不等式スレッドat MATH
不等式スレッド - 暇つぶし2ch817:816
04/12/20 17:55:23
>811(4)
 Stirlingの不等式 n^(n+1/2)・exp(-n)・√(2π) < n! < n^(n+1/2)・exp(-n +1/(12n))・√(2π) から、
 (左辺) = {(2^n)(n!)}^2 /(2n)! > √(πn)・exp(-1/24n) = 12.522701
ぬるぽ

818:770
04/12/21 13:14:46
>>565(7), >>733
 r>0 とする。
 左辺 = (b+c)cosA/(a^r) + (c+a)cosB/(b^r) + (a+b)cosC/(c^r)
 = a{cosB/(b^r) +cosC/(c^r)} +b{cosC/(c^r) +cosA/(a^r)} +c{cosA/(a^r) +cosB/(b^r)}
 a,b,cの大小とA,B,Cの大小は一致するから
左辺 ≧ a{cosB/(c^r) +cosC/(b^r)} +b{cosC/(a^r) +cosA/(c^r)} +c{cosA/(b^r) +cosB/(a^r)}
 = (b・cosC+c・cosA)/(a^r) + (c・cosA+acosB)/(c^r) + (a・cosB+b・cosA)/(c^r)
 第一余弦定理より
 左辺 ≧ 1/a^(r-1) + 1/b^(r-1) + 1/c^(r-1).

819: ◆BhMath2chk
04/12/22 22:00:01
>>812
H(H(a,b),H(c,d))=H(a,b,c,d)。
H(a,b,c,H(a,b,c))=H(a,b,c)。
H(ab,ac,ad)=aH(b,c,d)。
H(1,1,1)=1。
a≦c,b≦dのときH(a,b)≦H(c,d)。
(1/4)H(a,b,c,d)≦(1/3)H(a,b,c)。
lim_{d->+∞}H(a,b,c,d)=(4/3)H(a,b,c)。
H(a,b)+H(c,d)≦H(a+c,b+d)。
H(a,b,c)+H(d,e,f)≦H(a+d,b+e,c+f)。
H(a,b,c,d)+H(e,f,g,h)≦H(a+e,b+f,c+g,d+h)。


820:132人目の素数さん
04/12/23 06:42:41
>819 調和平均 (;´д`)ハァハァ
   ___
 ./  ≧ \
 |::::  \ ./ |
 |::::: (● (● | みんな グッジョブ!
 ヽ::::... .ワ....ノ    n  
 ̄ ̄   \    ( E)
フ     /ヽ ヽ_//

821:132人目の素数さん
04/12/24 03:13:38
Green Book = 青チャート



822:132人目の素数さん
04/12/24 03:14:29
真似したり、関係の無い事言ったり、無茶苦茶書くな 荒らしは

 ~~~終了~~~
 
ageるな馬鹿タレ

823:言い切れる???
04/12/24 03:43:11
-∞/∞は負って言えますか???
教えてください!!!

824:132人目の素数さん
04/12/24 03:44:04
真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな 

荒らしは
 ~~~終了~~~
 
ageるな馬鹿タレ

お前が数学出来ないのはわかるが八つ当たりするな

825:132人目の素数さん
04/12/24 07:55:18
>811(3)
 非負実係数だから x≧0 ⇒ f(x)>0. ∴ 実根はすべて負である。
 これらを -a_1, ・・・ -a_n とおくと、 f(x) = Π[i=1,n] (x+a_i) = Σ[k=1,n] S_{n-k} x^k.
 x^k の係数 S_{n-k} は{a_1,・・・a_n}の n-k次 の基本対称式。
 相加・相乗平均により S_k ≧ C[n,k]・g^k, ここに g=(S_n)^(1/n)=(定数項)^(1/n).
 f(x) ≧ Σ[k=1,n] C[n,n-k] g^(n-k) x^k = (x+g)^n.

826:825
04/12/24 18:02:26
↑最下行を修正、すまそ。 x≧0 ⇒ f(x) ≧ ・・・・・ = (x+g)^n.

(1)(2) はむずぽ.....5点が平面上にないと無理でつか?

827:132人目の素数さん
04/12/24 22:54:10
811(2)は、Kurschak1981ですね。
URLリンク(www.kalva.demon.co.uk)

828:132人目の素数さん
04/12/24 22:56:57
普通に考えると凸包で場合わけかなぁ、3通りあるけど
果たしてこれでいいものか。図を描いてみないと分からんな……

829:132人目の素数さん
04/12/24 23:01:02
すまん、828は忘れてくれ。ムリポ……

830: ◆BhMath2chk
04/12/25 08:00:00
恐ろしく難解な問題をだせ!
スレリンク(math板)
URLリンク(mimizun.com)

>>624-


831:132人目の素数さん
04/12/27 07:06:14
【問題】 正の数 a, b, c に対して a/b + b/c + c/a ≧ (a+b+c)/\sqrt[3]{abc}
発掘元 B3780 URLリンク(www.komal.hu)

>>647(2)、解答>>680
 [1997 Belarus] a/b + b/c + c/a ≧ (b+c)/(a+b) + (c+a)/(b+c) + (a+b)/(c+a)

ところで、Cauchy-schwarz などから
 a/b + b/c + c/a ≧ (a+b+c)^2/(ab+bc+ca) ≧ (b+c)/(a+b) + (c+a)/(b+c) + (a+b)/(c+a)
が成り立つのが分かりますが、この不等式のどこかに
 (a+b+c)/\sqrt[3]{abc}
が収まるでしょうか?

832:132人目の素数さん
04/12/27 11:44:30
>831
 相加・相乗平均: (1/3)(a/b + a/b + b/c) ≧ {(a^2)/bc}^(1/3) = a/[(abc)^(1/3)] を循環的にたす。
 どこにも収まらな伊予柑。

833:132人目の素数さん
04/12/28 13:26:07
>>699
ageるとすぐ回答が出てくる一例

834:132人目の素数さん
04/12/28 13:35:20
>>833
ageることに理由をつけたがる一例

835:132人目の素数さん
04/12/28 14:29:39
晒しあげとくか

836:132人目の素数さん
04/12/29 05:35:30
>614 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:04/12/28(火) 21:02:34
>
>0より大きい相異なる3実数x、y、zに対し
>(x^3+y^3+z^3-3xyz)/|(x-y)(y-z)(z-x)|
>の最小値を求めよ。
>
>
>618 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:04/12/28(火) 22:30:23
>>>614
>数学セミナーエレガントな問題を求むのコーナーに寄せられた
>問題だな。かなーーり昔だったと思う。
>
>解法は与式を二乗して、基本対称式使って書き換えて
>解と係数の関係を使って愚直にやっていくというもの。
>
>答えはきれいな形にならず、三乗根が入ってきたはずだ。


東大入試問題スレより。詳細キボン

837:132人目の素数さん
04/12/29 05:51:14
検索では掛かりませんねぇ

838: ◆BhMath2chk
04/12/29 09:00:00
 x^3+y^3+z^3-3xyz
=(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2。
x,y,zの差を変えずにx+y+zを小さくできるので最小値はない。


839:132人目の素数さん
04/12/29 09:29:56
>>836
URLリンク(www.nippyo.co.jp)
92年周辺探してみ。

840:132人目の素数さん
04/12/29 11:31:03
>>839
㌧クス。
年明けが待ち遠しいぜ!
今すぐ図書館の窓割って探したいくらいだ!

841:132人目の素数さん
04/12/29 11:42:54
1: 【社会】「解法が知りたくて…」 図書館の窓を割り潜入した数ヲタ逮捕 … 埼玉 (132)

「図書館が開くまで待てなかった」 ・・・ 大学図書館の窓を割って進入し、
書庫の雑誌を読み漁っていた数ヲタ(22)を、29日夕方、公共物破損および
不法侵入の罪で逮捕した。

調べでは、棒掲示板に書込みされていた数学の問題の解法を調べるために
忍び込んだという。逮捕の際には、「邪魔をするな。読み終わるまで待ってくれ」
と自分の行いに全く反省をしていなかったと言う。

842:132人目の素数さん
04/12/29 12:10:05
実数 x, y が 0≦x≦2、0≦x-y≦2 をみたすとき、xy(y+1) の最大最小値。

843:132人目の素数さん
04/12/29 15:28:07
むしゃくしゃしてやった。
悪気はなかった。
いまは反省している。

844:132人目の素数さん
04/12/29 16:43:08
>>842
学コン

845:132人目の素数さん
04/12/29 17:43:30
>836
 z≒0 の場合を考えるんだろうな。
 与式 = (x^3 +y^3)/|xy(x-y)| ≧ c, 但し c≡(1+√3)・√{(3/2)√3} = 4.4036694750416・・・・・
 (略証) (x^3 +y^3)^2 - [cxy(x-y)]^2 = [x^2 -(1+√3)xy +y^2]^2 [x^2 +2(1+√3)xy +y^2] ≧0.
   等号成立は [x^2 -(1+√3)xy +y^2]=0 すなわち x/y ={(1+√3)±√(2√3)}/2 のとき.
 となるはずの所だが、本題は z>0 なので等号は成田たね.

>842
 スレ違いかも知れんが、
 内部には極値は無さそうだから、平行四辺形の周を調べるんだろうな。
 (x,y)=(1+√(1/3), -1+√(1/3)) で最小値 -2/(3√3) = -0.38490017945975・・・・
 (x,y)=(2,2) で最大値 12.
ぬるぽ

846:132人目の素数さん
04/12/29 17:53:14
z≒0の時っていうのが分からんorz

それに上の結果と一致しないし、三乗根入ってくると
解答者は言っているのだが……それが正しいかさえ分からん。




救済キボンヌ

847:845
04/12/29 18:38:04
>846
 x,y>z>0 としても一般性を失わない。[838]から F(x,y,z) > F(x-z,y-z,0).
 となるから、F(X,Y,0) の下限を調べるんだろうな....

848:132人目の素数さん
04/12/29 20:55:53
このスレの獣人ならもちろんシュプリンクラーの不当式勝ったよな。

849:132人目の素数さん
04/12/29 21:08:36
>>847
thx 当たり前のことっすね。。。orz

850:132人目の素数さん
04/12/29 21:46:16
>>848
当然だ。何をいまさら!
チンコ洗って出直してこいッ!

