04/10/08 15:53:04
ぬるぽ神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
そうか、その手があったか！！ ありがとうございますです！！！
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467:１３２人目の素数さん
04/10/08 23:48:58
>457
(9)の不等号は逆向きの悪寒....
468:457の訂正
04/10/09 00:01:13
>467 仰せのとおりにございます。
(9) 実数 a,b が ab>0 をみたすとき、
\sqrt[3]{a^2b^2(a+b)^2/4} ≦ (a^2+10ab+b^2)/12
,､|,､
(f⌒i
U j.|
UJ
：
‐＝‐
469:１３２人目の素数さん
04/10/09 22:49:28
>442 (1～5)
(1) (a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca) = {(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2 ≧0.
(abc)^(2/3) ≦ (ab+bc+ca)/3 ････ 相加相乗平均
∴ (左辺)^3 = {(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}/8 = (1/8)[(√3)-1/(3√3)](ab+bc+ca)^(3/2) ={(ab+bc+ca)/3}^(3/2) = (右辺)^3.
(2) 左側: (a^2 +b^2 +････)/n - {(a+b+････)/n}^2 = {1/(n-1)n}{[a^2+b^2] + ･･･ -(1/n)[a^2+b^2+2(n-1)ab] -････}
= (1/n)^2 {[a^2 +b^2 -2ab] + ････}
= (1/n)^2 {(a-b)^2 +････} ≧0.
右側: {(a+b+････)/n}^3 - (abc + ････)/Ｃ[n,3]
= (1/n)^3 {a^3 +b^3 +････ +3(a^2b+b^2c+c^2a) +3(ab^2 +bc^2 +ca^2) + ････ +6(abc+････)} - (abc+････)/Ｃ[n,3]
= {1/n^2Ｃ[n,3]}{(1/3)[a^3 +b^3 +c^3]････+ ((n-1)/2)[a^2b+b^2c+c^2a] +((n-1)/2)[ab^2 +bc^2 +ca^2] + ････+((n-1)(n-2)-n^2)(3n-2)(abc+･･･)}
= {1/n^2Ｃ[n,3]}{(1/3)[a^3 +b^3 +c^3 -3abc]････+ ((n-1)/2)[a^2b+b^2c+c^2a-3abc] +((n-1)/2)[ab^2 +bc^2 +ca^2 -3abc]+･････} ≧0.
(3) u≧min(a,b,c) のとき、左辺 = 2(MAX-min) +3u ≧ 2MAX +min ≧ a+b+c =右辺.
(4) b,c≧1のとき、{√(b-1) +√(c-1)}^2 = bc - {√(b-1)√(c-1) -1}^2 ≦ bc.
∴ √(b-1) +√(c-1) ≦√(bc), 等号成立は 1/b +1/c =1.
同様に、a≧1, bc≧0 のとき {√(a-1) +√(bc)} ≦√{a(bc+1)}, 等号成立は 1/b + 1/c = a-1.
(5) 相加平均 ≧ 相乗平均 ≧ 調和平均 より
(1/3)(a+b+c)(1/a +1/b +1/c) -1 = (1/3){(a/b +b/a)+(b/c +c/b)+(c/a +a/c)} ≧ 2.
(2/3)(a+b+c)(1/a +1/b +1/c) ≧ 2(a+b+c)/[(abc)^(1/3)].
辺々たす。
ぬるぽ
470:１３２人目の素数さん
04/10/09 22:57:09
>442 (6～7)
(6) nに関する帰納法による。
n=1のときは明らかに成立
(n+1)/√[a(a+(n+1)b)] - n/√[a(a+nb)] = [(n+1)/f -n]/√[a(a+nb)] = cd/[a+(n+1)b]
f = √{[a+(n+1)b]/(a+nb)} > 1,
c = (2n+1)/[(n+1)/f +n] > 1,
d = {a+(n/2)[1+1/(2n+1)]b}/√[a(a+nb)] > 1.
∴ 1/[a+(n+1)b] < (n+1)/√[a(a+(n+1)b)] - n/√[a(a+nb)].
(7) a^2 +b^2 +c^2 = (1/3){(a+b+c)^2 +(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2} ≧ (1/3)(a+b+c)^2.
(a+b+c)(ab+bc+ca) = 9abc + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 +c(a-b)^2 ≧ 9abc.
∴ abc{(a+b+c)/{(a^2 +b^2 +c^2)(ab+bc+ca)} ≦ abc{(a+b+c)/{(1/3)(a+b+c)^2 (ab+bc+ca)}
= 3abc/{(a+b+c)(ab+bc+ca)} ≦ 3/9.
abc{√(a^2 +b^2 +c^2)/{(a^2 +b^2 +c^2)(ab+bc+ca)} ≦ abc/{(1/√3)(a+b+c)(ab+bc+ca)}
= (√3)abc/{(a+b+c)(ab+bc+ca)} ≦ (√3)/9.
辺々たす。
ぬるぽ
471:１３２人目の素数さん
04/10/09 22:58:39
>442 (8～9)
(8) a^(1/6) =A, b^(1/6)=B とおく。
上： {[a^(2/3) + b^(2/3)]/2}^3 - {[a+√(ab)+b]/3}^2
= (1/8){A^4 +B^4}^3 - (1/9){A^6+(AB)^3+B^6}^2
= (1/8){A^12 +3(A^2B)^4 +3(AB^2)^4 +B^12} - (1/9){A^12 +2(A^3B)^3 +3(AB)^6 +2(AB^3)^3 +B^12}
= (1/72){A^12 -16A^9B^3 +27A^8B^4 -24A^6B^6 + 27A^4B^8 -16A^3B^9 +B^12)
= (1/72)(A-B)^4{(A^4 -B^4)^2 +AB(4A^2 +10AB +4B^2)(A^4 +B^4)} ≧0.
中： [a+√(ab)+b]/3 - [a^(1/3) +b^(1/3)][a^(2/3) +b^(2/3)]/4
= [A^6 +(AB)^3 +B^6] - [A^2 +B^2][A^4 +B^4]/4
= [A^6 -3A^4B^2 +4(AB)^3 -3A^2B^4 +B^6]/12
=(A-B)^2 {A^4 +2A^3B +2AB^3 +B^4}/12 ≧0.
下： [a^(1/3) +b^(1/3)][a^(2/3) +b^(2/3)]/4 - [(√a +√b)/2]^2
= (1/4)[a^(1/3) +b^(1/3) -2(ab)^(1/6)](ab)^(1/3)
= (1/4)[A^2 + B^2 -2AB](AB)^2
= (1/4)(A-B)^2 (AB)^2 ≧ 0.
なお、{(a^r +b^r)/2}^(1/r) はrについて単調増加
(略証) r<R とすると、y=x^(R/r) は下に凸だから、
{(a^r +b^r)/2}^(R/r) ≦ (a^R +b^R)/2, {(a^r +b^r)/2}^(1/r) ≦ {(a^R +b^R)/2}^(1/R).
(9) (ab+ab+c^2)/3 ≧ (abc)^(2/3) ････ 相加相乗平均
c=(a+b)/2 とおく。
ぬるぽ
472:１３２人目の素数さん
04/10/09 23:13:08
神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！ いつもながら流石でございます。
ありがとうございます。 今夜はタップリ抜けそうです。
∧＿∧
（ ；´∀｀）とにかく一発！
人 Y /
( ヽωつ ο°ｏ。
（＿）＿）
473:469
04/10/09 23:26:51
(2)は次式の略証でつ・・・
a,b,c,･････>0 に対し
√{(a^2 +b^2 +c^2 +･････)/n} ≧ (a+b+c+･････)/n ≧ {(abc+･････)/Ｃ[n,3]}^(1/3).
[455]は
\sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4} ≦ \sqrt{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6} ?
474:１３２人目の素数さん
04/10/09 23:40:28
>473
嗚呼、またもや書き間違い。
[455]ですが 仰せのとおりにございます。
r～～～～～
＿_ _ﾉ うっうっうっ・・・
／__ ｀ヽ_ ⌒ヽ～～～～～
|〈___ﾉf レ1(
,L| しL.し'ﾞ"
"｀ "′
475:cubism
04/10/10 00:30:03
↓分かスレ１８８から借用
404 ：１３２人目の素数さん ：04/10/09 15:59:40
,／|ﾐ=､
／ .|ﾐﾐﾐ|
.| |ﾐﾐﾐ|
,／|ﾐ| |ﾐﾐﾐ|
,／ |ﾐ| |ﾐﾐﾐ|
| |ﾐ| |ﾐﾐﾐ|
| |ﾐ| |ﾐﾐﾐ|
| |ﾐ| |ﾐﾐﾐ|
| |ﾐ| |ﾐﾐﾐ|
| |ﾐ| |ﾐﾐﾐ|
_,-'"|. |ﾐ| |ﾐﾐﾐ|
_,. -'' "￣~ﾞ三=-_､_ _,.-'" |. |ﾐ| !ﾐﾐﾐ|
,,.-''" r _､ 三三ﾀ_,.-''" | |ミ| ,.彡ヾﾐ|
／ i {ぃ}} _ﾆ/ -=三| ｣ミﾋ彡彡ｲﾐヾ
/,.､ `--" ﾆｌ -=ﾆ三=-''レ彡ﾐﾐr'" |ﾐﾐﾐ|
ｌ {ゞ} i .ﾆl==三三ﾆ=''" ,＞'"|ﾐ| |ﾐﾐﾐ|
.l `" i_,,...-''| ニ`=-=i'" | |ﾐｌ,..-=彡ヾﾐ|
_,.-! ! i -ﾆ三三/ L.. -ﾆヾ|ヾ彡'='''"
l´,.- l ＼/ -ﾆ三三／ ヾ-‐''"
_. ! ｒi l＼ __--三三三='"
j'‘´l `´ | ! ` ミ三三三三三＝''"
i',.. '´} | |
l,.. r´ '´
476:１３２人目の素数さん
04/10/10 01:01:50
世俗と離れた山奥で、ひっそりとやっている感じが たまらなく (ﾟ∀ﾟ) ｲｲｯ!
477:１３２人目の素数さん
04/10/10 07:10:14
不等式の証明問題って、両辺の文字の次数が一致するものばかりだと思っていた。
一致しなくても、積一定などの与えられた条件を使って書き換えたら一致するのとか。
そうじゃないのもあるって今ごろ知った。
【問題】 正の数 a,b,c に対して、次の不等式を示せ。
1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/(1+abc)
478:１３２人目の素数さん
04/10/10 08:55:57
>>430の補題の仮定 x_k>1 は、x_k≧1 でもOKですよね？
479:430
04/10/10 15:52:54
>478
桶
>>118-129 も嫁
480:473
04/10/10 16:11:36
>455 (474)
(k次の基本対称式)/Ｃ[n,k] = Ｐ_k とおくと、問題は (Ｐ_3)^(1/3) ≦ (Ｐ_2)^(1/2).
【定理】
相加平均 = Ｐ_1 ≧ （Ｐ_2)^(1/2) ≧ (Ｐ_3)^(1/3) ≧ ･････ ≧ (Ｐ_n)^(1/n) = 相乗平均 ････(1).
(略証) 補題の(2)をk乗して掛けあわせ、共通項を約せばよい。
【補題】
Ｐ_{k-1}･Ｐ_{k+1} ≦ (Ｐ_k)^2 ･･････････････ (2).
