04/12/08 17:59:00
>748-749
たしかに私の説明が変だな。スマソ。
751:１３２人目の素数さん
04/12/08 19:59:43
x>1, y>1, z>1, 1/x + 1/y + 1/z = 2 のとき、
√(x+y+z)≧√(x-1)+√(y-1)+√(z-1)
を示せ。
752:１３２人目の素数さん
04/12/08 20:21:47
趣旨違うかも知れんが
任意の実数xに対して、
x^4 - x^3 + x^2 - x + 21/64 > 0
を示せ。
753:１３２人目の素数さん
04/12/09 01:59:50
>>737
ふと疑問に思ったんですが、O(0,0)、A(a,b)、B(c,d)の△OABを原点の周りに回転させると
O(0,0)、A(\sqrt{a^2+b^2}, 0)、B(*,*)←略 だから、(0,0)、(a,0)、(c,d)と置き直すのはマズイかなと…
その証明では b=0 の特別な場合を証明したに過ぎないような気がするのですが…
754:１３２人目の素数さん
04/12/09 02:02:11
>>753
そーかな？
文字を新しく置き直したと見ればいいんじゃない？
755:１３２人目の素数さん
04/12/09 02:05:07
>>753
a^2+b^2 = OA^2
c^2+d^2 = OB^2
ac+bd = OA*OB*cos∠AOB
ad-bd = △OABの面積( ただし、符号つきで考える )
で△OABを原点中心に回転する。
756:１３２人目の素数さん
04/12/09 02:20:13
>>754-755
アホな質問に付きあってもらって、ありがとうございます。
回転させて、頂点を改めて(0,0)、(a,0)、(c,d) と置き直すと、
考察する不等式も、変わってしまうと思うんです。
757:１３２人目の素数さん
04/12/09 02:38:27
う～～ん、実は俺もよく分からないのだが
△ABCの面積が2の時
OA^2+OB^2+OA・OB≧√3
を示せという問題だと解釈すれば、いくら回転しても題意には影響を与えず、
回転した後、Aのy座標が0になるようにすればいいのではないか？
という事なんじゃない？
758:１３２人目の素数さん
04/12/09 03:15:32
>>757
・ 文字を置き換える → 変数変換 → 考察する不等式も変数変換すべきでは？
・ 文字だけ置き換えて考察する不等式は変えない → b=0 という特別な場合を考察
だと思うんですよね。
で、>755のヒントにしたがってゴリゴリ証明してみました。
O(0,0)、A(a,b)、B(c,d)の△OABの面積をS、∠AOB=θとおくと、条件式は
1 = |ad-bc| = 2S = √(|OA|^2|OB|^2-(OA・OB・cosθ)^2) … (★)
より、|OA|・|OB| = 1/sinθだから、
a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd = |OA|^2+|OB|^2+OA・OBcosθ = (|OA|-|OB|)^2+(2+cosθ)/sinθ
ここで、f(θ) = (2+cosθ)/sinθ の最小値を 0<θ<π で考えると、
f'(θ) = -(1+2cosθ)/(sinθ)^2
より、θ=2π/3 で極小かつ最小値をとる。したがって
(★) ≧ f(θ) ≧ f(2π/3) = √3
759:１３２人目の素数さん
04/12/09 03:29:54
三点(0,0)、(a,b)、(c,d)に対し回転行列
a/√(a^2+b^2) , b/√(a^2+b^2)
-b/√(a^2+b^2) , a/√(a^2+b^2)
を作用させる。
行列を
X Y
-Y X
とかけば
(a,b) → ( Xa+Yb , 0)
(c,d) → ( Xc+Yd , -Yc+Xd )
a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd≧√3が成立するならば
(Xa+Yb)^2 + 0^2 + (Xc+Yd)^2 + (-Yc+Xd)^2 + (Xa+Yd)(Xc+Yd)≧√3
も成立するはず
新しく
aをXa+Yb
bを0
cをXc+Yd
dを-Yc+Xd
で置き直せば>>737になると思う。
760:１３２人目の素数さん
04/12/09 12:07:50
>752
趣旨違うかも知れんが
x-(1/4) =X とおくと、任意の実数Xに対して、
左辺 = X^4 +(5/8)X^2 -(5/8)X + (33/256) = (X^2 -1/8)^2 +(7/8)(X-5/14)^2 + (3/1792) >0.
ぬるぽ
761:１３２人目の素数さん
04/12/09 14:36:45
>>759
ありがとうございます。
762:１３２人目の素数さん
04/12/09 14:52:51
>>751
(x-1)/x + (y-1)/y + (z-1)/z = 3-(1/x + 1/y + 1/z) = 1
だから、Caushy-Schwarzの不等式より
x+y+z = (x+y+z){(x-1)/x + (y-1)/y + (z-1)/z} > {√(x-1)+√(y-1)+√(z-1)}^2
両辺の平方根を取れば、示すべき不等式を得る。
もし等号が成立するとしたら、２つのベクトルが平行のときだから、
k(√a, √b, √c,) = (√(x-1), √(y-1), √(z-1))
これを条件式下で解くと、a=b=c=2/3 となるので、根号内条件に反する。
763:１３２人目の素数さん
04/12/09 15:45:22
>>762
最後の部分が変ですよ。
764:１３２人目の素数さん
04/12/09 15:50:52
>>763
㌧ｸｽ。
もし等号が成立するとしたら、２つのベクトルが平行のときだから、
k(√x, √y, √z,) = (√{(x-1)/x}, √{(y-1)/y}, √{(z-1)/z})
これを条件式下で解くと、a=b=c=2/3 となるので、根号内条件に反する。
765:１３２人目の素数さん
04/12/09 15:55:44
>>764
x=y=z=3/2で等号成り立つでしょ。
766:１３２人目の素数さん
04/12/09 16:11:30
>>765
あ、ほんとだ…
767:１３２人目の素数さん
04/12/09 16:15:00
>>762
訂正
等号成立条件は
k(√x, √y, √z,) = (√{(x-1)/x}, √{(y-1)/y}, √{(z-1)/z})
を条件式下で解いて x=y=z=3/2
il||li ＿|￣|○ il||li
768:１３２人目の素数さん
04/12/09 21:22:52
x>0, x≠1 のとき
log(x)/(x^3-1) < (x+1)/{3(x^3+x)}
を示せ。
769:１３２人目の素数さん
04/12/09 21:35:43
>>768
高校生の宿題は、質問スレに書け！
770:727
04/12/09 21:38:36
>>565(7)
[733] により修正された問題。 まづ余弦定理を使って a,b,c で表わす。
左辺 = (b+c)cosＡ)/(a^2) + (c+a)cosＢ/(b^2) + (a+b)cosＣ/(c^2)
= {(b+c)(b^2 +c^2 -a^2)/a +(c+a)(c^2 +a^2 -b^2)/b +(a+b)(a^2 +b^2 -c^2)/c}/(2abc).
次に基本対称式 s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc とおくと s^3 -4st+9u≧0, t^2 -3su≧0, s^2 -3t≧0 [>>611]
左辺 = {t(s^3 -4st+9u) +2s(t^2 -3su)}/(2u^2) + 3(s^2 -3t)/(2u) + t/u
≧ t/u = 1/a +1/b +1/c ≧ 右辺.
３角形ぢゃなくても成り立ちそうな．．．
ぬるぽ
771:768
04/12/09 21:59:58
出典はGreen Bookなんだが...
まあ、そう見えるか。
772:１３２人目の素数さん
04/12/09 22:18:57
LCM(a,b)はa,bの最小公倍数を表すとする。
m＞nなる自然数m,nに対し
LCM(m,n) + LCM(m+1,n+1)＞2mn/√(m-n)
を示せ
若干趣旨がずれるかも知れないがネタ補給
773:１３２人目の素数さん
04/12/09 22:28:45
>771
Green Book って何ですか？
検索したら830件もヒットしましたが…
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
774:１３２人目の素数さん
04/12/09 22:38:04
Green Book = 青チャート
775:１３２人目の素数さん
04/12/09 23:06:11
>>773 Doverから出てる問題集があるんだよ。
776:１３２人目の素数さん
04/12/09 23:10:48
>>775
ウホッ！不等式だけの問題集？
777:１３２人目の素数さん
04/12/09 23:11:37
オラオラ！題名キボン！！
778:１３２人目の素数さん
04/12/09 23:23:37
これですか？
不等式はどのくらい載ってるんですか？
問題のレベルはどれくらいですか？
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
779:１３２人目の素数さん
04/12/09 23:35:32
この数ヲタ！ ＿＿＿ ｵﾗｯ !
ﾄﾞｯｶﾝ | | でてこい、>>771！
∩∩ | | | ∩∩
| | | | | | | | | | |
..( ,,) .| | | (・ｘ・ ）
/ .つ━ﾛ|ﾛ ﾄﾞｶﾝ l |Ｕ
～（ / | ｜ |⊂＿ |～
し'∪ | | | ∪
780:771
04/12/10 00:27:12
>>778 そう、それ。普通の問題集だから、不等式の問題は殆ど載ってません。ごめんね。
"preparation for the Putnum" と書いてあるので、教養レベルくらいだと思うが、
高校生でも解けそうな問題もあります。
kalvaのページで紹介されていたので、けっこう有名な本なのかと思ったのだが。
781:１３２人目の素数さん
04/12/10 01:04:48
>>752,>>760
ピタッと最小値を出してやろうとして、x-(1/4) =X とおいて
x^4-x^3+x^2-x = X^4 +(5/8)X^2 -(5/8)X - (51/256) = (t^2-a^2)^2+b(t-a)^2+c
を計算したら、aが３乗根を含む形になったので止めた…
782:１３２人目の素数さん
04/12/10 02:14:30
【問題】 実数 x, y に対して 4 + x^2y^4 + x^4y^2 - 3x^2y^2 の最小値を求めよ。
ASU 1981 問22
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
783:１３２人目の素数さん
04/12/10 06:24:16
【問題】 整数 a, b, c, d が a>b>c>d>0、ad=bc をみたすとき、(a-d)^2 ≧ 4d+8 を示せ。
784: ◆BhMath2chk
04/12/10 07:00:02
>>772
ｍ－ｎはｇｃｄ（ｍ，ｎ）とｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）の倍数。
ｇｃｄ（ｍ，ｎ）とｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）はそれぞれｍとｍ＋１の約数なので
互いに素だからｍ－ｎはｇｃｄ（ｍ，ｎ）ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）の倍数。
ｇｃｄ（ｍ，ｎ）ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）≦ｍ－ｎ。
ｌｃｍ（ｍ，ｎ）＋ｌｃｍ（ｍ＋１，ｎ＋１）
＝ｍｎ／ｇｃｄ（ｍ，ｎ）＋（ｍ＋１）（ｎ＋１）／ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）
＞ｍｎ／ｇｃｄ（ｍ，ｎ）＋ｍｎ／ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）
≧２ｍｎ／√（ｇｃｄ（ｍ，ｎ）ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１））
≧２ｍｎ／√（ｍ－ｎ）。
785:１３２人目の素数さん
04/12/10 08:37:09
>782
相加･相乗平均により、1 +x^2y^4 +x^4y^2 ≧ 3x^2y^2, 与式 ≧ 3, 等号成立は xy(x+y)(x-y)=0 のとき.
高校生でも解けそうな問題．．．．ぬるぽ
786:785
04/12/10 08:40:45
．．．と思ったら間違えた。
等号成立は x =±1, y =±1 のとき。ぬるぽ
787:１３２人目の素数さん
04/12/10 10:53:51
>768
Ln のマクローリン展開 Ln(1-t) = -Σ[k=1,∞) (1/k)t^k より
Ln{(1+t)/(1-t)} = Ln(1-t^2) -2･Ln(1-t) = Σ[k=0,∞) {2/(2k+1)}･t^(2k+1).
∴ (1/2t)Ln{(1+t)/(1-t)} = Σ[k=0,∞) {1/(2k+1)}･t^(2k)
< (2/3) + (1/3)Σ[k=0,∞) t^(2k) = (2/3) + 1/{3(1-t^2)} < {1+(t^2)/3}/(1-t^4).
ここで (1+t)/(1-t)=x とおくと t=(x-1)/(x+1).
{(x+1)/2(x-1)}Ln(x) < 2/3 + {(x+1)^2}/(12x) < {(x^2 +x+1)(x+1)^2}/{6(x^3 +x)}.
∴ Ln(x)/(x^3 -1) < (x+1)/{3(x^3 +x)}.
大関：「不等式への招待」p.46 例題6 (1987)
788:１３２人目の素数さん
04/12/10 14:22:46
f(x)=(x+1)(x^3-1)/(x^3+x)-3log(x)
f'(x)=(x-1)^4(x^2+x+1)/(x^3+x)^2
f'(x)>0 & f(1)=0
789:１３２人目の素数さん
04/12/10 19:03:36
>>785
等号は (x, y) = (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1) のとき成立ですな。
790:785
04/12/10 20:08:06
>789
仰せのとおり。㌧ｸｽ.