851:132人目の素数さん
04/12/29 22:56:45
>>850
女子はどうすればよいでつか?

852:132人目の素数さん
04/12/30 10:59:07
図書館潜入、模範解答報告マダァ?

853:132人目の素数さん
04/12/30 18:09:27
>851
メチンコ洗って出直してこいッ!
なんなら洗ってやろうか?

854:132人目の素数さん
04/12/31 12:07:52
おらおら、まだか?

855:132人目の素数さん
05/01/04 13:25:45
0<1

856:132人目の素数さん
05/01/04 14:36:20
    |┃三 ./  ≧ \  | あけおめ、ことよろ!
    |┃  |::::  \ ./   | 今年も たのも~!
    |┃ ≡|::::: (● (●  <_________
______.|.ミ\ ヽ::::... .ワ......ノ_ /ミ !____
    |┃=__    __=┃|
    |┃ ≡ )   (  ≡ ┃|
    |┃  / /\ \  ┃| ガラッ

857:132人目の素数さん
05/01/04 22:46:12
>>836
与式を F(x,y,z) とおいてまとめると・・・
[838]
F(x,y,z) = (x+y+z)・g(x-y,y-z,z-x), g>0.
[847]
 x,y>z>0 としても一般性を失わない。[838]から F(x,y,z) > F(x-z,y-z,0).
 となるから、下限 F(X,Y,0) の下限を調べるんだろう。
[845]
 F(x,y,0) = (x^3 +y^3)/|xy(x-y)| ≧ c, 但し c≡(1+√3)・√{(3/2)√3} = 4.4036694750416・・・・・
 (略証) (x^3 +y^3)^2 - [cxy(x-y)]^2 = [x^2 -(1+√3)xy +y^2]^2 [x^2 +2(1+√3)xy +y^2] ≧0.
みたいになるかな?

注)例によって c の発見には微分法を使いますたが、代数的方法を示していまつ...

858:132人目の素数さん
05/01/05 14:50:09
正の数 x, y, z に対して、次式を示せ。
 (xy+yz+zx){1/(x+y)^2 + 1/(y+z)^2 + 1/(z+x)^2} ≧ 9/4

(x+y)^2 +(y+z)^2 + (z+x)^2 ≧ 4(xy+yz+zx) なので
Cauchy-Schwarz は使えなかったので、対称式を持ち出した。

x+y+z=s, xy+yz+zx=t, xyz=u とおくと、示すべき不等式は
 4t(s^4-2s^2t+4su+t^2) ≧ 9(st-u)^2
差を取って証明しようとしたけど、うまくいかんちん。
もしかして計算間違っていますか? たのも~

859:132人目の素数さん
05/01/06 02:50:34
非負実数 a, b に対して、次を示せ。
 4(a^9+b^9) ≧ (a^2+b^2)(a^3+b^3)(a^4+b^4)

860:132人目の素数さん
05/01/06 08:48:25
>859
 a≧0, b≧0, mn>0 のとき、
2[a^(m+n) + b^(m+n)] - (a^m +b^m)(a^n +b^n) = (a^m -b^m)(a^n -b^n) ≧0.
ぬるぽ

861:132人目の素数さん
05/01/06 11:43:53
>>860
キター *・゜゚・*:.。..。.:*・゜(゚∀゚)゚・*:.。..。.:*・゜゚・* !!!!!
なるほどっ!
㌧クスでごじゃる。
問題は、要するにチェビシェフを2回使ったんですね、ナットク。

発掘元はココ
URLリンク(www.math.pomona.edu)

862:132人目の素数さん
05/01/06 17:15:13
>>807
一般に a+b+c=Lとおけば、(23/216)L^3 ≦ a^2b+b^2c+c^2a ≦ (1/8)L^3 でいいんですよね?

863:132人目の素数さん
05/01/06 17:16:50
>>858
基本対称式を使わずに、x, y, z のままで考えたほうがええかもな

864:807
05/01/06 20:55:53
>862 桶。
x+y+z = a+b+c = L を使えば [807] は
 与式 = [L^3 -{(x^2)y+(y^2)z+(z^2)x}]/8,
 (4/27)L^3 ≧ (x^2)y +(y^2)z +(z^2)x ≧0.
下の式を上の式に代入すると
 (1- 4/27)(1/8)L^3 ≦ 与式 ≦ (1/8)L^3.
ぬるぽ

865:860
05/01/06 21:21:41
>861
>>153 (a=0,m=2の場合)や >>685-688 のあたりにも類題....

866:132人目の素数さん
05/01/06 22:01:59
>836
[839] や 東大入試作問者スレ[618][621] が指摘したように、この問題は
 創刊30周年記念『エレガントな問題をもとむ』【優秀賞】受賞問題2
と同じようでつ。(作問者は西宮の人)
 問題: 数セミ,31(4), p.79 (1992.4)
 解答: 数セミ, 31(8), p.59-60 (1992.7) ・・・ 基本対称式を持ち出してもしかた無いんぢゃ・・・以下(ry


東大入試作問者になったつもりのスレ4
スレリンク(math板:614番),618-621,624-629,636,638-639

さくらスレ154
スレリンク(math板:417番)

不等式スレッド
スレリンク(math板:836-849番),857

867:132人目の素数さん
05/01/06 22:11:59
>865 ㌧クスです。

868:132人目の素数さん
05/01/06 22:12:21
>>836-839、>>845-847、>>857
相異なる正の数 x、y、z に対し、(x^3+y^3+z^3-3xyz)/|(x-y)(y-z)(z-x)| > √(9+6√3)

1992年の数セミを見てきました。編集部の模範解答は>>836の如し。
読者2名からのエレガントな解答を以下に書きます。

分子は x^3+y^3+z^3-3xyz = -(x+y+z){(x-y)(y-z)+(y-z)(z-x)+(z-x)(x-y)} だから
 L=x+y+z, p=x/L, q=y/L, r=z/L
とおくと、p, q, r>0 かつ p+q+r=1 をみたし、示すべき不等式は
 -{(p-q)(q-r)+(q-r)(r-p)+(r-p)(p-q)}/|(p-q)(q-r)(r-p)| > √(9+6√3)
式の対称性から、p>q>r>0 としても一般性を失わない。
 p-q=α, q-r=β, α+2β=s
とおくと s+3r=1 より 0<s<1 で、示すべき不等式の左辺は
 1/(p-q) + 1/(q-r) + 1/(r-p) = 1/α + 2/(s-α) - 2/(s+α)
さらに α/s = t とおくと、s>α>0 より 0<t<1 で、結局、次式の最小値を考えればよい。
 (1/s){1/t + 2/(1-t) + 2/(1+t)}   … (☆)
f(t) = 1/t + 2/(1-t) + 2/(1+t) とおくと f'(t) = (3t^4+6t^2-1)/{t^2(1-t)^2(1+t)^2} より
0<t<1 において t = √{(2√3-3)/3} で極小かつ最小値 √(9+6√3) をとる。
0<s<1 より、s→1 の極限をとれば、(☆) は √(9+6√3) に上から限りなく近づく。
(蛇足) 2重根号を外したら、√(9+6√3) = (1+√3)√{(3√3)/2}
   ___
 ./  ≧ \ 
 |::::  \ ./ | 勉強になりました。
 |::::: (● (● |  
 ヽ::::... .ワ....ノ    n   グッジョブ!
 ̄ ̄   \    ( E)
フ     /ヽ ヽ_//

869:132人目の素数さん
05/01/06 22:13:36
>>866
あ、書き込みに気づかずに、先に解答書いてしまいました。スマソ。

870:132人目の素数さん
05/01/06 22:37:07
>>811(2) ,827
 第10回 日本数オリ本選(2000)の第3問らしい...
(略解)
 case1: {AC,AD,AE} のいづれかと {BC,BD,BE} のいづれかが(端点以外で)交わる場合
  たとえば 線分ACとBDが交わるときは、 AB+CD ≦ AC+BD.
  これに自明な DE ≦ AD+AE, EC ≦ BE+BC を加える。

 case2: {AC,AD,AE,BC,BD,BE} のいづれも(端点以外は)交わらない場合
  A,Bの一方は△CDEの1つの頂角の対頂角の中にある(平面CDE内にあることから)。
  たとえば A が∠CDE の対頂角∠XDYの中にあるときは、△CAE ⊇ △CDE ∴ CD+DE ≦ AC+AE.
  これに自明な EC ≦ BE+BC, AB ≦ AD+BD を加える。
ぬるぽ

871:132人目の素数さん
05/01/09 07:05:47
ネタ補充
(1) 実数x,y,z, 正の偶数nに対し
 (x+y+z){x^(n+1)+y^(n+1)+z^(n+1)}
 ≧ 2(xy+yz+zx)(x^n+y^n+z^n)-3xyz{x^(n-1)+y^(n-1)+z^(n-1)} を示せ。
(2) F(n)をFibonacci数列とする。
 Σ[n=1..∞] 1/F(n) > 803/240 を示せ。
(3) 2^(3^(3^(-1))) < e を示せ。
(4) 三角形の周長をL, 面積をSとすると
 S≦(L^2)/(12√3) を示せ。
(5) 0<t≦1 のとき
 tan(t)/t < 2-√(1-t^2) を示せ。

872:132人目の素数さん
05/01/09 11:16:07
>>783
これもよろしくお願いします。

873:132人目の素数さん
05/01/09 18:19:09
(2) Σ[n=1,6] 1/F_n = 1 +1 +1/2 +1/3 +1/5 +1/8 = 758/240.
 左辺 > Σ[n=1,12] 1/F_n = 758/240 +1/13 +1/21 +1/34 +1/55 +1/89 +1/144
= 758/240 + 207530077/N > 758/240 +204459255/N = 758/240 + 9/48 = 右辺.
 ここに N=16*9*5*7*11*13*17*89 = 1090449360.
ぬるぽ

874:132人目の素数さん
05/01/10 15:05:49
>871 (1)
 n は整数とし、 左辺 - 右辺 = F_n とおく。 
 x^n の係数は (x+y+z)x - 2(xy+yz+zx) +3yz = (x-y)(x-z) なので >>611 の方法を使う。
y は x,z の間にあるとすると (x-y)(y-z)≧0, {x^n -y^n +z^n}≧0 ゆえ、
 F_n = (x-y)(x-z)x^n +(y-x)(y-z)y^n +(z-x)(z-y)z^n = (x-y)^2(x^n) +(y-z)^2(z^n) +(x-y)(y-z){x^n -y^n +z^n} ≧0.
F_{-1} = (t^2 -3su)/u, F_0=s^2 -3t, F_1=s^3 -4st +9u, F_2=s^4 -5ts^2 +4t^2 +6su, ・・・・・.

