04/10/18 14:32:30
>499(4) その手があったか、さすが！ /lァ／lァ
501:１３２人目の素数さん
04/10/19 21:40:20
>497
(2) 左辺をＳとおく。
a/(b+c) +2b/(c+d) - {(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1} = (b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)] >0.
∴ a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1.
循環的に加えて相加・相乗平均を使えば
3Ｓ > 2Σ[k=1,n] (a_k +a_{k+1})/(a_{k+1} +a_{k+2}) -n > 2n-n = n.
ただし a_{n+1}=a_1, a_{n+2}=a_2 とした。
∴ Ｓ≧ n/3.
ぬるぽ
502:１３２人目の素数さん
04/10/20 07:13:38
>501 a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1
不等式神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
こんな不等式、自力では逆立ちしても思いつきませんです。 (;´Д`) ﾊｧﾊｧ
ゝ_i/ / // / | l / ! | l i 〉' ⌒⌒_/
｢ﾐ| / /ｨ'｢´! ! l l ｣___| l |l _,くﾐ ､_/￣´
〈 j | ﾊ{ ,l-ﾆ!､ | l | ,|=､|ヽ|l/! 'ヽ,-ｧ
ヽ } j' {i'r':j! ,.=､ヾ!/ r'
| i' ,, ゞ=' i!-':i! i!' /
┃ ┏━┃ { ﾄ､ r‐‐- ､_ﾞ''=' / / /. ┃┃┃
━┏┛ ┏━┃ ━━━ﾄ、 ﾉ ━━━━┛ ┃┃┃
━┏┛ ┛ ┃ .〉/ / （ ｀ｰ-ｧ' .r｢ / / /. ┛┛┛
┛ ┃ l/ /_____ゝ<´ l | ∧ ' i/ ┛┛┛
∧--‐‐‐''"ヽヽ_! | 〉 /
/ﾄ､ @/ ヽ_/ /｀-/
/ ! ヽ { r.‐‐‐┐ / /
j @ l !(ﾟ∀ﾟ)l / /
503:１３２人目の素数さん
04/10/20 12:38:57
[477] 正の数 a,b,c に対して、次の不等式を示せ。
1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/(1+abc)
（解１） 次式を整理すれば得られる。 こんなもの思いつかんわい！
ab(1+b)(1-ca)^2+bc(1+c)(1-ab)^2+ca(1+c)(1-ab)^2 ≧ 0
（解２） 相加相乗平均の関係を用いる。 簡単だが気づかんわい！
(1+abc)(左辺)+3
＝ {(1+abc)/(a+ab)+1} + {(1+abc)/(b+bc)+1} + {(1+abc)/(c+ca)+1}
＝ {(1+a)/(a+ab) + (b+bc)/(1+b)} + {(1+b)/(b+bc) + (c+ca)/(1+c)} + {(1+c)/(c+ca) + (c+ca)/(1+a)}
＝ {(1+a)/(a+ab) + (a+ab)/(1+a)} + {(1+b)/(b+bc) + (b+bc)/(1+b)} + {(1+c)/(c+ca) + (c+ca)/(1+c)}
≧ 6
（解３） 並べ替え不等式 （同順序積）≧（逆順序積） を用いる。かっこよすぎ！
(1+abc)(左辺)
＝ (1/a)*{1/(1+b)}+b*{1/(1+ 1/a)} + (1/b)*{1/(1+c)}+c*{1/(1+ 1/b)} + (1/c)*{1/(1+a)}+a*{1/(1+ 1/c)}
≧ (1/a)*{1/(1+ 1/a)}+b*{1/(1+b)} + (1/b)*{1/(1+ 1/b)}+c*{1/(1+c)} + (1/c)*{1/(1+ 1/c)}+a*{1/(1+a)}
＝ 1/(1+a) + a/(1+a) + 1/(1+b) + b/(1+b) + 1/(1+c) + c/(1+c)
＝ 3
（元ネタ） URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
＿＿＿
|┃三 .／ nCr ＼ ＿＿＿＿＿＿＿＿
|┃ |:::: ＼ .／ | ／
|┃ ≡|::::: (● (●| ＜ ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .∀....ノ ＼
|┃=＿＿ ＼ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
504:501
04/10/20 21:41:05
>503
【補題】a,b,c>0 のとき、u=(abc)^(1/3)とおくと
1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/{u(1+u)}.
（略証）(解２)と同様に 1+abc = (1+a) -a(1+b) +ab(1+c).
∴ (1+abc)/{a(1+b)} = (1+a)/{a(1+b)} -1 +b(1+c)/(1+b).
循環的に加えて相加・相乗平均を使えば
(1+abc)(左辺) ≧ 3(1/u -1 +u) = 3(1+u^3)/{u(1+u)}
∴ 左辺 ≧ 3/{u(1+u)} (終).
なお、3/{u(1+u)} ≧ 3/(1+u^3) = 3/(1+abc) は (1+u^3)-u(1+u) = (1-u)(1-u^2) ≧0 から明らか。
505:１３２人目の素数さん
04/10/20 22:00:01
. + . * ／￣￣￣￣￣￣＼ ■ ■
■ ■■■ . ／ ＿ノ ≧ ,＿ノ＼ .+ ☆ . ■ ■
■■■■ ■ ■ / / iﾆ)ヽ, /rj:ヽヽ ヽ ■ ■
■ ■ ■ ■■■■■■■l::::::::: ;〈 !:::::::c! ' {.::::::;､! 〉 .|■■■■■■■■ ■ ■
.■■■■ ■ ■■ |:::::::::: (つ`''" `'ｰ''(つ | ■ ■
■ ■ +. ☆ 。. . |::::::::::::::::: ＼＿＿_／ | ☆ . * +.
■ ■ ヽ:::::::::::::::::::. ＼／ ノ . . . +☆ .● ●
506:１３２人目の素数さん
04/10/21 13:41:11
[442](2) a,b,c,d>0に対し
\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)/4} ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}
ここで、次式が成り立つ。
(a+b+c+d)/4 ≧ \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}
ということで、次の２つの大小関係は定まりますか？
\sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}, \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}
507:１３２人目の素数さん
04/10/21 13:48:36
あぁ書き忘れた。もう一回書き直すと
[473](2)と[506]の真ん中より、a,b,c,d>0 に対し
\sqrt{(a^2 +b^2 +c^2 +d^2)/4} ≧ (a+b+c+d)/4 ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}
(a+b+c+d)/4 ≧ \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}
右側の２つは比較できないかなと言うことでした。
508:１３２人目の素数さん
04/10/21 14:24:32
>506-507
>>455 (474), >>480 の辺りにないか？
ぬるぽ
509:508
04/10/21 18:01:28
>506
Q. 次の２つの大小関係は定まりますか？
{(abc+bcd+cda+dab)/4}^(1/3), sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}
A. 定まらないと思われ．．．
a=b≠c=d のとき, 左辺 = {ac(a+c)/2}^(1/3) < (a+c)/2 = 右辺.
a=c≠b=d のとき, 左辺 = {ab(a+b)/2}^(1/3) > sqrt(ab) = 右辺.
a=b=c≠d のとき, 左辺 = {a^2･(a+3d)/4}^(1/3) < sqrt{a(a+d)/2} = 右辺.
∵ {a･[(a+3d)/4]^2}^(1/3) < (a+d)/2. より {a^(1/2)･(a+3d)/4}^(1/3) < sqrt{(a+d)/2}.
ぬるぽ
510:１３２人目の素数さん
04/10/21 21:59:25
なるほど、ありがとうございまする。
511:１３２人目の素数さん
04/10/22 08:27:32
[>>455] の不等号の根号の中身は逆ですね。正しくは
\sqrt{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6} ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}
死んでお詫びを…（ＡＡ略） まとめると、こんな感じですか。
A = \sqrt{(a^2 +b^2 +c^2 +d^2)/4}
B = (a+b+c+d)/4
C = \sqrt{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6}
D = \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}
E = \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}
F = \sqrt[4]{abcd}
A ≧ B ≧ C ≧ D ≧ F
B ≧ E ≧ F
CとE、DとEの大小は定まらない。
512:１３２人目の素数さん
04/10/22 16:16:30
あげ
513:480
04/10/22 20:30:31
>511 ついでに
C ≧ {(C^4)/B}^(1/3) ≧ D ≧ {C(F^2)}^(1/3) ≧ F.
>492,503
なぜかnＣrヲタがやって来る．．．
ぬるぽ
514:１３２人目の素数さん
04/10/23 02:15:00
a,b,c,d,p,q,r,s>0 かつ a + b + c + d = 1 かつ p + q + r + s = 1 のとき，
a log(a/p) + b log(b/q) + c log(c/r) + d log(d/s) ≧ 0 を示せ．
515:514
04/10/23 02:16:05
log は自然対数．
516:１３２人目の素数さん
04/10/23 05:40:00
>515
下に凸なf(x)=log(1/x)に対して、Jensenの不等式を用いると
af(a/p)+bf(b/q)+cf(c/r)+df(d/s)
≧ f(a*(p/a)+b*(q/b)+c*(r/c)+d*(s/d))
＝ f(p+q+r+s)
＝ 0 ＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼ ＿＿＿＿＿＿＿＿
|┃ |:::: ＼ .／ | ／ 不等式と聞いちゃぁ
|┃ ≡|::::: (● (●| ＜ 黙っちゃゐられねゑ…
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .∀....ノ ＼ ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ
|┃=＿＿ ＼ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
517:１３２人目の素数さん
04/10/23 05:53:20
>513
さすが不等式神ッ！ 常に一歩先を行くぅ～。そこに痺れる憧れるぅ～。
３変数でやると、A ≧ B ≧ C ≧ D が成立。ただし
A = (a+b+c)/3
B = \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)/8}
C = \sqrt{(ab+bc+ca)/3}
D = \sqrt[3]{abc}
（AAの額が nCr だったのは、言われるまで気づかなかったミス。
不等式ヲタ ＝ nCrヲタ ＝ 三角関数ヲタ ＝ 関数方程式ヲタ なのは公然の秘密）
518:１３２人目の素数さん
04/10/23 07:16:09
>>516
お見事！
519:１３２人目の素数さん
04/10/23 07:28:47
【問題A】 正の数 a,b,c が ab+bc+ca=1 をみたすとき
(1) [1994 Hong Kong]
a(1-b^2)(1-c^2)+b(1-c^2)(1-a^2)+c(1-a^2)(1-b^2) ≦ (4√3)/9
(2)
a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)
≧ 2a(1-a^2)/{(1+a^2)^2} + 2b(1-b^2)/{(1+b^2)^2} + 2c(1-c^2)/{(1+c^2)^2}
【問題B】 正の数 a,b,c が abc=1 をみたすとき
(3) [1997 Romania]
(a^3+b^3)/(a^2+ab+b^2) + (b^3+c^3)/(b^2+bc+c^2) + (c^3+a^3)/(c^2+ca+a^2) ≧ 2
(4) [2000 Hong Kong] さらに a≧b≧c のとき
(1+ab^2)/(c^3) + (1+bc^2)/(a^3) + (1+ca^2)/(b^3) ≧ 18/(a^3+b^3+c^3)
【問題C】 正の数 a,b,c が a^2+b^2+c^2=s をみたすとき
(5) [1991 Poland] s=2のとき、a+b+c ≦ 2+abc
(6) [1999 Belarus] s=3のとき、1/(1+ab) + 1/(1+bc) + 1/(1+ca) ≧ 3/2
| | | | |┃| :|
| | | | |┃|i | ／ 条件不等式と聞いちゃあ
| | | | ｶﾞﾀｶﾞﾀ |┃| ＜ 黙っちゃゐられねゑ…
| | | |＿＿＿＿＿＿|ミ | .i.| | ？ 開かない・・・？
| |￣￣￣￣￣￣| | |┃|:. ,| ＼
| | | | |┃| i|
520:513
04/10/23 16:08:27
>517
そこまで言われるとつい．．．．でに
A ≧ B ≧ (AC^2)^(1/3) ≧ C ≧ {(C^4)/A}^(1/3) ≧ D.
（略証）相加･相乗平均を使う。
A = (1/2){(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3} ≧ B
A ≧ D, C ≧D より
B^3 = (a+b)(b+c)(c+a)/8 = [(a+b+c)(ab+bc+ca) -abc]/8 = (9AC^2 -D^3)/8 ≧ AC^2,
∴ B ≧ (AC^2)^(1/3).
A^2 = (1/9)(a+b+c)^2 ≧ (ab+bc+ca)/3 = C^2.
∴ (AC^2)^(1/3) ≧ C ≧ {(C^4)/A}^(1/3).
C^4 = {(ab+bc+ca)/3}^2 = {(x+y+z)/3}^2 ≧ (xy+yz+zx)/3 = [(a+b+c)/3]abc = A(D^3),
∴ {(C^4)/A}^(1/3) ≧ D.
ぬるぽ
521:問題追加
04/10/23 21:50:40
【問題D】正の数 a,b,c に対して
(7) [1997 Ireland] a+b+c≧abc のとき、a^2+b^2+c^2 ≧ abc
>520 キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
522:追加と疑問？
04/10/24 06:17:45
【問題B】 に追加。 正の数 a,b,c が abc=1 をみたすとき
(8) [1997 TOT]
1 ≧ 1/(1+a+b) + 1/(1+b+c) + 1/(1+c+a)
(9) [1997 Bulgaria]
1/(2+a) + 1/(2+b) + 1/(2+c) ≧ 1/(1+a+b) + 1/(1+b+c) + 1/(1+c+a)
この２つの不等式は、一つにまとめられそうな予感。でも、どうなるんでしょう？
＿＿＿
.／ ≧ ＼ 神降臨待ち
|:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
523:１３２人目の素数さん
04/10/24 08:22:43
Youngの不等式の多変数バージョンってあったっけ？
524:１３２人目の素数さん
04/10/24 09:09:12
>523 見たことないです。
>522 (8)(9) できた。
正の数 a,b,c が abc=1 をみたすとき、次式が成立。
1 ≧ 1/(2+a) + 1/(2+b) + 1/(2+c) ≧ 1/(1+a+b) + 1/(1+b+c) + 1/(1+c+a)
〔証明〕
a+b+c=x, ab+bc+ca=y, abc=1 を用いると、示すべき不等式は
1 ≧ (4x+y+12)/(4x+2y+9) ≧ (x^2+4x+y+3)/(x^2+xy+2x+y)
ただし、相加平均・相乗平均の関係から x, y≧3 に注意する。
（左側） 示すべき不等式は y≧3 だから成立。
（右側） x-3=s, y-3=t とおくと s, t≧0。分母を払って差をとると
(4x+y+12)(x^2+xy+2x+y)-(4x+2y+9)(x^2+4x+y+3)
＝ 3x^2y+xy^2+6xy-5x^2-y^2-24x-3y-27
＝ 3s^2t+st^2+30st+4s^2+2t^2+27s+54t
≧ 0
|
＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／＿＿＿＼ 等号成立条件は、いずれも a=b=c=1 のとき。
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | 簡単でした。
|::::: (● (● |
ヽ::::... .ワ.....ノ
525:501
04/10/24 10:42:43
>497 (1)
0≦a≦b≦c≦d≦1 は所与とする。
(1+a)-d, d-c, c-b, b-a の和が1だから
Max{(1+a)-d, d-c, c-b, b-a} = w ≧1/4.
