場合とか）
「B処刑」：氏氏氏氏氏氏氏氏生生＝1/5
「C処刑」：氏氏氏氏生生＝1/3
で看守が気分屋さんであるという事は「生」の文字の行き場が変わると言うこと。
・最大限に希望的観測：氏氏氏氏氏氏氏氏生生生生＝1/3
・お約束の悲観的観測：氏氏氏氏氏氏氏氏＝0
237:１３２人目の素数さん
03/05/11 23:54
てことは看守がAに情報を与えないためのパラメータは？
（こんどは分母１２）
B処刑発言 氏氏氏氏氏氏生生
C処刑発言 氏氏氏生
で1/4ずつになるということは。B：C＝表面どおり２：１。つまんねー
238:１３２人目の素数さん
03/05/19 05:10
名スレあげ
239:１３２人目の素数さん
03/05/19 05:12
>>238
（・∀・）ﾆﾔﾆﾔ
240:１３２人目の素数さん
03/05/19 06:58
Bという情報が与えられた場合、Aが起きる確率は
Pr(A|B)=Pr(A and B)/Pr(B)…(1)
である。Bが処刑される確率をPr(B)=2/3とする。看守から
「Bが処刑される」という情報を得たAが、自らの処刑される
確率をPr(A|B)=1/2に修正したとする。値を式(1)に代入して
[1/2]=Pr(A and B)/[2/3]
つまりAの処刑される確率が1/2に減少する場合は
Pr(A and B)=1/3
の場合のみである。その他の場合、
もし Pr(A and B)>1/3 なら Pr(A|B)>1/2、
もし Pr(A and B)<1/3 なら Pr(A|B)<1/2
となる。問題ではPr(B)もPr(A and B)も与えられていないので
「？」が答えかなw
241:山崎渉
03/05/21 22:10
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―
242:１３２人目の素数さん
03/05/23 04:40
6
243:１３２人目の素数さん
03/05/27 18:56
学校の授業で似た話が出てきたんですが、この場合ってどうなんでしょうか？
先生は３囚人の問題とおんなじと言っていたんですが、どうも違うようで・・
アメリカのクイズ番組のボーナスゲーム。
３つの箱があり、その中のひとつだけに車の入っている。
解答者が一つを選んだ後、司会者は解答者が選んだものでもなく、車も入っていな
い箱をオープンする。
「今なら選択を変えてもいいですよ」と司会者は言う。
さて選択を変えた場合と、変えない場合確率は同じであろうか？またそれぞれの確
率は？
どう考えても１／２としか思えないのですが、それだとあたりまえすぎる気がして
不安です。
244:１３２人目の素数さん
03/05/27 19:04
>>243
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
245:山崎渉
03/05/28 14:34
∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ ( ＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
＝〔~∪￣￣〕
＝ ◎―◎ 山崎渉
246:１３２人目の素数さん
03/05/30 22:36
247:１３２人目の素数さん
03/05/30 23:58
１０００円くれるって。
URLﾘﾝｸ(nigiwai.net)
248:１３２人目の素数さん
03/05/31 14:57
>>243
「ドアを変える」というのは、３囚人問題で言うと、囚人として入れ替わる（魂を変える？）
ということ。
司会者＝看守の情報の後もハズレ＝処刑の確率は「変わらない」(2/3)のだから、
「運命を変えられる」のなら、変えたほうが得。
249:１３２人目の素数さん
03/05/31 20:04
>>243
