04/11/13 19:15:06
>>564(6)
> 実数 a,b,c≧0 に対して、常に次式が成り立つような定数 k の最小値。
> k(a^3 +b^3 +c^3) +(9-3k)abc ≧ (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2)
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
k(s^3 -3st +3u) +(9-3k)u ≧ s(s^2-2t).
(k-1)s(s^2 -3t) -(st-9u) ≧ 0.
k=2 のときは、↓により成立。
s^3 -4st +9u = a(a-b)^2 +c(b-c)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) ≧0 ･････(1) [>>611]
k>2 のときは、これと (k-2)(a^3 +b^3 +c^3 -3abc)≧0 とを加えて成立。
k<2 のときは、a=b, c=0 の場合、左辺=2(k-2)a^3 < 0 で不成立。
----------------------------------------------------------------------
一方、ts -9u = [ c(a-b)^2 +a(b-c)^2 +b(c-a)^2] ≧0 ･････(3) [>>611]
>>601-602 [1999.3 BMO] 左側：(3)から, 右側：[>>608] または {(1)×2＋(3)}/7
>>603(1) [1984.A1 IMO] 左側：(3)から, 右側：{(1)×7＋(3)}/27
ぬるぽ
650:１３２人目の素数さん
04/11/14 04:38:37
お～なるほどッ！
651:１３２人目の素数さん
04/11/16 20:19:06
>>562
(1) |a|,|b|≧|c| とすると, |a^2 +b^2 +c^2| ≦ |a|^2 +|b|^2 +|c|^2 ≦ |a|^2 +|b|^2 +2|ab| = (|a|+|b|)^2.
(2) [1999 Poland] 50th, 1st round (1998 Sep.-Dec.), No.2
a+b=s とおくと、右辺－左辺 = 3(s^2 +c^2 +d^2) -(s+c+d)^2 = (s-c)^2 +(c-d)^2 +(d-s)^2 ≧0.
(3) 相加･相乗不等式で瞬殺。[>>567]
(4) 相加･相乗平均により (10ab^4+11bc^4+7cd^4+23da^4)/51 ≧ a(abcd). これを循環的に加える。
(5) [2003 Poland] 54th, 1st round (2002 Sep.-Dec.) No.12
4文字の基本対称式を a+b+c+d=S, ab+bc+ca+ad+bd+cd=T, abc+bcd+cda+dab=U, abcd=V とおく。
A = a^3+b^3+c^3+d^3 = S^3 -3ST +3U, B=U.
右辺－左辺－9U = 4A +15U - S^3 = 3(S^3 -4ST +9U).
【補題】S^3 -4ST +9U ≧0 は4文字の場合も成り立つ。
（略証） S^3 -4ST +8U = (a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d) ･･････ (*)
対称式だから、a≧b≧c≧d>0 としてよい。 a-b=f, b-c=g, c-d=h とおくと、U≧abc.
S^3 -4ST +9U ≧ (f+2g+h)(f+h)(f-h) + abc = (f+2g+h)(f^2-h^2) + (f+g+h+d)(g+h+d)(h+d)
≧ (f+2g+h)(f^2 -h^2) + (f+g+h)(g+h)h = f^2(f+2g+h) +gh(f+g) ≧ 0. (終)
なお、3文字のときは [>>611]
※ S^2 -(8/3)T = (1/3)Σ[i<j] (a_i-a_j)^2,
ST-6U = (1/2)Σ[i<j] (S-a_i-a_j)(a_i-a_j)^2,
S^3 -4ST +8U = S{S^2 -(8/3)T} -(4/3)(ST-6U) = (1/3)Σ[i<j] (2a_i+2a_j-S)(a_i-a_j)^2 より.
652:１３２人目の素数さん
04/11/16 20:22:17
>>562
(6) [2002 Poland] 53rd, 2nd round, 2nd day (2002.2.23) No.6
n=2 のときはコーシーの不等式、n>2 のときは帰納法で。 n=1は不成立。[>590]
(7) a_1 = b_2 ≠ a_2 = b_1 の場合を考えると･･･
[562]の解答のレス番（主なもの）
(1) [651] (2) [651] (3) [567] (4)[651] (5) [651] (6) [590] (7) ?
ぬるぽ
653:１３２人目の素数さん
04/11/17 01:13:22
>651-652
神キタ━（ﾟ∀ﾟ）━ ！！！
651(4)、うますぎる！とても作り出せない…。
abcd=1 としてゴチャゴチャやってましたができませんでした。
＿|￣|○
654:１３２人目の素数さん
04/11/17 01:16:05
連立方程式をたてて解けばいいんだよ・・・
655:１３２人目の素数さん
04/11/17 01:18:27
実数 x に対して、|sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + cosec x| ≧ 2√2 - 1
[AMM_Oct._2004 P.682] より発掘。解答は P.685
(；´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！
656:１３２人目の素数さん
04/11/17 04:07:03
s=sinx,c=cosx,s^2+c^2=1
|s+1/s+c+1/c+s/c+c/s|≧2√2-1
657:１３２人目の素数さん
04/11/17 04:29:10
>656
ドラクエでもやれば？
( ﾟ∀ﾟ) ｱﾊﾊ八八ﾉヽﾉヽﾉヽﾉ ＼ ／ ＼／ ＼
658:１３２人目の素数さん
04/11/17 13:04:33
>655
(i) 0<x<π/2 のとき 各項>0 ゆえ
与式 = {sin(x) +1/sin(x)} + {cos(x) +1/cos(x)} + {tan(x)+cot(x)} > 2+2+2 = 6.
(ii) π/2 < x < 2π のとき
z=cot(x/2) とおくと, 1-z>0.
sin(x) + cos(x)= 1 -2(1-z)/(1+z^2),
tan(x) + 1/cos(x) = [sin(x)+1]/cos(x) = -(1+z^2)/(1-z) -ｚ,
cot(x) + 1/sin(x) = [cos(x)+1]/sin(x) = z.
∴ 与式 = 1 -2(1-z)/(1+z^2) -(1+z^2)/(1-z) ≦ 1 -2√2 (←相加･相乗平均).
等号成立は、z =－(1/2)√2 ± √(√2 -1/2) のとき.
659:658
04/11/17 20:57:29
>658(ii) (補足)
[sin(x) +1]/cos(x) + [cos(x)+1]/sin(x) = [1+sin(x)+cos(x)]/[sin(x)cos(x)]
= -2/[1-sin(x)-cos(x)].
660:659
04/11/18 08:57:13
(続き)
1-sin(x)-cos(x) =y とおくと 与式 = 1-y-2/y. ∴ ｜与式－1｜ =｜y +2/y｜≧ 2√2.
661:660
04/11/18 18:08:39
（続き） 以上により↓が示された。
【命題】 F= sin(x) + cos(x) + tan(x) + cot(x) + sec(x) + cosec(x) とおくとき
F≧ 3√2 +2 または F≦-(2√2 -1).
ぬるぽ
662:１３２人目の素数さん
04/11/18 21:23:57
>>563
(1) a+b+c=s、ab+bc+ca=t、abc=u とおき、次の同次形を示す。 s^2 -2t +2√(3su) ≦ s^2. [>>576]
(2) 綺麗な形をしているけど分からんちん。
同次形は (a+b+c)^2･(pa+qb+rc) -8abc(p+q+r) ≧0.
左辺－右辺 = {(a+b+c)^2 -8bc}pa + {･･･}qb + {･･･}rc としても {･･･}≧0 とは言えない...
題意により (p+q+r)/2 ≧ p,q,r ≧0 だから、 p,q,rは三角不等式を満たす。そこで
左辺－右辺 = f(a,b;c)(p+q-r) + f(b,c;a)(-p+q+r) + f(c,a;b)(p-q+r).
f(a,b;c)≡{(a+b)+c}^2･(a+b)/2 -8abc≧ {4(a+b)c}･(a+b)/2 -8abc≧ 0.
(3) 相加・相乗平均でハァハァと [>>578]
(4) できそうで できない。 a,b≧cの使い方。[>>639]
(5) 上に凸 [>624]
類題は (ab+bc+ca+1) - (a+b+c) = (1-a)(1-b)(1-c) + abc ≧0.
(6) f(x) = 1/x -1 とおくと {log|f(x)|} '' = {log(1-x) -log(x)} '' = 1/(x^2) -1/(1-x)^2.
log|f(x)| は 0<x<1/2 で下に凸 [>>620]
(7) 0≦y≦1, n≧1 のとき 1-y^n≧1-y を使う。
[563]の解答のレス番号（主なもの）
(1) [576] (2) これ (3) [578] (4) [639] (5) [624] (6) [620] (7) これ
ぬるぽ
663:１３２人目の素数さん
04/11/19 09:44:50
>>662 ぬるぽ神 ｷﾀ─wwﾍ√ﾚvv～(ﾟ∀ﾟ)─wwﾍ√ﾚvv～─ !!!
ありがとうございます。
(2) ｳﾎｯ！ どうやって同次系の不等式を思いつくのですか？ コツがあるのでしょうか？
a+b+c も p+q+r もどちらも１なので、組合せは何通りも考えられますよね。
その後の進め方もまた （；´ρ`） ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！
(5)類題、こんなにアッサリ片付くとは…。文字を固定してゴリゴリ証明してました。
(7) うう、分かりません。 「0≦y≦1, n≧1 のとき 1-y^n≧1-y を使う」 と、
左辺第１項 ≧ (1-x)^m
左辺第２項 ≧ x^n
となるから、左辺 ≧ (1-x)^m - x^n となって、その後どうするのでしょうか？
>654 なるほど、連立方程式の立て方が分かりました。 （ ￣ー￣） ﾆﾔｿ
664:１３２人目の素数さん
04/11/19 12:11:56
>>564
基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
(1) 相加･相乗でハァハァと [>>619]
a^3 +b^3 +c^3 = s^3 -3(a+b)(b+c)(c+a)
s^3 = {(3/2)[(a+b)+(b+c)+(c+a)]/3}^3 ≧ (3/2)^3･(a+b)(b+c)(c+a).
∴ 与式 = (s^3)/[(a+b)(b+c)(c+a)} -3 ≧ (3/2)^3-3 = 3/8.
(2) 分母 = (2a^2+b^2)(b^2+2c^2) = t^2 +(b^2 -ac)^2 +a^2(b-c)^2 +c^2(a-b)^2 ≧ t^2.
∴ 与式 = us/(t^2) ≦ 1/3.
(3) 最大値：√{3(p^2+q^2+r^2)}, 最小値：(p+q+r)/(√3). [>>613]
(4) 条件式が汚いからサッパリ。
b-c=x, c-a=y とおくと a-b=(-x-y), 条件式は xy≧1.
F(x,y) = {(x+y)^(2n+1)-x^(2n+1)-y^(2n+1)}/{xy(-x-y)}
= {(x+y)^(2n) - x^(2n) +x^(2n-1)･y-････+x･y^(2n-1)-y^(2n)}/xy
= Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]+(-1)^k} x^k･y^(2n-2-k)
= Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]+(-1)^k} {x^k･y^(2n-2-k) + x^(2n-2-k)･y^k}/2
≧ |xy|^(n-1)･Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]-(-1)^k} （←相加･相乗平均）
= |xy|^(n-1)･F(1,1) ≧ F(1,1) = 2^(2n) -1.
665:１３２人目の素数さん
04/11/19 12:13:32
>>564
(5) できるのか、これ？ [>>617,>>627-631]
0<a,b,c<1, a+b+c=s のとき, g(x)=1+x^r, f(x)=log|g(x)| とおくと
f '(x) = g '(x)/g(x) = r･x^(r-1)/(1+x^r),
f ''(x) = {g(x)g ''(x)-g '(x)^2}/{g(x)}^2 = r･(r-1-x^r)･x^(r-2)/[(1+x^r)^2].
(i) r≧2 のとき f(x) は 0<x<1 で下に凸だから
log(与式) = f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f(s/3) = 3log|g(s/3)|.
f(x) ≦ f(0)(1-x) + f(1)x.
∴ g(s/3)^3 ≦ 与式 ≦ g(0)^(3-s)･g(1)^s.
(ii) 0≦r≦1 のとき g(x)=1+x^r はx>0 で上に凸
∴ f(x)=log|g(x)| も上に凸： f(x) ≧ f(0)･(1-x) + f(1)･x
∴ log(与式) = f(a)+f(b)+f(c) ≧ f(0)･(3-a-b-c) + f(1)･(a+b+c) = f(0)･(3-s) + f(1)･s.
∴ g(0)^(3-s)･g(1)^s ≦ 与式 ≦ g(s/3)^3.
(6) k≧2 成立、 k<2 不成立。 [>>649]
[564]の解答のレス番号（主なもの）
(1) [619] (2) [664] (3) [613] (4) [664] (5) [617][627] (6) [649]
ぬるぽ
666:１３２人目の素数さん
04/11/20 04:19:07
>651(5)
遅レスですが、勉強になりました。ﾊｧﾊｧ…
667:１３２人目の素数さん
04/11/20 09:05:59
>664(4)
なるへそ。条件式を変形した式から b-c=x, c-a=y とおくことに気づくわけか…
その後の nCr の計算に ﾊｧﾊｧ…
条件式から xy≧1 だし、x^k･y^(2n-2-k) も x^(2n-2-k)･y^k も正だから相加相乗か…
計算の後を追いかけるのがやっとです。とても自力で出来ません。
だめぽ ＞ （：D）|￣|＿
668:580
04/11/22 11:39:24
>587
【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8.
-1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
フランダースの不等式 とか言うらしい．．．
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
ぬるぽ
669:１３２人目の素数さん
04/11/22 13:26:17
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( ﾟ)━( )━(ﾟ )━(∀ﾟ )━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!