(略証) f(x) ≡ (x-a)(x-b)････ = ∑[L=0,n] ((-1)^L)･Ｃ[n,L]･Ｐ_L･x^(n-L)
g_k(x) ≡ {x^(k+1)}･(d/dx)^(n-k-1) f(x) = {n!/(k+1)!}･∑[L=0,k+1] ((-1)^L)･Ｃ[k+1,L]･Ｐ_L･x^L
h_k(x) ≡ (d/dx)^(k-1) g(x) = ((-1)^(k+1))･(n!/2)[Ｐ_{k-1} -2Ｐ_k･x +Ｐ_{k+1}･x^2].
f(x)=0 の根はすべて正の実数だから、ロルの定理により、g_k(x), h_k(x) についても同様である。
h_k(x)=0 は実根をもつから、判別式Ｑ_k = (Ｐ_k)^2 - Ｐ_{k-1}･Ｐ_{k+1} ≧0. (終)
【参考書】
「数学の問題=第(1)集」, 第21問 日本評論社 (1977)
E.F.Beckenbach and R.Bellman: "Inequalities", p.11, Ergebnisse叢書, Springer Verlag (1961)
↑ >>84-86 の本
【別法】nに関する帰納法
>>263-271
ぬるぽ
481:１３２人目の素数さん
04/10/10 16:39:31
【参考書】
ビブンのことはビブンでする向きには
G.H.Hardy, J.E.Littlewood, G.Polya共著, : 「不等式」, ｼｭﾌﾟﾘﾝｶﾞｰ･ﾌｪｱﾗｰｸ東京
細川尋史 訳, A5, 450p. \4800, ISBN 4-431-71056-6
D.S.Mitrinovic': "Analytical Inequalities", Springer-Verlag (1970)
482:１３２人目の素数さん
04/10/11 19:57:11
>>442(7) は、最小値の方は出ないでしょうか？
483:１３２人目の素数さん
04/10/11 21:19:56
>482
a,b,cのうち1つだけ→0 のとき →0 と思われ．．．
ぬるぽ
484:１３２人目の素数さん
04/10/13 04:14:43
Mを正定数, a,b,cを実定数とする。
f(x)=ax^2+bx+c において |f(-1)|, |f(0)|, |f(1)|≦M ならば、
|x|≦1において |f(x)|≦5M/4 を示せ。
こやつめをたのもー。
a=0 のときは f(x) は一次式以下だから、区間の端点で最大最小値をとるので
|f(x)| ≦ max{|f(-1)|, |f(1)|} = M
a>0のときを考える。（a<0のときも同様にできる）
このとき f(x) は下に凸だから、グラフを考えると
|f(x)| ≦ max{|f(-1)|, |f(-b/{2a})|, |f(1)|} = \max{M, |f(-b/{2a})|}
ということで、|f(-b/{2a})|≦5/4 を示せれば一件落着だと思うのだけど、
そのあとが分からんちん。
485:１３２人目の素数さん
04/10/13 06:14:32
訂正
>ということで、|f(-b/{2a})|≦5M/4 を示せれば…
軸の位置によって、|-b/(2a)|>1のときは
|f(x)| ≦ max{|f(-1)|, |f(1)|} ≦ M
|-b/(2a)|≦1のときは、D=b^2-4ac≧0のときには、
|f(-b/{2a})| の最大値を考えないといけないんだけど
|f(-b/{2a})| = |-b^2/(4a)+c| ≦ (|b|/2)*|b/2a|+|c| ≦ (M/2)*1+M = 3M/2
ここで、|2b|=|f(1)-f(-1)|≦2M、|c|=|f(0)|≦M を用いた。
5M/4にならんのですが…。
486: ◆BhMath2chk
04/10/13 08:00:00
｜ｆ（ｘ）｜
＝｜ｆ（－１）ｘ（ｘ－１）／２＋ｆ（０）（１－ｘ＾２）＋ｆ（１）ｘ（ｘ＋１）／２｜
≦Ｍ（｜ｘ（ｘ－１）／２｜＋｜１－ｘ＾２｜＋｜ｘ（ｘ＋１）／２｜）。
－１≦ｘ≦０のとき
｜ｘ（ｘ－１）／２｜＋｜１－ｘ＾２｜＋｜ｘ（ｘ＋１）／２｜
＝１－ｘ－ｘ＾２
≦５／４。
０≦ｘ≦１のとき
｜ｘ（ｘ－１）／２｜＋｜１－ｘ＾２｜＋｜ｘ（ｘ＋１）／２｜
＝１＋ｘ－ｘ＾２
≦５／４。
487:１３２人目の素数さん
04/10/13 10:05:09
>486
なるほど、その手がありましたか！ 激しくありがとうございます。
係数 a,b,c を f(-1), f(0), f(1) で表すんですね。
この条件の下で、同様に考えると |x|≦1において |f'(x)|≦4M
また、g(x)=cx^2+bx+a を考えると、|x|≦1において |g(x)|≦9M/4, |g'(x)|≦3M
となりますね。たぶん。
488:１３２人目の素数さん
04/10/13 10:09:58
[1992 MeXico]
正の数 a,b,c が a+b+c=3 をみたすとき、次の不等式を示せ。
6 < \sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3} ≦ 3\sqrt{5}
右側は Cauchy-Schwarz でも Jensen の不等式でも得られますが、
左側は一体どうやるのでせうか？ たのも～。
489:１３２人目の素数さん
04/10/13 11:30:30
>487の訂正。
ぬーん、|g(x)|≦2M なのか…。
類題発見。京大1995後期理系３番
URLﾘﾝｸ(hw001.gate01.com)
はっきり言って、a≧0, b≧0 の条件は要らない。
絶対値がついているから a の符号はどっちでもいいし、
x=t,-tの場合を考えれば、bの符号もどうとでもなるし。
|f(x)|≦M の条件は強すぎると思う。
３箇所、例えば |f(-1)|, |f(0)|, |f(1)| ≦ M で十分じゃないの？
490:１３２人目の素数さん
04/10/13 13:33:42
>488
√ は上に凸ゆえ 0<x<3 ⇒ (3+x)/2 < √(2x+3)
辺々たす。
（3+2√3 も可能）
ぬるぽ
491:１３２人目の素数さん
04/10/13 16:38:13
>490
ありがとうございまする。
0<x<3 において、ｙ＝(3+x)/2 と y=√(2x+3) のグラフを考えるんですね？
ｙ＝(3+√3)x/3 +√3 と y=√(2x+3) のグラフから、3+2√3 を出したんですね
|
＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／＿＿＿＼
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | そうか！
|::::: (● (● |
ヽ::::... .ワ.....ノ
492:１３２人目の素数さん
04/10/15 06:43:55
(1) 正の数 a,b,c が abc=1 をみたすとき、
(1+a)(1+b)(1+c) ≧ 2(1+\sqrt[3]{b/a}+\sqrt[3]{c/b}+\sqrt[3]{a/c})
(2) x>0 に対し、
[(x+ 1/x)^6-(x^6+ 1/{x^6})-2]/[(x+ 1/x)^3+(x^3+ 1/{x^3})] ≧ 6
(3) 1≦a≦b≦c≦4のとき、
(a-1)^2 + (b/a -1)^2 + (c/b -1)^2 + (4/c -1)^2 ≧ 12-8√2
＿＿＿
|┃三 .／ nCr ＼ ＿＿＿＿＿＿＿＿
|┃ |:::: ＼ .／ | ／
|┃ ≡|::::: (● (●| ＜ ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .∀....ノ ＼
|┃=＿＿ ＼ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
493:１３２人目の素数さん
04/10/15 12:17:01
>492
(1) 相加相乗平均より (b/a)^r +(c/b)^r +(a/c)^r ≧3.
左辺 = -1+(b+1 +1/a)+(c+1 +1/b)+(a +1/c) ≧ -1 +3{(b/a)^(1/3) +(c/b)^(1/3) +(a/c)^(1/3)}
≧ 2 + 2{(b/a)^(1/3) +(c/b)^(1/3) +(a/c)^(1/3)} = 右辺.
(2) x^6 +1/(x^6) +2 = {x^3 +1/(x^3)}^2 より,
左辺 = (x+ 1/x)^3 - {x^3+ 1/(x^3)} = t^3 -(t^2 -3)t = 3t ??
(3) Σ[k=1,n](x_k)^2 - (1/n){Σ[k=1,n] x_k}^2 = (1/n)Σ[i≠j] (x_i-x_j)^2 ≧0 より
左辺 ≧ 4{(a/1 +b/a +c/b +4/c)/4 -1}^2 ≧ 4([4^(1/4)] -1}^2 = 4(√2 -1)^2 = 4(3-2√2) = 右辺.
ぬるぽ
494:493
04/10/15 12:19:58
訂正
(2) 左辺 = (x+ 1/x)^3 - {x^3+ 1/(x^3)} = 3(x +1/x) ≧ 6.
495:１３２人目の素数さん
04/10/15 19:47:10
>492
(1) [442]の(5)と同じ．．．
(3) r>1 のとき y=x^r は下に凸ゆえ、 {Σ[k=1,n](x_k)^r}/n ≧ {(Σ[k=1,n] x_k)/n}^r.
∴ Π[k=1,n] a_k =Ｐ ⇒ Σ[k=1,n] (a_k -1)^r ≧ n{(1/n)(Σ[k=1,n] a_k) -1}^r ≧ n{Ｐ^(1/n) -1}^r
496:１３２人目の素数さん
04/10/15 20:20:16
>493-495
(ﾟ∀ﾟ) うひょっ！ ありがとうございます。
(1)が442(5)と同じことに気づかなかったです…。
497:１３２人目の素数さん
04/10/17 10:32:00
(1) 0≦a,b,c,d≦1 と 0≦x≦1 に対して
1/|x-a| + 1/|x-b| + 1/|x-c| + 1/|x-d| < 40
(2) [ASU 1969.14] 正の数 a_k に対して
a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + … + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/4
＿＿＿
.／ ≧ ＼ (2)を見ると Shapiro の巡回不等式を思い出すけど…。
|:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
498:１３２人目の素数さん
04/10/17 10:46:50
(3) [Ukrine 1992]
a≧b≧c>0 のとき
(a^2-b^2)/c + (b^2+c^2)/a + (c^2-a^2)/b ≧ 3a-4b+c
(4) a≧b≧c≧d>0, a+b+c+d≧1 のとき
7a^2+5b^2+3c^2+d≧1
(5) [Vietnam 1980]
正の数 a_k が a_1+ … +a_n=s をみたすとき
{a_1+ 1/(a_1)}^2 + … +{a_n+ 1/(a_n)}^2 ≧ n{n/s + s/n}^2
499:１３２人目の素数さん
04/10/17 23:51:40
>498
(3) 因数定理より (a^2 -b^2)/c + (b^2 -c^2)/a +(c^2 -a^2)/b = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)/abc.
(2/3)a = b = c のとき 左辺 = 2(c^2)/a = (8/9)a < a = 右辺. むずい??
(4) a≧d≧0, b≧c≧0 より、左辺 ≧ 4(a^2 +b^2 +c^2 +d^2) ≧ (a+b+c+d)^2 ≧ 1.
(5) r≧1 ⇔ (x_1)^r +(x_2)^r +･････+(x_n)^r ≧ n{(x_1 +x_2 +･････+ x_n)/n}^r
調和≦相加 より (1/n){1/(a_1) + 1/(a_2) +････+ 1/(a_n)} ≧ n/s.
ぬるぽ
500:１３２人目の素数さん
04/10/18 14:32:30
>499(4) その手があったか、さすが！ /lァ／lァ
501:１３２人目の素数さん
04/10/19 21:40:20
>497
(2) 左辺をＳとおく。
a/(b+c) +2b/(c+d) - {(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1} = (b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)] >0.
∴ a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1.
循環的に加えて相加・相乗平均を使えば
3Ｓ > 2Σ[k=1,n] (a_k +a_{k+1})/(a_{k+1} +a_{k+2}) -n > 2n-n = n.
ただし a_{n+1}=a_1, a_{n+2}=a_2 とした。
∴ Ｓ≧ n/3.
ぬるぽ
502:１３２人目の素数さん
04/10/20 07:13:38
>501 a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1
不等式神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
こんな不等式、自力では逆立ちしても思いつきませんです。 (;´Д`) ﾊｧﾊｧ
ゝ_i/ / // / | l / ! | l i 〉' ⌒⌒_/
｢ﾐ| / /ｨ'｢´! ! l l ｣___| l |l _,くﾐ ､_/￣´
〈 j | ﾊ{ ,l-ﾆ!､ | l | ,|=､|ヽ|l/! 'ヽ,-ｧ
ヽ } j' {i'r':j! ,.=､ヾ!/ r'
| i' ,, ゞ=' i!-':i! i!' /
┃ ┏━┃ { ﾄ､ r‐‐- ､_ﾞ''=' / / /. ┃┃┃
━┏┛ ┏━┃ ━━━ﾄ、 ﾉ ━━━━┛ ┃┃┃
━┏┛ ┛ ┃ .〉/ / （ ｀ｰ-ｧ' .r｢ / / /. ┛┛┛
┛ ┃ l/ /_____ゝ<´ l | ∧ ' i/ ┛┛┛
∧--‐‐‐''"ヽヽ_! | 〉 /
/ﾄ､ @/ ヽ_/ /｀-/
/ ! ヽ { r.‐‐‐┐ / /
j @ l !(ﾟ∀ﾟ)l / /
503:１３２人目の素数さん
04/10/20 12:38:57
[477] 正の数 a,b,c に対して、次の不等式を示せ。
1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/(1+abc)
（解１） 次式を整理すれば得られる。 こんなもの思いつかんわい！
ab(1+b)(1-ca)^2+bc(1+c)(1-ab)^2+ca(1+c)(1-ab)^2 ≧ 0
（解２） 相加相乗平均の関係を用いる。 簡単だが気づかんわい！
(1+abc)(左辺)+3
＝ {(1+abc)/(a+ab)+1} + {(1+abc)/(b+bc)+1} + {(1+abc)/(c+ca)+1}
＝ {(1+a)/(a+ab) + (b+bc)/(1+b)} + {(1+b)/(b+bc) + (c+ca)/(1+c)} + {(1+c)/(c+ca) + (c+ca)/(1+a)}
＝ {(1+a)/(a+ab) + (a+ab)/(1+a)} + {(1+b)/(b+bc) + (b+bc)/(1+b)} + {(1+c)/(c+ca) + (c+ca)/(1+c)}
≧ 6
（解３） 並べ替え不等式 （同順序積）≧（逆順序積） を用いる。かっこよすぎ！
(1+abc)(左辺)
＝ (1/a)*{1/(1+b)}+b*{1/(1+ 1/a)} + (1/b)*{1/(1+c)}+c*{1/(1+ 1/b)} + (1/c)*{1/(1+a)}+a*{1/(1+ 1/c)}
≧ (1/a)*{1/(1+ 1/a)}+b*{1/(1+b)} + (1/b)*{1/(1+ 1/b)}+c*{1/(1+c)} + (1/c)*{1/(1+ 1/c)}+a*{1/(1+a)}
＝ 1/(1+a) + a/(1+a) + 1/(1+b) + b/(1+b) + 1/(1+c) + c/(1+c)
＝ 3
（元ネタ） URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
＿＿＿
|┃三 .／ nCr ＼ ＿＿＿＿＿＿＿＿
|┃ |:::: ＼ .／ | ／
|┃ ≡|::::: (● (●| ＜ ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .∀....ノ ＼
|┃=＿＿ ＼ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
504:501
04/10/20 21:41:05
>503
【補題】a,b,c>0 のとき、u=(abc)^(1/3)とおくと
1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/{u(1+u)}.
