04/11/01 09:24:35
(1) 正の数 a, b, c に対して、(a^3+b^3+c^3)/(a+b)(b+c)(c+a) の最小値。
(2) 実数 a, b, c が a^2+b^2+c^2≠0 をみたすとき、 abc(a+b+c)/{(2a^2+b^2)(b^2+2c^2)} の最大値。
(3) a^2+b^2+c^2=1 をみたす実数 a, b, c と、非負実数 p, q, rに対して、次式の最大値と最小値。
\sqrt{(pa)^2+(qb)^2+(rc)^2} + \sqrt{(pb)^2+(qc)^2+(ra)^2} + \sqrt{(pc)^2+(qa)^2+(rb)^2}
(4) 異なる実数 a, b, c が bc+ca ≧ 1+ab+c^2 をみたすとき、次式の最大値。ただし n は自然数。
{(a-b)^(2n+1)+(b-c)^(2n+1)+(c-a)^(2n+1)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
(5)-(i) 非負実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) の最小値。
(5)-(ii) 非負実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、(1+√a)(1+√b)(1+√c) の最小値。
(6) 非負実数 a, b, c と自然数 n に対して、常に次式が成り立つような定数 k の最小値。
k(a^3+b^3+c^3)+(9-3k)abc ≧ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)
565:三角形と三角関数の不等式
04/11/01 09:24:59
(1) [1963 Eotvos] 0<x<π/2 のとき、(1/(sin x)+1)(1/(cos x)+1) > 5
(2) [1978 Austria] tan k (k = 1度, …, 44度)の相加平均をA、相乗平均をGとおくとき、A > (√2)-1 > G
(3) [1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1
(4) 0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2 [類 ： 不等式への招待 P.39 ]
(5) 0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)
(6) [1994 Poland] △ABCに対して、1/a + 1/b + 1/c ≦ 1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b)
(7) △ABCに対して、{(b+c)cosA}/a + {(c+a)cosB}/b + {(a+b)cosC}/C ≧ 9(a+b+c)
(8) 鋭角三角形ABCに対して、内接円の半径を r とするとき、
a^2(cos A/2)/\sqrt(b^2+c^2) + b^2(cos B/2)/\sqrt(c^2+a^2) + c^2(cos C/2)/\sqrt(a^2+b^2) ≧ (9r√2)/2
566:１３２人目の素数さん
04/11/01 15:27:06
>557
A+B+C=π、 0 < A, B, C < π/2 において、cosAcosBcosC ≦ 1/8 の別証明。
cosA、cosB、cosC > 0 だから、相加平均・相乗平均の関係を用いた後、
y=cos x は 0 < A, B, C < π/2 において上に凸だから、Jensenの不等式を用いる。
cosA cosB cosC ≦ [(cosA+cosB+cosC)/3]^3 ≦[cos{(A+B+C)/3}]^3 = (cos π/3)^3 = 1/8
567:１３２人目の素数さん
04/11/01 16:22:42
くだらねゑ問題が混ざってゐた。スマソ。
>>562(3)
（解１） 左辺の２つの括弧にそれぞれ相加相乗不等式で瞬殺。等号成立条件は a=b=c=1。
（解２） Schwarzの不等式を使ってから、相加相乗不等式で瞬殺。
568:もう一問だけ…
04/11/01 18:01:35
【問題】 正の数 a_1, …, a_n の総和を s とするとき、 Σ[k=1 to n]\sqrt{(s-a_k)/a_k} ≧ n\sqrt(n-1)
コーシー・シュワルツの不等式から、
Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k) ≦ \sqrt(ns)
Σ[k=1 to n]\sqrt(s-a_k) ≦ \sqrt{n(n-1)s}
相加平均・調和平均の関係から、
Σ[k=1 to n]1/\sqrt(a_k) ≧ (n^2)/Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k)
ここで行き詰まってます。たのも～（AA略）
ついでに、分子と分母を逆にした式は、チェビシェフの不等式を使って、
Σ[k=1 to n]\sqrt{a_k/(s-a_k)} ≧ (Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k))/\sqrt{n^3(n-1)s}
で合ってますか？
発掘元：S73
URLﾘﾝｸ(www.math.nwu.edu)
569:568の修正
04/11/01 18:48:34
>ついでに、分子と分母を逆にした式は、チェビシェフの不等式を使って、
> Σ[k=1 to n]\sqrt{a_k/(s-a_k)} ≧ (Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k))/\sqrt{n^3(n-1)s}
>で合ってますか？
チェビシェフの不等式のあと、相加平均・調和平均の関係を使って
Σ[k=1 to n]\sqrt{a_k/(s-a_k)} ≧ \sqr[n/{s(n-1)}]*Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k)
これ以上は綺麗にならないでしょうか？
570:１３２人目の素数さん
04/11/01 20:24:37
>559
結局、 ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a,b,c に対して、次を示せばよい。
1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4.
> f(x) = 1/(1+x) は x>0 において、下に凸な減少関数であることと、･････から、
> f(a^2)+f(b^2)+f(c^2) ≦ 3f((a^2+b^2+c^2)/3) ≦ ････
ちょっと変な希ガス。そこで迂回路↓
基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
a^2 +b^2 +c^2 = s^2 -2t, (ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2 = t^2 -2su.
∴ 9/4 -1/(1+a^2) -1/(1+b^2) -1/(1+c^2)
= {(9/4)[1+(s^2 -2t)+(t^2 -2su)+u^2]-[3+2(s^2 -2t)+(t^2 -2su)]}/{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}
= {-3+(s^2-2t)+5(t^2 -2su)+9u^2}/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}
= {(-3-2t+5t^2)+(s-u)(s-9u)}/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}.
ここで t=1, st-9u≧0 だから 左辺≧0.
ぬるぽ
571:570
04/11/01 21:00:41
>545,559
蛇足だけれど、
チェビシェフの不等式を使うところ：
(x^2)/(1+x^2) の大小と x/(1+x^2) の大小が一致することを示してほすぃ。
（前者は単調増加、後者はx=1で極大だが．．．）
ぬるぽ
572:１３２人目の素数さん
04/11/01 21:07:40
>570 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
気づきませんでした。Jensenの不等式を使ったところが逆でした。
f(a^2)+f(b^2)+f(c^2) ≧ 3f((a^2+b^2+c^2)/3)
ありがとうございます。
573:１３２人目の素数さん
04/11/01 21:17:18
>571 ﾊｯ！
しまった。後者は単調増加じゃないですね。
あちこちダメポ…。
574:１３２人目の素数さん
04/11/01 21:28:02
>545,559 のチェビシェフを使うための大小が一致することの確認。
x≧y>0のとき、
(x^2)/(1+x^2) - (y^2)/(1+y^2) = (x^2-y^2)/{(1+x^2)(1+y^2)} ≧ 0
x/(1+x^2) - y/(1+y^2) = (x-y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)} …[1]
[1] は xy ≦1 のときに ０以上になるが、
a. b. c は正の数であることと、条件式 ab+bc+ca=1 より、
ab も bc も ca も１より小さい正の数であるので、[1]>0であることが分かる。
>571 いつもながら、ありがとうございます。
575:１３２人目の素数さん
04/11/01 22:21:56
>574の最後の行の訂正。
> …[1]≧0であることが分かる。
576:１３２人目の素数さん
04/11/01 23:54:07
>563(1)
a+b+c=s、ab+bc+ca=t、abc=u とおくと、示すべき不等式は (s^2-2t)+2√(3u) ≦ 1
s=1 を代入して整理すると、√(3u) ≦ t
両辺ともに正だから、２乗の差を比較して
t^2-3u = t^2-3su = (ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2 ≧ 0
等号成立条件は、a=b=c=1/3。
左辺しか与えられてなかったら、どうやって最大が１を示すのだろう…。
577:１３２人目の素数さん
04/11/03 06:02:59
>563(3) が解けそうで解けない。
いろんな単語でWeb上を探したら、時間が掛かったけど見つけた。
URLﾘﾝｸ(www.google.com)
このサイト内で略解を見つけたけど、ハンガリー語（？）で解読不能。
URLﾘﾝｸ(matek.fazekas.hu)
数式だけ追ってみると、次のようになっていた。
【問題】 0≦a≦b≦c に対し、(a+3b)(b+4c)(c+2a) ≧60abc
(a+3b)(b+4c)(c+2a)
≧ 2(a+b)*(5/2)(b+c)*(3/2)(c+a)
＝ (15/2)(a+b)(b+c)(c+a)
≧ (15/2)*2√(ab)*2√(bc)*2√(ca)
＝ 60abc
＿＿＿
.／ nCr ＼ 最初の不等号の評価が謎。
|:::: ＼ .／ | たのも～
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
578: ◆BhMath2chk
04/11/03 09:00:00
（ａ＋３ｂ）（ｂ＋４ｃ）（ｃ＋２ａ）
≧（４（ａｂ＾３）＾（１／４））（５（ｂｃ＾４）＾（１／５））（３（ｃａ＾２）＾（１／３））
＝６０（ａ＾５５・ｂ＾５７・ｃ＾６８）＾（１／６０）
≧６０（ａ＾６０・ｂ＾６０・ｃ＾６０）＾（１／６０）
＝６０ａｂｃ。
579:１３２人目の素数さん
04/11/03 16:17:11
>578
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
ソレダッ！！
ありがとうございます！
580:１３２人目の素数さん
04/11/03 22:02:49
>>558,566 の別証明。
【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
（略証） 1-cos(x) = 2{sin(x/2)}^2 に注意.
（右側）： sin(x) は(0,π)で上に凸だから、
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ {(1/3)[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]}^3 ≦ {sin[(A+B+C)/3]}^3
= {sin(π/3)}^3 = (1/2)^3 = 1/8.
これを2乗して8倍する。
（左側）： 左辺 = cos(A)cos(B)cos(C) = -cos(A)cos(B)cos(A+B) = {sin(A)sin(B)-cos(C)}cos(C).
中辺 - 左辺 = [1-cos(A)][1-cos(B)] - {[1-cos(A)][1-cos(B)]+sin(A)sin(B)}･cos(C) + [cos(C)]^2
= [1-cos(A)][1-cos(B)] - 2√{[1-cos(A)][1-cos(B)]}･cos[(A-B)/2]･cos(C) + [cos(C)]^2
= X^2 -2XY･cos(θ) +Y^2 = |X-Y|^2 + 2XY[1-cos(θ)] ≧ 0.
（鈍角三角形のときは 左辺<0 より自明．．．．）
ぬるぽ
581:１３２人目の素数さん
04/11/03 22:18:01
>>580
その補題を使って>>538(3)が出来るはず。
582:１３２人目の素数さん
04/11/03 22:24:35
>538
(3) [1992 Poland] 44th, 1st round, (1992.Sept-Dec.), No.9
右辺の3つの因子のうちの2つの和は ≧0 だから、負の因子はあっても１つだけ。
(i) 負の因子があるとき、0>右辺 より明らか。
(ii)3つとも ≧0 のとき。
文字a,b,cの符号を変えても右辺は変わらない。また左辺は
(a+b+c)^2, (-a+b+c)^2, (a-b+c)^2, (a+b-c)^2 の中の3つの積になる。
これが最も小さくなるのは、 最大の因子 (|a|+|b|+|c|)^2 を欠く場合、すなわち同符号の場合。
∴ a,b,c >0 場合を考えれば十分。このとき、a,b,cを3辺とする鋭角三角形が存在する。
(a+b-c)(b+c-a) = b^2 -(c-a)^2 = 2ca[1-cos(B)] などにより、
左辺 = {8(abc)^2}[1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)].
右辺 = {8(abc)^2}cos(A)cos(B)cos(C).
[580]の補題（左）により、左辺＞右辺.
URLﾘﾝｸ(www.mimuw.edu.pl)
[538]の解答のレス番（主なもの）
(1) 548 (2) 540 (3) 581
ぬるぽ
583:580
04/11/04 02:01:32
[580] の途中に写しまちがい
（右側）： ･･････ ≦ {sin[(A+B+C)/6]}^3 = {sin(π/6)}^3 = (1/2)^3 = 1/8.
死んでお詫びを．．．（AA省略）
584:１３２人目の素数さん
04/11/04 14:41:43
>580-583 ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━!!!!!!!!!!
585:１３２人目の素数さん
04/11/04 16:51:13
>>580
中辺 - 左辺
= [1-cos(A)][1-cos(B)] - {[1-cos(A)][1-cos(B)]+sin(A)sin(B)}･cos(C) + [cos(C)]^2
= [1-cos(A)][1-cos(B)] - 2√{[1-cos(A)][1-cos(B)]}･cos[(A-B)/2]･cos(C) + [cos(C)]^2
のところですが、第２項の
{[1-cos(A)][1-cos(B)]+sin(A)sin(B)} = 2√{[1-cos(A)][1-cos(B)]}･cos[(A-B)/2]
は、どうやって変形したのですか？
586:580
04/11/04 22:11:27
>585
1-cos(x) = 2{sin(x/2)}^2 に注意して
[1-cos(A)][1-cos(B)] = {2sin(A/2)sin(B/2)}^2.
sin(A)sin(B) = {2sin(A/2)sin(B/2)}・{2cos(A/2)cos(B/2)}.
辺々加えて、cos()の加法定理を使いまする。
ぬるぽ
587:１３２人目の素数さん
04/11/05 09:46:52
なるほど、分かりました。
sinAsinBsinC ≦ (3√3)/8 に (1-sinA)(1-sinB)(1-sinC) を挟んでみたけど
力不足で証明できませんでした。成り立つのかさえ分かりませんが…。
>581 関係があるとは気づかなかったです。
588:１３２人目の素数さん
04/11/05 21:04:01
>562
(6) 任意の正の数 a_k, b_k に対し、Π[k=1～n]a_k + Π[k=1～n]b_k ≦ Π[k=1～n]√{(a_k)^2+(b_k)^2}
を満足するような正整数ｎをすべてキボンヌ.
ぢゃない？
URLﾘﾝｸ(www.mimuw.edu.pl)
589:１３２人目の素数さん
04/11/05 23:29:14
>>588Σ('д'*;)!!
| ／／ ／
|／／ ／┃
／￣''' ┃ ﾌﾟﾗｰﾝ
| (-＿-)
| U U
| UU
| （○）
| ヽ|〃
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
590:.
04/11/06 02:53:05
>588
n=2 はコーシー、n>2は帰納法で。n=1はだめぽ.
>587
むりぽ.