670:１３２人目の素数さん
04/11/22 13:52:11
>>388の証明(>>391)がよくわかんない。詳しく教えてくれ。
671:１３２人目の素数さん
04/11/22 15:43:58
>668
パトラッシュ、疲れたろう。
右側は相加相乗だけど、左側はどうするんだろうね
,.-─-、
/ /_wゝ-∠l
ヾ___ノ,. - >
/|／（ヽY__ノﾐ
.{ rｲ ノ
僕もう疲れたよ…
何だかとても眠いんだ…パトラ…
672:668
04/11/22 19:23:28
>671
f(x) = log|sin(x)| - log|x｜ とおいて f '(x) = 1/tan(x) -1/x,
f ''(x)= -1/[sin(x)^2] +1/(x^2) <0（上に凸）を使うんだろうな･･･ネロ･･･
AAらしい
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
壁紙らしい
URLﾘﾝｸ(www.accessup.org)
公式サイトらしい
URLﾘﾝｸ(www.bandaivisual.co.jp)
URLﾘﾝｸ(www.nippon-animation.co.jp)
URLﾘﾝｸ(www.nippon-animation.co.jp)
673:１３２人目の素数さん
04/11/22 21:33:28
>670
[>>391]にしたがって、まず極座標(r,θ)に変換する。
∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy = ∫{∫f(r･cosθ)g(r･sinθ)dr}/(cosθ+sinθ) dθ
次にrについてヘルダーの不等式を使う。
∫_[0,R]f(r･cosθ)g(r･sinθ)dr ≦ {∫_[0,R]f(r･cosθ)^p dr}^(1/p)･{∫_[0,R]g(r･sinθ)^q dr}^(1/q)
= {∫_[0,R･cosθ]f(r')^p dr'}^(1/p)･{∫_[0,R･sinθ]g(r")^q dr"}^(1/q)･(1/cosθ)^(1/p)･(1/sinθ)^(1/q)
→ (1/cosθ)^(1/p)･(1/sinθ)^(1/q)･F^(1/p)･G^(1/q). (R→∞)
一方、θについての積分は、
I = ∫_[0,π/2] 1/{(cosθ)^(1/p)･(sinθ)^(1/q)･(cosθ+sinθ)} dθ
となるが、ここで tanθ = t とおくと、cosθ=1/√(1+t^2), sinθ=t/√(1+t^2), dθ=dt/(1+t^2) を使えば
I = ∫[0,∞) 1/{(1+t)t^(1/q)} dt = π/sin(π/p) となる。 （←[391][396]）
∴ ∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy ≦ {π/sin(π/p)}F^(1/p)･G^(1/q).
ぬるぽ
674:１３２人目の素数さん
04/11/22 23:33:45
>>673
なるほど。
>>388に書かれてるように、真の不等号が成り立つっていうのは証明難しい？
675:673
04/11/23 01:12:56
>674
ヘルダーの不等式を使う所で、等号成立する場合がないことを示すのかなぁ？？
>>137-139, >>158 (総和形）
URLﾘﾝｸ(www007.upp.so-net.ne.jp)
676:１３２人目の素数さん
04/11/23 01:47:53
>671
フランダースの場合は あまりにも お犬さん
フランダースの場合は あまりにも 優しい
ベルギー アントワープの 大聖堂 雪の 朝に
ネロと そっと ひとつ
フランダース
(98/11/09)
URLﾘﾝｸ(www2.gol.com)
677:１３２人目の素数さん
04/11/23 04:13:26
>>672
なるへそ！ 凸な関数に目をつけるんだね、パトラッシュ。
678:１３２人目の素数さん
04/11/23 06:08:19
A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8
一方、相加相乗平均とJensenの不等式から
0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ ( [sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3 )^3 ≦ (3√3)/8
気になるのが ( [sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3 )^3 と {(3√3)/2π}^3 ABC の大小。
sin(A)+sin(B)+sin(C) = 4cos(A/2)cos(B/2)cos(B/2)
だから、f(x) = log cos(x) - (1/3)log(x) とおくと f(A/2)+f(B/2)+f(C/2) と log((3√3)/4π) の大小。
f(x) の 0<x<π/2 における凹凸が一定でないので、わからんちん。
,.-─-、
/ /_wゝ-∠l
ヾ___ノ,. - > 僕もう疲れたよ…
/|／（ヽY__ノﾐ 何だかとても眠いんだ…パトラ…
.{ rｲ ノ
679:１３２人目の素数さん
04/11/23 23:02:55
>>647(5) の類題
[2003 Baltic Way] URLﾘﾝｸ(www.liis.lv)
正の数 a, b, c に対して、2a/(a^2+bc) + 2b/(b^2+ca) + 2c/(c^2+ab) ≦ a/(bc) + b/(ca) + c/(ac)
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●|
ヽ::::......ワ...ノ ネタを仕入れるために
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ 旅立とう・・・
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
680:１３２人目の素数さん
04/11/24 01:46:36
>>647 a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと, s^2 -3t≧0, st-9u≧0, t^2 -3su≧0. これでゴリゴリ
(1) 左辺 = (1+s+t+u)/(3+2s+t)- u/t = 1/3 + [(st-9u) +2(t^2 -3su)]/[3t(3+2st+u)] ≧ 1/3.
(2) 相加・相乗平均により (ca^2/b +2ab^2/c +4bc^2/a)/7 ≧ bc. これを循環的に加えて,
(ca^2 +ab^2 +bc^2)(1/a +1/b +1/c) = (a^2 +b^2 +c^2) +(ca+ab+bc) +(ca^2/b + ab^2/c +bc^2/a)
≧ (a^2 +b^2 +c^2) +2(ab+bc+ca) = s^2.
左辺 = (ca^2 +ab^2 +bc^2)/u ≧ (s^2)/t,
右辺 = {(s^3 -st +3u) +(ca^2 +ab^2 +bc^2)}/(st-u).
[左辺－右辺]･(st-u) = (st-2u)(左辺) -(s^3 -st +3u) ≧ (st-2u)(s^2)/t -(s^3 -st +3u)
= -2(s^2)u/t +st -3u ≧ -2st/3 +st -3u = (st-9u)/3 ≧0.
(3) 1/(2ab) = a/(2a^2b) ≧ a/(a^4+b^2).
1/(2ab) = b/(2ab^2) ≧ b/(a^2+b^4).
辺々たす。
(4) 左辺 - 中辺 = (y-z)x/(a+z) +(z-x)y/(a+x) +(x-y)z/(a+y)
= [a(xz^2 +yx^2 +zy^2 -3xyz) +(t^2 -3su)]/[(a+x)(a+y)(a+z)] ≧0.
右側： x/(a+x), y/(a+y), z/(a+z) の大小と a+x, a+y, a+z の大小は一致する。
∴ チェビシェフの不等式により成立。
(5) (a^2)/(a^2 +2bc) ≧ (a^2)/(a^2 +b^2 +c^2) などより 左辺≧1.
bc/(a^2+2bc) ≦ (1/2)(b^2 +c^2)/(a^2 +b^2 +c^2) などより 右辺≦1.
なお、(左辺) + (右辺)×2 = 3.
(5)の類題[>679]： 相加･相乗平均より 2a/(a^2 +bc) ≦ a/√(au) = √(au)/u ≦ (2a^2 +b^2 +c^2)/4u.
循環的に加える。
681:１３２人目の素数さん
04/11/24 01:51:26
>>647 (続き)
(6) [1993 Poland] 44th, 2nd roud, 1st day No.1 (1993.2)
S=a+b+c+d, U=bcd+cda+dab+abc とおく。
左辺 - 右辺 = (a+c)(b+d)/S -ab/(a+b) -cd/(c+d)
= [(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)-SU]/[S(a+b)(c+d)] = (ad-bc)^2 /[S(a+b)(c+d)] ≧0.
(7) b/c=x, c/a=y, a/b=z とおくと u=xyz=1.
左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].
右辺 = 1/(y+1) +1/(z+1) +1/(x+1) = (t+2s+3)/[(x+1)(y+1)(z+1)].
[左辺－右辺]･(x+1)(y+1)(z+1) = (s^2 -2t) -s
= (1/2)[(x^2 +y^2 +z^2 -3) +(x-1)^2 +(y-1)^2 +(z-1)^2] ≧0.
ぬるぽ
682:１３２人目の素数さん
04/11/24 11:27:48
>680-681 さすが不等式王！
＿＿＿,
┏┓ ┏━┓ ／ ≧ ＼. .┏┓┏┓
┏┛┗┓┃┏┓┃ |:::: ＼ .／ | ┃┃┃┃
┗┓┏┛┃┗┛┃┏━━|::::: (● (● |━━━┓┃┃┃┃
┏┛┗┓┃┏┓┃┗━━ヽ::::... .ワ.....ノ!━━━┛┗┛┗┛
┗┓┏┛┗┛┃┃ （ （つ 丿ﾉ . ┏┓┏┓
┗┛ ┗┛ （ ヽノ ┗┛┗┛
し（＿）
683:１３２人目の素数さん
04/11/24 11:29:45
どうでもいいことだけど、>>392 + >>592 を合わせて…
非負実数 a, b, c, d に対して次式が成立。
4(a^3+b^3+c^3+d^3) + 24(abc+bcd+cda+dab) ≧ (a+b+c+d)^3 ≧ (a^3+b^3+c^3+d^3) + 15(abc+bcd+cda+dab)
（；´д｀）ﾊｧﾊｧして書いた。
不等式なら何でもよかった。
今は反省している。
684:１３２人目の素数さん
04/11/24 13:56:12
a,b,c≧0 のとき、 a^3+b^3+c^3+6abc ≧ (ab+bc+ac)(a+b+c)
（証明）
差をとれば、Schurの不等式のλ=1 の場合になる。（不等式への招待 P.28）
左辺-右辺 = a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) ≧ 0
一方、>>601 a,b,c≧0 のとき、 2(a+b+c)^3 +9abc ≧ 7(ab+bc+ac)(a+b+c) が成立。
そこで気になるのが、7(a^3+b^3+c^3+6abc) と 2(a+b+c)^3 +9abc の大小。
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、a^3+b^3+c^3 = s^3-3st+3u より
7(a^3+b^3+c^3+6abc)-[2(a+b+c)^3 +9abc]
= 5s^3-21st+54u
= 2(2s^3-7st+9u)+s(s^2-3t)-4(st-9u)
うまくいかんちん…
s, t, u に成り立つ不等式は、 s^3-27u ≧ 0 とか、
>>42より、2s^3-7st+9u = (a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2 ≧ 0
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | よろしくおねがいします！
|::::: (● (● |
ヽ::::.... ワ ....ノ ／ ﾁﾝ ☆ たのも～
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆ たのも～
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
685:１３２人目の素数さん
04/11/24 14:23:47
非負実数 a, b, c に対して、（；´д｀）ﾊｧﾊｧ できそうな不等式
(a+b)(a^4+b^4) ≧ (a^2+b^2)(a^3+b^3)
(a+b+c)(a^4+b^4+c^4) ≧ (a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)
これって、一般化できるのでせうか？
686:１３２人目の素数さん
04/11/24 14:27:37
>>685
>>153とは違うのか？
687:１３２人目の素数さん
04/11/24 15:59:55
>686 ∑(￣ワ￣；)！ 見逃してた。ありがとうございます。
>153 x_k≧0 (k=1,2,･･･,m)のとき、 F(n)≡(1/m)Σ[1≦k≦m] (x_k)^n とおくと
> (補題) bc≧0 ⇒ F(a)･F(a+b+c) ≧ F(a+b)･F(a+c).
> (系1) F(n-1)･F(n+1) ≧ {F(n)}^2.
> (系2) {F(n)}^(1/n) はnに関して単調増加.
補題で、a=b=1, c=2, m=2, 3 の場合が >685ですね。
ちなみに153は、「モノグラフ４ 不等式 P.57」より九州大の問題。
ところで、153の証明って…
688:１３２人目の素数さん
04/11/24 22:17:04
>687
項別に比べれ。
>>153 の（補題）はさくらスレ１４５にありますた．．．
109 ：PrinceMathematician◇ ：04/05/27 12:02
(補題) bc≧0 ⇔ F(a)･F(a+b+c) ≧ F(a+b)･F(a+c).
F(a)･F(a+b+c)－F(a+b)･F(a+c)
= (1/m)^2 Σ[1≦i≦m][1≦j≦m] (x_i･x_j)^a･{x_j^(b+c)-(x_i)^b(x_j)^c}
= (1/m)^2 Σ[1≦i<j≦m] (x_i･x_j)^a･{x_i^(b+c)+(x_i)^b･(x_j)^c+(x_j)^b･(x_i)^c+x_j^(b+c)}
= (1/m)^2 Σ[1≦i<j≦m] (x_i･x_j)^a･{(x_i)^b-(x_j)^b}{(x_i)^c-(x_j)^c}
～ {(x_i-x_j)b}{(x_i-x_j)c} ～ bc.
～は同符号の意味。 等号成立は x_1=x_2=･･･=x_m のとき. (終)
689:１３２人目の素数さん
04/11/24 22:20:55
>679 >>647(5) の類題
[2003 Baltic Way] URLﾘﾝｸ(www.liis.lv)
正の数 a, b, c に対し、
A = a/(bc) + b/(ca) + c/(ab)
B = 1/a + 1/b + 1/c
C = 1/√(ab) + 1/√(bc) + 1/√(ca)
D = 2a/(a^2+bc) + 2b/(b^2+ca) + 2c/(c^2+ab)
E = 3/\sqrt[3](abc)
F = 2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a)
G = 6/\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}
H = 9/(a+b+c)
とおくと
A ≧ B ≧ C ≧ D
C ≧ (E, F) ≧ G ≧ H
E, Fの大小は定まらない。(a, b, c) = (1, 1, 27), (1, 1, 1), (1, 1, 8) のとき、≧、＝、≦。
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | D と (E, F) ≧ G ≧ H は
|::::: (● (● | ドッキングできないですか？
ヽ::::.... ワ ....ノ ／ ﾁﾝ ☆ たのも～
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆ たのも～
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
690:１３２人目の素数さん
04/11/24 22:22:05
>>688
おっ！ 書き込んでいる間に。
ありがとうございます。
さっそく印刷して読みます。
691:651
04/11/24 22:53:06
>683
どうでもいいことだけど >>562 (5) を合わせて･･･ ↓が成り立たんかな？
4(a^3+b^3+c^3+d^3) + 15(abc+bcd+cda+dab) ≧ (a+b+c+d)^3.