 (応用例) >>858
 4t(s^4 -2s^2t +4su +t^2) -9(st-u)^2 = 4ts^4 -17(st)^2 +34stu +4t^3 -9u^2
 = 4t・F_2 +{(3t^2 -su)/s}・F_1 +(s +9t/s)u・F_0 ≧0.
ぬるぽ

 [873] は >871(2) の解答でつ。スマソ

875:132人目の素数さん
05/01/10 18:21:22
>>874
Scherの不等式と同じ証明方法になるとは…。
(;´д`)ハァハァ
結局、任意の整数で成り立つんですね。
F_n に n=1, 2, … を代入して得られる 対称式≧0 は 858 にも使えそうですね。

876:132人目の素数さん
05/01/10 18:26:56
>>874
よくみれば、問題文は 実数 x, y, z だから偶数 n でないといけないですね。
非負実数 x, y, z なら、任意の整数 n でOKですね。

877:876
05/01/10 18:44:12
>874の後半に、ちゃんと書いてるし…
  il||li _| ̄|○ il||li

878:132人目の素数さん
05/01/10 19:03:28
このスレを見ていると、ときどき面白いパターンがあるよね。

ある不等式Aが解決されていない
→ 誰かが別の不等式Bを出す
→ 神が解く
→ その不等式Bが、Aを解決する

858 と 871(1)、 538(3) と 580 など…

879:132人目の素数さん
05/01/10 22:53:27
複素数 z, w に対して、|(1+|z|^2)w-(1+|w|^2)z| ≧ |z\bar{w}-\bar{z}w| を示せ。

880:132人目の素数さん
05/01/11 00:03:18
>>871
(4) 周長の長さがLの三角形の面積の最大値maxSを求めればよい。
まず、一辺の長さがすでに決まっている、という条件をつけて一辺を固定すれば、
残りの頂点の軌跡は楕円になるから一辺の長さがyであるときの、
Sの最大値M(y)が求まる。次にyの定義域を[0,L/2]としてmaxM(y)=maxSを求めればよい。

881:132人目の素数さん
05/01/11 09:25:40
>871(4) (等周問題)
 [880] にしたがって BC=y を固定して考える。
 AB+AC = L-y (一定) の軌跡は楕円で、B,C は長軸上にある。
 S=(1/2)BC・AH が最大値をとすとすれば、Aの高さ(AH)が最大のとき。∴Aが短軸の端点のとき。・・・・ (1)
 ∴M(y)=(y/4)√{L(L-2y)}, M(L/3)^2 -M(y)^2 = (L/16)・(y -L/3)^2・(2y +L/3) ≧0, M(y)≦M(L/3)=(L^2)/(12√3).
 または (1)から AB=AC. 同様にして AC=BC, AB=BC なので、正3角形のとき最大.

 【代数的な方法】
 3辺をa,b,cとし、a+b+c=L, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、ヘロンの公式や相加・相乗平均から、
 S^2 = (L/2)(L/2 -a)(L/2 -b)(L/2 -c) = (L/16)(-L^3 +4Lt-8u) ≦ (L/16)u ≦ (L/16)(L/3)^3.
∴ S ≦ (L^2)/(12√3), 等号成立は a=b=c (正3角形)のとき.
 (系) S=rL/2 (rは内接円の半径)だから S≧(3√3)r^2.
ぬるぽ

>876 グッジョブ!

882:132人目の素数さん
05/01/11 15:24:28
正の数 a, b に対して a^6 +b^6 +8a^3 +8b^3 +2a^3b^3 +16 ≧ 36ab を示せ。

883:132人目の素数さん
05/01/11 15:49:14
>882 相加・相乗平均で
 左辺 = (a^3 +b^3 +4)^2 = (a^3 +b^3 +1 +1 +1 +1)^2 ≧ {6√(ab)}^2 = 36ab =右辺.

884:132人目の素数さん
05/01/11 17:50:53
>>871 (5)
 まづ 1-t^2 < 1-t^2 +(1/8)(t^6){1+(1/8)t^2} = [1-(1/2)t^2 -(1/8)t^4]^2.
 ∴ 右辺 = 2 -√(1-t^2) > 2 - [1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4].
 ∴ tan(t)/t < 2 -[1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4] が示せればよい。
 F(t) = {2 -[1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4]}t - tan(t) とおくと F(0)=0. 次に F '(t)>0 を示す。  
 F '(t) = 1 + (3/2)t^2 + (5/8)t^4 - 1/[cos(t)^2] = {[1 +(3/2)t^2 +(5/8)t^4]cos(t)^2 -1}/[cos(t)^2]
 ここで t>0 ⇒ -cos(t) > -1, -sin(t) > -t, cos(t) > 1 -(1/2)t^2 を使って,
 F '(t) > {[1+(3/2)t^2 +(5/8)t^4][1-(1/2)t^2]-1}/[cos(t)^2] ={1-(1/8)t^2 -(5/16)t^4}(t^2)/[cos(t)^2].
 ここで、t^2 <1 だから F '(t)>0.
 ∴ tan(t)/t < 2 -[1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4] < 2-√(1-t^2).
ぬるぽ

>>871 への解答レス(主なもの)
 (1) [874][876] (2) [873] (3)参った. (4) [880][881] (5) これ.

885:132人目の素数さん
05/01/11 21:34:18
(log(2))^3<1/3 なら、間にある(有理数)^3を見つければ
示せそうな気がするが...

886:132人目の素数さん
05/01/12 00:46:12
>>885
あのな、(a^m)^n = a^(mn) だよな。
これが a^(m^n) だと~、a^(m^n) だと~ (以下略)

887:132人目の素数さん
05/01/12 01:03:51
>>886
????????

888:132人目の素数さん
05/01/12 01:05:56
>>886-887
おまいら、荒らすな上げるな!

889:132人目の素数さん
05/01/12 01:37:55
>885
 有理数としてたとえば 0.69333333・・・・= 36/100 + 1/3 = 52/75 をとる。
 右側は (52/75)^3 = 140608/4215 < 140625/421875 = 1/3.
 左側 Ln(2) < 52/75 の方をどうするか……

890:132人目の素数さん
05/01/12 03:01:14
[0,1/3]上で
1/(1-x^2) = 1 + x^2 + x^4/(1-x^2) ≦ 1 + x^2 + x^4/(1-(1/3)^2) = 1 + x^2 + 9x^4/8

よって、(log2)/2 = ∫_[0,1/3](1/(1-x^2))dx < ∫_[0,1/3](1 + x^2 + 9x^4/8)dx = 1123/3240

3乗の計算が面倒だけど、(log2)^3 < (1123/1620)^3 = 1416247867/4251528000 < 1/3

891:132人目の素数さん
05/01/12 03:19:35
そういえば数セミ 2005 年 2 月号の『NOTE/講評と解説』に
巡回不等式とか正弦関数の比の単調減少性とか今後使えそうな面白い記事があったね。

892:132人目の素数さん
05/01/12 03:34:04
>>891
2005年2月号って、まだ発売されてないだろ!

>>783>>879
解答マダー!
おらおら出てこい!不等式オタクども!

893:132人目の素数さん
05/01/12 03:50:36
>>892
年間購読者ですから, もう届いているんですよ。

894:132人目の素数さん
05/01/12 04:02:05
>>893
さっさとウプシロン!

895:中川 幸一 ◆MC1Z7pcz5k
05/01/12 04:13:10
じゃ~問題だけ紹介します。

a_1, \cdots a_n > 0 に対して不等式
\dfrac{a_1^2}{a_2 a_3} + \dfrac{a_2^2}{a_3 a_4} + \cdots + \dfrac{a_{n-1}^2}{a_n a_1} + \dfrac{a_n^2}{a_1 a_2}
\geq \dfrac{2 a_1}{a_2 + a_3} + \dfrac{2 a_2}{a_3 + a_4} + \cdots + \dfrac{2 a_{n-1}}{a_n + a_1} + \dfrac{2 a_n}{a_1 + a_2}
が成立する。ここで, 等号は a_1 = \cdots =a_n のときのみ成立する。

\pi \geq A > B > 0 のとき関数
\dfrac{\sin (Ax)}{\sin (Bx)}
は 0 < x < \dfrac{1}{2} において単調減少である。

896:132人目の素数さん
05/01/12 04:15:14
>>895
せめて \frac と書け!
いちいち上げんな!

897:中川 幸一 ◆MC1Z7pcz5k
05/01/12 04:18:54
以下は演習問題という形で紹介されています。
(表記法を多少簡略化しました。)

a_1, \cdots , a_n が 1, \cdots , n の並べかえならば
\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i}{i} \geq n

898:132人目の素数さん
05/01/12 04:20:40
>>896
悪い…。
ついつい癖で \dfrac って書いてしまった…。
あと上げてしまってスマン…。

899:884
05/01/12 17:50:14
>885,890
 871(3) なるほど! そういうことだったのか。 ベリィ㌧クス.

 871(5) F(t)>0 を出すところに間違い・・・・・ 死んでお詫びを・・・(AA省略)。
 マクローリン展開より、0<t≦1 で、
 tan(t) = t + (1/3)t^3 +(2/15)t^5 +(17/315)t^7 +・・・ ≦ t + (1/3)t^3 +(2/15 +17/315 +・・・)t^5 = t +(1/3)t^3 +c・t^5.
 ここに c = tan(1) -1 -1/3 = 0.22407439・・・
 F(t) = {2 -[1-(1/2)t^2 -(1/8)t^4]}t -tan(t) ≧ (1/6)t^3 +(1/8 -c)t^5 = (1/6 -0.09907439t^2)t^3 >0.

