04/11/24 01:46:36
>>647 a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと, s^2 -3t≧0, st-9u≧0, t^2 -3su≧0. これでゴリゴリ
(1) 左辺 = (1+s+t+u)/(3+2s+t)- u/t = 1/3 + [(st-9u) +2(t^2 -3su)]/[3t(3+2st+u)] ≧ 1/3.
(2) 相加・相乗平均により (ca^2/b +2ab^2/c +4bc^2/a)/7 ≧ bc. これを循環的に加えて,
(ca^2 +ab^2 +bc^2)(1/a +1/b +1/c) = (a^2 +b^2 +c^2) +(ca+ab+bc) +(ca^2/b + ab^2/c +bc^2/a)
≧ (a^2 +b^2 +c^2) +2(ab+bc+ca) = s^2.
左辺 = (ca^2 +ab^2 +bc^2)/u ≧ (s^2)/t,
右辺 = {(s^3 -st +3u) +(ca^2 +ab^2 +bc^2)}/(st-u).
[左辺－右辺]･(st-u) = (st-2u)(左辺) -(s^3 -st +3u) ≧ (st-2u)(s^2)/t -(s^3 -st +3u)
= -2(s^2)u/t +st -3u ≧ -2st/3 +st -3u = (st-9u)/3 ≧0.
(3) 1/(2ab) = a/(2a^2b) ≧ a/(a^4+b^2).
1/(2ab) = b/(2ab^2) ≧ b/(a^2+b^4).
辺々たす。
(4) 左辺 - 中辺 = (y-z)x/(a+z) +(z-x)y/(a+x) +(x-y)z/(a+y)
= [a(xz^2 +yx^2 +zy^2 -3xyz) +(t^2 -3su)]/[(a+x)(a+y)(a+z)] ≧0.
右側： x/(a+x), y/(a+y), z/(a+z) の大小と a+x, a+y, a+z の大小は一致する。
∴ チェビシェフの不等式により成立。
(5) (a^2)/(a^2 +2bc) ≧ (a^2)/(a^2 +b^2 +c^2) などより 左辺≧1.
bc/(a^2+2bc) ≦ (1/2)(b^2 +c^2)/(a^2 +b^2 +c^2) などより 右辺≦1.
なお、(左辺) + (右辺)×2 = 3.
(5)の類題[>679]： 相加･相乗平均より 2a/(a^2 +bc) ≦ a/√(au) = √(au)/u ≦ (2a^2 +b^2 +c^2)/4u.
循環的に加える。