04/11/18 21:23:57
>>563
(1) a+b+c=s、ab+bc+ca=t、abc=u とおき、次の同次形を示す。 s^2 -2t +2√(3su) ≦ s^2. [>>576]
(2) 綺麗な形をしているけど分からんちん。
同次形は (a+b+c)^2･(pa+qb+rc) -8abc(p+q+r) ≧0.
左辺－右辺 = {(a+b+c)^2 -8bc}pa + {･･･}qb + {･･･}rc としても {･･･}≧0 とは言えない...
題意により (p+q+r)/2 ≧ p,q,r ≧0 だから、 p,q,rは三角不等式を満たす。そこで
左辺－右辺 = f(a,b;c)(p+q-r) + f(b,c;a)(-p+q+r) + f(c,a;b)(p-q+r).
f(a,b;c)≡{(a+b)+c}^2･(a+b)/2 -8abc≧ {4(a+b)c}･(a+b)/2 -8abc≧ 0.
(3) 相加・相乗平均でハァハァと [>>578]
(4) できそうで できない。 a,b≧cの使い方。[>>639]
(5) 上に凸 [>624]
類題は (ab+bc+ca+1) - (a+b+c) = (1-a)(1-b)(1-c) + abc ≧0.
(6) f(x) = 1/x -1 とおくと {log|f(x)|} '' = {log(1-x) -log(x)} '' = 1/(x^2) -1/(1-x)^2.
log|f(x)| は 0<x<1/2 で下に凸 [>>620]
(7) 0≦y≦1, n≧1 のとき 1-y^n≧1-y を使う。
[563]の解答のレス番号（主なもの）
(1) [576] (2) これ (3) [578] (4) [639] (5) [624] (6) [620] (7) これ
ぬるぽ