数式で計算すると、「変えない」が1/3、「変える」が2/3。
これを感覚で説明。
もしも、当たりが選ばなかった二つのドアのどちらかなら、
自動的にはずれドアが開いてくれるので、残ったドアが当たり。
つまり、途中でドアを変えるというのは、最初にあった二つのドアを
両方選ぶことに等しい。
よって、ドアを変える＝２／３、ドア変えない＝１／３。
上の論理を↓に適用されたし。
「ドアが１億個で、１つだけ当たりのドアがある。
あなたは一つのドアを選び、司会者は選ばなかった残りの
９９９９９９９８個のはずれドアを開いた。
司会者が『ドアを変えていいですよ』と言ったのだが、
あなたはドアを変えた方が良いか？両方の確率を求めよ。」
答え：変えたほうがいい。
「変えない＝１／１億」「変える＝９９９９９９９９／１億」
250:１３２人目の素数さん
03/06/04 00:27
うーん結構みんな適当なことかいてるね。
正しいことを書いている人のほうが少ない。
モンティー・ホール・ジレンマ、３囚人問題
とかで検索すればネットでも結構出て来るから
もっと勉強しなさい。
251:１３２人目の素数さん
03/06/17 20:54
ところで自分は良く知りませんが
元ネタと>>1に違いがないでしょうか？
多義的にとらえられる文章なので
ここまで紛糾してスレがのびたのでは？
252:スマイルα
03/06/17 22:08
URLﾘﾝｸ(elife.fam.cx)
253:１３２人目の素数さん
03/06/21 23:58
URLﾘﾝｸ(plaza.umin.ac.jp)
この考え方は正しいのですか
254:１３２人目の素数さん
03/06/22 09:49
>>253
囚人のジレンマのとこしか見てないけど、
そこは正しいこと書いてあるよ。
なんか同じ式二つ書いてあるけど。
255:１３２人目の素数さん
03/06/28 17:46
これってさ、
処刑されるのが
ＡとＢ ＡとＣ ＢとＣ が３分の１づつでしょう？
つーことは、６分の１づつの確率で
「ＡとＢが処刑」「ＡとＢが処刑」
「ＡとＣが処刑」「ＡとＣが処刑」
「ＢとＣが処刑で、看守がＢと言う」「ＢとＣが処刑で、看守がＣと言う」
が起こるから、
看守が「Ｂ」って言っても、この時点で起こりうるのは
「ＡとＢが処刑」「ＡとＢが処刑」「ＢとＣが処刑で、看守がＢと言う」
の３つだからＡが助かる確率は３分の１のまま
ってのは矛盾してるのかな？
256:１３２人目の素数さん
03/06/28 18:48
この問題、大学への数学の増刊号の「確率」の後ろのほうに
書いてあったぞ、多分・・・
答えも載ってたと思うが。
257:１３２人目の素数さん
03/06/28 20:07
>>255
亜流な理解の仕方ですが、正しいです。
258:１３２人目の素数さん
03/06/29 06:27
259:１３２人目の素数さん
03/06/29 22:05
>>255
ティムポ洗って出直してきたまへ
260:１３２人目の素数さん
03/06/29 23:04
>>255
ベーイスの定理をそのまま文に起こしたって感じだな。
でも、文章を所々端折るときは、読む人に優しい省略の仕方をして欲しい。
261:２５５
03/07/06 19:39
皆さんに感謝。 反省します。
262:１３２人目の素数さん
03/07/06 21:23
↓
URLﾘﾝｸ(www.sexpixbox.com)
263:１３２人目の素数さん
03/07/06 21:28
(*´o)*ゞふぁぁ…
めんどくさいから全員処刑と決定！
では、おやすみ～
264:ガンバレ松井
03/07/06 23:43
松井のバットでホームラン(3run-homerun)
265:ガンバレ松井
03/07/06 23:43
なぜ松井?
266:１３２人目の素数さん
03/07/06 23:46
おまいらばかか？
処刑されるかされないか1/2だろ？
YesかNoだYo!