そこで xとして 幅wの区間の中点をとると、
Min{|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|} = w/2 ≧ 1/8.
左辺 < 8+8+8+8 = 32.
ぬるぽ
526:１３２人目の素数さん
04/10/24 19:49:31
＿＿＿ >525 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
.／ ≧ ＼ いつもながら素晴らしい！結局こうですね。
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | 4 ≦ 1/|x-a| + 1/|x-b| + 1/|x-c| + 1/|x-d| ≦ 32
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
527:１３２人目の素数さん
04/10/25 10:32:44
>>525
いや、やっぱり分かりません。
たとえば a = b = c = d = 0 のとき、
（左辺） < 4/|x| → ∞ (x→0)
だから、いくらでも大きくなるような気がします。
528:１３２人目の素数さん
04/10/25 12:42:54
>525 2-3行目は
1-d, d-c, c-b, b-a, a-0 の和が1だから
Max{1-d, d-c, c-b, b-a, a} = w ≧1/5
とすべきでは？
まだ問題の意味が分かってないけれど…
529:１３２人目の素数さん
04/10/25 13:44:48
いや、525でよかった。すみません。
530:１３２人目の素数さん
04/10/26 08:02:16
>519 (3～7)
【問題B】 abc=u≧1 のとき
(3) 3(a^2 -ab+b^2) - (a^2 +ab+b^2) = (a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2 ≧0.
∴ (a^3 +b^3)/(a^2 +ab+b^2) ≧ (a+b)/3.
∴ 左辺 ≧ 2(a+b+c)/3 ≧2u^(1/3).
(4) 左辺 ={1/(a^3)+1/(b^3)+1/(c^3)} + {a(b^2)/(c^3) +b(c^2)/(a^3) +c(a^2)/(b^3)}
≧ 3/u +1 ≧ 6/u ≧ 右辺.
【問題C】ａ^2 +b^2 +c^2 =s のとき
(5)
(i) a,b,c≦1 のとき、
左辺 = 3-(1-a)-(1-b)-(1-c) ≦ 3-(1-a)-a(1-b)-ab(1-c) = 3 -(1-abc) =右辺.
(ii) a,b≦1<c,s≦2 のとき、x = {1+x^2 - (1-x)^2}/2 より
左辺 = {3+s-(1-a)^2 -(1-b)^2 -(c-1)^2}/2 = 1 +s/2 +ab -{(a+b-1)^2 +(c-1)^2}/2
= 1 +s/2 +abc -{(a+b-1)^2 +(c-1)^2 +ab(c-1)}/2 ≦ 1 +s/2 +abc ≦ 右辺.
(6) 左辺 ≧ 9/(3+ab+bc+ca) ≧ 9/(3+s) = 右辺.
【問題D】(a+b+c)/(abc)=k のとき
(7) 左辺 ≧ 3{(a+b+c)/3}^2 ≧ √{3(a+b+c)(abc)}=√(3k)･abc
ぬるぽ
531:501=525
04/10/26 09:19:52
>526
まだまだ改良できると思われ．．．
1/4≦w≦1/2 のとき: 幅wの区間の反対側の区間幅≦w, 残り2つの幅の合計x+y≧1-2w.
左辺 = 2/(w/2) +1/{(w/2)+x} +1/{(w/2)+y}
(i) 1/4≦w≦1/3 のとき x,y≧1-3w
左辺 ≦ 2/(w/2) +1/{(w/2)+w} +1/{(w/2)+(1-3w)} = (4 +2/3)/w +2/(2-5w) ≦ 64/3.
(ii) 1/3≦w≦1/2 のとき x,y≧0
左辺 ≦ 3/(w/2) +1/{(w/2)+(1-2w)} = 6/w +2/(2-3w) ≦ 18+2 = 20.
(iii) 1/2<w のとき
左辺 ≦ 4/(w/2) =8/w ≦ 16.
ぬるぽ
532:１３２人目の素数さん
04/10/26 14:50:31
>530
神キタ━（ﾟ∀ﾟ）━！！！
(3) 書き間違いですね。 3(a^2 -ab+b^2) - (a^2 +ab+b^2) = 2(a-b)^2
(5) ですが、元の問題みたら、a,b,c の条件は実数でした。 死んでお詫びを…。
(7) そんな手があるとは…。
むずぽ
533:530
04/10/26 21:54:44
>532
(3)は仰せのとおり。 死んでお詫びを．．．(AA略)
(5)の修正でつ
(i) -1≦a,b,c≦1 のときは変更なし．．．
(ii) -1≦a,b≦1<c のとき、d≡ a+b-1 = ab-(1-a)(1-b)≦ab より
右辺 - 左辺 = {(a+b-1)^2 +(c-1)^2 +ab(c-1)}/2 ≧ {d^2 +(c-1)^2 +(c-1)d}/2 ≧0.
(iii) c<-1≦a,b≦1 のとき、 左辺 = (a+b+|c|) +2c ≦ 2 +(ab-2)|c| ≦ 2-ab|c| = 右辺.
(7)は 相加・相乗平均 {(a+b+c)/3}^(3/2) ≧ √{abc} を使いますた。 ハｧハｧ
ぬるぽ
534:533
04/10/27 08:04:30
(5) またまた修正
(ii) 右辺 - 左辺 = (1 +s/2 +abc) - (a+b+c) = (1/2)(a+b+c-2)^2 + (1-a)(1-b)(c-1) ≧ 0.
すまそ
535:１３２人目の素数さん
04/10/27 12:24:51
>534
>右辺 - 左辺 = (1/2)(a+b+c-2)^2 + (1-a)(1-b)(c-1)
すげー！ こんな変形 気づきません。（；´д｀）ﾊｧﾊｧ
536:１３２人目の素数さん
04/10/28 14:21:43
正の数 a, b, c が a^2+b^2+c^2=1 をみたすとき、次式の最小値をキボンヌ。
(a^5)/(b+c) + (b^5)/(c+a) + (c^5)/(a+b)
巡回的に対称だから、a≧b≧c または a≧c≧b としてよい。
前者のとき a/(b+c)≧b/(c+a)≧c/(a+b)、
後者のとき a/(b+c)≧c/(a+b)≧b/(c+a) だから、
チェビシェフの不等式により、どちらも次の同じ不等式を得る。
与式 ≧ (1/3)(a^4+b^4+c^4){a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)}
3(a^4+b^4+c^4)-(a^2+b^2+c^2) = (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2 ≧ 0 より
a^4+b^4+c^4 ≧ (1/3)(a^2+b^2+c^2)^2 = 1/3
あとは、a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) の最小値が分かれば…。 たのも～！
r～～～～～～～～～～～
＿_ _ﾉ このあと、どうすれば・・・
／__ ｀ヽ_ ⌒ヽ～～～～～～～～～～～
|〈___ﾉf レ1(
,L| しL.し'ﾞ"
"｀ "′
537:536
04/10/28 14:44:50
自己解決。 Jensenで瞬殺だった。
538:１３２人目の素数さん
04/10/28 15:14:18
ついでに条件不等式を投下。 [>>519(1)(2)]もたのも～。
(1) [1996 Poland]
a, b, c≧-3/4、a+b+c=1 のとき、a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≦ 9/10
(2) [1998 Poland]
a, b, c, d, e, f>0、a+b+c+d+e+f=1、ace+bdf≧1/108 のとき、abc+bcd+cde+def+efa+fab ≦ 1/36
も一つおまけに絶対不等式を投下。
(3) [1992 Poland]
実数 a, b, c に対して、(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 ≧ (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)
| |∥│||
┌― | |∥│|| ―┬──
｜ | |∥│|| ｜
｜ ｜ |￣￣￣ 不等式と聞いちゃあ
｜ /￣￣∨ヽ. | | 黙っちゃゐられねゑ…
｜ / ∨. ｜ |＿＿＿
｜ /___________ヽ ｜ｶﾞｼｬﾝ
｜ / | ＼／_|ヽ ｜
｜ | | ﾟ| □| ＼.| ← 不等式ヲタ
｜ | | ﾟ| |＼__|つ
｜ | | ﾟ| | ｜
539:538
04/10/28 15:23:52
書き忘れ。上の問題はここにありまつ。模範解答はないけど…。（；´д｀）ﾊｧﾊｧ
URLﾘﾝｸ(www.mimuw.edu.pl)
540:１３２人目の素数さん
04/10/28 19:26:22
>538
(2) [1998 Poland] 49th, 2nd round, 1st day(1998.2.27), No.3a
a+d>0, b+e>0, c+f>0, a+b+c+d+e+f=s, ace+bdf=u のとき、相加相乗平均より
左辺 =(a+d)(b+e)(c+f) -(ace+bdf) ≦ {[(a+d)+(b+e)+(c+f)]/3}^3 -(ace+bdf)=(s/3)^3 -u.
URLﾘﾝｸ(www.mimuw.edu.pl)
ついでに >>519
【問題A】 ab+bc+ca=t とおく。
(1) t≧1, a+b+c≧√(3t), abc≦(t/3)^(3/2) を使って
左辺 = (a+b+c)-a(ca+ab)-b(ab+bc)-c(bc+ca)+abct = (1-t)(a+b+c) + (3+t)abc
≧ (1-t)√(3t) + (3+t)･(t/3)^(3/2) = √(3t)･(1-t/3)^2.
ぬるぽ
541:501=504
04/10/28 20:19:36
>536
よけいなお世話だが．．．
（解１） b+c=A, c+a=B, a+b=C とおくと a=(B+C-A)/2, b=(C+A-B)/2, c=(A+B-C)/2.
∴ a/(b+c) = (B/A + C/A -1)/2.
循環的に加えて相加･相乗平均を使えば、
左辺 ≧ (3+3-3)/2 = 3/2.
（解２）通分して a(c+a)(a+b) +b(a+b)(b+c) +c(b+c)(c+a) - (3/2)(b+c)(c+a)(a+b)
= (1/2){(a-b)(a^2 -b^2) +(b-c)(b^2 -c^2) +(c-a)(c^2 -a^2)} ≧0.
ぬるぽ
542:１３２人目の素数さん
04/10/28 23:55:27
>541 神キタ━（ﾟ∀ﾟ）━！！！
ありがとうございまする。解法のコレクションが増えました。
今更ながら >537 に書いた方法は…
a+b+c=s とおくと 0<s≦√6。 この範囲で任意に s を固定する。
f(x) = x/(s-x) = s/(s-x)-1 は 0<x<s において下に凸だから、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ＝ f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f((a+b+c)/3) ＝ 3f(s/3) ＝3/2
となって、a=b=c (=1/√3) で最小値をとる。
543:１３２人目の素数さん
04/10/29 02:56:10
[>>519(2)] について…。
正の数 a, b, c が ab+bc+ca=1 をみたすとき
a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≧ 2a(1-a^2)/{(1+a^2)^2} + 2b(1-b^2)/{(1+b^2)^2} + 2c(1-c^2)/{(1+c^2)^2}
条件式から得られるものは、
(a+b+c)^2 ≧ 3(ab+bc+ca) = 3
a^2+b^2+c^2 ≧ ab+bc+ca = 1
1 = {(ab+bc+ca)/3}^(3/2) ≧ abc > 0
右辺の分子を 1-a^2 = (1+a^2)-2a^2 と変形して整理すると、示すべき不等式は
(4a^3)/(1+a^2)^2 + (4b^3)/(1+b^2)^2 + (4c^3)/(1+c^2)^2 ≧ a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) … (A)
右辺の分子を 1-a^2 = 2-(1+a^2) と変形して整理すると、示すべき不等式は
3a/(1+a^2) + 3b/(1+b^2) + 3c/(1+c^2) ≧ 4a/(1+a^2)^2 + 4b/(1+b^2)^2 + 4c/(1+c^2)^2 … (B)
(A), (B) のどちらか一方が示せればいいんだけど…。 むずぽ。
544:１３２人目の素数さん
04/10/29 03:06:40
a=cot(A),b=cot(B),c=cot(C)を満たす鋭角三角形ABCを考えたら？
545:543の続き
04/10/29 03:38:17
(A) の左辺にチェビシェフの不等式を用いると、
（Aの左辺）
＝ {(4a^2)/(1+a^2)}*{a/(1+a^2)} + {(4b^2)/(1+b^2)}*{b/(1+b^2)} + {(4c^2)/(1+c^2)}*{c/(1+c^2)}
≧ (1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)}*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)}
となるから、次が示されれば…。
(1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)} ≧ 1
(A) の左辺に、上とは別の方法でチェビシェフの不等式などを用いると、
（Aの左辺）
＝ 4a*{a/(1+a^2)}^2 + 4b{b/(1+b^2)}^2 + 4c*{c/(1+c^2)}^2
≧ (1/3)*(4a+4b+4c)*[{a/(1+a^2)}^2 + {b/(1+b^2)}^2 + {c/(1+c^2)}^2]
≧ (1/3)*(4a+4b+4c)*(1/3)*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2)+ c/(1+c^2)]^2
≧ (4\sqrt{3}/9)*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2)+ c/(1+c^2)]^2
となるから、次が示されれば…。
(4\sqrt{3}/9)*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2)+ c/(1+c^2)] ≧ 1
どっちも むずぽ｡
546:１３２人目の素数さん
04/10/29 03:39:35
>>544
下書きしているうちに レスが…。
ありがとうございます、考えてみまする。
547:１３２人目の素数さん
04/10/29 03:53:56
>540
> 左辺 =(a+d)(b+e)(c+f) -(ace+bdf)
この変形に勃起しました。 （；´д｀）ﾊｧﾊｧ
548:540
04/10/29 20:54:45
>538
(1) [1996 Poland] 47th, 2nd round, 1st day(1996.2.23), No.3
曲線 y=x/(1+x^2) 上の点（1/3, 3/10）で接線を引く： y= (9/50)(1/3 +4x).
x≧-3/4 ⇒ x/(1+x^2) = (9/50)(1/3 +4x) - (18/25)(x+3/4)(x-1/3)^2 ≦ (9/50)(1/3 +4x).
x=a,b,c について加えれば、 左辺 ≦ (9/50){1+4(a+b+c)}.
URLﾘﾝｸ(www.mimuw.edu.pl)
ぬるぽ
>519 (1) 下の方の不等号が逆向き、すまそ。
549:１３２人目の素数さん
04/10/30 10:06:27
このスレ、まるで初等幾何のスレだな。
違うのは図が無いところだけ。
550:１３２人目の素数さん
04/10/30 11:46:19
>>549
それは簡単に言うと馬鹿にしているのですか？
551:１３２人目の素数さん
04/10/30 18:28:53
不等式を制する者は、解析を制する。
不等式は下からの評価が結構難しい。
552:working woman
04/10/30 18:34:40
マニアックな不等式をいくら積み重ねてもしようが無いわね。
553:１３２人目の素数さん
04/10/30 19:12:52
L^2 とか、uniform space の不等式を積み重ねなさいよ。
554:１３２人目の素数さん
04/10/31 01:03:17
Ｌ -‐ '´ ￣ ｀ヽ- ､ 〉
／ ヽ＼ /
／/ / / ヽヽ ヽ〈
ヽ､レ! { ﾑ-t ﾊ li ､ i i }ﾄ､
ﾊＮ | lヽ八l ヽｊﾊVヽ､ｉ j/ l !