900:伊丹公理 ◆EniJeTU7ko
05/01/12 18:10:07
>>897
容易 ( n > 1 の時)
一般に正とは限らぬ実数列 a_1 < a_2 < ....... < a_n,
b_1 < b_2 < ....... < b_n があり、c1, c_2, .... , c_n が
b_1, b_2, ....... , b_n の並べ替えであるとき、
a_1*c_1 + a_2*c_2 + .... + a_n*c_n が最大となるのは
c_i = b_i, i = 1, 2, .... , n の時。(又その時に限る)。

なる事実(well-known)と
x + (1/x) ≧ 2, 等号は x = 1 の時なることより出る。

901:伊丹公理 ◆EniJeTU7ko
05/01/12 19:13:47
>>900
訂正 x > 0 の時、
x + (1/x) ≧ 2, 等号は x = 1 の時なることより出る。

902:中川 幸一 ◆MC1Z7pcz5k
05/01/12 21:01:59
>>897 の解答 (Original)

相加平均と相乗平均の大小関係より
(1/n)Σ[i=1 to n](a_i / i) ≧ (Π[i=1 to n](a_i / i))^(1/n) = 1^(1/n) = 1
故に
Σ[i=1 to n](a_i / i) ≧ n
(等号成立は a_i = i)

903:132人目の素数さん
05/01/12 23:24:58
(1) 正の実数a,b,x,y,zに対し、x/(ay+bz) + y/(az+bx) + z/(ax+by)≧3/(a+b)
(2) 実数a,b,c,x,y,zに対し、
 ax+by+cz+√{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}≧(2/3)(a+b+c)(x+y+z)
(3) 0<x≦π/2 のとき、sin(sin(x))<tanh(x)
(4) 正の実数x,y,zがx+y+z=xyzを満たすとき、
 x/√(1+x^2)+y/√(1+y^2)+z/√(1+z^2)≦(3√3)/2

904:132人目の素数さん
05/01/12 23:30:54
まだ解かれていない問題をまとめてください。

905:132人目の素数さん
05/01/13 04:34:03
>>819
>H(a,b)+H(c,d)≦H(a+c,b+d)。
>H(a,b,c)+H(d,e,f)≦H(a+d,b+e,c+f)。
>H(a,b,c,d)+H(e,f,g,h)≦H(a+e,b+f,c+g,d+h)。

これって n文字についても言えそうな感じだけど、うまい証明が思いつきません。
いい方法ないですか?


>>812
>[>>647(1)]  H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1

こちらは n文字についても言えるのでしょうか?
たのも~、たのも~。

906:132人目の素数さん
05/01/13 04:39:47
>>879
(左辺)^2-(右辺)^2 = |(z-w)(\bar{z}w-1)|^2 ≧ 0

          ___    
    |┃三 ./  ≧ \  >>892 呼んだ?
    |┃   |::::  \ ./ | 
    |┃ ≡|::::: (● (● |  不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ     黙っちゃゐられねゑ…
    |┃=__    \           ハァハァ
    |┃ ≡ )  人 \ ガラッ

907:132人目の素数さん
05/01/13 11:59:33
>903
(1) x/(ay+bz) = {(a^2)(ax+by)/(ay+bz) +(b^2)(az+bx)/(ay+bz) -ab}/(a^3 +b^3).
 循環的に加えて 相加・相乗平均を使うと
 左辺 ≧ 3(a^2 +b^2 -ab)/(a^3 +b^3) = 3/(a+b), 等号成立はx=y=zのとき.

(2) (a,b,c)=OA↑, (x,y,z)=OX↑, (1/√3, 1/√3, 1/√3)=OE↑ とおくと ∠AOX ≦ ∠AOE +∠EOX.
 左辺 = (OA↑・OX↑) + |OA|・|OX| = |OA|・|OX|{cos(∠AOX) +1} ≧ |OA||OX|{cos(∠AOE+∠EOX) +cos(∠AOE-∠EOX)}
 = 2|OA|・|OX|cos(∠AOE)・cos(∠EOX) = 2(OA↑・OE↑)(OE↑・OX↑) = 右辺.

(4) x=tan(A), y=tan(B), z=tan(C), 0<A,B,C<π/2 とおく。条件式より A+B+C=π. sin()は上に凸だから,
 左辺 = sin(A) + sin(B) + sin(C) ≦ 3sin{(A+B+C)/3} = 3sin(π/3) =(3√3)/2.
 等号成立は A=B=C=π/3 (正3角形?) すなわち x=y=z=√3 のとき.
ぬるぽ

>906 グッジョブ!

908:132人目の素数さん
05/01/13 19:25:36
(1) n>2を整数、F(n)をFibonacci数列とすると、
 Σ[k=1..n](1/F(k)) > (n^2)/(F(n+2)-1)
(2) ちょうど1つの辺の長さが1より大きい四面体の体積をVとおくと、V<1/8
(3) 正整数p,qに対し、|p/q-√2|≧(6-4√2)/(q^2)
(4) nを正整数、s>1を実数とすると、
 Σ[k=1..n](1/k^s) < 1+1/{2^(s-1)-1}

909:132人目の素数さん
05/01/13 20:10:24

>>647 (1), 680
  s/9 ≧ t/3s ≧ u/t (単調減少)により、
  左辺 = (1+s+t+u)/[3(3+2s+t)]- u/t = 1/3 + (s+2t+3u)/[3(3+2s+t)] - u/t ≧ 1/3.

>>812,905
 n文字のとき、k次の基本対称式を S_k とおく。 S_0=1, ・・・・・, S_n=abc・・・・
 H(a+1,b+1,c+1) = nΣ[k=0,n] S_k / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k = 1 + Σ[k=1,n] k・S_k / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k
 = 1 + Σ[k=0,n-1] (k+1)S_{k+1} / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k.
 ところで、 (k+1)S_{k+1}/[(n-k)S_k] ≧ nS_n / S_{n-1} = H(a,b,・・・・).(←kについて単調減少)
 ∴ H(a+1,b+1,・・・・) - H(a,b,・・・・) ≧1.

>903 (3) 逆転の発想?
 f(y)=arcsin(arcsin(y)), g(y)=arctanh(y)=(1/2)Ln{(1+y)/(1-y)} とおく。arcsin(y)>y より
 f '(y) = 1/√{1-arcsin(y)^2}・1/√(1-y^2) > 1/(1-y^2) = g '(y).
 これと f(0)=0=g(0) から 0<y≦sin(1) ⇒ f(y)>g(y).
ぬるぽ

910:132人目の素数さん
05/01/13 21:51:02
>895
(NOTEの問題)
 π ≧ A > B > 0 のとき関数 sin(Ax)/sin(Bx) は 0 < x < 1/2 において単調減少である。
(略証)
 f(x) = Ln{sin(Ax)/sin(Bx)} とおくと、 f '(x) = A/tan(Ax) - B/tan(Bx).
 tan(y)/y は|y| とともに増加するから A>B>0 より tan(Ax)/(Ax) > tan(Bx)/(Bx), f '(x)<0.

911:905
05/01/13 22:06:19
>>909
㌧クス。
さすが ぬるぽ神。そこに痺れる憧れるぅ~。


【問題】 非負実数 a, b に対し、次を示せ。
\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{b}} ≧ \sqrt[3]{a+\sqrt[3]{b}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{a}}

912: ◆BhMath2chk
05/01/14 07:00:00
>>905
 H(a,b,c,d,e,f)+H(g,h,i,j,k,l)
=H(H(a,b,c),H(d,e,f))+H(H(g,h,i),H(j,k,l))
≦H(H(a,b,c)+H(g,h,i),H(d,e,f)+H(j,k,l))
≦H(H(a+g,b+h,c+i),H(d+j,e+k,f+l))
=H(a+g,b+h,c+i,d+j,e+k,f+l)。

f->+∞,l->+∞として
 (6/5)H(a,b,c,d,e)+(6/5)H(g,h,i,j,k)
≦(6/5)H(a+g,b+h,c+i,d+j,e+k)。

 H(a+1,b+1,c+1,d+1)
≧H(a,b,c,d)+H(1,1,1,1)
=H(a,b,c,d)+1。


913:132人目の素数さん
05/01/14 11:34:52
[912] の一般化
【補題】 H(a_1, a_2, ・・・・,a_n)+ H(b_1, b_2, ・・・・,b_n)≦ H(a_1+b_1, a_2+b_2, ・・・・, a_n+b_n))
(略証) nについての帰納法による。
n=1 のとき 明らか。
n=2 のとき [647](6) より成立。
nが偶数のとき、n=2m とおく。
 H(a_1,a_2,・・・・・, a_{2m}) = H(H(a_1,a_2,・・・・,a_m), H(a_{m+1}, ・・・・, a_{2m})) を使うと
 左辺 = H(H(a_1, a_2, ・・・・,a_m), H(a_{m+1}, ・・・・, a_n))+ H(H(b_1, b_2, ・・・・,b_m), H(b_{m+1}, ・・・・, b_n))
 ≦ H(H(a_1, a_2, ・・・・,a_m) + H(b_1, b_2, ・・・・,b_m), H(a_{m+1}, ・・・・, a_n}) + H(b_{m+1}, ・・・・, b_n}))
 帰納法の仮定により、
 左辺 ≦ H(H(a_1+b_1, a_2+b_2, ・・・・,a_m+b_m), H(a_{m+1}+b_{m+1}, ・・・・, a_n+b_n))
 =H(a_1+b_1, a_2+b_2, ・・・・, a_n+b_n)。
nが奇数のとき
 上記により n+1 に対しては成立つ。そこで a_{n+1}→∞, b_{n+1}→∞ として n/(n+1) を掛ければ出る。

(系) H(a_1 +1,a_2 +1,・・・・,a_n +1)≧ H(a_1, a_2, ・・・・, a_n)+ H(1,1,・・・,1)= H(a_1, a_2, ・・・・, a_n)+1.

>812  [>>647(6)] は H(a+c,b+d) ≧ H(a,b) + H(c,d).