692:683
04/11/24 22:58:41
>691
> 683 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：04/11/24(水) 11:29:45
> どうでもいいことだけど、>>392 + >>592 を合わせて…
「>>392 + >>562 を合わせて…」 の書き間違いでした。
693:１３２人目の素数さん
04/11/25 00:39:29
>>691
成り立つね。
694:683
04/11/25 02:25:58
>651の証明から成り立ってますね。㌧クス。691,693
（：D）|￣|＿
695:１３２人目の素数さん
04/11/25 03:06:07
>>689
(1,1,2)を代入してみたら H≧D だけど、もしかして常に成り立っているのかな。
696:１３２人目の素数さん
04/11/25 20:00:14
成り立ってないよ
697:１３２人目の素数さん
04/11/26 09:48:46
うちのおじいちゃんの名前 成田多内
うちのおばあちゃんの名前 成田つね
698:１３２人目の素数さん
04/11/26 10:01:07
>>696
反例キボンなり
699:１３２人目の素数さん
04/11/26 10:51:09
a = 3, b = 1, c : きわめて 0 に近い数
700:１３２人目の素数さん
04/11/26 11:01:32
>>699
ぉぉｰ、㌧ｸｽ
701:１３２人目の素数さん
04/11/26 11:43:46
>>697
ageると荒らしの目にとまる一例。
702:１３２人目の素数さん
04/11/26 12:44:30
じ
703:１３２人目の素数さん
04/11/26 17:21:41
うちのおばあちゃんの名前 成田たね
704:１３２人目の素数さん
04/11/26 20:31:40
(1) [Komal. A358] URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
正の数 a, b, c が abc=1 をみたすとき
1/a + 1/b + 1/c - 3/(a+b+c) ≧ 2(1/a^2 + 1/b^2 + 1-c^2)/(a^2+b^2+c^2)
(2) [AMM 2003.10 Prob.10944]
正の数 a, b, c が abc≧2^9 をみたすとき
1/√(1+a) + 1/√(1+b) + 1/√(1+c) ≧ 3/√(1+\sqrt[3]{abc})
以下の問題は [Bonus Problems 2] URLﾘﾝｸ(www.dpmms.cam.ac.uk)
(3) 正の数 a, b, c が abc=1 をみたすとき、a^5 + b^5 + c^5 ≧ 1/a + 1/b + 1/c
(4) 実数 a, b, c, d が ad-bc=1 をみたすとき、a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ac + bd ≧ √3
(5) 三角形の３辺の長さ a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、23/216 ≦ a^2b+b^2c+c^2a ≦ 1/8
(6) 正の数 a, b, c, d, e が abcde=1 をみたすとき
(a+abc)/(1+ab+abcd) + (b+bcd)/(1+bc+bcde) + (c+cde)/(1+cd+cdea) + (d+dea)/(1+de+deab) + (e+eab)/(1+ea+eabc) +≧ 10/3
(7) 正の数 a, b, c に対して、a^4 + b^4 + c^4 + [(a+b+c)^4]/27 ≧ 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)
(8) 正の数 a, b, c に対して、(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 3(1- a/b)^(2/3) + 3(1- b/c)^(2/3) + 3(1- c/a)^(2/3)
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●|
ヽ::::......ワ...ノ ネタを仕入れてきました
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
705:１３２人目の素数さん
04/11/26 22:17:44
（問題）
a,b>2 のとき、{1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) >1.
おながいします。
>703
ねた足りな．．．
706:662
04/11/26 23:06:45
>>663
662の(7)を修正
左辺の (1-x^n)^m =f(x) の下限を考える。
a=1-[1/(m+n)]^(1/m), b=[1/(m+n)]^(1/n) とおくと, 0<a≦b<1. （←[705]）
f_1(x) = 1-m(x^n) （0≦x≦b）,
f_2(x) = n(1-x)^m （a≦x≦1） とおく。
f_1, f_2 とも単調減少で、 f_1(x) > f_1(b) = n/(m+n) = f_2(a) > f_2(x) （a<x<b）
次に、これらが f(x) の下限となることを示す。
(1) f(x) ≧ f_1(x) （0≦x≦b）
(2) f(x) ≧ f_2(x) （a≦x≦1）
（略証）
(1) 相加･相乗平均を使う： X^m +(m-1) ≧ mX から。
(2) f(a) > f_1(a) > f_1(b) = f_2(a).
また f(x)^(1/m) = 1-x^n は上に凸、f_2(x)^(1/m)は直線だから
f(x)^(1/m) ≧ [f(a)^(1/m)/(1-a)](1-x) ≧ [f_2(a)^(1/m)/(1-a)](1-x) =f_2(x)^(1/m).
同様にして 1-f_1(x) （0≦x≦b）, 1-f_2(x)（a≦x≦1）は [1-(1-x)^m]^n の下限となる。
それぞれの区間でこれらを加えれば ≧1 となる。(終)
ぬるぽ
707:662
04/11/27 03:28:59
>706 の補足
m=1 or n=1 のときは、等号成立。
m=2, n>1 のときは、左辺 - 右辺 = (x^n){x^n +(2-x)^n -2} ≧ 0. （← y=x^n は下に凸）
よって m,n>2 の場合を考えればよい。
ぬるぽ
708:１３２人目の素数さん
04/11/30 21:41:42
>>681(7) ab/[c(c+a)] + bc/[a(a+b)] + ca/[b(b+c)] ≧ a/(c+a) + b/(b+a) + c/(c+b)
> b/c=x, c/a=y, a/b=z とおくと u=xyz=1.
> 左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].
左辺の分子は、xy^2+yz^2+zx^2+(s^2-2t)-s-3 となりますが…
709:１３２人目の素数さん
04/11/30 22:52:14
>>708
> 左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].
2番目の等号は≧の間違えでしょ。
710:１３２人目の素数さん
04/12/01 22:05:27
>>709
なるほど。㌧ｸｽです。
711:１３２人目の素数さん
04/12/01 23:11:56
マニアックな不等式教えてくれ
712:１３２人目の素数さん
04/12/01 23:30:26
＿＿＿ >711
.／ ≧ ＼ -3≦r≦3、
|:::: ＼ .／ | a_1, …, a_n ≧ 1
|::::: (● (● | G を a_1, …, a_n の相乗平均とするとき
ヽ::::... .ワ....ノ
￣￣ ＼ Σ[k=1 to n](1+a_k)^r ≧ G^r*Σ[k=1 to n]{1+ 1/(a_k)}^r
フ /ヽ ヽ
713:１３２人目の素数さん
04/12/02 10:30:53
>>711
いちいち上げんな、ボケ！
714:１３２人目の素数さん
04/12/02 21:38:22
>>704(3) 次式を回して加える。等号は a=b=c=1。
a^5+a^5+b^5+b^5+c^5 ≧ 5\sqrt[5]{a^(10)b^(10)c^5} = 5/c
715:705
04/12/03 11:35:38
まづ y = x^(2/a) 上の点（1，1）で接線を引きまつ： y = 1+(2/a)(x-1).
a<2 のときは下に凸、a>2 のときは上に凸ゆえ、
{x^(2/a)- 1 -(2/a)(x-1)}(2-a) = {x^(2/a) -(a+2x-2)/a}(a-2)≧0.
∴ {(1/x)^(2/a) -a/(a+2x-2)}(a-2) ≧0.
これをベルヌーイの不等式とか言うらしい．．．．．
a,b>2 のとき
{1/(a+b)}^(1/a) = {1/√(a+b)}^(2/a) = {(1/2)^(2/a)}・{2/√(a+b)}^(2/a)
= {(1/2)^(2/a)}・{2/√(a+b)}^(2/a) ≧ {(1/2)^(2/a)}・a/{a+√(a+b)-2}.
{1/(a+b)}^(1/b) ≧ {(1/2)^(2/b)}・b/{b+√(a+b)-2}.
左辺 ≧ {(1/2)^(2/a)}・a/{a+√(a+b)-2} + {(1/2)^(2/b)}･b/{b+√(a+b)-2}.
これが >1 であることを示したいんでつが．．． 増すますむずぽ．．．．．
716:１３２人目の素数さん
04/12/04 20:19:09
>>704(1)(6) を教えてたもれ。
さっぱりわからん。
717:１３２人目の素数さん
04/12/05 05:17:19
早く教えれ
718:１３２人目の素数さん
04/12/05 09:28:15
>>717
上げんなボケ！氏ね！
719:１３２人目の素数さん
04/12/05 15:28:39
>704(1), 716-717
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと s^3 -4st+9u≧0, s^2-3t≧0. [>>611]
左辺 = (t/u) - (3/s),
右辺 = 2(t^2 -2su)/[(s^2 -2t)u],
左辺 - 右辺 = {(s^3 -4st+9u)t +(s^2 -3t)}/[su(s^2 -2t)] ≧0.
ぬるぽ
720:711
04/12/05 15:58:52
>712
nに関する帰納法による。
n=2のとき、a^(r/2)=A, b^(r/2)=B とおくと G^r = AB, B-A ～ (b-a)r. (～は同符号の意味)
左辺 = (1+a)^r +(1+b)^r = A･(√a +1/√a)^r + B･(√b +1/√b)^r.
右辺 = (G^r)･{(1/A)(√a +1/√a)^r + (1/B)(√b +1/√b)^r}.
= B･(√a +1/√a)^r + A･(√b +1/√b)^r.
f(x)=√x +1/√x は x≧1 では単調増加だから、f(b)-f(a) ～ b-a.
∴ 左辺 - 右辺 ≡ d(a,b) = (A-B)･{(√a +1/√a)^r - (√b +1/√b)^r} ≧ 0.
d(a,b)は ある意味での「距離」である。
n>2 のとき、
a_1=･･････=a_n のとき、等号成立。
そうでないとき、a_{n-1} < G < a_n (または逆) としても一般性を失わない。
c_{n-1}=a_{n-1}･a_n/G, c_n=G とおくと、相乗平均Gは変わらない。
a_{n-1} < c_{n-1}, G < a_n (または逆) だから d(a_{n-1},a_n) ≧ d(c_{n-1},G)
∴ F_n(a_1, ･･････, a_n) ≧ F_n(a_1, ･･････, a_{n-2}, c_{n-1}, G)
= F_{n-1}(a_1, ･･････, a_{n-2}, c_{n-1})
となるが、帰納法の仮定により 右辺≧0 である。(終)
> -3≦r≦3、
要りまつか?
むずぽ
721:１３２人目の素数さん
04/12/05 18:47:31
>>720
神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!
発掘元は 「不等式への招待 P.51 注意」 からです。
その本によれば、P.49の例8を用いて証明したそうなので
条件 -3≦r≦3 がついたのかな…
722:１３２人目の素数さん
04/12/05 18:56:20
>>565(7) をたのも～。なんかできません。
s=(a+b+c)/2, x=(b+c-a)/2, y=(c+a-b)/2, z=(a+b-c)/2
とおくと、三角形の成立条件から x, y, z>0 で
s=x+y+z, a=s-x, b=s-y, c=s-z
また t=xy+yz+zx, uxyz とおくと、
（左辺）-（右辺） = (2s^3-5st-3u)/u - 18a = (2s^3-5st-3u-18su)/u
とここまでやって…
ダメポ ＞（|ﾝ：(）|￣|＿
723:１３２人目の素数さん
04/12/05 20:45:54
a=b=c=1で成り立ってないけど。
724:凡例
04/12/06 00:25:20
>720
r<-3, 3<r には反例が．．．
a_1=1, a_k=2 (k=2 to n), n=10, G=2^[(n-1)/n]=1.8660659830736, r=4 のとき,
左辺 = 745 < 746.49040900637 = 右辺.
a_1=2, a_k=1 (k=2 to n), n=10, G=2^(1/n)=1.0717734625363, r=-4 のとき,
左辺 = 0.574845679012346 < 0.575995685961706 = 右辺.
したがって -3≦r≦3 は必要と思われ。
725:720
04/12/06 01:35:12
>724
㌧ｸｽ.
2個の相乗平均√(a_{n-1}a_n)が全体の相乗平均Ｇと異なるため、そのままの比較は無理のようでつ。
すまそ。
726:１３２人目の素数さん
04/12/07 16:45:29
>>565(7)は、通分してゴリゴリするのは地獄を見そうだし…
なにかいい手があるのかな？
727:１３２人目の素数さん
04/12/07 21:48:15
>722,726
a,b,cに上限があるですか。相似拡大していったら成り立たな伊予柑．．．
ぬるぽ
728:１３２人目の素数さん
04/12/07 22:12:12
>>704(6) について、(a+abc)/(1+ab+abcd) = a(1+bc+bcde)/(1+ab+abcd) - 1/(1+ab+abcd)
これと相加相乗を使えば、示すべき不等式は
1/(1+ab+abcd) + 1/(1+bc+bcde) + 1/(1+cd+cdea)+ 1/(1+de+deab) + 1/(1+ea+aabc) ≦ 5/3
ここまでいけたけど…。まさか、あとは差をとるのですか？
（´д｀；）ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ
729:１３２人目の素数さん
04/12/07 22:30:19
>>728
> 1/(1+ab+abcd) + 1/(1+bc+bcde) + 1/(1+cd+cdea)+ 1/(1+de+deab) + 1/(1+ea+aabc) ≦ 5/3
この式は成り立たない。
最初から、a=q/p, b=r/q, c=s/r, d=t/s, e=p/t と置き換えると式が見やすくなる。
後は、相加相乗でもコーシーシュヴァルツでもお好きなように。
730:１３２人目の素数さん
04/12/07 22:55:33
>>729 サンクス。
正の数 p, q, r, s, t を用いて a=q/p, b=r/q, c=s/r, d=t/s, e=p/t とおくと、示すべき不等式は
(q+s)/(p+r+t) + (r+t)/(q+s+u) + (s+u)/(r+t+p) + (t+p)/(s+u+q) + (u+q)/(t+p+r) ≧ 10/3
ここから頑張るんですね。やってみまつ。
731:１３２人目の素数さん
04/12/07 22:59:28
>>730
しまった、uはなかった…
732:１３２人目の素数さん
04/12/07 23:14:14
示すべき不等式は
(p+q+r+s+t){1/(p+r+t) + 1/(q+s+p) + 1/(r+t+q) + 1/(s+p+r) + 1/(t+q+s)} ≧ 25/3
これは Caushy-Schwarzの不等式から成立。
(；´д｀)ﾊｧﾊｧ
733:１３２人目の素数さん
04/12/08 00:16:34
>>723>>727
>>565(7)の発掘元をやっと再発見。下の２ページ目。
URLﾘﾝｸ(www.math.nwu.edu)
734:１３２人目の素数さん
04/12/08 02:30:20
>>704(7)
a^4+b^4+c^4 = 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)-(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
かつ a+b+c>0 だから、示すべき不等式は
(a+b+c)^3 ≧ 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc とおくと、
（左辺）-（右辺） = s^3-27(s-2a)(s-2b)(s-2c) = 4[(2s^3-7st+9u)+5(s^3-4st+9u) ≧ 0
等号成立条件は a=b=c。
〔蛇足〕
2s^3-7st+9u = (a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2 ≧ 0
s^3-4st+9u = a(a-b)^2 +c(b-c)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) ≧0 [>>611]
>>729
>最初から、a=q/p, b=r/q, c=s/r, d=t/s, e=p/t と置き換えると式が見やすくなる。
この置き換えに (；´д｀)ﾊｧﾊｧ
735:１３２人目の素数さん
04/12/08 02:35:24
>>704(4)の方針が立ちません。たのも～。
736:１３２人目の素数さん
04/12/08 02:46:45
>>735
a = p+(q/√3), b = -p+(q/√3), c = r+(s/√3), d = -r+(s/√3) と置き換えると式が見やすくなる。
737:１３２人目の素数さん
04/12/08 02:59:26
>>704 735
xy座標導入して三点O(0,0)、A(a,b)、B(c,d)を考える。これら三点がなす三角形の面積は1/2
また、問題は原点中心に三点を回転させても一般性を失わないので、(0,0)、(a,0)、(c,d)と置き直してもよい。
従って、題意を示すにはad=1を満たす時、a^2+c^2+d^2+ac≧√3を示せという問題に置き換えることができる。
d=1/aより、dを消去し
a^2+c^2+(1/a^2)+ac
≧(1/a^2) + (3a^2/4)
≧√3
ぬるぽ
738:１３２人目の素数さん
04/12/08 03:43:30
>>736-737 ありがとうございます。やってみます
>>680
>>647(4)の解答の右側の証明についてですが、チェビシェフの不等式より
3(x+y+z) ≧ {(a+x)+(a+y)+(a+z)}・{x/(a+x) + y/(a+y) + z/(a+z)}
展開して整理すると
2(x+y+z) ≧ {(a+z)・x/(a+x) + (a+x)・y/(a+y) + (a+y)・z/(a+z)} + {(a+y)・x/(a+x) + (a+z)・y/(a+y) + (a+x)・z/(a+z)}
となるから、「右辺第２項 ≧ 右辺第１項」 を示せば
2(x+y+z) ≧ 2(右辺第１項) … (★)
となって完成ですよね。（発掘元の問題が誤植ですが…）
そこで (★) を証明したいのですが、これはどうするのでしょうか？
739:１３２人目の素数さん
04/12/08 03:44:52
>>738の書き間違い
「右辺第２項 ≧ 右辺第１項」 …(★) をどうやって示すのですか？
740:１３２人目の素数さん
04/12/08 04:32:02
>>737
なるへそ！
図形で考えるとは思いもしなかったです。
(；´д｀)ﾊｧﾊｧ
741:１３２人目の素数さん
04/12/08 04:52:53
>738
a_i, b_j が共に単調増加列（単調減少列）のとき、
Σ[i=1,n] a_i･b_{n+1-i} ≦ Σ[j=1,n] a_j･b_Pj ≦ Σ[k=1,n] a_k･b_k
を使ったと思われ。P(j)は任意の順列。
742:741
04/12/08 10:01:40
[741] の略証
S= Σ[j=1,n] a_j･b_Pj とおく。Pは {1,2,････,n} に作用する置換･････ｽﾏｿ.