267:トム
03/07/07 00:51
この手の問題って去年の高校への数学にあったけど
268:１３２人目の素数さん
03/07/07 23:05
バカ？20%じゃないの？
269:１３２人目の素数さん
03/07/26 07:57
9
270:１３２人目の素数さん
03/08/02 12:48
難しい数式は良く分からないけど（文系なもんで・・）
Aだけじゃなくて、B,Cも看守に尋ねたとしたら、
Aが看守に聞いたとき、「Bは処刑されるよ」
Bが看守に聞いても、「X（AorCのどっちか）は処刑されるよ」
Cが看守に聞いても、「Y（AorBのどっちか）は処刑されるよ」
って事に必ずなるから、
3人とも同じ条件で、助かる確立は最初から1/3って直感で考えたけどダメ？
271:１３２人目の素数さん
03/08/05 17:43
>>270
漢字を正しく書けない時点でダメだろうな。
272:１３２人目の素数さん
03/08/19 07:02
2
273:１３２人目の素数さん
03/08/20 05:29
(意外と大きな荒らしも無く ここまで続いたのが不思議ですが・・・)
オレは言いたい。
なんかみんな、1の提示の先にこの手のパラドックスを知ってる人ばかりだから、
混同してるんじゃないか？
「２つの箱があって、空けると初めて(未来の一事象が)定まる」という
ものは、パラドックスを生じ得る、いたいなことはあるけど、
本スレの場合は違うんじゃないの？
1の言う、看守が「Ｂは処刑されるよ」ということが"true"と(前提に)したところで、
「確率」は変わったんでないの？
274:１３２人目の素数さん
03/08/20 05:56
>>273
なんか言っていることがよく分からないので、
別の言葉で書き直してくれると嬉しい。
275:１３２人目の素数さん
03/08/20 20:38
>>273
釣りなのか阿保なのか俺にはわからん。
276:１３２人目の素数さん
03/08/21 03:34
>>273
なんとなく気持ちはわかるが、「混同してる」ってのは早計で、
1の例と「２つの箱があって、空けると初めて(未来の一事象が)定まる」っていう例は、
同じ(根本は同じ)じゃないの？
277:１３２人目の素数さん
03/08/21 05:30
>>276
同じだろうか・・・・・？
考え中・・・。
278:１３２人目の素数さん
03/08/22 21:26
なんにしろ確率は変わらないが正しいのは確か。
279:１３２人目の素数さん
03/08/27 08:00
「>>9」の例のように極端な場合を考えると「確率は最初から変わっていない」ことに
納得できるだろう（納得できない人もいるが）。
「>>9」の応用で酒席でのネタも作れる(今は省略します)。
こいつは妥当だと思うがあえて言ってみる・・・
『Ｂ・Ｃのうちどちらが処刑されるかと看守に問い、看守は「Ｂだ」と答えた』
その答えの前後で(またはその答えによって)Ａの確率は変わらない、というのが
9などの認識だが、では・・・・、
看守がＢだと答える前後で「Ｂの確率はどうなのか」？
280:１３２人目の素数さん
03/08/27 11:33
ある国では、国民の１００人に一人が、コカインを乱用しています。
そこで血液検査を行い、コカイン中毒者を割り出すことにしました。
検査に使う試薬は、的中率９９％です。
いま、ある男の血液を検査した結果、陽性の反応が出ました。
この男がコカイン中毒である確率は？
281:１３２人目の素数さん
03/08/27 12:18
>>280 ９９％なのでは？
282:１３２人目の素数さん
03/08/27 12:20
>>281んなわきゃない。
283:１３２人目の素数さん
03/08/27 12:21
９９％コカイン使用者
＋
１％×１％コカイン使用者
284:１３２人目の素数さん
03/08/27 12:47
>>280-283
「的中率９９％」の検査(この場合の)って、「陽性」の場合・・・
１．９９％陽性で、陰性の可能性は１％
２．９９％陽性で、残る１％は陽性とも陰性とも(この検査では)わからない
・・・の、どっち？
283では後者みたいだけど
285:１３２人目の素数さん
03/08/27 12:50
残る１%は陰性なのに陽性
陽性なのに陰性と出る
286:284
03/08/27 12:52
そもそも280って279までの流れ(特に279の問題提議)を受けたものなの？