>788
それなら高校の宿題に出てもおかしくない．．．
>781
趣旨違うかも知れんが
最小値 = 0.0016782234764･･･ > 0.00167410714285714 = 3/1792. [>>760 の下限]
X = (1/2)[(5/18)^(1/3)]{(√6 +9/4)^(1/3) - (√6 -9/4)^(1/3)} = 0.35582958618827･･･
x = X + 1/4 = 0.60582958618827･･･
ぬるぽ
791:１３２人目の素数さん
04/12/10 20:18:22
ﾈﾀ補給
各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B ∠C＞π/2を満たす。
この時、AB+BC+CA≧77を示せ。
792:１３２人目の素数さん
04/12/10 21:14:13
m,nを正の整数とする。
Σ[ k^(m/(k^2)) ] ＜ n+m( 2^(m/4)-1 )
[x] はガウス記号
793:１３２人目の素数さん
04/12/11 17:10:30
age
794:１３２人目の素数さん
04/12/11 20:08:12
>>793 上げんな、落ちこぼれ！
＿＿＿＿＿＿＿＿__
.|＜) ＜) ＜) ＜) ＜) |
―─＝≡ ∧＿∧ ガッ. |＜) ＜) ＜) ＜) ＜) |
─＝≡ （,, ・∀・） 、_人. . |＜)∧__∧ ) ＜) ＜) |
─＝≡ ○_ と )＿_ _ _,) ,,; ＝≡ (（ ）, ＜) ＜) | ザクッ
─＝≡ > (´__） _) ∴; ＝≡≡ ｀）## . つ ＜) ＜) |
─＝≡ ( ／￣￣￣ ) '' ＝≡ ⊂ 、 ノ、) ＜) ＜) |
( ノ ⌒Y´ .|＜) ｀(_ノ＜) ＜) ＜) |
.|＜) ＜) ＜) ＜) ＜) |
795:１３２人目の素数さん
04/12/11 21:30:03
>791
等号成立は AB=33, BC=28, CA=16 のとき [cos(A)=17/32, cos(B)=7/8, cos(C)=-7/128<0]
これだけぢゃ仕方ないが．．．
>792
f(x)=Ln(x)/(x^2) とおくと f '(x)={1-2Ln(x)}/(x^3) ∴ x≧√e ≒1.6487212707 でf(x)は単調減少.
k>2 ⇒ k^{m/(k^2)} < 2^(m/4)
左辺は Σ[k=1,n] ･･･ と書いた方がいいYo.
ぬるぽ
796:795
04/12/12 18:51:02
>792 （続き）
a_k = k^{m/(k^2)} とおく。 [795] より 1 = a_1 < a_k ≦ a_2 = 2^(m/4).
(i) m≦5 のときは計算実行する。
m≦3 のときは a_k ≦ a_2 < 2 ∴ 左辺 = n < 右辺 で成立。
m=4,5 のときも a_2 <3, a_k ≦ a_3 < 2 （k>2）. ∴ 左辺 = n+1 < 右辺 で成立。
(ii) m≧6 のとき、m > 5.77078016355585 = 4/Ln(2).
a_1 = 1 < a_2 > a_k より Ln(a_k) < Ln(a_2) = m･Ln(k)/(k^2) = b.
y=exp(x) は下に凸だから、0<x<b ⇒ exp(x) < 1 + {exp(b)-1}(x/b).
∴ a_k < 1 + (a_2 -1){Ln(a_k)/b}.
下の補題を使って Σ[k=1,n] a_k < n + {4/Ln(2)}(a_2 -1)S_n < n + m(a_2 -1).
797:795
04/12/12 18:52:26
>792 (続き)
【補題】S_n = Σ[k=2,n] Ln(k)/(k^2) <1.
（略証）S_n = S_5 + Σ[k=6,n) {Ln(k)-1}/(k^2) + Σ[k=6,n] 1/(k^2).
< 0.44637574128158 + Σ[k=6,n) {Ln(k)/[(k-1)k] -1/(k^2)} + Σ[k=6,n] 1/(k^2)..
ところで、y=Ln(x) は 上に凸だから、Ln(k) +1/k > Ln(k+1).
(第2項) < Σ[k=6,n) {Ln(k)/[(k-1)k] -1/(k^2)} = Σ[k=6,n) {Ln(k)/(k-1) - [Ln(k)+1/k]/k}
< Σ[k=6,n) {Ln(k)/(k-1) - Ln(k+1)/k} = Ln(6)/5 - Ln(n+1)/n ≒ 0.35835189384561 - Ln(n+1)/n.
(第3項) < Σ[k=6,n] 1/(k^2) < (π^2)/6 -Σ[k=1,5] 1/(k^2) ≒ 0.18132295573712.
∴ S_n < 0.98605059086431 - Ln(n+1)/n <1. (終) ぬるぽ
798:795
04/12/12 20:33:48
>792 (続き)
S_n の上限値をピタッと出してやると S = Σ(k=2→∞) Ln(k)/(k^2) ≒ 0.91685416570･･･ に成増た。
ぬるぽ
799:798
04/12/13 20:09:19
また間違えた。 S ≒ 0.9375482･･･ に訂正でつ。
∧＿∧
（ ´Д｀ ） まことに
/ ヽ
し､__X__,ﾉJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ すいませんでした。
⊂ （ ） ⊃
V￣V
800:１３２人目の素数さん
04/12/14 01:52:03
>>368
おまいのようなやつがいるから、>>349 >>350のような話になるんだろうが。
＿＿＿＿＿＿＿＿__
＿＿＿＿＿＿＿＿__
.|＜) ＜) ＜) ＜) ＜) |
―─＝≡ ∧＿∧ ガッ. |＜) ＜) ＜) ＜) ＜) |
─＝≡ （,, ・∀・） 、_人. . |＜)∧__∧ ) ＜) ＜) |
─＝≡ ○_ と )＿_ _ _,) ,,; ＝≡ (（ ）, ＜) ＜) | ザクッ
─＝≡ > (´__） _) ∴; ＝≡≡ ｀）## . つ ＜) ＜) |
─＝≡ ( ／￣￣￣ ) '' ＝≡ ⊂ 、 ノ、) ＜) ＜) |
( ノ ⌒Y´ .|＜) ｀(_ノ＜) ＜) ＜) |
.|＜) ＜) ＜) ＜) ＜) |
801:１３２人目の素数さん
04/12/14 01:52:26
ごめん、誤爆
802:１３２人目の素数さん
04/12/14 03:40:27
雑魚の巡回ルートに入っているのかな？
定期的に意味不明なage荒らしがあるが…
氏ぬぇぇぇ～
803:１３２人目の素数さん
04/12/14 12:00:30
>797 の別法
[795] より f(x) ≡ Ln(x)/(x^2), 原始函数はF(x)=-{1+Ln(x)}/x.
次に S_n ≡Σ[k=1,n] f(k) ≦ ∫_[1,n+1/2] f(x)dx < ∫_[1,∞) f(x)dx
= F(∞) - F(1) =1. を示す。
f(2) ≒ 0.1732868 < 0.2334837 = F(5/2) - F(1) = ∫_[1,5/2] f(x)dx.
k≧3 のときは f '(x) = [1-2Ln(x)]/(x^3), f "(x) = [6Ln(x)-5]/(x^4)
∴ x > exp(5/6) ≒ 2.301 ⇒ f(x)は下に凸。
∴ f(k)< ∫_[k-1/2, k+1/2] f(x)dx = F(k+1/2) - F(k-1/2).
804:796
04/12/14 22:20:51
[796]の下から4行目の右半分 Ln(a_k) < Ln(a_2) = m･Ln(2)/4 = b.
死んでお詫びを．．．(AA省略)
[799] S≒0.937548254325
805:１３２人目の素数さん
04/12/15 15:24:38
>>704(2) の類題があるYo.
>>149（解答 >>157, >>162）
806:１３２人目の素数さん
04/12/15 15:27:16
>>805
Σ(ﾟДﾟ ｵｰｯ!! ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
807:１３２人目の素数さん
04/12/16 08:57:51
>>704(5)
-a+b+c=x, a-b+c=y, a+b-c=z とおくと三角不等式が外れて、
x,y,z≧0, x+y+z=a+b+c, a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2.
∴ (a^2)b +(b^2)c +(c^2)a = [(x+y+z)^3 -{(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x}]/8 ≦ (1/8)(x+y+z)^3 = (1/8)(a+b+c)^3.
等号成立は (x,y,z)=(1,0,0) & rotations, (a,b,c)=(0,1/2,1/2) & rotations のとき.
次に (4/27)(x+y+z)^3 -{(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x} ≧0 を示す。
x,y≧z≧0 としても一般性を失わない。x-z=X, y-z=Y とおくと X,Y≧0.
(x+y+z)^3 = (X+Y+3z)^3 = (X+Y)^3 +27z{(1/3)(X+Y)^2 +(X+Y)z +z^2}.
(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x = (X^2)Y + 3z{(1/3)(X+Y)^2 +(X+Y)z +z^2}.
∴ (4/27)(x+y+z)^3 -{(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x} ≧ (4/27)(X+Y)^3 -(X^2)Y = (1/27)(X-2Y)^2･(4X+Y) ≧0.
等号成立は X-2Y=z=0, (x,y,z)=(2/3,1/3,0) & rotations, (a,b,c)=(1/6,1/3,1/2) & rotations のとき.
[704]の解答のレス番（主なもの）
(1) 719 (2) 805 [>>149,>>157] (3) 714 (4) 736-737 (5) これ (6) 729 (7) 734
ぬるぽ
808:807
04/12/16 13:02:11
>>704(8)
左辺 = 3 +(b/a +a/b) +(c/b +b/c) +(a/c +c/a) = 9 +{(b-a)^2}/ab +{(c-b)^2}/bc +{(a-c)^2}/ca
≧ 9 + 3[{(b-a)^2 /ab}{(c-b)^2 /bc}{(a-c)^2 /ca}]^(1/3) = 9 + 3[(1- a/b)(1- b/c)(1- c/a)]^(2/3) ≡右辺.
ぬるぽ
809:１３２人目の素数さん
04/12/17 20:59:17
△ABCの内心をO、内接円の半径をrとすると、
OA+OB+OC≧6r を示せ。
810:１３２人目の素数さん
04/12/17 21:48:41
>807
乙でございます。なるほど、その置き換えだったんですね。
>808
なんだ、相加相乗だったのか… il||li ＿|￣|○ il||li
>809
簡単なのに難すぃ…
811:１３２人目の素数さん
04/12/17 22:09:43
ネタ補充
(1) 1対1の上への関数 f : [0,1]→[0,1] は狭義単調増加であるとし、逆関数をgとおく。
0<t<1のとき、∫[0,1] (f(x)+g(x))^t dx≧(2^t)/(1+t) を示せ。
(2) 平面上に5点A,B,C,D,Eがあるとき、AB+CD+DE+EC≦AC+AD+AE+BC+BD+BEを示せ。
(3) 非負実数係数のn次多項式f(x)のn次の係数と定数項は1であり、
f(x)=0の解は全て実数とする。このとき、f(2)≧3^n を示せ。
(4) (2*4*6*...*100)/(1*3*5*...*99)>12 を示せ。
812:１３２人目の素数さん
04/12/17 22:34:41
私もネタ補充。いつもと違う出題形式ですが…
【問題】 調和平均について、どのくらいの不等式を知ってますか？
このスレの不等式コレクションには２つしかありませんが…
a と b の調和平均を H(a, b) で表すことにすると、
[>>647(1)] H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1
[>>647(6)] H(a+b, c+d) ≧ H(a, b) + H(c, d)
下側の不等式は、繰り返し用いたら いくらでも長く出来そうですね。
他にもあったら教えてたも。
813:１３２人目の素数さん
04/12/18 00:15:20
>>809
一般的に三角形ABCの内部に点Pを取り、Pから各頂点への距離の和をA
各辺への距離の和をBとおけば、A≧2Bが成立する。これはそれの特殊な場合かと。
2chでは
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:267番)
に解答が載ってる。
ぬるぽ
814:１３２人目の素数さん
04/12/18 19:57:31
>809,813
それぢゃあこっちには三角函数を使わない方法を載せておこう。
Pから3辺 BC, CA, AB に下した垂線を PD, PE, PF とする。
∠QAB=∠CAP であるような半直線AQを引き、B,CからAQに下ろした垂線をBM,CNとする。
2角相等により △ABM∽△APE ∴ PA･BM=c･PE
2角相等により △ACN∽△APF ∴ PA･CN=b･PF
∴ PA = (c･PE+b･PF)/(BM+CN).
ところが、半直線AMNと辺BCとの交点をQとすると, BM + CN ≦ BQ + QC = BC = a.
∴ PA ≧ (c/a)PE + (b/a)PF.
循環的に加えれば PA+PB+PC ≧ (c/b +b/c)PD +(a/c +c/a)PE +(b/a +a/b)PF ≧ 2(PD+PE+PF).
等号の成立は △ABCが正三角形で, Pがその中心 という場合だけ。 [東山和生氏による]
ほかにパッポスの定理や(外接円に関する)トレミーの定理を使う方法もあるらしい。
〔参考文献〕
｢数学の問題 第(1)集｣ No.53 日本評論社(1977) [数セミ,４０(2) (2001,Feb.)で再出題]
N.D.Kazarinoff: "Geometric Inequalities", RandomHouse(1961) → 数理科学,１(4),サイエンス社(1963.10)
P.Erdosの問題: Amer.Math.Monthly (1935) → 大関:｢不等式への招待｣ p.14 近代科学社(1987.12)
815:１３２人目の素数さん
04/12/19 02:03:39
a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。
ab≧10を示せ
816:１３２人目の素数さん
04/12/20 12:01:45
>811(4)
(4)
【補題】 [2*4*6*･･･*(2n)]/[1*3*5*･･･*(2n-1)] > √(3n+1).
(略証)
(左辺)^2 = (2n+1)Π[k=1,n] {(2k)^2}/{(2k-1)(2k+1)}
= (2n+1)Π[k=1,n] {1 +1/((2k-1)(2k+1))} > (2n+1){1 +Σ[k=1,n] 1/((2k-1)(2k+1)) }
= (2n+1){1+(1/2)Σ[k=1,n] (1/(2k-1) -1/(2k+1)) } = (2n+1){1+(1/2)[1-1/(2n+1)]} = 3n+1.