591:１３２人目の素数さん
04/11/06 04:50:54
実数 x, y に対して、xy/\sqrt{(x^2+y^2)(3x^2+y^2)} の最大値を求めよ。
>562-565 が難しいので、息抜きに簡単なのをやってみたら、できなかった…。
おねがいします。むずぽ。
問題A15.3
URLﾘﾝｸ(matek.fazekas.hu)
解答
URLﾘﾝｸ(matek.fazekas.hu)
592:１３２人目の素数さん
04/11/06 14:55:29
>>568
相加･相乗平均だけでよい。 a_1, a_2,･････,a_n の積を u とおくと、
s - a_k =Σ[i≠k] a_i ≧ (n-1)･(u/a_k)^[1/(n-1)].
∴ 左辺 ≧ sqrt(n-1)･Σ[k=1～n] {(u/a_k)^[1/2(n-1)]}/sqrt(a_k)≧ n･sqrt(n-1).
ぬるぽ
593:１３２人目の素数さん
04/11/06 16:05:26
>591 x^2 =a, y^2 =b とおくと、
(x^2 +y^2)(3x^2 +y^2) = (a+b)(3a+b) = (a√3 -b)^2 +(4+2√3)ab ≧ [(1+√3)xy]^2.
∴ 与式 ≦ 1/(1+√3) = 1/k.
【問題15.5】 [2002 Irish] Test 1
0<a,b,c<1 のとき a/(1-a) + b/(1-b) + c/(1-c) ≧ s/(1-s/3) ≧ 3u/(1-u).
ただし s=a+b+c, u=(abc)^(1/3).
594:１３２人目の素数さん
04/11/07 06:03:10
>592
ありがとうございます。 最後の部分が分かりません。
Σ[k=1～n] {(u/a_k)^[1/2(n-1)]}/sqrt(a_k) ≧ n
書き換えると、Σ[k=1～n] (u/{(a_k)^n})^[1/2(n-1)] ≧ n ですけど
なんでそうなるのかが分かりません。
595:１３２人目の素数さん
04/11/07 06:13:27
>593
なるほど！ そういうことだったのか。
ありがとうございます。
（問題15.5の証明）
下に凸な増加関数 f(x)=1/(1-x) に、Jensen と相加相乗平均を用いる。
等号成立条件は、a=b=c。
f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f( (a+b+c)/3 ) ≧ 3f( \sqrt[3]{abc} )
596:そういえば…
04/11/07 06:54:45
【問題】 正の数 a, b, c が a<b+c をみたすとき、a/(1+a) < b/(1+b) + c/(1+c)
x>0 において f(x)=x/(1+x) は増加関数だから、a<b+c より f(a) < f(b+c)
f(b)+f(c)-f(b+c) = bc(2+b+c)/(1+b)(1+c)(1+b+c) > 0
よって、f(a) < f(b+c) < f(b)+f(c)
第3回シュプリンガー数学コンテスト問題A(a)
URLﾘﾝｸ(www.springer-tokyo.co.jp)
(b)なんてただの飾りです…（以下略）
597:592
04/11/07 07:04:46
>594
相加･相乗平均により
Σ[k=1～n] (u/{(a_k)^n})^c ≧ n・Π[k=1～n] [u^(1/n)/a_k])^(nc) = n・{1}^(nc) = n
598:１３２人目の素数さん
04/11/07 21:10:50
なるほど、相加相乗を２回使ったのですか。
599:593
04/11/07 21:54:45
>595 (問題15.5)
なるほど！ そういうことだったのか。
ありがとうございます。
なお、両端だけなら相加相乗３回で出まつ。 ぬるぽ
600:593
04/11/07 22:17:15
[599]の補足 > 593
> なお、相加相乗３回で出まつ。
1/(1-a) +1/(1-b) +1/(1-c) ≧ 3/[(1-a)(1-b)(1-c)]^(1/3) ≧ 3/(1- s/3) ≧ 3/(1-u).
の各辺から３を引く。 ぬるぽ
601:１３２人目の素数さん
04/11/07 23:40:33
【問題15.1】
a,b,c≧0 のとき、 7(ab+bc+ac)(a+b+c) ≦ 2(a+b+c)^3 +9abc.
よろしくおながいします。
602:１３２人目の素数さん
04/11/08 01:52:56
>601
a+b+c=s のとき、a/s, b/s, c/s を改めて a, b, c とおけば、同じ不等式をみたす。
したがって、a+b+c=1としてよく、【問題15.1】 は次の問題に同値になる。
[1999.3 BMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、ab+bc+ca-9abc/7 ≦ 2/7
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
最小値も追加した次の不等式を示す。
【問題】 a,b,c≧0, a+b+c=1 のとき、0 ≦ ab+bc+ca-9abc/7 ≦ 2/7
（左側の証明）
対称式なので a≧b≧c≧0 としてよい。
1 = a+b+c ≧ 3c より、1/3 ≧ c ≧ 0 だから
ab+bc+ca-9abc/7 = (a+b)c + ab(1- 9c/7) ≧ 0
等号成立条件は、対称性を取っ払って a, b, c のうちの少なくとも2個が0のとき
（右側の証明）
(i) 9/7 ≦ a ≦ 1 のとき、1 ≦ 9a/7 より、bc ≦ 9abc/7.
また b+c = 1-a ≦ 2/9 より、ab+ca = a(b+c) ≦ 2a/9 <2/7 だから、不等式は成り立つ。
(ii) 0 ≦ a ≦ 9/7 のとき、(b+c)^2-4bc = (b-c)^2 ≧ 0 より、
bc ≦ (1/4)(b+c)^2 =(1/4)(1-a)^2 だから、以下のように示される。等号は a=b=c=1/3.
ab+bc+ca-(2+9abc)/7
＝ a(b+c)+bc(1- 9a/7)-2/7
≦ a(1-a)+(1/4)(1- 9a/7)(1-a)^2 -2/7
＝ -(1/28)(a+1)(3a-1)^2
≦ 0
603:601の類題
04/11/08 01:54:13
[1984.A1 IMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、0 ≦ ab+bc+ca-2abc ≦ 7/27
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
[1993.26 IMO shortlist]
a, b, c, d≧0、a+b+c+d=1 のとき、abc+bcd+cda+dab ≦ (1+176abcd)/27
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
[1999 CMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
[2000.33 MOCP]
三角形の3辺 a, b, c が a+b+c=2 のとき、2 > a^2+b^2+c^2+2abc ≧ 52/27
URLﾘﾝｸ(www.cms.math.ca)
[1989.10 ソ連]
三角形の3辺 a, b, c が a+b+c=1 のとき、1/2 > a^2+b^2+c^2+2abc
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
[2003.B1 アイルランド]
三角形の3辺 a, b, c が a+b+c=2 のとき、1 < ab+bc+ca-abc ≧ 28/27
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼ >601 呼んだ？
|┃ |:::: ＼ .／ | 私のコレクションは
|┃ ≡|::::: (● (● | 半端じゃありませんよ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ ﾊｧﾊｧ…
|┃=＿＿ ＼
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
604:１３２人目の素数さん
04/11/08 01:59:08
さぁ、遠慮なく (;´д｀)ﾊｧﾊｧ してください。
605:１３２人目の素数さん
04/11/08 03:11:44
>600
なるほど。
>>565(6) [1994 Poland] について…
△ABCに対して、1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) ≧ 1/a + 1/b + 1/c ≧ 9/(a+b+c)
両端だけなら、相加平均・調和平均の関係で出るんだけどなぁ…
606:１３２人目の素数さん
04/11/08 05:36:19
>601
直接に差をとって証明しようとすると、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u として
2(a+b+c)^3 +9abc-7(ab+bc+ac)(a+b+c) = 2s^3-7st+9u = 2s(s^2-3t)-(st-9u)
となって、だめぽ。いい方法ないですか？
607:１３２人目の素数さん
04/11/08 10:54:33
>>605
1/xの凸不等式で右側も左側もすぐに証明できるんじゃないの？
608:１３２人目の素数さん
04/11/08 12:03:51
>605,607
なるほど！ そういうことだったのか。
ありがとうございます。
「相加平均･調和平均の関係で」「右側も左側もすぐに証明できるんじゃないの？」
（左側） [1/(a+b-c) +1/(b+c-a)]/2 ≧ 1/b を循環的に加える。
>606
2(a+b+c)^3 +9abc -7(ab+bc+ac)(a+b+c) = (a-b)(a^2 -b^2) +(b-c)(b^2 -c^2) +(c-a)(c^2 -a^2).
ぬるぽ
609:608
04/11/08 12:13:27
>606
s(s^2-3t) -(st-9u) ≧0 も成り立つらしいYo.
610:１３２人目の素数さん
04/11/08 17:07:03
>607-609
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
なるほど！ ベリィ㌧クスです。
611:１３２人目の素数さん
04/11/08 20:31:05
>609
b が a, c の中間にあるとすると、(a-b)(b-c)≧0, a-b+c≧0 ゆえ,
s^3 -4st +9u = a(a-b)^2 +c(b-c)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) ≧0 ･････(1)
これと
s^2 -3t = (1/2)[ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] ≧0 ･････(2)
ts - 9u = [ c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2] ≧0 ･････(3)
t^2 -3su =(1/2)[c^2(a-b)^2 +a^2(b-c)^2 +b^2(c-a)^2] ≧0 ･････(4)
を使えば かなりできそうだが．．．．（△を除き）
ぬるぽ
612:１３２人目の素数さん
04/11/09 03:36:09
>>564(3)(5) ができそうで出来ません。 たのも～
それと、下の問題も小一時間考えても分からないので教えて下さい。
たのも～
【問題】 実数 a, b, c が abc=1 をみたすとき、
a^3+b^3+c^3+(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3 ≧ 2(a^2b+b^2c+c^2a)
URLﾘﾝｸ(www.journals.cms.math.ca)
613:１３２人目の素数さん
04/11/09 12:07:48
>>564 (3)
a,b,cの符号によらないから、a,b,c ≧0 の場合を考える。 与式を X+Y+Z とおくと、
最大値： X+Y+Z ≦ √{3(X^2 +Y^2 +Z^2)} = √{3(p^2+q^2+r^2)(a^2+b^2+c^2)}
= √{3(p^2+q^2+r^2)}.
最小値： X≧(pa+qb+rc)/(√3), Y≧(pb+qc+ra)/(√3), Z≧(pc+qa+rb)/(√3).
辺々たすと X+Y+Z ≧ (p+q+r)(a+b+c)/(√3) ≧ (p+q+r)/(√3).
>612
相加・相乗平均により、(2a^3 +c^3)/3 + (ab)^2/c ≧ (a^2)[c +(b^2)/c] ≧ 2(a^2)b.
循環的に加える。 ぬるぽ
614:１３２人目の素数さん
04/11/09 16:08:16
>>613
負の時もそれでいいの？
615:１３２人目の素数さん
04/11/09 16:12:55
>613
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
なるほどッ！
>614
考察する式には、a^2, b^2, c^2 だけで a, b, c は入っていないから
最大値最小値を考えるには、a, b, c ≧ 0 の場合を考えただけで十分でしょ。
616:１３２人目の素数さん
04/11/09 16:20:16
>>615
>>612の問題の方のことだけど
617:１３２人目の素数さん
04/11/09 19:39:43
>>534 (5)-(i)
f(x)=log(1+x^2) は 0<x<1 で下に凸だから
与式 = exp{f(a)+f(b)+f(c)} ≧ exp{3f([a+b+c]/3)} = {1 +[(a+b+c)/3]^2}^3 = (10/9)^3.
>612, 616
任意の実数に対しては成り立たない希ガス．．．(たとえば c=-1 のとき 左辺=-2, 右辺=-2b^2)
おそらく右辺の chirality が原因．．． ぬるぽ
618:１３２人目の素数さん
04/11/10 03:45:45
>>563(6) 0 < a, b, c < 1/2 に対して、(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1) ≧ {3/(a+b+c) -1}^3
f(x) = 1/x -1 は、0 < x < 1/2 において下に凸な減少関数で f(x) > 1。
したがって、0 < a, b, c <1 において f(a), f(b), f(c) > 1。
問題に手を加えて、次式を証明したい。
[f(a)+f(b)+f(c)]/3 ≧ \sqrt[3][f(a)f(b)f(c)] ≧ f((a+b+c)/3)
左辺 ≧ 中辺 … 相加相乗平均より成立
左辺 ≧ 右辺 … Jensenの不等式より成立
中辺 ≧ 右辺 … これが原題ですが、うまい方法ないでしょうか？
＿＿＿
.／ ≧ ＼ ついでに調和平均が、この不等式の
|:::: ＼ .／ | どこに入るか分かれば教えて下さい。
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆ たのも～
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆ たのも～
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
619:618
04/11/10 04:38:04
>>564(1)
a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a) より、
（与式） = [(a+b+c)^3]/[(a+b)(b+c)(c+a)] -3
相加相乗平均より、2(a+b+c) = (a+b)+(b+c)+(c+a) ≧ 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}
∴ （与式） ≧ (3/2)^3-3 = 3/8
等号成立条件は a=b=c
620:１３２人目の素数さん
04/11/10 09:44:44
>618
>>563(6) f(x) = 1/x -1 とおくと {log|f(x)|} '' = {log(1-x) -log(x)} '' = 1/(x^2) -1/(1-x)^2.
log|f(x)| は 0<x<1/2 で下に凸だから、 f(a)f(b)f(c) ≧ {f([a+b+c]/3)}^3.
ぬるぽ
621:１３２人目の素数さん
04/11/10 09:59:18
>620
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ありがとうございます！
622:１３２人目の素数さん
04/11/11 01:04:07
age
623:１３２人目の素数さん
04/11/11 02:27:09
>622
屑はageか3桁の数字を書き込むことしか出来ない
624:１３２人目の素数さん
04/11/11 12:39:49
>>563(5) [1993 Itary] 0≦a, b, c≦1 に対して、a^2+b^2+c^2 ≦ a^2b+b^2c+c^2a+1
b, c を固定して f(a) = (a^2b+b^2c+c^2a+1)-(a^2+b^2+c^2) を考える。
b=1のとき直線、0≦b<1のとき上に凸な放物線だから、区間の端点で最小値をとる。
f(0) = (1-c){c+(1-b^2)} ≧ 0
f(1) = b(1-b)+c^2 ≧ 0
類題も同様にすればいい。
625:１３２人目の素数さん
04/11/11 12:44:09
>>563(2) 綺麗な形をしているけど分からんちん。
>>563(4) できそうで できない。
>>564(4) 条件式が汚いからサッパリ。
>>564(5) できるのか、これ？
626:１３２人目の素数さん
04/11/11 12:44:46
というわけで、せんせー方、たのも～ （ＡＡ略）
627:１３２人目の素数さん
04/11/11 18:53:42
>>564(5) [>>617]
(i) f(x)=log(1+x^2) は 0<x<1 で下に凸だから
与式 = exp{f(a)+f(b)+f(c)} ≧ exp{3f([a+b+c]/3)} = {1 +[(a+b+c)/3]^2}^3 = (10/9)^3.