/ﾊ. ｌ ヽｋ=＝ , r= ､ﾉﾙｌ lＬ」
ヽN､ﾊ ｌ ┌‐┐ ﾞl ﾉl l
ヽﾄjヽ､ ヽ_ノ ノ//ﾚ′
r７７７７７７７７７tﾉ｀ ｰ r ´ﾌ/′
ｊ´ﾆゝ ｌ|ヽ _/｀＼
〈 ‐ 書き込み ｌﾄ、 / 〃ゝ、
〈､ﾈ.. .ｌＦ Ｖ=＝"／ ｲl.
ト | と思ったら ニヽ二／ ｌ
ヽ.|l. 〈ｰ- ! ｀ヽ.
|l 荒らしでした ｌﾄﾆ､_ﾉ ヾ、
|l_＿_＿_＿_＿__ｌ| ＼ ソ
555:１３２人目の素数さん
04/10/31 01:05:54
>>554
それもｋｉｎｇ信者による荒らし。
working woman をＮＧﾜｰﾄﾞしる！
556:１３２人目の素数さん
04/10/31 11:19:09
解けない人の妬みにしか聞こえんな。
557:１３２人目の素数さん
04/10/31 11:19:34
>>519 (2)
[544]の続き。 a=cot(A), b=cot(B), c=cot(C), 0<A,B,C<π/2.
A+B+C=π より
左辺 = (1/2){sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)} = 2sin(A)sin(B)sin(C).
右辺 = (1/2){sin(4A)+sin(4B)+sin(2C)} = 2sin(2A)sin(2B)sin(2C).
右辺／左辺 = 8cos(A)cos(B)cos(C)
f(x)=cos(x) は [0,π/2) で正で上に凸なので、log|cos(x)| も上に凸（∵補題）
∴ 8cos(A)cos(B)cos(C) < 8{cos[(A+B+C)/3]}^3 = {2cos(π/3)}^3 = 1.
【補題】f(x)≧0 が上に凸ならば log|f(x)| も上に凸。
（略証）{log|f(X)|} " = (f '/f) ' = {(ff " -(f ')^2}/(f^2) <0
[519] の解答のレス番（主なもの）
(1) 540 (2) 544+556 (3)～(7) 530 (8),(9) 524
ぬるぽ
558:557
04/10/31 17:48:54
[557]の後半を修正
右辺／左辺 = 8cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {2[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3
y=cos(x) は [0,π/2) で上に凸なので、
2[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3 ≦ 2cos[(A+B+C)/3] = 2cos(π/3) = 1.
すまそ
559:１３２人目の素数さん
04/10/31 19:09:38
>519 (2) について
うひょっ。㌧クスです。自分なりに解決しました。またもや Jensen を使いました。
正の数 a, b, c が ab+bc+ca=1 をみたすとき
a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≧ 2a(1-a^2)/{(1+a^2)^2} + 2b(1-b^2)/{(1+b^2)^2} + 2c(1-c^2)/{(1+c^2)^2}
>543(A) に書いたように同値変形して
(4a^3)/(1+a^2)^2 + (4b^3)/(1+b^2)^2 + (4c^3)/(1+c^2)^2 ≧ a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)
>545前半に書いたように、左辺にチェビシェフの不等式を用いて
（Aの左辺） ≧ (1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)}*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)}
したがって、次式を示せばよい。
(1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)} ≧ 1
同値変形して、結局 ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a, b, c に対して、次を示せばよい。
1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4
f(x) = 1/(1+x) は x>0 において、下に凸な減少関数であることと、(a^2+b^2+c^2)/3 ≧ (ab+bc+ca)/3 =1/3 だから、
f(a^2)+f(b^2)+f(c^2) ≦ 3f((a^2+b^2+c^2)/3) ≦ 3f(1/3) ＝ 9/4
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！Jensen
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
560:１３２人目の素数さん
04/11/01 03:19:45
>557-558 激乙。いつもありがとうございまする。
残るは >>538(3) ですね。またネタを探してきます。
561:１３２人目の素数さん
04/11/01 09:22:23
後で見るときに分かりやすいだろうから、一気に出しておきます。
とりあえず分類したものから、ボコッと投下。
発掘元は、>>539 や以下のサイトなど。（解答のないものばかり）
URLﾘﾝｸ(www.math.nwu.edu)
⊿ ○ ∇ 、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､ ';冫 ☆
┏ ━ゝヽ''／ ≧ ＼━〆Ａ!ﾟ━┓。
╋┓"〓┃ ＜ ゝ＼',冫｡' |:::: ＼ .／ |゛△│´'´,.ゝ'┃. ●┃ ┃┃
┃┃_.━┛ヤ━━━|::::: (● (● |━━━━━ ━┛ ・ ・
∇ ┠─Σ- ヽ::::... .ワ.....ノ 冫 そ',´; ┨'ﾟ,。
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○ ┃ `､,~´＋√ ▽ ',!ヽ.◇ ｏ┃
┗〆━┷ Ｚ,.' /┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
ヾ ⊿ '、´ ∇
562:絶対不等式など
04/11/01 09:23:26
再掲 >>538(3) [1992 Poland]
実数 a, b, c に対して、(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 ≧ (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)
(1) 複素数 a, b, c に対して、|\sqrt(a^2+b^2+c^2)| ≦ max(|a|+|b|, |b|+|c|, |c|+|a|)
(2) [1999 Poland] 実数 a, b, c, d に対して、(a+b+c+d)^2 ≦ 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+6ab
(3) 正の数 a, b, c に対して、(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ 9(abc)^2
(4) 正の数 a, b, c, d に対して、ab^4+bc^4+cd^4+da^4 ≧ abcd(a+b+c+d)
(5) [2003 Poland] 正の数 a, b, c, d に対して、(a+b+c+d)^3 ≦ 4(a^3+b^3+c^3+d^3)+24(abc+bcd+cda+dab)
(6) [2002 Poland] 正の数 a_k, b_k に対し、Π[k=1 to n]a_k + Π[k=1 to n]b_k ≦ Σ[k=1 to n]√{(a_k)^2+(b_k)^2}
(7) [1999 Poland] 整数 a_k, b_k に対して、 Σ[i<j](|a_i-a_j|+|b_i-b_j|) ≦ Σ[i<j]|a_i-b_j|
563:条件不等式
04/11/01 09:24:10
(1) [2000 Poland] 正の数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、a^2+b^2+c^2+2√(3abc) ≦ 1
(2) [1996 Poland] a, b, c ≧ 0 と 1/2 ≧ p, q, r ≧ 0 が、a+b+c = p+q+r = 1 をみたすとき、pa+qb+rc ≧ 8abc
(3) [1999 Turkey] a≧b≧c≧0 に対して、(a+2c)(c+3b)(b+4a) ≧ 60abc
(4) [1991 Vietnum] a≧b≧c>0 に対して、b^2c/a + c^2a/b + a^2b/c ≧ a^2+b^2+c^2
(5) [1993 Itary] 0≦a, b, c≦1 に対して、a^2+b^2+c^2 ≦ a^2b+b^2c+c^2a+1
類題に [1994 Rumania] 0≦a, b, c≦1 に対して、a+b+c ≦ ab+bc+ca+1 がありました。
(6) 0 < a, b, c < 1/2 に対して、(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1) ≧ {3/(a+b+c) -1}^3
(7) 自然数 m, n と実数 0≦x≦1 に対して、(1-x^n)^m+{1-(1-x)^m}^n ≧1
564:最大最小値問題
04/11/01 09:24:35
(1) 正の数 a, b, c に対して、(a^3+b^3+c^3)/(a+b)(b+c)(c+a) の最小値。
(2) 実数 a, b, c が a^2+b^2+c^2≠0 をみたすとき、 abc(a+b+c)/{(2a^2+b^2)(b^2+2c^2)} の最大値。
(3) a^2+b^2+c^2=1 をみたす実数 a, b, c と、非負実数 p, q, rに対して、次式の最大値と最小値。
\sqrt{(pa)^2+(qb)^2+(rc)^2} + \sqrt{(pb)^2+(qc)^2+(ra)^2} + \sqrt{(pc)^2+(qa)^2+(rb)^2}
(4) 異なる実数 a, b, c が bc+ca ≧ 1+ab+c^2 をみたすとき、次式の最大値。ただし n は自然数。
{(a-b)^(2n+1)+(b-c)^(2n+1)+(c-a)^(2n+1)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
(5)-(i) 非負実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) の最小値。
(5)-(ii) 非負実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、(1+√a)(1+√b)(1+√c) の最小値。
(6) 非負実数 a, b, c と自然数 n に対して、常に次式が成り立つような定数 k の最小値。
k(a^3+b^3+c^3)+(9-3k)abc ≧ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)
565:三角形と三角関数の不等式
04/11/01 09:24:59
(1) [1963 Eotvos] 0<x<π/2 のとき、(1/(sin x)+1)(1/(cos x)+1) > 5
(2) [1978 Austria] tan k (k = 1度, …, 44度)の相加平均をA、相乗平均をGとおくとき、A > (√2)-1 > G
(3) [1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1
(4) 0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2 [類 ： 不等式への招待 P.39 ]
(5) 0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)
(6) [1994 Poland] △ABCに対して、1/a + 1/b + 1/c ≦ 1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b)
(7) △ABCに対して、{(b+c)cosA}/a + {(c+a)cosB}/b + {(a+b)cosC}/C ≧ 9(a+b+c)
(8) 鋭角三角形ABCに対して、内接円の半径を r とするとき、
a^2(cos A/2)/\sqrt(b^2+c^2) + b^2(cos B/2)/\sqrt(c^2+a^2) + c^2(cos C/2)/\sqrt(a^2+b^2) ≧ (9r√2)/2
566:１３２人目の素数さん
04/11/01 15:27:06
>557
A+B+C=π、 0 < A, B, C < π/2 において、cosAcosBcosC ≦ 1/8 の別証明。
cosA、cosB、cosC > 0 だから、相加平均・相乗平均の関係を用いた後、
y=cos x は 0 < A, B, C < π/2 において上に凸だから、Jensenの不等式を用いる。
cosA cosB cosC ≦ [(cosA+cosB+cosC)/3]^3 ≦[cos{(A+B+C)/3}]^3 = (cos π/3)^3 = 1/8
567:１３２人目の素数さん
04/11/01 16:22:42
くだらねゑ問題が混ざってゐた。スマソ。
>>562(3)
（解１） 左辺の２つの括弧にそれぞれ相加相乗不等式で瞬殺。等号成立条件は a=b=c=1。
（解２） Schwarzの不等式を使ってから、相加相乗不等式で瞬殺。
568:もう一問だけ…
04/11/01 18:01:35
【問題】 正の数 a_1, …, a_n の総和を s とするとき、 Σ[k=1 to n]\sqrt{(s-a_k)/a_k} ≧ n\sqrt(n-1)
コーシー・シュワルツの不等式から、
Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k) ≦ \sqrt(ns)
Σ[k=1 to n]\sqrt(s-a_k) ≦ \sqrt{n(n-1)s}
相加平均・調和平均の関係から、
Σ[k=1 to n]1/\sqrt(a_k) ≧ (n^2)/Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k)
ここで行き詰まってます。たのも～（AA略）
ついでに、分子と分母を逆にした式は、チェビシェフの不等式を使って、
Σ[k=1 to n]\sqrt{a_k/(s-a_k)} ≧ (Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k))/\sqrt{n^3(n-1)s}
で合ってますか？
発掘元：S73
URLﾘﾝｸ(www.math.nwu.edu)
569:568の修正
04/11/01 18:48:34
>ついでに、分子と分母を逆にした式は、チェビシェフの不等式を使って、
> Σ[k=1 to n]\sqrt{a_k/(s-a_k)} ≧ (Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k))/\sqrt{n^3(n-1)s}
>で合ってますか？
チェビシェフの不等式のあと、相加平均・調和平均の関係を使って
Σ[k=1 to n]\sqrt{a_k/(s-a_k)} ≧ \sqr[n/{s(n-1)}]*Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k)
これ以上は綺麗にならないでしょうか？
570:１３２人目の素数さん
04/11/01 20:24:37
>559
結局、 ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a,b,c に対して、次を示せばよい。
1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4.
> f(x) = 1/(1+x) は x>0 において、下に凸な減少関数であることと、･････から、
> f(a^2)+f(b^2)+f(c^2) ≦ 3f((a^2+b^2+c^2)/3) ≦ ････
ちょっと変な希ガス。そこで迂回路↓
基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
a^2 +b^2 +c^2 = s^2 -2t, (ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2 = t^2 -2su.
∴ 9/4 -1/(1+a^2) -1/(1+b^2) -1/(1+c^2)
= {(9/4)[1+(s^2 -2t)+(t^2 -2su)+u^2]-[3+2(s^2 -2t)+(t^2 -2su)]}/{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}
= {-3+(s^2-2t)+5(t^2 -2su)+9u^2}/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}
= {(-3-2t+5t^2)+(s-u)(s-9u)}/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}.
ここで t=1, st-9u≧0 だから 左辺≧0.