∴ 与式 > √151 =12.288206
上記Σの初めの項を別扱いすれば少し増加して、
左辺 > √{3n+1 +(n-1)/9} ≒ √156.4444 = 12.507775
左辺 > √{3n+1 +(n-1)/9 +4(n-2)/225} = √157.29778 = 12.541841
なお、Stirling の公式 n!≒ n^(n+1/2)･exp(-n +1/(12n))･√(2π) から、
(左辺) = {(2^n)(n!)}^2 /(2n)! = (4^n)/Ｃ[2n,n] ≒ √(πn)･exp(1/8n) = 12.564513
817:816
04/12/20 17:55:23
>811(4)
Stirlingの不等式 n^(n+1/2)･exp(-n)･√(2π) < n! < n^(n+1/2)･exp(-n +1/(12n))･√(2π) から、
(左辺) = {(2^n)(n!)}^2 /(2n)! > √(πn)･exp(-1/24n) = 12.522701
ぬるぽ
818:770
04/12/21 13:14:46
>>565(7), >>733
r>0 とする。
左辺 = (b+c)cosＡ/(a^r) + (c+a)cosＢ/(b^r) + (a+b)cosＣ/(c^r)
= a{cosＢ/(b^r) +cosＣ/(c^r)} +b{cosＣ/(c^r) +cosＡ/(a^r)} +c{cosＡ/(a^r) +cosＢ/(b^r)}
a,b,cの大小とA,B,Cの大小は一致するから
左辺 ≧ a{cosＢ/(c^r) +cosＣ/(b^r)} +b{cosＣ/(a^r) +cosＡ/(c^r)} +c{cosＡ/(b^r) +cosＢ/(a^r)}
= (b･cosＣ+c･cosＡ)/(a^r) + (c･cosＡ+acosＢ)/(c^r) + (a･cosＢ+b･cosＡ)/(c^r)
第一余弦定理より
左辺 ≧ 1/a^(r-1) + 1/b^(r-1) + 1/c^(r-1).
819: ◆BhMath2chk
04/12/22 22:00:01
>>812
Ｈ（Ｈ（ａ，ｂ），Ｈ（ｃ，ｄ））＝Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）。
Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，Ｈ（ａ，ｂ，ｃ））＝Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）。
Ｈ（ａｂ，ａｃ，ａｄ）＝ａＨ（ｂ，ｃ，ｄ）。
Ｈ（１，１，１）＝１。
ａ≦ｃ，ｂ≦ｄのときＨ（ａ，ｂ）≦Ｈ（ｃ，ｄ）。
（１／４）Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）≦（１／３）Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）。
ｌｉｍ＿｛ｄ－＞＋∞｝Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＝（４／３）Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）。
Ｈ（ａ，ｂ）＋Ｈ（ｃ，ｄ）≦Ｈ（ａ＋ｃ，ｂ＋ｄ）。
Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）＋Ｈ（ｄ，ｅ，ｆ）≦Ｈ（ａ＋ｄ，ｂ＋ｅ，ｃ＋ｆ）。
Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＋Ｈ（ｅ，ｆ，ｇ，ｈ）≦Ｈ（ａ＋ｅ，ｂ＋ｆ，ｃ＋ｇ，ｄ＋ｈ）。
820:１３２人目の素数さん
04/12/23 06:42:41
>819 調和平均 (；´д｀)ﾊｧﾊｧ
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | みんな ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
821:１３２人目の素数さん
04/12/24 03:13:38
Green Book = 青チャート
822:１３２人目の素数さん
04/12/24 03:14:29
真似したり、関係の無い事言ったり、無茶苦茶書くな 荒らしは
～～～終了～～～
ageるな馬鹿タレ
823:言い切れる？？？
04/12/24 03:43:11
－∞／∞は負って言えますか？？？
教えてください！！！
824:１３２人目の素数さん
04/12/24 03:44:04
真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな
荒らしは
～～～終了～～～
ageるな馬鹿タレ
お前が数学出来ないのはわかるが八つ当たりするな
825:１３２人目の素数さん
04/12/24 07:55:18
>811(3)
非負実係数だから x≧0 ⇒ f(x)>0. ∴ 実根はすべて負である。
これらを -a_1, ･･･ -a_n とおくと、 f(x) = Π[i=1,n] (x+a_i) = Σ[k=1,n] S_{n-k} x^k.
x^k の係数 S_{n-k} は{a_1,･･･a_n}の n-k次 の基本対称式。
相加･相乗平均により S_k ≧ Ｃ[n,k]･g^k, ここに g=(S_n)^(1/n)=(定数項)^(1/n).
f(x) ≧ Σ[k=1,n] Ｃ[n,n-k] g^(n-k) x^k = (x+g)^n.
826:825
04/12/24 18:02:26
↑最下行を修正、すまそ。 x≧0 ⇒ f(x) ≧ ･････ = (x+g)^n.
(1)(2) はむずぽ．．．．．5点が平面上にないと無理でつか？
827:１３２人目の素数さん
04/12/24 22:54:10
811(2)は、Kurschak1981ですね。
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
828:１３２人目の素数さん
04/12/24 22:56:57
普通に考えると凸包で場合わけかなぁ、３通りあるけど
果たしてこれでいいものか。図を描いてみないと分からんな……
829:１３２人目の素数さん
04/12/24 23:01:02
すまん、828は忘れてくれ。ﾑﾘﾎﾟ……
830: ◆BhMath2chk
04/12/25 08:00:00
恐ろしく難解な問題をだせ！
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
URLﾘﾝｸ(mimizun.com)
>>624-
831:１３２人目の素数さん
04/12/27 07:06:14
【問題】 正の数 a, b, c に対して a/b + b/c + c/a ≧ (a+b+c)/\sqrt[3]{abc}
発掘元 B3780 URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
類>>647(2)、解答>>680
[1997 Belarus] a/b + b/c + c/a ≧ (b+c)/(a+b) + (c+a)/(b+c) + (a+b)/(c+a)
ところで、Cauchy-schwarz などから
a/b + b/c + c/a ≧ (a+b+c)^2/(ab+bc+ca) ≧ (b+c)/(a+b) + (c+a)/(b+c) + (a+b)/(c+a)
が成り立つのが分かりますが、この不等式のどこかに
(a+b+c)/\sqrt[3]{abc}
が収まるでしょうか？
832:１３２人目の素数さん
04/12/27 11:44:30
>831
相加･相乗平均： (1/3)(a/b + a/b + b/c) ≧ {(a^2)/bc}^(1/3) = a/[(abc)^(1/3)] を循環的にたす。
どこにも収まらな伊予柑。
833:１３２人目の素数さん
04/12/28 13:26:07
>>699
ageるとすぐ回答が出てくる一例
834:１３２人目の素数さん
04/12/28 13:35:20
>>833
ageることに理由をつけたがる一例
835:１３２人目の素数さん
04/12/28 14:29:39
晒しあげとくか
836:１３２人目の素数さん
04/12/29 05:35:30
>614 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：04/12/28(火) 21:02:34
>
>0より大きい相異なる３実数ｘ、ｙ、ｚに対し
>(x^3+y^3+z^3-3xyz)/|(x-y)(y-z)(z-x)|
>の最小値を求めよ。
>
>
>618 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：04/12/28(火) 22:30:23
>>>614
>数学セミナーエレガントな問題を求むのコーナーに寄せられた
>問題だな。かなーーり昔だったと思う。
>
>解法は与式を二乗して、基本対称式使って書き換えて
>解と係数の関係を使って愚直にやっていくというもの。
>
>答えはきれいな形にならず、三乗根が入ってきたはずだ。
東大入試問題スレより。詳細キボン
837:１３２人目の素数さん
04/12/29 05:51:14
検索では掛かりませんねぇ
838: ◆BhMath2chk
04/12/29 09:00:00
ｘ＾３＋ｙ＾３＋ｚ＾３－３ｘｙｚ
＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（（ｘ－ｙ）＾２＋（ｙ－ｚ）＾２＋（ｚ－ｘ）＾２）／２。
ｘ，ｙ，ｚの差を変えずにｘ＋ｙ＋ｚを小さくできるので最小値はない。
839:１３２人目の素数さん
04/12/29 09:29:56
>>836
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
92年周辺探してみ。
840:１３２人目の素数さん
04/12/29 11:31:03
>>839
㌧ｸｽ。
年明けが待ち遠しいぜ！
今すぐ図書館の窓割って探したいくらいだ！
841:１３２人目の素数さん
04/12/29 11:42:54
1: 【社会】「解法が知りたくて…」 図書館の窓を割り潜入した数ヲタ逮捕 … 埼玉 (132)
「図書館が開くまで待てなかった」 ・・・ 大学図書館の窓を割って進入し、
書庫の雑誌を読み漁っていた数ヲタ(22)を、29日夕方、公共物破損および
不法侵入の罪で逮捕した。
調べでは、棒掲示板に書込みされていた数学の問題の解法を調べるために
忍び込んだという。逮捕の際には、「邪魔をするな。読み終わるまで待ってくれ」
と自分の行いに全く反省をしていなかったと言う。
842:１３２人目の素数さん
04/12/29 12:10:05
実数 x, y が 0≦x≦2、0≦x-y≦2 をみたすとき、xy(y+1) の最大最小値。
843:１３２人目の素数さん
04/12/29 15:28:07
むしゃくしゃしてやった。
悪気はなかった。
いまは反省している。
844:１３２人目の素数さん
04/12/29 16:43:08
>>842
学コン
845:１３２人目の素数さん
04/12/29 17:43:30
>836
z≒0 の場合を考えるんだろうな。
与式 = (x^3 +y^3)/|xy(x-y)| ≧ c, 但し c≡(1+√3)･√{(3/2)√3} = 4.4036694750416･････
(略証) (x^3 +y^3)^2 - [cxy(x-y)]^2 = [x^2 -(1+√3)xy +y^2]^2 [x^2 +2(1+√3)xy +y^2] ≧0.
等号成立は [x^2 -(1+√3)xy +y^2]=0 すなわち x/y ={(1+√3)±√(2√3)}/2 のとき.
となるはずの所だが、本題は z>0 なので等号は成田たね.
>842
スレ違いかも知れんが、
内部には極値は無さそうだから、平行四辺形の周を調べるんだろうな。
(x,y)=(1+√(1/3), -1+√(1/3)) で最小値 -2/(3√3) = -0.38490017945975････
(x,y)=(2,2) で最大値 12.
ぬるぽ
846:１３２人目の素数さん
04/12/29 17:53:14
z≒0の時っていうのが分からんorz
それに上の結果と一致しないし、三乗根入ってくると
解答者は言っているのだが……それが正しいかさえ分からん。
救済ｷﾎﾞﾝﾇ
847:845
04/12/29 18:38:04
>846
x,y>z>0 としても一般性を失わない。[838]から F(x,y,z) > F(x-z,y-z,0).
となるから、F(X,Y,0) の下限を調べるんだろうな....
848:１３２人目の素数さん
04/12/29 20:55:53
このスレの獣人ならもちろんシュプリンクラーの不当式勝ったよな。
849:１３２人目の素数さん
04/12/29 21:08:36
>>847
thx 当たり前のことっすね。。。orz
850:１３２人目の素数さん
04/12/29 21:46:16
>>848
当然だ。何をいまさら！
チンコ洗って出直してこいッ！
851:１３２人目の素数さん
04/12/29 22:56:45
>>850
女子はどうすればよいでつか？
852:１３２人目の素数さん
04/12/30 10:59:07
図書館潜入、模範解答報告マダァ？
853:１３２人目の素数さん
04/12/30 18:09:27
>851
メチンコ洗って出直してこいッ！
なんなら洗ってやろうか？
854:１３２人目の素数さん
04/12/31 12:07:52
おらおら、まだか？
855:１３２人目の素数さん
05/01/04 13:25:45
0<1
856:１３２人目の素数さん
05/01/04 14:36:20
|┃三 .／ ≧ ＼ ｜ あけおめ、ことよろ！
|┃ |:::: ＼ .／ ｜ 今年も たのも～！
|┃ ≡|::::: (● (● ＜＿＿＿＿＿＿＿＿＿
___＿__.|.ミ＼ ヽ::::... .ワ......ノ＿ ／ミ !＿＿_＿
|┃=＿＿ ＿＿=┃|
|┃ ≡ ） （ ≡ ┃|
|┃ ／ ／＼ ＼ ┃| ｶﾞﾗｯ
857:１３２人目の素数さん
05/01/04 22:46:12
>>836
与式を F(x,y,z) とおいてまとめると･･･
[838]
F(x,y,z) = (x+y+z)･g(x-y,y-z,z-x), g>0.
[847]
x,y>z>0 としても一般性を失わない。[838]から F(x,y,z) > F(x-z,y-z,0).
となるから、下限 F(X,Y,0) の下限を調べるんだろう。
[845]
F(x,y,0) = (x^3 +y^3)/|xy(x-y)| ≧ c, 但し c≡(1+√3)･√{(3/2)√3} = 4.4036694750416･････
(略証) (x^3 +y^3)^2 - [cxy(x-y)]^2 = [x^2 -(1+√3)xy +y^2]^2 [x^2 +2(1+√3)xy +y^2] ≧0.
みたいになるかな?
注）例によって c の発見には微分法を使いますたが、代数的方法を示していまつ．．．
858:１３２人目の素数さん
05/01/05 14:50:09
正の数 x, y, z に対して、次式を示せ。
(xy+yz+zx){1/(x+y)^2 + 1/(y+z)^2 + 1/(z+x)^2} ≧ 9/4
(x+y)^2 +(y+z)^2 + (z+x)^2 ≧ 4(xy+yz+zx) なので
Cauchy-Schwarz は使えなかったので、対称式を持ち出した。
x+y+z=s, xy+yz+zx=t, xyz=u とおくと、示すべき不等式は
4t(s^4-2s^2t+4su+t^2) ≧ 9(st-u)^2
差を取って証明しようとしたけど、うまくいかんちん。
もしかして計算間違っていますか？ たのも～
859:１３２人目の素数さん
05/01/06 02:50:34
非負実数 a, b に対して、次を示せ。
4(a^9+b^9) ≧ (a^2+b^2)(a^3+b^3)(a^4+b^4)
860:１３２人目の素数さん
05/01/06 08:48:25
>859
a≧0, b≧0, mn>0 のとき、
2[a^(m+n) + b^(m+n)] - (a^m +b^m)(a^n +b^n) = (a^m -b^m)(a^n -b^n) ≧0.