(ii) g(x)=1+√x は上に凸なので、log|g(x)| も上に凸
与式 = g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) = 1+√2.
628:627
04/11/11 19:19:45
訂正、 与式 = g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) = 2.
629:１３２人目の素数さん
04/11/12 06:13:10
>627-628
ありが㌧ございます。
なるほど、凸を使うのか。 （*ﾟ∀ﾟ）=3
630:１３２人目の素数さん
04/11/12 07:40:08
>627-628
(5)(ii) ですが、やっぱり分からんです。
g(x) = 1+√x は、x≧0 において上に凸で、g(x)>1 なので、
G(x) = log g(x) も、x≧0 において上に凸。 Jensenの不等式より
G(a)+G(b)+G(c) ≦ 3G((a+b+c)/3) = 3G(1/3)
∴ g(a)g(b)g(c) ≦ {g(1/3)}^3 = 2+(5/9)√3
と最大値はでますが、最小値は何故 g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) なのですか？
631:627-628
04/11/12 08:20:43
>629-630 564(5)-(ii)の補足
G(x)=log|g(x)| は上に凸: G(x) ≧ G(0)･(1-x) + G(1)･x
∴ G(a)+G(b)+G(c) ≧ G(0)･(3-a-b-c) + G(1)･(a+b+c) = G(0)+G(0)+G(1).
∴ g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1).
ぬるぽ
632:１３２人目の素数さん
04/11/12 09:03:07
>631
>G(x)=log|g(x)| は上に凸: G(x) ≧ G(0)･(1-x) + G(1)･x
凸関数をそう使うのか (;´Д`) ﾊｧﾊｧ ／lァ／lァ ／lア／lア！！
ありがとうございます。少し賢くなったような気がしまする。
凸関数があったら Jensen ばかり使っていた自分は…
633:１３２人目の素数さん
04/11/12 09:18:56
同様にすると、(5)(i) の最大値は、
f(x)=log(1+x^2) は 0≦x≦1 で下に凸だから、f(x) ≦ f(0)(1-x)+f(1)x
f(a)+f(b)+f(c) ≦ f(0)(3-a-b-c)+f(1)(a+b+c) = f(1)
∴ (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) ≦ 2
634:１３２人目の素数さん
04/11/12 09:22:56
等号が成り立つのは、x=0 または 1 のときだから、
(a, b, c) = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
635:１３２人目の素数さん
04/11/12 10:17:23
>>538(2) を 条件を a, b, c > 0、a+b+c=1 に変えると、
1/2 ≦ a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≦ 9/10
f(x) = x/(1+x^2) は 0≦x≦1 で上に凸だから、
左側は、f(x) ≦ f(0)(1-x)+f(1)x = x/2 より、右側はJensenの不等式。
うひょ～ (＊ﾟ∀ﾟ)＝3
636:１３２人目の素数さん
04/11/12 16:51:35
a, b, c≧0 が a+b+c=1 をみたすとき、a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) のとりうる値の範囲について、
最大値について、Jensenの不等式を用いたら出ないのですが、どこがおかしいか教えて下さい。
a^2(b+c)=a^2(1-a) より、f(x) = x^2(1-x) を考える。
0≦x≦1において f(x) は上に凸だから、Jensenの不等式より
a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) = f(a)+f(b)+f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3) = 2/9
等号成立条件は a=b=c=1/3。
ところが、例えば (a, b, c) = (1/2, 1/2, 0) のとき、1/4 の値をとり、これは 1/4 > 2/9 なんです。
Jensenの不等式の使い方間違ってますか？
r～～～～～
＿_ _ﾉ うっうっうっ・・・
／__ ｀ヽ_ ⌒ヽ～～～～～
|〈___ﾉf レ1(
,L| しL.し'ﾞ"
"｀ "′
637:636
04/11/12 16:55:37
ゴメン。書いてて気がついた。はずかし…
上に凸じゃないや、ダメダメだね俺。吊ってくるわ （ＡＡ略）
638:１３２人目の素数さん
04/11/12 17:07:49
スレ汚しの罰に、問題ＵＰ
0≦a, b, c≦1のとき、S=\sqrt{a(1-b)(1-c)}+\sqrt{b(1-c)(1-a)}+\sqrt{c(1-a)(1-b)} について
(1) S ≦ 1+\sqrt{abc} を示せ。等号成立条件も。
(2) S の最大値を求めよ。
Problem 175 （これって、何かの雑誌？）
URLﾘﾝｸ(www.math.nwu.edu)
639:１３２人目の素数さん
04/11/12 17:51:58
>>563(4) できそうで．．．
左辺－右辺 = (a^2)(b-c)/c - (b^2)(a-c)/a + (c^2)(a-b)/b
= a(a-c)(b-c)/c + b(a-b)(a-c)/a -c(b-c)(a-b)/b
= (a/c)(b-c)^2 + (b/a)(a-b)^2 + {a/c +b/a -c/b}(b-c)(a-b)
= (a/c)(b-c)^2 + (b/a)(a-b)^2 + {(a/c-1)+(b/a)+(1-c/b)}(b-c)(a-b)≧0.
ぬるぽ
640:三角函数ヲタ
04/11/12 22:18:24
>638 √a =sin(A/2), √b =sin(B/2), √c= sin(C/2) （0≦A,B,C≦π）とおく。
(1) S(A,B,C) = sin([A+B+C]/2) + sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) ≦ 1+√(abc), 等号成立はA+B+C=π.
(2) 2∂S/∂A = cos([A+B+C]/2) + cos(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) = 0,
2∂S/∂B = cos([A+B+C]/2) + sin(A/2)･cos(B/2)･sin(C/2) = 0,
2∂S/∂C = cos([A+B+C]/2) + sin(A/2)･sin(B/2)･cos(C/2) = 0.
∴A/2=B/2=C/2=θ, これを上式に入れて, cos(3θ) + cosθ･(sinθ)^2 =(3x^2 -2)x=0,
x=cosθ=√(2/3), θ=90ﾟ-54ﾟ44', a=b=c=1/3, ∴ S≦2/(√3).
ぬるぽ
641:１３２人目の素数さん
04/11/13 05:30:27
>639-640
キタ━（ﾟ∀ﾟ）━ ! ! !
さらりと解いてしまう、そこに しびれる あこがれる～！
642:１３２人目の素数さん
04/11/13 08:18:53
>640
その置き換えに痺れる憧れるぅ～。 (；´Д`) ﾊｧﾊｧ しました。
しかし、(2)の最大値は 9/8 ではないでしょうか？
(1)より得られた上限値 1+sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) に、Jensenの不等式を用いる。
[>>557補題] より、0≦x≦π において f(x) = log sin(x/2) は上に凸だから、
f(A)+f(B)+f(C) ≦ 3f((A+B+C)/3) = 3f(π/3)
∴ 1+sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) ≦ 1+{sin(π/6)}^3 = 9/8
等号成立条件は、A=B=C=π/3 すなわち a=b=c=1/4
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | これでいいでしょうか？
|::::: (● (● |
ヽ::::... . ワ ....ノ ／ ﾁﾝ ☆ たのも～
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆ たのも～
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
643:642
04/11/13 08:40:50
あぁそうか、勘違いしてました。
(2)はSの最大値で、1-√(abc) の最大値じゃないんですね。
∧＿∧
（ ´Д｀ ） まことに
/ ヽ
し､__X__,ﾉJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ すいませんでした
⊂ （ ） ⊃
V￣V
644:１３２人目の素数さん
04/11/13 08:55:02
あーでも変だなぁ…
どこがおかしいんだろ？
645:642
04/11/13 10:47:27
自己解決。
A+B+C=π という束縛の下で解いたから最大値が小さくなったんですね。
sin((A+B+C)/2) が1にならないときに最大となる可能性があるから…。
普通に解いてみました。
>638の最大値を求める。 >640の置き換えより、
（与式） = sin((A+B+C)/2) + sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2)
0≦x≦π において g(x) = sin(x/2) は、g(x)≧0 かつ上に凸だから、
相加相乗平均とJensenの不等式より
g(A)･g(B)･g(C) ≦ [g(A)+g(B)+g(C)/3]^3 ≦ [g((A+B+C)/3)]^3
等号成立条件は A=B=C
これと３倍角の公式から、（与式） ≦ [g(3A)+g(A)]^3 = 3g(A)-3[g(A)]^3
0≦g(A)≦1 における最大値を考えて、g(A)=1/√3 で極大かつ最大値 2/√3 をとるぽよ。
646:645の訂正
04/11/13 10:49:10
下から2行目の書き間違い
(×) これと３倍角の公式から、（与式） ≦ [g(3A)+g(A)]^3 = 3g(A)-3[g(A)]^3
(○) これと３倍角の公式から、（与式） ≦ g(3A)+[g(A)]^3 = 3g(A)-3[g(A)]^3
647:問題
04/11/13 12:52:57
ネタが尽きかけたので、補充しまつ。
【問題】 文字は全て正の数とする。
(1) 1/[1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c)] - 1/(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 1/3
(2) [1997 Belarus] a/b + b/c + c/a ≧ (b+c)/(a+b) + (c+a)/(b+c) + (a+b)/(c+a)
(3) [1995 Russia] 1/(ab) ≧ a/(a^4+b^2) + b/(a^2+b^4)
(4) [1997 Belarus] (a+y)x/(a+x) + (a+z)y/(a+x) + (a+x)z/(a+y) ≧ x+y+z ≧ (a+z)x/(a+z) + (a+x)y/(a+y) + (a+y)z/(a+z)
(5) [1997 Romania] a^2/(a^2+2bc) + b^2/(b^2+2ca) + c^2/(c^2+2ab) ≧ 1 ≧ bc/(a^2+2bc) + ca/(b^2+2ca) + ab/(c^2+2ab)
(6) [1993 Poland] (a+c)(b+d)/(a+b+c+d) ≧ ab/(a+b) + cd/(c+d)
(7) [1999 Moldova] ab/[c(c+a)] + bc/[a(a+b)] + ca/[b(b+c)] ≧ a/(c+a) + b/(b+a) + c/(c+b)
発掘先 (;´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！
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648:１３２人目の素数さん
04/11/13 13:17:37
下らん不等式並べるなよ馬鹿
649:１３２人目の素数さん
04/11/13 19:15:06
>>564(6)
> 実数 a,b,c≧0 に対して、常に次式が成り立つような定数 k の最小値。
> k(a^3 +b^3 +c^3) +(9-3k)abc ≧ (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2)
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
k(s^3 -3st +3u) +(9-3k)u ≧ s(s^2-2t).
(k-1)s(s^2 -3t) -(st-9u) ≧ 0.
k=2 のときは、↓により成立。
s^3 -4st +9u = a(a-b)^2 +c(b-c)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) ≧0 ･････(1) [>>611]
k>2 のときは、これと (k-2)(a^3 +b^3 +c^3 -3abc)≧0 とを加えて成立。
k<2 のときは、a=b, c=0 の場合、左辺=2(k-2)a^3 < 0 で不成立。
----------------------------------------------------------------------
一方、ts -9u = [ c(a-b)^2 +a(b-c)^2 +b(c-a)^2] ≧0 ･････(3) [>>611]
>>601-602 [1999.3 BMO] 左側：(3)から, 右側：[>>608] または {(1)×2＋(3)}/7
>>603(1) [1984.A1 IMO] 左側：(3)から, 右側：{(1)×7＋(3)}/27
ぬるぽ
650:１３２人目の素数さん
04/11/14 04:38:37
お～なるほどッ！
651:１３２人目の素数さん
04/11/16 20:19:06
>>562
(1) |a|,|b|≧|c| とすると, |a^2 +b^2 +c^2| ≦ |a|^2 +|b|^2 +|c|^2 ≦ |a|^2 +|b|^2 +2|ab| = (|a|+|b|)^2.
(2) [1999 Poland] 50th, 1st round (1998 Sep.-Dec.), No.2
a+b=s とおくと、右辺－左辺 = 3(s^2 +c^2 +d^2) -(s+c+d)^2 = (s-c)^2 +(c-d)^2 +(d-s)^2 ≧0.
(3) 相加･相乗不等式で瞬殺。[>>567]
(4) 相加･相乗平均により (10ab^4+11bc^4+7cd^4+23da^4)/51 ≧ a(abcd). これを循環的に加える。
(5) [2003 Poland] 54th, 1st round (2002 Sep.-Dec.) No.12
4文字の基本対称式を a+b+c+d=S, ab+bc+ca+ad+bd+cd=T, abc+bcd+cda+dab=U, abcd=V とおく。
A = a^3+b^3+c^3+d^3 = S^3 -3ST +3U, B=U.
右辺－左辺－9U = 4A +15U - S^3 = 3(S^3 -4ST +9U).
【補題】S^3 -4ST +9U ≧0 は4文字の場合も成り立つ。
（略証） S^3 -4ST +8U = (a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d) ･･････ (*)
対称式だから、a≧b≧c≧d>0 としてよい。 a-b=f, b-c=g, c-d=h とおくと、U≧abc.
S^3 -4ST +9U ≧ (f+2g+h)(f+h)(f-h) + abc = (f+2g+h)(f^2-h^2) + (f+g+h+d)(g+h+d)(h+d)
≧ (f+2g+h)(f^2 -h^2) + (f+g+h)(g+h)h = f^2(f+2g+h) +gh(f+g) ≧ 0. (終)
なお、3文字のときは [>>611]
※ S^2 -(8/3)T = (1/3)Σ[i<j] (a_i-a_j)^2,
ST-6U = (1/2)Σ[i<j] (S-a_i-a_j)(a_i-a_j)^2,
S^3 -4ST +8U = S{S^2 -(8/3)T} -(4/3)(ST-6U) = (1/3)Σ[i<j] (2a_i+2a_j-S)(a_i-a_j)^2 より.
652:１３２人目の素数さん
04/11/16 20:22:17
>>562
(6) [2002 Poland] 53rd, 2nd round, 2nd day (2002.2.23) No.6
n=2 のときはコーシーの不等式、n>2 のときは帰納法で。 n=1は不成立。[>590]
(7) a_1 = b_2 ≠ a_2 = b_1 の場合を考えると･･･
[562]の解答のレス番（主なもの）
(1) [651] (2) [651] (3) [567] (4)[651] (5) [651] (6) [590] (7) ?