ぬるぽ
571:570
04/11/01 21:00:41
>545,559
蛇足だけれど、
チェビシェフの不等式を使うところ：
(x^2)/(1+x^2) の大小と x/(1+x^2) の大小が一致することを示してほすぃ。
（前者は単調増加、後者はx=1で極大だが．．．）
ぬるぽ
572:１３２人目の素数さん
04/11/01 21:07:40
>570 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
気づきませんでした。Jensenの不等式を使ったところが逆でした。
f(a^2)+f(b^2)+f(c^2) ≧ 3f((a^2+b^2+c^2)/3)
ありがとうございます。
573:１３２人目の素数さん
04/11/01 21:17:18
>571 ﾊｯ！
しまった。後者は単調増加じゃないですね。
あちこちダメポ…。
574:１３２人目の素数さん
04/11/01 21:28:02
>545,559 のチェビシェフを使うための大小が一致することの確認。
x≧y>0のとき、
(x^2)/(1+x^2) - (y^2)/(1+y^2) = (x^2-y^2)/{(1+x^2)(1+y^2)} ≧ 0
x/(1+x^2) - y/(1+y^2) = (x-y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)} …[1]
[1] は xy ≦1 のときに ０以上になるが、
a. b. c は正の数であることと、条件式 ab+bc+ca=1 より、
ab も bc も ca も１より小さい正の数であるので、[1]>0であることが分かる。
>571 いつもながら、ありがとうございます。
575:１３２人目の素数さん
04/11/01 22:21:56
>574の最後の行の訂正。
> …[1]≧0であることが分かる。
576:１３２人目の素数さん
04/11/01 23:54:07
>563(1)
a+b+c=s、ab+bc+ca=t、abc=u とおくと、示すべき不等式は (s^2-2t)+2√(3u) ≦ 1
s=1 を代入して整理すると、√(3u) ≦ t
両辺ともに正だから、２乗の差を比較して
t^2-3u = t^2-3su = (ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2 ≧ 0
等号成立条件は、a=b=c=1/3。
左辺しか与えられてなかったら、どうやって最大が１を示すのだろう…。
577:１３２人目の素数さん
04/11/03 06:02:59
>563(3) が解けそうで解けない。
いろんな単語でWeb上を探したら、時間が掛かったけど見つけた。
URLﾘﾝｸ(www.google.com)
このサイト内で略解を見つけたけど、ハンガリー語（？）で解読不能。
URLﾘﾝｸ(matek.fazekas.hu)
数式だけ追ってみると、次のようになっていた。
【問題】 0≦a≦b≦c に対し、(a+3b)(b+4c)(c+2a) ≧60abc
(a+3b)(b+4c)(c+2a)
≧ 2(a+b)*(5/2)(b+c)*(3/2)(c+a)
＝ (15/2)(a+b)(b+c)(c+a)
≧ (15/2)*2√(ab)*2√(bc)*2√(ca)
＝ 60abc
＿＿＿
.／ nCr ＼ 最初の不等号の評価が謎。
|:::: ＼ .／ | たのも～
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
578: ◆BhMath2chk
04/11/03 09:00:00
（ａ＋３ｂ）（ｂ＋４ｃ）（ｃ＋２ａ）
≧（４（ａｂ＾３）＾（１／４））（５（ｂｃ＾４）＾（１／５））（３（ｃａ＾２）＾（１／３））
＝６０（ａ＾５５・ｂ＾５７・ｃ＾６８）＾（１／６０）
≧６０（ａ＾６０・ｂ＾６０・ｃ＾６０）＾（１／６０）
＝６０ａｂｃ。
579:１３２人目の素数さん
04/11/03 16:17:11
>578
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
ソレダッ！！
ありがとうございます！
580:１３２人目の素数さん
04/11/03 22:02:49
>>558,566 の別証明。
【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
（略証） 1-cos(x) = 2{sin(x/2)}^2 に注意.
（右側）： sin(x) は(0,π)で上に凸だから、
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ {(1/3)[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]}^3 ≦ {sin[(A+B+C)/3]}^3
= {sin(π/3)}^3 = (1/2)^3 = 1/8.
これを2乗して8倍する。
（左側）： 左辺 = cos(A)cos(B)cos(C) = -cos(A)cos(B)cos(A+B) = {sin(A)sin(B)-cos(C)}cos(C).
中辺 - 左辺 = [1-cos(A)][1-cos(B)] - {[1-cos(A)][1-cos(B)]+sin(A)sin(B)}･cos(C) + [cos(C)]^2
= [1-cos(A)][1-cos(B)] - 2√{[1-cos(A)][1-cos(B)]}･cos[(A-B)/2]･cos(C) + [cos(C)]^2
= X^2 -2XY･cos(θ) +Y^2 = |X-Y|^2 + 2XY[1-cos(θ)] ≧ 0.
（鈍角三角形のときは 左辺<0 より自明．．．．）
ぬるぽ
581:１３２人目の素数さん
04/11/03 22:18:01
>>580
その補題を使って>>538(3)が出来るはず。
582:１３２人目の素数さん
04/11/03 22:24:35
>538
(3) [1992 Poland] 44th, 1st round, (1992.Sept-Dec.), No.9
右辺の3つの因子のうちの2つの和は ≧0 だから、負の因子はあっても１つだけ。
(i) 負の因子があるとき、0>右辺 より明らか。
(ii)3つとも ≧0 のとき。
文字a,b,cの符号を変えても右辺は変わらない。また左辺は
(a+b+c)^2, (-a+b+c)^2, (a-b+c)^2, (a+b-c)^2 の中の3つの積になる。
これが最も小さくなるのは、 最大の因子 (|a|+|b|+|c|)^2 を欠く場合、すなわち同符号の場合。
∴ a,b,c >0 場合を考えれば十分。このとき、a,b,cを3辺とする鋭角三角形が存在する。
(a+b-c)(b+c-a) = b^2 -(c-a)^2 = 2ca[1-cos(B)] などにより、
左辺 = {8(abc)^2}[1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)].
右辺 = {8(abc)^2}cos(A)cos(B)cos(C).
[580]の補題（左）により、左辺＞右辺.
URLﾘﾝｸ(www.mimuw.edu.pl)
[538]の解答のレス番（主なもの）
(1) 548 (2) 540 (3) 581
ぬるぽ
583:580
04/11/04 02:01:32
[580] の途中に写しまちがい
（右側）： ･･････ ≦ {sin[(A+B+C)/6]}^3 = {sin(π/6)}^3 = (1/2)^3 = 1/8.
死んでお詫びを．．．（AA省略）
584:１３２人目の素数さん
04/11/04 14:41:43
>580-583 ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━!!!!!!!!!!
585:１３２人目の素数さん
04/11/04 16:51:13
>>580
中辺 - 左辺
= [1-cos(A)][1-cos(B)] - {[1-cos(A)][1-cos(B)]+sin(A)sin(B)}･cos(C) + [cos(C)]^2
= [1-cos(A)][1-cos(B)] - 2√{[1-cos(A)][1-cos(B)]}･cos[(A-B)/2]･cos(C) + [cos(C)]^2
のところですが、第２項の
{[1-cos(A)][1-cos(B)]+sin(A)sin(B)} = 2√{[1-cos(A)][1-cos(B)]}･cos[(A-B)/2]
は、どうやって変形したのですか？
586:580
04/11/04 22:11:27
>585
1-cos(x) = 2{sin(x/2)}^2 に注意して
[1-cos(A)][1-cos(B)] = {2sin(A/2)sin(B/2)}^2.
sin(A)sin(B) = {2sin(A/2)sin(B/2)}・{2cos(A/2)cos(B/2)}.
辺々加えて、cos()の加法定理を使いまする。
ぬるぽ
587:１３２人目の素数さん
04/11/05 09:46:52
なるほど、分かりました。
sinAsinBsinC ≦ (3√3)/8 に (1-sinA)(1-sinB)(1-sinC) を挟んでみたけど
力不足で証明できませんでした。成り立つのかさえ分かりませんが…。
>581 関係があるとは気づかなかったです。
588:１３２人目の素数さん
04/11/05 21:04:01
>562
(6) 任意の正の数 a_k, b_k に対し、Π[k=1～n]a_k + Π[k=1～n]b_k ≦ Π[k=1～n]√{(a_k)^2+(b_k)^2}
を満足するような正整数ｎをすべてキボンヌ.
ぢゃない？
URLﾘﾝｸ(www.mimuw.edu.pl)
589:１３２人目の素数さん
04/11/05 23:29:14
>>588Σ('д'*;)!!
| ／／ ／
|／／ ／┃
／￣''' ┃ ﾌﾟﾗｰﾝ
| (-＿-)
| U U
| UU
| （○）
| ヽ|〃
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
590:.
04/11/06 02:53:05
>588
n=2 はコーシー、n>2は帰納法で。n=1はだめぽ.
>587
むりぽ.
591:１３２人目の素数さん
04/11/06 04:50:54
実数 x, y に対して、xy/\sqrt{(x^2+y^2)(3x^2+y^2)} の最大値を求めよ。
>562-565 が難しいので、息抜きに簡単なのをやってみたら、できなかった…。
おねがいします。むずぽ。
問題A15.3
URLﾘﾝｸ(matek.fazekas.hu)
解答
URLﾘﾝｸ(matek.fazekas.hu)
592:１３２人目の素数さん
04/11/06 14:55:29
>>568
相加･相乗平均だけでよい。 a_1, a_2,･････,a_n の積を u とおくと、
s - a_k =Σ[i≠k] a_i ≧ (n-1)･(u/a_k)^[1/(n-1)].
∴ 左辺 ≧ sqrt(n-1)･Σ[k=1～n] {(u/a_k)^[1/2(n-1)]}/sqrt(a_k)≧ n･sqrt(n-1).
ぬるぽ
593:１３２人目の素数さん
04/11/06 16:05:26
>591 x^2 =a, y^2 =b とおくと、
(x^2 +y^2)(3x^2 +y^2) = (a+b)(3a+b) = (a√3 -b)^2 +(4+2√3)ab ≧ [(1+√3)xy]^2.
∴ 与式 ≦ 1/(1+√3) = 1/k.
【問題15.5】 [2002 Irish] Test 1
0<a,b,c<1 のとき a/(1-a) + b/(1-b) + c/(1-c) ≧ s/(1-s/3) ≧ 3u/(1-u).
ただし s=a+b+c, u=(abc)^(1/3).
594:１３２人目の素数さん
04/11/07 06:03:10
>592
ありがとうございます。 最後の部分が分かりません。
Σ[k=1～n] {(u/a_k)^[1/2(n-1)]}/sqrt(a_k) ≧ n
書き換えると、Σ[k=1～n] (u/{(a_k)^n})^[1/2(n-1)] ≧ n ですけど
なんでそうなるのかが分かりません。
595:１３２人目の素数さん
04/11/07 06:13:27
>593
なるほど！ そういうことだったのか。
ありがとうございます。
（問題15.5の証明）
下に凸な増加関数 f(x)=1/(1-x) に、Jensen と相加相乗平均を用いる。
等号成立条件は、a=b=c。
f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f( (a+b+c)/3 ) ≧ 3f( \sqrt[3]{abc} )
596:そういえば…
04/11/07 06:54:45
【問題】 正の数 a, b, c が a<b+c をみたすとき、a/(1+a) < b/(1+b) + c/(1+c)
x>0 において f(x)=x/(1+x) は増加関数だから、a<b+c より f(a) < f(b+c)
f(b)+f(c)-f(b+c) = bc(2+b+c)/(1+b)(1+c)(1+b+c) > 0
よって、f(a) < f(b+c) < f(b)+f(c)
第3回シュプリンガー数学コンテスト問題A(a)
URLﾘﾝｸ(www.springer-tokyo.co.jp)
(b)なんてただの飾りです…（以下略）
597:592
04/11/07 07:04:46
>594
相加･相乗平均により
Σ[k=1～n] (u/{(a_k)^n})^c ≧ n・Π[k=1～n] [u^(1/n)/a_k])^(nc) = n・{1}^(nc) = n
598:１３２人目の素数さん
04/11/07 21:10:50
なるほど、相加相乗を２回使ったのですか。
599:593
04/11/07 21:54:45
>595 (問題15.5)
なるほど！ そういうことだったのか。
ありがとうございます。
なお、両端だけなら相加相乗３回で出まつ。 ぬるぽ
600:593
04/11/07 22:17:15
[599]の補足 > 593
> なお、相加相乗３回で出まつ。
1/(1-a) +1/(1-b) +1/(1-c) ≧ 3/[(1-a)(1-b)(1-c)]^(1/3) ≧ 3/(1- s/3) ≧ 3/(1-u).
の各辺から３を引く。 ぬるぽ
601:１３２人目の素数さん
04/11/07 23:40:33
【問題15.1】
a,b,c≧0 のとき、 7(ab+bc+ac)(a+b+c) ≦ 2(a+b+c)^3 +9abc.
よろしくおながいします。
602:１３２人目の素数さん
04/11/08 01:52:56
>601
a+b+c=s のとき、a/s, b/s, c/s を改めて a, b, c とおけば、同じ不等式をみたす。
したがって、a+b+c=1としてよく、【問題15.1】 は次の問題に同値になる。
[1999.3 BMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、ab+bc+ca-9abc/7 ≦ 2/7
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
最小値も追加した次の不等式を示す。
【問題】 a,b,c≧0, a+b+c=1 のとき、0 ≦ ab+bc+ca-9abc/7 ≦ 2/7
（左側の証明）
対称式なので a≧b≧c≧0 としてよい。
1 = a+b+c ≧ 3c より、1/3 ≧ c ≧ 0 だから
ab+bc+ca-9abc/7 = (a+b)c + ab(1- 9c/7) ≧ 0
等号成立条件は、対称性を取っ払って a, b, c のうちの少なくとも2個が0のとき
（右側の証明）
(i) 9/7 ≦ a ≦ 1 のとき、1 ≦ 9a/7 より、bc ≦ 9abc/7.
また b+c = 1-a ≦ 2/9 より、ab+ca = a(b+c) ≦ 2a/9 <2/7 だから、不等式は成り立つ。
(ii) 0 ≦ a ≦ 9/7 のとき、(b+c)^2-4bc = (b-c)^2 ≧ 0 より、
bc ≦ (1/4)(b+c)^2 =(1/4)(1-a)^2 だから、以下のように示される。等号は a=b=c=1/3.
ab+bc+ca-(2+9abc)/7
＝ a(b+c)+bc(1- 9a/7)-2/7
≦ a(1-a)+(1/4)(1- 9a/7)(1-a)^2 -2/7
＝ -(1/28)(a+1)(3a-1)^2
≦ 0
603:601の類題
04/11/08 01:54:13
[1984.A1 IMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、0 ≦ ab+bc+ca-2abc ≦ 7/27
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
[1993.26 IMO shortlist]
a, b, c, d≧0、a+b+c+d=1 のとき、abc+bcd+cda+dab ≦ (1+176abcd)/27
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
[1999 CMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
[2000.33 MOCP]
三角形の3辺 a, b, c が a+b+c=2 のとき、2 > a^2+b^2+c^2+2abc ≧ 52/27
URLﾘﾝｸ(www.cms.math.ca)
[1989.10 ソ連]
三角形の3辺 a, b, c が a+b+c=1 のとき、1/2 > a^2+b^2+c^2+2abc
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
[2003.B1 アイルランド]
三角形の3辺 a, b, c が a+b+c=2 のとき、1 < ab+bc+ca-abc ≧ 28/27
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼ >601 呼んだ？
|┃ |:::: ＼ .／ | 私のコレクションは
|┃ ≡|::::: (● (● | 半端じゃありませんよ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ ﾊｧﾊｧ…
|┃=＿＿ ＼
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
604:１３２人目の素数さん
04/11/08 01:59:08
さぁ、遠慮なく (;´д｀)ﾊｧﾊｧ してください。
605:１３２人目の素数さん
04/11/08 03:11:44
>600
なるほど。
>>565(6) [1994 Poland] について…
△ABCに対して、1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) ≧ 1/a + 1/b + 1/c ≧ 9/(a+b+c)
両端だけなら、相加平均・調和平均の関係で出るんだけどなぁ…
606:１３２人目の素数さん
04/11/08 05:36:19
>601
直接に差をとって証明しようとすると、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u として
2(a+b+c)^3 +9abc-7(ab+bc+ac)(a+b+c) = 2s^3-7st+9u = 2s(s^2-3t)-(st-9u)
となって、だめぽ。いい方法ないですか？
607:１３２人目の素数さん
04/11/08 10:54:33
>>605
1/xの凸不等式で右側も左側もすぐに証明できるんじゃないの？
608:１３２人目の素数さん
04/11/08 12:03:51
>605,607
なるほど！ そういうことだったのか。
ありがとうございます。
「相加平均･調和平均の関係で」「右側も左側もすぐに証明できるんじゃないの？」
（左側） [1/(a+b-c) +1/(b+c-a)]/2 ≧ 1/b を循環的に加える。
>606
2(a+b+c)^3 +9abc -7(ab+bc+ac)(a+b+c) = (a-b)(a^2 -b^2) +(b-c)(b^2 -c^2) +(c-a)(c^2 -a^2).