（略証）(解２)と同様に 1+abc = (1+a) -a(1+b) +ab(1+c).
∴ (1+abc)/{a(1+b)} = (1+a)/{a(1+b)} -1 +b(1+c)/(1+b).
循環的に加えて相加・相乗平均を使えば
(1+abc)(左辺) ≧ 3(1/u -1 +u) = 3(1+u^3)/{u(1+u)}
∴ 左辺 ≧ 3/{u(1+u)} (終).
なお、3/{u(1+u)} ≧ 3/(1+u^3) = 3/(1+abc) は (1+u^3)-u(1+u) = (1-u)(1-u^2) ≧0 から明らか。
505:１３２人目の素数さん
04/10/20 22:00:01
. + . * ／￣￣￣￣￣￣＼ ■ ■
■ ■■■ . ／ ＿ノ ≧ ,＿ノ＼ .+ ☆ . ■ ■
■■■■ ■ ■ / / iﾆ)ヽ, /rj:ヽヽ ヽ ■ ■
■ ■ ■ ■■■■■■■l::::::::: ;〈 !:::::::c! ' {.::::::;､! 〉 .|■■■■■■■■ ■ ■
.■■■■ ■ ■■ |:::::::::: (つ`''" `'ｰ''(つ | ■ ■
■ ■ +. ☆ 。. . |::::::::::::::::: ＼＿＿_／ | ☆ . * +.
■ ■ ヽ:::::::::::::::::::. ＼／ ノ . . . +☆ .● ●
506:１３２人目の素数さん
04/10/21 13:41:11
[442](2) a,b,c,d>0に対し
\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)/4} ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}
ここで、次式が成り立つ。
(a+b+c+d)/4 ≧ \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}
ということで、次の２つの大小関係は定まりますか？
\sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}, \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}
507:１３２人目の素数さん
04/10/21 13:48:36
あぁ書き忘れた。もう一回書き直すと
[473](2)と[506]の真ん中より、a,b,c,d>0 に対し
\sqrt{(a^2 +b^2 +c^2 +d^2)/4} ≧ (a+b+c+d)/4 ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}
(a+b+c+d)/4 ≧ \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}
右側の２つは比較できないかなと言うことでした。
508:１３２人目の素数さん
04/10/21 14:24:32
>506-507
>>455 (474), >>480 の辺りにないか？
ぬるぽ
509:508
04/10/21 18:01:28
>506
Q. 次の２つの大小関係は定まりますか？
{(abc+bcd+cda+dab)/4}^(1/3), sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}
A. 定まらないと思われ．．．
a=b≠c=d のとき, 左辺 = {ac(a+c)/2}^(1/3) < (a+c)/2 = 右辺.
a=c≠b=d のとき, 左辺 = {ab(a+b)/2}^(1/3) > sqrt(ab) = 右辺.
a=b=c≠d のとき, 左辺 = {a^2･(a+3d)/4}^(1/3) < sqrt{a(a+d)/2} = 右辺.
∵ {a･[(a+3d)/4]^2}^(1/3) < (a+d)/2. より {a^(1/2)･(a+3d)/4}^(1/3) < sqrt{(a+d)/2}.
ぬるぽ
510:１３２人目の素数さん
04/10/21 21:59:25
なるほど、ありがとうございまする。
511:１３２人目の素数さん
04/10/22 08:27:32
[>>455] の不等号の根号の中身は逆ですね。正しくは
\sqrt{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6} ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}
死んでお詫びを…（ＡＡ略） まとめると、こんな感じですか。
A = \sqrt{(a^2 +b^2 +c^2 +d^2)/4}
B = (a+b+c+d)/4
C = \sqrt{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6}
D = \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}
E = \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}
F = \sqrt[4]{abcd}
A ≧ B ≧ C ≧ D ≧ F
B ≧ E ≧ F
CとE、DとEの大小は定まらない。
512:１３２人目の素数さん
04/10/22 16:16:30
あげ
513:480
04/10/22 20:30:31
>511 ついでに
C ≧ {(C^4)/B}^(1/3) ≧ D ≧ {C(F^2)}^(1/3) ≧ F.
>492,503
なぜかnＣrヲタがやって来る．．．
ぬるぽ
514:１３２人目の素数さん
04/10/23 02:15:00
a,b,c,d,p,q,r,s>0 かつ a + b + c + d = 1 かつ p + q + r + s = 1 のとき，
a log(a/p) + b log(b/q) + c log(c/r) + d log(d/s) ≧ 0 を示せ．
515:514
04/10/23 02:16:05
log は自然対数．
516:１３２人目の素数さん
04/10/23 05:40:00
>515
下に凸なf(x)=log(1/x)に対して、Jensenの不等式を用いると
af(a/p)+bf(b/q)+cf(c/r)+df(d/s)
≧ f(a*(p/a)+b*(q/b)+c*(r/c)+d*(s/d))
＝ f(p+q+r+s)
＝ 0 ＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼ ＿＿＿＿＿＿＿＿
|┃ |:::: ＼ .／ | ／ 不等式と聞いちゃぁ
|┃ ≡|::::: (● (●| ＜ 黙っちゃゐられねゑ…
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .∀....ノ ＼ ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ
|┃=＿＿ ＼ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
517:１３２人目の素数さん
04/10/23 05:53:20
>513
さすが不等式神ッ！ 常に一歩先を行くぅ～。そこに痺れる憧れるぅ～。
３変数でやると、A ≧ B ≧ C ≧ D が成立。ただし
A = (a+b+c)/3
B = \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)/8}
C = \sqrt{(ab+bc+ca)/3}
D = \sqrt[3]{abc}
（AAの額が nCr だったのは、言われるまで気づかなかったミス。
不等式ヲタ ＝ nCrヲタ ＝ 三角関数ヲタ ＝ 関数方程式ヲタ なのは公然の秘密）
518:１３２人目の素数さん
04/10/23 07:16:09
>>516
お見事！
519:１３２人目の素数さん
04/10/23 07:28:47
【問題A】 正の数 a,b,c が ab+bc+ca=1 をみたすとき
(1) [1994 Hong Kong]
a(1-b^2)(1-c^2)+b(1-c^2)(1-a^2)+c(1-a^2)(1-b^2) ≦ (4√3)/9
(2)
a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)
≧ 2a(1-a^2)/{(1+a^2)^2} + 2b(1-b^2)/{(1+b^2)^2} + 2c(1-c^2)/{(1+c^2)^2}
【問題B】 正の数 a,b,c が abc=1 をみたすとき
(3) [1997 Romania]
(a^3+b^3)/(a^2+ab+b^2) + (b^3+c^3)/(b^2+bc+c^2) + (c^3+a^3)/(c^2+ca+a^2) ≧ 2
(4) [2000 Hong Kong] さらに a≧b≧c のとき
(1+ab^2)/(c^3) + (1+bc^2)/(a^3) + (1+ca^2)/(b^3) ≧ 18/(a^3+b^3+c^3)
【問題C】 正の数 a,b,c が a^2+b^2+c^2=s をみたすとき
(5) [1991 Poland] s=2のとき、a+b+c ≦ 2+abc
(6) [1999 Belarus] s=3のとき、1/(1+ab) + 1/(1+bc) + 1/(1+ca) ≧ 3/2
| | | | |┃| :|
| | | | |┃|i | ／ 条件不等式と聞いちゃあ
| | | | ｶﾞﾀｶﾞﾀ |┃| ＜ 黙っちゃゐられねゑ…
| | | |＿＿＿＿＿＿|ミ | .i.| | ？ 開かない・・・？
| |￣￣￣￣￣￣| | |┃|:. ,| ＼
| | | | |┃| i|
520:513
04/10/23 16:08:27
>517
そこまで言われるとつい．．．．でに
A ≧ B ≧ (AC^2)^(1/3) ≧ C ≧ {(C^4)/A}^(1/3) ≧ D.
（略証）相加･相乗平均を使う。
A = (1/2){(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3} ≧ B
A ≧ D, C ≧D より
B^3 = (a+b)(b+c)(c+a)/8 = [(a+b+c)(ab+bc+ca) -abc]/8 = (9AC^2 -D^3)/8 ≧ AC^2,
∴ B ≧ (AC^2)^(1/3).
A^2 = (1/9)(a+b+c)^2 ≧ (ab+bc+ca)/3 = C^2.
∴ (AC^2)^(1/3) ≧ C ≧ {(C^4)/A}^(1/3).
C^4 = {(ab+bc+ca)/3}^2 = {(x+y+z)/3}^2 ≧ (xy+yz+zx)/3 = [(a+b+c)/3]abc = A(D^3),
∴ {(C^4)/A}^(1/3) ≧ D.
ぬるぽ
521:問題追加
04/10/23 21:50:40
【問題D】正の数 a,b,c に対して
(7) [1997 Ireland] a+b+c≧abc のとき、a^2+b^2+c^2 ≧ abc
>520 キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
522:追加と疑問？
04/10/24 06:17:45
【問題B】 に追加。 正の数 a,b,c が abc=1 をみたすとき
(8) [1997 TOT]
1 ≧ 1/(1+a+b) + 1/(1+b+c) + 1/(1+c+a)
(9) [1997 Bulgaria]
1/(2+a) + 1/(2+b) + 1/(2+c) ≧ 1/(1+a+b) + 1/(1+b+c) + 1/(1+c+a)
この２つの不等式は、一つにまとめられそうな予感。でも、どうなるんでしょう？
＿＿＿
.／ ≧ ＼ 神降臨待ち
|:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
523:１３２人目の素数さん
04/10/24 08:22:43
Youngの不等式の多変数バージョンってあったっけ？
524:１３２人目の素数さん
04/10/24 09:09:12
>523 見たことないです。
>522 (8)(9) できた。
正の数 a,b,c が abc=1 をみたすとき、次式が成立。
1 ≧ 1/(2+a) + 1/(2+b) + 1/(2+c) ≧ 1/(1+a+b) + 1/(1+b+c) + 1/(1+c+a)
〔証明〕
a+b+c=x, ab+bc+ca=y, abc=1 を用いると、示すべき不等式は
1 ≧ (4x+y+12)/(4x+2y+9) ≧ (x^2+4x+y+3)/(x^2+xy+2x+y)
ただし、相加平均・相乗平均の関係から x, y≧3 に注意する。
（左側） 示すべき不等式は y≧3 だから成立。
（右側） x-3=s, y-3=t とおくと s, t≧0。分母を払って差をとると
(4x+y+12)(x^2+xy+2x+y)-(4x+2y+9)(x^2+4x+y+3)
＝ 3x^2y+xy^2+6xy-5x^2-y^2-24x-3y-27
＝ 3s^2t+st^2+30st+4s^2+2t^2+27s+54t
≧ 0
|
＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／＿＿＿＼ 等号成立条件は、いずれも a=b=c=1 のとき。
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | 簡単でした。
|::::: (● (● |
ヽ::::... .ワ.....ノ
525:501
04/10/24 10:42:43
>497 (1)
0≦a≦b≦c≦d≦1 は所与とする。
(1+a)-d, d-c, c-b, b-a の和が1だから
Max{(1+a)-d, d-c, c-b, b-a} = w ≧1/4.
そこで xとして 幅wの区間の中点をとると、
Min{|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|} = w/2 ≧ 1/8.
左辺 < 8+8+8+8 = 32.