ぬるぽ
861:１３２人目の素数さん
05/01/06 11:43:53
>>860
ｷﾀｰ *･゜ﾟ･*:.｡..｡.:*･゜（ﾟ∀ﾟ)ﾟ･*:.｡..｡.:*･゜ﾟ･* !!!!!
なるほどっ！
㌧ｸｽでごじゃる。
問題は、要するにチェビシェフを２回使ったんですね、ﾅｯﾄｸ。
発掘元はココ
URLﾘﾝｸ(www.math.pomona.edu)
862:１３２人目の素数さん
05/01/06 17:15:13
>>807
一般に a+b+c=Lとおけば、(23/216)L^3 ≦ a^2b+b^2c+c^2a ≦ (1/8)L^3 でいいんですよね？
863:１３２人目の素数さん
05/01/06 17:16:50
>>858
基本対称式を使わずに、x, y, z のままで考えたほうがええかもな
864:807
05/01/06 20:55:53
>862 桶。
x+y+z = a+b+c = L を使えば [807] は
与式 = [L^3 -{(x^2)y+(y^2)z+(z^2)x}]/8,
(4/27)L^3 ≧ (x^2)y +(y^2)z +(z^2)x ≧0.
下の式を上の式に代入すると
(1- 4/27)(1/8)L^3 ≦ 与式 ≦ (1/8)L^3.
ぬるぽ
865:860
05/01/06 21:21:41
>861
>>153 (a=0,m=2の場合)や >>685-688 のあたりにも類題....
866:１３２人目の素数さん
05/01/06 22:01:59
>836
[839] や 東大入試作問者スレ[618][621] が指摘したように、この問題は
創刊30周年記念『エレガントな問題をもとむ』【優秀賞】受賞問題２
と同じようでつ。（作問者は西宮の人）
問題： 数セミ，３１(4), p.79 (1992.4)
解答： 数セミ, ３１(8), p.59-60 (1992.7) ･･･ 基本対称式を持ち出してもしかた無いんぢゃ･･･以下(ry
東大入試作問者になったつもりのスレ４
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:614番),618-621,624-629,636,638-639
さくらスレ１５４
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:417番)
不等式スレッド
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:836-849番),857
867:１３２人目の素数さん
05/01/06 22:11:59
>865 ㌧クスです。
868:１３２人目の素数さん
05/01/06 22:12:21
>>836-839、>>845-847、>>857
相異なる正の数 ｘ、ｙ、ｚ に対し、(x^3+y^3+z^3-3xyz)/|(x-y)(y-z)(z-x)| > √(9+6√3)
1992年の数セミを見てきました。編集部の模範解答は>>836の如し。
読者２名からのエレガントな解答を以下に書きます。
分子は x^3+y^3+z^3-3xyz = -(x+y+z){(x-y)(y-z)+(y-z)(z-x)+(z-x)(x-y)} だから
L=x+y+z, p=x/L, q=y/L, r=z/L
とおくと、p, q, r>0 かつ p+q+r=1 をみたし、示すべき不等式は
-{(p-q)(q-r)+(q-r)(r-p)+(r-p)(p-q)}/|(p-q)(q-r)(r-p)| > √(9+6√3)
式の対称性から、p>q>r>0 としても一般性を失わない。
p-q=α, q-r=β, α+2β=s
とおくと s+3r=1 より 0<s<1 で、示すべき不等式の左辺は
1/(p-q) + 1/(q-r) + 1/(r-p) = 1/α + 2/(s-α) - 2/(s+α)
さらに α/s = t とおくと、s>α>0 より 0<t<1 で、結局、次式の最小値を考えればよい。
(1/s){1/t + 2/(1-t) + 2/(1+t)} … (☆)
f(t) = 1/t + 2/(1-t) + 2/(1+t) とおくと f'(t) = (3t^4+6t^2-1)/{t^2(1-t)^2(1+t)^2} より
0<t<1 において t = √{(2√3-3)/3} で極小かつ最小値 √(9+6√3) をとる。
0<s<1 より、s→1 の極限をとれば、(☆) は √(9+6√3) に上から限りなく近づく。
（蛇足） ２重根号を外したら、√(9+6√3) = (1+√3)√{(3√3)/2}
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | 勉強になりました。
|::::: (● (● |
ヽ::::... .ワ....ノ n グッジョブ！
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
869:１３２人目の素数さん
05/01/06 22:13:36
>>866
あ、書き込みに気づかずに、先に解答書いてしまいました。スマソ。
870:１３２人目の素数さん
05/01/06 22:37:07
>>811(2) ,827
第10回 日本数オリ本選（2000）の第3問らしい．．．
（略解）
case1: {AC,AD,AE} のいづれかと {BC,BD,BE} のいづれかが(端点以外で)交わる場合
たとえば 線分ACとBDが交わるときは、 AB+CD ≦ AC+BD.
これに自明な DE ≦ AD+AE, EC ≦ BE+BC を加える。
case2: {AC,AD,AE,BC,BD,BE} のいづれも(端点以外は)交わらない場合
A,Bの一方は△CDEの１つの頂角の対頂角の中にある（平面CDE内にあることから）。
たとえば A が∠CDE の対頂角∠XDYの中にあるときは、△CAE ⊇ △CDE ∴ CD+DE ≦ AC+AE.
これに自明な EC ≦ BE+BC, AB ≦ AD+BD を加える。
ぬるぽ
871:１３２人目の素数さん
05/01/09 07:05:47
ネタ補充
(1) 実数x,y,z, 正の偶数nに対し
(x+y+z){x^(n+1)+y^(n+1)+z^(n+1)}
≧ 2(xy+yz+zx)(x^n+y^n+z^n)-3xyz{x^(n-1)+y^(n-1)+z^(n-1)} を示せ。
(2) F(n)をFibonacci数列とする。
Σ[n=1..∞] 1/F(n) > 803/240 を示せ。
(3) 2^(3^(3^(-1))) < e を示せ。
(4) 三角形の周長をL, 面積をSとすると
S≦(L^2)/(12√3) を示せ。
(5) 0<t≦1 のとき
tan(t)/t < 2-√(1-t^2) を示せ。
872:１３２人目の素数さん
05/01/09 11:16:07
>>783
これもよろしくお願いします。
873:１３２人目の素数さん
05/01/09 18:19:09
(2) Σ[n=1,6] 1/F_n = 1 +1 +1/2 +1/3 +1/5 +1/8 = 758/240.
左辺 > Σ[n=1,12] 1/F_n = 758/240 +1/13 +1/21 +1/34 +1/55 +1/89 +1/144
= 758/240 + 207530077/N > 758/240 +204459255/N = 758/240 + 9/48 = 右辺.
ここに N=16*9*5*7*11*13*17*89 = 1090449360.
ぬるぽ
874:１３２人目の素数さん
05/01/10 15:05:49
>871 (1)
n は整数とし、 左辺 - 右辺 = F_n とおく。
x^n の係数は (x+y+z)x - 2(xy+yz+zx) +3yz = (x-y)(x-z) なので >>611 の方法を使う。
y は x,z の間にあるとすると (x-y)(y-z)≧0, {x^n -y^n +z^n}≧0 ゆえ、
F_n = (x-y)(x-z)x^n +(y-x)(y-z)y^n +(z-x)(z-y)z^n = (x-y)^2(x^n) +(y-z)^2(z^n) +(x-y)(y-z){x^n -y^n +z^n} ≧0.
F_{-1} = (t^2 -3su)/u, F_0=s^2 -3t, F_1=s^3 -4st +9u, F_2=s^4 -5ts^2 +4t^2 +6su, ･････.
(応用例) >>858
4t(s^4 -2s^2t +4su +t^2) -9(st-u)^2 = 4ts^4 -17(st)^2 +34stu +4t^3 -9u^2
= 4t･F_2 +{(3t^2 -su)/s}･F_1 +(s +9t/s)u･F_0 ≧0.
ぬるぽ
[873] は >871(2) の解答でつ。ｽﾏｿ
875:１３２人目の素数さん
05/01/10 18:21:22
>>874
Scherの不等式と同じ証明方法になるとは…。
(;´д｀)ﾊｧﾊｧ
結局、任意の整数で成り立つんですね。
F_n に n=1, 2, … を代入して得られる 対称式≧０ は 858 にも使えそうですね。
876:１３２人目の素数さん
05/01/10 18:26:56
>>874
よくみれば、問題文は 実数 x, y, z だから偶数 n でないといけないですね。
非負実数 x, y, z なら、任意の整数 n でOKですね。
877:876
05/01/10 18:44:12
>874の後半に、ちゃんと書いてるし…
il||li _|￣|○ il||li
878:１３２人目の素数さん
05/01/10 19:03:28
このスレを見ていると、ときどき面白いパターンがあるよね。
ある不等式Aが解決されていない
→ 誰かが別の不等式Bを出す
→ 神が解く
→ その不等式Bが、Aを解決する
858 と 871(1)、 538(3) と 580 など…
879:１３２人目の素数さん
05/01/10 22:53:27
複素数 z, w に対して、|(1+|z|^2)w-(1+|w|^2)z| ≧ |z\bar{w}-\bar{z}w| を示せ。
880:１３２人目の素数さん
05/01/11 00:03:18
>>871
(4) 周長の長さがLの三角形の面積の最大値maxSを求めればよい。
まず、一辺の長さがすでに決まっている、という条件をつけて一辺を固定すれば、
残りの頂点の軌跡は楕円になるから一辺の長さがyであるときの、
Sの最大値M(y)が求まる。次にyの定義域を[0,L/2]としてmaxM(y)=maxSを求めればよい。
881:１３２人目の素数さん
05/01/11 09:25:40
>871(4) (等周問題)
[880] にしたがって BC=y を固定して考える。
AB+AC = L-y (一定) の軌跡は楕円で、B,C は長軸上にある。
S=(1/2)BC･AH が最大値をとすとすれば、Aの高さ(AH)が最大のとき。∴Aが短軸の端点のとき。････ (1)
∴M(y)=(y/4)√{L(L-2y)}, M(L/3)^2 -M(y)^2 = (L/16)･(y -L/3)^2･(2y +L/3) ≧0, M(y)≦M(L/3)=(L^2)/(12√3).
または (1)から AB=AC. 同様にして AC=BC, AB=BC なので、正3角形のとき最大.
【代数的な方法】
3辺をa,b,cとし、a+b+c=L, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、ヘロンの公式や相加･相乗平均から、
S^2 = (L/2)(L/2 -a)(L/2 -b)(L/2 -c) = (L/16)(-L^3 +4Lt-8u) ≦ (L/16)u ≦ (L/16)(L/3)^3.
∴ S ≦ (L^2)/(12√3), 等号成立は a=b=c (正3角形)のとき.
(系) S=rL/2 （rは内接円の半径）だから S≧(3√3)r^2.
ぬるぽ
>876 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!
882:１３２人目の素数さん
05/01/11 15:24:28
正の数 a, b に対して a^6 +b^6 +8a^3 +8b^3 +2a^3b^3 +16 ≧ 36ab を示せ。
883:１３２人目の素数さん
05/01/11 15:49:14
>882 相加･相乗平均で
左辺 = (a^3 +b^3 +4)^2 = (a^3 +b^3 +1 +1 +1 +1)^2 ≧ {6√(ab)}^2 = 36ab =右辺.
884:１３２人目の素数さん
05/01/11 17:50:53
>>871 (5)
まづ 1-t^2 < 1-t^2 +(1/8)(t^6){1+(1/8)t^2} = [1-(1/2)t^2 -(1/8)t^4]^2.
∴ 右辺 = 2 -√(1-t^2) > 2 - [1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4].
∴ tan(t)/t < 2 -[1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4] が示せればよい。
F(t) = {2 -[1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4]}t - tan(t) とおくと F(0)=0. 次に F '(t)>0 を示す。
F '(t) = 1 + (3/2)t^2 + (5/8)t^4 - 1/[cos(t)^2] = {[1 +(3/2)t^2 +(5/8)t^4]cos(t)^2 -1}/[cos(t)^2]
ここで t>0 ⇒ -cos(t) > -1, -sin(t) > -t, cos(t) > 1 -(1/2)t^2 を使って,
F '(t) > {[1+(3/2)t^2 +(5/8)t^4][1-(1/2)t^2]-1}/[cos(t)^2] ={1-(1/8)t^2 -(5/16)t^4}(t^2)/[cos(t)^2].
ここで、t^2 <1 だから F '(t)>0.
∴ tan(t)/t < 2 -[1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4] < 2-√(1-t^2).
ぬるぽ
>>871 への解答レス（主なもの）
(1) [874][876] (2) [873] (3)参った. (4) [880][881] (5) これ.
885:１３２人目の素数さん
05/01/11 21:34:18
(log(2))^3<1/3 なら、間にある(有理数)^3を見つければ
示せそうな気がするが...
886:１３２人目の素数さん
05/01/12 00:46:12
>>885
あのな、(a^m)^n = a^(mn) だよな。
これが a^(m^n) だと～、a^(m^n) だと～ （以下略）
887:１３２人目の素数さん
05/01/12 01:03:51
>>886
????????
888:１３２人目の素数さん
05/01/12 01:05:56
>>886-887
おまいら、荒らすな上げるな！
889:１３２人目の素数さん
05/01/12 01:37:55
>885
有理数としてたとえば 0.69333333････= 36/100 + 1/3 = 52/75 をとる。
右側は (52/75)^3 = 140608/4215 < 140625/421875 = 1/3.
