04/04/12 21:34
実数a,b,cがa+b+c=1をみたすとき、
(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a) ≧ 1000/27
a,b,c>0, a+b+c=S≦3 とする。
F(a,b,c) = (a+1/b)(b+1/c)(c+1/a) = abc + S + (1/a+1/b+1/c)+ 1/(abc)
相乗平均≦相加平均 (1) より、abc ≦ (S/3)^3 ≦1.
g(u)≡u+1/u に対し、平均変化率 [g(v)-g(u)]/(v-u) = 1-1/(uv).
∴ 0<u<v≦1のとき、[g(v)-g(u)]/(v-u) < 0.
∴ g(abc) ≧ g{(S/3)^3}.
調和平均≦相加平均 (2) より、(1/a+1/b+1/c)≧9/(a+b+c) = 9/S.
以上を加えて、 F ≧ (S/3)^3 + S + 9/S + (3/S)^3 = (S/3+3/S)^3.
等号成立は a=b=c=S/3 のとき.
(注1) (a+b+c)^3 - 27･abc = (3a+S/2)･|b-c|^2 + (3b+S/2)･|c-a|^2 + (3c+S/2)･|a-b|^2 ≧0.
(注2) (a+b+c)･(1/a+1/b+1/c)≧ 3^2 (Cauchyの不等式)