05/01/09 07:05:47
ネタ補充
(1) 実数x,y,z, 正の偶数nに対し
(x+y+z){x^(n+1)+y^(n+1)+z^(n+1)}
≧ 2(xy+yz+zx)(x^n+y^n+z^n)-3xyz{x^(n-1)+y^(n-1)+z^(n-1)} を示せ。
(2) F(n)をFibonacci数列とする。
Σ[n=1..∞] 1/F(n) > 803/240 を示せ。
(3) 2^(3^(3^(-1))) < e を示せ。
(4) 三角形の周長をL, 面積をSとすると
S≦(L^2)/(12√3) を示せ。
(5) 0<t≦1 のとき
tan(t)/t < 2-√(1-t^2) を示せ。
872:１３２人目の素数さん
05/01/09 11:16:07
>>783
これもよろしくお願いします。
873:１３２人目の素数さん
05/01/09 18:19:09
(2) Σ[n=1,6] 1/F_n = 1 +1 +1/2 +1/3 +1/5 +1/8 = 758/240.
左辺 > Σ[n=1,12] 1/F_n = 758/240 +1/13 +1/21 +1/34 +1/55 +1/89 +1/144
= 758/240 + 207530077/N > 758/240 +204459255/N = 758/240 + 9/48 = 右辺.
ここに N=16*9*5*7*11*13*17*89 = 1090449360.
ぬるぽ
874:１３２人目の素数さん
05/01/10 15:05:49
>871 (1)
n は整数とし、 左辺 - 右辺 = F_n とおく。
x^n の係数は (x+y+z)x - 2(xy+yz+zx) +3yz = (x-y)(x-z) なので >>611 の方法を使う。
y は x,z の間にあるとすると (x-y)(y-z)≧0, {x^n -y^n +z^n}≧0 ゆえ、
F_n = (x-y)(x-z)x^n +(y-x)(y-z)y^n +(z-x)(z-y)z^n = (x-y)^2(x^n) +(y-z)^2(z^n) +(x-y)(y-z){x^n -y^n +z^n} ≧0.
F_{-1} = (t^2 -3su)/u, F_0=s^2 -3t, F_1=s^3 -4st +9u, F_2=s^4 -5ts^2 +4t^2 +6su, ･････.
(応用例) >>858
4t(s^4 -2s^2t +4su +t^2) -9(st-u)^2 = 4ts^4 -17(st)^2 +34stu +4t^3 -9u^2
= 4t･F_2 +{(3t^2 -su)/s}･F_1 +(s +9t/s)u･F_0 ≧0.
ぬるぽ
[873] は >871(2) の解答でつ。ｽﾏｿ