左側 Ln(2) < 52/75 の方をどうするか……
890:１３２人目の素数さん
05/01/12 03:01:14
[0,1/3]上で
1/(1-x^2) = 1 + x^2 + x^4/(1-x^2) ≦ 1 + x^2 + x^4/(1-(1/3)^2) = 1 + x^2 + 9x^4/8
よって、(log2)/2 = ∫_[0,1/3](1/(1-x^2))dx < ∫_[0,1/3](1 + x^2 + 9x^4/8)dx = 1123/3240
3乗の計算が面倒だけど、(log2)^3 < (1123/1620)^3 = 1416247867/4251528000 < 1/3
891:１３２人目の素数さん
05/01/12 03:19:35
そういえば数セミ 2005 年 2 月号の『NOTE/講評と解説』に
巡回不等式とか正弦関数の比の単調減少性とか今後使えそうな面白い記事があったね。
892:１３２人目の素数さん
05/01/12 03:34:04
>>891
2005年2月号って、まだ発売されてないだろ！
>>783>>879
解答マダー！
おらおら出てこい！不等式オタクども！
893:１３２人目の素数さん
05/01/12 03:50:36
>>892
年間購読者ですから, もう届いているんですよ。
894:１３２人目の素数さん
05/01/12 04:02:05
>>893
さっさとウプシロン！
895:中川 幸一 ◆MC1Z7pcz5k
05/01/12 04:13:10
じゃ～問題だけ紹介します。
a_1, \cdots a_n > 0 に対して不等式
\dfrac{a_1^2}{a_2 a_3} + \dfrac{a_2^2}{a_3 a_4} + \cdots + \dfrac{a_{n-1}^2}{a_n a_1} + \dfrac{a_n^2}{a_1 a_2}
\geq \dfrac{2 a_1}{a_2 + a_3} + \dfrac{2 a_2}{a_3 + a_4} + \cdots + \dfrac{2 a_{n-1}}{a_n + a_1} + \dfrac{2 a_n}{a_1 + a_2}
が成立する。ここで, 等号は a_1 = \cdots =a_n のときのみ成立する。
\pi \geq A > B > 0 のとき関数
\dfrac{\sin (Ax)}{\sin (Bx)}
は 0 < x < \dfrac{1}{2} において単調減少である。
896:１３２人目の素数さん
05/01/12 04:15:14
>>895
せめて \frac と書け！
いちいち上げんな！
897:中川 幸一 ◆MC1Z7pcz5k
05/01/12 04:18:54
以下は演習問題という形で紹介されています。
(表記法を多少簡略化しました。)
a_1, \cdots , a_n が 1, \cdots , n の並べかえならば
\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i}{i} \geq n
898:１３２人目の素数さん
05/01/12 04:20:40
>>896
悪い…。
ついつい癖で \dfrac って書いてしまった…。
あと上げてしまってスマン…。
899:884
05/01/12 17:50:14
>885,890
871(3) なるほど！ そういうことだったのか。 ベリィ㌧クス.
871(5) F(t)>0 を出すところに間違い･････ 死んでお詫びを･･･(AA省略)。
マクローリン展開より、0<t≦1 で、
tan(t) = t + (1/3)t^3 +(2/15)t^5 +(17/315)t^7 +･･･ ≦ t + (1/3)t^3 +(2/15 +17/315 +･･･)t^5 = t +(1/3)t^3 +c･t^5.
ここに c = tan(1) -1 -1/3 = 0.22407439･･･
F(t) = {2 -[1-(1/2)t^2 -(1/8)t^4]}t -tan(t) ≧ (1/6)t^3 +(1/8 -c)t^5 = (1/6 -0.09907439t^2)t^3 >0.
900:伊丹公理 ◆EniJeTU7ko
05/01/12 18:10:07
>>897
容易 ( n ＞ 1 の時）
一般に正とは限らぬ実数列 a_1 ＜ a_2 ＜ ....... ＜ a_n,
b_1 ＜ b_2 ＜ ....... ＜ b_n があり、c1, c_2, .... , c_n が
b_1, b_2, ....... , b_n の並べ替えであるとき、
a_1*c_1 + a_2*c_2 + .... + a_n*c_n が最大となるのは
c_i = b_i, i = 1, 2, .... , n の時。（又その時に限る）。
なる事実（well-known）と
x + (1/x) ≧ 2, 等号は x = 1 の時なることより出る。
901:伊丹公理 ◆EniJeTU7ko
05/01/12 19:13:47
>>900
訂正 x ＞ 0 の時、
x + (1/x) ≧ 2, 等号は x = 1 の時なることより出る。
902:中川 幸一 ◆MC1Z7pcz5k
05/01/12 21:01:59
>>897 の解答 (Original)
相加平均と相乗平均の大小関係より
(1/n)Σ[i=1 to n](a_i / i) ≧ (Π[i=1 to n](a_i / i))^(1/n) = 1^(1/n) = 1
故に
Σ[i=1 to n](a_i / i) ≧ n
(等号成立は a_i = i)
903:１３２人目の素数さん
05/01/12 23:24:58
(1) 正の実数a,b,x,y,zに対し、x/(ay+bz) + y/(az+bx) + z/(ax+by)≧3/(a+b)
(2) 実数a,b,c,x,y,zに対し、
ax+by+cz+√{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}≧(2/3)(a+b+c)(x+y+z)
(3) 0<x≦π/2 のとき、sin(sin(x))<tanh(x)
(4) 正の実数x,y,zがx+y+z=xyzを満たすとき、
x/√(1+x^2)+y/√(1+y^2)+z/√(1+z^2)≦(3√3)/2
904:１３２人目の素数さん
05/01/12 23:30:54
まだ解かれていない問題をまとめてください。
905:１３２人目の素数さん
05/01/13 04:34:03
>>819
>Ｈ（ａ，ｂ）＋Ｈ（ｃ，ｄ）≦Ｈ（ａ＋ｃ，ｂ＋ｄ）。
>Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）＋Ｈ（ｄ，ｅ，ｆ）≦Ｈ（ａ＋ｄ，ｂ＋ｅ，ｃ＋ｆ）。
>Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＋Ｈ（ｅ，ｆ，ｇ，ｈ）≦Ｈ（ａ＋ｅ，ｂ＋ｆ，ｃ＋ｇ，ｄ＋ｈ）。
これって n文字についても言えそうな感じだけど、うまい証明が思いつきません。
いい方法ないですか？
>>812
>[>>647(1)] H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1
こちらは n文字についても言えるのでしょうか？
たのも～、たのも～。
906:１３２人目の素数さん
05/01/13 04:39:47
>>879
（左辺）^2-（右辺）^2 = |(z-w)(\bar{z}w-1)|^2 ≧ 0
＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼ >>892 呼んだ？
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
907:１３２人目の素数さん
05/01/13 11:59:33
>903
(1) x/(ay+bz) = {(a^2)(ax+by)/(ay+bz) +(b^2)(az+bx)/(ay+bz) -ab}/(a^3 +b^3).
循環的に加えて 相加･相乗平均を使うと
左辺 ≧ 3(a^2 +b^2 -ab)/(a^3 +b^3) = 3/(a+b), 等号成立はx=y=zのとき.
(2) (a,b,c)=OA↑, (x,y,z)=OX↑, (1/√3, 1/√3, 1/√3)=OE↑ とおくと ∠AOX ≦ ∠AOE +∠EOX.
左辺 = (OA↑･OX↑) + |OA|･|OX| = |OA|･|OX|{cos(∠AOX) +1} ≧ |OA||OX|{cos(∠AOE+∠EOX) +cos(∠AOE-∠EOX)}
= 2|OA|･|OX|cos(∠AOE)･cos(∠EOX) = 2(OA↑･OE↑)(OE↑･OX↑) = 右辺.
(4) x=tan(A), y=tan(B), z=tan(C), 0<A,B,C<π/2 とおく。条件式より A+B+C=π. sin()は上に凸だから,
左辺 = sin(A) + sin(B) + sin(C) ≦ 3sin{(A+B+C)/3} = 3sin(π/3) =(3√3)/2.
等号成立は A=B=C=π/3 (正3角形？) すなわち x=y=z=√3 のとき.
ぬるぽ
>906 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
908:１３２人目の素数さん
05/01/13 19:25:36
(1) n>2を整数、F(n)をFibonacci数列とすると、
Σ[k=1..n](1/F(k)) > (n^2)/(F(n+2)-1)
(2) ちょうど１つの辺の長さが1より大きい四面体の体積をVとおくと、V<1/8
(3) 正整数p,qに対し、|p/q-√2|≧(6-4√2)/(q^2)
(4) nを正整数、s>1を実数とすると、
Σ[k=1..n](1/k^s) < 1+1/{2^(s-1)-1}
909:１３２人目の素数さん
05/01/13 20:10:24
>>647 (1), 680
s/9 ≧ t/3s ≧ u/t (単調減少)により、
左辺 = (1+s+t+u)/[3(3+2s+t)]- u/t = 1/3 + (s+2t+3u)/[3(3+2s+t)] - u/t ≧ 1/3.
>>812,905
n文字のとき、k次の基本対称式を S_k とおく。 S_0=1, ･････, S_n=abc････
H(a+1,b+1,c+1) = nΣ[k=0,n] S_k / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k = 1 + Σ[k=1,n] k･S_k / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k
= 1 + Σ[k=0,n-1] (k+1)S_{k+1} / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k.
ところで、 (k+1)S_{k+1}/[(n-k)S_k] ≧ nS_n / S_{n-1} = H(a,b,････).（←kについて単調減少）
∴ H(a+1,b+1,････) - H(a,b,････) ≧1.
>903 (3) 逆転の発想?
f(y)=arcsin(arcsin(y)), g(y)=arctanh(y)=(1/2)Ln{(1+y)/(1-y)} とおく。arcsin(y)>y より
f '(y) = 1/√{1-arcsin(y)^2}・1/√(1-y^2) > 1/(1-y^2) = g '(y).
これと f(0)=0=g(0) から 0<y≦sin(1) ⇒ f(y)>g(y).
ぬるぽ
910:１３２人目の素数さん
05/01/13 21:51:02
>895
（NOTEの問題）
π ≧ A > B > 0 のとき関数 sin(Ax)/sin(Bx) は 0 < x < 1/2 において単調減少である。
（略証）
f(x) = Ln{sin(Ax)/sin(Bx)} とおくと、 f '(x) = A/tan(Ax) - B/tan(Bx).
tan(y)/y は|y| とともに増加するから A>B>0 より tan(Ax)/(Ax) > tan(Bx)/(Bx), f '(x)<0.
911:905
05/01/13 22:06:19
>>909
㌧クス。
さすが ぬるぽ神。そこに痺れる憧れるぅ～。
【問題】 非負実数 a, b に対し、次を示せ。
\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{b}} ≧ \sqrt[3]{a+\sqrt[3]{b}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{a}}
912: ◆BhMath2chk
05/01/14 07:00:00
>>905
Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ）＋Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ，ｊ，ｋ，ｌ）
＝Ｈ（Ｈ（ａ，ｂ，ｃ），Ｈ（ｄ，ｅ，ｆ））＋Ｈ（Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ），Ｈ（ｊ，ｋ，ｌ））
≦Ｈ（Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）＋Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ），Ｈ（ｄ，ｅ，ｆ）＋Ｈ（ｊ，ｋ，ｌ））
≦Ｈ（Ｈ（ａ＋ｇ，ｂ＋ｈ，ｃ＋ｉ），Ｈ（ｄ＋ｊ，ｅ＋ｋ，ｆ＋ｌ））
＝Ｈ（ａ＋ｇ，ｂ＋ｈ，ｃ＋ｉ，ｄ＋ｊ，ｅ＋ｋ，ｆ＋ｌ）。
ｆ－＞＋∞，ｌ－＞＋∞として
（６／５）Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ）＋（６／５）Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ，ｊ，ｋ）
≦（６／５）Ｈ（ａ＋ｇ，ｂ＋ｈ，ｃ＋ｉ，ｄ＋ｊ，ｅ＋ｋ）。
Ｈ（ａ＋１，ｂ＋１，ｃ＋１，ｄ＋１）
≧Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＋Ｈ（１，１，１，１）
＝Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＋１。
913:１３２人目の素数さん
05/01/14 11:34:52
[912] の一般化
【補題】 Ｈ（a_1, a_2, ････，a_n）+ Ｈ（b_1, b_2, ････，b_n）≦ Ｈ（a_1+b_1, a_2+b_2, ････, a_n+b_n））
(略証) nについての帰納法による。
n=1 のとき 明らか。
n=2 のとき [647](6) より成立。
nが偶数のとき、n=2m とおく。
Ｈ（a_1,a_2,･････, a_{2m}） = Ｈ（Ｈ(a_1,a_2,････,a_m), Ｈ(a_{m+1}, ････, a_{2m})） を使うと
左辺 = Ｈ（Ｈ(a_1, a_2, ････，a_m), Ｈ(a_{m+1}, ････, a_n)）+ Ｈ（Ｈ(b_1, b_2, ････，b_m), Ｈ(b_{m+1}, ････, b_n)）
≦ Ｈ（Ｈ(a_1, a_2, ････，a_m) + Ｈ(b_1, b_2, ････，b_m), Ｈ(a_{m+1}, ････, a_n}) + Ｈ(b_{m+1}, ････, b_n})）
帰納法の仮定により、
左辺 ≦ Ｈ（Ｈ（a_1+b_1, a_2+b_2, ････，a_m+b_m), Ｈ（a_{m+1}+b_{m+1}, ････, a_n+b_n)）
＝Ｈ（a_1+b_1, a_2+b_2, ････, a_n+b_n）。
nが奇数のとき
上記により n+1 に対しては成立つ。そこで a_{n+1}→∞, b_{n+1}→∞ として n/(n+1) を掛ければ出る。
(系) Ｈ（a_1 +1，a_2 +1，････，a_n +1）≧ Ｈ（a_1, a_2, ････, a_n）＋ Ｈ（1,1,･･･,1）= Ｈ（a_1, a_2, ････, a_n）＋１.
