04/11/13 19:15:06
>>564(6)
> 実数 a,b,c≧0 に対して、常に次式が成り立つような定数 k の最小値。
> k(a^3 +b^3 +c^3) +(9-3k)abc ≧ (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2)
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
k(s^3 -3st +3u) +(9-3k)u ≧ s(s^2-2t).
(k-1)s(s^2 -3t) -(st-9u) ≧ 0.
k=2 のときは、↓により成立。
s^3 -4st +9u = a(a-b)^2 +c(b-c)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) ≧0 ･････(1) [>>611]
k>2 のときは、これと (k-2)(a^3 +b^3 +c^3 -3abc)≧0 とを加えて成立。
k<2 のときは、a=b, c=0 の場合、左辺=2(k-2)a^3 < 0 で不成立。
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一方、ts -9u = [ c(a-b)^2 +a(b-c)^2 +b(c-a)^2] ≧0 ･････(3) [>>611]
>>601-602 [1999.3 BMO] 左側：(3)から, 右側：[>>608] または {(1)×2＋(3)}/7
>>603(1) [1984.A1 IMO] 左側：(3)から, 右側：{(1)×7＋(3)}/27
ぬるぽ