それとも別個に言い出したもの？
スンマセンよくわからなくて
287:280
03/08/27 12:55
条件付確率の問題であるという点以外、ほとんど関係ありません。
>>284
前者です。後者の場合、的中率９９％ととはいえませんので。
288:１３２人目の素数さん
03/08/27 13:02
280それ意味ないじゃん
289:281
03/08/27 13:04
理解した(283が正解)
290:281
03/08/27 13:05
理解したが、別の答えも思い出した
↓
291:１３２人目の素数さん
03/08/27 13:06
２０％ぐらいなんじゃない？
292:132人目の素数さん
03/08/27 13:16
陰性と出る確率＝99C1/（100C1）*99/100＋1C1/（100C1）*1/100
でいいんじゃねーの？
293:１３２人目の素数さん
03/08/27 20:04
コカ中かつ陽性が出る確率/陽性が出る確率
(1/100 * 99/100) / (1/100 * 99/100 + 99/100 * 1/100)
=1/2？？？？
294:293
03/08/27 20:27
いやあ、1/2とは驚いた。
295:293
03/08/27 20:39
訂正。
x 陽性→中毒
y 陰性→健康
a 中毒→陽性
b 健康→陰性
1/100 a + 99/100 b = 99/100
b=(99-a)/99
1/100 a = (1/100 a + 99/100 ((1 - (99 - a)/99))) x
x=1/2
>>293は偶然合ってたっぽい。
296:293
03/08/27 20:45
yの意味無かった…。
297:１３２人目の素数さん
03/08/29 01:00
>>1
上がってます
298:１３２人目の素数さん
03/08/30 22:05
たとえば、誰もコカインを乱用していないとわかっている集団で
この血液検査をやったときに、陽性の反応が出たら、どうだろう。
９９％的中するのだから、その人は９９％陽性？そんなはずはない。
299:293
03/08/30 22:56
ある国では、国民のpが、コカインを乱用しています。
そこで血液検査を行い、コカイン中毒者を割り出すことにしました。
検査に使う試薬は、的中率qです。
いま、ある男の血液を検査した結果、陽性の反応が出ました。
中毒者が検査をした時陽性が出る確率をaとすると、
この男がコカイン中毒である確率はap/(1 - p + 2ap - q)で求まると思います。
この問題の場合p=1/100,q=99/100なのでaが上手く消えて1/2となります。
>>298の場合p=0,q=99/100なので0です。
300:１３２人目の素数さん
03/08/30 23:35
>>280
直感でいえば、1%間違うのだから、陽性とでる人物はだいたい2人いることになり、
1/2になる。
だから1/2でもおどろくこたぁ～ない
301:293
03/08/30 23:39
>>300
確かに言われてみるとごく自然な結果ですね。
302:１３２人目の素数さん
03/08/30 23:53
280の問題のような状況は、意外と日常のあちこちの場面にあふれているので
注意しておくといいよ。
303:１３２人目の素数さん
03/08/31 00:54
その検査が50%の確率で正しい答えがでるとしたら、
陽性が出た人がホントに陽性な確率って、50%？
304:１３２人目の素数さん
03/08/31 00:59
>>298
＞９９％的中するのだから、その人は９９％陽性？そんなはずはない。
１．「１％の『ハズレ』」が出た。
２．もっというと、そういう国でこの検査を広く行えば、検査の精度「９９．***％」が知れる。
・・・・
これってもはや問題意識が「数学」から離れてる？
305:293
03/08/31 01:37
>>303
正確な値は定まらないけど、もっと全然低いのは確実。
306:298
03/09/01 00:20
>>303
1/100。50％の検査など、やってもやらなくてもいっしょ。
>>304
１．
307:293
03/09/01 01:01
>>306
なんで1/100になるの？途中式を書いていただけるとありがたい。
308:１３２人目の素数さん
03/09/01 16:26