ぬるぽ
609:608
04/11/08 12:13:27
>606
s(s^2-3t) -(st-9u) ≧0 も成り立つらしいYo.
610:１３２人目の素数さん
04/11/08 17:07:03
>607-609
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
なるほど！ ベリィ㌧クスです。
611:１３２人目の素数さん
04/11/08 20:31:05
>609
b が a, c の中間にあるとすると、(a-b)(b-c)≧0, a-b+c≧0 ゆえ,
s^3 -4st +9u = a(a-b)^2 +c(b-c)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) ≧0 ･････(1)
これと
s^2 -3t = (1/2)[ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] ≧0 ･････(2)
ts - 9u = [ c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2] ≧0 ･････(3)
t^2 -3su =(1/2)[c^2(a-b)^2 +a^2(b-c)^2 +b^2(c-a)^2] ≧0 ･････(4)
を使えば かなりできそうだが．．．．（△を除き）
ぬるぽ
612:１３２人目の素数さん
04/11/09 03:36:09
>>564(3)(5) ができそうで出来ません。 たのも～
それと、下の問題も小一時間考えても分からないので教えて下さい。
たのも～
【問題】 実数 a, b, c が abc=1 をみたすとき、
a^3+b^3+c^3+(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3 ≧ 2(a^2b+b^2c+c^2a)
URLﾘﾝｸ(www.journals.cms.math.ca)
613:１３２人目の素数さん
04/11/09 12:07:48
>>564 (3)
a,b,cの符号によらないから、a,b,c ≧0 の場合を考える。 与式を X+Y+Z とおくと、
最大値： X+Y+Z ≦ √{3(X^2 +Y^2 +Z^2)} = √{3(p^2+q^2+r^2)(a^2+b^2+c^2)}
= √{3(p^2+q^2+r^2)}.
最小値： X≧(pa+qb+rc)/(√3), Y≧(pb+qc+ra)/(√3), Z≧(pc+qa+rb)/(√3).
辺々たすと X+Y+Z ≧ (p+q+r)(a+b+c)/(√3) ≧ (p+q+r)/(√3).
>612
相加・相乗平均により、(2a^3 +c^3)/3 + (ab)^2/c ≧ (a^2)[c +(b^2)/c] ≧ 2(a^2)b.
循環的に加える。 ぬるぽ
614:１３２人目の素数さん
04/11/09 16:08:16
>>613
負の時もそれでいいの？
615:１３２人目の素数さん
04/11/09 16:12:55
>613
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
なるほどッ！
>614
考察する式には、a^2, b^2, c^2 だけで a, b, c は入っていないから
最大値最小値を考えるには、a, b, c ≧ 0 の場合を考えただけで十分でしょ。
616:１３２人目の素数さん
04/11/09 16:20:16
>>615
>>612の問題の方のことだけど
617:１３２人目の素数さん
04/11/09 19:39:43
>>534 (5)-(i)
f(x)=log(1+x^2) は 0<x<1 で下に凸だから
与式 = exp{f(a)+f(b)+f(c)} ≧ exp{3f([a+b+c]/3)} = {1 +[(a+b+c)/3]^2}^3 = (10/9)^3.
>612, 616
任意の実数に対しては成り立たない希ガス．．．(たとえば c=-1 のとき 左辺=-2, 右辺=-2b^2)
おそらく右辺の chirality が原因．．． ぬるぽ
618:１３２人目の素数さん
04/11/10 03:45:45
>>563(6) 0 < a, b, c < 1/2 に対して、(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1) ≧ {3/(a+b+c) -1}^3
f(x) = 1/x -1 は、0 < x < 1/2 において下に凸な減少関数で f(x) > 1。
したがって、0 < a, b, c <1 において f(a), f(b), f(c) > 1。
問題に手を加えて、次式を証明したい。
[f(a)+f(b)+f(c)]/3 ≧ \sqrt[3][f(a)f(b)f(c)] ≧ f((a+b+c)/3)
左辺 ≧ 中辺 … 相加相乗平均より成立
左辺 ≧ 右辺 … Jensenの不等式より成立
中辺 ≧ 右辺 … これが原題ですが、うまい方法ないでしょうか？
＿＿＿
.／ ≧ ＼ ついでに調和平均が、この不等式の
|:::: ＼ .／ | どこに入るか分かれば教えて下さい。
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆ たのも～
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆ たのも～
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
619:618
04/11/10 04:38:04
>>564(1)
a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a) より、
（与式） = [(a+b+c)^3]/[(a+b)(b+c)(c+a)] -3
相加相乗平均より、2(a+b+c) = (a+b)+(b+c)+(c+a) ≧ 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}
∴ （与式） ≧ (3/2)^3-3 = 3/8
等号成立条件は a=b=c
620:１３２人目の素数さん
04/11/10 09:44:44
>618
>>563(6) f(x) = 1/x -1 とおくと {log|f(x)|} '' = {log(1-x) -log(x)} '' = 1/(x^2) -1/(1-x)^2.
log|f(x)| は 0<x<1/2 で下に凸だから、 f(a)f(b)f(c) ≧ {f([a+b+c]/3)}^3.
ぬるぽ
621:１３２人目の素数さん
04/11/10 09:59:18
>620
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ありがとうございます！
622:１３２人目の素数さん
04/11/11 01:04:07
age
623:１３２人目の素数さん
04/11/11 02:27:09
>622
屑はageか3桁の数字を書き込むことしか出来ない
624:１３２人目の素数さん
04/11/11 12:39:49
>>563(5) [1993 Itary] 0≦a, b, c≦1 に対して、a^2+b^2+c^2 ≦ a^2b+b^2c+c^2a+1
b, c を固定して f(a) = (a^2b+b^2c+c^2a+1)-(a^2+b^2+c^2) を考える。
b=1のとき直線、0≦b<1のとき上に凸な放物線だから、区間の端点で最小値をとる。
f(0) = (1-c){c+(1-b^2)} ≧ 0
f(1) = b(1-b)+c^2 ≧ 0
類題も同様にすればいい。
625:１３２人目の素数さん
04/11/11 12:44:09
>>563(2) 綺麗な形をしているけど分からんちん。
>>563(4) できそうで できない。
>>564(4) 条件式が汚いからサッパリ。
>>564(5) できるのか、これ？
626:１３２人目の素数さん
04/11/11 12:44:46
というわけで、せんせー方、たのも～ （ＡＡ略）
627:１３２人目の素数さん
04/11/11 18:53:42
>>564(5) [>>617]
(i) f(x)=log(1+x^2) は 0<x<1 で下に凸だから
与式 = exp{f(a)+f(b)+f(c)} ≧ exp{3f([a+b+c]/3)} = {1 +[(a+b+c)/3]^2}^3 = (10/9)^3.
(ii) g(x)=1+√x は上に凸なので、log|g(x)| も上に凸
与式 = g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) = 1+√2.
628:627
04/11/11 19:19:45
訂正、 与式 = g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) = 2.
629:１３２人目の素数さん
04/11/12 06:13:10
>627-628
ありが㌧ございます。
なるほど、凸を使うのか。 （*ﾟ∀ﾟ）=3
630:１３２人目の素数さん
04/11/12 07:40:08
>627-628
(5)(ii) ですが、やっぱり分からんです。
g(x) = 1+√x は、x≧0 において上に凸で、g(x)>1 なので、
G(x) = log g(x) も、x≧0 において上に凸。 Jensenの不等式より
G(a)+G(b)+G(c) ≦ 3G((a+b+c)/3) = 3G(1/3)
∴ g(a)g(b)g(c) ≦ {g(1/3)}^3 = 2+(5/9)√3
と最大値はでますが、最小値は何故 g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) なのですか？
631:627-628
04/11/12 08:20:43
>629-630 564(5)-(ii)の補足
G(x)=log|g(x)| は上に凸: G(x) ≧ G(0)･(1-x) + G(1)･x
∴ G(a)+G(b)+G(c) ≧ G(0)･(3-a-b-c) + G(1)･(a+b+c) = G(0)+G(0)+G(1).
∴ g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1).
ぬるぽ
632:１３２人目の素数さん
04/11/12 09:03:07
>631
>G(x)=log|g(x)| は上に凸: G(x) ≧ G(0)･(1-x) + G(1)･x
凸関数をそう使うのか (;´Д`) ﾊｧﾊｧ ／lァ／lァ ／lア／lア！！
ありがとうございます。少し賢くなったような気がしまする。
凸関数があったら Jensen ばかり使っていた自分は…
633:１３２人目の素数さん
04/11/12 09:18:56
同様にすると、(5)(i) の最大値は、
f(x)=log(1+x^2) は 0≦x≦1 で下に凸だから、f(x) ≦ f(0)(1-x)+f(1)x
f(a)+f(b)+f(c) ≦ f(0)(3-a-b-c)+f(1)(a+b+c) = f(1)
∴ (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) ≦ 2
634:１３２人目の素数さん
04/11/12 09:22:56
等号が成り立つのは、x=0 または 1 のときだから、
(a, b, c) = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
635:１３２人目の素数さん
04/11/12 10:17:23
>>538(2) を 条件を a, b, c > 0、a+b+c=1 に変えると、
1/2 ≦ a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≦ 9/10
f(x) = x/(1+x^2) は 0≦x≦1 で上に凸だから、
左側は、f(x) ≦ f(0)(1-x)+f(1)x = x/2 より、右側はJensenの不等式。
うひょ～ (＊ﾟ∀ﾟ)＝3
636:１３２人目の素数さん
04/11/12 16:51:35
a, b, c≧0 が a+b+c=1 をみたすとき、a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) のとりうる値の範囲について、
最大値について、Jensenの不等式を用いたら出ないのですが、どこがおかしいか教えて下さい。
a^2(b+c)=a^2(1-a) より、f(x) = x^2(1-x) を考える。
0≦x≦1において f(x) は上に凸だから、Jensenの不等式より
a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) = f(a)+f(b)+f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3) = 2/9
等号成立条件は a=b=c=1/3。
ところが、例えば (a, b, c) = (1/2, 1/2, 0) のとき、1/4 の値をとり、これは 1/4 > 2/9 なんです。
Jensenの不等式の使い方間違ってますか？
r～～～～～
＿_ _ﾉ うっうっうっ・・・
／__ ｀ヽ_ ⌒ヽ～～～～～
|〈___ﾉf レ1(
,L| しL.し'ﾞ"
"｀ "′
637:636
04/11/12 16:55:37
ゴメン。書いてて気がついた。はずかし…
上に凸じゃないや、ダメダメだね俺。吊ってくるわ （ＡＡ略）
638:１３２人目の素数さん
04/11/12 17:07:49
スレ汚しの罰に、問題ＵＰ
0≦a, b, c≦1のとき、S=\sqrt{a(1-b)(1-c)}+\sqrt{b(1-c)(1-a)}+\sqrt{c(1-a)(1-b)} について
(1) S ≦ 1+\sqrt{abc} を示せ。等号成立条件も。
(2) S の最大値を求めよ。
Problem 175 （これって、何かの雑誌？）
URLﾘﾝｸ(www.math.nwu.edu)
639:１３２人目の素数さん
04/11/12 17:51:58
>>563(4) できそうで．．．
左辺－右辺 = (a^2)(b-c)/c - (b^2)(a-c)/a + (c^2)(a-b)/b
= a(a-c)(b-c)/c + b(a-b)(a-c)/a -c(b-c)(a-b)/b
= (a/c)(b-c)^2 + (b/a)(a-b)^2 + {a/c +b/a -c/b}(b-c)(a-b)
= (a/c)(b-c)^2 + (b/a)(a-b)^2 + {(a/c-1)+(b/a)+(1-c/b)}(b-c)(a-b)≧0.
ぬるぽ
640:三角函数ヲタ
04/11/12 22:18:24
>638 √a =sin(A/2), √b =sin(B/2), √c= sin(C/2) （0≦A,B,C≦π）とおく。
(1) S(A,B,C) = sin([A+B+C]/2) + sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) ≦ 1+√(abc), 等号成立はA+B+C=π.
(2) 2∂S/∂A = cos([A+B+C]/2) + cos(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) = 0,
2∂S/∂B = cos([A+B+C]/2) + sin(A/2)･cos(B/2)･sin(C/2) = 0,
2∂S/∂C = cos([A+B+C]/2) + sin(A/2)･sin(B/2)･cos(C/2) = 0.
∴A/2=B/2=C/2=θ, これを上式に入れて, cos(3θ) + cosθ･(sinθ)^2 =(3x^2 -2)x=0,
x=cosθ=√(2/3), θ=90ﾟ-54ﾟ44', a=b=c=1/3, ∴ S≦2/(√3).
ぬるぽ
641:１３２人目の素数さん
04/11/13 05:30:27
>639-640
キタ━（ﾟ∀ﾟ）━ ! ! !