>812 [>>647(6)] は Ｈ(a+c,b+d) ≧ Ｈ(a,b) + Ｈ(c,d).
914:１３２人目の素数さん
05/01/14 11:45:07
>911
f(x)=x^(1/3), f(a)=A, f(b)=B, a-b=d, A-B=D とおく。 fは単調増加だから d･D>0.
g は上に凸とすると、
[d･g(a+A)+D･g(b+B)]/(d+D) ≧ g(a+B)
[D･g(a+A)+d･g(b+B)]/(d+D) ≧ g(b+A)
辺々たすと
g(a+A) + g(b+B) ≧ g(a+B) + g(b+A).
ぬるぽ
>909
> ところで、 (k+1)S_{k+1}/[(n-k)S_k] ≧ nS_n / S_{n-1} = H(a,b,････).（←kについて単調減少）
の元レスは >>263, >>269, >>480 .
915:１３２人目の素数さん
05/01/14 16:46:56
>>912-913
実は昨日書き込んだ後、自己解決しました。
n=2の場合は直接に証明。n=2mの場合は >>912-913 と同じ方法。
n=2m+1のときの証明は、n=2m+2のときに帰着されますよね？
H(a, b, c) = H(a, b, c, H(a, b, c)) が一般のn文字でも成り立つから…。
>>913
H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1 が H（a+d，b+e，c+f） ≧ H(a, b, c) + H(d, e, f)
の特別な場合だったことに、言われるまで気づきませんでした。 il||li ＿|￣|○ il||li
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | ｱﾘｶﾞﾄｳ ｺﾞｻﾞｲﾏｽ
|::::: (● (● | ﾍﾞﾘｨ ｸﾞｯｼﾞｮ-ﾌﾞ！
ヽ::::... .ワ....ノ n ｺﾝｺﾞﾄﾓ ﾖﾛｼｸ ｵﾈｶﾞｲｼﾏｽ…
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
916:１３２人目の素数さん
05/01/14 17:03:40
>>914
[d･g(a+A)+D･g(b+B)]/(d+D) ≧ g([d(a+A)+D(b+B)]/(d+D)) = g(a+B)
この変形に気づけそうにない…。すごすぎる。
917:１３２人目の素数さん
05/01/14 20:30:14
>908(2)
四面体ABCDで、AB以外の5辺≦1 とする。
A,BからCD(の延長)に下ろした垂線を AH,BL とする。
このとき V= (1/6)AH･BL･CD･sinθ, θは平面ACDと平面BCDがなす面角.
AC,AD≦1 より AH ≦ √{1-(CD/2)^2}, BC,BD≦1 より BL ≦ √{1-(CD/2)^2}
∴ V ≦ (1/24)･CD･(4 -CD^2)･sinθ.
0 < x ≦1 ならば 3 -x(4-x^2) = (1-x){3-x(1+x)} ≧0, x(4-x^2) ≦ 3 @ x=1.
V ≦ (1/8)sinθ ≦ 1/8. （等号はACD,BCDが正3角形で、面角が90°のとき）
ぬるぽ
918:１３２人目の素数さん
05/01/14 22:50:36
>908 (4)
{1- 2/(2^s)}･(左辺) = Σ[k=1..n] {1/(k^s) -2/[(2k)^s]} < Σ[k=1..n] (-1)^(k-1) /(k^s)
= 1 - {1/(2^s) -1/(3^s)} -{1/(4^s) -1/(5^s)} - ･･･ < 1.
∴ 左辺 < 1/{1-2/(2^s)} = 1 + 1/{2^(s-1)-1} = 右辺.
ぬるぽ
～～～ 寒いでつね。水道ﾁｮﾛﾁｮﾛ流しておやすみ･･･(凍結防止) ～～～.
919:911
05/01/15 02:15:39
不等号の向きが反対でした。すみません。
非負実数 a, b に対し、
\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{b}} ≦ \sqrt[3]{a+\sqrt[3]{b}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{a}}
>914の証明は正しいように思えるのですが、どうなんでしょう？
920:１３２人目の素数さん
05/01/15 03:15:25
…で、ずっと検索してて見つけたんだけど、
Majorization Inequarity って何ですか？
↓ 最後のページ
URLﾘﾝｸ(math.berkeley.edu)
921:１３２人目の素数さん
05/01/15 03:28:25
>914
上に凸だから、不等号の向きが逆ですね。
922:１３２人目の素数さん
05/01/15 12:29:22
わかすれ１９８より
338 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：05/01/15(土) 12:17:06
x,y,zが実数で
1≦x^2+y^2+z^2≦2
をみたす。このとき
(3/5)(x-2y)^2+(1/3)(2x+y-z)^2+(4/15)(2x+y+5z)^2
の最大値、最小値
923:１３２人目の素数さん
05/01/15 13:33:29
>>915
H(a, b, c) = H(a, b, c, H(a, b, c)) が一般のn文字でも成り立つから…。
多分無理
>>913
H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1 が H（a+d，b+e，c+f） ≧ H(a, b, c) + H(d, e, f)
の特別な場合だったことに、言われるまで気づきませんでした。 il||li ＿|￣|○ il||li
>>912じゃないの
924:１３２人目の素数さん
05/01/15 13:47:25
>922
主軸系で考える．．．．
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:16-17番)
925:１３２人目の素数さん
05/01/15 19:57:33
>>923
>多分無理
反例あげてみ。
926:１３２人目の素数さん
05/01/15 20:14:06
>>925
意味不明
927:風あざみ
05/01/15 20:32:25
>>908
(1)この式は
Σ[k=1..n]({F(n+2)-1}/F(k)) > (n^2)と同値である。
F(n+2)-1=Σ[h=1..n]F(h)である。
(∵F(1)=1=F(3)-1
F(n+3)-1=F(n+2)-1+F(n+1)=Σ[h=1..n]F(h)+F(n+1)=Σ[h=1..n+1]F(h)
より帰納的に示せる。)
よって 相加･相乗平均の不等式より
Σ[k=1..n]({F(n+2)-1}/F(k))=Σ[k,h=1..n]{F(h)/F(k)}＞(n^2){(n^2)^√Π[i=1,n]({F(i)}/{F(i)})}=n^2
928:１３２人目の素数さん
05/01/16 05:48:55
>>903(1) は n文字には一般化できませんか？
929:１３２人目の素数さん
05/01/16 05:49:54
x(1), x(2), x(3),... は正の数とする。
A(n)＝(x(1)+...+x(n))/n 、
G(n)＝(x(1)...x(n))^(1/n)
とおく。
全ての n (=2,3,4,...) に対して
n(A(n)-G(n))≧(n-1)(A(n-1)-G(n-1))
が成り立つ。
【証明】
nA(n)-(n-1)A(n-1)
＝ x(n)
＝ G(n)^n/{G(n-1)^(n-1)}
＝ G(n-1){G(n)/G(n-1)}^n
≧ G(n-1){n(G(n)/G(n-1))-(n-1)}・・・★
＝ nG(n)-(n-1)G(n-1)
だから問題の不等式が成り立つ。【証明終】
（★で不等式「t＞0 ⇒ t^n≧nt-(n-1)」を使った。
t≧1のとき
t^(n-1) + t^(n-2) + ... + t^2 + t + 1 ≧ n
の両辺に t-1 をかければ t^n - 1 ≧ nt - n が得られる。
0＜t＜1のとき
1 + t + t^2 + ... + t^(n-2) + t^(n-1) ≦ n
の両辺に 1-t をかければ 1 - t^n ≦ n - nt が得られる。
いずれにせよ t^n≧nt-(n-1) が成り立つ。）
930:１３２人目の素数さん
05/01/16 15:28:43
>908(1)
左辺 ≧ 5/2 なので 16/7 ≧ 右辺 を示せば十分。
【補題】 F(n+2) ≧ 1+c･n^2, c=7/16.
（略証） nについての帰納法による。
n=0 のとき F(2) = 1.
n=1 のとき F(3) = 2 > 23/16 = 1+c.
n=2 のとき F(4) = 3 > 11/4 = 1+4c.
n=3 のとき F(5) = 5 > 79/16 = 1+9c.
n=4 のとき F(6) = 8 = 1+16c.
n≧5 のとき F(n+2) = F(n+1) + F(n) ≧ {1+c(n-1)^2} + {1+c(n-2)^2} = 2 + c[n^2 +(n-1)(n-5)] > 2 + cn^2.(終)
∴ 左辺 ≧ 5/2 ≧ 1/c ≧ (n^2)/[F(n+2)-1] = 右辺.
ぬるぽ
>928
a=b なら Shapiro型だが。 >>497-501
931:１３２人目の素数さん
05/01/16 15:49:05
>929
★の不等式 「t>0 ⇒ t^n ≧ nt-(n-1)」 は次にもあるよ。
微積分と一つの不等式「数学100の定理」日本評論社, p.89 (1983)
（問題）
Ａ = {x(1)+x(2)+･･･+x(n)}/n,
Ｇ = {x(1)x(2)････x(n)}^(1/n),
Ｈ = n/{1/x(1) +1/x(2) + .... +1/x(n)} とおくとき
Ａ^(n-1)･Ｈ ≧ Ｇ^n ≧ Ａ･Ｈ^(n-1).
932:914
05/01/16 16:26:37
>919,921
仰せのとおり、ｽﾏｿ.
>925
[923]は、[915]の方法では無理だろう、の意味。他の方法も考えられる[>>909].
>917 (補足)
△ACD=(1/2)AH･CD, △BCD=(1/2)BL･CD より
V= (1/3)AH･△BCD･sinθ = (1/3)BL･△ACD･sinθ = (1/6)AH･BL･CD･sinθ
933:915
05/01/16 18:53:13
>H(a, b, c) = H(a, b, c, H(a, b, c)) が一般のn文字でも成り立つから…。
H(a_1, …, a_n, H(a_1, …, a_n))
= (n+1)/{1/a_1) + … + (1/a_n) + (1/H(a_1, …, a_n))}
= (n+1)/{n/H(a_1, …, a_n) + (1/H(a_1, …, a_n))}
= H(a_1, …, a_n)
となるので、n文字でも成り立つと書いたのですが、
もしかして、俺なにか勘違いしてる？ ('A`)
934:１３２人目の素数さん
05/01/16 19:03:59
【問題】
(1) 1 ≦ a, b, c, d ≦ 2 に対して、(a+b)/(b+c) + (c+d)/(d+a) ≦ 4(a+c)/(b+d) を示せ。
(2) 整数 a, b が(a+b)(a-b)≠0 をみたすとき、 |(a+b)/(a-b)|^(ab) ≧ 1 を示せ。
935:１３２人目の素数さん
05/01/16 21:02:23
>934
(1) b,d ≦ 2 ≦ 2a,2c だから,
(a+b)/(b+c) = 2(a+c)/(b+d) -{(a+b)(2c-d) +b(2a-b)/2 +(c +b/2)(2c-b)}/[(b+c)(b+d)] ≦ 2(a+c)/(b+d).
(c+d)/(d+a) = 2(a+c)/(b+d) -{(c+d)(2a-b) +d(2c-d)/2 +(a +d/2)(2a-d)}/[(d+a)(b+d)] ≦ 2(c+a)/(d+b).
辺々たす。
(2) |a+b|^2 - |a-b|^2 = 4ab より、
ab≧0 のとき |a+b|≧|a-b|, 左辺 ≧1.
ab≦0 のとき |a+b|≦|a-b|, 左辺 ≧1.
ぬるぽ
>933
それを使って
> n=2m+1のときの証明は、n=2m+2のときに帰着されますよね？
を示すのは 多分無理、という意味と思われ．．．．
936:１３２人目の素数さん
05/01/17 01:18:58
>>935
なるほど
937:１３２人目の素数さん
05/01/17 02:36:53
>934(2) は、a, b が整数である必要はないですよね？
(a+b)(a-b)≠0 さえ満たしていれば…。
938:１３２人目の素数さん
05/01/17 02:38:10
> n=2m+1のときの証明は、n=2m+2のときに帰着されますよね？
たしかに、ダメですね。切腹します。
939:１３２人目の素数さん
05/01/17 02:56:16
>>903(4) 正の実数x,y,zがx+y+z=xyzを満たすとき、
F_n = (x^n)/√(1+x^2) + (y^n)/√(1+y^2) + (z^n)/√(1+z^2)
について、
n = 0, 1 のとき、F_n ≦ 3(√3)^n/2、 n = 2, 3, … のとき、F_n ≧ 3(√3)^n/2
でＯＫですよね？ あっているかどうか確認たのも～。
>>907(4) の方法で、x=tan(A), y=tan(B), z=tan(C), 0<A,B,C<π/2 とおくと、条件式より A+B+C=π
n=0 のときは、cosA+cosB+cosC ≦ 3cos[(A+B+C)/3]
n=1 のときは、>>903(2)
n≧2 のときは、0≦θ<π/2 において、左辺の関数が下に凸だから。
f(θ) = (tanθ)^n・cosθ
f'(θ) = (tanθ)^(n-1)・[n-(sinθ)^2]/cosθ
f''(θ) = (tanθ)^(n-2)・[(n-1)n-(sinθcosθ)^2]/(cosθ)^3 > 0
940:939
05/01/17 05:54:55
まとめると、こんな感じでせうか… (；´д｀)ﾊｧﾊｧ
1 ≦ F_0 ≦ 3/2
2 ≦ F_0 ≦ 3(√3)/2
n = 2, 3, … のとき、F_n ≧ 3(√3)^n/2
941:１３２人目の素数さん
05/01/17 06:07:48
もひとつおまけに
x/(1+x^2) + y/(1+y^2) + z/(1+z^2) ≦ 3√3/4
942:１３２人目の素数さん
05/01/17 06:14:02
>>940 ３行目は F_1 の書き間違い
>>941 は、正の実数x,y,zがx+y+z=xyzを満たす条件下で。
943:１３２人目の素数さん
05/01/17 06:19:05
たびたびスミマセン。
>>940の最小値には、イコールがつかないですね…
944:１３２人目の素数さん
05/01/17 06:47:51
G_n = (x^n)/(1+x^2) + (y^n)/(1+y^2) + (z^n)/(1+z^2)
こちらのほうも、作れそうですね。
n=0 のときは、(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2 となるけど
凹凸が一定でないので無理そうですが…
945:１３２人目の素数さん
05/01/17 06:49:15
次スレ立ててみました。
不等式への招待 第２章
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
946:１３２人目の素数さん
05/01/17 10:39:25
>939-940
0 < sinθ･cosθ = (1/2)sin(2θ) ≦ 1/2 なので
まとめると、こんな幹事でせうか…
n≦(1-√2)/2 のとき F_n ≧ 3(√3)^n /2,
0≦n≦1 のとき 0 < F_n ≦ 3(√3)^n /2,
(1+√2)/2≦n のとき F_n ≧ 3(√3)^n /2.