ぬるぽ
653:１３２人目の素数さん
04/11/17 01:13:22
>651-652
神キタ━（ﾟ∀ﾟ）━ ！！！
651(4)、うますぎる！とても作り出せない…。
abcd=1 としてゴチャゴチャやってましたができませんでした。
＿|￣|○
654:１３２人目の素数さん
04/11/17 01:16:05
連立方程式をたてて解けばいいんだよ・・・
655:１３２人目の素数さん
04/11/17 01:18:27
実数 x に対して、|sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + cosec x| ≧ 2√2 - 1
[AMM_Oct._2004 P.682] より発掘。解答は P.685
(；´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！
656:１３２人目の素数さん
04/11/17 04:07:03
s=sinx,c=cosx,s^2+c^2=1
|s+1/s+c+1/c+s/c+c/s|≧2√2-1
657:１３２人目の素数さん
04/11/17 04:29:10
>656
ドラクエでもやれば？
( ﾟ∀ﾟ) ｱﾊﾊ八八ﾉヽﾉヽﾉヽﾉ ＼ ／ ＼／ ＼
658:１３２人目の素数さん
04/11/17 13:04:33
>655
(i) 0<x<π/2 のとき 各項>0 ゆえ
与式 = {sin(x) +1/sin(x)} + {cos(x) +1/cos(x)} + {tan(x)+cot(x)} > 2+2+2 = 6.
(ii) π/2 < x < 2π のとき
z=cot(x/2) とおくと, 1-z>0.
sin(x) + cos(x)= 1 -2(1-z)/(1+z^2),
tan(x) + 1/cos(x) = [sin(x)+1]/cos(x) = -(1+z^2)/(1-z) -ｚ,
cot(x) + 1/sin(x) = [cos(x)+1]/sin(x) = z.
∴ 与式 = 1 -2(1-z)/(1+z^2) -(1+z^2)/(1-z) ≦ 1 -2√2 (←相加･相乗平均).
等号成立は、z =－(1/2)√2 ± √(√2 -1/2) のとき.
659:658
04/11/17 20:57:29
>658(ii) (補足)
[sin(x) +1]/cos(x) + [cos(x)+1]/sin(x) = [1+sin(x)+cos(x)]/[sin(x)cos(x)]
= -2/[1-sin(x)-cos(x)].
660:659
04/11/18 08:57:13
(続き)
1-sin(x)-cos(x) =y とおくと 与式 = 1-y-2/y. ∴ ｜与式－1｜ =｜y +2/y｜≧ 2√2.
661:660
04/11/18 18:08:39
（続き） 以上により↓が示された。
【命題】 F= sin(x) + cos(x) + tan(x) + cot(x) + sec(x) + cosec(x) とおくとき
F≧ 3√2 +2 または F≦-(2√2 -1).
ぬるぽ
662:１３２人目の素数さん
04/11/18 21:23:57
>>563
(1) a+b+c=s、ab+bc+ca=t、abc=u とおき、次の同次形を示す。 s^2 -2t +2√(3su) ≦ s^2. [>>576]
(2) 綺麗な形をしているけど分からんちん。
同次形は (a+b+c)^2･(pa+qb+rc) -8abc(p+q+r) ≧0.
左辺－右辺 = {(a+b+c)^2 -8bc}pa + {･･･}qb + {･･･}rc としても {･･･}≧0 とは言えない...
題意により (p+q+r)/2 ≧ p,q,r ≧0 だから、 p,q,rは三角不等式を満たす。そこで
左辺－右辺 = f(a,b;c)(p+q-r) + f(b,c;a)(-p+q+r) + f(c,a;b)(p-q+r).
f(a,b;c)≡{(a+b)+c}^2･(a+b)/2 -8abc≧ {4(a+b)c}･(a+b)/2 -8abc≧ 0.
(3) 相加・相乗平均でハァハァと [>>578]
(4) できそうで できない。 a,b≧cの使い方。[>>639]
(5) 上に凸 [>624]
類題は (ab+bc+ca+1) - (a+b+c) = (1-a)(1-b)(1-c) + abc ≧0.
(6) f(x) = 1/x -1 とおくと {log|f(x)|} '' = {log(1-x) -log(x)} '' = 1/(x^2) -1/(1-x)^2.
log|f(x)| は 0<x<1/2 で下に凸 [>>620]
(7) 0≦y≦1, n≧1 のとき 1-y^n≧1-y を使う。
[563]の解答のレス番号（主なもの）
(1) [576] (2) これ (3) [578] (4) [639] (5) [624] (6) [620] (7) これ
ぬるぽ
663:１３２人目の素数さん
04/11/19 09:44:50
>>662 ぬるぽ神 ｷﾀ─wwﾍ√ﾚvv～(ﾟ∀ﾟ)─wwﾍ√ﾚvv～─ !!!
ありがとうございます。
(2) ｳﾎｯ！ どうやって同次系の不等式を思いつくのですか？ コツがあるのでしょうか？
a+b+c も p+q+r もどちらも１なので、組合せは何通りも考えられますよね。
その後の進め方もまた （；´ρ`） ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！
(5)類題、こんなにアッサリ片付くとは…。文字を固定してゴリゴリ証明してました。
(7) うう、分かりません。 「0≦y≦1, n≧1 のとき 1-y^n≧1-y を使う」 と、
左辺第１項 ≧ (1-x)^m
左辺第２項 ≧ x^n
となるから、左辺 ≧ (1-x)^m - x^n となって、その後どうするのでしょうか？
>654 なるほど、連立方程式の立て方が分かりました。 （ ￣ー￣） ﾆﾔｿ
664:１３２人目の素数さん
04/11/19 12:11:56
>>564
基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
(1) 相加･相乗でハァハァと [>>619]
a^3 +b^3 +c^3 = s^3 -3(a+b)(b+c)(c+a)
s^3 = {(3/2)[(a+b)+(b+c)+(c+a)]/3}^3 ≧ (3/2)^3･(a+b)(b+c)(c+a).
∴ 与式 = (s^3)/[(a+b)(b+c)(c+a)} -3 ≧ (3/2)^3-3 = 3/8.
(2) 分母 = (2a^2+b^2)(b^2+2c^2) = t^2 +(b^2 -ac)^2 +a^2(b-c)^2 +c^2(a-b)^2 ≧ t^2.
∴ 与式 = us/(t^2) ≦ 1/3.
(3) 最大値：√{3(p^2+q^2+r^2)}, 最小値：(p+q+r)/(√3). [>>613]
(4) 条件式が汚いからサッパリ。
b-c=x, c-a=y とおくと a-b=(-x-y), 条件式は xy≧1.
F(x,y) = {(x+y)^(2n+1)-x^(2n+1)-y^(2n+1)}/{xy(-x-y)}
= {(x+y)^(2n) - x^(2n) +x^(2n-1)･y-････+x･y^(2n-1)-y^(2n)}/xy
= Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]+(-1)^k} x^k･y^(2n-2-k)
= Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]+(-1)^k} {x^k･y^(2n-2-k) + x^(2n-2-k)･y^k}/2
≧ |xy|^(n-1)･Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]-(-1)^k} （←相加･相乗平均）
= |xy|^(n-1)･F(1,1) ≧ F(1,1) = 2^(2n) -1.
665:１３２人目の素数さん
04/11/19 12:13:32
>>564
(5) できるのか、これ？ [>>617,>>627-631]
0<a,b,c<1, a+b+c=s のとき, g(x)=1+x^r, f(x)=log|g(x)| とおくと
f '(x) = g '(x)/g(x) = r･x^(r-1)/(1+x^r),
f ''(x) = {g(x)g ''(x)-g '(x)^2}/{g(x)}^2 = r･(r-1-x^r)･x^(r-2)/[(1+x^r)^2].
(i) r≧2 のとき f(x) は 0<x<1 で下に凸だから
log(与式) = f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f(s/3) = 3log|g(s/3)|.
f(x) ≦ f(0)(1-x) + f(1)x.
∴ g(s/3)^3 ≦ 与式 ≦ g(0)^(3-s)･g(1)^s.
(ii) 0≦r≦1 のとき g(x)=1+x^r はx>0 で上に凸
∴ f(x)=log|g(x)| も上に凸： f(x) ≧ f(0)･(1-x) + f(1)･x
∴ log(与式) = f(a)+f(b)+f(c) ≧ f(0)･(3-a-b-c) + f(1)･(a+b+c) = f(0)･(3-s) + f(1)･s.
∴ g(0)^(3-s)･g(1)^s ≦ 与式 ≦ g(s/3)^3.
(6) k≧2 成立、 k<2 不成立。 [>>649]
[564]の解答のレス番号（主なもの）
(1) [619] (2) [664] (3) [613] (4) [664] (5) [617][627] (6) [649]
ぬるぽ
666:１３２人目の素数さん
04/11/20 04:19:07
>651(5)
遅レスですが、勉強になりました。ﾊｧﾊｧ…
667:１３２人目の素数さん
04/11/20 09:05:59
>664(4)
なるへそ。条件式を変形した式から b-c=x, c-a=y とおくことに気づくわけか…
その後の nCr の計算に ﾊｧﾊｧ…
条件式から xy≧1 だし、x^k･y^(2n-2-k) も x^(2n-2-k)･y^k も正だから相加相乗か…
計算の後を追いかけるのがやっとです。とても自力で出来ません。
だめぽ ＞ （：D）|￣|＿
668:580
04/11/22 11:39:24
>587
【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8.
-1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
フランダースの不等式 とか言うらしい．．．
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
ぬるぽ
669:１３２人目の素数さん
04/11/22 13:26:17
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( ﾟ)━( )━(ﾟ )━(∀ﾟ )━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!
670:１３２人目の素数さん
04/11/22 13:52:11
>>388の証明(>>391)がよくわかんない。詳しく教えてくれ。
671:１３２人目の素数さん
04/11/22 15:43:58
>668
パトラッシュ、疲れたろう。
右側は相加相乗だけど、左側はどうするんだろうね
,.-─-、
/ /_wゝ-∠l
ヾ___ノ,. - >
/|／（ヽY__ノﾐ
.{ rｲ ノ
僕もう疲れたよ…
何だかとても眠いんだ…パトラ…
672:668
04/11/22 19:23:28
>671
f(x) = log|sin(x)| - log|x｜ とおいて f '(x) = 1/tan(x) -1/x,
f ''(x)= -1/[sin(x)^2] +1/(x^2) <0（上に凸）を使うんだろうな･･･ネロ･･･
AAらしい
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
壁紙らしい
URLﾘﾝｸ(www.accessup.org)
公式サイトらしい
URLﾘﾝｸ(www.bandaivisual.co.jp)
URLﾘﾝｸ(www.nippon-animation.co.jp)
URLﾘﾝｸ(www.nippon-animation.co.jp)
673:１３２人目の素数さん
04/11/22 21:33:28
>670
[>>391]にしたがって、まず極座標(r,θ)に変換する。
∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy = ∫{∫f(r･cosθ)g(r･sinθ)dr}/(cosθ+sinθ) dθ
次にrについてヘルダーの不等式を使う。
∫_[0,R]f(r･cosθ)g(r･sinθ)dr ≦ {∫_[0,R]f(r･cosθ)^p dr}^(1/p)･{∫_[0,R]g(r･sinθ)^q dr}^(1/q)
= {∫_[0,R･cosθ]f(r')^p dr'}^(1/p)･{∫_[0,R･sinθ]g(r")^q dr"}^(1/q)･(1/cosθ)^(1/p)･(1/sinθ)^(1/q)
→ (1/cosθ)^(1/p)･(1/sinθ)^(1/q)･F^(1/p)･G^(1/q). (R→∞)
一方、θについての積分は、
I = ∫_[0,π/2] 1/{(cosθ)^(1/p)･(sinθ)^(1/q)･(cosθ+sinθ)} dθ
となるが、ここで tanθ = t とおくと、cosθ=1/√(1+t^2), sinθ=t/√(1+t^2), dθ=dt/(1+t^2) を使えば
I = ∫[0,∞) 1/{(1+t)t^(1/q)} dt = π/sin(π/p) となる。 （←[391][396]）
∴ ∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy ≦ {π/sin(π/p)}F^(1/p)･G^(1/q).
ぬるぽ
674:１３２人目の素数さん
04/11/22 23:33:45
>>673
なるほど。
>>388に書かれてるように、真の不等号が成り立つっていうのは証明難しい？
675:673
04/11/23 01:12:56
>674
ヘルダーの不等式を使う所で、等号成立する場合がないことを示すのかなぁ？？
>>137-139, >>158 (総和形）
URLﾘﾝｸ(www007.upp.so-net.ne.jp)
676:１３２人目の素数さん
04/11/23 01:47:53
>671
フランダースの場合は あまりにも お犬さん
フランダースの場合は あまりにも 優しい
ベルギー アントワープの 大聖堂 雪の 朝に
ネロと そっと ひとつ
フランダース
(98/11/09)
URLﾘﾝｸ(www2.gol.com)
677:１３２人目の素数さん
04/11/23 04:13:26
>>672
なるへそ！ 凸な関数に目をつけるんだね、パトラッシュ。
678:１３２人目の素数さん
04/11/23 06:08:19
A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8
一方、相加相乗平均とJensenの不等式から
0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ ( [sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3 )^3 ≦ (3√3)/8
気になるのが ( [sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3 )^3 と {(3√3)/2π}^3 ABC の大小。
sin(A)+sin(B)+sin(C) = 4cos(A/2)cos(B/2)cos(B/2)
だから、f(x) = log cos(x) - (1/3)log(x) とおくと f(A/2)+f(B/2)+f(C/2) と log((3√3)/4π) の大小。
f(x) の 0<x<π/2 における凹凸が一定でないので、わからんちん。
,.-─-、
/ /_wゝ-∠l
ヾ___ノ,. - > 僕もう疲れたよ…
/|／（ヽY__ノﾐ 何だかとても眠いんだ…パトラ…
.{ rｲ ノ
679:１３２人目の素数さん
04/11/23 23:02:55
>>647(5) の類題
[2003 Baltic Way] URLﾘﾝｸ(www.liis.lv)
正の数 a, b, c に対して、2a/(a^2+bc) + 2b/(b^2+ca) + 2c/(c^2+ab) ≦ a/(bc) + b/(ca) + c/(ac)
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●|
ヽ::::......ワ...ノ ネタを仕入れるために
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ 旅立とう・・・
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
680:１３２人目の素数さん
04/11/24 01:46:36
>>647 a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと, s^2 -3t≧0, st-9u≧0, t^2 -3su≧0. これでゴリゴリ
(1) 左辺 = (1+s+t+u)/(3+2s+t)- u/t = 1/3 + [(st-9u) +2(t^2 -3su)]/[3t(3+2st+u)] ≧ 1/3.