914:132人目の素数さん
05/01/14 11:45:07
>911
 f(x)=x^(1/3), f(a)=A, f(b)=B, a-b=d, A-B=D とおく。 fは単調増加だから d・D>0.
 g は上に凸とすると、
[d・g(a+A)+D・g(b+B)]/(d+D) ≧ g(a+B)
[D・g(a+A)+d・g(b+B)]/(d+D) ≧ g(b+A)
辺々たすと
 g(a+A) + g(b+B) ≧ g(a+B) + g(b+A).
ぬるぽ

>909
> ところで、 (k+1)S_{k+1}/[(n-k)S_k] ≧ nS_n / S_{n-1} = H(a,b,・・・・).(←kについて単調減少)
 の元レスは >>263, >>269, >>480 .

915:132人目の素数さん
05/01/14 16:46:56
>>912-913
実は昨日書き込んだ後、自己解決しました。
n=2の場合は直接に証明。n=2mの場合は >>912-913 と同じ方法。
n=2m+1のときの証明は、n=2m+2のときに帰着されますよね?
H(a, b, c) = H(a, b, c, H(a, b, c)) が一般のn文字でも成り立つから…。

>>913
H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1 が H(a+d,b+e,c+f) ≧ H(a, b, c) + H(d, e, f)
の特別な場合だったことに、言われるまで気づきませんでした。 il||li _| ̄|○ il||li
   ___
 ./  ≧ \
 |::::  \ ./ | アリガトウ ゴザイマス
 |::::: (● (● |   ベリィ グッジョ-ブ!
 ヽ::::... .ワ....ノ    n  コンゴトモ ヨロシク オネガイシマス…
 ̄ ̄   \    ( E)
フ     /ヽ ヽ_//

916:132人目の素数さん
05/01/14 17:03:40
>>914
[d・g(a+A)+D・g(b+B)]/(d+D) ≧ g([d(a+A)+D(b+B)]/(d+D)) = g(a+B)
この変形に気づけそうにない…。すごすぎる。

917:132人目の素数さん
05/01/14 20:30:14
>908(2)
 四面体ABCDで、AB以外の5辺≦1 とする。
 A,BからCD(の延長)に下ろした垂線を AH,BL とする。
 このとき V= (1/6)AH・BL・CD・sinθ, θは平面ACDと平面BCDがなす面角.
 AC,AD≦1 より AH ≦ √{1-(CD/2)^2},  BC,BD≦1 より BL ≦ √{1-(CD/2)^2}
 ∴ V ≦ (1/24)・CD・(4 -CD^2)・sinθ.
0 < x ≦1 ならば 3 -x(4-x^2) = (1-x){3-x(1+x)} ≧0, x(4-x^2) ≦ 3 @ x=1.
 V ≦ (1/8)sinθ ≦ 1/8.  (等号はACD,BCDが正3角形で、面角が90°のとき)
ぬるぽ

