05/01/14 11:34:52
[912] の一般化
【補題】 Ｈ（a_1, a_2, ････，a_n）+ Ｈ（b_1, b_2, ････，b_n）≦ Ｈ（a_1+b_1, a_2+b_2, ････, a_n+b_n））
(略証) nについての帰納法による。
n=1 のとき 明らか。
n=2 のとき [647](6) より成立。
nが偶数のとき、n=2m とおく。
Ｈ（a_1,a_2,･････, a_{2m}） = Ｈ（Ｈ(a_1,a_2,････,a_m), Ｈ(a_{m+1}, ････, a_{2m})） を使うと
左辺 = Ｈ（Ｈ(a_1, a_2, ････，a_m), Ｈ(a_{m+1}, ････, a_n)）+ Ｈ（Ｈ(b_1, b_2, ････，b_m), Ｈ(b_{m+1}, ････, b_n)）
≦ Ｈ（Ｈ(a_1, a_2, ････，a_m) + Ｈ(b_1, b_2, ････，b_m), Ｈ(a_{m+1}, ････, a_n}) + Ｈ(b_{m+1}, ････, b_n})）
帰納法の仮定により、
左辺 ≦ Ｈ（Ｈ（a_1+b_1, a_2+b_2, ････，a_m+b_m), Ｈ（a_{m+1}+b_{m+1}, ････, a_n+b_n)）
＝Ｈ（a_1+b_1, a_2+b_2, ････, a_n+b_n）。
nが奇数のとき
上記により n+1 に対しては成立つ。そこで a_{n+1}→∞, b_{n+1}→∞ として n/(n+1) を掛ければ出る。
(系) Ｈ（a_1 +1，a_2 +1，････，a_n +1）≧ Ｈ（a_1, a_2, ････, a_n）＋ Ｈ（1,1,･･･,1）= Ｈ（a_1, a_2, ････, a_n）＋１.
>812 [>>647(6)] は Ｈ(a+c,b+d) ≧ Ｈ(a,b) + Ｈ(c,d).