(2) 相加・相乗平均により (ca^2/b +2ab^2/c +4bc^2/a)/7 ≧ bc. これを循環的に加えて,
(ca^2 +ab^2 +bc^2)(1/a +1/b +1/c) = (a^2 +b^2 +c^2) +(ca+ab+bc) +(ca^2/b + ab^2/c +bc^2/a)
≧ (a^2 +b^2 +c^2) +2(ab+bc+ca) = s^2.
左辺 = (ca^2 +ab^2 +bc^2)/u ≧ (s^2)/t,
右辺 = {(s^3 -st +3u) +(ca^2 +ab^2 +bc^2)}/(st-u).
[左辺－右辺]･(st-u) = (st-2u)(左辺) -(s^3 -st +3u) ≧ (st-2u)(s^2)/t -(s^3 -st +3u)
= -2(s^2)u/t +st -3u ≧ -2st/3 +st -3u = (st-9u)/3 ≧0.
(3) 1/(2ab) = a/(2a^2b) ≧ a/(a^4+b^2).
1/(2ab) = b/(2ab^2) ≧ b/(a^2+b^4).
辺々たす。
(4) 左辺 - 中辺 = (y-z)x/(a+z) +(z-x)y/(a+x) +(x-y)z/(a+y)
= [a(xz^2 +yx^2 +zy^2 -3xyz) +(t^2 -3su)]/[(a+x)(a+y)(a+z)] ≧0.
右側： x/(a+x), y/(a+y), z/(a+z) の大小と a+x, a+y, a+z の大小は一致する。
∴ チェビシェフの不等式により成立。
(5) (a^2)/(a^2 +2bc) ≧ (a^2)/(a^2 +b^2 +c^2) などより 左辺≧1.
bc/(a^2+2bc) ≦ (1/2)(b^2 +c^2)/(a^2 +b^2 +c^2) などより 右辺≦1.
なお、(左辺) + (右辺)×2 = 3.
(5)の類題[>679]： 相加･相乗平均より 2a/(a^2 +bc) ≦ a/√(au) = √(au)/u ≦ (2a^2 +b^2 +c^2)/4u.
循環的に加える。
681:１３２人目の素数さん
04/11/24 01:51:26
>>647 (続き)
(6) [1993 Poland] 44th, 2nd roud, 1st day No.1 (1993.2)
S=a+b+c+d, U=bcd+cda+dab+abc とおく。
左辺 - 右辺 = (a+c)(b+d)/S -ab/(a+b) -cd/(c+d)
= [(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)-SU]/[S(a+b)(c+d)] = (ad-bc)^2 /[S(a+b)(c+d)] ≧0.
(7) b/c=x, c/a=y, a/b=z とおくと u=xyz=1.
左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].
右辺 = 1/(y+1) +1/(z+1) +1/(x+1) = (t+2s+3)/[(x+1)(y+1)(z+1)].
[左辺－右辺]･(x+1)(y+1)(z+1) = (s^2 -2t) -s
= (1/2)[(x^2 +y^2 +z^2 -3) +(x-1)^2 +(y-1)^2 +(z-1)^2] ≧0.
ぬるぽ
682:１３２人目の素数さん
04/11/24 11:27:48
>680-681 さすが不等式王！
＿＿＿,
┏┓ ┏━┓ ／ ≧ ＼. .┏┓┏┓
┏┛┗┓┃┏┓┃ |:::: ＼ .／ | ┃┃┃┃
┗┓┏┛┃┗┛┃┏━━|::::: (● (● |━━━┓┃┃┃┃
┏┛┗┓┃┏┓┃┗━━ヽ::::... .ワ.....ノ!━━━┛┗┛┗┛
┗┓┏┛┗┛┃┃ （ （つ 丿ﾉ . ┏┓┏┓
┗┛ ┗┛ （ ヽノ ┗┛┗┛
し（＿）
683:１３２人目の素数さん
04/11/24 11:29:45
どうでもいいことだけど、>>392 + >>592 を合わせて…
非負実数 a, b, c, d に対して次式が成立。
4(a^3+b^3+c^3+d^3) + 24(abc+bcd+cda+dab) ≧ (a+b+c+d)^3 ≧ (a^3+b^3+c^3+d^3) + 15(abc+bcd+cda+dab)
（；´д｀）ﾊｧﾊｧして書いた。
不等式なら何でもよかった。
今は反省している。
684:１３２人目の素数さん
04/11/24 13:56:12
a,b,c≧0 のとき、 a^3+b^3+c^3+6abc ≧ (ab+bc+ac)(a+b+c)
（証明）
差をとれば、Schurの不等式のλ=1 の場合になる。（不等式への招待 P.28）
左辺-右辺 = a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) ≧ 0
一方、>>601 a,b,c≧0 のとき、 2(a+b+c)^3 +9abc ≧ 7(ab+bc+ac)(a+b+c) が成立。
そこで気になるのが、7(a^3+b^3+c^3+6abc) と 2(a+b+c)^3 +9abc の大小。
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、a^3+b^3+c^3 = s^3-3st+3u より
7(a^3+b^3+c^3+6abc)-[2(a+b+c)^3 +9abc]
= 5s^3-21st+54u
= 2(2s^3-7st+9u)+s(s^2-3t)-4(st-9u)
うまくいかんちん…
s, t, u に成り立つ不等式は、 s^3-27u ≧ 0 とか、
>>42より、2s^3-7st+9u = (a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2 ≧ 0
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | よろしくおねがいします！
|::::: (● (● |
ヽ::::.... ワ ....ノ ／ ﾁﾝ ☆ たのも～
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆ たのも～
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
685:１３２人目の素数さん
04/11/24 14:23:47
非負実数 a, b, c に対して、（；´д｀）ﾊｧﾊｧ できそうな不等式
(a+b)(a^4+b^4) ≧ (a^2+b^2)(a^3+b^3)
(a+b+c)(a^4+b^4+c^4) ≧ (a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)
これって、一般化できるのでせうか？
686:１３２人目の素数さん
04/11/24 14:27:37
>>685
>>153とは違うのか？
687:１３２人目の素数さん
04/11/24 15:59:55
>686 ∑(￣ワ￣；)！ 見逃してた。ありがとうございます。
>153 x_k≧0 (k=1,2,･･･,m)のとき、 F(n)≡(1/m)Σ[1≦k≦m] (x_k)^n とおくと
> (補題) bc≧0 ⇒ F(a)･F(a+b+c) ≧ F(a+b)･F(a+c).
> (系1) F(n-1)･F(n+1) ≧ {F(n)}^2.
> (系2) {F(n)}^(1/n) はnに関して単調増加.
補題で、a=b=1, c=2, m=2, 3 の場合が >685ですね。
ちなみに153は、「モノグラフ４ 不等式 P.57」より九州大の問題。
ところで、153の証明って…
688:１３２人目の素数さん
04/11/24 22:17:04
>687
項別に比べれ。
>>153 の（補題）はさくらスレ１４５にありますた．．．
109 ：PrinceMathematician◇ ：04/05/27 12:02
(補題) bc≧0 ⇔ F(a)･F(a+b+c) ≧ F(a+b)･F(a+c).
F(a)･F(a+b+c)－F(a+b)･F(a+c)
= (1/m)^2 Σ[1≦i≦m][1≦j≦m] (x_i･x_j)^a･{x_j^(b+c)-(x_i)^b(x_j)^c}
= (1/m)^2 Σ[1≦i<j≦m] (x_i･x_j)^a･{x_i^(b+c)+(x_i)^b･(x_j)^c+(x_j)^b･(x_i)^c+x_j^(b+c)}
= (1/m)^2 Σ[1≦i<j≦m] (x_i･x_j)^a･{(x_i)^b-(x_j)^b}{(x_i)^c-(x_j)^c}
～ {(x_i-x_j)b}{(x_i-x_j)c} ～ bc.
～は同符号の意味。 等号成立は x_1=x_2=･･･=x_m のとき. (終)
689:１３２人目の素数さん
04/11/24 22:20:55
>679 >>647(5) の類題
[2003 Baltic Way] URLﾘﾝｸ(www.liis.lv)
正の数 a, b, c に対し、
A = a/(bc) + b/(ca) + c/(ab)
B = 1/a + 1/b + 1/c
C = 1/√(ab) + 1/√(bc) + 1/√(ca)
D = 2a/(a^2+bc) + 2b/(b^2+ca) + 2c/(c^2+ab)
E = 3/\sqrt[3](abc)
F = 2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a)
G = 6/\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}
H = 9/(a+b+c)
とおくと
A ≧ B ≧ C ≧ D
C ≧ (E, F) ≧ G ≧ H
E, Fの大小は定まらない。(a, b, c) = (1, 1, 27), (1, 1, 1), (1, 1, 8) のとき、≧、＝、≦。
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | D と (E, F) ≧ G ≧ H は
|::::: (● (● | ドッキングできないですか？
ヽ::::.... ワ ....ノ ／ ﾁﾝ ☆ たのも～
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆ たのも～
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
690:１３２人目の素数さん
04/11/24 22:22:05
>>688
おっ！ 書き込んでいる間に。
ありがとうございます。
さっそく印刷して読みます。
691:651
04/11/24 22:53:06
>683
どうでもいいことだけど >>562 (5) を合わせて･･･ ↓が成り立たんかな？
4(a^3+b^3+c^3+d^3) + 15(abc+bcd+cda+dab) ≧ (a+b+c+d)^3.
692:683
04/11/24 22:58:41
>691
> 683 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：04/11/24(水) 11:29:45
> どうでもいいことだけど、>>392 + >>592 を合わせて…
「>>392 + >>562 を合わせて…」 の書き間違いでした。
693:１３２人目の素数さん
04/11/25 00:39:29
>>691
成り立つね。
694:683
04/11/25 02:25:58
>651の証明から成り立ってますね。㌧クス。691,693
（：D）|￣|＿
695:１３２人目の素数さん
04/11/25 03:06:07
>>689
(1,1,2)を代入してみたら H≧D だけど、もしかして常に成り立っているのかな。
696:１３２人目の素数さん
04/11/25 20:00:14
成り立ってないよ
697:１３２人目の素数さん
04/11/26 09:48:46
うちのおじいちゃんの名前 成田多内
うちのおばあちゃんの名前 成田つね
698:１３２人目の素数さん
04/11/26 10:01:07
>>696
反例キボンなり
699:１３２人目の素数さん
04/11/26 10:51:09
a = 3, b = 1, c : きわめて 0 に近い数
700:１３２人目の素数さん
04/11/26 11:01:32
>>699
ぉぉｰ、㌧ｸｽ
701:１３２人目の素数さん
04/11/26 11:43:46
>>697
ageると荒らしの目にとまる一例。
702:１３２人目の素数さん
04/11/26 12:44:30
じ
703:１３２人目の素数さん
04/11/26 17:21:41
うちのおばあちゃんの名前 成田たね
704:１３２人目の素数さん
04/11/26 20:31:40
(1) [Komal. A358] URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
正の数 a, b, c が abc=1 をみたすとき
1/a + 1/b + 1/c - 3/(a+b+c) ≧ 2(1/a^2 + 1/b^2 + 1-c^2)/(a^2+b^2+c^2)
(2) [AMM 2003.10 Prob.10944]
正の数 a, b, c が abc≧2^9 をみたすとき
1/√(1+a) + 1/√(1+b) + 1/√(1+c) ≧ 3/√(1+\sqrt[3]{abc})
以下の問題は [Bonus Problems 2] URLﾘﾝｸ(www.dpmms.cam.ac.uk)
(3) 正の数 a, b, c が abc=1 をみたすとき、a^5 + b^5 + c^5 ≧ 1/a + 1/b + 1/c
(4) 実数 a, b, c, d が ad-bc=1 をみたすとき、a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ac + bd ≧ √3
(5) 三角形の３辺の長さ a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、23/216 ≦ a^2b+b^2c+c^2a ≦ 1/8
(6) 正の数 a, b, c, d, e が abcde=1 をみたすとき
(a+abc)/(1+ab+abcd) + (b+bcd)/(1+bc+bcde) + (c+cde)/(1+cd+cdea) + (d+dea)/(1+de+deab) + (e+eab)/(1+ea+eabc) +≧ 10/3
(7) 正の数 a, b, c に対して、a^4 + b^4 + c^4 + [(a+b+c)^4]/27 ≧ 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)
(8) 正の数 a, b, c に対して、(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 3(1- a/b)^(2/3) + 3(1- b/c)^(2/3) + 3(1- c/a)^(2/3)
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●|
ヽ::::......ワ...ノ ネタを仕入れてきました
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
705:１３２人目の素数さん
04/11/26 22:17:44
（問題）
a,b>2 のとき、{1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) >1.
おながいします。
>703
ねた足りな．．．
706:662
04/11/26 23:06:45
>>663
662の(7)を修正
左辺の (1-x^n)^m =f(x) の下限を考える。
a=1-[1/(m+n)]^(1/m), b=[1/(m+n)]^(1/n) とおくと, 0<a≦b<1. （←[705]）
f_1(x) = 1-m(x^n) （0≦x≦b）,
f_2(x) = n(1-x)^m （a≦x≦1） とおく。
f_1, f_2 とも単調減少で、 f_1(x) > f_1(b) = n/(m+n) = f_2(a) > f_2(x) （a<x<b）
次に、これらが f(x) の下限となることを示す。
(1) f(x) ≧ f_1(x) （0≦x≦b）
(2) f(x) ≧ f_2(x) （a≦x≦1）
（略証）
(1) 相加･相乗平均を使う： X^m +(m-1) ≧ mX から。
(2) f(a) > f_1(a) > f_1(b) = f_2(a).
また f(x)^(1/m) = 1-x^n は上に凸、f_2(x)^(1/m)は直線だから
f(x)^(1/m) ≧ [f(a)^(1/m)/(1-a)](1-x) ≧ [f_2(a)^(1/m)/(1-a)](1-x) =f_2(x)^(1/m).
同様にして 1-f_1(x) （0≦x≦b）, 1-f_2(x)（a≦x≦1）は [1-(1-x)^m]^n の下限となる。
それぞれの区間でこれらを加えれば ≧1 となる。(終)
ぬるぽ
707:662
04/11/27 03:28:59
>706 の補足
m=1 or n=1 のときは、等号成立。
m=2, n>1 のときは、左辺 - 右辺 = (x^n){x^n +(2-x)^n -2} ≧ 0. （← y=x^n は下に凸）
よって m,n>2 の場合を考えればよい。
ぬるぽ
708:１３２人目の素数さん
04/11/30 21:41:42
>>681(7) ab/[c(c+a)] + bc/[a(a+b)] + ca/[b(b+c)] ≧ a/(c+a) + b/(b+a) + c/(c+b)
> b/c=x, c/a=y, a/b=z とおくと u=xyz=1.
