04/12/05 15:58:52
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nに関する帰納法による。
n=2のとき、a^(r/2)=A, b^(r/2)=B とおくと G^r = AB, B-A ～ (b-a)r. (～は同符号の意味)
左辺 = (1+a)^r +(1+b)^r = A･(√a +1/√a)^r + B･(√b +1/√b)^r.
右辺 = (G^r)･{(1/A)(√a +1/√a)^r + (1/B)(√b +1/√b)^r}.
= B･(√a +1/√a)^r + A･(√b +1/√b)^r.
f(x)=√x +1/√x は x≧1 では単調増加だから、f(b)-f(a) ～ b-a.
∴ 左辺 - 右辺 ≡ d(a,b) = (A-B)･{(√a +1/√a)^r - (√b +1/√b)^r} ≧ 0.
d(a,b)は ある意味での「距離」である。
n>2 のとき、
a_1=･･････=a_n のとき、等号成立。
そうでないとき、a_{n-1} < G < a_n (または逆) としても一般性を失わない。
c_{n-1}=a_{n-1}･a_n/G, c_n=G とおくと、相乗平均Gは変わらない。
a_{n-1} < c_{n-1}, G < a_n (または逆) だから d(a_{n-1},a_n) ≧ d(c_{n-1},G)
∴ F_n(a_1, ･･････, a_n) ≧ F_n(a_1, ･･････, a_{n-2}, c_{n-1}, G)
= F_{n-1}(a_1, ･･････, a_{n-2}, c_{n-1})
となるが、帰納法の仮定により 右辺≧0 である。(終)
> -3≦r≦3、
要りまつか?
むずぽ