簡単に言うと、
１００人に一人が乱用している国で、ランダムに一人選んだのだから、1/100。検査はまったく無意味。
具体的に式にすると、
分子＝（陽性と出てコカインを乱用している確率）
分母＝（陽性と出てコカインを乱用している確率）＋（陽性と出てコカインを使用していない確率）
より (1/100)(1/2)/((1/100)(1/2)+(99/100)(1/2))=1/100
309:１３２人目の素数さん
03/09/01 16:28
コインを投げて、表が出たら「陽性」、裏が出たら「陰性」
というような検査でも、５０％的中する。
310:１３２人目の素数さん
03/09/01 16:52
>>284-285
詭弁を言う気はないが、的中度１％の検査があるとして、
(結果の逆をとれば)的中度９９％の検査と等しく信頼度があるってこった。
311:１３２人目の素数さん
03/09/01 16:59
二択の問題で的中率が５０％をきるようなものは、検査とはいえないけどね。
312:293
03/09/01 17:02
>>308
最初の問題の例で言うと
99%の乱用していない人が陰性と出る確率が100%で
1%の乱用している人が陽性と出る確率が0%でも
全体では99%の的中率になる。
今回の問題でも同じように
コカインを乱用している人が陽性と出る確率が1/2
とは限らないと思います。
313:293
03/09/01 17:21
コカインを乱用している人が陽性と出る確率をa、
コカインを乱用していない人が陰性と出る確率をb、
陽性が出た人がホントに陽性な確率をxとした時
1/100 a + 99/100 b = 1/2
1/100 a/(1/100 a + 99/100 (1 - b)) = x
この連立方程式を解くと
x=a/(2a+49)
314:１３２人目の素数さん
03/09/01 20:23
>>312
「検査に使う試薬の的中率は９９％」
的中率９９％とは、どんな集団を対象に検査しても、９９％の確率で的中することを、言うのでは。
どんな場合でも「陽性」という結果をだす試薬に、的中率なんてないと思います。
315:１３２人目の素数さん
03/09/01 20:51
>>314
どちらとも取れる。
どちらに取っても答えが同じになるように出来た>>280の設定をそのまま使ってるのに問題がある。
>>303がどちらのつもりで聞いたのかは本人しかわからない。
316:１３２人目の素数さん
03/09/02 00:26
>>315どちらにでも取れるとはどういうこと？
どうとれば280の答えが同じになるの？
317:１３２人目の素数さん
03/09/03 03:05
>>316
>>280は>>293の捕らえ方をしても
>>295の捕らえ方をしても答えが同じになる
（>>295でa=0の時は1/2にならないが）
318:１３２人目の素数さん
03/10/09 02:21
17
319:１３２人目の素数さん
03/11/04 05:25
6
320:１３２人目の素数さん
03/11/17 06:47
13
321:１３２人目の素数さん
03/12/01 18:06
次はどんな確率の問題で数学板に人が来るのか。
322:１３２人目の素数さん
03/12/01 20:36
確率→確立
323:１３２人目の素数さん
03/12/12 05:15
23
324:１３２人目の素数さん
03/12/16 02:19
俺がAなら
Bは処刑される！？Bは！？
じゃあCは処刑されネェのかッ！？
必然的にもう一人処刑されるのは、俺！？
なんだってぇぇぇぇ～～～！？
ってomou
325:１３２人目の素数さん
03/12/16 02:23
看守「Ｂは処刑されるよ。(･∀･)ﾆﾔﾆﾔ」
326:１３２人目の素数さん
03/12/28 23:01
話題を変えて、ｶﾞｲｼｭﾂだろうが封筒の問題。
--------------
一方の封筒には、もう一方の封筒の倍の金額が入っている。開封者はどちらかの金額をもらえる。
一方を開封すると100円が入っていたが、今もう１個の封筒を選びなおしてもいい、という。
開封者は、「もうひとつの封筒に入ってるのは50円か200円のどちらかだ。ということは期待値は50×1/2＋200×1/2＝125円で
今の100円より大きい。もう１個の封筒を選んだ方が得だ。」と考えた…。
本当？
--------------