Pは互換（2元の交換）を何回か続けたものだが、互換については下が成り立つ。
a<A, b<B のとき、(AB+ab)-(Ab+aB) = (A-a)(B-b) ≧0. a>A, b>B のときも同じ。
∴Ｐの転置数を減らすとSは増大し、転置数を増やすとSは減少する。
∴ P(j)=n+1-n のときSは最小で、P=I のときSは最大（終）。
743:１３２人目の素数さん
04/12/08 14:58:52
>741-742
ありがとうございます。
数学オリンピック事典P.165にある 「並べ替え不等式」 とかいうやつですね。
（同順序積の和） ≧ （乱順序積の和） ≧ （逆順序積の和）
a+x, a+y, a+z と x/(a+x), y/(a+y), z/(a+z) の大小は一致するから、>742の証明から、
同順序積からの転置数が小さいほど大きいことが分かるんですよね。
a+x, a+y, a+z を x, y, z で、x/(a+x), y/(a+y), z/(a+z) を X, Y, Z と略すと、>739の (★) は
yX+zY+xZ ≦ zX+xY+yZ … (☆)
最も大きい （同順序積の和） = xX+yY+zZ から見ると、(☆) の両辺の転置数はともに２だから
xX+yY+zZ ≧ zX+yY+xZ ≧ yX+zY+xZ
xX+yY+zZ ≧ zX+yY+xZ ≧ zX+xY+yZ
であることは分かるけれども、(☆) が成り立つことは分からないような気がしますが…。
744:１３２人目の素数さん
04/12/08 15:00:04
>>743 不等号の向きの下記間違い…
> yX+zY+xZ ≧ zX+xY+yZ … (☆)
745:１３２人目の素数さん
04/12/08 15:11:41
>>743-744
なんでわざわざ遠回りする？
x=(a+x)*(x/(a+x))
x+y+z = (a+x)*(x/(a+x)) + (a+y)*(y/(a+y)) + (a+z)*(z/(a+z))
≧ (a+z)*(x/(a+x)) + (a+x)*(y/(a+y)) + (a+y)*(z/(a+z))
↑
741
746:１３２人目の素数さん
04/12/08 15:16:05
たとえば x≧y≧z、X≧Y≧Z のとき、
（同順序積） = xX+yY+zZ ≧ zX+yY+xZ = （逆順序積）
が成り立ちますが、転置数は１ですよね。
単純に転置数が多いほど小さくなるとすると、（逆順序積）よりも
転置数の大きい yX+zY+xZ や zX+xY+yZ のほうが小さくなって…。
何か混乱してしまいました。解説をよろしくお願いします。
il||li ＿|￣|○ il||li
747:１３２人目の素数さん
04/12/08 15:20:49
>>745
∑(￣□￣；)！！
ありがとうございます。こんな簡単なことだったのか…
748:１３２人目の素数さん
04/12/08 15:22:48
>>746
> 単純に転置数が多いほど小さくなるとすると
ここが変だよん
749:１３２人目の素数さん
04/12/08 15:28:43
>748
嗚呼、なるほど。
転置数の数でなくて、転置する２組の大小関係に注目しないといけないんですね。
転置する aX+bY と aY+bX について同順序積のほうが大きいんでしたね。
勘違いしてました…
晒し上げられてしまったけど、少し賢くなったので良し…
il||li _|￣|○ il||li
750:742
04/12/08 17:59:00
>748-749
たしかに私の説明が変だな。スマソ。
751:１３２人目の素数さん
04/12/08 19:59:43
x>1, y>1, z>1, 1/x + 1/y + 1/z = 2 のとき、
√(x+y+z)≧√(x-1)+√(y-1)+√(z-1)
を示せ。
752:１３２人目の素数さん
04/12/08 20:21:47
趣旨違うかも知れんが
任意の実数xに対して、
x^4 - x^3 + x^2 - x + 21/64 > 0
を示せ。
753:１３２人目の素数さん
04/12/09 01:59:50
>>737
ふと疑問に思ったんですが、O(0,0)、A(a,b)、B(c,d)の△OABを原点の周りに回転させると
O(0,0)、A(\sqrt{a^2+b^2}, 0)、B(*,*)←略 だから、(0,0)、(a,0)、(c,d)と置き直すのはマズイかなと…
その証明では b=0 の特別な場合を証明したに過ぎないような気がするのですが…
754:１３２人目の素数さん
04/12/09 02:02:11
>>753
そーかな？
文字を新しく置き直したと見ればいいんじゃない？
755:１３２人目の素数さん
04/12/09 02:05:07
>>753
a^2+b^2 = OA^2
c^2+d^2 = OB^2
ac+bd = OA*OB*cos∠AOB
ad-bd = △OABの面積( ただし、符号つきで考える )
で△OABを原点中心に回転する。
756:１３２人目の素数さん
04/12/09 02:20:13
>>754-755
アホな質問に付きあってもらって、ありがとうございます。
回転させて、頂点を改めて(0,0)、(a,0)、(c,d) と置き直すと、
考察する不等式も、変わってしまうと思うんです。
757:１３２人目の素数さん
04/12/09 02:38:27
う～～ん、実は俺もよく分からないのだが
△ABCの面積が2の時
OA^2+OB^2+OA・OB≧√3
を示せという問題だと解釈すれば、いくら回転しても題意には影響を与えず、
回転した後、Aのy座標が0になるようにすればいいのではないか？
という事なんじゃない？
758:１３２人目の素数さん
04/12/09 03:15:32
>>757
・ 文字を置き換える → 変数変換 → 考察する不等式も変数変換すべきでは？
・ 文字だけ置き換えて考察する不等式は変えない → b=0 という特別な場合を考察
だと思うんですよね。
で、>755のヒントにしたがってゴリゴリ証明してみました。
O(0,0)、A(a,b)、B(c,d)の△OABの面積をS、∠AOB=θとおくと、条件式は
1 = |ad-bc| = 2S = √(|OA|^2|OB|^2-(OA・OB・cosθ)^2) … (★)
より、|OA|・|OB| = 1/sinθだから、
a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd = |OA|^2+|OB|^2+OA・OBcosθ = (|OA|-|OB|)^2+(2+cosθ)/sinθ
ここで、f(θ) = (2+cosθ)/sinθ の最小値を 0<θ<π で考えると、
f'(θ) = -(1+2cosθ)/(sinθ)^2
より、θ=2π/3 で極小かつ最小値をとる。したがって
(★) ≧ f(θ) ≧ f(2π/3) = √3
759:１３２人目の素数さん
04/12/09 03:29:54
三点(0,0)、(a,b)、(c,d)に対し回転行列
a/√(a^2+b^2) , b/√(a^2+b^2)
-b/√(a^2+b^2) , a/√(a^2+b^2)
を作用させる。
行列を
X Y
-Y X
とかけば
(a,b) → ( Xa+Yb , 0)
(c,d) → ( Xc+Yd , -Yc+Xd )
a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd≧√3が成立するならば
(Xa+Yb)^2 + 0^2 + (Xc+Yd)^2 + (-Yc+Xd)^2 + (Xa+Yd)(Xc+Yd)≧√3
も成立するはず
新しく
aをXa+Yb
bを0
cをXc+Yd
dを-Yc+Xd
で置き直せば>>737になると思う。
760:１３２人目の素数さん
04/12/09 12:07:50
>752
趣旨違うかも知れんが
x-(1/4) =X とおくと、任意の実数Xに対して、
左辺 = X^4 +(5/8)X^2 -(5/8)X + (33/256) = (X^2 -1/8)^2 +(7/8)(X-5/14)^2 + (3/1792) >0.
ぬるぽ
761:１３２人目の素数さん
04/12/09 14:36:45
>>759
ありがとうございます。
762:１３２人目の素数さん
04/12/09 14:52:51
>>751
(x-1)/x + (y-1)/y + (z-1)/z = 3-(1/x + 1/y + 1/z) = 1
だから、Caushy-Schwarzの不等式より
x+y+z = (x+y+z){(x-1)/x + (y-1)/y + (z-1)/z} > {√(x-1)+√(y-1)+√(z-1)}^2
両辺の平方根を取れば、示すべき不等式を得る。
もし等号が成立するとしたら、２つのベクトルが平行のときだから、
k(√a, √b, √c,) = (√(x-1), √(y-1), √(z-1))
これを条件式下で解くと、a=b=c=2/3 となるので、根号内条件に反する。
763:１３２人目の素数さん
04/12/09 15:45:22
>>762
最後の部分が変ですよ。
764:１３２人目の素数さん
04/12/09 15:50:52
>>763
㌧ｸｽ。
もし等号が成立するとしたら、２つのベクトルが平行のときだから、
k(√x, √y, √z,) = (√{(x-1)/x}, √{(y-1)/y}, √{(z-1)/z})
これを条件式下で解くと、a=b=c=2/3 となるので、根号内条件に反する。
765:１３２人目の素数さん
04/12/09 15:55:44
>>764
x=y=z=3/2で等号成り立つでしょ。
766:１３２人目の素数さん
04/12/09 16:11:30
>>765
あ、ほんとだ…
767:１３２人目の素数さん
04/12/09 16:15:00
>>762
訂正
等号成立条件は
k(√x, √y, √z,) = (√{(x-1)/x}, √{(y-1)/y}, √{(z-1)/z})
を条件式下で解いて x=y=z=3/2
il||li ＿|￣|○ il||li
768:１３２人目の素数さん
04/12/09 21:22:52
x>0, x≠1 のとき
log(x)/(x^3-1) < (x+1)/{3(x^3+x)}
を示せ。
769:１３２人目の素数さん
04/12/09 21:35:43
>>768
高校生の宿題は、質問スレに書け！
770:727
04/12/09 21:38:36
>>565(7)
[733] により修正された問題。 まづ余弦定理を使って a,b,c で表わす。
左辺 = (b+c)cosＡ)/(a^2) + (c+a)cosＢ/(b^2) + (a+b)cosＣ/(c^2)
= {(b+c)(b^2 +c^2 -a^2)/a +(c+a)(c^2 +a^2 -b^2)/b +(a+b)(a^2 +b^2 -c^2)/c}/(2abc).
次に基本対称式 s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc とおくと s^3 -4st+9u≧0, t^2 -3su≧0, s^2 -3t≧0 [>>611]
左辺 = {t(s^3 -4st+9u) +2s(t^2 -3su)}/(2u^2) + 3(s^2 -3t)/(2u) + t/u
≧ t/u = 1/a +1/b +1/c ≧ 右辺.
３角形ぢゃなくても成り立ちそうな．．．
ぬるぽ
771:768
04/12/09 21:59:58
出典はGreen Bookなんだが...
まあ、そう見えるか。
772:１３２人目の素数さん
04/12/09 22:18:57
LCM(a,b)はa,bの最小公倍数を表すとする。
m＞nなる自然数m,nに対し
LCM(m,n) + LCM(m+1,n+1)＞2mn/√(m-n)
を示せ
若干趣旨がずれるかも知れないがネタ補給
773:１３２人目の素数さん
04/12/09 22:28:45
>771
Green Book って何ですか？
検索したら830件もヒットしましたが…
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
774:１３２人目の素数さん
04/12/09 22:38:04
Green Book = 青チャート
775:１３２人目の素数さん
04/12/09 23:06:11
>>773 Doverから出てる問題集があるんだよ。
776:１３２人目の素数さん
04/12/09 23:10:48
>>775
ウホッ！不等式だけの問題集？
777:１３２人目の素数さん
04/12/09 23:11:37
オラオラ！題名キボン！！
778:１３２人目の素数さん
04/12/09 23:23:37
これですか？
不等式はどのくらい載ってるんですか？
問題のレベルはどれくらいですか？
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
779:１３２人目の素数さん
04/12/09 23:35:32
この数ヲタ！ ＿＿＿ ｵﾗｯ !
ﾄﾞｯｶﾝ | | でてこい、>>771！
∩∩ | | | ∩∩
| | | | | | | | | | |
..( ,,) .| | | (・ｘ・ ）
/ .つ━ﾛ|ﾛ ﾄﾞｶﾝ l |Ｕ
～（ / | ｜ |⊂＿ |～
し'∪ | | | ∪
780:771
04/12/10 00:27:12
>>778 そう、それ。普通の問題集だから、不等式の問題は殆ど載ってません。ごめんね。
"preparation for the Putnum" と書いてあるので、教養レベルくらいだと思うが、
高校生でも解けそうな問題もあります。
kalvaのページで紹介されていたので、けっこう有名な本なのかと思ったのだが。
781:１３２人目の素数さん
04/12/10 01:04:48
>>752,>>760
ピタッと最小値を出してやろうとして、x-(1/4) =X とおいて
x^4-x^3+x^2-x = X^4 +(5/8)X^2 -(5/8)X - (51/256) = (t^2-a^2)^2+b(t-a)^2+c
を計算したら、aが３乗根を含む形になったので止めた…
782:１３２人目の素数さん
04/12/10 02:14:30
【問題】 実数 x, y に対して 4 + x^2y^4 + x^4y^2 - 3x^2y^2 の最小値を求めよ。
ASU 1981 問22
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
783:１３２人目の素数さん
04/12/10 06:24:16
【問題】 整数 a, b, c, d が a>b>c>d>0、ad=bc をみたすとき、(a-d)^2 ≧ 4d+8 を示せ。
784: ◆BhMath2chk
04/12/10 07:00:02
>>772
ｍ－ｎはｇｃｄ（ｍ，ｎ）とｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）の倍数。
ｇｃｄ（ｍ，ｎ）とｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）はそれぞれｍとｍ＋１の約数なので
互いに素だからｍ－ｎはｇｃｄ（ｍ，ｎ）ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）の倍数。
ｇｃｄ（ｍ，ｎ）ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）≦ｍ－ｎ。
ｌｃｍ（ｍ，ｎ）＋ｌｃｍ（ｍ＋１，ｎ＋１）
＝ｍｎ／ｇｃｄ（ｍ，ｎ）＋（ｍ＋１）（ｎ＋１）／ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）
＞ｍｎ／ｇｃｄ（ｍ，ｎ）＋ｍｎ／ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）
≧２ｍｎ／√（ｇｃｄ（ｍ，ｎ）ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１））
≧２ｍｎ／√（ｍ－ｎ）。
785:１３２人目の素数さん
04/12/10 08:37:09
>782
相加･相乗平均により、1 +x^2y^4 +x^4y^2 ≧ 3x^2y^2, 与式 ≧ 3, 等号成立は xy(x+y)(x-y)=0 のとき.