さらりと解いてしまう、そこに しびれる あこがれる～！
642:１３２人目の素数さん
04/11/13 08:18:53
>640
その置き換えに痺れる憧れるぅ～。 (；´Д`) ﾊｧﾊｧ しました。
しかし、(2)の最大値は 9/8 ではないでしょうか？
(1)より得られた上限値 1+sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) に、Jensenの不等式を用いる。
[>>557補題] より、0≦x≦π において f(x) = log sin(x/2) は上に凸だから、
f(A)+f(B)+f(C) ≦ 3f((A+B+C)/3) = 3f(π/3)
∴ 1+sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) ≦ 1+{sin(π/6)}^3 = 9/8
等号成立条件は、A=B=C=π/3 すなわち a=b=c=1/4
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | これでいいでしょうか？
|::::: (● (● |
ヽ::::... . ワ ....ノ ／ ﾁﾝ ☆ たのも～
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆ たのも～
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
643:642
04/11/13 08:40:50
あぁそうか、勘違いしてました。
(2)はSの最大値で、1-√(abc) の最大値じゃないんですね。
∧＿∧
（ ´Д｀ ） まことに
/ ヽ
し､__X__,ﾉJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ すいませんでした
⊂ （ ） ⊃
V￣V
644:１３２人目の素数さん
04/11/13 08:55:02
あーでも変だなぁ…
どこがおかしいんだろ？
645:642
04/11/13 10:47:27
自己解決。
A+B+C=π という束縛の下で解いたから最大値が小さくなったんですね。
sin((A+B+C)/2) が1にならないときに最大となる可能性があるから…。
普通に解いてみました。
>638の最大値を求める。 >640の置き換えより、
（与式） = sin((A+B+C)/2) + sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2)
0≦x≦π において g(x) = sin(x/2) は、g(x)≧0 かつ上に凸だから、
相加相乗平均とJensenの不等式より
g(A)･g(B)･g(C) ≦ [g(A)+g(B)+g(C)/3]^3 ≦ [g((A+B+C)/3)]^3
等号成立条件は A=B=C
これと３倍角の公式から、（与式） ≦ [g(3A)+g(A)]^3 = 3g(A)-3[g(A)]^3
0≦g(A)≦1 における最大値を考えて、g(A)=1/√3 で極大かつ最大値 2/√3 をとるぽよ。
646:645の訂正
04/11/13 10:49:10
下から2行目の書き間違い
(×) これと３倍角の公式から、（与式） ≦ [g(3A)+g(A)]^3 = 3g(A)-3[g(A)]^3
(○) これと３倍角の公式から、（与式） ≦ g(3A)+[g(A)]^3 = 3g(A)-3[g(A)]^3
647:問題
04/11/13 12:52:57
ネタが尽きかけたので、補充しまつ。
【問題】 文字は全て正の数とする。
(1) 1/[1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c)] - 1/(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 1/3
(2) [1997 Belarus] a/b + b/c + c/a ≧ (b+c)/(a+b) + (c+a)/(b+c) + (a+b)/(c+a)
(3) [1995 Russia] 1/(ab) ≧ a/(a^4+b^2) + b/(a^2+b^4)
(4) [1997 Belarus] (a+y)x/(a+x) + (a+z)y/(a+x) + (a+x)z/(a+y) ≧ x+y+z ≧ (a+z)x/(a+z) + (a+x)y/(a+y) + (a+y)z/(a+z)
(5) [1997 Romania] a^2/(a^2+2bc) + b^2/(b^2+2ca) + c^2/(c^2+2ab) ≧ 1 ≧ bc/(a^2+2bc) + ca/(b^2+2ca) + ab/(c^2+2ab)
(6) [1993 Poland] (a+c)(b+d)/(a+b+c+d) ≧ ab/(a+b) + cd/(c+d)
(7) [1999 Moldova] ab/[c(c+a)] + bc/[a(a+b)] + ca/[b(b+c)] ≧ a/(c+a) + b/(b+a) + c/(c+b)
発掘先 (;´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！
URLﾘﾝｸ(myhome.personaldb.net)
URLﾘﾝｸ(myhome.personaldb.net)
648:１３２人目の素数さん
04/11/13 13:17:37
下らん不等式並べるなよ馬鹿
649:１３２人目の素数さん
04/11/13 19:15:06
>>564(6)
> 実数 a,b,c≧0 に対して、常に次式が成り立つような定数 k の最小値。
> k(a^3 +b^3 +c^3) +(9-3k)abc ≧ (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2)
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
k(s^3 -3st +3u) +(9-3k)u ≧ s(s^2-2t).
(k-1)s(s^2 -3t) -(st-9u) ≧ 0.
k=2 のときは、↓により成立。
s^3 -4st +9u = a(a-b)^2 +c(b-c)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) ≧0 ･････(1) [>>611]
k>2 のときは、これと (k-2)(a^3 +b^3 +c^3 -3abc)≧0 とを加えて成立。
k<2 のときは、a=b, c=0 の場合、左辺=2(k-2)a^3 < 0 で不成立。
----------------------------------------------------------------------
一方、ts -9u = [ c(a-b)^2 +a(b-c)^2 +b(c-a)^2] ≧0 ･････(3) [>>611]
>>601-602 [1999.3 BMO] 左側：(3)から, 右側：[>>608] または {(1)×2＋(3)}/7
>>603(1) [1984.A1 IMO] 左側：(3)から, 右側：{(1)×7＋(3)}/27
ぬるぽ
650:１３２人目の素数さん
04/11/14 04:38:37
お～なるほどッ！
651:１３２人目の素数さん
04/11/16 20:19:06
>>562
(1) |a|,|b|≧|c| とすると, |a^2 +b^2 +c^2| ≦ |a|^2 +|b|^2 +|c|^2 ≦ |a|^2 +|b|^2 +2|ab| = (|a|+|b|)^2.
(2) [1999 Poland] 50th, 1st round (1998 Sep.-Dec.), No.2
a+b=s とおくと、右辺－左辺 = 3(s^2 +c^2 +d^2) -(s+c+d)^2 = (s-c)^2 +(c-d)^2 +(d-s)^2 ≧0.
(3) 相加･相乗不等式で瞬殺。[>>567]
(4) 相加･相乗平均により (10ab^4+11bc^4+7cd^4+23da^4)/51 ≧ a(abcd). これを循環的に加える。
(5) [2003 Poland] 54th, 1st round (2002 Sep.-Dec.) No.12
4文字の基本対称式を a+b+c+d=S, ab+bc+ca+ad+bd+cd=T, abc+bcd+cda+dab=U, abcd=V とおく。
A = a^3+b^3+c^3+d^3 = S^3 -3ST +3U, B=U.
右辺－左辺－9U = 4A +15U - S^3 = 3(S^3 -4ST +9U).
【補題】S^3 -4ST +9U ≧0 は4文字の場合も成り立つ。
（略証） S^3 -4ST +8U = (a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d) ･･････ (*)
対称式だから、a≧b≧c≧d>0 としてよい。 a-b=f, b-c=g, c-d=h とおくと、U≧abc.
S^3 -4ST +9U ≧ (f+2g+h)(f+h)(f-h) + abc = (f+2g+h)(f^2-h^2) + (f+g+h+d)(g+h+d)(h+d)
≧ (f+2g+h)(f^2 -h^2) + (f+g+h)(g+h)h = f^2(f+2g+h) +gh(f+g) ≧ 0. (終)
なお、3文字のときは [>>611]
※ S^2 -(8/3)T = (1/3)Σ[i<j] (a_i-a_j)^2,
ST-6U = (1/2)Σ[i<j] (S-a_i-a_j)(a_i-a_j)^2,
S^3 -4ST +8U = S{S^2 -(8/3)T} -(4/3)(ST-6U) = (1/3)Σ[i<j] (2a_i+2a_j-S)(a_i-a_j)^2 より.
652:１３２人目の素数さん
04/11/16 20:22:17
>>562
(6) [2002 Poland] 53rd, 2nd round, 2nd day (2002.2.23) No.6
n=2 のときはコーシーの不等式、n>2 のときは帰納法で。 n=1は不成立。[>590]
(7) a_1 = b_2 ≠ a_2 = b_1 の場合を考えると･･･
[562]の解答のレス番（主なもの）
(1) [651] (2) [651] (3) [567] (4)[651] (5) [651] (6) [590] (7) ?
ぬるぽ
653:１３２人目の素数さん
04/11/17 01:13:22
>651-652
神キタ━（ﾟ∀ﾟ）━ ！！！
651(4)、うますぎる！とても作り出せない…。
abcd=1 としてゴチャゴチャやってましたができませんでした。
＿|￣|○
654:１３２人目の素数さん
04/11/17 01:16:05
連立方程式をたてて解けばいいんだよ・・・
655:１３２人目の素数さん
04/11/17 01:18:27
実数 x に対して、|sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + cosec x| ≧ 2√2 - 1
[AMM_Oct._2004 P.682] より発掘。解答は P.685
(；´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！
656:１３２人目の素数さん
04/11/17 04:07:03
s=sinx,c=cosx,s^2+c^2=1
|s+1/s+c+1/c+s/c+c/s|≧2√2-1
657:１３２人目の素数さん
04/11/17 04:29:10
>656
ドラクエでもやれば？
( ﾟ∀ﾟ) ｱﾊﾊ八八ﾉヽﾉヽﾉヽﾉ ＼ ／ ＼／ ＼
658:１３２人目の素数さん
04/11/17 13:04:33
>655
(i) 0<x<π/2 のとき 各項>0 ゆえ
与式 = {sin(x) +1/sin(x)} + {cos(x) +1/cos(x)} + {tan(x)+cot(x)} > 2+2+2 = 6.
(ii) π/2 < x < 2π のとき
z=cot(x/2) とおくと, 1-z>0.
sin(x) + cos(x)= 1 -2(1-z)/(1+z^2),
tan(x) + 1/cos(x) = [sin(x)+1]/cos(x) = -(1+z^2)/(1-z) -ｚ,
cot(x) + 1/sin(x) = [cos(x)+1]/sin(x) = z.
∴ 与式 = 1 -2(1-z)/(1+z^2) -(1+z^2)/(1-z) ≦ 1 -2√2 (←相加･相乗平均).
等号成立は、z =－(1/2)√2 ± √(√2 -1/2) のとき.
659:658
04/11/17 20:57:29
>658(ii) (補足)
[sin(x) +1]/cos(x) + [cos(x)+1]/sin(x) = [1+sin(x)+cos(x)]/[sin(x)cos(x)]
= -2/[1-sin(x)-cos(x)].
660:659
04/11/18 08:57:13
(続き)
1-sin(x)-cos(x) =y とおくと 与式 = 1-y-2/y. ∴ ｜与式－1｜ =｜y +2/y｜≧ 2√2.
661:660
04/11/18 18:08:39
（続き） 以上により↓が示された。
【命題】 F= sin(x) + cos(x) + tan(x) + cot(x) + sec(x) + cosec(x) とおくとき
F≧ 3√2 +2 または F≦-(2√2 -1).
ぬるぽ
662:１３２人目の素数さん
04/11/18 21:23:57
>>563
(1) a+b+c=s、ab+bc+ca=t、abc=u とおき、次の同次形を示す。 s^2 -2t +2√(3su) ≦ s^2. [>>576]
(2) 綺麗な形をしているけど分からんちん。
同次形は (a+b+c)^2･(pa+qb+rc) -8abc(p+q+r) ≧0.
左辺－右辺 = {(a+b+c)^2 -8bc}pa + {･･･}qb + {･･･}rc としても {･･･}≧0 とは言えない...
題意により (p+q+r)/2 ≧ p,q,r ≧0 だから、 p,q,rは三角不等式を満たす。そこで
左辺－右辺 = f(a,b;c)(p+q-r) + f(b,c;a)(-p+q+r) + f(c,a;b)(p-q+r).
f(a,b;c)≡{(a+b)+c}^2･(a+b)/2 -8abc≧ {4(a+b)c}･(a+b)/2 -8abc≧ 0.
(3) 相加・相乗平均でハァハァと [>>578]
(4) できそうで できない。 a,b≧cの使い方。[>>639]
(5) 上に凸 [>624]
類題は (ab+bc+ca+1) - (a+b+c) = (1-a)(1-b)(1-c) + abc ≧0.
(6) f(x) = 1/x -1 とおくと {log|f(x)|} '' = {log(1-x) -log(x)} '' = 1/(x^2) -1/(1-x)^2.
log|f(x)| は 0<x<1/2 で下に凸 [>>620]
(7) 0≦y≦1, n≧1 のとき 1-y^n≧1-y を使う。
[563]の解答のレス番号（主なもの）
(1) [576] (2) これ (3) [578] (4) [639] (5) [624] (6) [620] (7) これ
ぬるぽ
663:１３２人目の素数さん
04/11/19 09:44:50
>>662 ぬるぽ神 ｷﾀ─wwﾍ√ﾚvv～(ﾟ∀ﾟ)─wwﾍ√ﾚvv～─ !!!
ありがとうございます。
(2) ｳﾎｯ！ どうやって同次系の不等式を思いつくのですか？ コツがあるのでしょうか？
a+b+c も p+q+r もどちらも１なので、組合せは何通りも考えられますよね。
その後の進め方もまた （；´ρ`） ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！
(5)類題、こんなにアッサリ片付くとは…。文字を固定してゴリゴリ証明してました。
(7) うう、分かりません。 「0≦y≦1, n≧1 のとき 1-y^n≧1-y を使う」 と、
左辺第１項 ≧ (1-x)^m
左辺第２項 ≧ x^n
となるから、左辺 ≧ (1-x)^m - x^n となって、その後どうするのでしょうか？
>654 なるほど、連立方程式の立て方が分かりました。 （ ￣ー￣） ﾆﾔｿ
664:１３２人目の素数さん
04/11/19 12:11:56
>>564
基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
(1) 相加･相乗でハァハァと [>>619]
a^3 +b^3 +c^3 = s^3 -3(a+b)(b+c)(c+a)
s^3 = {(3/2)[(a+b)+(b+c)+(c+a)]/3}^3 ≧ (3/2)^3･(a+b)(b+c)(c+a).
∴ 与式 = (s^3)/[(a+b)(b+c)(c+a)} -3 ≧ (3/2)^3-3 = 3/8.
(2) 分母 = (2a^2+b^2)(b^2+2c^2) = t^2 +(b^2 -ac)^2 +a^2(b-c)^2 +c^2(a-b)^2 ≧ t^2.
∴ 与式 = us/(t^2) ≦ 1/3.
(3) 最大値：√{3(p^2+q^2+r^2)}, 最小値：(p+q+r)/(√3). [>>613]
(4) 条件式が汚いからサッパリ。
b-c=x, c-a=y とおくと a-b=(-x-y), 条件式は xy≧1.
F(x,y) = {(x+y)^(2n+1)-x^(2n+1)-y^(2n+1)}/{xy(-x-y)}
= {(x+y)^(2n) - x^(2n) +x^(2n-1)･y-････+x･y^(2n-1)-y^(2n)}/xy
= Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]+(-1)^k} x^k･y^(2n-2-k)
= Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]+(-1)^k} {x^k･y^(2n-2-k) + x^(2n-2-k)･y^k}/2
≧ |xy|^(n-1)･Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]-(-1)^k} （←相加･相乗平均）
= |xy|^(n-1)･F(1,1) ≧ F(1,1) = 2^(2n) -1.
665:１３２人目の素数さん
04/11/19 12:13:32
>>564
(5) できるのか、これ？ [>>617,>>627-631]
0<a,b,c<1, a+b+c=s のとき, g(x)=1+x^r, f(x)=log|g(x)| とおくと
f '(x) = g '(x)/g(x) = r･x^(r-1)/(1+x^r),
f ''(x) = {g(x)g ''(x)-g '(x)^2}/{g(x)}^2 = r･(r-1-x^r)･x^(r-2)/[(1+x^r)^2].
(i) r≧2 のとき f(x) は 0<x<1 で下に凸だから
log(与式) = f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f(s/3) = 3log|g(s/3)|.
f(x) ≦ f(0)(1-x) + f(1)x.
∴ g(s/3)^3 ≦ 与式 ≦ g(0)^(3-s)･g(1)^s.
(ii) 0≦r≦1 のとき g(x)=1+x^r はx>0 で上に凸
∴ f(x)=log|g(x)| も上に凸： f(x) ≧ f(0)･(1-x) + f(1)･x
∴ log(与式) = f(a)+f(b)+f(c) ≧ f(0)･(3-a-b-c) + f(1)･(a+b+c) = f(0)･(3-s) + f(1)･s.