> 左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].
左辺の分子は、xy^2+yz^2+zx^2+(s^2-2t)-s-3 となりますが…
709:１３２人目の素数さん
04/11/30 22:52:14
>>708
> 左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].
2番目の等号は≧の間違えでしょ。
710:１３２人目の素数さん
04/12/01 22:05:27
>>709
なるほど。㌧ｸｽです。
711:１３２人目の素数さん
04/12/01 23:11:56
マニアックな不等式教えてくれ
712:１３２人目の素数さん
04/12/01 23:30:26
＿＿＿ >711
.／ ≧ ＼ -3≦r≦3、
|:::: ＼ .／ | a_1, …, a_n ≧ 1
|::::: (● (● | G を a_1, …, a_n の相乗平均とするとき
ヽ::::... .ワ....ノ
￣￣ ＼ Σ[k=1 to n](1+a_k)^r ≧ G^r*Σ[k=1 to n]{1+ 1/(a_k)}^r
フ /ヽ ヽ
713:１３２人目の素数さん
04/12/02 10:30:53
>>711
いちいち上げんな、ボケ！
714:１３２人目の素数さん
04/12/02 21:38:22
>>704(3) 次式を回して加える。等号は a=b=c=1。
a^5+a^5+b^5+b^5+c^5 ≧ 5\sqrt[5]{a^(10)b^(10)c^5} = 5/c
715:705
04/12/03 11:35:38
まづ y = x^(2/a) 上の点（1，1）で接線を引きまつ： y = 1+(2/a)(x-1).
a<2 のときは下に凸、a>2 のときは上に凸ゆえ、
{x^(2/a)- 1 -(2/a)(x-1)}(2-a) = {x^(2/a) -(a+2x-2)/a}(a-2)≧0.
∴ {(1/x)^(2/a) -a/(a+2x-2)}(a-2) ≧0.
これをベルヌーイの不等式とか言うらしい．．．．．
a,b>2 のとき
{1/(a+b)}^(1/a) = {1/√(a+b)}^(2/a) = {(1/2)^(2/a)}・{2/√(a+b)}^(2/a)
= {(1/2)^(2/a)}・{2/√(a+b)}^(2/a) ≧ {(1/2)^(2/a)}・a/{a+√(a+b)-2}.
{1/(a+b)}^(1/b) ≧ {(1/2)^(2/b)}・b/{b+√(a+b)-2}.
左辺 ≧ {(1/2)^(2/a)}・a/{a+√(a+b)-2} + {(1/2)^(2/b)}･b/{b+√(a+b)-2}.
これが >1 であることを示したいんでつが．．． 増すますむずぽ．．．．．
716:１３２人目の素数さん
04/12/04 20:19:09
>>704(1)(6) を教えてたもれ。
さっぱりわからん。
717:１３２人目の素数さん
04/12/05 05:17:19
早く教えれ
718:１３２人目の素数さん
04/12/05 09:28:15
>>717
上げんなボケ！氏ね！
719:１３２人目の素数さん
04/12/05 15:28:39
>704(1), 716-717
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと s^3 -4st+9u≧0, s^2-3t≧0. [>>611]
左辺 = (t/u) - (3/s),
右辺 = 2(t^2 -2su)/[(s^2 -2t)u],
左辺 - 右辺 = {(s^3 -4st+9u)t +(s^2 -3t)}/[su(s^2 -2t)] ≧0.
ぬるぽ
720:711
04/12/05 15:58:52
>712
nに関する帰納法による。
n=2のとき、a^(r/2)=A, b^(r/2)=B とおくと G^r = AB, B-A ～ (b-a)r. (～は同符号の意味)
左辺 = (1+a)^r +(1+b)^r = A･(√a +1/√a)^r + B･(√b +1/√b)^r.
右辺 = (G^r)･{(1/A)(√a +1/√a)^r + (1/B)(√b +1/√b)^r}.
= B･(√a +1/√a)^r + A･(√b +1/√b)^r.
f(x)=√x +1/√x は x≧1 では単調増加だから、f(b)-f(a) ～ b-a.
∴ 左辺 - 右辺 ≡ d(a,b) = (A-B)･{(√a +1/√a)^r - (√b +1/√b)^r} ≧ 0.
d(a,b)は ある意味での「距離」である。
n>2 のとき、
a_1=･･････=a_n のとき、等号成立。
そうでないとき、a_{n-1} < G < a_n (または逆) としても一般性を失わない。
c_{n-1}=a_{n-1}･a_n/G, c_n=G とおくと、相乗平均Gは変わらない。
a_{n-1} < c_{n-1}, G < a_n (または逆) だから d(a_{n-1},a_n) ≧ d(c_{n-1},G)
∴ F_n(a_1, ･･････, a_n) ≧ F_n(a_1, ･･････, a_{n-2}, c_{n-1}, G)
= F_{n-1}(a_1, ･･････, a_{n-2}, c_{n-1})
となるが、帰納法の仮定により 右辺≧0 である。(終)
> -3≦r≦3、
要りまつか?
むずぽ
721:１３２人目の素数さん
04/12/05 18:47:31
>>720
神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!
発掘元は 「不等式への招待 P.51 注意」 からです。
その本によれば、P.49の例8を用いて証明したそうなので
条件 -3≦r≦3 がついたのかな…
722:１３２人目の素数さん
04/12/05 18:56:20
>>565(7) をたのも～。なんかできません。
s=(a+b+c)/2, x=(b+c-a)/2, y=(c+a-b)/2, z=(a+b-c)/2
とおくと、三角形の成立条件から x, y, z>0 で
s=x+y+z, a=s-x, b=s-y, c=s-z
また t=xy+yz+zx, uxyz とおくと、
（左辺）-（右辺） = (2s^3-5st-3u)/u - 18a = (2s^3-5st-3u-18su)/u
とここまでやって…
ダメポ ＞（|ﾝ：(）|￣|＿
723:１３２人目の素数さん
04/12/05 20:45:54
a=b=c=1で成り立ってないけど。
724:凡例
04/12/06 00:25:20
>720
r<-3, 3<r には反例が．．．
a_1=1, a_k=2 (k=2 to n), n=10, G=2^[(n-1)/n]=1.8660659830736, r=4 のとき,
左辺 = 745 < 746.49040900637 = 右辺.
a_1=2, a_k=1 (k=2 to n), n=10, G=2^(1/n)=1.0717734625363, r=-4 のとき,
左辺 = 0.574845679012346 < 0.575995685961706 = 右辺.
したがって -3≦r≦3 は必要と思われ。
725:720
04/12/06 01:35:12
>724
㌧ｸｽ.
2個の相乗平均√(a_{n-1}a_n)が全体の相乗平均Ｇと異なるため、そのままの比較は無理のようでつ。
すまそ。
726:１３２人目の素数さん
04/12/07 16:45:29
>>565(7)は、通分してゴリゴリするのは地獄を見そうだし…
なにかいい手があるのかな？
727:１３２人目の素数さん
04/12/07 21:48:15
>722,726
a,b,cに上限があるですか。相似拡大していったら成り立たな伊予柑．．．
ぬるぽ
728:１３２人目の素数さん
04/12/07 22:12:12
>>704(6) について、(a+abc)/(1+ab+abcd) = a(1+bc+bcde)/(1+ab+abcd) - 1/(1+ab+abcd)
これと相加相乗を使えば、示すべき不等式は
1/(1+ab+abcd) + 1/(1+bc+bcde) + 1/(1+cd+cdea)+ 1/(1+de+deab) + 1/(1+ea+aabc) ≦ 5/3
ここまでいけたけど…。まさか、あとは差をとるのですか？
（´д｀；）ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ
729:１３２人目の素数さん
04/12/07 22:30:19
>>728
> 1/(1+ab+abcd) + 1/(1+bc+bcde) + 1/(1+cd+cdea)+ 1/(1+de+deab) + 1/(1+ea+aabc) ≦ 5/3
この式は成り立たない。
最初から、a=q/p, b=r/q, c=s/r, d=t/s, e=p/t と置き換えると式が見やすくなる。
後は、相加相乗でもコーシーシュヴァルツでもお好きなように。
730:１３２人目の素数さん
04/12/07 22:55:33
>>729 サンクス。
正の数 p, q, r, s, t を用いて a=q/p, b=r/q, c=s/r, d=t/s, e=p/t とおくと、示すべき不等式は
(q+s)/(p+r+t) + (r+t)/(q+s+u) + (s+u)/(r+t+p) + (t+p)/(s+u+q) + (u+q)/(t+p+r) ≧ 10/3
ここから頑張るんですね。やってみまつ。
731:１３２人目の素数さん
04/12/07 22:59:28
>>730
しまった、uはなかった…
732:１３２人目の素数さん
04/12/07 23:14:14
示すべき不等式は
(p+q+r+s+t){1/(p+r+t) + 1/(q+s+p) + 1/(r+t+q) + 1/(s+p+r) + 1/(t+q+s)} ≧ 25/3
これは Caushy-Schwarzの不等式から成立。
(；´д｀)ﾊｧﾊｧ
733:１３２人目の素数さん
04/12/08 00:16:34
>>723>>727
>>565(7)の発掘元をやっと再発見。下の２ページ目。
URLﾘﾝｸ(www.math.nwu.edu)
734:１３２人目の素数さん
04/12/08 02:30:20
>>704(7)
a^4+b^4+c^4 = 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)-(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
かつ a+b+c>0 だから、示すべき不等式は
(a+b+c)^3 ≧ 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc とおくと、
（左辺）-（右辺） = s^3-27(s-2a)(s-2b)(s-2c) = 4[(2s^3-7st+9u)+5(s^3-4st+9u) ≧ 0
等号成立条件は a=b=c。
〔蛇足〕
2s^3-7st+9u = (a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2 ≧ 0
s^3-4st+9u = a(a-b)^2 +c(b-c)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) ≧0 [>>611]
>>729
>最初から、a=q/p, b=r/q, c=s/r, d=t/s, e=p/t と置き換えると式が見やすくなる。
この置き換えに (；´д｀)ﾊｧﾊｧ
735:１３２人目の素数さん
04/12/08 02:35:24
>>704(4)の方針が立ちません。たのも～。
736:１３２人目の素数さん
04/12/08 02:46:45
>>735
a = p+(q/√3), b = -p+(q/√3), c = r+(s/√3), d = -r+(s/√3) と置き換えると式が見やすくなる。
737:１３２人目の素数さん
04/12/08 02:59:26
>>704 735
xy座標導入して三点O(0,0)、A(a,b)、B(c,d)を考える。これら三点がなす三角形の面積は1/2
また、問題は原点中心に三点を回転させても一般性を失わないので、(0,0)、(a,0)、(c,d)と置き直してもよい。
従って、題意を示すにはad=1を満たす時、a^2+c^2+d^2+ac≧√3を示せという問題に置き換えることができる。
d=1/aより、dを消去し
a^2+c^2+(1/a^2)+ac
≧(1/a^2) + (3a^2/4)
≧√3
ぬるぽ
738:１３２人目の素数さん
04/12/08 03:43:30
>>736-737 ありがとうございます。やってみます
>>680
>>647(4)の解答の右側の証明についてですが、チェビシェフの不等式より
3(x+y+z) ≧ {(a+x)+(a+y)+(a+z)}・{x/(a+x) + y/(a+y) + z/(a+z)}
展開して整理すると
2(x+y+z) ≧ {(a+z)・x/(a+x) + (a+x)・y/(a+y) + (a+y)・z/(a+z)} + {(a+y)・x/(a+x) + (a+z)・y/(a+y) + (a+x)・z/(a+z)}
となるから、「右辺第２項 ≧ 右辺第１項」 を示せば
2(x+y+z) ≧ 2(右辺第１項) … (★)
となって完成ですよね。（発掘元の問題が誤植ですが…）
そこで (★) を証明したいのですが、これはどうするのでしょうか？
739:１３２人目の素数さん
04/12/08 03:44:52
>>738の書き間違い
「右辺第２項 ≧ 右辺第１項」 …(★) をどうやって示すのですか？
740:１３２人目の素数さん
04/12/08 04:32:02
>>737
なるへそ！
図形で考えるとは思いもしなかったです。
(；´д｀)ﾊｧﾊｧ
741:１３２人目の素数さん
04/12/08 04:52:53
>738
a_i, b_j が共に単調増加列（単調減少列）のとき、
Σ[i=1,n] a_i･b_{n+1-i} ≦ Σ[j=1,n] a_j･b_Pj ≦ Σ[k=1,n] a_k･b_k
を使ったと思われ。P(j)は任意の順列。
742:741
04/12/08 10:01:40
[741] の略証
S= Σ[j=1,n] a_j･b_Pj とおく。Pは {1,2,････,n} に作用する置換･････ｽﾏｿ.
