05/01/11 17:50:53
>>871 (5)
まづ 1-t^2 < 1-t^2 +(1/8)(t^6){1+(1/8)t^2} = [1-(1/2)t^2 -(1/8)t^4]^2.
∴ 右辺 = 2 -√(1-t^2) > 2 - [1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4].
∴ tan(t)/t < 2 -[1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4] が示せればよい。
F(t) = {2 -[1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4]}t - tan(t) とおくと F(0)=0. 次に F '(t)>0 を示す。
F '(t) = 1 + (3/2)t^2 + (5/8)t^4 - 1/[cos(t)^2] = {[1 +(3/2)t^2 +(5/8)t^4]cos(t)^2 -1}/[cos(t)^2]
ここで t>0 ⇒ -cos(t) > -1, -sin(t) > -t, cos(t) > 1 -(1/2)t^2 を使って,
F '(t) > {[1+(3/2)t^2 +(5/8)t^4][1-(1/2)t^2]-1}/[cos(t)^2] ={1-(1/8)t^2 -(5/16)t^4}(t^2)/[cos(t)^2].
ここで、t^2 <1 だから F '(t)>0.
∴ tan(t)/t < 2 -[1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4] < 2-√(1-t^2).
ぬるぽ
>>871 への解答レス（主なもの）
(1) [874][876] (2) [873] (3)参った. (4) [880][881] (5) これ.