05/01/12 03:34:04
>>891
2005年2月号って、まだ発売されてないだろ！
>>783>>879
解答マダー！
おらおら出てこい！不等式オタクども！
893:１３２人目の素数さん
05/01/12 03:50:36
>>892
年間購読者ですから, もう届いているんですよ。
894:１３２人目の素数さん
05/01/12 04:02:05
>>893
さっさとウプシロン！
895:中川 幸一 ◆MC1Z7pcz5k
05/01/12 04:13:10
じゃ～問題だけ紹介します。
a_1, \cdots a_n > 0 に対して不等式
\dfrac{a_1^2}{a_2 a_3} + \dfrac{a_2^2}{a_3 a_4} + \cdots + \dfrac{a_{n-1}^2}{a_n a_1} + \dfrac{a_n^2}{a_1 a_2}
\geq \dfrac{2 a_1}{a_2 + a_3} + \dfrac{2 a_2}{a_3 + a_4} + \cdots + \dfrac{2 a_{n-1}}{a_n + a_1} + \dfrac{2 a_n}{a_1 + a_2}
が成立する。ここで, 等号は a_1 = \cdots =a_n のときのみ成立する。
\pi \geq A > B > 0 のとき関数
\dfrac{\sin (Ax)}{\sin (Bx)}
は 0 < x < \dfrac{1}{2} において単調減少である。
896:１３２人目の素数さん
05/01/12 04:15:14
>>895
せめて \frac と書け！
いちいち上げんな！
897:中川 幸一 ◆MC1Z7pcz5k
05/01/12 04:18:54
以下は演習問題という形で紹介されています。
(表記法を多少簡略化しました。)
a_1, \cdots , a_n が 1, \cdots , n の並べかえならば
\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i}{i} \geq n
898:１３２人目の素数さん
05/01/12 04:20:40
>>896
悪い…。
ついつい癖で \dfrac って書いてしまった…。
あと上げてしまってスマン…。
899:884
05/01/12 17:50:14
>885,890
871(3) なるほど！ そういうことだったのか。 ベリィ㌧クス.
871(5) F(t)>0 を出すところに間違い･････ 死んでお詫びを･･･(AA省略)。
マクローリン展開より、0<t≦1 で、
tan(t) = t + (1/3)t^3 +(2/15)t^5 +(17/315)t^7 +･･･ ≦ t + (1/3)t^3 +(2/15 +17/315 +･･･)t^5 = t +(1/3)t^3 +c･t^5.
ここに c = tan(1) -1 -1/3 = 0.22407439･･･
F(t) = {2 -[1-(1/2)t^2 -(1/8)t^4]}t -tan(t) ≧ (1/6)t^3 +(1/8 -c)t^5 = (1/6 -0.09907439t^2)t^3 >0.
900:伊丹公理 ◆EniJeTU7ko
05/01/12 18:10:07
>>897
容易 ( n ＞ 1 の時）
一般に正とは限らぬ実数列 a_1 ＜ a_2 ＜ ....... ＜ a_n,
b_1 ＜ b_2 ＜ ....... ＜ b_n があり、c1, c_2, .... , c_n が
b_1, b_2, ....... , b_n の並べ替えであるとき、
a_1*c_1 + a_2*c_2 + .... + a_n*c_n が最大となるのは
c_i = b_i, i = 1, 2, .... , n の時。（又その時に限る）。
なる事実（well-known）と
x + (1/x) ≧ 2, 等号は x = 1 の時なることより出る。
901:伊丹公理 ◆EniJeTU7ko
05/01/12 19:13:47
>>900
訂正 x ＞ 0 の時、
x + (1/x) ≧ 2, 等号は x = 1 の時なることより出る。
902:中川 幸一 ◆MC1Z7pcz5k
05/01/12 21:01:59
>>897 の解答 (Original)
相加平均と相乗平均の大小関係より
(1/n)Σ[i=1 to n](a_i / i) ≧ (Π[i=1 to n](a_i / i))^(1/n) = 1^(1/n) = 1
故に
Σ[i=1 to n](a_i / i) ≧ n
(等号成立は a_i = i)
903:１３２人目の素数さん
05/01/12 23:24:58
(1) 正の実数a,b,x,y,zに対し、x/(ay+bz) + y/(az+bx) + z/(ax+by)≧3/(a+b)
(2) 実数a,b,c,x,y,zに対し、
ax+by+cz+√{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}≧(2/3)(a+b+c)(x+y+z)
(3) 0<x≦π/2 のとき、sin(sin(x))<tanh(x)
(4) 正の実数x,y,zがx+y+z=xyzを満たすとき、
x/√(1+x^2)+y/√(1+y^2)+z/√(1+z^2)≦(3√3)/2
904:１３２人目の素数さん
05/01/12 23:30:54
まだ解かれていない問題をまとめてください。
905:１３２人目の素数さん
05/01/13 04:34:03
>>819
>Ｈ（ａ，ｂ）＋Ｈ（ｃ，ｄ）≦Ｈ（ａ＋ｃ，ｂ＋ｄ）。
>Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）＋Ｈ（ｄ，ｅ，ｆ）≦Ｈ（ａ＋ｄ，ｂ＋ｅ，ｃ＋ｆ）。
>Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＋Ｈ（ｅ，ｆ，ｇ，ｈ）≦Ｈ（ａ＋ｅ，ｂ＋ｆ，ｃ＋ｇ，ｄ＋ｈ）。
これって n文字についても言えそうな感じだけど、うまい証明が思いつきません。
いい方法ないですか？
>>812
>[>>647(1)] H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1
こちらは n文字についても言えるのでしょうか？
たのも～、たのも～。
906:１３２人目の素数さん
05/01/13 04:39:47
>>879
（左辺）^2-（右辺）^2 = |(z-w)(\bar{z}w-1)|^2 ≧ 0
＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼ >>892 呼んだ？
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
907:１３２人目の素数さん
05/01/13 11:59:33
>903
(1) x/(ay+bz) = {(a^2)(ax+by)/(ay+bz) +(b^2)(az+bx)/(ay+bz) -ab}/(a^3 +b^3).
循環的に加えて 相加･相乗平均を使うと
左辺 ≧ 3(a^2 +b^2 -ab)/(a^3 +b^3) = 3/(a+b), 等号成立はx=y=zのとき.
(2) (a,b,c)=OA↑, (x,y,z)=OX↑, (1/√3, 1/√3, 1/√3)=OE↑ とおくと ∠AOX ≦ ∠AOE +∠EOX.
左辺 = (OA↑･OX↑) + |OA|･|OX| = |OA|･|OX|{cos(∠AOX) +1} ≧ |OA||OX|{cos(∠AOE+∠EOX) +cos(∠AOE-∠EOX)}
= 2|OA|･|OX|cos(∠AOE)･cos(∠EOX) = 2(OA↑･OE↑)(OE↑･OX↑) = 右辺.
