05/01/13 20:10:24
>>647 (1), 680
s/9 ≧ t/3s ≧ u/t (単調減少)により、
左辺 = (1+s+t+u)/[3(3+2s+t)]- u/t = 1/3 + (s+2t+3u)/[3(3+2s+t)] - u/t ≧ 1/3.
>>812,905
n文字のとき、k次の基本対称式を S_k とおく。 S_0=1, ･････, S_n=abc････
H(a+1,b+1,c+1) = nΣ[k=0,n] S_k / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k = 1 + Σ[k=1,n] k･S_k / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k
= 1 + Σ[k=0,n-1] (k+1)S_{k+1} / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k.
ところで、 (k+1)S_{k+1}/[(n-k)S_k] ≧ nS_n / S_{n-1} = H(a,b,････).（←kについて単調減少）
∴ H(a+1,b+1,････) - H(a,b,････) ≧1.
>903 (3) 逆転の発想?
f(y)=arcsin(arcsin(y)), g(y)=arctanh(y)=(1/2)Ln{(1+y)/(1-y)} とおく。arcsin(y)>y より
f '(y) = 1/√{1-arcsin(y)^2}・1/√(1-y^2) > 1/(1-y^2) = g '(y).
これと f(0)=0=g(0) から 0<y≦sin(1) ⇒ f(y)>g(y).
ぬるぽ