高校生でも解けそうな問題．．．．ぬるぽ
786:785
04/12/10 08:40:45
．．．と思ったら間違えた。
等号成立は x =±1, y =±1 のとき。ぬるぽ
787:１３２人目の素数さん
04/12/10 10:53:51
>768
Ln のマクローリン展開 Ln(1-t) = -Σ[k=1,∞) (1/k)t^k より
Ln{(1+t)/(1-t)} = Ln(1-t^2) -2･Ln(1-t) = Σ[k=0,∞) {2/(2k+1)}･t^(2k+1).
∴ (1/2t)Ln{(1+t)/(1-t)} = Σ[k=0,∞) {1/(2k+1)}･t^(2k)
< (2/3) + (1/3)Σ[k=0,∞) t^(2k) = (2/3) + 1/{3(1-t^2)} < {1+(t^2)/3}/(1-t^4).
ここで (1+t)/(1-t)=x とおくと t=(x-1)/(x+1).
{(x+1)/2(x-1)}Ln(x) < 2/3 + {(x+1)^2}/(12x) < {(x^2 +x+1)(x+1)^2}/{6(x^3 +x)}.
∴ Ln(x)/(x^3 -1) < (x+1)/{3(x^3 +x)}.
大関：「不等式への招待」p.46 例題6 (1987)
788:１３２人目の素数さん
04/12/10 14:22:46
f(x)=(x+1)(x^3-1)/(x^3+x)-3log(x)
f'(x)=(x-1)^4(x^2+x+1)/(x^3+x)^2
f'(x)>0 & f(1)=0
789:１３２人目の素数さん
04/12/10 19:03:36
>>785
等号は (x, y) = (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1) のとき成立ですな。
790:785
04/12/10 20:08:06
>789
仰せのとおり。㌧ｸｽ.
>788
それなら高校の宿題に出てもおかしくない．．．
>781
趣旨違うかも知れんが
最小値 = 0.0016782234764･･･ > 0.00167410714285714 = 3/1792. [>>760 の下限]
X = (1/2)[(5/18)^(1/3)]{(√6 +9/4)^(1/3) - (√6 -9/4)^(1/3)} = 0.35582958618827･･･
x = X + 1/4 = 0.60582958618827･･･
ぬるぽ
791:１３２人目の素数さん
04/12/10 20:18:22
ﾈﾀ補給
各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B ∠C＞π/2を満たす。
この時、AB+BC+CA≧77を示せ。
792:１３２人目の素数さん
04/12/10 21:14:13
m,nを正の整数とする。
Σ[ k^(m/(k^2)) ] ＜ n+m( 2^(m/4)-1 )
[x] はガウス記号
793:１３２人目の素数さん
04/12/11 17:10:30
age
794:１３２人目の素数さん
04/12/11 20:08:12
>>793 上げんな、落ちこぼれ！
＿＿＿＿＿＿＿＿__
.|＜) ＜) ＜) ＜) ＜) |
―─＝≡ ∧＿∧ ガッ. |＜) ＜) ＜) ＜) ＜) |
─＝≡ （,, ・∀・） 、_人. . |＜)∧__∧ ) ＜) ＜) |
─＝≡ ○_ と )＿_ _ _,) ,,; ＝≡ (（ ）, ＜) ＜) | ザクッ
─＝≡ > (´__） _) ∴; ＝≡≡ ｀）## . つ ＜) ＜) |
─＝≡ ( ／￣￣￣ ) '' ＝≡ ⊂ 、 ノ、) ＜) ＜) |
( ノ ⌒Y´ .|＜) ｀(_ノ＜) ＜) ＜) |
.|＜) ＜) ＜) ＜) ＜) |
795:１３２人目の素数さん
04/12/11 21:30:03
>791
等号成立は AB=33, BC=28, CA=16 のとき [cos(A)=17/32, cos(B)=7/8, cos(C)=-7/128<0]
これだけぢゃ仕方ないが．．．
>792
f(x)=Ln(x)/(x^2) とおくと f '(x)={1-2Ln(x)}/(x^3) ∴ x≧√e ≒1.6487212707 でf(x)は単調減少.
k>2 ⇒ k^{m/(k^2)} < 2^(m/4)
左辺は Σ[k=1,n] ･･･ と書いた方がいいYo.
ぬるぽ
796:795
04/12/12 18:51:02
>792 （続き）
a_k = k^{m/(k^2)} とおく。 [795] より 1 = a_1 < a_k ≦ a_2 = 2^(m/4).
(i) m≦5 のときは計算実行する。
m≦3 のときは a_k ≦ a_2 < 2 ∴ 左辺 = n < 右辺 で成立。
m=4,5 のときも a_2 <3, a_k ≦ a_3 < 2 （k>2）. ∴ 左辺 = n+1 < 右辺 で成立。
(ii) m≧6 のとき、m > 5.77078016355585 = 4/Ln(2).
a_1 = 1 < a_2 > a_k より Ln(a_k) < Ln(a_2) = m･Ln(k)/(k^2) = b.
y=exp(x) は下に凸だから、0<x<b ⇒ exp(x) < 1 + {exp(b)-1}(x/b).
∴ a_k < 1 + (a_2 -1){Ln(a_k)/b}.
下の補題を使って Σ[k=1,n] a_k < n + {4/Ln(2)}(a_2 -1)S_n < n + m(a_2 -1).
797:795
04/12/12 18:52:26
>792 (続き)
【補題】S_n = Σ[k=2,n] Ln(k)/(k^2) <1.
（略証）S_n = S_5 + Σ[k=6,n) {Ln(k)-1}/(k^2) + Σ[k=6,n] 1/(k^2).
< 0.44637574128158 + Σ[k=6,n) {Ln(k)/[(k-1)k] -1/(k^2)} + Σ[k=6,n] 1/(k^2)..
ところで、y=Ln(x) は 上に凸だから、Ln(k) +1/k > Ln(k+1).
(第2項) < Σ[k=6,n) {Ln(k)/[(k-1)k] -1/(k^2)} = Σ[k=6,n) {Ln(k)/(k-1) - [Ln(k)+1/k]/k}
< Σ[k=6,n) {Ln(k)/(k-1) - Ln(k+1)/k} = Ln(6)/5 - Ln(n+1)/n ≒ 0.35835189384561 - Ln(n+1)/n.
(第3項) < Σ[k=6,n] 1/(k^2) < (π^2)/6 -Σ[k=1,5] 1/(k^2) ≒ 0.18132295573712.
∴ S_n < 0.98605059086431 - Ln(n+1)/n <1. (終) ぬるぽ
798:795
04/12/12 20:33:48
>792 (続き)
S_n の上限値をピタッと出してやると S = Σ(k=2→∞) Ln(k)/(k^2) ≒ 0.91685416570･･･ に成増た。
ぬるぽ
799:798
04/12/13 20:09:19
また間違えた。 S ≒ 0.9375482･･･ に訂正でつ。
∧＿∧
（ ´Д｀ ） まことに
/ ヽ
し､__X__,ﾉJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ すいませんでした。
⊂ （ ） ⊃
V￣V
800:１３２人目の素数さん
04/12/14 01:52:03
>>368
おまいのようなやつがいるから、>>349 >>350のような話になるんだろうが。
＿＿＿＿＿＿＿＿__
＿＿＿＿＿＿＿＿__
.|＜) ＜) ＜) ＜) ＜) |
―─＝≡ ∧＿∧ ガッ. |＜) ＜) ＜) ＜) ＜) |
─＝≡ （,, ・∀・） 、_人. . |＜)∧__∧ ) ＜) ＜) |
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801:１３２人目の素数さん
04/12/14 01:52:26
ごめん、誤爆
802:１３２人目の素数さん
04/12/14 03:40:27
雑魚の巡回ルートに入っているのかな？
定期的に意味不明なage荒らしがあるが…
氏ぬぇぇぇ～
803:１３２人目の素数さん
04/12/14 12:00:30
>797 の別法
[795] より f(x) ≡ Ln(x)/(x^2), 原始函数はF(x)=-{1+Ln(x)}/x.
次に S_n ≡Σ[k=1,n] f(k) ≦ ∫_[1,n+1/2] f(x)dx < ∫_[1,∞) f(x)dx
= F(∞) - F(1) =1. を示す。
f(2) ≒ 0.1732868 < 0.2334837 = F(5/2) - F(1) = ∫_[1,5/2] f(x)dx.
k≧3 のときは f '(x) = [1-2Ln(x)]/(x^3), f "(x) = [6Ln(x)-5]/(x^4)
∴ x > exp(5/6) ≒ 2.301 ⇒ f(x)は下に凸。
∴ f(k)< ∫_[k-1/2, k+1/2] f(x)dx = F(k+1/2) - F(k-1/2).
804:796
04/12/14 22:20:51
[796]の下から4行目の右半分 Ln(a_k) < Ln(a_2) = m･Ln(2)/4 = b.
死んでお詫びを．．．(AA省略)
[799] S≒0.937548254325
805:１３２人目の素数さん
04/12/15 15:24:38
>>704(2) の類題があるYo.
>>149（解答 >>157, >>162）
806:１３２人目の素数さん
04/12/15 15:27:16
>>805
Σ(ﾟДﾟ ｵｰｯ!! ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
807:１３２人目の素数さん
04/12/16 08:57:51
>>704(5)
-a+b+c=x, a-b+c=y, a+b-c=z とおくと三角不等式が外れて、
x,y,z≧0, x+y+z=a+b+c, a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2.
∴ (a^2)b +(b^2)c +(c^2)a = [(x+y+z)^3 -{(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x}]/8 ≦ (1/8)(x+y+z)^3 = (1/8)(a+b+c)^3.
等号成立は (x,y,z)=(1,0,0) & rotations, (a,b,c)=(0,1/2,1/2) & rotations のとき.
次に (4/27)(x+y+z)^3 -{(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x} ≧0 を示す。
x,y≧z≧0 としても一般性を失わない。x-z=X, y-z=Y とおくと X,Y≧0.
(x+y+z)^3 = (X+Y+3z)^3 = (X+Y)^3 +27z{(1/3)(X+Y)^2 +(X+Y)z +z^2}.
(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x = (X^2)Y + 3z{(1/3)(X+Y)^2 +(X+Y)z +z^2}.
∴ (4/27)(x+y+z)^3 -{(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x} ≧ (4/27)(X+Y)^3 -(X^2)Y = (1/27)(X-2Y)^2･(4X+Y) ≧0.
等号成立は X-2Y=z=0, (x,y,z)=(2/3,1/3,0) & rotations, (a,b,c)=(1/6,1/3,1/2) & rotations のとき.
[704]の解答のレス番（主なもの）
(1) 719 (2) 805 [>>149,>>157] (3) 714 (4) 736-737 (5) これ (6) 729 (7) 734
ぬるぽ
808:807
04/12/16 13:02:11
>>704(8)
左辺 = 3 +(b/a +a/b) +(c/b +b/c) +(a/c +c/a) = 9 +{(b-a)^2}/ab +{(c-b)^2}/bc +{(a-c)^2}/ca
≧ 9 + 3[{(b-a)^2 /ab}{(c-b)^2 /bc}{(a-c)^2 /ca}]^(1/3) = 9 + 3[(1- a/b)(1- b/c)(1- c/a)]^(2/3) ≡右辺.
ぬるぽ
809:１３２人目の素数さん
04/12/17 20:59:17
△ABCの内心をO、内接円の半径をrとすると、
OA+OB+OC≧6r を示せ。
810:１３２人目の素数さん
04/12/17 21:48:41
>807
乙でございます。なるほど、その置き換えだったんですね。
>808
なんだ、相加相乗だったのか… il||li ＿|￣|○ il||li
>809
簡単なのに難すぃ…
811:１３２人目の素数さん
04/12/17 22:09:43
ネタ補充
(1) 1対1の上への関数 f : [0,1]→[0,1] は狭義単調増加であるとし、逆関数をgとおく。
0<t<1のとき、∫[0,1] (f(x)+g(x))^t dx≧(2^t)/(1+t) を示せ。
(2) 平面上に5点A,B,C,D,Eがあるとき、AB+CD+DE+EC≦AC+AD+AE+BC+BD+BEを示せ。
(3) 非負実数係数のn次多項式f(x)のn次の係数と定数項は1であり、
f(x)=0の解は全て実数とする。このとき、f(2)≧3^n を示せ。
(4) (2*4*6*...*100)/(1*3*5*...*99)>12 を示せ。
812:１３２人目の素数さん
04/12/17 22:34:41
私もネタ補充。いつもと違う出題形式ですが…
【問題】 調和平均について、どのくらいの不等式を知ってますか？
このスレの不等式コレクションには２つしかありませんが…
a と b の調和平均を H(a, b) で表すことにすると、
[>>647(1)] H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1
[>>647(6)] H(a+b, c+d) ≧ H(a, b) + H(c, d)
下側の不等式は、繰り返し用いたら いくらでも長く出来そうですね。
他にもあったら教えてたも。
813:１３２人目の素数さん
04/12/18 00:15:20
>>809
一般的に三角形ABCの内部に点Pを取り、Pから各頂点への距離の和をA
各辺への距離の和をBとおけば、A≧2Bが成立する。これはそれの特殊な場合かと。
2chでは
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:267番)
に解答が載ってる。
ぬるぽ
814:１３２人目の素数さん
04/12/18 19:57:31
>809,813
それぢゃあこっちには三角函数を使わない方法を載せておこう。
Pから3辺 BC, CA, AB に下した垂線を PD, PE, PF とする。
∠QAB=∠CAP であるような半直線AQを引き、B,CからAQに下ろした垂線をBM,CNとする。
2角相等により △ABM∽△APE ∴ PA･BM=c･PE
2角相等により △ACN∽△APF ∴ PA･CN=b･PF
∴ PA = (c･PE+b･PF)/(BM+CN).