ぬるぽ
526:１３２人目の素数さん
04/10/24 19:49:31
＿＿＿ >525 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
.／ ≧ ＼ いつもながら素晴らしい！結局こうですね。
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | 4 ≦ 1/|x-a| + 1/|x-b| + 1/|x-c| + 1/|x-d| ≦ 32
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
527:１３２人目の素数さん
04/10/25 10:32:44
>>525
いや、やっぱり分かりません。
たとえば a = b = c = d = 0 のとき、
（左辺） < 4/|x| → ∞ (x→0)
だから、いくらでも大きくなるような気がします。
528:１３２人目の素数さん
04/10/25 12:42:54
>525 2-3行目は
1-d, d-c, c-b, b-a, a-0 の和が1だから
Max{1-d, d-c, c-b, b-a, a} = w ≧1/5
とすべきでは？
まだ問題の意味が分かってないけれど…
529:１３２人目の素数さん
04/10/25 13:44:48
いや、525でよかった。すみません。
530:１３２人目の素数さん
04/10/26 08:02:16
>519 (3～7)
【問題B】 abc=u≧1 のとき
(3) 3(a^2 -ab+b^2) - (a^2 +ab+b^2) = (a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2 ≧0.
∴ (a^3 +b^3)/(a^2 +ab+b^2) ≧ (a+b)/3.
∴ 左辺 ≧ 2(a+b+c)/3 ≧2u^(1/3).
(4) 左辺 ={1/(a^3)+1/(b^3)+1/(c^3)} + {a(b^2)/(c^3) +b(c^2)/(a^3) +c(a^2)/(b^3)}
≧ 3/u +1 ≧ 6/u ≧ 右辺.
【問題C】ａ^2 +b^2 +c^2 =s のとき
(5)
(i) a,b,c≦1 のとき、
左辺 = 3-(1-a)-(1-b)-(1-c) ≦ 3-(1-a)-a(1-b)-ab(1-c) = 3 -(1-abc) =右辺.
(ii) a,b≦1<c,s≦2 のとき、x = {1+x^2 - (1-x)^2}/2 より
左辺 = {3+s-(1-a)^2 -(1-b)^2 -(c-1)^2}/2 = 1 +s/2 +ab -{(a+b-1)^2 +(c-1)^2}/2
= 1 +s/2 +abc -{(a+b-1)^2 +(c-1)^2 +ab(c-1)}/2 ≦ 1 +s/2 +abc ≦ 右辺.
(6) 左辺 ≧ 9/(3+ab+bc+ca) ≧ 9/(3+s) = 右辺.
【問題D】(a+b+c)/(abc)=k のとき
(7) 左辺 ≧ 3{(a+b+c)/3}^2 ≧ √{3(a+b+c)(abc)}=√(3k)･abc
ぬるぽ
531:501=525
04/10/26 09:19:52
>526
まだまだ改良できると思われ．．．
1/4≦w≦1/2 のとき: 幅wの区間の反対側の区間幅≦w, 残り2つの幅の合計x+y≧1-2w.
左辺 = 2/(w/2) +1/{(w/2)+x} +1/{(w/2)+y}
(i) 1/4≦w≦1/3 のとき x,y≧1-3w
左辺 ≦ 2/(w/2) +1/{(w/2)+w} +1/{(w/2)+(1-3w)} = (4 +2/3)/w +2/(2-5w) ≦ 64/3.
(ii) 1/3≦w≦1/2 のとき x,y≧0
左辺 ≦ 3/(w/2) +1/{(w/2)+(1-2w)} = 6/w +2/(2-3w) ≦ 18+2 = 20.
(iii) 1/2<w のとき
左辺 ≦ 4/(w/2) =8/w ≦ 16.
ぬるぽ
532:１３２人目の素数さん
04/10/26 14:50:31
>530
神キタ━（ﾟ∀ﾟ）━！！！
(3) 書き間違いですね。 3(a^2 -ab+b^2) - (a^2 +ab+b^2) = 2(a-b)^2
(5) ですが、元の問題みたら、a,b,c の条件は実数でした。 死んでお詫びを…。
(7) そんな手があるとは…。
むずぽ
533:530
04/10/26 21:54:44
>532
(3)は仰せのとおり。 死んでお詫びを．．．(AA略)
(5)の修正でつ
(i) -1≦a,b,c≦1 のときは変更なし．．．
(ii) -1≦a,b≦1<c のとき、d≡ a+b-1 = ab-(1-a)(1-b)≦ab より
右辺 - 左辺 = {(a+b-1)^2 +(c-1)^2 +ab(c-1)}/2 ≧ {d^2 +(c-1)^2 +(c-1)d}/2 ≧0.
(iii) c<-1≦a,b≦1 のとき、 左辺 = (a+b+|c|) +2c ≦ 2 +(ab-2)|c| ≦ 2-ab|c| = 右辺.
(7)は 相加・相乗平均 {(a+b+c)/3}^(3/2) ≧ √{abc} を使いますた。 ハｧハｧ
ぬるぽ
534:533
04/10/27 08:04:30
(5) またまた修正
(ii) 右辺 - 左辺 = (1 +s/2 +abc) - (a+b+c) = (1/2)(a+b+c-2)^2 + (1-a)(1-b)(c-1) ≧ 0.
すまそ
535:１３２人目の素数さん
04/10/27 12:24:51
>534
>右辺 - 左辺 = (1/2)(a+b+c-2)^2 + (1-a)(1-b)(c-1)
すげー！ こんな変形 気づきません。（；´д｀）ﾊｧﾊｧ
536:１３２人目の素数さん
04/10/28 14:21:43
正の数 a, b, c が a^2+b^2+c^2=1 をみたすとき、次式の最小値をキボンヌ。
(a^5)/(b+c) + (b^5)/(c+a) + (c^5)/(a+b)
巡回的に対称だから、a≧b≧c または a≧c≧b としてよい。
前者のとき a/(b+c)≧b/(c+a)≧c/(a+b)、
後者のとき a/(b+c)≧c/(a+b)≧b/(c+a) だから、
チェビシェフの不等式により、どちらも次の同じ不等式を得る。
与式 ≧ (1/3)(a^4+b^4+c^4){a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)}
3(a^4+b^4+c^4)-(a^2+b^2+c^2) = (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2 ≧ 0 より
a^4+b^4+c^4 ≧ (1/3)(a^2+b^2+c^2)^2 = 1/3
あとは、a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) の最小値が分かれば…。 たのも～！
r～～～～～～～～～～～
＿_ _ﾉ このあと、どうすれば・・・
／__ ｀ヽ_ ⌒ヽ～～～～～～～～～～～
|〈___ﾉf レ1(
,L| しL.し'ﾞ"
"｀ "′
537:536
04/10/28 14:44:50
自己解決。 Jensenで瞬殺だった。
538:１３２人目の素数さん
04/10/28 15:14:18
ついでに条件不等式を投下。 [>>519(1)(2)]もたのも～。
(1) [1996 Poland]
a, b, c≧-3/4、a+b+c=1 のとき、a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≦ 9/10
(2) [1998 Poland]
a, b, c, d, e, f>0、a+b+c+d+e+f=1、ace+bdf≧1/108 のとき、abc+bcd+cde+def+efa+fab ≦ 1/36
も一つおまけに絶対不等式を投下。
(3) [1992 Poland]
実数 a, b, c に対して、(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 ≧ (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)
| |∥│||
┌― | |∥│|| ―┬──
｜ | |∥│|| ｜
｜ ｜ |￣￣￣ 不等式と聞いちゃあ
｜ /￣￣∨ヽ. | | 黙っちゃゐられねゑ…
｜ / ∨. ｜ |＿＿＿
｜ /___________ヽ ｜ｶﾞｼｬﾝ
｜ / | ＼／_|ヽ ｜
｜ | | ﾟ| □| ＼.| ← 不等式ヲタ
｜ | | ﾟ| |＼__|つ
｜ | | ﾟ| | ｜
539:538
04/10/28 15:23:52
書き忘れ。上の問題はここにありまつ。模範解答はないけど…。（；´д｀）ﾊｧﾊｧ
URLﾘﾝｸ(www.mimuw.edu.pl)
540:１３２人目の素数さん
04/10/28 19:26:22
>538
(2) [1998 Poland] 49th, 2nd round, 1st day(1998.2.27), No.3a
a+d>0, b+e>0, c+f>0, a+b+c+d+e+f=s, ace+bdf=u のとき、相加相乗平均より
左辺 =(a+d)(b+e)(c+f) -(ace+bdf) ≦ {[(a+d)+(b+e)+(c+f)]/3}^3 -(ace+bdf)=(s/3)^3 -u.
URLﾘﾝｸ(www.mimuw.edu.pl)
ついでに >>519
【問題A】 ab+bc+ca=t とおく。
(1) t≧1, a+b+c≧√(3t), abc≦(t/3)^(3/2) を使って
左辺 = (a+b+c)-a(ca+ab)-b(ab+bc)-c(bc+ca)+abct = (1-t)(a+b+c) + (3+t)abc
≧ (1-t)√(3t) + (3+t)･(t/3)^(3/2) = √(3t)･(1-t/3)^2.
ぬるぽ
541:501=504
04/10/28 20:19:36
>536
よけいなお世話だが．．．
（解１） b+c=A, c+a=B, a+b=C とおくと a=(B+C-A)/2, b=(C+A-B)/2, c=(A+B-C)/2.
∴ a/(b+c) = (B/A + C/A -1)/2.
循環的に加えて相加･相乗平均を使えば、
左辺 ≧ (3+3-3)/2 = 3/2.
（解２）通分して a(c+a)(a+b) +b(a+b)(b+c) +c(b+c)(c+a) - (3/2)(b+c)(c+a)(a+b)
= (1/2){(a-b)(a^2 -b^2) +(b-c)(b^2 -c^2) +(c-a)(c^2 -a^2)} ≧0.
ぬるぽ
542:１３２人目の素数さん
04/10/28 23:55:27
>541 神キタ━（ﾟ∀ﾟ）━！！！
ありがとうございまする。解法のコレクションが増えました。
今更ながら >537 に書いた方法は…
a+b+c=s とおくと 0<s≦√6。 この範囲で任意に s を固定する。
f(x) = x/(s-x) = s/(s-x)-1 は 0<x<s において下に凸だから、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ＝ f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f((a+b+c)/3) ＝ 3f(s/3) ＝3/2
となって、a=b=c (=1/√3) で最小値をとる。
543:１３２人目の素数さん
04/10/29 02:56:10
[>>519(2)] について…。
正の数 a, b, c が ab+bc+ca=1 をみたすとき
a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≧ 2a(1-a^2)/{(1+a^2)^2} + 2b(1-b^2)/{(1+b^2)^2} + 2c(1-c^2)/{(1+c^2)^2}
条件式から得られるものは、
(a+b+c)^2 ≧ 3(ab+bc+ca) = 3
a^2+b^2+c^2 ≧ ab+bc+ca = 1
1 = {(ab+bc+ca)/3}^(3/2) ≧ abc > 0
右辺の分子を 1-a^2 = (1+a^2)-2a^2 と変形して整理すると、示すべき不等式は
(4a^3)/(1+a^2)^2 + (4b^3)/(1+b^2)^2 + (4c^3)/(1+c^2)^2 ≧ a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) … (A)
右辺の分子を 1-a^2 = 2-(1+a^2) と変形して整理すると、示すべき不等式は
3a/(1+a^2) + 3b/(1+b^2) + 3c/(1+c^2) ≧ 4a/(1+a^2)^2 + 4b/(1+b^2)^2 + 4c/(1+c^2)^2 … (B)
(A), (B) のどちらか一方が示せればいいんだけど…。 むずぽ。
544:１３２人目の素数さん
04/10/29 03:06:40
a=cot(A),b=cot(B),c=cot(C)を満たす鋭角三角形ABCを考えたら？
545:543の続き
04/10/29 03:38:17
(A) の左辺にチェビシェフの不等式を用いると、
（Aの左辺）
＝ {(4a^2)/(1+a^2)}*{a/(1+a^2)} + {(4b^2)/(1+b^2)}*{b/(1+b^2)} + {(4c^2)/(1+c^2)}*{c/(1+c^2)}
≧ (1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)}*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)}
となるから、次が示されれば…。
(1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)} ≧ 1
(A) の左辺に、上とは別の方法でチェビシェフの不等式などを用いると、
（Aの左辺）
＝ 4a*{a/(1+a^2)}^2 + 4b{b/(1+b^2)}^2 + 4c*{c/(1+c^2)}^2
≧ (1/3)*(4a+4b+4c)*[{a/(1+a^2)}^2 + {b/(1+b^2)}^2 + {c/(1+c^2)}^2]
≧ (1/3)*(4a+4b+4c)*(1/3)*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2)+ c/(1+c^2)]^2
≧ (4\sqrt{3}/9)*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2)+ c/(1+c^2)]^2
となるから、次が示されれば…。
(4\sqrt{3}/9)*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2)+ c/(1+c^2)] ≧ 1
どっちも むずぽ｡
546:１３２人目の素数さん
04/10/29 03:39:35
>>544
下書きしているうちに レスが…。
ありがとうございます、考えてみまする。
547:１３２人目の素数さん
04/10/29 03:53:56
>540
> 左辺 =(a+d)(b+e)(c+f) -(ace+bdf)
この変形に勃起しました。 （；´д｀）ﾊｧﾊｧ
548:540
04/10/29 20:54:45
>538
(1) [1996 Poland] 47th, 2nd round, 1st day(1996.2.23), No.3
曲線 y=x/(1+x^2) 上の点（1/3, 3/10）で接線を引く： y= (9/50)(1/3 +4x).
x≧-3/4 ⇒ x/(1+x^2) = (9/50)(1/3 +4x) - (18/25)(x+3/4)(x-1/3)^2 ≦ (9/50)(1/3 +4x).
x=a,b,c について加えれば、 左辺 ≦ (9/50){1+4(a+b+c)}.