∴ g(0)^(3-s)･g(1)^s ≦ 与式 ≦ g(s/3)^3.
(6) k≧2 成立、 k<2 不成立。 [>>649]
[564]の解答のレス番号（主なもの）
(1) [619] (2) [664] (3) [613] (4) [664] (5) [617][627] (6) [649]
ぬるぽ
666:１３２人目の素数さん
04/11/20 04:19:07
>651(5)
遅レスですが、勉強になりました。ﾊｧﾊｧ…
667:１３２人目の素数さん
04/11/20 09:05:59
>664(4)
なるへそ。条件式を変形した式から b-c=x, c-a=y とおくことに気づくわけか…
その後の nCr の計算に ﾊｧﾊｧ…
条件式から xy≧1 だし、x^k･y^(2n-2-k) も x^(2n-2-k)･y^k も正だから相加相乗か…
計算の後を追いかけるのがやっとです。とても自力で出来ません。
だめぽ ＞ （：D）|￣|＿
668:580
04/11/22 11:39:24
>587
【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8.
-1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
フランダースの不等式 とか言うらしい．．．
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
ぬるぽ
669:１３２人目の素数さん
04/11/22 13:26:17
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( ﾟ)━( )━(ﾟ )━(∀ﾟ )━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!
670:１３２人目の素数さん
04/11/22 13:52:11
>>388の証明(>>391)がよくわかんない。詳しく教えてくれ。
671:１３２人目の素数さん
04/11/22 15:43:58
>668
パトラッシュ、疲れたろう。
右側は相加相乗だけど、左側はどうするんだろうね
,.-─-、
/ /_wゝ-∠l
ヾ___ノ,. - >
/|／（ヽY__ノﾐ
.{ rｲ ノ
僕もう疲れたよ…
何だかとても眠いんだ…パトラ…
672:668
04/11/22 19:23:28
>671
f(x) = log|sin(x)| - log|x｜ とおいて f '(x) = 1/tan(x) -1/x,
f ''(x)= -1/[sin(x)^2] +1/(x^2) <0（上に凸）を使うんだろうな･･･ネロ･･･
AAらしい
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
壁紙らしい
URLﾘﾝｸ(www.accessup.org)
公式サイトらしい
URLﾘﾝｸ(www.bandaivisual.co.jp)
URLﾘﾝｸ(www.nippon-animation.co.jp)
URLﾘﾝｸ(www.nippon-animation.co.jp)
673:１３２人目の素数さん
04/11/22 21:33:28
>670
[>>391]にしたがって、まず極座標(r,θ)に変換する。
∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy = ∫{∫f(r･cosθ)g(r･sinθ)dr}/(cosθ+sinθ) dθ
次にrについてヘルダーの不等式を使う。
∫_[0,R]f(r･cosθ)g(r･sinθ)dr ≦ {∫_[0,R]f(r･cosθ)^p dr}^(1/p)･{∫_[0,R]g(r･sinθ)^q dr}^(1/q)
= {∫_[0,R･cosθ]f(r')^p dr'}^(1/p)･{∫_[0,R･sinθ]g(r")^q dr"}^(1/q)･(1/cosθ)^(1/p)･(1/sinθ)^(1/q)
→ (1/cosθ)^(1/p)･(1/sinθ)^(1/q)･F^(1/p)･G^(1/q). (R→∞)
一方、θについての積分は、
I = ∫_[0,π/2] 1/{(cosθ)^(1/p)･(sinθ)^(1/q)･(cosθ+sinθ)} dθ
となるが、ここで tanθ = t とおくと、cosθ=1/√(1+t^2), sinθ=t/√(1+t^2), dθ=dt/(1+t^2) を使えば
I = ∫[0,∞) 1/{(1+t)t^(1/q)} dt = π/sin(π/p) となる。 （←[391][396]）
∴ ∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy ≦ {π/sin(π/p)}F^(1/p)･G^(1/q).
ぬるぽ
674:１３２人目の素数さん
04/11/22 23:33:45
>>673
なるほど。
>>388に書かれてるように、真の不等号が成り立つっていうのは証明難しい？
675:673
04/11/23 01:12:56
>674
ヘルダーの不等式を使う所で、等号成立する場合がないことを示すのかなぁ？？
>>137-139, >>158 (総和形）
URLﾘﾝｸ(www007.upp.so-net.ne.jp)
676:１３２人目の素数さん
04/11/23 01:47:53
>671
フランダースの場合は あまりにも お犬さん
フランダースの場合は あまりにも 優しい
ベルギー アントワープの 大聖堂 雪の 朝に
ネロと そっと ひとつ
フランダース
(98/11/09)
URLﾘﾝｸ(www2.gol.com)
677:１３２人目の素数さん
04/11/23 04:13:26
>>672
なるへそ！ 凸な関数に目をつけるんだね、パトラッシュ。
678:１３２人目の素数さん
04/11/23 06:08:19
A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8
一方、相加相乗平均とJensenの不等式から
0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ ( [sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3 )^3 ≦ (3√3)/8
気になるのが ( [sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3 )^3 と {(3√3)/2π}^3 ABC の大小。
sin(A)+sin(B)+sin(C) = 4cos(A/2)cos(B/2)cos(B/2)
だから、f(x) = log cos(x) - (1/3)log(x) とおくと f(A/2)+f(B/2)+f(C/2) と log((3√3)/4π) の大小。
f(x) の 0<x<π/2 における凹凸が一定でないので、わからんちん。
,.-─-、
/ /_wゝ-∠l
ヾ___ノ,. - > 僕もう疲れたよ…
/|／（ヽY__ノﾐ 何だかとても眠いんだ…パトラ…
.{ rｲ ノ
679:１３２人目の素数さん
04/11/23 23:02:55
>>647(5) の類題
[2003 Baltic Way] URLﾘﾝｸ(www.liis.lv)
正の数 a, b, c に対して、2a/(a^2+bc) + 2b/(b^2+ca) + 2c/(c^2+ab) ≦ a/(bc) + b/(ca) + c/(ac)
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●|
ヽ::::......ワ...ノ ネタを仕入れるために
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ 旅立とう・・・
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
680:１３２人目の素数さん
04/11/24 01:46:36
>>647 a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと, s^2 -3t≧0, st-9u≧0, t^2 -3su≧0. これでゴリゴリ
(1) 左辺 = (1+s+t+u)/(3+2s+t)- u/t = 1/3 + [(st-9u) +2(t^2 -3su)]/[3t(3+2st+u)] ≧ 1/3.
(2) 相加・相乗平均により (ca^2/b +2ab^2/c +4bc^2/a)/7 ≧ bc. これを循環的に加えて,
(ca^2 +ab^2 +bc^2)(1/a +1/b +1/c) = (a^2 +b^2 +c^2) +(ca+ab+bc) +(ca^2/b + ab^2/c +bc^2/a)
≧ (a^2 +b^2 +c^2) +2(ab+bc+ca) = s^2.
左辺 = (ca^2 +ab^2 +bc^2)/u ≧ (s^2)/t,
右辺 = {(s^3 -st +3u) +(ca^2 +ab^2 +bc^2)}/(st-u).
[左辺－右辺]･(st-u) = (st-2u)(左辺) -(s^3 -st +3u) ≧ (st-2u)(s^2)/t -(s^3 -st +3u)
= -2(s^2)u/t +st -3u ≧ -2st/3 +st -3u = (st-9u)/3 ≧0.
(3) 1/(2ab) = a/(2a^2b) ≧ a/(a^4+b^2).
1/(2ab) = b/(2ab^2) ≧ b/(a^2+b^4).
辺々たす。
(4) 左辺 - 中辺 = (y-z)x/(a+z) +(z-x)y/(a+x) +(x-y)z/(a+y)
= [a(xz^2 +yx^2 +zy^2 -3xyz) +(t^2 -3su)]/[(a+x)(a+y)(a+z)] ≧0.
右側： x/(a+x), y/(a+y), z/(a+z) の大小と a+x, a+y, a+z の大小は一致する。
∴ チェビシェフの不等式により成立。
(5) (a^2)/(a^2 +2bc) ≧ (a^2)/(a^2 +b^2 +c^2) などより 左辺≧1.
bc/(a^2+2bc) ≦ (1/2)(b^2 +c^2)/(a^2 +b^2 +c^2) などより 右辺≦1.
なお、(左辺) + (右辺)×2 = 3.
(5)の類題[>679]： 相加･相乗平均より 2a/(a^2 +bc) ≦ a/√(au) = √(au)/u ≦ (2a^2 +b^2 +c^2)/4u.
循環的に加える。
681:１３２人目の素数さん
04/11/24 01:51:26
>>647 (続き)
(6) [1993 Poland] 44th, 2nd roud, 1st day No.1 (1993.2)
S=a+b+c+d, U=bcd+cda+dab+abc とおく。
左辺 - 右辺 = (a+c)(b+d)/S -ab/(a+b) -cd/(c+d)
= [(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)-SU]/[S(a+b)(c+d)] = (ad-bc)^2 /[S(a+b)(c+d)] ≧0.
(7) b/c=x, c/a=y, a/b=z とおくと u=xyz=1.
左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].
右辺 = 1/(y+1) +1/(z+1) +1/(x+1) = (t+2s+3)/[(x+1)(y+1)(z+1)].
[左辺－右辺]･(x+1)(y+1)(z+1) = (s^2 -2t) -s
= (1/2)[(x^2 +y^2 +z^2 -3) +(x-1)^2 +(y-1)^2 +(z-1)^2] ≧0.
ぬるぽ
682:１３２人目の素数さん
04/11/24 11:27:48
>680-681 さすが不等式王！
＿＿＿,
┏┓ ┏━┓ ／ ≧ ＼. .┏┓┏┓
┏┛┗┓┃┏┓┃ |:::: ＼ .／ | ┃┃┃┃
┗┓┏┛┃┗┛┃┏━━|::::: (● (● |━━━┓┃┃┃┃
┏┛┗┓┃┏┓┃┗━━ヽ::::... .ワ.....ノ!━━━┛┗┛┗┛
┗┓┏┛┗┛┃┃ （ （つ 丿ﾉ . ┏┓┏┓
┗┛ ┗┛ （ ヽノ ┗┛┗┛
し（＿）
683:１３２人目の素数さん
04/11/24 11:29:45
どうでもいいことだけど、>>392 + >>592 を合わせて…
非負実数 a, b, c, d に対して次式が成立。
4(a^3+b^3+c^3+d^3) + 24(abc+bcd+cda+dab) ≧ (a+b+c+d)^3 ≧ (a^3+b^3+c^3+d^3) + 15(abc+bcd+cda+dab)
（；´д｀）ﾊｧﾊｧして書いた。
不等式なら何でもよかった。
今は反省している。
684:１３２人目の素数さん
04/11/24 13:56:12
a,b,c≧0 のとき、 a^3+b^3+c^3+6abc ≧ (ab+bc+ac)(a+b+c)
（証明）
差をとれば、Schurの不等式のλ=1 の場合になる。（不等式への招待 P.28）
左辺-右辺 = a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) ≧ 0
一方、>>601 a,b,c≧0 のとき、 2(a+b+c)^3 +9abc ≧ 7(ab+bc+ac)(a+b+c) が成立。
そこで気になるのが、7(a^3+b^3+c^3+6abc) と 2(a+b+c)^3 +9abc の大小。
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、a^3+b^3+c^3 = s^3-3st+3u より
7(a^3+b^3+c^3+6abc)-[2(a+b+c)^3 +9abc]
= 5s^3-21st+54u
= 2(2s^3-7st+9u)+s(s^2-3t)-4(st-9u)
うまくいかんちん…
s, t, u に成り立つ不等式は、 s^3-27u ≧ 0 とか、
>>42より、2s^3-7st+9u = (a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2 ≧ 0
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | よろしくおねがいします！
|::::: (● (● |
ヽ::::.... ワ ....ノ ／ ﾁﾝ ☆ たのも～
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆ たのも～
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
685:１３２人目の素数さん
04/11/24 14:23:47
非負実数 a, b, c に対して、（；´д｀）ﾊｧﾊｧ できそうな不等式
(a+b)(a^4+b^4) ≧ (a^2+b^2)(a^3+b^3)
(a+b+c)(a^4+b^4+c^4) ≧ (a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)
これって、一般化できるのでせうか？
686:１３２人目の素数さん
04/11/24 14:27:37
>>685
>>153とは違うのか？
687:１３２人目の素数さん
04/11/24 15:59:55
>686 ∑(￣ワ￣；)！ 見逃してた。ありがとうございます。
>153 x_k≧0 (k=1,2,･･･,m)のとき、 F(n)≡(1/m)Σ[1≦k≦m] (x_k)^n とおくと
> (補題) bc≧0 ⇒ F(a)･F(a+b+c) ≧ F(a+b)･F(a+c).
> (系1) F(n-1)･F(n+1) ≧ {F(n)}^2.
> (系2) {F(n)}^(1/n) はnに関して単調増加.
補題で、a=b=1, c=2, m=2, 3 の場合が >685ですね。
ちなみに153は、「モノグラフ４ 不等式 P.57」より九州大の問題。
ところで、153の証明って…
688:１３２人目の素数さん
04/11/24 22:17:04
>687
項別に比べれ。
>>153 の（補題）はさくらスレ１４５にありますた．．．
109 ：PrinceMathematician◇ ：04/05/27 12:02
(補題) bc≧0 ⇔ F(a)･F(a+b+c) ≧ F(a+b)･F(a+c).
F(a)･F(a+b+c)－F(a+b)･F(a+c)
= (1/m)^2 Σ[1≦i≦m][1≦j≦m] (x_i･x_j)^a･{x_j^(b+c)-(x_i)^b(x_j)^c}
= (1/m)^2 Σ[1≦i<j≦m] (x_i･x_j)^a･{x_i^(b+c)+(x_i)^b･(x_j)^c+(x_j)^b･(x_i)^c+x_j^(b+c)}
= (1/m)^2 Σ[1≦i<j≦m] (x_i･x_j)^a･{(x_i)^b-(x_j)^b}{(x_i)^c-(x_j)^c}
～ {(x_i-x_j)b}{(x_i-x_j)c} ～ bc.
～は同符号の意味。 等号成立は x_1=x_2=･･･=x_m のとき. (終)
689:１３２人目の素数さん
04/11/24 22:20:55
>679 >>647(5) の類題
[2003 Baltic Way] URLﾘﾝｸ(www.liis.lv)
正の数 a, b, c に対し、
A = a/(bc) + b/(ca) + c/(ab)
B = 1/a + 1/b + 1/c
C = 1/√(ab) + 1/√(bc) + 1/√(ca)
D = 2a/(a^2+bc) + 2b/(b^2+ca) + 2c/(c^2+ab)
E = 3/\sqrt[3](abc)
F = 2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a)
G = 6/\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}
H = 9/(a+b+c)
とおくと
A ≧ B ≧ C ≧ D
C ≧ (E, F) ≧ G ≧ H
E, Fの大小は定まらない。(a, b, c) = (1, 1, 27), (1, 1, 1), (1, 1, 8) のとき、≧、＝、≦。
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | D と (E, F) ≧ G ≧ H は
|::::: (● (● | ドッキングできないですか？
ヽ::::.... ワ ....ノ ／ ﾁﾝ ☆ たのも～
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆ たのも～
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
690:１３２人目の素数さん
04/11/24 22:22:05
>>688
おっ！ 書き込んでいる間に。
ありがとうございます。
さっそく印刷して読みます。
691:651
04/11/24 22:53:06
>683
どうでもいいことだけど >>562 (5) を合わせて･･･ ↓が成り立たんかな？
4(a^3+b^3+c^3+d^3) + 15(abc+bcd+cda+dab) ≧ (a+b+c+d)^3.