(4) x=tan(A), y=tan(B), z=tan(C), 0<A,B,C<π/2 とおく。条件式より A+B+C=π. sin()は上に凸だから,
左辺 = sin(A) + sin(B) + sin(C) ≦ 3sin{(A+B+C)/3} = 3sin(π/3) =(3√3)/2.
等号成立は A=B=C=π/3 (正3角形？) すなわち x=y=z=√3 のとき.
ぬるぽ
>906 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
908:１３２人目の素数さん
05/01/13 19:25:36
(1) n>2を整数、F(n)をFibonacci数列とすると、
Σ[k=1..n](1/F(k)) > (n^2)/(F(n+2)-1)
(2) ちょうど１つの辺の長さが1より大きい四面体の体積をVとおくと、V<1/8
(3) 正整数p,qに対し、|p/q-√2|≧(6-4√2)/(q^2)
(4) nを正整数、s>1を実数とすると、
Σ[k=1..n](1/k^s) < 1+1/{2^(s-1)-1}
909:１３２人目の素数さん
05/01/13 20:10:24
>>647 (1), 680
s/9 ≧ t/3s ≧ u/t (単調減少)により、
左辺 = (1+s+t+u)/[3(3+2s+t)]- u/t = 1/3 + (s+2t+3u)/[3(3+2s+t)] - u/t ≧ 1/3.
>>812,905
n文字のとき、k次の基本対称式を S_k とおく。 S_0=1, ･････, S_n=abc････
H(a+1,b+1,c+1) = nΣ[k=0,n] S_k / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k = 1 + Σ[k=1,n] k･S_k / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k
= 1 + Σ[k=0,n-1] (k+1)S_{k+1} / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k.
ところで、 (k+1)S_{k+1}/[(n-k)S_k] ≧ nS_n / S_{n-1} = H(a,b,････).（←kについて単調減少）
∴ H(a+1,b+1,････) - H(a,b,････) ≧1.
>903 (3) 逆転の発想?
f(y)=arcsin(arcsin(y)), g(y)=arctanh(y)=(1/2)Ln{(1+y)/(1-y)} とおく。arcsin(y)>y より
f '(y) = 1/√{1-arcsin(y)^2}・1/√(1-y^2) > 1/(1-y^2) = g '(y).
これと f(0)=0=g(0) から 0<y≦sin(1) ⇒ f(y)>g(y).
ぬるぽ
910:１３２人目の素数さん
05/01/13 21:51:02
>895
（NOTEの問題）
π ≧ A > B > 0 のとき関数 sin(Ax)/sin(Bx) は 0 < x < 1/2 において単調減少である。
（略証）
f(x) = Ln{sin(Ax)/sin(Bx)} とおくと、 f '(x) = A/tan(Ax) - B/tan(Bx).
tan(y)/y は|y| とともに増加するから A>B>0 より tan(Ax)/(Ax) > tan(Bx)/(Bx), f '(x)<0.
911:905
05/01/13 22:06:19
>>909
㌧クス。
さすが ぬるぽ神。そこに痺れる憧れるぅ～。
【問題】 非負実数 a, b に対し、次を示せ。
\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{b}} ≧ \sqrt[3]{a+\sqrt[3]{b}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{a}}
912: ◆BhMath2chk
05/01/14 07:00:00
>>905
Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ）＋Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ，ｊ，ｋ，ｌ）
＝Ｈ（Ｈ（ａ，ｂ，ｃ），Ｈ（ｄ，ｅ，ｆ））＋Ｈ（Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ），Ｈ（ｊ，ｋ，ｌ））
≦Ｈ（Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）＋Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ），Ｈ（ｄ，ｅ，ｆ）＋Ｈ（ｊ，ｋ，ｌ））
≦Ｈ（Ｈ（ａ＋ｇ，ｂ＋ｈ，ｃ＋ｉ），Ｈ（ｄ＋ｊ，ｅ＋ｋ，ｆ＋ｌ））
＝Ｈ（ａ＋ｇ，ｂ＋ｈ，ｃ＋ｉ，ｄ＋ｊ，ｅ＋ｋ，ｆ＋ｌ）。
ｆ－＞＋∞，ｌ－＞＋∞として
（６／５）Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ）＋（６／５）Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ，ｊ，ｋ）
≦（６／５）Ｈ（ａ＋ｇ，ｂ＋ｈ，ｃ＋ｉ，ｄ＋ｊ，ｅ＋ｋ）。
Ｈ（ａ＋１，ｂ＋１，ｃ＋１，ｄ＋１）
≧Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＋Ｈ（１，１，１，１）
＝Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＋１。
913:１３２人目の素数さん
05/01/14 11:34:52
[912] の一般化
【補題】 Ｈ（a_1, a_2, ････，a_n）+ Ｈ（b_1, b_2, ････，b_n）≦ Ｈ（a_1+b_1, a_2+b_2, ････, a_n+b_n））
(略証) nについての帰納法による。
n=1 のとき 明らか。
n=2 のとき [647](6) より成立。
nが偶数のとき、n=2m とおく。
Ｈ（a_1,a_2,･････, a_{2m}） = Ｈ（Ｈ(a_1,a_2,････,a_m), Ｈ(a_{m+1}, ････, a_{2m})） を使うと
左辺 = Ｈ（Ｈ(a_1, a_2, ････，a_m), Ｈ(a_{m+1}, ････, a_n)）+ Ｈ（Ｈ(b_1, b_2, ････，b_m), Ｈ(b_{m+1}, ････, b_n)）
≦ Ｈ（Ｈ(a_1, a_2, ････，a_m) + Ｈ(b_1, b_2, ････，b_m), Ｈ(a_{m+1}, ････, a_n}) + Ｈ(b_{m+1}, ････, b_n})）
帰納法の仮定により、
左辺 ≦ Ｈ（Ｈ（a_1+b_1, a_2+b_2, ････，a_m+b_m), Ｈ（a_{m+1}+b_{m+1}, ････, a_n+b_n)）
＝Ｈ（a_1+b_1, a_2+b_2, ････, a_n+b_n）。
nが奇数のとき
上記により n+1 に対しては成立つ。そこで a_{n+1}→∞, b_{n+1}→∞ として n/(n+1) を掛ければ出る。
(系) Ｈ（a_1 +1，a_2 +1，････，a_n +1）≧ Ｈ（a_1, a_2, ････, a_n）＋ Ｈ（1,1,･･･,1）= Ｈ（a_1, a_2, ････, a_n）＋１.
>812 [>>647(6)] は Ｈ(a+c,b+d) ≧ Ｈ(a,b) + Ｈ(c,d).
914:１３２人目の素数さん
05/01/14 11:45:07
>911
f(x)=x^(1/3), f(a)=A, f(b)=B, a-b=d, A-B=D とおく。 fは単調増加だから d･D>0.
g は上に凸とすると、
[d･g(a+A)+D･g(b+B)]/(d+D) ≧ g(a+B)
[D･g(a+A)+d･g(b+B)]/(d+D) ≧ g(b+A)
辺々たすと
g(a+A) + g(b+B) ≧ g(a+B) + g(b+A).