URLﾘﾝｸ(www.mimuw.edu.pl)
ぬるぽ
>519 (1) 下の方の不等号が逆向き、すまそ。
549:１３２人目の素数さん
04/10/30 10:06:27
このスレ、まるで初等幾何のスレだな。
違うのは図が無いところだけ。
550:１３２人目の素数さん
04/10/30 11:46:19
>>549
それは簡単に言うと馬鹿にしているのですか？
551:１３２人目の素数さん
04/10/30 18:28:53
不等式を制する者は、解析を制する。
不等式は下からの評価が結構難しい。
552:working woman
04/10/30 18:34:40
マニアックな不等式をいくら積み重ねてもしようが無いわね。
553:１３２人目の素数さん
04/10/30 19:12:52
L^2 とか、uniform space の不等式を積み重ねなさいよ。
554:１３２人目の素数さん
04/10/31 01:03:17
Ｌ -‐ '´ ￣ ｀ヽ- ､ 〉
／ ヽ＼ /
／/ / / ヽヽ ヽ〈
ヽ､レ! { ﾑ-t ﾊ li ､ i i }ﾄ､
ﾊＮ | lヽ八l ヽｊﾊVヽ､ｉ j/ l !
/ﾊ. ｌ ヽｋ=＝ , r= ､ﾉﾙｌ lＬ」
ヽN､ﾊ ｌ ┌‐┐ ﾞl ﾉl l
ヽﾄjヽ､ ヽ_ノ ノ//ﾚ′
r７７７７７７７７７tﾉ｀ ｰ r ´ﾌ/′
ｊ´ﾆゝ ｌ|ヽ _/｀＼
〈 ‐ 書き込み ｌﾄ、 / 〃ゝ、
〈､ﾈ.. .ｌＦ Ｖ=＝"／ ｲl.
ト | と思ったら ニヽ二／ ｌ
ヽ.|l. 〈ｰ- ! ｀ヽ.
|l 荒らしでした ｌﾄﾆ､_ﾉ ヾ、
|l_＿_＿_＿_＿__ｌ| ＼ ソ
555:１３２人目の素数さん
04/10/31 01:05:54
>>554
それもｋｉｎｇ信者による荒らし。
working woman をＮＧﾜｰﾄﾞしる！
556:１３２人目の素数さん
04/10/31 11:19:09
解けない人の妬みにしか聞こえんな。
557:１３２人目の素数さん
04/10/31 11:19:34
>>519 (2)
[544]の続き。 a=cot(A), b=cot(B), c=cot(C), 0<A,B,C<π/2.
A+B+C=π より
左辺 = (1/2){sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)} = 2sin(A)sin(B)sin(C).
右辺 = (1/2){sin(4A)+sin(4B)+sin(2C)} = 2sin(2A)sin(2B)sin(2C).
右辺／左辺 = 8cos(A)cos(B)cos(C)
f(x)=cos(x) は [0,π/2) で正で上に凸なので、log|cos(x)| も上に凸（∵補題）
∴ 8cos(A)cos(B)cos(C) < 8{cos[(A+B+C)/3]}^3 = {2cos(π/3)}^3 = 1.
【補題】f(x)≧0 が上に凸ならば log|f(x)| も上に凸。
（略証）{log|f(X)|} " = (f '/f) ' = {(ff " -(f ')^2}/(f^2) <0
[519] の解答のレス番（主なもの）
(1) 540 (2) 544+556 (3)～(7) 530 (8),(9) 524
ぬるぽ
558:557
04/10/31 17:48:54
[557]の後半を修正
右辺／左辺 = 8cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {2[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3
y=cos(x) は [0,π/2) で上に凸なので、
2[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3 ≦ 2cos[(A+B+C)/3] = 2cos(π/3) = 1.
すまそ
559:１３２人目の素数さん
04/10/31 19:09:38
>519 (2) について
うひょっ。㌧クスです。自分なりに解決しました。またもや Jensen を使いました。
正の数 a, b, c が ab+bc+ca=1 をみたすとき
a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≧ 2a(1-a^2)/{(1+a^2)^2} + 2b(1-b^2)/{(1+b^2)^2} + 2c(1-c^2)/{(1+c^2)^2}
>543(A) に書いたように同値変形して
(4a^3)/(1+a^2)^2 + (4b^3)/(1+b^2)^2 + (4c^3)/(1+c^2)^2 ≧ a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)
>545前半に書いたように、左辺にチェビシェフの不等式を用いて
（Aの左辺） ≧ (1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)}*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)}
したがって、次式を示せばよい。
(1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)} ≧ 1
同値変形して、結局 ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a, b, c に対して、次を示せばよい。
1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4
f(x) = 1/(1+x) は x>0 において、下に凸な減少関数であることと、(a^2+b^2+c^2)/3 ≧ (ab+bc+ca)/3 =1/3 だから、
f(a^2)+f(b^2)+f(c^2) ≦ 3f((a^2+b^2+c^2)/3) ≦ 3f(1/3) ＝ 9/4
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！Jensen
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
560:１３２人目の素数さん
04/11/01 03:19:45
>557-558 激乙。いつもありがとうございまする。
残るは >>538(3) ですね。またネタを探してきます。
561:１３２人目の素数さん
04/11/01 09:22:23
後で見るときに分かりやすいだろうから、一気に出しておきます。
とりあえず分類したものから、ボコッと投下。
発掘元は、>>539 や以下のサイトなど。（解答のないものばかり）
URLﾘﾝｸ(www.math.nwu.edu)
⊿ ○ ∇ 、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､ ';冫 ☆
┏ ━ゝヽ''／ ≧ ＼━〆Ａ!ﾟ━┓。
╋┓"〓┃ ＜ ゝ＼',冫｡' |:::: ＼ .／ |゛△│´'´,.ゝ'┃. ●┃ ┃┃
┃┃_.━┛ヤ━━━|::::: (● (● |━━━━━ ━┛ ・ ・
∇ ┠─Σ- ヽ::::... .ワ.....ノ 冫 そ',´; ┨'ﾟ,。
.。冫▽ ＜ ⊂ ./⊃ 乙 ≧ ▽
。 ┃ Σ （⌒ゞ ,l, ､'' │ て く
┠─ム┼ ゝ,,ﾉ ﾉゝ. ､,, .┼ ｧ Ζ┨ ミｏ''｀
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○ ┃ `､,~´＋√ ▽ ',!ヽ.◇ ｏ┃
┗〆━┷ Ｚ,.' /┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
ヾ ⊿ '、´ ∇
562:絶対不等式など
04/11/01 09:23:26
再掲 >>538(3) [1992 Poland]
実数 a, b, c に対して、(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 ≧ (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)
(1) 複素数 a, b, c に対して、|\sqrt(a^2+b^2+c^2)| ≦ max(|a|+|b|, |b|+|c|, |c|+|a|)
(2) [1999 Poland] 実数 a, b, c, d に対して、(a+b+c+d)^2 ≦ 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+6ab
(3) 正の数 a, b, c に対して、(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ 9(abc)^2
(4) 正の数 a, b, c, d に対して、ab^4+bc^4+cd^4+da^4 ≧ abcd(a+b+c+d)
(5) [2003 Poland] 正の数 a, b, c, d に対して、(a+b+c+d)^3 ≦ 4(a^3+b^3+c^3+d^3)+24(abc+bcd+cda+dab)
(6) [2002 Poland] 正の数 a_k, b_k に対し、Π[k=1 to n]a_k + Π[k=1 to n]b_k ≦ Σ[k=1 to n]√{(a_k)^2+(b_k)^2}
(7) [1999 Poland] 整数 a_k, b_k に対して、 Σ[i<j](|a_i-a_j|+|b_i-b_j|) ≦ Σ[i<j]|a_i-b_j|
563:条件不等式
04/11/01 09:24:10
(1) [2000 Poland] 正の数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、a^2+b^2+c^2+2√(3abc) ≦ 1
(2) [1996 Poland] a, b, c ≧ 0 と 1/2 ≧ p, q, r ≧ 0 が、a+b+c = p+q+r = 1 をみたすとき、pa+qb+rc ≧ 8abc
(3) [1999 Turkey] a≧b≧c≧0 に対して、(a+2c)(c+3b)(b+4a) ≧ 60abc
(4) [1991 Vietnum] a≧b≧c>0 に対して、b^2c/a + c^2a/b + a^2b/c ≧ a^2+b^2+c^2
(5) [1993 Itary] 0≦a, b, c≦1 に対して、a^2+b^2+c^2 ≦ a^2b+b^2c+c^2a+1
類題に [1994 Rumania] 0≦a, b, c≦1 に対して、a+b+c ≦ ab+bc+ca+1 がありました。
(6) 0 < a, b, c < 1/2 に対して、(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1) ≧ {3/(a+b+c) -1}^3
(7) 自然数 m, n と実数 0≦x≦1 に対して、(1-x^n)^m+{1-(1-x)^m}^n ≧1
564:最大最小値問題
04/11/01 09:24:35
(1) 正の数 a, b, c に対して、(a^3+b^3+c^3)/(a+b)(b+c)(c+a) の最小値。
(2) 実数 a, b, c が a^2+b^2+c^2≠0 をみたすとき、 abc(a+b+c)/{(2a^2+b^2)(b^2+2c^2)} の最大値。
(3) a^2+b^2+c^2=1 をみたす実数 a, b, c と、非負実数 p, q, rに対して、次式の最大値と最小値。
\sqrt{(pa)^2+(qb)^2+(rc)^2} + \sqrt{(pb)^2+(qc)^2+(ra)^2} + \sqrt{(pc)^2+(qa)^2+(rb)^2}
(4) 異なる実数 a, b, c が bc+ca ≧ 1+ab+c^2 をみたすとき、次式の最大値。ただし n は自然数。
{(a-b)^(2n+1)+(b-c)^(2n+1)+(c-a)^(2n+1)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
(5)-(i) 非負実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) の最小値。
(5)-(ii) 非負実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、(1+√a)(1+√b)(1+√c) の最小値。
(6) 非負実数 a, b, c と自然数 n に対して、常に次式が成り立つような定数 k の最小値。
k(a^3+b^3+c^3)+(9-3k)abc ≧ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)
565:三角形と三角関数の不等式
04/11/01 09:24:59
(1) [1963 Eotvos] 0<x<π/2 のとき、(1/(sin x)+1)(1/(cos x)+1) > 5
(2) [1978 Austria] tan k (k = 1度, …, 44度)の相加平均をA、相乗平均をGとおくとき、A > (√2)-1 > G
(3) [1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1
(4) 0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2 [類 ： 不等式への招待 P.39 ]
(5) 0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)
(6) [1994 Poland] △ABCに対して、1/a + 1/b + 1/c ≦ 1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b)
(7) △ABCに対して、{(b+c)cosA}/a + {(c+a)cosB}/b + {(a+b)cosC}/C ≧ 9(a+b+c)
(8) 鋭角三角形ABCに対して、内接円の半径を r とするとき、
a^2(cos A/2)/\sqrt(b^2+c^2) + b^2(cos B/2)/\sqrt(c^2+a^2) + c^2(cos C/2)/\sqrt(a^2+b^2) ≧ (9r√2)/2
566:１３２人目の素数さん
04/11/01 15:27:06
>557
A+B+C=π、 0 < A, B, C < π/2 において、cosAcosBcosC ≦ 1/8 の別証明。
cosA、cosB、cosC > 0 だから、相加平均・相乗平均の関係を用いた後、
y=cos x は 0 < A, B, C < π/2 において上に凸だから、Jensenの不等式を用いる。
cosA cosB cosC ≦ [(cosA+cosB+cosC)/3]^3 ≦[cos{(A+B+C)/3}]^3 = (cos π/3)^3 = 1/8
567:１３２人目の素数さん
04/11/01 16:22:42
くだらねゑ問題が混ざってゐた。スマソ。
>>562(3)
（解１） 左辺の２つの括弧にそれぞれ相加相乗不等式で瞬殺。等号成立条件は a=b=c=1。
（解２） Schwarzの不等式を使ってから、相加相乗不等式で瞬殺。
568:もう一問だけ…
04/11/01 18:01:35
【問題】 正の数 a_1, …, a_n の総和を s とするとき、 Σ[k=1 to n]\sqrt{(s-a_k)/a_k} ≧ n\sqrt(n-1)
コーシー・シュワルツの不等式から、
Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k) ≦ \sqrt(ns)
Σ[k=1 to n]\sqrt(s-a_k) ≦ \sqrt{n(n-1)s}
相加平均・調和平均の関係から、
Σ[k=1 to n]1/\sqrt(a_k) ≧ (n^2)/Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k)
ここで行き詰まってます。たのも～（AA略）
ついでに、分子と分母を逆にした式は、チェビシェフの不等式を使って、
Σ[k=1 to n]\sqrt{a_k/(s-a_k)} ≧ (Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k))/\sqrt{n^3(n-1)s}
で合ってますか？
発掘元：S73
URLﾘﾝｸ(www.math.nwu.edu)
569:568の修正
04/11/01 18:48:34
>ついでに、分子と分母を逆にした式は、チェビシェフの不等式を使って、
> Σ[k=1 to n]\sqrt{a_k/(s-a_k)} ≧ (Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k))/\sqrt{n^3(n-1)s}
>で合ってますか？
チェビシェフの不等式のあと、相加平均・調和平均の関係を使って
Σ[k=1 to n]\sqrt{a_k/(s-a_k)} ≧ \sqr[n/{s(n-1)}]*Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k)
これ以上は綺麗にならないでしょうか？
570:１３２人目の素数さん
04/11/01 20:24:37
>559
結局、 ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a,b,c に対して、次を示せばよい。
1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4.