Pは互換（2元の交換）を何回か続けたものだが、互換については下が成り立つ。
a<A, b<B のとき、(AB+ab)-(Ab+aB) = (A-a)(B-b) ≧0. a>A, b>B のときも同じ。
∴Ｐの転置数を減らすとSは増大し、転置数を増やすとSは減少する。
∴ P(j)=n+1-n のときSは最小で、P=I のときSは最大（終）。
743:１３２人目の素数さん
04/12/08 14:58:52
>741-742
ありがとうございます。
数学オリンピック事典P.165にある 「並べ替え不等式」 とかいうやつですね。
（同順序積の和） ≧ （乱順序積の和） ≧ （逆順序積の和）
a+x, a+y, a+z と x/(a+x), y/(a+y), z/(a+z) の大小は一致するから、>742の証明から、
同順序積からの転置数が小さいほど大きいことが分かるんですよね。
a+x, a+y, a+z を x, y, z で、x/(a+x), y/(a+y), z/(a+z) を X, Y, Z と略すと、>739の (★) は
yX+zY+xZ ≦ zX+xY+yZ … (☆)
最も大きい （同順序積の和） = xX+yY+zZ から見ると、(☆) の両辺の転置数はともに２だから
xX+yY+zZ ≧ zX+yY+xZ ≧ yX+zY+xZ
xX+yY+zZ ≧ zX+yY+xZ ≧ zX+xY+yZ
であることは分かるけれども、(☆) が成り立つことは分からないような気がしますが…。
744:１３２人目の素数さん
04/12/08 15:00:04
>>743 不等号の向きの下記間違い…
> yX+zY+xZ ≧ zX+xY+yZ … (☆)
745:１３２人目の素数さん
04/12/08 15:11:41
>>743-744
なんでわざわざ遠回りする？
x=(a+x)*(x/(a+x))
x+y+z = (a+x)*(x/(a+x)) + (a+y)*(y/(a+y)) + (a+z)*(z/(a+z))
≧ (a+z)*(x/(a+x)) + (a+x)*(y/(a+y)) + (a+y)*(z/(a+z))
↑
741
746:１３２人目の素数さん
04/12/08 15:16:05
たとえば x≧y≧z、X≧Y≧Z のとき、
（同順序積） = xX+yY+zZ ≧ zX+yY+xZ = （逆順序積）
が成り立ちますが、転置数は１ですよね。
単純に転置数が多いほど小さくなるとすると、（逆順序積）よりも
転置数の大きい yX+zY+xZ や zX+xY+yZ のほうが小さくなって…。
何か混乱してしまいました。解説をよろしくお願いします。
il||li ＿|￣|○ il||li
747:１３２人目の素数さん
04/12/08 15:20:49
>>745
∑(￣□￣；)！！
ありがとうございます。こんな簡単なことだったのか…
748:１３２人目の素数さん
04/12/08 15:22:48
>>746
> 単純に転置数が多いほど小さくなるとすると
ここが変だよん
749:１３２人目の素数さん
04/12/08 15:28:43
>748
嗚呼、なるほど。
転置数の数でなくて、転置する２組の大小関係に注目しないといけないんですね。
転置する aX+bY と aY+bX について同順序積のほうが大きいんでしたね。
勘違いしてました…
晒し上げられてしまったけど、少し賢くなったので良し…
il||li _|￣|○ il||li
750:742
04/12/08 17:59:00
>748-749
たしかに私の説明が変だな。スマソ。
751:１３２人目の素数さん
04/12/08 19:59:43
x>1, y>1, z>1, 1/x + 1/y + 1/z = 2 のとき、
√(x+y+z)≧√(x-1)+√(y-1)+√(z-1)
を示せ。
752:１３２人目の素数さん
04/12/08 20:21:47
趣旨違うかも知れんが
任意の実数xに対して、
x^4 - x^3 + x^2 - x + 21/64 > 0
を示せ。
753:１３２人目の素数さん
04/12/09 01:59:50
>>737
ふと疑問に思ったんですが、O(0,0)、A(a,b)、B(c,d)の△OABを原点の周りに回転させると
O(0,0)、A(\sqrt{a^2+b^2}, 0)、B(*,*)←略 だから、(0,0)、(a,0)、(c,d)と置き直すのはマズイかなと…
その証明では b=0 の特別な場合を証明したに過ぎないような気がするのですが…
754:１３２人目の素数さん
04/12/09 02:02:11
>>753
そーかな？
文字を新しく置き直したと見ればいいんじゃない？
755:１３２人目の素数さん
04/12/09 02:05:07
>>753
a^2+b^2 = OA^2
c^2+d^2 = OB^2
ac+bd = OA*OB*cos∠AOB
ad-bd = △OABの面積( ただし、符号つきで考える )
で△OABを原点中心に回転する。
756:１３２人目の素数さん
04/12/09 02:20:13
>>754-755
アホな質問に付きあってもらって、ありがとうございます。
回転させて、頂点を改めて(0,0)、(a,0)、(c,d) と置き直すと、
考察する不等式も、変わってしまうと思うんです。
757:１３２人目の素数さん
04/12/09 02:38:27
う～～ん、実は俺もよく分からないのだが
△ABCの面積が2の時
OA^2+OB^2+OA・OB≧√3
を示せという問題だと解釈すれば、いくら回転しても題意には影響を与えず、
回転した後、Aのy座標が0になるようにすればいいのではないか？
という事なんじゃない？
758:１３２人目の素数さん
04/12/09 03:15:32
>>757
・ 文字を置き換える → 変数変換 → 考察する不等式も変数変換すべきでは？
・ 文字だけ置き換えて考察する不等式は変えない → b=0 という特別な場合を考察
だと思うんですよね。
で、>755のヒントにしたがってゴリゴリ証明してみました。
O(0,0)、A(a,b)、B(c,d)の△OABの面積をS、∠AOB=θとおくと、条件式は
1 = |ad-bc| = 2S = √(|OA|^2|OB|^2-(OA・OB・cosθ)^2) … (★)
より、|OA|・|OB| = 1/sinθだから、
a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd = |OA|^2+|OB|^2+OA・OBcosθ = (|OA|-|OB|)^2+(2+cosθ)/sinθ
ここで、f(θ) = (2+cosθ)/sinθ の最小値を 0<θ<π で考えると、
f'(θ) = -(1+2cosθ)/(sinθ)^2
より、θ=2π/3 で極小かつ最小値をとる。したがって
(★) ≧ f(θ) ≧ f(2π/3) = √3
759:１３２人目の素数さん
04/12/09 03:29:54
三点(0,0)、(a,b)、(c,d)に対し回転行列
a/√(a^2+b^2) , b/√(a^2+b^2)
-b/√(a^2+b^2) , a/√(a^2+b^2)
を作用させる。
行列を
X Y
-Y X
とかけば
(a,b) → ( Xa+Yb , 0)
(c,d) → ( Xc+Yd , -Yc+Xd )
a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd≧√3が成立するならば
(Xa+Yb)^2 + 0^2 + (Xc+Yd)^2 + (-Yc+Xd)^2 + (Xa+Yd)(Xc+Yd)≧√3
も成立するはず
新しく
aをXa+Yb
bを0
cをXc+Yd
dを-Yc+Xd
で置き直せば>>737になると思う。
760:１３２人目の素数さん
04/12/09 12:07:50
>752
趣旨違うかも知れんが
x-(1/4) =X とおくと、任意の実数Xに対して、
左辺 = X^4 +(5/8)X^2 -(5/8)X + (33/256) = (X^2 -1/8)^2 +(7/8)(X-5/14)^2 + (3/1792) >0.
ぬるぽ
761:１３２人目の素数さん
04/12/09 14:36:45
>>759
ありがとうございます。
762:１３２人目の素数さん
04/12/09 14:52:51
>>751
(x-1)/x + (y-1)/y + (z-1)/z = 3-(1/x + 1/y + 1/z) = 1
だから、Caushy-Schwarzの不等式より
x+y+z = (x+y+z){(x-1)/x + (y-1)/y + (z-1)/z} > {√(x-1)+√(y-1)+√(z-1)}^2
両辺の平方根を取れば、示すべき不等式を得る。
もし等号が成立するとしたら、２つのベクトルが平行のときだから、
k(√a, √b, √c,) = (√(x-1), √(y-1), √(z-1))
これを条件式下で解くと、a=b=c=2/3 となるので、根号内条件に反する。
763:１３２人目の素数さん
04/12/09 15:45:22
>>762
最後の部分が変ですよ。
764:１３２人目の素数さん
04/12/09 15:50:52
>>763
㌧ｸｽ。
もし等号が成立するとしたら、２つのベクトルが平行のときだから、
k(√x, √y, √z,) = (√{(x-1)/x}, √{(y-1)/y}, √{(z-1)/z})
これを条件式下で解くと、a=b=c=2/3 となるので、根号内条件に反する。
765:１３２人目の素数さん
04/12/09 15:55:44
>>764
x=y=z=3/2で等号成り立つでしょ。
766:１３２人目の素数さん
04/12/09 16:11:30
>>765
あ、ほんとだ…
767:１３２人目の素数さん
04/12/09 16:15:00
>>762
訂正
等号成立条件は
k(√x, √y, √z,) = (√{(x-1)/x}, √{(y-1)/y}, √{(z-1)/z})
を条件式下で解いて x=y=z=3/2
il||li ＿|￣|○ il||li
768:１３２人目の素数さん
04/12/09 21:22:52
x>0, x≠1 のとき
log(x)/(x^3-1) < (x+1)/{3(x^3+x)}
を示せ。
769:１３２人目の素数さん
04/12/09 21:35:43
>>768
高校生の宿題は、質問スレに書け！
770:727
04/12/09 21:38:36
>>565(7)
[733] により修正された問題。 まづ余弦定理を使って a,b,c で表わす。
左辺 = (b+c)cosＡ)/(a^2) + (c+a)cosＢ/(b^2) + (a+b)cosＣ/(c^2)
= {(b+c)(b^2 +c^2 -a^2)/a +(c+a)(c^2 +a^2 -b^2)/b +(a+b)(a^2 +b^2 -c^2)/c}/(2abc).
次に基本対称式 s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc とおくと s^3 -4st+9u≧0, t^2 -3su≧0, s^2 -3t≧0 [>>611]
左辺 = {t(s^3 -4st+9u) +2s(t^2 -3su)}/(2u^2) + 3(s^2 -3t)/(2u) + t/u
≧ t/u = 1/a +1/b +1/c ≧ 右辺.
３角形ぢゃなくても成り立ちそうな．．．
ぬるぽ
771:768
04/12/09 21:59:58
出典はGreen Bookなんだが...
まあ、そう見えるか。
772:１３２人目の素数さん
04/12/09 22:18:57
LCM(a,b)はa,bの最小公倍数を表すとする。
m＞nなる自然数m,nに対し
LCM(m,n) + LCM(m+1,n+1)＞2mn/√(m-n)
を示せ
若干趣旨がずれるかも知れないがネタ補給
773:１３２人目の素数さん
04/12/09 22:28:45
>771
Green Book って何ですか？
検索したら830件もヒットしましたが…
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
774:１３２人目の素数さん
04/12/09 22:38:04
Green Book = 青チャート
775:１３２人目の素数さん
04/12/09 23:06:11
>>773 Doverから出てる問題集があるんだよ。
776:１３２人目の素数さん
04/12/09 23:10:48
>>775
ウホッ！不等式だけの問題集？
777:１３２人目の素数さん
04/12/09 23:11:37
オラオラ！題名キボン！！
778:１３２人目の素数さん
04/12/09 23:23:37
これですか？
不等式はどのくらい載ってるんですか？
問題のレベルはどれくらいですか？
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
779:１３２人目の素数さん
04/12/09 23:35:32
この数ヲタ！ ＿＿＿ ｵﾗｯ !
ﾄﾞｯｶﾝ | | でてこい、>>771！
∩∩ | | | ∩∩
| | | | | | | | | | |
..( ,,) .| | | (・ｘ・ ）
/ .つ━ﾛ|ﾛ ﾄﾞｶﾝ l |Ｕ
～（ / | ｜ |⊂＿ |～
し'∪ | | | ∪
780:771
04/12/10 00:27:12
>>778 そう、それ。普通の問題集だから、不等式の問題は殆ど載ってません。ごめんね。
"preparation for the Putnum" と書いてあるので、教養レベルくらいだと思うが、
高校生でも解けそうな問題もあります。
kalvaのページで紹介されていたので、けっこう有名な本なのかと思ったのだが。
781:１３２人目の素数さん
04/12/10 01:04:48
>>752,>>760
ピタッと最小値を出してやろうとして、x-(1/4) =X とおいて
x^4-x^3+x^2-x = X^4 +(5/8)X^2 -(5/8)X - (51/256) = (t^2-a^2)^2+b(t-a)^2+c
を計算したら、aが３乗根を含む形になったので止めた…
782:１３２人目の素数さん
04/12/10 02:14:30
【問題】 実数 x, y に対して 4 + x^2y^4 + x^4y^2 - 3x^2y^2 の最小値を求めよ。
ASU 1981 問22
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
783:１３２人目の素数さん
04/12/10 06:24:16
【問題】 整数 a, b, c, d が a>b>c>d>0、ad=bc をみたすとき、(a-d)^2 ≧ 4d+8 を示せ。
784: ◆BhMath2chk
04/12/10 07:00:02
>>772
ｍ－ｎはｇｃｄ（ｍ，ｎ）とｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）の倍数。
ｇｃｄ（ｍ，ｎ）とｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）はそれぞれｍとｍ＋１の約数なので
互いに素だからｍ－ｎはｇｃｄ（ｍ，ｎ）ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）の倍数。
ｇｃｄ（ｍ，ｎ）ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）≦ｍ－ｎ。
ｌｃｍ（ｍ，ｎ）＋ｌｃｍ（ｍ＋１，ｎ＋１）
＝ｍｎ／ｇｃｄ（ｍ，ｎ）＋（ｍ＋１）（ｎ＋１）／ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）
＞ｍｎ／ｇｃｄ（ｍ，ｎ）＋ｍｎ／ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）
≧２ｍｎ／√（ｇｃｄ（ｍ，ｎ）ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１））
≧２ｍｎ／√（ｍ－ｎ）。
785:１３２人目の素数さん
04/12/10 08:37:09
>782
相加･相乗平均により、1 +x^2y^4 +x^4y^2 ≧ 3x^2y^2, 与式 ≧ 3, 等号成立は xy(x+y)(x-y)=0 のとき.
高校生でも解けそうな問題．．．．ぬるぽ
786:785
04/12/10 08:40:45
．．．と思ったら間違えた。
等号成立は x =±1, y =±1 のとき。ぬるぽ
787:１３２人目の素数さん
04/12/10 10:53:51
>768
Ln のマクローリン展開 Ln(1-t) = -Σ[k=1,∞) (1/k)t^k より
Ln{(1+t)/(1-t)} = Ln(1-t^2) -2･Ln(1-t) = Σ[k=0,∞) {2/(2k+1)}･t^(2k+1).
∴ (1/2t)Ln{(1+t)/(1-t)} = Σ[k=0,∞) {1/(2k+1)}･t^(2k)
< (2/3) + (1/3)Σ[k=0,∞) t^(2k) = (2/3) + 1/{3(1-t^2)} < {1+(t^2)/3}/(1-t^4).
ここで (1+t)/(1-t)=x とおくと t=(x-1)/(x+1).
{(x+1)/2(x-1)}Ln(x) < 2/3 + {(x+1)^2}/(12x) < {(x^2 +x+1)(x+1)^2}/{6(x^3 +x)}.
∴ Ln(x)/(x^3 -1) < (x+1)/{3(x^3 +x)}.
大関：「不等式への招待」p.46 例題6 (1987)
788:１３２人目の素数さん
04/12/10 14:22:46
f(x)=(x+1)(x^3-1)/(x^3+x)-3log(x)
f'(x)=(x-1)^4(x^2+x+1)/(x^3+x)^2
f'(x)>0 & f(1)=0
789:１３２人目の素数さん
04/12/10 19:03:36
>>785
等号は (x, y) = (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1) のとき成立ですな。
790:785
04/12/10 20:08:06
>789
仰せのとおり。㌧ｸｽ.