947:１３２人目の素数さん
05/01/17 21:58:51
>941
左辺 = (1/2)sin(2A) + (1/2)sin(2B) + (1/2)sin(2C) ≦ (3/2)sin(2π/3) = (3/4)√3.
>944
f(θ) = (tanθ)^n (cosθ)^2.
f '(θ) = n(tanθ)^(n-1) -2(tanθ)^(n+1)･(cosθ)^2.
f "(θ) = n(n-1)(tanθ)^(n-2)/(cosθ)^2 -2(n+1)(tanθ)^n + 4{(tanθ)^(n+2)}(cosθ)^2
= {n(n-1)[1+(tanθ)^2]^2 -2(n+1)(tanθ)^2[1+(tanθ)^2] +4(tanθ)^4}{(tanθ)^(n-2)}(cosθ)^2
= {n(n-1) +2(n^2 -2n-1)(tanθ)^2 +(n-1)(n-2)(tanθ)^4}{(tanθ)^(n-2)}(cosθ)^2
= {-D_n +[(n-1)^2 -2 +(n-1)(n-2)(tanθ)^2]^2}{(tanθ)^(n-2)}(cosθ)^2 /[(n-1)(n-2)].
ここに、判別式 D_n = [(n-1)^2 -2]^2 -n(n-2)(n-1)^2 = 4 -3(n-1)^2.
n≦1-(2/3)√3 = -0.154700538379252… または n≧1+(2/3)√3 = 2.154700538379252… のとき
D_n ≦0, f "≧0 (下に凸).
∴ (x^n)/(1+x^2) + (y^n)/(1+y^2) + (z^n)/(1+z^2) ≧ (3/4)(√3)^n.
ぬるぽ
948:未解答なもの （たぶん）
05/01/17 22:00:55
>>360 (D.D.Adamovic)
m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
(1). (m-2) Σ[k=1,m] |x_k|^2 = Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2.
(2). (m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.
(1)>>364、(2) 未解答
>>407 正の数 a,b,c に対して、1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/(1+abc)
>>783 整数 a, b, c, d が a>b>c>d>0、ad=bc をみたすとき、(a-d)^2 ≧ 4d+8
>>815 a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ
949:１３２人目の素数さん
05/01/17 22:26:39
>948
[407] は [477] [503] [>>504-505] の辺りにも．．．
950:１３２人目の素数さん
05/01/17 22:34:01
>>949
あぁほんとだ。
どおりで解いたことあるような気がしてた。
951:問題
05/01/17 22:52:33
三角形の辺の長さ a, b, c について
(1) (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2 ≦ 3abc
(2) (a+b-c)^a・(b+c-a)^b・(c+a-b)^c ≦ (a^a)(b^b)(c^c)
正の数 a, b, c, p, q, r に対して、
(3) p^4/a^3 + q^4/b^3 + r^4/c^3 ≧ (p+q+r)^4/(a+b+c)^3
(4) p+q+r=1 のとき、a+b+c ≧ (a^p)(b^q)(c^r) + (a^q)(b^r)(c^p) + (a^r)(b^p)(c^q)
(5) 非負実数 a, b, c に対して、(bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ 27(a^3+b^3+c^3)^2
(6) 自然数 n と a>b>0 に対して、a^n-b^n > n(a-b)(ab)^[(n-1)/2]
(7) 正の数 a_1, … a_k に対して、相乗平均を G とおくと、(1+a_1)…(1+a_n) ≧ (1+G)^n
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●| (7) は既出のような気がしますが…
ヽ::::......ワ...ノ (3) は一般化できそうな予感
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ よろしくお願いします。
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
952:未解答なもの （その２）
05/01/18 01:31:33
565 名前：三角形と三角関数の不等式[sage] 投稿日：04/11/01(月) 09:24:59
(1) [1963 Eotvos] 0<x<π/2 のとき、(1/(sin x)+1)(1/(cos x)+1) > 5
(2) [1978 Austria] tan k (k = 1度, …, 44度)の相加平均をA、相乗平均をGとおくとき、A > (√2)-1 > G
(3) [1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1
(4) 0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2 [類 ： 不等式への招待 P.39 ]
(5) 0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)
953: ◆BhMath2chk
05/01/18 02:00:00
>>783
ｐ＝ｇｃｄ（ａ，ｂ），ｑ＝ａ／ｐ，ｒ＝ｂ／ｐ，ｓ＝ｃ／ｑとすると
ａ＝ｐｑ，ｂ＝ｐｒ，ｃ＝ｑｓ，ｄ＝ｒｓ。
ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ＞０からｐ／ｓ＞ｑ／ｒ＞１。
ａ－ｄ≧（ｒ＋１）（ｓ＋１）－ｒｓ＝ｒ＋ｓ＋１≧２√（ｒｓ）＋１＝２√（ｄ）＋１。
等号が同時に成り立つことはないので
ａ－ｄ＞２√（ｄ）＋１。
（ａ－ｄ）＾２＞４ｄ＋４√（ｄ）＋１≧４ｄ＋５。
（ａ－ｄ）＾２は４で割ると余りは０か１なので
（ａ－ｄ）＾２≧４ｄ＋８。
954:１３２人目の素数さん
05/01/18 02:01:04
>951 (1)
b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z とおく。
(1) 左辺 = [x(y+z)^2 +y(z+x)^2 +z(x+y)^2]/4 = (y+z)(z+x)(x+y)/4 +xyz
= 3(y+z)(z+x)(x+y)/8 -(1/8){x(y-z)^2 +y(z-x)^2 +z(x-y)^2} ≦ 3(x+y)(y+z)(z+x)/8 = 右辺.
(7) 初めて見たが...
f(x)=Ln(1+e^x) とおくと f '(x)=(e^x)/(1+e^x), f"(x) =(e^x)/(1+e^x)^2 >0 (下に凸) より。
ぬるぽ
955:１３２人目の素数さん
05/01/18 03:04:14
>952 (>>565)
(1) {1+sin(x)}{1+cos(x)} -5sin(x)cos(x) = 1 + sin(x)+cos(x) -4sin(x)cos(x)
= 1 + 1 -2sin(2x) ≧ 2{1-sin(2x)} >0.
(2) y=tan(x) は下に凸だから、[tan(0)+tan(π/4)]/2 ≧ [tanθ + tan(π/4 -θ)]/2 ≧ tan(π/8).
また、tanθ･tan(π/4 -θ) = 1 - tanθ - tan(π/4 -θ) ≦ 1-2tan(π/8) = {tan(π/8)}^2.
∴ 1/2> A > tan(π/8) = √2 -1 > G >0.
(6) -a+b+c=x, a-b+c=y, a+b-c=z とおくと、相加･調和平均より
1/a = 2/(y+z) ≦ (1/y +1/z)/2,
1/b = 2/(z+x) ≦ (1/z +1/x)/2,
1/c = 2/(x+y) ≦ (1/x +1/y)/2.
辺々たす。
ぬるぽ
956:１３２人目の素数さん
05/01/18 03:17:06
こんな遅くまで、乙です。
新スレのほうに、例の Majorizatoin Inequality と
外国の不等式ヲタのサイトを発見したので、見てみてください。（笑）
957:１３２人目の素数さん
05/01/18 08:17:50
>951 (7)
S_kは{a_i}のk次の基本対称式, G = (S_n)^(1/n) = (a_1･a_2････a_n)^(1/n) とおく。
相加･相乗平均により、
左辺 = Σ[k=0,n] S_k ≧ Σ[k=0,n] C[n,k]･G^k = (1+G)^n.
ぬるぽ
958:１３２人目の素数さん
05/01/18 11:55:12
>951 (2)
b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z とおくと、x+y+z=a+b+c.
yz = (c+a-b)(a+b-c)= a^2 - (b-c)^2 ≦ a^2 など.
Ln(左辺) = (1/2){(y+z)Ln(z) + (z+x)Ln(x) + (x+y)Ln(y)} = (1/2){y･Ln(yz) + z･Ln(zx) + x･Ln(xy)}
≦ y･Ln(a) + z･Ln(b) + x･Ln(c) ≦ a･Ln(a) +b･Ln(b) +c･Ln(c) = Ln(右辺).
>928 (凡例)
nが偶数, 0<a<b のとき x_{2k-1}=Xo, x_{2k}=Xe≠Xo に対して
左辺 = (n/2){Xo/(aXe+bXo) +Xe/(aXo+bXe)} = (n/2)[a(Xo-Xe)^2 +2(a+b)XoXe]/{(aXe+bXo)(aXo+bXe)}
= [n/(a+b)]{1 -(a/2)(b-a)(Xo-Xe)^2/[XoXe(a+b)^2 +ab(Xo-Xe)^2]} < n/(a+b) = 右辺.
となるので、nが偶数のときは a≧b が必要かと....
959:１３２人目の素数さん
05/01/18 22:02:56
>951 (2)
[958]の訂正 死んでお詫びを……(AA省略)
Ln(1+x) ≦x より a･Ln(a+b-c) = a{Ln(a)+Ln[1+(b-c)/a]} ≦ a･Ln(a) +b-c.
これを循環的にたす。
>951 (5)
bc+ca+ab = (a^2 +b^2 +c^2) -(1/2)[(b-c)^2 +(c-a)^2 +(a-b)^2] ≦ (a^2 +b^2 +c^2).
(a+b+c)^2 = 3(a^2 +b^2 +c^2) -(b-c)^2 -(c-a)^2 -(a-b)^2 ≦ 3(a^2 +b^2 +c^2).
辺々かけて、 左辺 ≦ 9(a^2 +b^2 +c^2)^3.
これと [>>153]の(補題) [>>688] を使って、
左辺 ≦ 9(a^2 +b^2 +c^2)^3 ≦ 27(a^3+b^3+c^3)^2 = 右辺.
ぬるぽ
960:１３２人目の素数さん
05/01/18 22:17:02
～～相加･相乗平均の練習問題～～
>951(4)
p+q+r=1 ⇒ pa+qb+rc ≧ (a^p)(b^q)(c^r) これを循環的にたす。
>951(6)
(a^n-b^n)/(a-b) = a^(n-1) +a(n-2)b +…… + ab^(n-2) +b^(n-1) > n(ab)^[(n-1)/2].
ぬるぽ
961:１３２人目の素数さん
05/01/19 03:35:24
>>944>>947
0<A,B,C<π/2, A+B+C=π のとき、>>580より次が成り立つ。等号はA=B=C=π/3
0 < cosA・cosB・cosC ≦ 1/8
G_n = (tanA)^n (cosA)^2 + (tanB)^n (cosB)^2 + (tanC)^n (cosC)^2 において、
G_0 = (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1-2cosA・cosB・cosC
G_2 = (sinA)^2 + (sinB)^2 + (sinC)^2 = 2+2cosA・cosB・cosC
だから、G_0 > 3/4、 0 < G_2 < 9/4
>>947より、0 < G_1 ≦ (3/4)√3、 n=3,4,…のとき G_n ≧ (3/4)(√3)^n
でよろしいでせうか？ (；´д｀)ﾊｧﾊｧ
962:未解答リスト （これで全部？）
05/01/19 05:34:09
>>360 (D.D.Adamovic) の(2)番。 (1)の解答は>>364
m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
(1). (m-2) Σ[k=1,m] |x_k|^2 = Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2.
(2). (m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.
>>565
(3) [1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1
(4) 0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2 [類 ： 不等式への招待 P.39 ]
>>815 a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ。
>>908 (3) 正整数p,qに対し、|p/q-√2|≧(6-4√2)/(q^2)
>>951 (3) 正の数 a, b, c, p, q, r に対して、 p^4/a^3 + q^4/b^3 + r^4/c^3 ≧ (p+q+r)^4/(a+b+c)^3
963:１３２人目の素数さん
05/01/19 05:50:03
>>951(3) の類題をコレクションの中から発見！
このスレには書いてなかったよね？ （いちおう検索したけど…）
【類題】 文字はすべて正の数とする。
p^2/a + q^2/b + r^2/c ≧ (p+q+r)^2/(a+b+c)
（証）
p^2/a + q^2/b - (p+q)^2/(a+b) = (aq-bp)^2/[ab(a+b)] ≧ 0
∴ p^2/a + q^2/b ≧ (p+q)^2/(a+b)
これを２回用いて、
p^2/a + q^2/b + r^2/c ≧ (p+q)^2/(a+b) + r^2/c ≧ (p+q+r)^2/(a+b+c)
等号成立条件は
aq=bp かつ (a+b)r=c(p+q) ⇔ p/a = q/b = r/c
964:１３２人目の素数さん
05/01/19 05:57:32
>>955
(>>565)(1) [1963 Eotvos] 0<x<π/2 のとき、(1/(sin x)+1)(1/(cos x)+1) > 5
の解答について質問です。
{1+sin(x)}{1+cos(x)} -5sin(x)cos(x)
＝ 1 + sin(x)+cos(x) -4sin(x)cos(x)
＝ 1 + 1 -2sin(2x) ← ここは なぜですか？
≧ 2{1-sin(2x)}
＞ 0.