あんまりきっちりした解答にお目にかかったことがないのでちょっと次の２つの場合に分けてちゃんとした解答を示しておく。
１．金額に対する判断をまったく無視した場合
２．金額に対する判断を考慮に入れた場合
１．金額に対する判断をまったく無視した場合
これは封筒に入っている金額になんの情報もない場合。問題文の仮定からは、開封者が封筒の金額に最初からある程度の目星
をつけているようなことは書いてないので、とりあえずそういうことにしとく、ってのがこの場合。
封筒のお金を、a円と2a円であるとし、最初に選んだ封筒の額をX、次に選んだ封筒の額をYとする。
前提条件で与えられているのは、
P(X=a,Y=2a)=P(X=2a,Y=a)=1/2
Xだけに着目すれば、当然
P(X=a)=P(X=2a)=1/2
でもある。
327:１３２人目の素数さん
03/12/28 23:02
今、Xが分かった場合のYの条件付期待値E[Y|X]を考えるわけだが、Xが分かったといっても、今封入金額に何の事前情報もない
わけだから、それがa円であるか2a円であるかが分かったわけではなく、この条件付期待値E[Y|X]は当然次のような確率変数に
なる。
X=aのときのY=2aである確率は、P[Y=2a|X=a]=1（よって当然P[Y=a|X=a]=0）なので、
X=aであるときのYの期待値は、
E[Y|X=a]=2a*P[Y=2a|X=a]＋a*P[Y=a|X=a]＝2a
同様に、
E[Y|X=2a]=2a*P[Y=2a|X=2a]＋a*P[Y=a|X=2a]＝a
したがって、E[Y|X]は、確率P(X=a)=1/2で2aをとり、確率P(X=2a)=1/2でaをとる確率変数であって、これはXの確率構造とまっ
たく違わない。よって、得でもなんでもなく、Xも、Yも、E[Y|X]もすべて同じ分布に従う確率変数であるわけだ。
上の開封者が、常に次の封筒が倍か半分かはそれぞれ確率1/2だ、と考えているのならば、それは、
P[Y=2X|X]=P[Y=X|X]=1/2
と考えてしまっている、ということになるが、これは間違い。
実際は、P[Y=2X|X]やP[Y=X|X]は、この確率自体が1/2なのではなく、確率1/2で1か0をとる確率変数なわけだ。
しかし、金額を見た後に、「その金額の倍か半分を確率1/2でもう１個の封筒に入れてやる」というのであれば、
P[Y=2X|X]=P[Y=X|X]=1/2
が成り立つ。 （当然これも確率変数だが、確率１でP[Y=2X|X]=P[Y=X|X]=1/2が成り立つ、ということ。）
この場合はXの値がいくらであるかにかかわらず、次の封筒の額がその倍か半分である確率がそれぞれ1/2なわけだ。
よって、簡単な計算で、E[Y|X]=1.25Xが成り立つことになり、この場合は次の封筒を選ぶほうが、（期待値で考えた場合は）得。
328:１３２人目の素数さん
03/12/28 23:04
２．金額に対する判断を考慮に入れた場合
１．の判断は、「封筒の額は決まっており、封筒を変えようが変えまいが、どちらを選ぶのかは五分五分だ。」というあたりまえ
の内容を数学的に記述したもの。
もうひとつの判断の仕方として、実際に最初の封筒の金額を見て、その金額の大小に関わる判断を下すという場合。どちらかと言
えばこっちの方が本質かな。こうすると、実際に確率変数ではない条件付期待値が計算できる。
しかし、この判断を下すためには、１．の封筒のお金（a,2a）に対する開封者の考えという事前情報がいる。
数学的には、封筒の金額のうち小さい方の額をZ（0<Z）とし、Zが確率（密度）関数f(z)を持つ分布に従っていると開封者が判断
している、という仮定が必要。（この分布のことを事前分布という。）
ある程度金額に目星をつけている必要がある、ということ。
この仮定の下で、与えられた条件は、
P(X=z,Y=2z|Z=z)=P(X=2z,Y=z|Z=z)=1/2
ここで、今X=xということが分かった場合、そのxが小さい方である、すなわちZ=xである確率P(Z=x|X=x)を考えると、ベイズの定
理から、
P(Z=x|X=x)＝P(X=x|Z=x)f(x)/(P(X=x|Z=x)f(x)+P(X=x|Z=x/2)f(x/2))=f(x)/(f(x)+f(x/2))
これは必ず1/2になるわけではなく、事前分布（すなわち開封者の判断）に影響する。