>788
それなら高校の宿題に出てもおかしくない．．．
>781
趣旨違うかも知れんが
最小値 = 0.0016782234764･･･ > 0.00167410714285714 = 3/1792. [>>760 の下限]
X = (1/2)[(5/18)^(1/3)]{(√6 +9/4)^(1/3) - (√6 -9/4)^(1/3)} = 0.35582958618827･･･
x = X + 1/4 = 0.60582958618827･･･
ぬるぽ
791:１３２人目の素数さん
04/12/10 20:18:22
ﾈﾀ補給
各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B ∠C＞π/2を満たす。
この時、AB+BC+CA≧77を示せ。
792:１３２人目の素数さん
04/12/10 21:14:13
m,nを正の整数とする。
Σ[ k^(m/(k^2)) ] ＜ n+m( 2^(m/4)-1 )
[x] はガウス記号
793:１３２人目の素数さん
04/12/11 17:10:30
age
794:１３２人目の素数さん
04/12/11 20:08:12
>>793 上げんな、落ちこぼれ！
＿＿＿＿＿＿＿＿__
.|＜) ＜) ＜) ＜) ＜) |
―─＝≡ ∧＿∧ ガッ. |＜) ＜) ＜) ＜) ＜) |
─＝≡ （,, ・∀・） 、_人. . |＜)∧__∧ ) ＜) ＜) |
─＝≡ ○_ と )＿_ _ _,) ,,; ＝≡ (（ ）, ＜) ＜) | ザクッ
─＝≡ > (´__） _) ∴; ＝≡≡ ｀）## . つ ＜) ＜) |
─＝≡ ( ／￣￣￣ ) '' ＝≡ ⊂ 、 ノ、) ＜) ＜) |
( ノ ⌒Y´ .|＜) ｀(_ノ＜) ＜) ＜) |
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795:１３２人目の素数さん
04/12/11 21:30:03
>791
等号成立は AB=33, BC=28, CA=16 のとき [cos(A)=17/32, cos(B)=7/8, cos(C)=-7/128<0]
これだけぢゃ仕方ないが．．．
>792
f(x)=Ln(x)/(x^2) とおくと f '(x)={1-2Ln(x)}/(x^3) ∴ x≧√e ≒1.6487212707 でf(x)は単調減少.
k>2 ⇒ k^{m/(k^2)} < 2^(m/4)
左辺は Σ[k=1,n] ･･･ と書いた方がいいYo.
ぬるぽ
796:795
04/12/12 18:51:02
>792 （続き）
a_k = k^{m/(k^2)} とおく。 [795] より 1 = a_1 < a_k ≦ a_2 = 2^(m/4).
(i) m≦5 のときは計算実行する。
m≦3 のときは a_k ≦ a_2 < 2 ∴ 左辺 = n < 右辺 で成立。
m=4,5 のときも a_2 <3, a_k ≦ a_3 < 2 （k>2）. ∴ 左辺 = n+1 < 右辺 で成立。
(ii) m≧6 のとき、m > 5.77078016355585 = 4/Ln(2).
a_1 = 1 < a_2 > a_k より Ln(a_k) < Ln(a_2) = m･Ln(k)/(k^2) = b.
y=exp(x) は下に凸だから、0<x<b ⇒ exp(x) < 1 + {exp(b)-1}(x/b).
∴ a_k < 1 + (a_2 -1){Ln(a_k)/b}.
下の補題を使って Σ[k=1,n] a_k < n + {4/Ln(2)}(a_2 -1)S_n < n + m(a_2 -1).
797:795
04/12/12 18:52:26
>792 (続き)
【補題】S_n = Σ[k=2,n] Ln(k)/(k^2) <1.
（略証）S_n = S_5 + Σ[k=6,n) {Ln(k)-1}/(k^2) + Σ[k=6,n] 1/(k^2).
< 0.44637574128158 + Σ[k=6,n) {Ln(k)/[(k-1)k] -1/(k^2)} + Σ[k=6,n] 1/(k^2)..
ところで、y=Ln(x) は 上に凸だから、Ln(k) +1/k > Ln(k+1).
(第2項) < Σ[k=6,n) {Ln(k)/[(k-1)k] -1/(k^2)} = Σ[k=6,n) {Ln(k)/(k-1) - [Ln(k)+1/k]/k}
< Σ[k=6,n) {Ln(k)/(k-1) - Ln(k+1)/k} = Ln(6)/5 - Ln(n+1)/n ≒ 0.35835189384561 - Ln(n+1)/n.
(第3項) < Σ[k=6,n] 1/(k^2) < (π^2)/6 -Σ[k=1,5] 1/(k^2) ≒ 0.18132295573712.
∴ S_n < 0.98605059086431 - Ln(n+1)/n <1. (終) ぬるぽ
798:795
04/12/12 20:33:48
>792 (続き)
S_n の上限値をピタッと出してやると S = Σ(k=2→∞) Ln(k)/(k^2) ≒ 0.91685416570･･･ に成増た。
ぬるぽ
799:798
04/12/13 20:09:19
また間違えた。 S ≒ 0.9375482･･･ に訂正でつ。
∧＿∧
（ ´Д｀ ） まことに
/ ヽ
し､__X__,ﾉJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ すいませんでした。
⊂ （ ） ⊃
V￣V
800:１３２人目の素数さん
04/12/14 01:52:03
>>368
おまいのようなやつがいるから、>>349 >>350のような話になるんだろうが。
＿＿＿＿＿＿＿＿__
＿＿＿＿＿＿＿＿__
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801:１３２人目の素数さん
04/12/14 01:52:26
ごめん、誤爆
802:１３２人目の素数さん
04/12/14 03:40:27
雑魚の巡回ルートに入っているのかな？
定期的に意味不明なage荒らしがあるが…
氏ぬぇぇぇ～
803:１３２人目の素数さん
04/12/14 12:00:30
>797 の別法
[795] より f(x) ≡ Ln(x)/(x^2), 原始函数はF(x)=-{1+Ln(x)}/x.
次に S_n ≡Σ[k=1,n] f(k) ≦ ∫_[1,n+1/2] f(x)dx < ∫_[1,∞) f(x)dx
= F(∞) - F(1) =1. を示す。
f(2) ≒ 0.1732868 < 0.2334837 = F(5/2) - F(1) = ∫_[1,5/2] f(x)dx.
k≧3 のときは f '(x) = [1-2Ln(x)]/(x^3), f "(x) = [6Ln(x)-5]/(x^4)
∴ x > exp(5/6) ≒ 2.301 ⇒ f(x)は下に凸。
∴ f(k)< ∫_[k-1/2, k+1/2] f(x)dx = F(k+1/2) - F(k-1/2).
804:796
04/12/14 22:20:51
[796]の下から4行目の右半分 Ln(a_k) < Ln(a_2) = m･Ln(2)/4 = b.
死んでお詫びを．．．(AA省略)
[799] S≒0.937548254325
805:１３２人目の素数さん
04/12/15 15:24:38
>>704(2) の類題があるYo.
>>149（解答 >>157, >>162）
806:１３２人目の素数さん
04/12/15 15:27:16
>>805
Σ(ﾟДﾟ ｵｰｯ!! ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
807:１３２人目の素数さん
04/12/16 08:57:51
>>704(5)
-a+b+c=x, a-b+c=y, a+b-c=z とおくと三角不等式が外れて、
x,y,z≧0, x+y+z=a+b+c, a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2.
∴ (a^2)b +(b^2)c +(c^2)a = [(x+y+z)^3 -{(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x}]/8 ≦ (1/8)(x+y+z)^3 = (1/8)(a+b+c)^3.
等号成立は (x,y,z)=(1,0,0) & rotations, (a,b,c)=(0,1/2,1/2) & rotations のとき.
次に (4/27)(x+y+z)^3 -{(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x} ≧0 を示す。
x,y≧z≧0 としても一般性を失わない。x-z=X, y-z=Y とおくと X,Y≧0.
(x+y+z)^3 = (X+Y+3z)^3 = (X+Y)^3 +27z{(1/3)(X+Y)^2 +(X+Y)z +z^2}.
(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x = (X^2)Y + 3z{(1/3)(X+Y)^2 +(X+Y)z +z^2}.
∴ (4/27)(x+y+z)^3 -{(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x} ≧ (4/27)(X+Y)^3 -(X^2)Y = (1/27)(X-2Y)^2･(4X+Y) ≧0.
等号成立は X-2Y=z=0, (x,y,z)=(2/3,1/3,0) & rotations, (a,b,c)=(1/6,1/3,1/2) & rotations のとき.
[704]の解答のレス番（主なもの）
(1) 719 (2) 805 [>>149,>>157] (3) 714 (4) 736-737 (5) これ (6) 729 (7) 734
ぬるぽ
808:807
04/12/16 13:02:11
>>704(8)
左辺 = 3 +(b/a +a/b) +(c/b +b/c) +(a/c +c/a) = 9 +{(b-a)^2}/ab +{(c-b)^2}/bc +{(a-c)^2}/ca
≧ 9 + 3[{(b-a)^2 /ab}{(c-b)^2 /bc}{(a-c)^2 /ca}]^(1/3) = 9 + 3[(1- a/b)(1- b/c)(1- c/a)]^(2/3) ≡右辺.
ぬるぽ
809:１３２人目の素数さん
04/12/17 20:59:17
△ABCの内心をO、内接円の半径をrとすると、
OA+OB+OC≧6r を示せ。
810:１３２人目の素数さん
04/12/17 21:48:41
>807
乙でございます。なるほど、その置き換えだったんですね。
>808
なんだ、相加相乗だったのか… il||li ＿|￣|○ il||li
>809
簡単なのに難すぃ…
811:１３２人目の素数さん
04/12/17 22:09:43
ネタ補充
(1) 1対1の上への関数 f : [0,1]→[0,1] は狭義単調増加であるとし、逆関数をgとおく。
0<t<1のとき、∫[0,1] (f(x)+g(x))^t dx≧(2^t)/(1+t) を示せ。
(2) 平面上に5点A,B,C,D,Eがあるとき、AB+CD+DE+EC≦AC+AD+AE+BC+BD+BEを示せ。
(3) 非負実数係数のn次多項式f(x)のn次の係数と定数項は1であり、
f(x)=0の解は全て実数とする。このとき、f(2)≧3^n を示せ。
(4) (2*4*6*...*100)/(1*3*5*...*99)>12 を示せ。
812:１３２人目の素数さん
04/12/17 22:34:41
私もネタ補充。いつもと違う出題形式ですが…
【問題】 調和平均について、どのくらいの不等式を知ってますか？
このスレの不等式コレクションには２つしかありませんが…
a と b の調和平均を H(a, b) で表すことにすると、
[>>647(1)] H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1
[>>647(6)] H(a+b, c+d) ≧ H(a, b) + H(c, d)
下側の不等式は、繰り返し用いたら いくらでも長く出来そうですね。
他にもあったら教えてたも。
813:１３２人目の素数さん
04/12/18 00:15:20
>>809
一般的に三角形ABCの内部に点Pを取り、Pから各頂点への距離の和をA
各辺への距離の和をBとおけば、A≧2Bが成立する。これはそれの特殊な場合かと。
2chでは
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:267番)
に解答が載ってる。
ぬるぽ
814:１３２人目の素数さん
04/12/18 19:57:31
>809,813
それぢゃあこっちには三角函数を使わない方法を載せておこう。
Pから3辺 BC, CA, AB に下した垂線を PD, PE, PF とする。
∠QAB=∠CAP であるような半直線AQを引き、B,CからAQに下ろした垂線をBM,CNとする。
2角相等により △ABM∽△APE ∴ PA･BM=c･PE
2角相等により △ACN∽△APF ∴ PA･CN=b･PF
∴ PA = (c･PE+b･PF)/(BM+CN).
ところが、半直線AMNと辺BCとの交点をQとすると, BM + CN ≦ BQ + QC = BC = a.
∴ PA ≧ (c/a)PE + (b/a)PF.
循環的に加えれば PA+PB+PC ≧ (c/b +b/c)PD +(a/c +c/a)PE +(b/a +a/b)PF ≧ 2(PD+PE+PF).
等号の成立は △ABCが正三角形で, Pがその中心 という場合だけ。 [東山和生氏による]
ほかにパッポスの定理や(外接円に関する)トレミーの定理を使う方法もあるらしい。
〔参考文献〕
｢数学の問題 第(1)集｣ No.53 日本評論社(1977) [数セミ,４０(2) (2001,Feb.)で再出題]
N.D.Kazarinoff: "Geometric Inequalities", RandomHouse(1961) → 数理科学,１(4),サイエンス社(1963.10)
P.Erdosの問題: Amer.Math.Monthly (1935) → 大関:｢不等式への招待｣ p.14 近代科学社(1987.12)
815:１３２人目の素数さん
04/12/19 02:03:39
a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。
ab≧10を示せ
816:１３２人目の素数さん
04/12/20 12:01:45
>811(4)
(4)
【補題】 [2*4*6*･･･*(2n)]/[1*3*5*･･･*(2n-1)] > √(3n+1).
(略証)
(左辺)^2 = (2n+1)Π[k=1,n] {(2k)^2}/{(2k-1)(2k+1)}
= (2n+1)Π[k=1,n] {1 +1/((2k-1)(2k+1))} > (2n+1){1 +Σ[k=1,n] 1/((2k-1)(2k+1)) }
= (2n+1){1+(1/2)Σ[k=1,n] (1/(2k-1) -1/(2k+1)) } = (2n+1){1+(1/2)[1-1/(2n+1)]} = 3n+1.
∴ 与式 > √151 =12.288206
上記Σの初めの項を別扱いすれば少し増加して、
左辺 > √{3n+1 +(n-1)/9} ≒ √156.4444 = 12.507775
左辺 > √{3n+1 +(n-1)/9 +4(n-2)/225} = √157.29778 = 12.541841
なお、Stirling の公式 n!≒ n^(n+1/2)･exp(-n +1/(12n))･√(2π) から、
(左辺) = {(2^n)(n!)}^2 /(2n)! = (4^n)/Ｃ[2n,n] ≒ √(πn)･exp(1/8n) = 12.564513
817:816
04/12/20 17:55:23
>811(4)
Stirlingの不等式 n^(n+1/2)･exp(-n)･√(2π) < n! < n^(n+1/2)･exp(-n +1/(12n))･√(2π) から、
(左辺) = {(2^n)(n!)}^2 /(2n)! > √(πn)･exp(-1/24n) = 12.522701
ぬるぽ