ぬるぽ
>909
> ところで、 (k+1)S_{k+1}/[(n-k)S_k] ≧ nS_n / S_{n-1} = H(a,b,････).（←kについて単調減少）
の元レスは >>263, >>269, >>480 .
915:１３２人目の素数さん
05/01/14 16:46:56
>>912-913
実は昨日書き込んだ後、自己解決しました。
n=2の場合は直接に証明。n=2mの場合は >>912-913 と同じ方法。
n=2m+1のときの証明は、n=2m+2のときに帰着されますよね？
H(a, b, c) = H(a, b, c, H(a, b, c)) が一般のn文字でも成り立つから…。
>>913
H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1 が H（a+d，b+e，c+f） ≧ H(a, b, c) + H(d, e, f)
の特別な場合だったことに、言われるまで気づきませんでした。 il||li ＿|￣|○ il||li
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | ｱﾘｶﾞﾄｳ ｺﾞｻﾞｲﾏｽ
|::::: (● (● | ﾍﾞﾘｨ ｸﾞｯｼﾞｮ-ﾌﾞ！
ヽ::::... .ワ....ノ n ｺﾝｺﾞﾄﾓ ﾖﾛｼｸ ｵﾈｶﾞｲｼﾏｽ…
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
916:１３２人目の素数さん
05/01/14 17:03:40
>>914
[d･g(a+A)+D･g(b+B)]/(d+D) ≧ g([d(a+A)+D(b+B)]/(d+D)) = g(a+B)
この変形に気づけそうにない…。すごすぎる。
917:１３２人目の素数さん
05/01/14 20:30:14
>908(2)
四面体ABCDで、AB以外の5辺≦1 とする。
A,BからCD(の延長)に下ろした垂線を AH,BL とする。
このとき V= (1/6)AH･BL･CD･sinθ, θは平面ACDと平面BCDがなす面角.
AC,AD≦1 より AH ≦ √{1-(CD/2)^2}, BC,BD≦1 より BL ≦ √{1-(CD/2)^2}
∴ V ≦ (1/24)･CD･(4 -CD^2)･sinθ.
0 < x ≦1 ならば 3 -x(4-x^2) = (1-x){3-x(1+x)} ≧0, x(4-x^2) ≦ 3 @ x=1.
V ≦ (1/8)sinθ ≦ 1/8. （等号はACD,BCDが正3角形で、面角が90°のとき）
ぬるぽ
918:１３２人目の素数さん
05/01/14 22:50:36
>908 (4)
{1- 2/(2^s)}･(左辺) = Σ[k=1..n] {1/(k^s) -2/[(2k)^s]} < Σ[k=1..n] (-1)^(k-1) /(k^s)
= 1 - {1/(2^s) -1/(3^s)} -{1/(4^s) -1/(5^s)} - ･･･ < 1.
∴ 左辺 < 1/{1-2/(2^s)} = 1 + 1/{2^(s-1)-1} = 右辺.
ぬるぽ
～～～ 寒いでつね。水道ﾁｮﾛﾁｮﾛ流しておやすみ･･･(凍結防止) ～～～.
919:911
05/01/15 02:15:39
不等号の向きが反対でした。すみません。
非負実数 a, b に対し、
\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{b}} ≦ \sqrt[3]{a+\sqrt[3]{b}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{a}}
>914の証明は正しいように思えるのですが、どうなんでしょう？
920:１３２人目の素数さん
05/01/15 03:15:25
…で、ずっと検索してて見つけたんだけど、
Majorization Inequarity って何ですか？
↓ 最後のページ
URLﾘﾝｸ(math.berkeley.edu)
921:１３２人目の素数さん
05/01/15 03:28:25
>914
上に凸だから、不等号の向きが逆ですね。
922:１３２人目の素数さん
05/01/15 12:29:22
わかすれ１９８より
338 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：05/01/15(土) 12:17:06
x,y,zが実数で
1≦x^2+y^2+z^2≦2
をみたす。このとき
(3/5)(x-2y)^2+(1/3)(2x+y-z)^2+(4/15)(2x+y+5z)^2
の最大値、最小値
923:１３２人目の素数さん
05/01/15 13:33:29
>>915
H(a, b, c) = H(a, b, c, H(a, b, c)) が一般のn文字でも成り立つから…。
多分無理
>>913
H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1 が H（a+d，b+e，c+f） ≧ H(a, b, c) + H(d, e, f)
の特別な場合だったことに、言われるまで気づきませんでした。 il||li ＿|￣|○ il||li
>>912じゃないの
924:１３２人目の素数さん
05/01/15 13:47:25
>922
主軸系で考える．．．．
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:16-17番)
925:１３２人目の素数さん
05/01/15 19:57:33
>>923
>多分無理
反例あげてみ。
926:１３２人目の素数さん
05/01/15 20:14:06
>>925
意味不明
927:風あざみ
05/01/15 20:32:25
>>908
(1)この式は
Σ[k=1..n]({F(n+2)-1}/F(k)) > (n^2)と同値である。
F(n+2)-1=Σ[h=1..n]F(h)である。
(∵F(1)=1=F(3)-1
F(n+3)-1=F(n+2)-1+F(n+1)=Σ[h=1..n]F(h)+F(n+1)=Σ[h=1..n+1]F(h)
より帰納的に示せる。)
よって 相加･相乗平均の不等式より
Σ[k=1..n]({F(n+2)-1}/F(k))=Σ[k,h=1..n]{F(h)/F(k)}＞(n^2){(n^2)^√Π[i=1,n]({F(i)}/{F(i)})}=n^2
928:１３２人目の素数さん
05/01/16 05:48:55
>>903(1) は n文字には一般化できませんか？
929:１３２人目の素数さん
05/01/16 05:49:54
x(1), x(2), x(3),... は正の数とする。
A(n)＝(x(1)+...+x(n))/n 、
G(n)＝(x(1)...x(n))^(1/n)
とおく。
全ての n (=2,3,4,...) に対して
n(A(n)-G(n))≧(n-1)(A(n-1)-G(n-1))
が成り立つ。
【証明】
nA(n)-(n-1)A(n-1)
＝ x(n)
＝ G(n)^n/{G(n-1)^(n-1)}
＝ G(n-1){G(n)/G(n-1)}^n
≧ G(n-1){n(G(n)/G(n-1))-(n-1)}・・・★
＝ nG(n)-(n-1)G(n-1)
だから問題の不等式が成り立つ。【証明終】
（★で不等式「t＞0 ⇒ t^n≧nt-(n-1)」を使った。
t≧1のとき
t^(n-1) + t^(n-2) + ... + t^2 + t + 1 ≧ n
の両辺に t-1 をかければ t^n - 1 ≧ nt - n が得られる。
0＜t＜1のとき
1 + t + t^2 + ... + t^(n-2) + t^(n-1) ≦ n
の両辺に 1-t をかければ 1 - t^n ≦ n - nt が得られる。
いずれにせよ t^n≧nt-(n-1) が成り立つ。）
930:１３２人目の素数さん
05/01/16 15:28:43
>908(1)
左辺 ≧ 5/2 なので 16/7 ≧ 右辺 を示せば十分。
【補題】 F(n+2) ≧ 1+c･n^2, c=7/16.