918:132人目の素数さん
05/01/14 22:50:36
>908 (4)
 {1- 2/(2^s)}・(左辺) = Σ[k=1..n] {1/(k^s) -2/[(2k)^s]} < Σ[k=1..n] (-1)^(k-1) /(k^s)
 = 1 - {1/(2^s) -1/(3^s)} -{1/(4^s) -1/(5^s)} - ・・・ < 1.
 ∴ 左辺 < 1/{1-2/(2^s)} = 1 + 1/{2^(s-1)-1} = 右辺.
ぬるぽ

~~~ 寒いでつね。水道チョロチョロ流しておやすみ・・・(凍結防止) ~~~.

919:911
05/01/15 02:15:39
不等号の向きが反対でした。すみません。

非負実数 a, b に対し、
\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{b}} ≦ \sqrt[3]{a+\sqrt[3]{b}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{a}}


>914の証明は正しいように思えるのですが、どうなんでしょう?

920:132人目の素数さん
05/01/15 03:15:25
…で、ずっと検索してて見つけたんだけど、
Majorization Inequarity って何ですか?

 ↓ 最後のページ
URLリンク(math.berkeley.edu)

921:132人目の素数さん
05/01/15 03:28:25
>914
上に凸だから、不等号の向きが逆ですね。

922:132人目の素数さん
05/01/15 12:29:22
わかすれ198より

338 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:05/01/15(土) 12:17:06
x,y,zが実数で
1≦x^2+y^2+z^2≦2
をみたす。このとき
(3/5)(x-2y)^2+(1/3)(2x+y-z)^2+(4/15)(2x+y+5z)^2
の最大値、最小値

923:132人目の素数さん
05/01/15 13:33:29
>>915
H(a, b, c) = H(a, b, c, H(a, b, c)) が一般のn文字でも成り立つから…。
多分無理

>>913
H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1 が H(a+d,b+e,c+f) ≧ H(a, b, c) + H(d, e, f)
の特別な場合だったことに、言われるまで気づきませんでした。 il||li _| ̄|○ il||li
>>912じゃないの


924:132人目の素数さん
05/01/15 13:47:25
>922
 主軸系で考える....
 スレリンク(math板:16-17番)


925:132人目の素数さん
05/01/15 19:57:33
>>923
>多分無理

反例あげてみ。

926:132人目の素数さん
05/01/15 20:14:06
>>925
意味不明

927:風あざみ
05/01/15 20:32:25
>>908
(1)この式は
 Σ[k=1..n]({F(n+2)-1}/F(k)) > (n^2)と同値である。
F(n+2)-1=Σ[h=1..n]F(h)である。
(∵F(1)=1=F(3)-1
F(n+3)-1=F(n+2)-1+F(n+1)=Σ[h=1..n]F(h)+F(n+1)=Σ[h=1..n+1]F(h)
より帰納的に示せる。)
よって 相加・相乗平均の不等式より
Σ[k=1..n]({F(n+2)-1}/F(k))=Σ[k,h=1..n]{F(h)/F(k)}>(n^2){(n^2)^√Π[i=1,n]({F(i)}/{F(i)})}=n^2





928:132人目の素数さん
05/01/16 05:48:55
>>903(1) は n文字には一般化できませんか?

929:132人目の素数さん
05/01/16 05:49:54
x(1), x(2), x(3),... は正の数とする。
A(n)=(x(1)+...+x(n))/n 、
G(n)=(x(1)...x(n))^(1/n)
とおく。

全ての n (=2,3,4,...) に対して
n(A(n)-G(n))≧(n-1)(A(n-1)-G(n-1))
が成り立つ。

【証明】
nA(n)-(n-1)A(n-1)
= x(n)
= G(n)^n/{G(n-1)^(n-1)}
= G(n-1){G(n)/G(n-1)}^n
≧ G(n-1){n(G(n)/G(n-1))-(n-1)}・・・★
= nG(n)-(n-1)G(n-1)

だから問題の不等式が成り立つ。【証明終】

(★で不等式「t>0 ⇒ t^n≧nt-(n-1)」を使った。
t≧1のとき
t^(n-1) + t^(n-2) + ... + t^2 + t + 1 ≧ n
の両辺に t-1 をかければ t^n - 1 ≧ nt - n が得られる。
0<t<1のとき
1 + t + t^2 + ... + t^(n-2) + t^(n-1) ≦ n
の両辺に 1-t をかければ 1 - t^n ≦ n - nt が得られる。
いずれにせよ t^n≧nt-(n-1) が成り立つ。)

930:132人目の素数さん
05/01/16 15:28:43
>908(1)
 左辺 ≧ 5/2 なので 16/7 ≧ 右辺 を示せば十分。
【補題】 F(n+2) ≧ 1+c・n^2, c=7/16.
(略証) nについての帰納法による。
 n=0 のとき F(2) = 1.
 n=1 のとき F(3) = 2 > 23/16 = 1+c.
 n=2 のとき F(4) = 3 > 11/4 = 1+4c.
 n=3 のとき F(5) = 5 > 79/16 = 1+9c.
 n=4 のとき F(6) = 8 = 1+16c.
 n≧5 のとき F(n+2) = F(n+1) + F(n) ≧ {1+c(n-1)^2} + {1+c(n-2)^2} = 2 + c[n^2 +(n-1)(n-5)] > 2 + cn^2.(終)
 ∴ 左辺 ≧ 5/2 ≧ 1/c ≧ (n^2)/[F(n+2)-1] = 右辺.
ぬるぽ

>928
 a=b なら Shapiro型だが。 >>497-501

931:132人目の素数さん
05/01/16 15:49:05
>929
 ★の不等式 「t>0 ⇒ t^n ≧ nt-(n-1)」 は次にもあるよ。
 微積分と一つの不等式「数学100の定理」日本評論社, p.89 (1983)

(問題)
 A = {x(1)+x(2)+・・・+x(n)}/n,
 G = {x(1)x(2)・・・・x(n)}^(1/n),
 H = n/{1/x(1) +1/x(2) + .... +1/x(n)} とおくとき
 A^(n-1)・H ≧ G^n ≧ A・H^(n-1).

932:914
05/01/16 16:26:37
>919,921
 仰せのとおり、スマソ.

>925
 [923]は、[915]の方法では無理だろう、の意味。他の方法も考えられる[>>909].

>917 (補足)
 △ACD=(1/2)AH・CD, △BCD=(1/2)BL・CD より
 V= (1/3)AH・△BCD・sinθ = (1/3)BL・△ACD・sinθ = (1/6)AH・BL・CD・sinθ

933:915
05/01/16 18:53:13
>H(a, b, c) = H(a, b, c, H(a, b, c)) が一般のn文字でも成り立つから…。

H(a_1, …, a_n, H(a_1, …, a_n))
= (n+1)/{1/a_1) + … + (1/a_n) + (1/H(a_1, …, a_n))}
= (n+1)/{n/H(a_1, …, a_n) + (1/H(a_1, …, a_n))}
= H(a_1, …, a_n)

となるので、n文字でも成り立つと書いたのですが、
もしかして、俺なにか勘違いしてる? ('A`)

934:132人目の素数さん
05/01/16 19:03:59
【問題】
(1) 1 ≦ a, b, c, d ≦ 2 に対して、(a+b)/(b+c) + (c+d)/(d+a) ≦ 4(a+c)/(b+d) を示せ。

(2) 整数 a, b が(a+b)(a-b)≠0 をみたすとき、 |(a+b)/(a-b)|^(ab) ≧ 1 を示せ。

935:132人目の素数さん
05/01/16 21:02:23
>934
(1) b,d ≦ 2 ≦ 2a,2c だから,
 (a+b)/(b+c) = 2(a+c)/(b+d) -{(a+b)(2c-d) +b(2a-b)/2 +(c +b/2)(2c-b)}/[(b+c)(b+d)] ≦ 2(a+c)/(b+d).
(c+d)/(d+a) = 2(a+c)/(b+d) -{(c+d)(2a-b) +d(2c-d)/2 +(a +d/2)(2a-d)}/[(d+a)(b+d)] ≦ 2(c+a)/(d+b).
辺々たす。

(2) |a+b|^2 - |a-b|^2 = 4ab より、
 ab≧0 のとき |a+b|≧|a-b|, 左辺 ≧1.
 ab≦0 のとき |a+b|≦|a-b|, 左辺 ≧1.
ぬるぽ

>933
それを使って
> n=2m+1のときの証明は、n=2m+2のときに帰着されますよね?
を示すのは 多分無理、という意味と思われ....

936:132人目の素数さん
05/01/17 01:18:58
>>935
なるほど

937:132人目の素数さん
05/01/17 02:36:53
>934(2) は、a, b が整数である必要はないですよね?
(a+b)(a-b)≠0 さえ満たしていれば…。

938:132人目の素数さん
05/01/17 02:38:10
> n=2m+1のときの証明は、n=2m+2のときに帰着されますよね?

たしかに、ダメですね。切腹します。

939:132人目の素数さん
05/01/17 02:56:16
>>903(4) 正の実数x,y,zがx+y+z=xyzを満たすとき、
 F_n = (x^n)/√(1+x^2) + (y^n)/√(1+y^2) + (z^n)/√(1+z^2)
について、
 n = 0, 1 のとき、F_n ≦ 3(√3)^n/2、 n = 2, 3, … のとき、F_n ≧ 3(√3)^n/2

でOKですよね? あっているかどうか確認たのも~。

>>907(4) の方法で、x=tan(A), y=tan(B), z=tan(C), 0<A,B,C<π/2 とおくと、条件式より A+B+C=π
n=0 のときは、cosA+cosB+cosC ≦ 3cos[(A+B+C)/3]
n=1 のときは、>>903(2)
n≧2 のときは、0≦θ<π/2 において、左辺の関数が下に凸だから。
 f(θ) = (tanθ)^n・cosθ
 f'(θ) = (tanθ)^(n-1)・[n-(sinθ)^2]/cosθ
 f''(θ) = (tanθ)^(n-2)・[(n-1)n-(sinθcosθ)^2]/(cosθ)^3 > 0

940:939
05/01/17 05:54:55
まとめると、こんな感じでせうか… (;´д`)ハァハァ
 1 ≦ F_0 ≦ 3/2
 2 ≦ F_0 ≦ 3(√3)/2
n = 2, 3, … のとき、F_n ≧ 3(√3)^n/2

941:132人目の素数さん
05/01/17 06:07:48
もひとつおまけに
 x/(1+x^2) + y/(1+y^2) + z/(1+z^2) ≦ 3√3/4

942:132人目の素数さん
05/01/17 06:14:02
>>940 3行目は F_1 の書き間違い
>>941 は、正の実数x,y,zがx+y+z=xyzを満たす条件下で。

943:132人目の素数さん
05/01/17 06:19:05
たびたびスミマセン。
>>940の最小値には、イコールがつかないですね…

944:132人目の素数さん
05/01/17 06:47:51
 G_n = (x^n)/(1+x^2) + (y^n)/(1+y^2) + (z^n)/(1+z^2)
こちらのほうも、作れそうですね。

n=0 のときは、(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2 となるけど
凹凸が一定でないので無理そうですが…

945:132人目の素数さん
05/01/17 06:49:15
次スレ立ててみました。

不等式への招待 第2章
スレリンク(math板)l50

946:132人目の素数さん
05/01/17 10:39:25
>939-940
0 < sinθ・cosθ = (1/2)sin(2θ) ≦ 1/2 なので
まとめると、こんな幹事でせうか…
 n≦(1-√2)/2 のとき F_n ≧ 3(√3)^n /2,
 0≦n≦1 のとき 0 < F_n ≦ 3(√3)^n /2,
 (1+√2)/2≦n のとき F_n ≧ 3(√3)^n /2.

947:132人目の素数さん
05/01/17 21:58:51
>941
 左辺 = (1/2)sin(2A) + (1/2)sin(2B) + (1/2)sin(2C) ≦ (3/2)sin(2π/3) = (3/4)√3.

>944
 f(θ) = (tanθ)^n (cosθ)^2.
 f '(θ) = n(tanθ)^(n-1) -2(tanθ)^(n+1)・(cosθ)^2.
 f "(θ) = n(n-1)(tanθ)^(n-2)/(cosθ)^2 -2(n+1)(tanθ)^n + 4{(tanθ)^(n+2)}(cosθ)^2
= {n(n-1)[1+(tanθ)^2]^2 -2(n+1)(tanθ)^2[1+(tanθ)^2] +4(tanθ)^4}{(tanθ)^(n-2)}(cosθ)^2
= {n(n-1) +2(n^2 -2n-1)(tanθ)^2 +(n-1)(n-2)(tanθ)^4}{(tanθ)^(n-2)}(cosθ)^2
  = {-D_n +[(n-1)^2 -2 +(n-1)(n-2)(tanθ)^2]^2}{(tanθ)^(n-2)}(cosθ)^2 /[(n-1)(n-2)].
 ここに、判別式 D_n = [(n-1)^2 -2]^2 -n(n-2)(n-1)^2 = 4 -3(n-1)^2.

 n≦1-(2/3)√3 = -0.154700538379252… または n≧1+(2/3)√3 = 2.154700538379252… のとき
 D_n ≦0, f "≧0 (下に凸).
 ∴ (x^n)/(1+x^2) + (y^n)/(1+y^2) + (z^n)/(1+z^2) ≧ (3/4)(√3)^n.
ぬるぽ

948:未解答なもの (たぶん)
05/01/17 22:00:55
>>360 (D.D.Adamovic)