329:１３２人目の素数さん
03/12/28 23:04
したがって、X=xが分かった下でのYの期待値は、
E[Y|X=x]＝2x*P(Z=x|X=x)＋x/2*P(Z=x/2|X=x)＝2x*f(x)/(f(x)+f(x/2))＋x/2*（1-f(x)/(f(x)+f(x/2)))＝x/2*（1＋3*f(x)/(f(x)+f(x/2)))
E[Y|X=x]＞xの時、封筒を変えたほうが得だと判断することになるが、この条件は上の式から、
2*f(x)＞f(x/2)
となる。
現実的には財産は上限があるし、あんまり大きい金額をくれるはずがないし…などということを考えて、例えば仮にf(x)を指数分布（平均a）
とでもしてみると、上の条件は、
ｘ＜2a*log2
となる。すなわち入っていた額が比較的小さいと判断すれば、次の封筒に選びなおしたほうがいい、というごく普通の結論になる。
問題が、例えば開封したら100円が入っていて、100円という金額を見て、100円、200円をいれる可能性と50円、100円を入れる確率は五分五分だと
判断した、すなわち、f(50)=f(100)と判断したのであれば、次の封筒を選んだ方が得になる。
ただ、この「五分五分」というのは常に成り立つわけではなく、あくまで開封者の判断によるものである、ということ。
もし、常に「五分五分」だから、と開封者が思っているのならそれは間違い。
これは、１．の考え方でもそうだったし、この場合で事前分布を適当に選んでいいとしても、そうなるためには常に2*f(x)=f(x/2)が成り立つよう
な分布じゃなきゃいけないが、そんなのはないから（f(x)=a/xの形の分布はない）、無理。
330:１３２人目の素数さん
03/12/28 23:18
暇だから長々と書いてみたのでアゲ。
331:１３２人目の素数さん
03/12/29 00:52
最後んとこはちょっと間違ってた。
常に五分五分なら、常にf(x)=f(x/2)だね。こんな分布も当然ない。失敬。
332:１３２人目の素数さん
03/12/31 00:46
>>1にもきちんとした答えを書いておこう。既に正しいことを書いている人もいるけど。
もし、BもCも死刑となるとき、看守がBと答える確率がpである（とAが判断している）とする。このとき、看守がBと答える確率は、
Aが死刑ではなくて、看守がBと答える確率…1/3*p と、
Aが死刑であって看守がBと答える、すなわちCが釈放される確率…1/3
の和1/3*p+1/3である。
よって、看守がBと答えた条件のもとでのAが死刑である確率Pは、確率1/3*p+1/3のうちの、確率1/3の部分であり、
P=(1/3)/(1/3*p+1/3)=1/(p+1)
となる。（ベイズの定理）
よって、Aが釈放される場合に看守がBと答えるかCと答えるかは全然わからないから五分五分である、とAが判断した場合、すなわちp=1/2の場合は、P=2/3であり、確率は何も聞かなかった場合と変わらない。
問題からはAが看守に対してもっている情報はないと考えられるから、事前確率pにはこの仮定を置くのが普通であり、最も一般的な説明。
ただし、「聞こうが聞くまいが確率は最初と変わるはずはないから…」という説明は間違い。上で見たとおり、p=1/2の時に限り、Aが死刑である確率は最初の確率と変わらない。しかし、この場合でもCが死刑である確率は2/3から1/3に変わっている。
ある情報が入った場合の条件付確率は、もとの確率と違う方が普通。
もし、p=1の場合P=1/2である。すなわちAが釈放される場合は看守は必ずBと答える（とAが判断している）場合はP=1/2となる。
よって、問題に対する答えとしては、自分が釈放されないときは看守がBと答える確信がある場合のみ、確率が1/2になるとい
う判断は正しいけどそれ以外だとそうじゃないよ、ってことになる。
いずれにしても、任意のp（0≦p≦1）に対し、P=1/(1+p)≧1/2であり、「看守がA以外で死刑である囚人のうちの一人を答えることとなり、その囚人がわかった」という条件の下で、Aが死刑である確率は必ず、看守が答えなかった方の囚人が死刑である確率以上になる。
心情的にも、「絶対に死刑を告げられないA」と、「死刑を告げられる可能性があるが、告げられなかったC」とでは、Cの方がAより死の危機を回避した可能性が高いことは納得できるはず。