（略証） nについての帰納法による。
n=0 のとき F(2) = 1.
n=1 のとき F(3) = 2 > 23/16 = 1+c.
n=2 のとき F(4) = 3 > 11/4 = 1+4c.
n=3 のとき F(5) = 5 > 79/16 = 1+9c.
n=4 のとき F(6) = 8 = 1+16c.
n≧5 のとき F(n+2) = F(n+1) + F(n) ≧ {1+c(n-1)^2} + {1+c(n-2)^2} = 2 + c[n^2 +(n-1)(n-5)] > 2 + cn^2.(終)
∴ 左辺 ≧ 5/2 ≧ 1/c ≧ (n^2)/[F(n+2)-1] = 右辺.
ぬるぽ
>928
a=b なら Shapiro型だが。 >>497-501
931:１３２人目の素数さん
05/01/16 15:49:05
>929
★の不等式 「t>0 ⇒ t^n ≧ nt-(n-1)」 は次にもあるよ。
微積分と一つの不等式「数学100の定理」日本評論社, p.89 (1983)
（問題）
Ａ = {x(1)+x(2)+･･･+x(n)}/n,
Ｇ = {x(1)x(2)････x(n)}^(1/n),
Ｈ = n/{1/x(1) +1/x(2) + .... +1/x(n)} とおくとき
Ａ^(n-1)･Ｈ ≧ Ｇ^n ≧ Ａ･Ｈ^(n-1).
932:914
05/01/16 16:26:37
>919,921
仰せのとおり、ｽﾏｿ.
>925
[923]は、[915]の方法では無理だろう、の意味。他の方法も考えられる[>>909].
>917 (補足)
△ACD=(1/2)AH･CD, △BCD=(1/2)BL･CD より
V= (1/3)AH･△BCD･sinθ = (1/3)BL･△ACD･sinθ = (1/6)AH･BL･CD･sinθ
933:915
05/01/16 18:53:13
>H(a, b, c) = H(a, b, c, H(a, b, c)) が一般のn文字でも成り立つから…。
H(a_1, …, a_n, H(a_1, …, a_n))
= (n+1)/{1/a_1) + … + (1/a_n) + (1/H(a_1, …, a_n))}
= (n+1)/{n/H(a_1, …, a_n) + (1/H(a_1, …, a_n))}
= H(a_1, …, a_n)
となるので、n文字でも成り立つと書いたのですが、
もしかして、俺なにか勘違いしてる？ ('A`)
934:１３２人目の素数さん
05/01/16 19:03:59
【問題】
(1) 1 ≦ a, b, c, d ≦ 2 に対して、(a+b)/(b+c) + (c+d)/(d+a) ≦ 4(a+c)/(b+d) を示せ。
(2) 整数 a, b が(a+b)(a-b)≠0 をみたすとき、 |(a+b)/(a-b)|^(ab) ≧ 1 を示せ。
935:１３２人目の素数さん
05/01/16 21:02:23
>934
(1) b,d ≦ 2 ≦ 2a,2c だから,
(a+b)/(b+c) = 2(a+c)/(b+d) -{(a+b)(2c-d) +b(2a-b)/2 +(c +b/2)(2c-b)}/[(b+c)(b+d)] ≦ 2(a+c)/(b+d).
(c+d)/(d+a) = 2(a+c)/(b+d) -{(c+d)(2a-b) +d(2c-d)/2 +(a +d/2)(2a-d)}/[(d+a)(b+d)] ≦ 2(c+a)/(d+b).
辺々たす。
(2) |a+b|^2 - |a-b|^2 = 4ab より、
ab≧0 のとき |a+b|≧|a-b|, 左辺 ≧1.
ab≦0 のとき |a+b|≦|a-b|, 左辺 ≧1.
ぬるぽ
>933
それを使って
> n=2m+1のときの証明は、n=2m+2のときに帰着されますよね？
を示すのは 多分無理、という意味と思われ．．．．
936:１３２人目の素数さん
05/01/17 01:18:58
>>935
なるほど
937:１３２人目の素数さん
05/01/17 02:36:53
>934(2) は、a, b が整数である必要はないですよね？
(a+b)(a-b)≠0 さえ満たしていれば…。
938:１３２人目の素数さん
05/01/17 02:38:10
> n=2m+1のときの証明は、n=2m+2のときに帰着されますよね？
たしかに、ダメですね。切腹します。
939:１３２人目の素数さん
05/01/17 02:56:16
>>903(4) 正の実数x,y,zがx+y+z=xyzを満たすとき、
F_n = (x^n)/√(1+x^2) + (y^n)/√(1+y^2) + (z^n)/√(1+z^2)
について、
n = 0, 1 のとき、F_n ≦ 3(√3)^n/2、 n = 2, 3, … のとき、F_n ≧ 3(√3)^n/2
でＯＫですよね？ あっているかどうか確認たのも～。
>>907(4) の方法で、x=tan(A), y=tan(B), z=tan(C), 0<A,B,C<π/2 とおくと、条件式より A+B+C=π
n=0 のときは、cosA+cosB+cosC ≦ 3cos[(A+B+C)/3]
n=1 のときは、>>903(2)
n≧2 のときは、0≦θ<π/2 において、左辺の関数が下に凸だから。
f(θ) = (tanθ)^n・cosθ
f'(θ) = (tanθ)^(n-1)・[n-(sinθ)^2]/cosθ
f''(θ) = (tanθ)^(n-2)・[(n-1)n-(sinθcosθ)^2]/(cosθ)^3 > 0
940:939
05/01/17 05:54:55
まとめると、こんな感じでせうか… (；´д｀)ﾊｧﾊｧ
1 ≦ F_0 ≦ 3/2
2 ≦ F_0 ≦ 3(√3)/2
n = 2, 3, … のとき、F_n ≧ 3(√3)^n/2
941:１３２人目の素数さん
05/01/17 06:07:48
もひとつおまけに
x/(1+x^2) + y/(1+y^2) + z/(1+z^2) ≦ 3√3/4
942:１３２人目の素数さん
05/01/17 06:14:02
>>940 ３行目は F_1 の書き間違い
>>941 は、正の実数x,y,zがx+y+z=xyzを満たす条件下で。
943:１３２人目の素数さん
05/01/17 06:19:05
たびたびスミマセン。
>>940の最小値には、イコールがつかないですね…
944:１３２人目の素数さん
05/01/17 06:47:51
G_n = (x^n)/(1+x^2) + (y^n)/(1+y^2) + (z^n)/(1+z^2)
こちらのほうも、作れそうですね。
n=0 のときは、(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2 となるけど
凹凸が一定でないので無理そうですが…
945:１３２人目の素数さん
05/01/17 06:49:15
次スレ立ててみました。
不等式への招待 第２章
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
946:１３２人目の素数さん
05/01/17 10:39:25
>939-940
0 < sinθ･cosθ = (1/2)sin(2θ) ≦ 1/2 なので
まとめると、こんな幹事でせうか…
n≦(1-√2)/2 のとき F_n ≧ 3(√3)^n /2,
0≦n≦1 のとき 0 < F_n ≦ 3(√3)^n /2,
(1+√2)/2≦n のとき F_n ≧ 3(√3)^n /2.