965:964
05/01/19 05:59:22
あぁ、分かりました。
問題文に 0<x<π/2 とあるから、合成して sin(x)+cos(x) ≧ 1 なんですね。
スマソ。
966:１３２人目の素数さん
05/01/19 09:22:16
>962
>>565(5)もまだだよ。
967:１３２人目の素数さん
05/01/19 09:30:30
>>953
なるほど。ありがとうございまする。
こりゃ思いつかんわ…。
968:１３２人目の素数さん
05/01/19 19:09:06
>951(3) >963
a,b,c,n,p,q,r>0. p/a=P, q/b=Q, r/c=R とおく。 y=x^(n+1) は下に凸なのでJensenにより、
左辺 = p^(n+1)/(a^n) + q^(n+1)/(b^n) +r^(n+1)/(c^r) = a･P^(n+1) +b･Q^(n+1) +c･Q^(n+1)
≧ (a+b+c){(aP+bQ+cR)/(a+b+c)}^(n+1) = (p+q+r)^(n+1) /(a+b+c)^n = 右辺.
等号条件は P=Q=R すなわち p/a = q/b = r/c.
ぬるぽ
969:968
05/01/19 19:59:11
[968] に写し間違い,スマソ。 r^(n+1)/(c^n)、 c･R^(n+1)
[951]への解答レス（主なもの）
(1)[954] (2)[959] (3)[968] (4)[960] (5)[959] (6)[960] (7)[954][957]
>961
3/4 ≦ G_0 < 1、 2 < G_2 ≦ 9/4 でいいんぢゃない？
（0<A,B,C<π なら 3/4 ≦ G_0 < 3、 0 < G_2 ≦ 9/4）
970:１３２人目の素数さん
05/01/19 21:53:12
>>811(1)も未解答では？
971:１３２人目の素数さん
05/01/19 23:49:36
実数a[k],k=1,2,...,nに対し
|sin(a[1])|+|sin(a[2])|+...+|sin(a[n])|+|cos(a[1]+a[2]+...+a[n])|≧1
972:１３２人目の素数さん
05/01/20 00:59:14
>>969
㌧クス。
973:未回答リスト （>>962） に追加
05/01/20 09:33:33
↑ の問題と、>>962のリストと、次の３問。
>>563(7) 自然数 m, n と実数 0≦x≦1 に対して、(1-x^n)^m+{1-(1-x)^m}^n ≧1
>>565(5) 0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)
>>811(1) 1対1の上への関数 f : [0,1]→[0,1] は狭義単調増加であるとし、逆関数をgとおく。
0<t<1のとき、∫[0,1] (f(x)+g(x))^t dx≧(2^t)/(1+t) を示せ。
974:１３２人目の素数さん
05/01/20 09:36:51
ごめん、563(7) は>>662にあった
975:１３２人目の素数さん
05/01/20 10:08:21
>>973 さらに追加
>>791
各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B ∠C＞π/2を満たす。
この時、AB+BC+CA≧77を示せ
等号成立条件しか書かれていないので未解決としてよいかと
出題は某国数学オリンピック。
976:１３２人目の素数さん
05/01/20 12:23:46
>971
a[k]/π に最も近い整数を q[k]、r[k] = a[k] - q[k]π とすると, |r[k]| ≦ π/2.
左辺 = |sin(r[1])| + …… + |sin(a[n])| + |cos(S)|
≧ (2/π)(|r[1]|+|r[2]|+ …… +|r[n]|) + |cos(S)| = (2/π)Θ + |cos(S)|.
ここに S = r[1] + r[2] + …… + r[n], Θ = |r[1]| + |r[2]| + …… + |r[n]| とおいた。
Θ ≧ π/2 のときは成立。
Θ < π/2 のとき 0 ≦ S ≦ Θ より, 左辺 ≧ (2/π)Θ + cosΘ ≧1.
ぬるぽ
>974
ごめん、563(7) は >>706-707 で解決のように見えまつが、>>705 (未解決)を使ってますた。
977: ◆BhMath2chk
05/01/20 14:00:00
｜ｓｉｎ（ｘ＋ｙ）｜
≦｜ｓｉｎ（ｘ）｜｜ｃｏｓ（ｙ）｜＋｜ｃｏｓ（ｘ）｜｜ｓｉｎ（ｙ）｜
≦｜ｓｉｎ（ｘ）｜＋｜ｓｉｎ（ｙ）｜。
１
≦｜ｓｉｎ（Σ（ａ（ｋ）））｜＋｜ｃｏｓ（Σ（ａ（ｋ）））｜
≦Σ｜ｓｉｎ（ａ（ｋ））｜＋｜ｃｏｓ（Σ（ａ（ｋ）））｜。
978:１３２人目の素数さん
05/01/20 16:09:47
ウホッ いい不等式 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍ
979:１３２人目の素数さん
05/01/20 16:28:30
一年二十四日。
980:１３２人目の素数さん
05/01/20 22:13:31
>>951(6) を改造。
自然数 n と a>b>0 に対して、(n/2)(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)] > a^n-b^n > n(a-b)(ab)^[(n-1)/2]
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
981:１３２人目の素数さん
05/01/20 22:28:19
∫[0,1]{x/cos(x)}dx < log(2)
982:１３２人目の素数さん
05/01/21 06:05:38
>>976
最後の行
> Θ < π/2 のとき 0 ≦ S ≦ Θ より, 左辺 ≧ (2/π)Θ + cosΘ ≧1.
において、
左辺 ≧ (2/π)Θ + cosΘ
ここまでは分かりましたが、それが ≧1 となるのは何故ですか？
983:982
05/01/21 06:12:39
まさか、f(θ) = (2/π)θ + cosθ を微分して、
0<θ<π/2 における増減を調べて ≧1 を確認
なんて面倒なことをしないですよね？
984:982
05/01/21 06:26:11
グラフから、0≦θ<π/2 において cosθ ≧ 1-(2/π)θ であることを使うのですか？
985:１３２人目の素数さん
05/01/21 07:26:53
>>951(5) [>959]
以下の解法は合ってますか？ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
x≧0 において、y=x^3は下に凸だからJensenの不等式より
(a^3+b^3+c^3)/3 ≧ [(a+b+c)/3]^3 … (1)
対称性から a≧b≧cとしてよく、チェビシェフの不等式より
(a^2+b^2+c^2)/3 ≧ [(a+b+c)/3]・[(ab+bc+ca)/3] … (2)
2[(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)] = (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≧ 0 より
(a^2+b^2+c^2)/3 ≧ (ab+bc+ca)/3 … (3)
式は負でないから、(1)、(2)を辺々かけて、(3)を用いる。
986:１３２人目の素数さん
05/01/21 09:27:43
>981
0<x<√2 ⇒ -cos(x)>-1, -sin(x)>-x, cos(x)>1-(1/2)x^2.
x/cos(x) < x/{1-(1/2)x^2}.
∫_[0,a] x/cos(x) dx < ∫_[0,a] x/{1-(1/2)x^2} dx = [-Ln{1-(1/2)x^2}](x=0→a) = Ln{2/(2-a^2)}.
>982-984
f(θ)は上に凸だから、f(θ) ≧ {(π/2-θ)f(0) + θf(π/2)}/(π/2) = 1.
>985
(a^3+b^3+c^3)/3 ≧ [(a+b+c)/3]・[(a^2+b^2+c^2)/3] … (2)
ぢゃない？
987:１３２人目の素数さん
05/01/21 09:56:55
>>986
そうそう、写し間違いですた。ゴメソ。
988:１３２人目の素数さん
05/01/21 16:40:19
【問題】 正の実数 x(k,j)、自然数 m, n に対して、次式を示せ。
[x(1,1)^n + … + x(1,m)^n]…[x(n,1)^n + … + x(n,m)^n] ≧ [x(1,1)…x(n,1) + … + x(n,1)…x(n,m)]^n
うまく証明できません。たのも～。
>>951(7) は、m=2、x(n,1)^n=1、x(n,2)^n=a_ の場合になりますよね？
どっかで見たことあると思ったら、これだったか…。
発掘元
URLﾘﾝｸ(user.ecc.u-tokyo.ac.jp)の8ページ目
989:１３２人目の素数さん
05/01/21 22:30:16
>980
相加･相乗平均により
{k･a^(n-1) + (n-1-k)･b^(n-1)} / (n-1) ≧ a^k･b^(n-1-k).
これを k=0～n-1 について加えて(1/2)を掛けると
(n/2)[a^(n-1) +b^(n-1)] ≧ a^(n-1) +a^(n-2)b + …… +ab^(n-2) +b^(n-1) = (a^n -b^n)/(a-b).
>988
●知られざる(?)コーシー・シュワルツの拡張形●
nについての帰納法による。
n=1のときは 明らか。
n=2のときは "コーシー・シュワルツの不等式になりますね。"
nが偶数のとき、 n/2 について成立ち、また２についても成立つことから……
nが奇数のとき、 n+1 については成立つ。これを
X(k,i)= x(k,i)^{n/(n+1)} (1≦k≦n), X(n+1,i)={x(1,i)x(2,i)…x(n,i)}^{1/(n+1)}
に適用すると、与式の両辺に (右辺)^(1/n) を掛けた式が……
ぬるぽ
990:１３２人目の素数さん
05/01/21 23:45:56
相加相乗でも解けるね
991:１３２人目の素数さん
05/01/22 03:32:58
>>989
さすが、いつもながら ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！です。
>>990
詳細キボンヌ。
992:１３２人目の素数さん
05/01/22 03:59:57
>>988-989
Cauchyの不等式って積分に拡張したSchwarzの不等式があるよね。
「知られざる（？）コーシー・シュワルツの拡張形」 も、積分に拡張できるでしょうか？
> 正の実数 x(k,j)、自然数 m, n に対して、
> [x(1,1)^n + … + x(1,m)^n]…[x(n,1)^n + … + x(n,m)^n] ≧ [x(1,1)…x(n,1) + … + x(n,1)…x(n,m)]^n
もし出来るとしたら、こんな感じですか？
【予想】
区間 [a, b] で連続な実関数 f_1, …, _m に対して
[∫[a, b](f_1(x))^n dx]…[∫[a, b](f_m(x))^n dx] ≧ [∫[a, b]f_1(x)…f_m(x) dx]^n
993:１３２人目の素数さん
05/01/22 04:30:50
>>992
【Schwarzの不等式】
区間 [a, b] で連続な実関数 f, g に対して
[∫[a, b]f(x)^2 dx]…[∫[a, b]g(x)^2 dx] ≧ [∫[a, b]f(x)g(x) dx]^2
（証明）
任意の実数 t に対して ∫[a,b](tf(x)+g(x))^2 dx ≧ 0 … (☆)
展開して (t^2)∫[a,b](f(x))^2 dx + 2t∫[a,b]f(x)g(x) dx + ∫[a,b](g(x))^2 dx ≧ 0
∫[a,b](f(x))^2 dx>0 のとき、上式の左辺の判別式 D≦0 より、示すべき不等式を得る。
等号は D=0 のときで、このとき (☆) は あるt=cにおいて ∫[a,b](cf(x)+g(x))^2 dx=0
となるから、区間 [a, b] でcf(x)+g(x)=0
∫[a,b](f(x))^2 dx=0 のとき、区間 [a, b] で f(x)=0 より、示すべき不等式で等号が成り立つ。
（このとき、f(x) = 0×g(x) と書ける）
等号成立条件は、f, g の一方が他方の定数倍のとき。
994:１３２人目の素数さん
05/01/22 04:32:18
>>992
その予想は、993の方法では難しそうでつね。
そもそも成り立つかどうか知らないし…。
（ ﾟ∀ﾟ） ﾃﾍｯ
995:１３２人目の素数さん
05/01/22 04:34:40
>>989
●知られざる(?)コーシー・シュワルツの拡張形● の等号成立条件は、どうなるのでしょうか？
996:１３２人目の素数さん
05/01/22 05:04:22
>>980
> 自然数 n≧2 と a>b>0 に対して、(n/2)(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)] > a^n-b^n
（別解１）
x>0、n≧2 において y=x^(n-1) は下に凸だから、
区間 [b, a] において、この間数とx軸で囲まれる部分の面積を考えて
（台形）≧ ∫[b, a]x^(n-1)dx
(1/2)(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)] > (a^n-b^n)/n
997:１３２人目の素数さん
05/01/22 05:18:16
（別解２）
a/b = t (>1) とおくと、示すべき不等式は
(n/2)(t-1)(t^(n-1)-1) > t^n -1 …(☆)
これを示そう。
f(t) = n(t-1)(t^(n-1)-1) -2(t^n -1)
f'(t) = n(n-2)t^(n-1) -n(n-1)t^(n-2) +n
f''(t) = n(n-1)(n-2)t^(n-3)(t-1)
t>1 において f''(t)>0、f'(1)=0 より、f'(t)>0 だから fは単調増加
f(t)>f(1)=0
998:不等式ヲタ
05/01/22 05:19:29
このスレが、ここまで盛り上がったのも皆さんのおかげです。
きっと>>1も草葉の陰で喜んでいることでしょう。
次スレもよろしくお願いします。
…と、なんとなく締めくくってみる。
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|::::: (● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
ヽ::::... .ワ....ノ n
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フ /ヽ ヽ_／／
999:１３２人目の素数さん
05/01/22 05:22:48
次スレ
不等式への招待 第２章
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
1000:１３２人目の素数さん
05/01/22 05:24:02
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もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。