ところが、半直線AMNと辺BCとの交点をQとすると, BM + CN ≦ BQ + QC = BC = a.
∴ PA ≧ (c/a)PE + (b/a)PF.
循環的に加えれば PA+PB+PC ≧ (c/b +b/c)PD +(a/c +c/a)PE +(b/a +a/b)PF ≧ 2(PD+PE+PF).
等号の成立は △ABCが正三角形で, Pがその中心 という場合だけ。 [東山和生氏による]
ほかにパッポスの定理や(外接円に関する)トレミーの定理を使う方法もあるらしい。
〔参考文献〕
｢数学の問題 第(1)集｣ No.53 日本評論社(1977) [数セミ,４０(2) (2001,Feb.)で再出題]
N.D.Kazarinoff: "Geometric Inequalities", RandomHouse(1961) → 数理科学,１(4),サイエンス社(1963.10)
P.Erdosの問題: Amer.Math.Monthly (1935) → 大関:｢不等式への招待｣ p.14 近代科学社(1987.12)
815:１３２人目の素数さん
04/12/19 02:03:39
a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。
ab≧10を示せ
816:１３２人目の素数さん
04/12/20 12:01:45
>811(4)
(4)
【補題】 [2*4*6*･･･*(2n)]/[1*3*5*･･･*(2n-1)] > √(3n+1).
(略証)
(左辺)^2 = (2n+1)Π[k=1,n] {(2k)^2}/{(2k-1)(2k+1)}
= (2n+1)Π[k=1,n] {1 +1/((2k-1)(2k+1))} > (2n+1){1 +Σ[k=1,n] 1/((2k-1)(2k+1)) }
= (2n+1){1+(1/2)Σ[k=1,n] (1/(2k-1) -1/(2k+1)) } = (2n+1){1+(1/2)[1-1/(2n+1)]} = 3n+1.
∴ 与式 > √151 =12.288206
上記Σの初めの項を別扱いすれば少し増加して、
左辺 > √{3n+1 +(n-1)/9} ≒ √156.4444 = 12.507775
左辺 > √{3n+1 +(n-1)/9 +4(n-2)/225} = √157.29778 = 12.541841
なお、Stirling の公式 n!≒ n^(n+1/2)･exp(-n +1/(12n))･√(2π) から、
(左辺) = {(2^n)(n!)}^2 /(2n)! = (4^n)/Ｃ[2n,n] ≒ √(πn)･exp(1/8n) = 12.564513
817:816
04/12/20 17:55:23
>811(4)
Stirlingの不等式 n^(n+1/2)･exp(-n)･√(2π) < n! < n^(n+1/2)･exp(-n +1/(12n))･√(2π) から、
(左辺) = {(2^n)(n!)}^2 /(2n)! > √(πn)･exp(-1/24n) = 12.522701
ぬるぽ
818:770
04/12/21 13:14:46
>>565(7), >>733
r>0 とする。
左辺 = (b+c)cosＡ/(a^r) + (c+a)cosＢ/(b^r) + (a+b)cosＣ/(c^r)
= a{cosＢ/(b^r) +cosＣ/(c^r)} +b{cosＣ/(c^r) +cosＡ/(a^r)} +c{cosＡ/(a^r) +cosＢ/(b^r)}
a,b,cの大小とA,B,Cの大小は一致するから
左辺 ≧ a{cosＢ/(c^r) +cosＣ/(b^r)} +b{cosＣ/(a^r) +cosＡ/(c^r)} +c{cosＡ/(b^r) +cosＢ/(a^r)}
= (b･cosＣ+c･cosＡ)/(a^r) + (c･cosＡ+acosＢ)/(c^r) + (a･cosＢ+b･cosＡ)/(c^r)
第一余弦定理より
左辺 ≧ 1/a^(r-1) + 1/b^(r-1) + 1/c^(r-1).
819: ◆BhMath2chk
04/12/22 22:00:01
>>812
Ｈ（Ｈ（ａ，ｂ），Ｈ（ｃ，ｄ））＝Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）。
Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，Ｈ（ａ，ｂ，ｃ））＝Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）。
Ｈ（ａｂ，ａｃ，ａｄ）＝ａＨ（ｂ，ｃ，ｄ）。
Ｈ（１，１，１）＝１。
ａ≦ｃ，ｂ≦ｄのときＨ（ａ，ｂ）≦Ｈ（ｃ，ｄ）。
（１／４）Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）≦（１／３）Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）。
ｌｉｍ＿｛ｄ－＞＋∞｝Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＝（４／３）Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）。
Ｈ（ａ，ｂ）＋Ｈ（ｃ，ｄ）≦Ｈ（ａ＋ｃ，ｂ＋ｄ）。
Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）＋Ｈ（ｄ，ｅ，ｆ）≦Ｈ（ａ＋ｄ，ｂ＋ｅ，ｃ＋ｆ）。
Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＋Ｈ（ｅ，ｆ，ｇ，ｈ）≦Ｈ（ａ＋ｅ，ｂ＋ｆ，ｃ＋ｇ，ｄ＋ｈ）。
820:１３２人目の素数さん
04/12/23 06:42:41
>819 調和平均 (；´д｀)ﾊｧﾊｧ
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | みんな ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
821:１３２人目の素数さん
04/12/24 03:13:38
Green Book = 青チャート
822:１３２人目の素数さん
04/12/24 03:14:29
真似したり、関係の無い事言ったり、無茶苦茶書くな 荒らしは
～～～終了～～～
ageるな馬鹿タレ
823:言い切れる？？？
04/12/24 03:43:11
－∞／∞は負って言えますか？？？
教えてください！！！
824:１３２人目の素数さん
04/12/24 03:44:04
真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな
荒らしは
～～～終了～～～
ageるな馬鹿タレ
お前が数学出来ないのはわかるが八つ当たりするな
825:１３２人目の素数さん
04/12/24 07:55:18
>811(3)
非負実係数だから x≧0 ⇒ f(x)>0. ∴ 実根はすべて負である。
これらを -a_1, ･･･ -a_n とおくと、 f(x) = Π[i=1,n] (x+a_i) = Σ[k=1,n] S_{n-k} x^k.
x^k の係数 S_{n-k} は{a_1,･･･a_n}の n-k次 の基本対称式。
相加･相乗平均により S_k ≧ Ｃ[n,k]･g^k, ここに g=(S_n)^(1/n)=(定数項)^(1/n).
f(x) ≧ Σ[k=1,n] Ｃ[n,n-k] g^(n-k) x^k = (x+g)^n.
826:825
04/12/24 18:02:26
↑最下行を修正、すまそ。 x≧0 ⇒ f(x) ≧ ･････ = (x+g)^n.
(1)(2) はむずぽ．．．．．5点が平面上にないと無理でつか？
827:１３２人目の素数さん
04/12/24 22:54:10
811(2)は、Kurschak1981ですね。
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
828:１３２人目の素数さん
04/12/24 22:56:57
普通に考えると凸包で場合わけかなぁ、３通りあるけど
果たしてこれでいいものか。図を描いてみないと分からんな……
829:１３２人目の素数さん
04/12/24 23:01:02
すまん、828は忘れてくれ。ﾑﾘﾎﾟ……
830: ◆BhMath2chk
04/12/25 08:00:00
恐ろしく難解な問題をだせ！
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
URLﾘﾝｸ(mimizun.com)
>>624-
831:１３２人目の素数さん
04/12/27 07:06:14
【問題】 正の数 a, b, c に対して a/b + b/c + c/a ≧ (a+b+c)/\sqrt[3]{abc}
発掘元 B3780 URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
類>>647(2)、解答>>680
[1997 Belarus] a/b + b/c + c/a ≧ (b+c)/(a+b) + (c+a)/(b+c) + (a+b)/(c+a)
ところで、Cauchy-schwarz などから
a/b + b/c + c/a ≧ (a+b+c)^2/(ab+bc+ca) ≧ (b+c)/(a+b) + (c+a)/(b+c) + (a+b)/(c+a)
が成り立つのが分かりますが、この不等式のどこかに
(a+b+c)/\sqrt[3]{abc}
が収まるでしょうか？
832:１３２人目の素数さん
04/12/27 11:44:30
>831
相加･相乗平均： (1/3)(a/b + a/b + b/c) ≧ {(a^2)/bc}^(1/3) = a/[(abc)^(1/3)] を循環的にたす。
どこにも収まらな伊予柑。
833:１３２人目の素数さん
04/12/28 13:26:07
>>699
ageるとすぐ回答が出てくる一例
834:１３２人目の素数さん
04/12/28 13:35:20
>>833
ageることに理由をつけたがる一例
835:１３２人目の素数さん
04/12/28 14:29:39
晒しあげとくか
836:１３２人目の素数さん
04/12/29 05:35:30
>614 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：04/12/28(火) 21:02:34
>
>0より大きい相異なる３実数ｘ、ｙ、ｚに対し
>(x^3+y^3+z^3-3xyz)/|(x-y)(y-z)(z-x)|
>の最小値を求めよ。
>
>
>618 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：04/12/28(火) 22:30:23
>>>614
>数学セミナーエレガントな問題を求むのコーナーに寄せられた
>問題だな。かなーーり昔だったと思う。
>
>解法は与式を二乗して、基本対称式使って書き換えて
>解と係数の関係を使って愚直にやっていくというもの。
>
>答えはきれいな形にならず、三乗根が入ってきたはずだ。
東大入試問題スレより。詳細キボン
837:１３２人目の素数さん
04/12/29 05:51:14
検索では掛かりませんねぇ
838: ◆BhMath2chk
04/12/29 09:00:00
ｘ＾３＋ｙ＾３＋ｚ＾３－３ｘｙｚ
＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（（ｘ－ｙ）＾２＋（ｙ－ｚ）＾２＋（ｚ－ｘ）＾２）／２。
ｘ，ｙ，ｚの差を変えずにｘ＋ｙ＋ｚを小さくできるので最小値はない。
839:１３２人目の素数さん
04/12/29 09:29:56
>>836
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
92年周辺探してみ。
840:１３２人目の素数さん
04/12/29 11:31:03
>>839
㌧ｸｽ。
年明けが待ち遠しいぜ！
今すぐ図書館の窓割って探したいくらいだ！
841:１３２人目の素数さん
04/12/29 11:42:54
1: 【社会】「解法が知りたくて…」 図書館の窓を割り潜入した数ヲタ逮捕 … 埼玉 (132)
「図書館が開くまで待てなかった」 ・・・ 大学図書館の窓を割って進入し、
書庫の雑誌を読み漁っていた数ヲタ(22)を、29日夕方、公共物破損および
不法侵入の罪で逮捕した。
調べでは、棒掲示板に書込みされていた数学の問題の解法を調べるために
忍び込んだという。逮捕の際には、「邪魔をするな。読み終わるまで待ってくれ」
と自分の行いに全く反省をしていなかったと言う。
842:１３２人目の素数さん
04/12/29 12:10:05
実数 x, y が 0≦x≦2、0≦x-y≦2 をみたすとき、xy(y+1) の最大最小値。
843:１３２人目の素数さん
04/12/29 15:28:07
むしゃくしゃしてやった。
悪気はなかった。
いまは反省している。
844:１３２人目の素数さん
04/12/29 16:43:08
>>842
学コン
845:１３２人目の素数さん
04/12/29 17:43:30
>836
z≒0 の場合を考えるんだろうな。
与式 = (x^3 +y^3)/|xy(x-y)| ≧ c, 但し c≡(1+√3)･√{(3/2)√3} = 4.4036694750416･････
(略証) (x^3 +y^3)^2 - [cxy(x-y)]^2 = [x^2 -(1+√3)xy +y^2]^2 [x^2 +2(1+√3)xy +y^2] ≧0.
等号成立は [x^2 -(1+√3)xy +y^2]=0 すなわち x/y ={(1+√3)±√(2√3)}/2 のとき.
となるはずの所だが、本題は z>0 なので等号は成田たね.
>842
スレ違いかも知れんが、
内部には極値は無さそうだから、平行四辺形の周を調べるんだろうな。
(x,y)=(1+√(1/3), -1+√(1/3)) で最小値 -2/(3√3) = -0.38490017945975････
(x,y)=(2,2) で最大値 12.
ぬるぽ
846:１３２人目の素数さん
04/12/29 17:53:14
z≒0の時っていうのが分からんorz
それに上の結果と一致しないし、三乗根入ってくると
解答者は言っているのだが……それが正しいかさえ分からん。
救済ｷﾎﾞﾝﾇ
847:845
04/12/29 18:38:04
>846
x,y>z>0 としても一般性を失わない。[838]から F(x,y,z) > F(x-z,y-z,0).
となるから、F(X,Y,0) の下限を調べるんだろうな....
848:１３２人目の素数さん
04/12/29 20:55:53
このスレの獣人ならもちろんシュプリンクラーの不当式勝ったよな。
849:１３２人目の素数さん
04/12/29 21:08:36
>>847
thx 当たり前のことっすね。。。orz
850:１３２人目の素数さん
04/12/29 21:46:16
>>848
当然だ。何をいまさら！
チンコ洗って出直してこいッ！
851:１３２人目の素数さん
04/12/29 22:56:45
>>850
女子はどうすればよいでつか？
852:１３２人目の素数さん
04/12/30 10:59:07
図書館潜入、模範解答報告マダァ？
853:１３２人目の素数さん
04/12/30 18:09:27
>851
メチンコ洗って出直してこいッ！
なんなら洗ってやろうか？
854:１３２人目の素数さん
04/12/31 12:07:52
おらおら、まだか？
855:１３２人目の素数さん
05/01/04 13:25:45
0<1
856:１３２人目の素数さん
05/01/04 14:36:20
|┃三 .／ ≧ ＼ ｜ あけおめ、ことよろ！
|┃ |:::: ＼ .／ ｜ 今年も たのも～！
|┃ ≡|::::: (● (● ＜＿＿＿＿＿＿＿＿＿
___＿__.|.ミ＼ ヽ::::... .ワ......ノ＿ ／ミ !＿＿_＿
|┃=＿＿ ＿＿=┃|
|┃ ≡ ） （ ≡ ┃|
|┃ ／ ／＼ ＼ ┃| ｶﾞﾗｯ
857:１３２人目の素数さん
05/01/04 22:46:12
>>836
与式を F(x,y,z) とおいてまとめると･･･
[838]
F(x,y,z) = (x+y+z)･g(x-y,y-z,z-x), g>0.
[847]
x,y>z>0 としても一般性を失わない。[838]から F(x,y,z) > F(x-z,y-z,0).
となるから、下限 F(X,Y,0) の下限を調べるんだろう。
[845]
F(x,y,0) = (x^3 +y^3)/|xy(x-y)| ≧ c, 但し c≡(1+√3)･√{(3/2)√3} = 4.4036694750416･････
(略証) (x^3 +y^3)^2 - [cxy(x-y)]^2 = [x^2 -(1+√3)xy +y^2]^2 [x^2 +2(1+√3)xy +y^2] ≧0.