947:１３２人目の素数さん
05/01/17 21:58:51
>941
左辺 = (1/2)sin(2A) + (1/2)sin(2B) + (1/2)sin(2C) ≦ (3/2)sin(2π/3) = (3/4)√3.
>944
f(θ) = (tanθ)^n (cosθ)^2.
f '(θ) = n(tanθ)^(n-1) -2(tanθ)^(n+1)･(cosθ)^2.
f "(θ) = n(n-1)(tanθ)^(n-2)/(cosθ)^2 -2(n+1)(tanθ)^n + 4{(tanθ)^(n+2)}(cosθ)^2
= {n(n-1)[1+(tanθ)^2]^2 -2(n+1)(tanθ)^2[1+(tanθ)^2] +4(tanθ)^4}{(tanθ)^(n-2)}(cosθ)^2
= {n(n-1) +2(n^2 -2n-1)(tanθ)^2 +(n-1)(n-2)(tanθ)^4}{(tanθ)^(n-2)}(cosθ)^2
= {-D_n +[(n-1)^2 -2 +(n-1)(n-2)(tanθ)^2]^2}{(tanθ)^(n-2)}(cosθ)^2 /[(n-1)(n-2)].
ここに、判別式 D_n = [(n-1)^2 -2]^2 -n(n-2)(n-1)^2 = 4 -3(n-1)^2.
n≦1-(2/3)√3 = -0.154700538379252… または n≧1+(2/3)√3 = 2.154700538379252… のとき
D_n ≦0, f "≧0 (下に凸).
∴ (x^n)/(1+x^2) + (y^n)/(1+y^2) + (z^n)/(1+z^2) ≧ (3/4)(√3)^n.
ぬるぽ
948:未解答なもの （たぶん）
05/01/17 22:00:55
>>360 (D.D.Adamovic)
m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
(1). (m-2) Σ[k=1,m] |x_k|^2 = Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2.
(2). (m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.
(1)>>364、(2) 未解答
>>407 正の数 a,b,c に対して、1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/(1+abc)
>>783 整数 a, b, c, d が a>b>c>d>0、ad=bc をみたすとき、(a-d)^2 ≧ 4d+8
>>815 a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ
949:１３２人目の素数さん
05/01/17 22:26:39
>948
[407] は [477] [503] [>>504-505] の辺りにも．．．
950:１３２人目の素数さん
05/01/17 22:34:01
>>949
あぁほんとだ。
どおりで解いたことあるような気がしてた。
951:問題
05/01/17 22:52:33
三角形の辺の長さ a, b, c について
(1) (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2 ≦ 3abc
(2) (a+b-c)^a・(b+c-a)^b・(c+a-b)^c ≦ (a^a)(b^b)(c^c)
正の数 a, b, c, p, q, r に対して、
(3) p^4/a^3 + q^4/b^3 + r^4/c^3 ≧ (p+q+r)^4/(a+b+c)^3
(4) p+q+r=1 のとき、a+b+c ≧ (a^p)(b^q)(c^r) + (a^q)(b^r)(c^p) + (a^r)(b^p)(c^q)
(5) 非負実数 a, b, c に対して、(bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ 27(a^3+b^3+c^3)^2
(6) 自然数 n と a>b>0 に対して、a^n-b^n > n(a-b)(ab)^[(n-1)/2]
(7) 正の数 a_1, … a_k に対して、相乗平均を G とおくと、(1+a_1)…(1+a_n) ≧ (1+G)^n
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●| (7) は既出のような気がしますが…
ヽ::::......ワ...ノ (3) は一般化できそうな予感
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ よろしくお願いします。
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
952:未解答なもの （その２）
05/01/18 01:31:33
565 名前：三角形と三角関数の不等式[sage] 投稿日：04/11/01(月) 09:24:59
(1) [1963 Eotvos] 0<x<π/2 のとき、(1/(sin x)+1)(1/(cos x)+1) > 5
(2) [1978 Austria] tan k (k = 1度, …, 44度)の相加平均をA、相乗平均をGとおくとき、A > (√2)-1 > G
(3) [1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1
(4) 0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2 [類 ： 不等式への招待 P.39 ]
(5) 0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)
953: ◆BhMath2chk
05/01/18 02:00:00
>>783
ｐ＝ｇｃｄ（ａ，ｂ），ｑ＝ａ／ｐ，ｒ＝ｂ／ｐ，ｓ＝ｃ／ｑとすると
ａ＝ｐｑ，ｂ＝ｐｒ，ｃ＝ｑｓ，ｄ＝ｒｓ。
ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ＞０からｐ／ｓ＞ｑ／ｒ＞１。
ａ－ｄ≧（ｒ＋１）（ｓ＋１）－ｒｓ＝ｒ＋ｓ＋１≧２√（ｒｓ）＋１＝２√（ｄ）＋１。
等号が同時に成り立つことはないので
ａ－ｄ＞２√（ｄ）＋１。
（ａ－ｄ）＾２＞４ｄ＋４√（ｄ）＋１≧４ｄ＋５。
（ａ－ｄ）＾２は４で割ると余りは０か１なので
（ａ－ｄ）＾２≧４ｄ＋８。
954:１３２人目の素数さん
05/01/18 02:01:04
>951 (1)
b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z とおく。
(1) 左辺 = [x(y+z)^2 +y(z+x)^2 +z(x+y)^2]/4 = (y+z)(z+x)(x+y)/4 +xyz
= 3(y+z)(z+x)(x+y)/8 -(1/8){x(y-z)^2 +y(z-x)^2 +z(x-y)^2} ≦ 3(x+y)(y+z)(z+x)/8 = 右辺.
(7) 初めて見たが...
f(x)=Ln(1+e^x) とおくと f '(x)=(e^x)/(1+e^x), f"(x) =(e^x)/(1+e^x)^2 >0 (下に凸) より。
ぬるぽ
955:１３２人目の素数さん
05/01/18 03:04:14
>952 (>>565)
(1) {1+sin(x)}{1+cos(x)} -5sin(x)cos(x) = 1 + sin(x)+cos(x) -4sin(x)cos(x)
= 1 + 1 -2sin(2x) ≧ 2{1-sin(2x)} >0.
