04/03/07 21:54
[I] x,y,zの中に0であるものが存在すれば、結論の不等式が成り立つことはすぐにわかる。
これ以降x,y,z≠0としてよく、(a/x)+(b/y)+(c/z)の符号をみていくことにする。
[II] x,y,zの内、1つが負、2つが正の時
(i) x or yが負の場合
それぞれ場合について(a/x)+(c/z)≧0,(b/y)+(c/z)≧0が成立するから、
(a/x)+(b/y)+(c/z)≧0
(ii) z が 負の場合
(a/x)+(b/y)+(c/z)≧(1/4)(1/x)+(1/4)(1/y)+(1/z)≧0（∵凸不等式）
(i),(ii)のいずれの場合も(a/x)+(b/y)+(c/z)≧0ゆえ、
両辺にxyz(<0)を掛けて、結論が得られる。
[III] x,y,zの内、2つが負、1つが正の時
x,y,zの替わりに-x,-y,-zを考えれば、[II]に帰着できる。