> f(x) = 1/(1+x) は x>0 において、下に凸な減少関数であることと、･････から、
> f(a^2)+f(b^2)+f(c^2) ≦ 3f((a^2+b^2+c^2)/3) ≦ ････
ちょっと変な希ガス。そこで迂回路↓
基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
a^2 +b^2 +c^2 = s^2 -2t, (ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2 = t^2 -2su.
∴ 9/4 -1/(1+a^2) -1/(1+b^2) -1/(1+c^2)
= {(9/4)[1+(s^2 -2t)+(t^2 -2su)+u^2]-[3+2(s^2 -2t)+(t^2 -2su)]}/{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}
= {-3+(s^2-2t)+5(t^2 -2su)+9u^2}/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}
= {(-3-2t+5t^2)+(s-u)(s-9u)}/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}.
ここで t=1, st-9u≧0 だから 左辺≧0.
ぬるぽ
571:570
04/11/01 21:00:41
>545,559
蛇足だけれど、
チェビシェフの不等式を使うところ：
(x^2)/(1+x^2) の大小と x/(1+x^2) の大小が一致することを示してほすぃ。
（前者は単調増加、後者はx=1で極大だが．．．）
ぬるぽ
572:１３２人目の素数さん
04/11/01 21:07:40
>570 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
気づきませんでした。Jensenの不等式を使ったところが逆でした。
f(a^2)+f(b^2)+f(c^2) ≧ 3f((a^2+b^2+c^2)/3)
ありがとうございます。
573:１３２人目の素数さん
04/11/01 21:17:18
>571 ﾊｯ！
しまった。後者は単調増加じゃないですね。
あちこちダメポ…。
574:１３２人目の素数さん
04/11/01 21:28:02
>545,559 のチェビシェフを使うための大小が一致することの確認。
x≧y>0のとき、
(x^2)/(1+x^2) - (y^2)/(1+y^2) = (x^2-y^2)/{(1+x^2)(1+y^2)} ≧ 0
x/(1+x^2) - y/(1+y^2) = (x-y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)} …[1]
[1] は xy ≦1 のときに ０以上になるが、
a. b. c は正の数であることと、条件式 ab+bc+ca=1 より、
ab も bc も ca も１より小さい正の数であるので、[1]>0であることが分かる。
>571 いつもながら、ありがとうございます。
575:１３２人目の素数さん
04/11/01 22:21:56
>574の最後の行の訂正。
> …[1]≧0であることが分かる。
576:１３２人目の素数さん
04/11/01 23:54:07
>563(1)
a+b+c=s、ab+bc+ca=t、abc=u とおくと、示すべき不等式は (s^2-2t)+2√(3u) ≦ 1
s=1 を代入して整理すると、√(3u) ≦ t
両辺ともに正だから、２乗の差を比較して
t^2-3u = t^2-3su = (ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2 ≧ 0
等号成立条件は、a=b=c=1/3。
左辺しか与えられてなかったら、どうやって最大が１を示すのだろう…。
577:１３２人目の素数さん
04/11/03 06:02:59
>563(3) が解けそうで解けない。
いろんな単語でWeb上を探したら、時間が掛かったけど見つけた。
URLﾘﾝｸ(www.google.com)
このサイト内で略解を見つけたけど、ハンガリー語（？）で解読不能。
URLﾘﾝｸ(matek.fazekas.hu)
数式だけ追ってみると、次のようになっていた。
【問題】 0≦a≦b≦c に対し、(a+3b)(b+4c)(c+2a) ≧60abc
(a+3b)(b+4c)(c+2a)
≧ 2(a+b)*(5/2)(b+c)*(3/2)(c+a)
＝ (15/2)(a+b)(b+c)(c+a)
≧ (15/2)*2√(ab)*2√(bc)*2√(ca)
＝ 60abc
＿＿＿
.／ nCr ＼ 最初の不等号の評価が謎。
|:::: ＼ .／ | たのも～
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
578: ◆BhMath2chk
04/11/03 09:00:00
（ａ＋３ｂ）（ｂ＋４ｃ）（ｃ＋２ａ）
≧（４（ａｂ＾３）＾（１／４））（５（ｂｃ＾４）＾（１／５））（３（ｃａ＾２）＾（１／３））
＝６０（ａ＾５５・ｂ＾５７・ｃ＾６８）＾（１／６０）
≧６０（ａ＾６０・ｂ＾６０・ｃ＾６０）＾（１／６０）
＝６０ａｂｃ。
579:１３２人目の素数さん
04/11/03 16:17:11
>578
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
ソレダッ！！
ありがとうございます！
580:１３２人目の素数さん
04/11/03 22:02:49
>>558,566 の別証明。
【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
（略証） 1-cos(x) = 2{sin(x/2)}^2 に注意.
（右側）： sin(x) は(0,π)で上に凸だから、
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ {(1/3)[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]}^3 ≦ {sin[(A+B+C)/3]}^3
= {sin(π/3)}^3 = (1/2)^3 = 1/8.
これを2乗して8倍する。
（左側）： 左辺 = cos(A)cos(B)cos(C) = -cos(A)cos(B)cos(A+B) = {sin(A)sin(B)-cos(C)}cos(C).
中辺 - 左辺 = [1-cos(A)][1-cos(B)] - {[1-cos(A)][1-cos(B)]+sin(A)sin(B)}･cos(C) + [cos(C)]^2
= [1-cos(A)][1-cos(B)] - 2√{[1-cos(A)][1-cos(B)]}･cos[(A-B)/2]･cos(C) + [cos(C)]^2
= X^2 -2XY･cos(θ) +Y^2 = |X-Y|^2 + 2XY[1-cos(θ)] ≧ 0.
（鈍角三角形のときは 左辺<0 より自明．．．．）
ぬるぽ
581:１３２人目の素数さん
04/11/03 22:18:01
>>580
その補題を使って>>538(3)が出来るはず。
582:１３２人目の素数さん
04/11/03 22:24:35
>538
(3) [1992 Poland] 44th, 1st round, (1992.Sept-Dec.), No.9
右辺の3つの因子のうちの2つの和は ≧0 だから、負の因子はあっても１つだけ。
(i) 負の因子があるとき、0>右辺 より明らか。
(ii)3つとも ≧0 のとき。
文字a,b,cの符号を変えても右辺は変わらない。また左辺は
(a+b+c)^2, (-a+b+c)^2, (a-b+c)^2, (a+b-c)^2 の中の3つの積になる。
これが最も小さくなるのは、 最大の因子 (|a|+|b|+|c|)^2 を欠く場合、すなわち同符号の場合。
∴ a,b,c >0 場合を考えれば十分。このとき、a,b,cを3辺とする鋭角三角形が存在する。
(a+b-c)(b+c-a) = b^2 -(c-a)^2 = 2ca[1-cos(B)] などにより、
左辺 = {8(abc)^2}[1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)].
右辺 = {8(abc)^2}cos(A)cos(B)cos(C).
[580]の補題（左）により、左辺＞右辺.
URLﾘﾝｸ(www.mimuw.edu.pl)
[538]の解答のレス番（主なもの）
(1) 548 (2) 540 (3) 581
ぬるぽ
583:580
04/11/04 02:01:32
[580] の途中に写しまちがい
（右側）： ･･････ ≦ {sin[(A+B+C)/6]}^3 = {sin(π/6)}^3 = (1/2)^3 = 1/8.
死んでお詫びを．．．（AA省略）
584:１３２人目の素数さん
04/11/04 14:41:43
>580-583 ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━!!!!!!!!!!
585:１３２人目の素数さん
04/11/04 16:51:13
>>580
中辺 - 左辺
= [1-cos(A)][1-cos(B)] - {[1-cos(A)][1-cos(B)]+sin(A)sin(B)}･cos(C) + [cos(C)]^2
= [1-cos(A)][1-cos(B)] - 2√{[1-cos(A)][1-cos(B)]}･cos[(A-B)/2]･cos(C) + [cos(C)]^2
のところですが、第２項の
{[1-cos(A)][1-cos(B)]+sin(A)sin(B)} = 2√{[1-cos(A)][1-cos(B)]}･cos[(A-B)/2]
は、どうやって変形したのですか？
586:580
04/11/04 22:11:27
>585
1-cos(x) = 2{sin(x/2)}^2 に注意して
[1-cos(A)][1-cos(B)] = {2sin(A/2)sin(B/2)}^2.
sin(A)sin(B) = {2sin(A/2)sin(B/2)}・{2cos(A/2)cos(B/2)}.
辺々加えて、cos()の加法定理を使いまする。
ぬるぽ
587:１３２人目の素数さん
04/11/05 09:46:52
なるほど、分かりました。
sinAsinBsinC ≦ (3√3)/8 に (1-sinA)(1-sinB)(1-sinC) を挟んでみたけど
力不足で証明できませんでした。成り立つのかさえ分かりませんが…。
>581 関係があるとは気づかなかったです。
588:１３２人目の素数さん
04/11/05 21:04:01
>562
(6) 任意の正の数 a_k, b_k に対し、Π[k=1～n]a_k + Π[k=1～n]b_k ≦ Π[k=1～n]√{(a_k)^2+(b_k)^2}
を満足するような正整数ｎをすべてキボンヌ.
ぢゃない？
URLﾘﾝｸ(www.mimuw.edu.pl)
589:１３２人目の素数さん
04/11/05 23:29:14
>>588Σ('д'*;)!!
| ／／ ／
|／／ ／┃
／￣''' ┃ ﾌﾟﾗｰﾝ
| (-＿-)
| U U
| UU
| （○）
| ヽ|〃
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
590:.
04/11/06 02:53:05
>588
n=2 はコーシー、n>2は帰納法で。n=1はだめぽ.
>587
むりぽ.
591:１３２人目の素数さん
04/11/06 04:50:54
実数 x, y に対して、xy/\sqrt{(x^2+y^2)(3x^2+y^2)} の最大値を求めよ。
>562-565 が難しいので、息抜きに簡単なのをやってみたら、できなかった…。
おねがいします。むずぽ。
問題A15.3
URLﾘﾝｸ(matek.fazekas.hu)
解答
URLﾘﾝｸ(matek.fazekas.hu)
592:１３２人目の素数さん
04/11/06 14:55:29
>>568
相加･相乗平均だけでよい。 a_1, a_2,･････,a_n の積を u とおくと、
s - a_k =Σ[i≠k] a_i ≧ (n-1)･(u/a_k)^[1/(n-1)].
∴ 左辺 ≧ sqrt(n-1)･Σ[k=1～n] {(u/a_k)^[1/2(n-1)]}/sqrt(a_k)≧ n･sqrt(n-1).
ぬるぽ
593:１３２人目の素数さん
04/11/06 16:05:26
>591 x^2 =a, y^2 =b とおくと、
(x^2 +y^2)(3x^2 +y^2) = (a+b)(3a+b) = (a√3 -b)^2 +(4+2√3)ab ≧ [(1+√3)xy]^2.
∴ 与式 ≦ 1/(1+√3) = 1/k.
【問題15.5】 [2002 Irish] Test 1
0<a,b,c<1 のとき a/(1-a) + b/(1-b) + c/(1-c) ≧ s/(1-s/3) ≧ 3u/(1-u).
ただし s=a+b+c, u=(abc)^(1/3).