(2) y=tan(x) は下に凸だから、[tan(0)+tan(π/4)]/2 ≧ [tanθ + tan(π/4 -θ)]/2 ≧ tan(π/8).
また、tanθ･tan(π/4 -θ) = 1 - tanθ - tan(π/4 -θ) ≦ 1-2tan(π/8) = {tan(π/8)}^2.
∴ 1/2> A > tan(π/8) = √2 -1 > G >0.
(6) -a+b+c=x, a-b+c=y, a+b-c=z とおくと、相加･調和平均より
1/a = 2/(y+z) ≦ (1/y +1/z)/2,
1/b = 2/(z+x) ≦ (1/z +1/x)/2,
1/c = 2/(x+y) ≦ (1/x +1/y)/2.
辺々たす。
ぬるぽ
956:１３２人目の素数さん
05/01/18 03:17:06
こんな遅くまで、乙です。
新スレのほうに、例の Majorizatoin Inequality と
外国の不等式ヲタのサイトを発見したので、見てみてください。（笑）
957:１３２人目の素数さん
05/01/18 08:17:50
>951 (7)
S_kは{a_i}のk次の基本対称式, G = (S_n)^(1/n) = (a_1･a_2････a_n)^(1/n) とおく。
相加･相乗平均により、
左辺 = Σ[k=0,n] S_k ≧ Σ[k=0,n] C[n,k]･G^k = (1+G)^n.
ぬるぽ
958:１３２人目の素数さん
05/01/18 11:55:12
>951 (2)
b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z とおくと、x+y+z=a+b+c.
yz = (c+a-b)(a+b-c)= a^2 - (b-c)^2 ≦ a^2 など.
Ln(左辺) = (1/2){(y+z)Ln(z) + (z+x)Ln(x) + (x+y)Ln(y)} = (1/2){y･Ln(yz) + z･Ln(zx) + x･Ln(xy)}
≦ y･Ln(a) + z･Ln(b) + x･Ln(c) ≦ a･Ln(a) +b･Ln(b) +c･Ln(c) = Ln(右辺).
>928 (凡例)
nが偶数, 0<a<b のとき x_{2k-1}=Xo, x_{2k}=Xe≠Xo に対して
左辺 = (n/2){Xo/(aXe+bXo) +Xe/(aXo+bXe)} = (n/2)[a(Xo-Xe)^2 +2(a+b)XoXe]/{(aXe+bXo)(aXo+bXe)}
= [n/(a+b)]{1 -(a/2)(b-a)(Xo-Xe)^2/[XoXe(a+b)^2 +ab(Xo-Xe)^2]} < n/(a+b) = 右辺.
となるので、nが偶数のときは a≧b が必要かと....
959:１３２人目の素数さん
05/01/18 22:02:56
>951 (2)
[958]の訂正 死んでお詫びを……(AA省略)
Ln(1+x) ≦x より a･Ln(a+b-c) = a{Ln(a)+Ln[1+(b-c)/a]} ≦ a･Ln(a) +b-c.
これを循環的にたす。
>951 (5)
bc+ca+ab = (a^2 +b^2 +c^2) -(1/2)[(b-c)^2 +(c-a)^2 +(a-b)^2] ≦ (a^2 +b^2 +c^2).
(a+b+c)^2 = 3(a^2 +b^2 +c^2) -(b-c)^2 -(c-a)^2 -(a-b)^2 ≦ 3(a^2 +b^2 +c^2).
辺々かけて、 左辺 ≦ 9(a^2 +b^2 +c^2)^3.
これと [>>153]の(補題) [>>688] を使って、
左辺 ≦ 9(a^2 +b^2 +c^2)^3 ≦ 27(a^3+b^3+c^3)^2 = 右辺.
ぬるぽ
960:１３２人目の素数さん
05/01/18 22:17:02
～～相加･相乗平均の練習問題～～
>951(4)
p+q+r=1 ⇒ pa+qb+rc ≧ (a^p)(b^q)(c^r) これを循環的にたす。
>951(6)
(a^n-b^n)/(a-b) = a^(n-1) +a(n-2)b +…… + ab^(n-2) +b^(n-1) > n(ab)^[(n-1)/2].
ぬるぽ
961:１３２人目の素数さん
05/01/19 03:35:24
>>944>>947
0<A,B,C<π/2, A+B+C=π のとき、>>580より次が成り立つ。等号はA=B=C=π/3
0 < cosA・cosB・cosC ≦ 1/8
G_n = (tanA)^n (cosA)^2 + (tanB)^n (cosB)^2 + (tanC)^n (cosC)^2 において、
G_0 = (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1-2cosA・cosB・cosC
G_2 = (sinA)^2 + (sinB)^2 + (sinC)^2 = 2+2cosA・cosB・cosC
だから、G_0 > 3/4、 0 < G_2 < 9/4
>>947より、0 < G_1 ≦ (3/4)√3、 n=3,4,…のとき G_n ≧ (3/4)(√3)^n
でよろしいでせうか？ (；´д｀)ﾊｧﾊｧ
962:未解答リスト （これで全部？）
05/01/19 05:34:09
>>360 (D.D.Adamovic) の(2)番。 (1)の解答は>>364
m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
(1). (m-2) Σ[k=1,m] |x_k|^2 = Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2.
(2). (m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.
>>565
(3) [1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1
(4) 0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2 [類 ： 不等式への招待 P.39 ]
>>815 a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ。
>>908 (3) 正整数p,qに対し、|p/q-√2|≧(6-4√2)/(q^2)
>>951 (3) 正の数 a, b, c, p, q, r に対して、 p^4/a^3 + q^4/b^3 + r^4/c^3 ≧ (p+q+r)^4/(a+b+c)^3
963:１３２人目の素数さん
05/01/19 05:50:03
>>951(3) の類題をコレクションの中から発見！
このスレには書いてなかったよね？ （いちおう検索したけど…）
【類題】 文字はすべて正の数とする。
p^2/a + q^2/b + r^2/c ≧ (p+q+r)^2/(a+b+c)
（証）
p^2/a + q^2/b - (p+q)^2/(a+b) = (aq-bp)^2/[ab(a+b)] ≧ 0
∴ p^2/a + q^2/b ≧ (p+q)^2/(a+b)
これを２回用いて、
p^2/a + q^2/b + r^2/c ≧ (p+q)^2/(a+b) + r^2/c ≧ (p+q+r)^2/(a+b+c)
等号成立条件は
aq=bp かつ (a+b)r=c(p+q) ⇔ p/a = q/b = r/c
964:１３２人目の素数さん
05/01/19 05:57:32
>>955
(>>565)(1) [1963 Eotvos] 0<x<π/2 のとき、(1/(sin x)+1)(1/(cos x)+1) > 5
の解答について質問です。
{1+sin(x)}{1+cos(x)} -5sin(x)cos(x)
＝ 1 + sin(x)+cos(x) -4sin(x)cos(x)
＝ 1 + 1 -2sin(2x) ← ここは なぜですか？
≧ 2{1-sin(2x)}
＞ 0.
