04/10/20 21:41:05
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【補題】a,b,c>0 のとき、u=(abc)^(1/3)とおくと
1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/{u(1+u)}.
（略証）(解２)と同様に 1+abc = (1+a) -a(1+b) +ab(1+c).
∴ (1+abc)/{a(1+b)} = (1+a)/{a(1+b)} -1 +b(1+c)/(1+b).
循環的に加えて相加・相乗平均を使えば
(1+abc)(左辺) ≧ 3(1/u -1 +u) = 3(1+u^3)/{u(1+u)}
∴ 左辺 ≧ 3/{u(1+u)} (終).
なお、3/{u(1+u)} ≧ 3/(1+u^3) = 3/(1+abc) は (1+u^3)-u(1+u) = (1-u)(1-u^2) ≧0 から明らか。