594:１３２人目の素数さん
04/11/07 06:03:10
>592
ありがとうございます。 最後の部分が分かりません。
Σ[k=1～n] {(u/a_k)^[1/2(n-1)]}/sqrt(a_k) ≧ n
書き換えると、Σ[k=1～n] (u/{(a_k)^n})^[1/2(n-1)] ≧ n ですけど
なんでそうなるのかが分かりません。
595:１３２人目の素数さん
04/11/07 06:13:27
>593
なるほど！ そういうことだったのか。
ありがとうございます。
（問題15.5の証明）
下に凸な増加関数 f(x)=1/(1-x) に、Jensen と相加相乗平均を用いる。
等号成立条件は、a=b=c。
f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f( (a+b+c)/3 ) ≧ 3f( \sqrt[3]{abc} )
596:そういえば…
04/11/07 06:54:45
【問題】 正の数 a, b, c が a<b+c をみたすとき、a/(1+a) < b/(1+b) + c/(1+c)
x>0 において f(x)=x/(1+x) は増加関数だから、a<b+c より f(a) < f(b+c)
f(b)+f(c)-f(b+c) = bc(2+b+c)/(1+b)(1+c)(1+b+c) > 0
よって、f(a) < f(b+c) < f(b)+f(c)
第3回シュプリンガー数学コンテスト問題A(a)
URLﾘﾝｸ(www.springer-tokyo.co.jp)
(b)なんてただの飾りです…（以下略）
597:592
04/11/07 07:04:46
>594
相加･相乗平均により
Σ[k=1～n] (u/{(a_k)^n})^c ≧ n・Π[k=1～n] [u^(1/n)/a_k])^(nc) = n・{1}^(nc) = n
598:１３２人目の素数さん
04/11/07 21:10:50
なるほど、相加相乗を２回使ったのですか。
599:593
04/11/07 21:54:45
>595 (問題15.5)
なるほど！ そういうことだったのか。
ありがとうございます。
なお、両端だけなら相加相乗３回で出まつ。 ぬるぽ
600:593
04/11/07 22:17:15
[599]の補足 > 593
> なお、相加相乗３回で出まつ。
1/(1-a) +1/(1-b) +1/(1-c) ≧ 3/[(1-a)(1-b)(1-c)]^(1/3) ≧ 3/(1- s/3) ≧ 3/(1-u).
の各辺から３を引く。 ぬるぽ
601:１３２人目の素数さん
04/11/07 23:40:33
【問題15.1】
a,b,c≧0 のとき、 7(ab+bc+ac)(a+b+c) ≦ 2(a+b+c)^3 +9abc.
よろしくおながいします。
602:１３２人目の素数さん
04/11/08 01:52:56
>601
a+b+c=s のとき、a/s, b/s, c/s を改めて a, b, c とおけば、同じ不等式をみたす。
したがって、a+b+c=1としてよく、【問題15.1】 は次の問題に同値になる。
[1999.3 BMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、ab+bc+ca-9abc/7 ≦ 2/7
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
最小値も追加した次の不等式を示す。
【問題】 a,b,c≧0, a+b+c=1 のとき、0 ≦ ab+bc+ca-9abc/7 ≦ 2/7
（左側の証明）
対称式なので a≧b≧c≧0 としてよい。
1 = a+b+c ≧ 3c より、1/3 ≧ c ≧ 0 だから
ab+bc+ca-9abc/7 = (a+b)c + ab(1- 9c/7) ≧ 0
等号成立条件は、対称性を取っ払って a, b, c のうちの少なくとも2個が0のとき
（右側の証明）
(i) 9/7 ≦ a ≦ 1 のとき、1 ≦ 9a/7 より、bc ≦ 9abc/7.
また b+c = 1-a ≦ 2/9 より、ab+ca = a(b+c) ≦ 2a/9 <2/7 だから、不等式は成り立つ。
(ii) 0 ≦ a ≦ 9/7 のとき、(b+c)^2-4bc = (b-c)^2 ≧ 0 より、
bc ≦ (1/4)(b+c)^2 =(1/4)(1-a)^2 だから、以下のように示される。等号は a=b=c=1/3.
ab+bc+ca-(2+9abc)/7
＝ a(b+c)+bc(1- 9a/7)-2/7
≦ a(1-a)+(1/4)(1- 9a/7)(1-a)^2 -2/7
＝ -(1/28)(a+1)(3a-1)^2
≦ 0
603:601の類題
04/11/08 01:54:13
[1984.A1 IMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、0 ≦ ab+bc+ca-2abc ≦ 7/27
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
[1993.26 IMO shortlist]
a, b, c, d≧0、a+b+c+d=1 のとき、abc+bcd+cda+dab ≦ (1+176abcd)/27
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
[1999 CMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
[2000.33 MOCP]
三角形の3辺 a, b, c が a+b+c=2 のとき、2 > a^2+b^2+c^2+2abc ≧ 52/27
URLﾘﾝｸ(www.cms.math.ca)
[1989.10 ソ連]
三角形の3辺 a, b, c が a+b+c=1 のとき、1/2 > a^2+b^2+c^2+2abc
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
[2003.B1 アイルランド]
三角形の3辺 a, b, c が a+b+c=2 のとき、1 < ab+bc+ca-abc ≧ 28/27
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼ >601 呼んだ？
|┃ |:::: ＼ .／ | 私のコレクションは
|┃ ≡|::::: (● (● | 半端じゃありませんよ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ ﾊｧﾊｧ…
|┃=＿＿ ＼
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
604:１３２人目の素数さん
04/11/08 01:59:08
さぁ、遠慮なく (;´д｀)ﾊｧﾊｧ してください。
605:１３２人目の素数さん
04/11/08 03:11:44
>600
なるほど。
>>565(6) [1994 Poland] について…
△ABCに対して、1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) ≧ 1/a + 1/b + 1/c ≧ 9/(a+b+c)
両端だけなら、相加平均・調和平均の関係で出るんだけどなぁ…
606:１３２人目の素数さん
04/11/08 05:36:19
>601
直接に差をとって証明しようとすると、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u として
2(a+b+c)^3 +9abc-7(ab+bc+ac)(a+b+c) = 2s^3-7st+9u = 2s(s^2-3t)-(st-9u)
となって、だめぽ。いい方法ないですか？
607:１３２人目の素数さん
04/11/08 10:54:33
>>605
1/xの凸不等式で右側も左側もすぐに証明できるんじゃないの？
608:１３２人目の素数さん
04/11/08 12:03:51
>605,607
なるほど！ そういうことだったのか。
ありがとうございます。
「相加平均･調和平均の関係で」「右側も左側もすぐに証明できるんじゃないの？」
（左側） [1/(a+b-c) +1/(b+c-a)]/2 ≧ 1/b を循環的に加える。
>606
2(a+b+c)^3 +9abc -7(ab+bc+ac)(a+b+c) = (a-b)(a^2 -b^2) +(b-c)(b^2 -c^2) +(c-a)(c^2 -a^2).
ぬるぽ
609:608
04/11/08 12:13:27
>606
s(s^2-3t) -(st-9u) ≧0 も成り立つらしいYo.
610:１３２人目の素数さん
04/11/08 17:07:03
>607-609
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
なるほど！ ベリィ㌧クスです。
611:１３２人目の素数さん
04/11/08 20:31:05
>609
b が a, c の中間にあるとすると、(a-b)(b-c)≧0, a-b+c≧0 ゆえ,
s^3 -4st +9u = a(a-b)^2 +c(b-c)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) ≧0 ･････(1)
これと
s^2 -3t = (1/2)[ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] ≧0 ･････(2)
ts - 9u = [ c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2] ≧0 ･････(3)
t^2 -3su =(1/2)[c^2(a-b)^2 +a^2(b-c)^2 +b^2(c-a)^2] ≧0 ･････(4)
を使えば かなりできそうだが．．．．（△を除き）
ぬるぽ
612:１３２人目の素数さん
04/11/09 03:36:09
>>564(3)(5) ができそうで出来ません。 たのも～
それと、下の問題も小一時間考えても分からないので教えて下さい。
たのも～
【問題】 実数 a, b, c が abc=1 をみたすとき、
a^3+b^3+c^3+(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3 ≧ 2(a^2b+b^2c+c^2a)
URLﾘﾝｸ(www.journals.cms.math.ca)
613:１３２人目の素数さん
04/11/09 12:07:48
>>564 (3)
a,b,cの符号によらないから、a,b,c ≧0 の場合を考える。 与式を X+Y+Z とおくと、
最大値： X+Y+Z ≦ √{3(X^2 +Y^2 +Z^2)} = √{3(p^2+q^2+r^2)(a^2+b^2+c^2)}
= √{3(p^2+q^2+r^2)}.
最小値： X≧(pa+qb+rc)/(√3), Y≧(pb+qc+ra)/(√3), Z≧(pc+qa+rb)/(√3).
辺々たすと X+Y+Z ≧ (p+q+r)(a+b+c)/(√3) ≧ (p+q+r)/(√3).
>612
相加・相乗平均により、(2a^3 +c^3)/3 + (ab)^2/c ≧ (a^2)[c +(b^2)/c] ≧ 2(a^2)b.
循環的に加える。 ぬるぽ
614:１３２人目の素数さん
04/11/09 16:08:16
>>613
負の時もそれでいいの？
615:１３２人目の素数さん
04/11/09 16:12:55
>613
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
なるほどッ！
>614
考察する式には、a^2, b^2, c^2 だけで a, b, c は入っていないから
最大値最小値を考えるには、a, b, c ≧ 0 の場合を考えただけで十分でしょ。
616:１３２人目の素数さん
04/11/09 16:20:16
>>615
>>612の問題の方のことだけど
617:１３２人目の素数さん
04/11/09 19:39:43
>>534 (5)-(i)
f(x)=log(1+x^2) は 0<x<1 で下に凸だから
与式 = exp{f(a)+f(b)+f(c)} ≧ exp{3f([a+b+c]/3)} = {1 +[(a+b+c)/3]^2}^3 = (10/9)^3.
>612, 616
任意の実数に対しては成り立たない希ガス．．．(たとえば c=-1 のとき 左辺=-2, 右辺=-2b^2)
おそらく右辺の chirality が原因．．． ぬるぽ
618:１３２人目の素数さん
04/11/10 03:45:45
>>563(6) 0 < a, b, c < 1/2 に対して、(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1) ≧ {3/(a+b+c) -1}^3
f(x) = 1/x -1 は、0 < x < 1/2 において下に凸な減少関数で f(x) > 1。
したがって、0 < a, b, c <1 において f(a), f(b), f(c) > 1。
問題に手を加えて、次式を証明したい。
[f(a)+f(b)+f(c)]/3 ≧ \sqrt[3][f(a)f(b)f(c)] ≧ f((a+b+c)/3)
左辺 ≧ 中辺 … 相加相乗平均より成立
左辺 ≧ 右辺 … Jensenの不等式より成立
中辺 ≧ 右辺 … これが原題ですが、うまい方法ないでしょうか？
＿＿＿
.／ ≧ ＼ ついでに調和平均が、この不等式の
|:::: ＼ .／ | どこに入るか分かれば教えて下さい。
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆ たのも～
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆ たのも～
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
619:618
04/11/10 04:38:04
>>564(1)
a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a) より、
（与式） = [(a+b+c)^3]/[(a+b)(b+c)(c+a)] -3
相加相乗平均より、2(a+b+c) = (a+b)+(b+c)+(c+a) ≧ 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}
∴ （与式） ≧ (3/2)^3-3 = 3/8
等号成立条件は a=b=c
620:１３２人目の素数さん
04/11/10 09:44:44
>618
>>563(6) f(x) = 1/x -1 とおくと {log|f(x)|} '' = {log(1-x) -log(x)} '' = 1/(x^2) -1/(1-x)^2.
log|f(x)| は 0<x<1/2 で下に凸だから、 f(a)f(b)f(c) ≧ {f([a+b+c]/3)}^3.
ぬるぽ
621:１３２人目の素数さん
04/11/10 09:59:18
>620
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ありがとうございます！
622:１３２人目の素数さん
04/11/11 01:04:07
age
623:１３２人目の素数さん
04/11/11 02:27:09
>622
屑はageか3桁の数字を書き込むことしか出来ない
624:１３２人目の素数さん
04/11/11 12:39:49
>>563(5) [1993 Itary] 0≦a, b, c≦1 に対して、a^2+b^2+c^2 ≦ a^2b+b^2c+c^2a+1
b, c を固定して f(a) = (a^2b+b^2c+c^2a+1)-(a^2+b^2+c^2) を考える。
b=1のとき直線、0≦b<1のとき上に凸な放物線だから、区間の端点で最小値をとる。
f(0) = (1-c){c+(1-b^2)} ≧ 0
f(1) = b(1-b)+c^2 ≧ 0
類題も同様にすればいい。
625:１３２人目の素数さん
04/11/11 12:44:09
>>563(2) 綺麗な形をしているけど分からんちん。
>>563(4) できそうで できない。
>>564(4) 条件式が汚いからサッパリ。
>>564(5) できるのか、これ？
626:１３２人目の素数さん
04/11/11 12:44:46
というわけで、せんせー方、たのも～ （ＡＡ略）
627:１３２人目の素数さん
04/11/11 18:53:42
>>564(5) [>>617]
(i) f(x)=log(1+x^2) は 0<x<1 で下に凸だから
与式 = exp{f(a)+f(b)+f(c)} ≧ exp{3f([a+b+c]/3)} = {1 +[(a+b+c)/3]^2}^3 = (10/9)^3.