m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
(1). (m-2) Σ[k=1,m] |x_k|^2 = Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2.
(2). (m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.

(1)>>364、(2) 未解答


>>407 正の数 a,b,c に対して、1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/(1+abc)


>>783 整数 a, b, c, d が a>b>c>d>0、ad=bc をみたすとき、(a-d)^2 ≧ 4d+8


>>815 a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ

949:132人目の素数さん
05/01/17 22:26:39
>948
[407] は [477] [503] [>>504-505] の辺りにも...

950:132人目の素数さん
05/01/17 22:34:01
>>949
あぁほんとだ。
どおりで解いたことあるような気がしてた。

951:問題
05/01/17 22:52:33
三角形の辺の長さ a, b, c について
(1) (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2 ≦ 3abc
(2) (a+b-c)^a・(b+c-a)^b・(c+a-b)^c ≦ (a^a)(b^b)(c^c)

正の数 a, b, c, p, q, r に対して、
(3) p^4/a^3 + q^4/b^3 + r^4/c^3 ≧ (p+q+r)^4/(a+b+c)^3
(4) p+q+r=1 のとき、a+b+c ≧ (a^p)(b^q)(c^r) + (a^q)(b^r)(c^p) + (a^r)(b^p)(c^q)

(5) 非負実数 a, b, c に対して、(bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ 27(a^3+b^3+c^3)^2

(6) 自然数 n と a>b>0 に対して、a^n-b^n > n(a-b)(ab)^[(n-1)/2]

(7) 正の数 a_1, … a_k に対して、相乗平均を G とおくと、(1+a_1)…(1+a_n) ≧ (1+G)^n
       ___ 
彡     /  ≧ \    彡 ビュゥ……
  彡   |:::  \ ./ |  彡
      |:::: (● (●|     (7) は既出のような気がしますが…
      ヽ::::......ワ...ノ     (3) は一般化できそうな予感
        人つゝ 人,,
      Yノ人 ノ ノノゞ⌒~ゞ      よろしくお願いします。
    .  ノ /ミ|\、    ノノ ( 彡
     `⌒  .U~U`ヾ    丿
             ⌒~⌒

952:未解答なもの (その2)
05/01/18 01:31:33
565 名前:三角形と三角関数の不等式[sage] 投稿日:04/11/01(月) 09:24:59

(1) [1963 Eotvos] 0<x<π/2 のとき、(1/(sin x)+1)(1/(cos x)+1) > 5

(2) [1978 Austria] tan k (k = 1度, …, 44度)の相加平均をA、相乗平均をGとおくとき、A > (√2)-1 > G

(3) [1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1

(4) 0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2  [類 : 不等式への招待 P.39 ]

(5) 0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)

953: ◆BhMath2chk
05/01/18 02:00:00
>>783
p=gcd(a,b),q=a/p,r=b/p,s=c/qとすると
a=pq,b=pr,c=qs,d=rs。
a>b>c>d>0からp/s>q/r>1。
a-d≧(r+1)(s+1)-rs=r+s+1≧2√(rs)+1=2√(d)+1。
等号が同時に成り立つことはないので
a-d>2√(d)+1。
(a-d)^2>4d+4√(d)+1≧4d+5。
(a-d)^2は4で割ると余りは0か1なので
(a-d)^2≧4d+8。


954:132人目の素数さん
05/01/18 02:01:04
>951 (1)
b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z とおく。
(1) 左辺 = [x(y+z)^2 +y(z+x)^2 +z(x+y)^2]/4 = (y+z)(z+x)(x+y)/4 +xyz
= 3(y+z)(z+x)(x+y)/8 -(1/8){x(y-z)^2 +y(z-x)^2 +z(x-y)^2} ≦ 3(x+y)(y+z)(z+x)/8 = 右辺.

(7) 初めて見たが...
 f(x)=Ln(1+e^x) とおくと f '(x)=(e^x)/(1+e^x), f"(x) =(e^x)/(1+e^x)^2 >0 (下に凸) より。
ぬるぽ

955:132人目の素数さん
05/01/18 03:04:14
>952 (>>565)
(1) {1+sin(x)}{1+cos(x)} -5sin(x)cos(x) = 1 + sin(x)+cos(x) -4sin(x)cos(x)
 = 1 + 1 -2sin(2x) ≧ 2{1-sin(2x)} >0.

(2) y=tan(x) は下に凸だから、[tan(0)+tan(π/4)]/2 ≧ [tanθ + tan(π/4 -θ)]/2 ≧ tan(π/8).
  また、tanθ・tan(π/4 -θ) = 1 - tanθ - tan(π/4 -θ) ≦ 1-2tan(π/8) = {tan(π/8)}^2.
  ∴ 1/2> A > tan(π/8) = √2 -1 > G >0.

(6) -a+b+c=x, a-b+c=y, a+b-c=z とおくと、相加・調和平均より
 1/a = 2/(y+z) ≦ (1/y +1/z)/2,
 1/b = 2/(z+x) ≦ (1/z +1/x)/2,
 1/c = 2/(x+y) ≦ (1/x +1/y)/2.
 辺々たす。
ぬるぽ


956:132人目の素数さん
05/01/18 03:17:06
こんな遅くまで、乙です。
新スレのほうに、例の Majorizatoin Inequality と
外国の不等式ヲタのサイトを発見したので、見てみてください。(笑)

957:132人目の素数さん
05/01/18 08:17:50
>951 (7)
 S_kは{a_i}のk次の基本対称式, G = (S_n)^(1/n) = (a_1・a_2・・・・a_n)^(1/n) とおく。
 相加・相乗平均により、
 左辺 = Σ[k=0,n] S_k ≧ Σ[k=0,n] C[n,k]・G^k = (1+G)^n.
ぬるぽ

958:132人目の素数さん
05/01/18 11:55:12
>951 (2)
 b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z とおくと、x+y+z=a+b+c.
 yz = (c+a-b)(a+b-c)= a^2 - (b-c)^2 ≦ a^2 など.
 Ln(左辺) = (1/2){(y+z)Ln(z) + (z+x)Ln(x) + (x+y)Ln(y)} = (1/2){y・Ln(yz) + z・Ln(zx) + x・Ln(xy)}
 ≦ y・Ln(a) + z・Ln(b) + x・Ln(c) ≦ a・Ln(a) +b・Ln(b) +c・Ln(c) = Ln(右辺).

>928 (凡例)
 nが偶数, 0<a<b のとき x_{2k-1}=Xo, x_{2k}=Xe≠Xo に対して
 左辺 = (n/2){Xo/(aXe+bXo) +Xe/(aXo+bXe)} = (n/2)[a(Xo-Xe)^2 +2(a+b)XoXe]/{(aXe+bXo)(aXo+bXe)}
 = [n/(a+b)]{1 -(a/2)(b-a)(Xo-Xe)^2/[XoXe(a+b)^2 +ab(Xo-Xe)^2]} < n/(a+b) = 右辺.
となるので、nが偶数のときは a≧b が必要かと....

959:132人目の素数さん
05/01/18 22:02:56
>951 (2)
 [958]の訂正 死んでお詫びを……(AA省略)
 Ln(1+x) ≦x より a・Ln(a+b-c) = a{Ln(a)+Ln[1+(b-c)/a]} ≦ a・Ln(a) +b-c.
 これを循環的にたす。

>951 (5)
 bc+ca+ab = (a^2 +b^2 +c^2) -(1/2)[(b-c)^2 +(c-a)^2 +(a-b)^2] ≦ (a^2 +b^2 +c^2).
 (a+b+c)^2 = 3(a^2 +b^2 +c^2) -(b-c)^2 -(c-a)^2 -(a-b)^2 ≦ 3(a^2 +b^2 +c^2).
 辺々かけて、 左辺 ≦ 9(a^2 +b^2 +c^2)^3.
これと [>>153]の(補題) [>>688] を使って、
 左辺 ≦ 9(a^2 +b^2 +c^2)^3 ≦ 27(a^3+b^3+c^3)^2 = 右辺.
ぬるぽ

960:132人目の素数さん
05/01/18 22:17:02
   ~~相加・相乗平均の練習問題~~
>951(4)
 p+q+r=1 ⇒ pa+qb+rc ≧ (a^p)(b^q)(c^r) これを循環的にたす。

>951(6)
 (a^n-b^n)/(a-b) = a^(n-1) +a(n-2)b +…… + ab^(n-2) +b^(n-1) > n(ab)^[(n-1)/2].
ぬるぽ

961:132人目の素数さん
05/01/19 03:35:24
>>944>>947
0<A,B,C<π/2, A+B+C=π のとき、>>580より次が成り立つ。等号はA=B=C=π/3
 0 < cosA・cosB・cosC ≦ 1/8

G_n = (tanA)^n (cosA)^2 + (tanB)^n (cosB)^2 + (tanC)^n (cosC)^2 において、
 G_0 = (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1-2cosA・cosB・cosC
 G_2 = (sinA)^2 + (sinB)^2 + (sinC)^2 = 2+2cosA・cosB・cosC
だから、G_0 > 3/4、 0 < G_2 < 9/4

>>947より、0 < G_1 ≦ (3/4)√3、 n=3,4,…のとき G_n ≧ (3/4)(√3)^n

でよろしいでせうか? (;´д`)ハァハァ

962:未解答リスト (これで全部?)
05/01/19 05:34:09
>>360 (D.D.Adamovic) の(2)番。 (1)の解答は>>364
m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
(1). (m-2) Σ[k=1,m] |x_k|^2 = Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2.
(2). (m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.

>>565
(3) [1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
 tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1

(4) 0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2  [類 : 不等式への招待 P.39 ]

>>815 a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ。

>>908 (3) 正整数p,qに対し、|p/q-√2|≧(6-4√2)/(q^2)

>>951 (3) 正の数 a, b, c, p, q, r に対して、 p^4/a^3 + q^4/b^3 + r^4/c^3 ≧ (p+q+r)^4/(a+b+c)^3

963:132人目の素数さん
05/01/19 05:50:03
>>951(3) の類題をコレクションの中から発見!
このスレには書いてなかったよね? (いちおう検索したけど…)

【類題】 文字はすべて正の数とする。
 p^2/a + q^2/b + r^2/c ≧ (p+q+r)^2/(a+b+c)

(証)
 p^2/a + q^2/b - (p+q)^2/(a+b) = (aq-bp)^2/[ab(a+b)] ≧ 0
 ∴ p^2/a + q^2/b ≧ (p+q)^2/(a+b)
これを2回用いて、
 p^2/a + q^2/b + r^2/c ≧ (p+q)^2/(a+b) + r^2/c ≧ (p+q+r)^2/(a+b+c)
等号成立条件は
 aq=bp かつ (a+b)r=c(p+q) ⇔ p/a = q/b = r/c

964:132人目の素数さん
05/01/19 05:57:32
>>955
(>>565)(1) [1963 Eotvos] 0<x<π/2 のとき、(1/(sin x)+1)(1/(cos x)+1) > 5

の解答について質問です。

{1+sin(x)}{1+cos(x)} -5sin(x)cos(x)
 = 1 + sin(x)+cos(x) -4sin(x)cos(x)
 = 1 + 1 -2sin(2x)             ← ここは なぜですか?
 ≧ 2{1-sin(2x)}
 > 0.

965:964
05/01/19 05:59:22
あぁ、分かりました。
問題文に 0<x<π/2 とあるから、合成して sin(x)+cos(x) ≧ 1 なんですね。
スマソ。

966:132人目の素数さん
05/01/19 09:22:16
>962
>>565(5)もまだだよ。

967:132人目の素数さん
05/01/19 09:30:30
>>953
なるほど。ありがとうございまする。
こりゃ思いつかんわ…。

968:132人目の素数さん
05/01/19 19:09:06
>951(3) >963
 a,b,c,n,p,q,r>0. p/a=P, q/b=Q, r/c=R とおく。 y=x^(n+1) は下に凸なのでJensenにより、