みたいになるかな?
注）例によって c の発見には微分法を使いますたが、代数的方法を示していまつ．．．
858:１３２人目の素数さん
05/01/05 14:50:09
正の数 x, y, z に対して、次式を示せ。
(xy+yz+zx){1/(x+y)^2 + 1/(y+z)^2 + 1/(z+x)^2} ≧ 9/4
(x+y)^2 +(y+z)^2 + (z+x)^2 ≧ 4(xy+yz+zx) なので
Cauchy-Schwarz は使えなかったので、対称式を持ち出した。
x+y+z=s, xy+yz+zx=t, xyz=u とおくと、示すべき不等式は
4t(s^4-2s^2t+4su+t^2) ≧ 9(st-u)^2
差を取って証明しようとしたけど、うまくいかんちん。
もしかして計算間違っていますか？ たのも～
859:１３２人目の素数さん
05/01/06 02:50:34
非負実数 a, b に対して、次を示せ。
4(a^9+b^9) ≧ (a^2+b^2)(a^3+b^3)(a^4+b^4)
860:１３２人目の素数さん
05/01/06 08:48:25
>859
a≧0, b≧0, mn>0 のとき、
2[a^(m+n) + b^(m+n)] - (a^m +b^m)(a^n +b^n) = (a^m -b^m)(a^n -b^n) ≧0.
ぬるぽ
861:１３２人目の素数さん
05/01/06 11:43:53
>>860
ｷﾀｰ *･゜ﾟ･*:.｡..｡.:*･゜（ﾟ∀ﾟ)ﾟ･*:.｡..｡.:*･゜ﾟ･* !!!!!
なるほどっ！
㌧ｸｽでごじゃる。
問題は、要するにチェビシェフを２回使ったんですね、ﾅｯﾄｸ。
発掘元はココ
URLﾘﾝｸ(www.math.pomona.edu)
862:１３２人目の素数さん
05/01/06 17:15:13
>>807
一般に a+b+c=Lとおけば、(23/216)L^3 ≦ a^2b+b^2c+c^2a ≦ (1/8)L^3 でいいんですよね？
863:１３２人目の素数さん
05/01/06 17:16:50
>>858
基本対称式を使わずに、x, y, z のままで考えたほうがええかもな
864:807
05/01/06 20:55:53
>862 桶。
x+y+z = a+b+c = L を使えば [807] は
与式 = [L^3 -{(x^2)y+(y^2)z+(z^2)x}]/8,
(4/27)L^3 ≧ (x^2)y +(y^2)z +(z^2)x ≧0.
下の式を上の式に代入すると
(1- 4/27)(1/8)L^3 ≦ 与式 ≦ (1/8)L^3.
ぬるぽ
865:860
05/01/06 21:21:41
>861
>>153 (a=0,m=2の場合)や >>685-688 のあたりにも類題....
866:１３２人目の素数さん
05/01/06 22:01:59
>836
[839] や 東大入試作問者スレ[618][621] が指摘したように、この問題は
創刊30周年記念『エレガントな問題をもとむ』【優秀賞】受賞問題２
と同じようでつ。（作問者は西宮の人）
問題： 数セミ，３１(4), p.79 (1992.4)
解答： 数セミ, ３１(8), p.59-60 (1992.7) ･･･ 基本対称式を持ち出してもしかた無いんぢゃ･･･以下(ry
東大入試作問者になったつもりのスレ４
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:614番),618-621,624-629,636,638-639
さくらスレ１５４
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:417番)
不等式スレッド
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:836-849番),857
867:１３２人目の素数さん
05/01/06 22:11:59
>865 ㌧クスです。
868:１３２人目の素数さん
05/01/06 22:12:21
>>836-839、>>845-847、>>857
相異なる正の数 ｘ、ｙ、ｚ に対し、(x^3+y^3+z^3-3xyz)/|(x-y)(y-z)(z-x)| > √(9+6√3)
1992年の数セミを見てきました。編集部の模範解答は>>836の如し。
読者２名からのエレガントな解答を以下に書きます。
分子は x^3+y^3+z^3-3xyz = -(x+y+z){(x-y)(y-z)+(y-z)(z-x)+(z-x)(x-y)} だから
L=x+y+z, p=x/L, q=y/L, r=z/L
とおくと、p, q, r>0 かつ p+q+r=1 をみたし、示すべき不等式は
-{(p-q)(q-r)+(q-r)(r-p)+(r-p)(p-q)}/|(p-q)(q-r)(r-p)| > √(9+6√3)
式の対称性から、p>q>r>0 としても一般性を失わない。
p-q=α, q-r=β, α+2β=s
とおくと s+3r=1 より 0<s<1 で、示すべき不等式の左辺は
1/(p-q) + 1/(q-r) + 1/(r-p) = 1/α + 2/(s-α) - 2/(s+α)
さらに α/s = t とおくと、s>α>0 より 0<t<1 で、結局、次式の最小値を考えればよい。
(1/s){1/t + 2/(1-t) + 2/(1+t)} … (☆)
f(t) = 1/t + 2/(1-t) + 2/(1+t) とおくと f'(t) = (3t^4+6t^2-1)/{t^2(1-t)^2(1+t)^2} より
0<t<1 において t = √{(2√3-3)/3} で極小かつ最小値 √(9+6√3) をとる。
0<s<1 より、s→1 の極限をとれば、(☆) は √(9+6√3) に上から限りなく近づく。
（蛇足） ２重根号を外したら、√(9+6√3) = (1+√3)√{(3√3)/2}
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | 勉強になりました。
|::::: (● (● |
ヽ::::... .ワ....ノ n グッジョブ！
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
869:１３２人目の素数さん
05/01/06 22:13:36
>>866
あ、書き込みに気づかずに、先に解答書いてしまいました。スマソ。
870:１３２人目の素数さん
05/01/06 22:37:07
>>811(2) ,827
第10回 日本数オリ本選（2000）の第3問らしい．．．
（略解）
case1: {AC,AD,AE} のいづれかと {BC,BD,BE} のいづれかが(端点以外で)交わる場合
たとえば 線分ACとBDが交わるときは、 AB+CD ≦ AC+BD.
これに自明な DE ≦ AD+AE, EC ≦ BE+BC を加える。
case2: {AC,AD,AE,BC,BD,BE} のいづれも(端点以外は)交わらない場合
A,Bの一方は△CDEの１つの頂角の対頂角の中にある（平面CDE内にあることから）。
たとえば A が∠CDE の対頂角∠XDYの中にあるときは、△CAE ⊇ △CDE ∴ CD+DE ≦ AC+AE.
これに自明な EC ≦ BE+BC, AB ≦ AD+BD を加える。
ぬるぽ
871:１３２人目の素数さん
05/01/09 07:05:47
ネタ補充
(1) 実数x,y,z, 正の偶数nに対し
(x+y+z){x^(n+1)+y^(n+1)+z^(n+1)}
≧ 2(xy+yz+zx)(x^n+y^n+z^n)-3xyz{x^(n-1)+y^(n-1)+z^(n-1)} を示せ。
(2) F(n)をFibonacci数列とする。
Σ[n=1..∞] 1/F(n) > 803/240 を示せ。
(3) 2^(3^(3^(-1))) < e を示せ。
(4) 三角形の周長をL, 面積をSとすると
S≦(L^2)/(12√3) を示せ。
(5) 0<t≦1 のとき
tan(t)/t < 2-√(1-t^2) を示せ。
872:１３２人目の素数さん
05/01/09 11:16:07
>>783
これもよろしくお願いします。
873:１３２人目の素数さん
05/01/09 18:19:09
(2) Σ[n=1,6] 1/F_n = 1 +1 +1/2 +1/3 +1/5 +1/8 = 758/240.
左辺 > Σ[n=1,12] 1/F_n = 758/240 +1/13 +1/21 +1/34 +1/55 +1/89 +1/144
= 758/240 + 207530077/N > 758/240 +204459255/N = 758/240 + 9/48 = 右辺.
ここに N=16*9*5*7*11*13*17*89 = 1090449360.
ぬるぽ
874:１３２人目の素数さん
05/01/10 15:05:49
>871 (1)
n は整数とし、 左辺 - 右辺 = F_n とおく。
x^n の係数は (x+y+z)x - 2(xy+yz+zx) +3yz = (x-y)(x-z) なので >>611 の方法を使う。
y は x,z の間にあるとすると (x-y)(y-z)≧0, {x^n -y^n +z^n}≧0 ゆえ、
F_n = (x-y)(x-z)x^n +(y-x)(y-z)y^n +(z-x)(z-y)z^n = (x-y)^2(x^n) +(y-z)^2(z^n) +(x-y)(y-z){x^n -y^n +z^n} ≧0.
F_{-1} = (t^2 -3su)/u, F_0=s^2 -3t, F_1=s^3 -4st +9u, F_2=s^4 -5ts^2 +4t^2 +6su, ･････.
(応用例) >>858
4t(s^4 -2s^2t +4su +t^2) -9(st-u)^2 = 4ts^4 -17(st)^2 +34stu +4t^3 -9u^2
= 4t･F_2 +{(3t^2 -su)/s}･F_1 +(s +9t/s)u･F_0 ≧0.
ぬるぽ
[873] は >871(2) の解答でつ。ｽﾏｿ
875:１３２人目の素数さん
05/01/10 18:21:22
>>874
Scherの不等式と同じ証明方法になるとは…。
(;´д｀)ﾊｧﾊｧ
結局、任意の整数で成り立つんですね。
F_n に n=1, 2, … を代入して得られる 対称式≧０ は 858 にも使えそうですね。
876:１３２人目の素数さん
05/01/10 18:26:56
>>874
よくみれば、問題文は 実数 x, y, z だから偶数 n でないといけないですね。
非負実数 x, y, z なら、任意の整数 n でOKですね。
877:876
05/01/10 18:44:12
>874の後半に、ちゃんと書いてるし…
il||li _|￣|○ il||li
878:１３２人目の素数さん
05/01/10 19:03:28
このスレを見ていると、ときどき面白いパターンがあるよね。
ある不等式Aが解決されていない
→ 誰かが別の不等式Bを出す
→ 神が解く
→ その不等式Bが、Aを解決する
858 と 871(1)、 538(3) と 580 など…
879:１３２人目の素数さん
05/01/10 22:53:27
複素数 z, w に対して、|(1+|z|^2)w-(1+|w|^2)z| ≧ |z\bar{w}-\bar{z}w| を示せ。
880:１３２人目の素数さん
05/01/11 00:03:18
>>871
(4) 周長の長さがLの三角形の面積の最大値maxSを求めればよい。
まず、一辺の長さがすでに決まっている、という条件をつけて一辺を固定すれば、
残りの頂点の軌跡は楕円になるから一辺の長さがyであるときの、
Sの最大値M(y)が求まる。次にyの定義域を[0,L/2]としてmaxM(y)=maxSを求めればよい。
881:１３２人目の素数さん
05/01/11 09:25:40
>871(4) (等周問題)
[880] にしたがって BC=y を固定して考える。
AB+AC = L-y (一定) の軌跡は楕円で、B,C は長軸上にある。
S=(1/2)BC･AH が最大値をとすとすれば、Aの高さ(AH)が最大のとき。∴Aが短軸の端点のとき。････ (1)
∴M(y)=(y/4)√{L(L-2y)}, M(L/3)^2 -M(y)^2 = (L/16)･(y -L/3)^2･(2y +L/3) ≧0, M(y)≦M(L/3)=(L^2)/(12√3).
または (1)から AB=AC. 同様にして AC=BC, AB=BC なので、正3角形のとき最大.
【代数的な方法】
3辺をa,b,cとし、a+b+c=L, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、ヘロンの公式や相加･相乗平均から、
S^2 = (L/2)(L/2 -a)(L/2 -b)(L/2 -c) = (L/16)(-L^3 +4Lt-8u) ≦ (L/16)u ≦ (L/16)(L/3)^3.
∴ S ≦ (L^2)/(12√3), 等号成立は a=b=c (正3角形)のとき.
(系) S=rL/2 （rは内接円の半径）だから S≧(3√3)r^2.
ぬるぽ
>876 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!
882:１３２人目の素数さん
05/01/11 15:24:28
正の数 a, b に対して a^6 +b^6 +8a^3 +8b^3 +2a^3b^3 +16 ≧ 36ab を示せ。
883:１３２人目の素数さん
05/01/11 15:49:14
>882 相加･相乗平均で
左辺 = (a^3 +b^3 +4)^2 = (a^3 +b^3 +1 +1 +1 +1)^2 ≧ {6√(ab)}^2 = 36ab =右辺.
884:１３２人目の素数さん
05/01/11 17:50:53
>>871 (5)
まづ 1-t^2 < 1-t^2 +(1/8)(t^6){1+(1/8)t^2} = [1-(1/2)t^2 -(1/8)t^4]^2.
∴ 右辺 = 2 -√(1-t^2) > 2 - [1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4].
∴ tan(t)/t < 2 -[1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4] が示せればよい。
F(t) = {2 -[1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4]}t - tan(t) とおくと F(0)=0. 次に F '(t)>0 を示す。
F '(t) = 1 + (3/2)t^2 + (5/8)t^4 - 1/[cos(t)^2] = {[1 +(3/2)t^2 +(5/8)t^4]cos(t)^2 -1}/[cos(t)^2]
ここで t>0 ⇒ -cos(t) > -1, -sin(t) > -t, cos(t) > 1 -(1/2)t^2 を使って,
F '(t) > {[1+(3/2)t^2 +(5/8)t^4][1-(1/2)t^2]-1}/[cos(t)^2] ={1-(1/8)t^2 -(5/16)t^4}(t^2)/[cos(t)^2].
ここで、t^2 <1 だから F '(t)>0.
∴ tan(t)/t < 2 -[1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4] < 2-√(1-t^2).
ぬるぽ
>>871 への解答レス（主なもの）
(1) [874][876] (2) [873] (3)参った. (4) [880][881] (5) これ.
885:１３２人目の素数さん
05/01/11 21:34:18
(log(2))^3<1/3 なら、間にある(有理数)^3を見つければ
示せそうな気がするが...
886:１３２人目の素数さん
05/01/12 00:46:12
>>885
あのな、(a^m)^n = a^(mn) だよな。
これが a^(m^n) だと～、a^(m^n) だと～ （以下略）
887:１３２人目の素数さん
05/01/12 01:03:51
>>886
????????
888:１３２人目の素数さん
05/01/12 01:05:56
>>886-887
おまいら、荒らすな上げるな！
889:１３２人目の素数さん
05/01/12 01:37:55
>885
有理数としてたとえば 0.69333333････= 36/100 + 1/3 = 52/75 をとる。
右側は (52/75)^3 = 140608/4215 < 140625/421875 = 1/3.
