04/12/16 08:57:51
>>704(5)
-a+b+c=x, a-b+c=y, a+b-c=z とおくと三角不等式が外れて、
x,y,z≧0, x+y+z=a+b+c, a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2.
∴ (a^2)b +(b^2)c +(c^2)a = [(x+y+z)^3 -{(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x}]/8 ≦ (1/8)(x+y+z)^3 = (1/8)(a+b+c)^3.
等号成立は (x,y,z)=(1,0,0) & rotations, (a,b,c)=(0,1/2,1/2) & rotations のとき.
次に (4/27)(x+y+z)^3 -{(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x} ≧0 を示す。
x,y≧z≧0 としても一般性を失わない。x-z=X, y-z=Y とおくと X,Y≧0.
(x+y+z)^3 = (X+Y+3z)^3 = (X+Y)^3 +27z{(1/3)(X+Y)^2 +(X+Y)z +z^2}.
(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x = (X^2)Y + 3z{(1/3)(X+Y)^2 +(X+Y)z +z^2}.
∴ (4/27)(x+y+z)^3 -{(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x} ≧ (4/27)(X+Y)^3 -(X^2)Y = (1/27)(X-2Y)^2･(4X+Y) ≧0.
等号成立は X-2Y=z=0, (x,y,z)=(2/3,1/3,0) & rotations, (a,b,c)=(1/6,1/3,1/2) & rotations のとき.
[704]の解答のレス番（主なもの）
(1) 719 (2) 805 [>>149,>>157] (3) 714 (4) 736-737 (5) これ (6) 729 (7) 734
ぬるぽ