05/01/13 11:59:33
>903
(1) x/(ay+bz) = {(a^2)(ax+by)/(ay+bz) +(b^2)(az+bx)/(ay+bz) -ab}/(a^3 +b^3).
循環的に加えて 相加･相乗平均を使うと
左辺 ≧ 3(a^2 +b^2 -ab)/(a^3 +b^3) = 3/(a+b), 等号成立はx=y=zのとき.
(2) (a,b,c)=OA↑, (x,y,z)=OX↑, (1/√3, 1/√3, 1/√3)=OE↑ とおくと ∠AOX ≦ ∠AOE +∠EOX.
左辺 = (OA↑･OX↑) + |OA|･|OX| = |OA|･|OX|{cos(∠AOX) +1} ≧ |OA||OX|{cos(∠AOE+∠EOX) +cos(∠AOE-∠EOX)}
= 2|OA|･|OX|cos(∠AOE)･cos(∠EOX) = 2(OA↑･OE↑)(OE↑･OX↑) = 右辺.
(4) x=tan(A), y=tan(B), z=tan(C), 0<A,B,C<π/2 とおく。条件式より A+B+C=π. sin()は上に凸だから,
左辺 = sin(A) + sin(B) + sin(C) ≦ 3sin{(A+B+C)/3} = 3sin(π/3) =(3√3)/2.
等号成立は A=B=C=π/3 (正3角形？) すなわち x=y=z=√3 のとき.
ぬるぽ
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