965:964
05/01/19 05:59:22
あぁ、分かりました。
問題文に 0<x<π/2 とあるから、合成して sin(x)+cos(x) ≧ 1 なんですね。
スマソ。
966:１３２人目の素数さん
05/01/19 09:22:16
>962
>>565(5)もまだだよ。
967:１３２人目の素数さん
05/01/19 09:30:30
>>953
なるほど。ありがとうございまする。
こりゃ思いつかんわ…。
968:１３２人目の素数さん
05/01/19 19:09:06
>951(3) >963
a,b,c,n,p,q,r>0. p/a=P, q/b=Q, r/c=R とおく。 y=x^(n+1) は下に凸なのでJensenにより、
左辺 = p^(n+1)/(a^n) + q^(n+1)/(b^n) +r^(n+1)/(c^r) = a･P^(n+1) +b･Q^(n+1) +c･Q^(n+1)
≧ (a+b+c){(aP+bQ+cR)/(a+b+c)}^(n+1) = (p+q+r)^(n+1) /(a+b+c)^n = 右辺.
等号条件は P=Q=R すなわち p/a = q/b = r/c.
ぬるぽ
969:968
05/01/19 19:59:11
[968] に写し間違い,スマソ。 r^(n+1)/(c^n)、 c･R^(n+1)
[951]への解答レス（主なもの）
(1)[954] (2)[959] (3)[968] (4)[960] (5)[959] (6)[960] (7)[954][957]
>961
3/4 ≦ G_0 < 1、 2 < G_2 ≦ 9/4 でいいんぢゃない？
（0<A,B,C<π なら 3/4 ≦ G_0 < 3、 0 < G_2 ≦ 9/4）
970:１３２人目の素数さん
05/01/19 21:53:12
>>811(1)も未解答では？
971:１３２人目の素数さん
05/01/19 23:49:36
実数a[k],k=1,2,...,nに対し
|sin(a[1])|+|sin(a[2])|+...+|sin(a[n])|+|cos(a[1]+a[2]+...+a[n])|≧1
972:１３２人目の素数さん
05/01/20 00:59:14
>>969
㌧クス。
973:未回答リスト （>>962） に追加
05/01/20 09:33:33
↑ の問題と、>>962のリストと、次の３問。
>>563(7) 自然数 m, n と実数 0≦x≦1 に対して、(1-x^n)^m+{1-(1-x)^m}^n ≧1
>>565(5) 0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)
>>811(1) 1対1の上への関数 f : [0,1]→[0,1] は狭義単調増加であるとし、逆関数をgとおく。
0<t<1のとき、∫[0,1] (f(x)+g(x))^t dx≧(2^t)/(1+t) を示せ。
974:１３２人目の素数さん
05/01/20 09:36:51
ごめん、563(7) は>>662にあった
975:１３２人目の素数さん
05/01/20 10:08:21
>>973 さらに追加
>>791
各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B ∠C＞π/2を満たす。
この時、AB+BC+CA≧77を示せ
等号成立条件しか書かれていないので未解決としてよいかと
出題は某国数学オリンピック。
976:１３２人目の素数さん
05/01/20 12:23:46
>971
a[k]/π に最も近い整数を q[k]、r[k] = a[k] - q[k]π とすると, |r[k]| ≦ π/2.
左辺 = |sin(r[1])| + …… + |sin(a[n])| + |cos(S)|
≧ (2/π)(|r[1]|+|r[2]|+ …… +|r[n]|) + |cos(S)| = (2/π)Θ + |cos(S)|.
ここに S = r[1] + r[2] + …… + r[n], Θ = |r[1]| + |r[2]| + …… + |r[n]| とおいた。
Θ ≧ π/2 のときは成立。
Θ < π/2 のとき 0 ≦ S ≦ Θ より, 左辺 ≧ (2/π)Θ + cosΘ ≧1.
ぬるぽ
>974
ごめん、563(7) は >>706-707 で解決のように見えまつが、>>705 (未解決)を使ってますた。
977: ◆BhMath2chk
05/01/20 14:00:00
｜ｓｉｎ（ｘ＋ｙ）｜
≦｜ｓｉｎ（ｘ）｜｜ｃｏｓ（ｙ）｜＋｜ｃｏｓ（ｘ）｜｜ｓｉｎ（ｙ）｜
≦｜ｓｉｎ（ｘ）｜＋｜ｓｉｎ（ｙ）｜。
１
≦｜ｓｉｎ（Σ（ａ（ｋ）））｜＋｜ｃｏｓ（Σ（ａ（ｋ）））｜
≦Σ｜ｓｉｎ（ａ（ｋ））｜＋｜ｃｏｓ（Σ（ａ（ｋ）））｜。
978:１３２人目の素数さん
05/01/20 16:09:47
ウホッ いい不等式 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍ
979:１３２人目の素数さん
05/01/20 16:28:30
一年二十四日。
980:１３２人目の素数さん
05/01/20 22:13:31
>>951(6) を改造。
自然数 n と a>b>0 に対して、(n/2)(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)] > a^n-b^n > n(a-b)(ab)^[(n-1)/2]
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
981:１３２人目の素数さん
05/01/20 22:28:19
∫[0,1]{x/cos(x)}dx < log(2)
982:１３２人目の素数さん
05/01/21 06:05:38
>>976
最後の行
> Θ < π/2 のとき 0 ≦ S ≦ Θ より, 左辺 ≧ (2/π)Θ + cosΘ ≧1.
において、
左辺 ≧ (2/π)Θ + cosΘ
ここまでは分かりましたが、それが ≧1 となるのは何故ですか？
983:982
05/01/21 06:12:39
まさか、f(θ) = (2/π)θ + cosθ を微分して、
0<θ<π/2 における増減を調べて ≧1 を確認
なんて面倒なことをしないですよね？
984:982
05/01/21 06:26:11
グラフから、0≦θ<π/2 において cosθ ≧ 1-(2/π)θ であることを使うのですか？
985:１３２人目の素数さん
05/01/21 07:26:53
>>951(5) [>959]
以下の解法は合ってますか？ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
x≧0 において、y=x^3は下に凸だからJensenの不等式より
(a^3+b^3+c^3)/3 ≧ [(a+b+c)/3]^3 … (1)
対称性から a≧b≧cとしてよく、チェビシェフの不等式より
(a^2+b^2+c^2)/3 ≧ [(a+b+c)/3]・[(ab+bc+ca)/3] … (2)
2[(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)] = (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≧ 0 より
(a^2+b^2+c^2)/3 ≧ (ab+bc+ca)/3 … (3)
式は負でないから、(1)、(2)を辺々かけて、(3)を用いる。
986:１３２人目の素数さん
05/01/21 09:27:43
>981
0<x<√2 ⇒ -cos(x)>-1, -sin(x)>-x, cos(x)>1-(1/2)x^2.
x/cos(x) < x/{1-(1/2)x^2}.