左側 Ln(2) < 52/75 の方をどうするか……
890:１３２人目の素数さん
05/01/12 03:01:14
[0,1/3]上で
1/(1-x^2) = 1 + x^2 + x^4/(1-x^2) ≦ 1 + x^2 + x^4/(1-(1/3)^2) = 1 + x^2 + 9x^4/8
よって、(log2)/2 = ∫_[0,1/3](1/(1-x^2))dx < ∫_[0,1/3](1 + x^2 + 9x^4/8)dx = 1123/3240
3乗の計算が面倒だけど、(log2)^3 < (1123/1620)^3 = 1416247867/4251528000 < 1/3
891:１３２人目の素数さん
05/01/12 03:19:35
そういえば数セミ 2005 年 2 月号の『NOTE/講評と解説』に
巡回不等式とか正弦関数の比の単調減少性とか今後使えそうな面白い記事があったね。
892:１３２人目の素数さん
05/01/12 03:34:04
>>891
2005年2月号って、まだ発売されてないだろ！
>>783>>879
解答マダー！
おらおら出てこい！不等式オタクども！
893:１３２人目の素数さん
05/01/12 03:50:36
>>892
年間購読者ですから, もう届いているんですよ。
894:１３２人目の素数さん
05/01/12 04:02:05
>>893
さっさとウプシロン！
895:中川 幸一 ◆MC1Z7pcz5k
05/01/12 04:13:10
じゃ～問題だけ紹介します。
a_1, \cdots a_n > 0 に対して不等式
\dfrac{a_1^2}{a_2 a_3} + \dfrac{a_2^2}{a_3 a_4} + \cdots + \dfrac{a_{n-1}^2}{a_n a_1} + \dfrac{a_n^2}{a_1 a_2}
\geq \dfrac{2 a_1}{a_2 + a_3} + \dfrac{2 a_2}{a_3 + a_4} + \cdots + \dfrac{2 a_{n-1}}{a_n + a_1} + \dfrac{2 a_n}{a_1 + a_2}
が成立する。ここで, 等号は a_1 = \cdots =a_n のときのみ成立する。
\pi \geq A > B > 0 のとき関数
\dfrac{\sin (Ax)}{\sin (Bx)}
は 0 < x < \dfrac{1}{2} において単調減少である。
896:１３２人目の素数さん
05/01/12 04:15:14
>>895
せめて \frac と書け！
いちいち上げんな！
897:中川 幸一 ◆MC1Z7pcz5k
05/01/12 04:18:54
以下は演習問題という形で紹介されています。
(表記法を多少簡略化しました。)
a_1, \cdots , a_n が 1, \cdots , n の並べかえならば
\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i}{i} \geq n
898:１３２人目の素数さん
05/01/12 04:20:40
>>896
悪い…。
ついつい癖で \dfrac って書いてしまった…。
あと上げてしまってスマン…。
899:884
05/01/12 17:50:14
>885,890
871(3) なるほど！ そういうことだったのか。 ベリィ㌧クス.
871(5) F(t)>0 を出すところに間違い･････ 死んでお詫びを･･･(AA省略)。
マクローリン展開より、0<t≦1 で、
tan(t) = t + (1/3)t^3 +(2/15)t^5 +(17/315)t^7 +･･･ ≦ t + (1/3)t^3 +(2/15 +17/315 +･･･)t^5 = t +(1/3)t^3 +c･t^5.
ここに c = tan(1) -1 -1/3 = 0.22407439･･･
F(t) = {2 -[1-(1/2)t^2 -(1/8)t^4]}t -tan(t) ≧ (1/6)t^3 +(1/8 -c)t^5 = (1/6 -0.09907439t^2)t^3 >0.
900:伊丹公理 ◆EniJeTU7ko
05/01/12 18:10:07
>>897
容易 ( n ＞ 1 の時）
一般に正とは限らぬ実数列 a_1 ＜ a_2 ＜ ....... ＜ a_n,
b_1 ＜ b_2 ＜ ....... ＜ b_n があり、c1, c_2, .... , c_n が
b_1, b_2, ....... , b_n の並べ替えであるとき、
a_1*c_1 + a_2*c_2 + .... + a_n*c_n が最大となるのは
c_i = b_i, i = 1, 2, .... , n の時。（又その時に限る）。
なる事実（well-known）と
x + (1/x) ≧ 2, 等号は x = 1 の時なることより出る。
901:伊丹公理 ◆EniJeTU7ko
05/01/12 19:13:47
>>900
訂正 x ＞ 0 の時、
x + (1/x) ≧ 2, 等号は x = 1 の時なることより出る。
902:中川 幸一 ◆MC1Z7pcz5k
05/01/12 21:01:59
>>897 の解答 (Original)
相加平均と相乗平均の大小関係より
(1/n)Σ[i=1 to n](a_i / i) ≧ (Π[i=1 to n](a_i / i))^(1/n) = 1^(1/n) = 1
故に
Σ[i=1 to n](a_i / i) ≧ n
(等号成立は a_i = i)
903:１３２人目の素数さん
05/01/12 23:24:58
(1) 正の実数a,b,x,y,zに対し、x/(ay+bz) + y/(az+bx) + z/(ax+by)≧3/(a+b)
(2) 実数a,b,c,x,y,zに対し、
ax+by+cz+√{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}≧(2/3)(a+b+c)(x+y+z)
(3) 0<x≦π/2 のとき、sin(sin(x))<tanh(x)
(4) 正の実数x,y,zがx+y+z=xyzを満たすとき、
x/√(1+x^2)+y/√(1+y^2)+z/√(1+z^2)≦(3√3)/2
904:１３２人目の素数さん
05/01/12 23:30:54
まだ解かれていない問題をまとめてください。
905:１３２人目の素数さん
05/01/13 04:34:03
>>819
>Ｈ（ａ，ｂ）＋Ｈ（ｃ，ｄ）≦Ｈ（ａ＋ｃ，ｂ＋ｄ）。
>Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）＋Ｈ（ｄ，ｅ，ｆ）≦Ｈ（ａ＋ｄ，ｂ＋ｅ，ｃ＋ｆ）。
>Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＋Ｈ（ｅ，ｆ，ｇ，ｈ）≦Ｈ（ａ＋ｅ，ｂ＋ｆ，ｃ＋ｇ，ｄ＋ｈ）。
これって n文字についても言えそうな感じだけど、うまい証明が思いつきません。
いい方法ないですか？
>>812
>[>>647(1)] H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1
こちらは n文字についても言えるのでしょうか？
たのも～、たのも～。
906:１３２人目の素数さん
05/01/13 04:39:47
>>879
（左辺）^2-（右辺）^2 = |(z-w)(\bar{z}w-1)|^2 ≧ 0
＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼ >>892 呼んだ？
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
907:１３２人目の素数さん
05/01/13 11:59:33
>903
(1) x/(ay+bz) = {(a^2)(ax+by)/(ay+bz) +(b^2)(az+bx)/(ay+bz) -ab}/(a^3 +b^3).
循環的に加えて 相加･相乗平均を使うと
左辺 ≧ 3(a^2 +b^2 -ab)/(a^3 +b^3) = 3/(a+b), 等号成立はx=y=zのとき.
(2) (a,b,c)=OA↑, (x,y,z)=OX↑, (1/√3, 1/√3, 1/√3)=OE↑ とおくと ∠AOX ≦ ∠AOE +∠EOX.
左辺 = (OA↑･OX↑) + |OA|･|OX| = |OA|･|OX|{cos(∠AOX) +1} ≧ |OA||OX|{cos(∠AOE+∠EOX) +cos(∠AOE-∠EOX)}
= 2|OA|･|OX|cos(∠AOE)･cos(∠EOX) = 2(OA↑･OE↑)(OE↑･OX↑) = 右辺.
(4) x=tan(A), y=tan(B), z=tan(C), 0<A,B,C<π/2 とおく。条件式より A+B+C=π. sin()は上に凸だから,
左辺 = sin(A) + sin(B) + sin(C) ≦ 3sin{(A+B+C)/3} = 3sin(π/3) =(3√3)/2.
等号成立は A=B=C=π/3 (正3角形？) すなわち x=y=z=√3 のとき.
ぬるぽ
>906 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
908:１３２人目の素数さん
05/01/13 19:25:36
(1) n>2を整数、F(n)をFibonacci数列とすると、
Σ[k=1..n](1/F(k)) > (n^2)/(F(n+2)-1)
(2) ちょうど１つの辺の長さが1より大きい四面体の体積をVとおくと、V<1/8
(3) 正整数p,qに対し、|p/q-√2|≧(6-4√2)/(q^2)
(4) nを正整数、s>1を実数とすると、
Σ[k=1..n](1/k^s) < 1+1/{2^(s-1)-1}
909:１３２人目の素数さん
05/01/13 20:10:24
>>647 (1), 680
s/9 ≧ t/3s ≧ u/t (単調減少)により、
左辺 = (1+s+t+u)/[3(3+2s+t)]- u/t = 1/3 + (s+2t+3u)/[3(3+2s+t)] - u/t ≧ 1/3.
>>812,905
n文字のとき、k次の基本対称式を S_k とおく。 S_0=1, ･････, S_n=abc････
H(a+1,b+1,c+1) = nΣ[k=0,n] S_k / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k = 1 + Σ[k=1,n] k･S_k / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k
= 1 + Σ[k=0,n-1] (k+1)S_{k+1} / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k.
ところで、 (k+1)S_{k+1}/[(n-k)S_k] ≧ nS_n / S_{n-1} = H(a,b,････).（←kについて単調減少）
∴ H(a+1,b+1,････) - H(a,b,････) ≧1.
>903 (3) 逆転の発想?
f(y)=arcsin(arcsin(y)), g(y)=arctanh(y)=(1/2)Ln{(1+y)/(1-y)} とおく。arcsin(y)>y より
f '(y) = 1/√{1-arcsin(y)^2}・1/√(1-y^2) > 1/(1-y^2) = g '(y).
これと f(0)=0=g(0) から 0<y≦sin(1) ⇒ f(y)>g(y).
ぬるぽ
910:１３２人目の素数さん
05/01/13 21:51:02
>895
（NOTEの問題）
π ≧ A > B > 0 のとき関数 sin(Ax)/sin(Bx) は 0 < x < 1/2 において単調減少である。
（略証）
f(x) = Ln{sin(Ax)/sin(Bx)} とおくと、 f '(x) = A/tan(Ax) - B/tan(Bx).
tan(y)/y は|y| とともに増加するから A>B>0 より tan(Ax)/(Ax) > tan(Bx)/(Bx), f '(x)<0.
911:905
05/01/13 22:06:19
>>909
㌧クス。
さすが ぬるぽ神。そこに痺れる憧れるぅ～。
【問題】 非負実数 a, b に対し、次を示せ。
\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{b}} ≧ \sqrt[3]{a+\sqrt[3]{b}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{a}}
912: ◆BhMath2chk
05/01/14 07:00:00
>>905
Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ）＋Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ，ｊ，ｋ，ｌ）
＝Ｈ（Ｈ（ａ，ｂ，ｃ），Ｈ（ｄ，ｅ，ｆ））＋Ｈ（Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ），Ｈ（ｊ，ｋ，ｌ））
≦Ｈ（Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）＋Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ），Ｈ（ｄ，ｅ，ｆ）＋Ｈ（ｊ，ｋ，ｌ））
≦Ｈ（Ｈ（ａ＋ｇ，ｂ＋ｈ，ｃ＋ｉ），Ｈ（ｄ＋ｊ，ｅ＋ｋ，ｆ＋ｌ））
＝Ｈ（ａ＋ｇ，ｂ＋ｈ，ｃ＋ｉ，ｄ＋ｊ，ｅ＋ｋ，ｆ＋ｌ）。
ｆ－＞＋∞，ｌ－＞＋∞として
（６／５）Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ）＋（６／５）Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ，ｊ，ｋ）
≦（６／５）Ｈ（ａ＋ｇ，ｂ＋ｈ，ｃ＋ｉ，ｄ＋ｊ，ｅ＋ｋ）。
Ｈ（ａ＋１，ｂ＋１，ｃ＋１，ｄ＋１）
≧Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＋Ｈ（１，１，１，１）
＝Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＋１。
913:１３２人目の素数さん
05/01/14 11:34:52
[912] の一般化
【補題】 Ｈ（a_1, a_2, ････，a_n）+ Ｈ（b_1, b_2, ････，b_n）≦ Ｈ（a_1+b_1, a_2+b_2, ････, a_n+b_n））
(略証) nについての帰納法による。
n=1 のとき 明らか。
n=2 のとき [647](6) より成立。
nが偶数のとき、n=2m とおく。
Ｈ（a_1,a_2,･････, a_{2m}） = Ｈ（Ｈ(a_1,a_2,････,a_m), Ｈ(a_{m+1}, ････, a_{2m})） を使うと
左辺 = Ｈ（Ｈ(a_1, a_2, ････，a_m), Ｈ(a_{m+1}, ････, a_n)）+ Ｈ（Ｈ(b_1, b_2, ････，b_m), Ｈ(b_{m+1}, ････, b_n)）
≦ Ｈ（Ｈ(a_1, a_2, ････，a_m) + Ｈ(b_1, b_2, ････，b_m), Ｈ(a_{m+1}, ････, a_n}) + Ｈ(b_{m+1}, ････, b_n})）
帰納法の仮定により、
左辺 ≦ Ｈ（Ｈ（a_1+b_1, a_2+b_2, ････，a_m+b_m), Ｈ（a_{m+1}+b_{m+1}, ････, a_n+b_n)）
＝Ｈ（a_1+b_1, a_2+b_2, ････, a_n+b_n）。
nが奇数のとき
上記により n+1 に対しては成立つ。そこで a_{n+1}→∞, b_{n+1}→∞ として n/(n+1) を掛ければ出る。
(系) Ｈ（a_1 +1，a_2 +1，････，a_n +1）≧ Ｈ（a_1, a_2, ････, a_n）＋ Ｈ（1,1,･･･,1）= Ｈ（a_1, a_2, ････, a_n）＋１.
>812 [>>647(6)] は Ｈ(a+c,b+d) ≧ Ｈ(a,b) + Ｈ(c,d).
914:１３２人目の素数さん
05/01/14 11:45:07
>911
f(x)=x^(1/3), f(a)=A, f(b)=B, a-b=d, A-B=D とおく。 fは単調増加だから d･D>0.
g は上に凸とすると、
[d･g(a+A)+D･g(b+B)]/(d+D) ≧ g(a+B)
[D･g(a+A)+d･g(b+B)]/(d+D) ≧ g(b+A)
辺々たすと
g(a+A) + g(b+B) ≧ g(a+B) + g(b+A).
ぬるぽ
>909
> ところで、 (k+1)S_{k+1}/[(n-k)S_k] ≧ nS_n / S_{n-1} = H(a,b,････).（←kについて単調減少）
の元レスは >>263, >>269, >>480 .