692:683
04/11/24 22:58:41
>691
> 683 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：04/11/24(水) 11:29:45
> どうでもいいことだけど、>>392 + >>592 を合わせて…
「>>392 + >>562 を合わせて…」 の書き間違いでした。
693:１３２人目の素数さん
04/11/25 00:39:29
>>691
成り立つね。
694:683
04/11/25 02:25:58
>651の証明から成り立ってますね。㌧クス。691,693
（：D）|￣|＿
695:１３２人目の素数さん
04/11/25 03:06:07
>>689
(1,1,2)を代入してみたら H≧D だけど、もしかして常に成り立っているのかな。
696:１３２人目の素数さん
04/11/25 20:00:14
成り立ってないよ
697:１３２人目の素数さん
04/11/26 09:48:46
うちのおじいちゃんの名前 成田多内
うちのおばあちゃんの名前 成田つね
698:１３２人目の素数さん
04/11/26 10:01:07
>>696
反例キボンなり
699:１３２人目の素数さん
04/11/26 10:51:09
a = 3, b = 1, c : きわめて 0 に近い数
700:１３２人目の素数さん
04/11/26 11:01:32
>>699
ぉぉｰ、㌧ｸｽ
701:１３２人目の素数さん
04/11/26 11:43:46
>>697
ageると荒らしの目にとまる一例。
702:１３２人目の素数さん
04/11/26 12:44:30
じ
703:１３２人目の素数さん
04/11/26 17:21:41
うちのおばあちゃんの名前 成田たね
704:１３２人目の素数さん
04/11/26 20:31:40
(1) [Komal. A358] URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
正の数 a, b, c が abc=1 をみたすとき
1/a + 1/b + 1/c - 3/(a+b+c) ≧ 2(1/a^2 + 1/b^2 + 1-c^2)/(a^2+b^2+c^2)
(2) [AMM 2003.10 Prob.10944]
正の数 a, b, c が abc≧2^9 をみたすとき
1/√(1+a) + 1/√(1+b) + 1/√(1+c) ≧ 3/√(1+\sqrt[3]{abc})
以下の問題は [Bonus Problems 2] URLﾘﾝｸ(www.dpmms.cam.ac.uk)
(3) 正の数 a, b, c が abc=1 をみたすとき、a^5 + b^5 + c^5 ≧ 1/a + 1/b + 1/c
(4) 実数 a, b, c, d が ad-bc=1 をみたすとき、a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ac + bd ≧ √3
(5) 三角形の３辺の長さ a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、23/216 ≦ a^2b+b^2c+c^2a ≦ 1/8
(6) 正の数 a, b, c, d, e が abcde=1 をみたすとき
(a+abc)/(1+ab+abcd) + (b+bcd)/(1+bc+bcde) + (c+cde)/(1+cd+cdea) + (d+dea)/(1+de+deab) + (e+eab)/(1+ea+eabc) +≧ 10/3
(7) 正の数 a, b, c に対して、a^4 + b^4 + c^4 + [(a+b+c)^4]/27 ≧ 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)
(8) 正の数 a, b, c に対して、(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 3(1- a/b)^(2/3) + 3(1- b/c)^(2/3) + 3(1- c/a)^(2/3)
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●|
ヽ::::......ワ...ノ ネタを仕入れてきました
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
705:１３２人目の素数さん
04/11/26 22:17:44
（問題）
a,b>2 のとき、{1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) >1.
おながいします。
>703
ねた足りな．．．
706:662
04/11/26 23:06:45
>>663
662の(7)を修正
左辺の (1-x^n)^m =f(x) の下限を考える。
a=1-[1/(m+n)]^(1/m), b=[1/(m+n)]^(1/n) とおくと, 0<a≦b<1. （←[705]）
f_1(x) = 1-m(x^n) （0≦x≦b）,
f_2(x) = n(1-x)^m （a≦x≦1） とおく。
f_1, f_2 とも単調減少で、 f_1(x) > f_1(b) = n/(m+n) = f_2(a) > f_2(x) （a<x<b）
次に、これらが f(x) の下限となることを示す。
(1) f(x) ≧ f_1(x) （0≦x≦b）
(2) f(x) ≧ f_2(x) （a≦x≦1）
（略証）
(1) 相加･相乗平均を使う： X^m +(m-1) ≧ mX から。
(2) f(a) > f_1(a) > f_1(b) = f_2(a).
また f(x)^(1/m) = 1-x^n は上に凸、f_2(x)^(1/m)は直線だから
f(x)^(1/m) ≧ [f(a)^(1/m)/(1-a)](1-x) ≧ [f_2(a)^(1/m)/(1-a)](1-x) =f_2(x)^(1/m).
同様にして 1-f_1(x) （0≦x≦b）, 1-f_2(x)（a≦x≦1）は [1-(1-x)^m]^n の下限となる。
それぞれの区間でこれらを加えれば ≧1 となる。(終)
ぬるぽ
707:662
04/11/27 03:28:59
>706 の補足
m=1 or n=1 のときは、等号成立。
m=2, n>1 のときは、左辺 - 右辺 = (x^n){x^n +(2-x)^n -2} ≧ 0. （← y=x^n は下に凸）
よって m,n>2 の場合を考えればよい。
ぬるぽ
708:１３２人目の素数さん
04/11/30 21:41:42
>>681(7) ab/[c(c+a)] + bc/[a(a+b)] + ca/[b(b+c)] ≧ a/(c+a) + b/(b+a) + c/(c+b)
> b/c=x, c/a=y, a/b=z とおくと u=xyz=1.
> 左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].
左辺の分子は、xy^2+yz^2+zx^2+(s^2-2t)-s-3 となりますが…
709:１３２人目の素数さん
04/11/30 22:52:14
>>708
> 左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].
2番目の等号は≧の間違えでしょ。
710:１３２人目の素数さん
04/12/01 22:05:27
>>709
なるほど。㌧ｸｽです。
711:１３２人目の素数さん
04/12/01 23:11:56
マニアックな不等式教えてくれ
712:１３２人目の素数さん
04/12/01 23:30:26
＿＿＿ >711
.／ ≧ ＼ -3≦r≦3、
|:::: ＼ .／ | a_1, …, a_n ≧ 1
|::::: (● (● | G を a_1, …, a_n の相乗平均とするとき
ヽ::::... .ワ....ノ
￣￣ ＼ Σ[k=1 to n](1+a_k)^r ≧ G^r*Σ[k=1 to n]{1+ 1/(a_k)}^r
フ /ヽ ヽ
713:１３２人目の素数さん
04/12/02 10:30:53
>>711
いちいち上げんな、ボケ！
714:１３２人目の素数さん
04/12/02 21:38:22
>>704(3) 次式を回して加える。等号は a=b=c=1。
a^5+a^5+b^5+b^5+c^5 ≧ 5\sqrt[5]{a^(10)b^(10)c^5} = 5/c
715:705
04/12/03 11:35:38
まづ y = x^(2/a) 上の点（1，1）で接線を引きまつ： y = 1+(2/a)(x-1).
a<2 のときは下に凸、a>2 のときは上に凸ゆえ、
{x^(2/a)- 1 -(2/a)(x-1)}(2-a) = {x^(2/a) -(a+2x-2)/a}(a-2)≧0.
∴ {(1/x)^(2/a) -a/(a+2x-2)}(a-2) ≧0.
これをベルヌーイの不等式とか言うらしい．．．．．
a,b>2 のとき
{1/(a+b)}^(1/a) = {1/√(a+b)}^(2/a) = {(1/2)^(2/a)}・{2/√(a+b)}^(2/a)
= {(1/2)^(2/a)}・{2/√(a+b)}^(2/a) ≧ {(1/2)^(2/a)}・a/{a+√(a+b)-2}.
{1/(a+b)}^(1/b) ≧ {(1/2)^(2/b)}・b/{b+√(a+b)-2}.
左辺 ≧ {(1/2)^(2/a)}・a/{a+√(a+b)-2} + {(1/2)^(2/b)}･b/{b+√(a+b)-2}.
これが >1 であることを示したいんでつが．．． 増すますむずぽ．．．．．
716:１３２人目の素数さん
04/12/04 20:19:09
>>704(1)(6) を教えてたもれ。
さっぱりわからん。
717:１３２人目の素数さん
04/12/05 05:17:19
早く教えれ
718:１３２人目の素数さん
04/12/05 09:28:15
>>717
上げんなボケ！氏ね！
719:１３２人目の素数さん
04/12/05 15:28:39
>704(1), 716-717
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと s^3 -4st+9u≧0, s^2-3t≧0. [>>611]
左辺 = (t/u) - (3/s),
右辺 = 2(t^2 -2su)/[(s^2 -2t)u],
左辺 - 右辺 = {(s^3 -4st+9u)t +(s^2 -3t)}/[su(s^2 -2t)] ≧0.
ぬるぽ
720:711
04/12/05 15:58:52
>712
nに関する帰納法による。
n=2のとき、a^(r/2)=A, b^(r/2)=B とおくと G^r = AB, B-A ～ (b-a)r. (～は同符号の意味)
左辺 = (1+a)^r +(1+b)^r = A･(√a +1/√a)^r + B･(√b +1/√b)^r.
右辺 = (G^r)･{(1/A)(√a +1/√a)^r + (1/B)(√b +1/√b)^r}.
= B･(√a +1/√a)^r + A･(√b +1/√b)^r.
f(x)=√x +1/√x は x≧1 では単調増加だから、f(b)-f(a) ～ b-a.
∴ 左辺 - 右辺 ≡ d(a,b) = (A-B)･{(√a +1/√a)^r - (√b +1/√b)^r} ≧ 0.
d(a,b)は ある意味での「距離」である。
n>2 のとき、
a_1=･･････=a_n のとき、等号成立。
そうでないとき、a_{n-1} < G < a_n (または逆) としても一般性を失わない。
c_{n-1}=a_{n-1}･a_n/G, c_n=G とおくと、相乗平均Gは変わらない。
a_{n-1} < c_{n-1}, G < a_n (または逆) だから d(a_{n-1},a_n) ≧ d(c_{n-1},G)
∴ F_n(a_1, ･･････, a_n) ≧ F_n(a_1, ･･････, a_{n-2}, c_{n-1}, G)
= F_{n-1}(a_1, ･･････, a_{n-2}, c_{n-1})
となるが、帰納法の仮定により 右辺≧0 である。(終)
> -3≦r≦3、
要りまつか?
むずぽ
721:１３２人目の素数さん
04/12/05 18:47:31
>>720
神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!
発掘元は 「不等式への招待 P.51 注意」 からです。
その本によれば、P.49の例8を用いて証明したそうなので
条件 -3≦r≦3 がついたのかな…
722:１３２人目の素数さん
04/12/05 18:56:20
>>565(7) をたのも～。なんかできません。
s=(a+b+c)/2, x=(b+c-a)/2, y=(c+a-b)/2, z=(a+b-c)/2
とおくと、三角形の成立条件から x, y, z>0 で
s=x+y+z, a=s-x, b=s-y, c=s-z
また t=xy+yz+zx, uxyz とおくと、
（左辺）-（右辺） = (2s^3-5st-3u)/u - 18a = (2s^3-5st-3u-18su)/u
とここまでやって…
ダメポ ＞（|ﾝ：(）|￣|＿
723:１３２人目の素数さん
04/12/05 20:45:54
a=b=c=1で成り立ってないけど。
724:凡例
04/12/06 00:25:20
>720
r<-3, 3<r には反例が．．．
a_1=1, a_k=2 (k=2 to n), n=10, G=2^[(n-1)/n]=1.8660659830736, r=4 のとき,
左辺 = 745 < 746.49040900637 = 右辺.
a_1=2, a_k=1 (k=2 to n), n=10, G=2^(1/n)=1.0717734625363, r=-4 のとき,
左辺 = 0.574845679012346 < 0.575995685961706 = 右辺.
したがって -3≦r≦3 は必要と思われ。
725:720
04/12/06 01:35:12
>724
㌧ｸｽ.
2個の相乗平均√(a_{n-1}a_n)が全体の相乗平均Ｇと異なるため、そのままの比較は無理のようでつ。
すまそ。
726:１３２人目の素数さん
04/12/07 16:45:29
>>565(7)は、通分してゴリゴリするのは地獄を見そうだし…
なにかいい手があるのかな？
727:１３２人目の素数さん
04/12/07 21:48:15
>722,726
a,b,cに上限があるですか。相似拡大していったら成り立たな伊予柑．．．
ぬるぽ
728:１３２人目の素数さん
04/12/07 22:12:12
>>704(6) について、(a+abc)/(1+ab+abcd) = a(1+bc+bcde)/(1+ab+abcd) - 1/(1+ab+abcd)
これと相加相乗を使えば、示すべき不等式は
1/(1+ab+abcd) + 1/(1+bc+bcde) + 1/(1+cd+cdea)+ 1/(1+de+deab) + 1/(1+ea+aabc) ≦ 5/3
ここまでいけたけど…。まさか、あとは差をとるのですか？
（´д｀；）ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ
729:１３２人目の素数さん
04/12/07 22:30:19
>>728
> 1/(1+ab+abcd) + 1/(1+bc+bcde) + 1/(1+cd+cdea)+ 1/(1+de+deab) + 1/(1+ea+aabc) ≦ 5/3
この式は成り立たない。
最初から、a=q/p, b=r/q, c=s/r, d=t/s, e=p/t と置き換えると式が見やすくなる。
後は、相加相乗でもコーシーシュヴァルツでもお好きなように。
730:１３２人目の素数さん
04/12/07 22:55:33
>>729 サンクス。
正の数 p, q, r, s, t を用いて a=q/p, b=r/q, c=s/r, d=t/s, e=p/t とおくと、示すべき不等式は
(q+s)/(p+r+t) + (r+t)/(q+s+u) + (s+u)/(r+t+p) + (t+p)/(s+u+q) + (u+q)/(t+p+r) ≧ 10/3
ここから頑張るんですね。やってみまつ。
731:１３２人目の素数さん
04/12/07 22:59:28
>>730
しまった、uはなかった…
732:１３２人目の素数さん
04/12/07 23:14:14
示すべき不等式は
(p+q+r+s+t){1/(p+r+t) + 1/(q+s+p) + 1/(r+t+q) + 1/(s+p+r) + 1/(t+q+s)} ≧ 25/3
これは Caushy-Schwarzの不等式から成立。
(；´д｀)ﾊｧﾊｧ