∫_[0,a] x/cos(x) dx < ∫_[0,a] x/{1-(1/2)x^2} dx = [-Ln{1-(1/2)x^2}](x=0→a) = Ln{2/(2-a^2)}.
>982-984
f(θ)は上に凸だから、f(θ) ≧ {(π/2-θ)f(0) + θf(π/2)}/(π/2) = 1.
>985
(a^3+b^3+c^3)/3 ≧ [(a+b+c)/3]・[(a^2+b^2+c^2)/3] … (2)
ぢゃない？
987:１３２人目の素数さん
05/01/21 09:56:55
>>986
そうそう、写し間違いですた。ゴメソ。
988:１３２人目の素数さん
05/01/21 16:40:19
【問題】 正の実数 x(k,j)、自然数 m, n に対して、次式を示せ。
[x(1,1)^n + … + x(1,m)^n]…[x(n,1)^n + … + x(n,m)^n] ≧ [x(1,1)…x(n,1) + … + x(n,1)…x(n,m)]^n
うまく証明できません。たのも～。
>>951(7) は、m=2、x(n,1)^n=1、x(n,2)^n=a_ の場合になりますよね？
どっかで見たことあると思ったら、これだったか…。
発掘元
URLﾘﾝｸ(user.ecc.u-tokyo.ac.jp)の8ページ目
989:１３２人目の素数さん
05/01/21 22:30:16
>980
相加･相乗平均により
{k･a^(n-1) + (n-1-k)･b^(n-1)} / (n-1) ≧ a^k･b^(n-1-k).
これを k=0～n-1 について加えて(1/2)を掛けると
(n/2)[a^(n-1) +b^(n-1)] ≧ a^(n-1) +a^(n-2)b + …… +ab^(n-2) +b^(n-1) = (a^n -b^n)/(a-b).
>988
●知られざる(?)コーシー・シュワルツの拡張形●
nについての帰納法による。
n=1のときは 明らか。
n=2のときは "コーシー・シュワルツの不等式になりますね。"
nが偶数のとき、 n/2 について成立ち、また２についても成立つことから……
nが奇数のとき、 n+1 については成立つ。これを
X(k,i)= x(k,i)^{n/(n+1)} (1≦k≦n), X(n+1,i)={x(1,i)x(2,i)…x(n,i)}^{1/(n+1)}
に適用すると、与式の両辺に (右辺)^(1/n) を掛けた式が……
ぬるぽ
990:１３２人目の素数さん
05/01/21 23:45:56
相加相乗でも解けるね
991:１３２人目の素数さん
05/01/22 03:32:58
>>989
さすが、いつもながら ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！です。
>>990
詳細キボンヌ。
992:１３２人目の素数さん
05/01/22 03:59:57
>>988-989
Cauchyの不等式って積分に拡張したSchwarzの不等式があるよね。
「知られざる（？）コーシー・シュワルツの拡張形」 も、積分に拡張できるでしょうか？
> 正の実数 x(k,j)、自然数 m, n に対して、
> [x(1,1)^n + … + x(1,m)^n]…[x(n,1)^n + … + x(n,m)^n] ≧ [x(1,1)…x(n,1) + … + x(n,1)…x(n,m)]^n
もし出来るとしたら、こんな感じですか？
【予想】
区間 [a, b] で連続な実関数 f_1, …, _m に対して
[∫[a, b](f_1(x))^n dx]…[∫[a, b](f_m(x))^n dx] ≧ [∫[a, b]f_1(x)…f_m(x) dx]^n
993:１３２人目の素数さん
05/01/22 04:30:50
>>992
【Schwarzの不等式】
区間 [a, b] で連続な実関数 f, g に対して
[∫[a, b]f(x)^2 dx]…[∫[a, b]g(x)^2 dx] ≧ [∫[a, b]f(x)g(x) dx]^2
（証明）
任意の実数 t に対して ∫[a,b](tf(x)+g(x))^2 dx ≧ 0 … (☆)
展開して (t^2)∫[a,b](f(x))^2 dx + 2t∫[a,b]f(x)g(x) dx + ∫[a,b](g(x))^2 dx ≧ 0
∫[a,b](f(x))^2 dx>0 のとき、上式の左辺の判別式 D≦0 より、示すべき不等式を得る。
等号は D=0 のときで、このとき (☆) は あるt=cにおいて ∫[a,b](cf(x)+g(x))^2 dx=0
となるから、区間 [a, b] でcf(x)+g(x)=0
∫[a,b](f(x))^2 dx=0 のとき、区間 [a, b] で f(x)=0 より、示すべき不等式で等号が成り立つ。
（このとき、f(x) = 0×g(x) と書ける）
等号成立条件は、f, g の一方が他方の定数倍のとき。
994:１３２人目の素数さん
05/01/22 04:32:18
>>992
その予想は、993の方法では難しそうでつね。
そもそも成り立つかどうか知らないし…。
（ ﾟ∀ﾟ） ﾃﾍｯ
995:１３２人目の素数さん
05/01/22 04:34:40
>>989
●知られざる(?)コーシー・シュワルツの拡張形● の等号成立条件は、どうなるのでしょうか？
996:１３２人目の素数さん
05/01/22 05:04:22
>>980
> 自然数 n≧2 と a>b>0 に対して、(n/2)(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)] > a^n-b^n
（別解１）
x>0、n≧2 において y=x^(n-1) は下に凸だから、
区間 [b, a] において、この間数とx軸で囲まれる部分の面積を考えて
（台形）≧ ∫[b, a]x^(n-1)dx
(1/2)(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)] > (a^n-b^n)/n
997:１３２人目の素数さん
05/01/22 05:18:16
（別解２）
a/b = t (>1) とおくと、示すべき不等式は
(n/2)(t-1)(t^(n-1)-1) > t^n -1 …(☆)
これを示そう。
f(t) = n(t-1)(t^(n-1)-1) -2(t^n -1)
f'(t) = n(n-2)t^(n-1) -n(n-1)t^(n-2) +n
f''(t) = n(n-1)(n-2)t^(n-3)(t-1)
t>1 において f''(t)>0、f'(1)=0 より、f'(t)>0 だから fは単調増加
f(t)>f(1)=0
998:不等式ヲタ
05/01/22 05:19:29
このスレが、ここまで盛り上がったのも皆さんのおかげです。
きっと>>1も草葉の陰で喜んでいることでしょう。
次スレもよろしくお願いします。
…と、なんとなく締めくくってみる。
＿＿＿
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|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
999:１３２人目の素数さん
05/01/22 05:22:48
次スレ
不等式への招待 第２章
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
1000:１３２人目の素数さん
05/01/22 05:24:02
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