 左辺 = p^(n+1)/(a^n) + q^(n+1)/(b^n) +r^(n+1)/(c^r) = a・P^(n+1) +b・Q^(n+1) +c・Q^(n+1)
 ≧ (a+b+c){(aP+bQ+cR)/(a+b+c)}^(n+1) = (p+q+r)^(n+1) /(a+b+c)^n = 右辺.
 等号条件は P=Q=R すなわち p/a = q/b = r/c.
ぬるぽ

969:968
05/01/19 19:59:11
[968] に写し間違い,スマソ。 r^(n+1)/(c^n)、 c・R^(n+1) 

[951]への解答レス(主なもの)
  (1)[954] (2)[959] (3)[968] (4)[960] (5)[959] (6)[960] (7)[954][957]

>961
 3/4 ≦ G_0 < 1、 2 < G_2 ≦ 9/4  でいいんぢゃない?
 (0<A,B,C<π なら 3/4 ≦ G_0 < 3、 0 < G_2 ≦ 9/4)

970:132人目の素数さん
05/01/19 21:53:12
>>811(1)も未解答では?

971:132人目の素数さん
05/01/19 23:49:36
実数a[k],k=1,2,...,nに対し
|sin(a[1])|+|sin(a[2])|+...+|sin(a[n])|+|cos(a[1]+a[2]+...+a[n])|≧1

972:132人目の素数さん
05/01/20 00:59:14
>>969
㌧クス。

973:未回答リスト (>>962) に追加
05/01/20 09:33:33
 ↑ の問題と、>>962のリストと、次の3問。

>>563(7) 自然数 m, n と実数 0≦x≦1 に対して、(1-x^n)^m+{1-(1-x)^m}^n ≧1

>>565(5) 0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)

>>811(1) 1対1の上への関数 f : [0,1]→[0,1] は狭義単調増加であるとし、逆関数をgとおく。
  0<t<1のとき、∫[0,1] (f(x)+g(x))^t dx≧(2^t)/(1+t) を示せ。

974:132人目の素数さん
05/01/20 09:36:51
ごめん、563(7) は>>662にあった

975:132人目の素数さん
05/01/20 10:08:21
>>973 さらに追加
>>791
各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B ∠C>π/2を満たす。
この時、AB+BC+CA≧77を示せ


等号成立条件しか書かれていないので未解決としてよいかと
出題は某国数学オリンピック。

976:132人目の素数さん
05/01/20 12:23:46
>971
 a[k]/π に最も近い整数を q[k]、r[k] = a[k] - q[k]π とすると, |r[k]| ≦ π/2.
 左辺 = |sin(r[1])| + …… + |sin(a[n])| + |cos(S)|
 ≧ (2/π)(|r[1]|+|r[2]|+ …… +|r[n]|) + |cos(S)| = (2/π)Θ + |cos(S)|.
 ここに S = r[1] + r[2] + …… + r[n], Θ = |r[1]| + |r[2]| + …… + |r[n]| とおいた。
 Θ ≧ π/2 のときは成立。
 Θ < π/2 のとき 0 ≦ S ≦ Θ より, 左辺 ≧ (2/π)Θ + cosΘ ≧1.
ぬるぽ

>974
 ごめん、563(7) は >>706-707 で解決のように見えまつが、>>705 (未解決)を使ってますた。

977: ◆BhMath2chk
05/01/20 14:00:00
 |sin(x+y)|
≦|sin(x)||cos(y)|+|cos(x)||sin(y)|
≦|sin(x)|+|sin(y)|。

 1
≦|sin(Σ(a(k)))|+|cos(Σ(a(k)))|
≦Σ|sin(a(k))|+|cos(Σ(a(k)))|。


978:132人目の素数さん
05/01/20 16:09:47
ウホッ いい不等式 ( ゚∀゚) テヘ

979:132人目の素数さん
05/01/20 16:28:30
一年二十四日。


980:132人目の素数さん
05/01/20 22:13:31
>>951(6) を改造。
自然数 n と a>b>0 に対して、(n/2)(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)] > a^n-b^n > n(a-b)(ab)^[(n-1)/2]
( ゚∀゚) テヘッ

981:132人目の素数さん
05/01/20 22:28:19
∫[0,1]{x/cos(x)}dx < log(2)

982:132人目の素数さん
05/01/21 06:05:38
>>976
最後の行
> Θ < π/2 のとき 0 ≦ S ≦ Θ より, 左辺 ≧ (2/π)Θ + cosΘ ≧1.
において、
  左辺 ≧ (2/π)Θ + cosΘ
ここまでは分かりましたが、それが ≧1 となるのは何故ですか?

983:982
05/01/21 06:12:39
まさか、f(θ) = (2/π)θ + cosθ を微分して、
0<θ<π/2 における増減を調べて ≧1 を確認
なんて面倒なことをしないですよね?

984:982
05/01/21 06:26:11
グラフから、0≦θ<π/2 において cosθ ≧ 1-(2/π)θ であることを使うのですか?

985:132人目の素数さん
05/01/21 07:26:53
>>951(5) [>959]
以下の解法は合ってますか? ( ゚∀゚) テヘッ

x≧0 において、y=x^3は下に凸だからJensenの不等式より
 (a^3+b^3+c^3)/3 ≧ [(a+b+c)/3]^3 … (1)
対称性から a≧b≧cとしてよく、チェビシェフの不等式より
 (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ [(a+b+c)/3]・[(ab+bc+ca)/3] … (2)
2[(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)] = (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≧ 0 より
 (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ (ab+bc+ca)/3 … (3)
式は負でないから、(1)、(2)を辺々かけて、(3)を用いる。

986:132人目の素数さん
05/01/21 09:27:43
>981
 0<x<√2 ⇒ -cos(x)>-1, -sin(x)>-x, cos(x)>1-(1/2)x^2.
 x/cos(x) < x/{1-(1/2)x^2}.
 ∫_[0,a] x/cos(x) dx < ∫_[0,a] x/{1-(1/2)x^2} dx = [-Ln{1-(1/2)x^2}](x=0→a) = Ln{2/(2-a^2)}.

>982-984
 f(θ)は上に凸だから、f(θ) ≧ {(π/2-θ)f(0) + θf(π/2)}/(π/2) = 1.

>985
 (a^3+b^3+c^3)/3 ≧ [(a+b+c)/3]・[(a^2+b^2+c^2)/3] … (2)
 ぢゃない?

987:132人目の素数さん
05/01/21 09:56:55
>>986
そうそう、写し間違いですた。ゴメソ。

988:132人目の素数さん
05/01/21 16:40:19
【問題】 正の実数 x(k,j)、自然数 m, n に対して、次式を示せ。
 [x(1,1)^n + … + x(1,m)^n]…[x(n,1)^n + … + x(n,m)^n] ≧ [x(1,1)…x(n,1) + … + x(n,1)…x(n,m)]^n

うまく証明できません。たのも~。
>>951(7) は、m=2、x(n,1)^n=1、x(n,2)^n=a_ の場合になりますよね?
どっかで見たことあると思ったら、これだったか…。

発掘元
URLリンク(user.ecc.u-tokyo.ac.jp)の8ページ目

989:132人目の素数さん
05/01/21 22:30:16
>980
 相加・相乗平均により
 {k・a^(n-1) + (n-1-k)・b^(n-1)} / (n-1) ≧ a^k・b^(n-1-k).
 これを k=0~n-1 について加えて(1/2)を掛けると
 (n/2)[a^(n-1) +b^(n-1)] ≧ a^(n-1) +a^(n-2)b + …… +ab^(n-2) +b^(n-1) = (a^n -b^n)/(a-b).


>988
 ●知られざる(?)コーシー・シュワルツの拡張形●
 nについての帰納法による。
 n=1のときは 明らか。
 n=2のときは "コーシー・シュワルツの不等式になりますね。"
 nが偶数のとき、 n/2 について成立ち、また2についても成立つことから……
 nが奇数のとき、 n+1 については成立つ。これを
  X(k,i)= x(k,i)^{n/(n+1)} (1≦k≦n), X(n+1,i)={x(1,i)x(2,i)…x(n,i)}^{1/(n+1)}
 に適用すると、与式の両辺に (右辺)^(1/n) を掛けた式が……
ぬるぽ

990:132人目の素数さん
05/01/21 23:45:56
相加相乗でも解けるね

991:132人目の素数さん
05/01/22 03:32:58
>>989
さすが、いつもながら グッジョブ!です。

>>990
詳細キボンヌ。

992:132人目の素数さん
05/01/22 03:59:57
>>988-989
Cauchyの不等式って積分に拡張したSchwarzの不等式があるよね。
「知られざる(?)コーシー・シュワルツの拡張形」 も、積分に拡張できるでしょうか?
> 正の実数 x(k,j)、自然数 m, n に対して、
> [x(1,1)^n + … + x(1,m)^n]…[x(n,1)^n + … + x(n,m)^n] ≧ [x(1,1)…x(n,1) + … + x(n,1)…x(n,m)]^n

もし出来るとしたら、こんな感じですか?

【予想】
区間 [a, b] で連続な実関数 f_1, …, _m に対して
 [∫[a, b](f_1(x))^n dx]…[∫[a, b](f_m(x))^n dx] ≧ [∫[a, b]f_1(x)…f_m(x) dx]^n

993:132人目の素数さん
05/01/22 04:30:50
>>992
【Schwarzの不等式】
区間 [a, b] で連続な実関数 f, g に対して
 [∫[a, b]f(x)^2 dx]…[∫[a, b]g(x)^2 dx] ≧ [∫[a, b]f(x)g(x) dx]^2
(証明)
任意の実数 t に対して ∫[a,b](tf(x)+g(x))^2 dx ≧ 0 … (☆)
展開して (t^2)∫[a,b](f(x))^2 dx + 2t∫[a,b]f(x)g(x) dx + ∫[a,b](g(x))^2 dx ≧ 0

∫[a,b](f(x))^2 dx>0 のとき、上式の左辺の判別式 D≦0 より、示すべき不等式を得る。
等号は D=0 のときで、このとき (☆) は あるt=cにおいて ∫[a,b](cf(x)+g(x))^2 dx=0
となるから、区間 [a, b] でcf(x)+g(x)=0

∫[a,b](f(x))^2 dx=0 のとき、区間 [a, b] で f(x)=0 より、示すべき不等式で等号が成り立つ。
(このとき、f(x) = 0×g(x) と書ける)

等号成立条件は、f, g の一方が他方の定数倍のとき。

994:132人目の素数さん
05/01/22 04:32:18
>>992
その予想は、993の方法では難しそうでつね。
そもそも成り立つかどうか知らないし…。
( ゚∀゚) テヘッ

995:132人目の素数さん
05/01/22 04:34:40
>>989
●知られざる(?)コーシー・シュワルツの拡張形● の等号成立条件は、どうなるのでしょうか?

996:132人目の素数さん
05/01/22 05:04:22
>>980
> 自然数 n≧2 と a>b>0 に対して、(n/2)(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)] > a^n-b^n

(別解1)
x>0、n≧2 において y=x^(n-1) は下に凸だから、
区間 [b, a] において、この間数とx軸で囲まれる部分の面積を考えて
 (台形)≧ ∫[b, a]x^(n-1)dx
 (1/2)(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)] > (a^n-b^n)/n

997:132人目の素数さん
05/01/22 05:18:16
(別解2)
a/b = t (>1) とおくと、示すべき不等式は
 (n/2)(t-1)(t^(n-1)-1) > t^n -1 …(☆)
これを示そう。
 f(t) = n(t-1)(t^(n-1)-1) -2(t^n -1)
 f'(t) = n(n-2)t^(n-1) -n(n-1)t^(n-2) +n
 f''(t) = n(n-1)(n-2)t^(n-3)(t-1)
t>1 において f''(t)>0、f'(1)=0 より、f'(t)>0 だから fは単調増加
 f(t)>f(1)=0

998:不等式ヲタ
05/01/22 05:19:29
このスレが、ここまで盛り上がったのも皆さんのおかげです。
きっと>>1も草葉の陰で喜んでいることでしょう。
次スレもよろしくお願いします。
…と、なんとなく締めくくってみる。
   ___
 ./  ≧ \
 |::::  \ ./ |
 |::::: (● (● | グッジョブ!
 ヽ::::... .ワ....ノ    n  
 ̄ ̄   \    ( E)
フ     /ヽ ヽ_//

999:132人目の素数さん
05/01/22 05:22:48
次スレ

不等式への招待 第2章
スレリンク(math板)l50

1000:132人目の素数さん
05/01/22 05:24:02
1000<10000

1001:1001
Over 1000 Thread
このスレッドは1000を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。


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