(ii) g(x)=1+√x は上に凸なので、log|g(x)| も上に凸
与式 = g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) = 1+√2.
628:627
04/11/11 19:19:45
訂正、 与式 = g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) = 2.
629:１３２人目の素数さん
04/11/12 06:13:10
>627-628
ありが㌧ございます。
なるほど、凸を使うのか。 （*ﾟ∀ﾟ）=3
630:１３２人目の素数さん
04/11/12 07:40:08
>627-628
(5)(ii) ですが、やっぱり分からんです。
g(x) = 1+√x は、x≧0 において上に凸で、g(x)>1 なので、
G(x) = log g(x) も、x≧0 において上に凸。 Jensenの不等式より
G(a)+G(b)+G(c) ≦ 3G((a+b+c)/3) = 3G(1/3)
∴ g(a)g(b)g(c) ≦ {g(1/3)}^3 = 2+(5/9)√3
と最大値はでますが、最小値は何故 g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) なのですか？
631:627-628
04/11/12 08:20:43
>629-630 564(5)-(ii)の補足
G(x)=log|g(x)| は上に凸: G(x) ≧ G(0)･(1-x) + G(1)･x
∴ G(a)+G(b)+G(c) ≧ G(0)･(3-a-b-c) + G(1)･(a+b+c) = G(0)+G(0)+G(1).
∴ g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1).
ぬるぽ
632:１３２人目の素数さん
04/11/12 09:03:07
>631
>G(x)=log|g(x)| は上に凸: G(x) ≧ G(0)･(1-x) + G(1)･x
凸関数をそう使うのか (;´Д`) ﾊｧﾊｧ ／lァ／lァ ／lア／lア！！
ありがとうございます。少し賢くなったような気がしまする。
凸関数があったら Jensen ばかり使っていた自分は…
633:１３２人目の素数さん
04/11/12 09:18:56
同様にすると、(5)(i) の最大値は、
f(x)=log(1+x^2) は 0≦x≦1 で下に凸だから、f(x) ≦ f(0)(1-x)+f(1)x
f(a)+f(b)+f(c) ≦ f(0)(3-a-b-c)+f(1)(a+b+c) = f(1)
∴ (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) ≦ 2
634:１３２人目の素数さん
04/11/12 09:22:56
等号が成り立つのは、x=0 または 1 のときだから、
(a, b, c) = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
635:１３２人目の素数さん
04/11/12 10:17:23
>>538(2) を 条件を a, b, c > 0、a+b+c=1 に変えると、
1/2 ≦ a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≦ 9/10
f(x) = x/(1+x^2) は 0≦x≦1 で上に凸だから、
左側は、f(x) ≦ f(0)(1-x)+f(1)x = x/2 より、右側はJensenの不等式。
うひょ～ (＊ﾟ∀ﾟ)＝3
636:１３２人目の素数さん
04/11/12 16:51:35
a, b, c≧0 が a+b+c=1 をみたすとき、a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) のとりうる値の範囲について、
最大値について、Jensenの不等式を用いたら出ないのですが、どこがおかしいか教えて下さい。
a^2(b+c)=a^2(1-a) より、f(x) = x^2(1-x) を考える。
0≦x≦1において f(x) は上に凸だから、Jensenの不等式より
a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) = f(a)+f(b)+f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3) = 2/9
等号成立条件は a=b=c=1/3。
ところが、例えば (a, b, c) = (1/2, 1/2, 0) のとき、1/4 の値をとり、これは 1/4 > 2/9 なんです。
Jensenの不等式の使い方間違ってますか？
r～～～～～
＿_ _ﾉ うっうっうっ・・・
／__ ｀ヽ_ ⌒ヽ～～～～～
|〈___ﾉf レ1(
,L| しL.し'ﾞ"
"｀ "′
637:636
04/11/12 16:55:37
ゴメン。書いてて気がついた。はずかし…
上に凸じゃないや、ダメダメだね俺。吊ってくるわ （ＡＡ略）
638:１３２人目の素数さん
04/11/12 17:07:49
スレ汚しの罰に、問題ＵＰ
0≦a, b, c≦1のとき、S=\sqrt{a(1-b)(1-c)}+\sqrt{b(1-c)(1-a)}+\sqrt{c(1-a)(1-b)} について
(1) S ≦ 1+\sqrt{abc} を示せ。等号成立条件も。
(2) S の最大値を求めよ。
Problem 175 （これって、何かの雑誌？）
URLﾘﾝｸ(www.math.nwu.edu)
639:１３２人目の素数さん
04/11/12 17:51:58
>>563(4) できそうで．．．
左辺－右辺 = (a^2)(b-c)/c - (b^2)(a-c)/a + (c^2)(a-b)/b
= a(a-c)(b-c)/c + b(a-b)(a-c)/a -c(b-c)(a-b)/b
= (a/c)(b-c)^2 + (b/a)(a-b)^2 + {a/c +b/a -c/b}(b-c)(a-b)
= (a/c)(b-c)^2 + (b/a)(a-b)^2 + {(a/c-1)+(b/a)+(1-c/b)}(b-c)(a-b)≧0.
ぬるぽ
640:三角函数ヲタ
04/11/12 22:18:24
>638 √a =sin(A/2), √b =sin(B/2), √c= sin(C/2) （0≦A,B,C≦π）とおく。
(1) S(A,B,C) = sin([A+B+C]/2) + sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) ≦ 1+√(abc), 等号成立はA+B+C=π.
(2) 2∂S/∂A = cos([A+B+C]/2) + cos(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) = 0,
2∂S/∂B = cos([A+B+C]/2) + sin(A/2)･cos(B/2)･sin(C/2) = 0,
2∂S/∂C = cos([A+B+C]/2) + sin(A/2)･sin(B/2)･cos(C/2) = 0.
∴A/2=B/2=C/2=θ, これを上式に入れて, cos(3θ) + cosθ･(sinθ)^2 =(3x^2 -2)x=0,
x=cosθ=√(2/3), θ=90ﾟ-54ﾟ44', a=b=c=1/3, ∴ S≦2/(√3).
ぬるぽ
641:１３２人目の素数さん
04/11/13 05:30:27
>639-640
キタ━（ﾟ∀ﾟ）━ ! ! !
さらりと解いてしまう、そこに しびれる あこがれる～！
642:１３２人目の素数さん
04/11/13 08:18:53
>640
その置き換えに痺れる憧れるぅ～。 (；´Д`) ﾊｧﾊｧ しました。
しかし、(2)の最大値は 9/8 ではないでしょうか？
(1)より得られた上限値 1+sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) に、Jensenの不等式を用いる。
[>>557補題] より、0≦x≦π において f(x) = log sin(x/2) は上に凸だから、
f(A)+f(B)+f(C) ≦ 3f((A+B+C)/3) = 3f(π/3)
∴ 1+sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) ≦ 1+{sin(π/6)}^3 = 9/8
等号成立条件は、A=B=C=π/3 すなわち a=b=c=1/4
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | これでいいでしょうか？
|::::: (● (● |
ヽ::::... . ワ ....ノ ／ ﾁﾝ ☆ たのも～
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆ たのも～
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
643:642
04/11/13 08:40:50
あぁそうか、勘違いしてました。
(2)はSの最大値で、1-√(abc) の最大値じゃないんですね。
∧＿∧
（ ´Д｀ ） まことに
/ ヽ
し､__X__,ﾉJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ すいませんでした
⊂ （ ） ⊃
V￣V
644:１３２人目の素数さん
04/11/13 08:55:02
あーでも変だなぁ…
どこがおかしいんだろ？
645:642
04/11/13 10:47:27
自己解決。
A+B+C=π という束縛の下で解いたから最大値が小さくなったんですね。
sin((A+B+C)/2) が1にならないときに最大となる可能性があるから…。
普通に解いてみました。
>638の最大値を求める。 >640の置き換えより、
（与式） = sin((A+B+C)/2) + sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2)
0≦x≦π において g(x) = sin(x/2) は、g(x)≧0 かつ上に凸だから、
相加相乗平均とJensenの不等式より
g(A)･g(B)･g(C) ≦ [g(A)+g(B)+g(C)/3]^3 ≦ [g((A+B+C)/3)]^3
等号成立条件は A=B=C
これと３倍角の公式から、（与式） ≦ [g(3A)+g(A)]^3 = 3g(A)-3[g(A)]^3
0≦g(A)≦1 における最大値を考えて、g(A)=1/√3 で極大かつ最大値 2/√3 をとるぽよ。
646:645の訂正
04/11/13 10:49:10
下から2行目の書き間違い
(×) これと３倍角の公式から、（与式） ≦ [g(3A)+g(A)]^3 = 3g(A)-3[g(A)]^3
(○) これと３倍角の公式から、（与式） ≦ g(3A)+[g(A)]^3 = 3g(A)-3[g(A)]^3
647:問題
04/11/13 12:52:57
ネタが尽きかけたので、補充しまつ。
【問題】 文字は全て正の数とする。
(1) 1/[1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c)] - 1/(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 1/3
(2) [1997 Belarus] a/b + b/c + c/a ≧ (b+c)/(a+b) + (c+a)/(b+c) + (a+b)/(c+a)
(3) [1995 Russia] 1/(ab) ≧ a/(a^4+b^2) + b/(a^2+b^4)
(4) [1997 Belarus] (a+y)x/(a+x) + (a+z)y/(a+x) + (a+x)z/(a+y) ≧ x+y+z ≧ (a+z)x/(a+z) + (a+x)y/(a+y) + (a+y)z/(a+z)
(5) [1997 Romania] a^2/(a^2+2bc) + b^2/(b^2+2ca) + c^2/(c^2+2ab) ≧ 1 ≧ bc/(a^2+2bc) + ca/(b^2+2ca) + ab/(c^2+2ab)
(6) [1993 Poland] (a+c)(b+d)/(a+b+c+d) ≧ ab/(a+b) + cd/(c+d)
(7) [1999 Moldova] ab/[c(c+a)] + bc/[a(a+b)] + ca/[b(b+c)] ≧ a/(c+a) + b/(b+a) + c/(c+b)
発掘先 (;´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！
URLﾘﾝｸ(myhome.personaldb.net)
URLﾘﾝｸ(myhome.personaldb.net)
648:１３２人目の素数さん
04/11/13 13:17:37
下らん不等式並べるなよ馬鹿
649:１３２人目の素数さん
04/11/13 19:15:06
>>564(6)
> 実数 a,b,c≧0 に対して、常に次式が成り立つような定数 k の最小値。
> k(a^3 +b^3 +c^3) +(9-3k)abc ≧ (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2)
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
k(s^3 -3st +3u) +(9-3k)u ≧ s(s^2-2t).
(k-1)s(s^2 -3t) -(st-9u) ≧ 0.
k=2 のときは、↓により成立。
s^3 -4st +9u = a(a-b)^2 +c(b-c)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) ≧0 ･････(1) [>>611]
k>2 のときは、これと (k-2)(a^3 +b^3 +c^3 -3abc)≧0 とを加えて成立。
k<2 のときは、a=b, c=0 の場合、左辺=2(k-2)a^3 < 0 で不成立。
----------------------------------------------------------------------
一方、ts -9u = [ c(a-b)^2 +a(b-c)^2 +b(c-a)^2] ≧0 ･････(3) [>>611]
>>601-602 [1999.3 BMO] 左側：(3)から, 右側：[>>608] または {(1)×2＋(3)}/7
>>603(1) [1984.A1 IMO] 左側：(3)から, 右側：{(1)×7＋(3)}/27
ぬるぽ
650:１３２人目の素数さん
04/11/14 04:38:37
お～なるほどッ！
651:１３２人目の素数さん
04/11/16 20:19:06
>>562
(1) |a|,|b|≧|c| とすると, |a^2 +b^2 +c^2| ≦ |a|^2 +|b|^2 +|c|^2 ≦ |a|^2 +|b|^2 +2|ab| = (|a|+|b|)^2.
(2) [1999 Poland] 50th, 1st round (1998 Sep.-Dec.), No.2
a+b=s とおくと、右辺－左辺 = 3(s^2 +c^2 +d^2) -(s+c+d)^2 = (s-c)^2 +(c-d)^2 +(d-s)^2 ≧0.
(3) 相加･相乗不等式で瞬殺。[>>567]
(4) 相加･相乗平均により (10ab^4+11bc^4+7cd^4+23da^4)/51 ≧ a(abcd). これを循環的に加える。
(5) [2003 Poland] 54th, 1st round (2002 Sep.-Dec.) No.12
4文字の基本対称式を a+b+c+d=S, ab+bc+ca+ad+bd+cd=T, abc+bcd+cda+dab=U, abcd=V とおく。
A = a^3+b^3+c^3+d^3 = S^3 -3ST +3U, B=U.
右辺－左辺－9U = 4A +15U - S^3 = 3(S^3 -4ST +9U).
【補題】S^3 -4ST +9U ≧0 は4文字の場合も成り立つ。
（略証） S^3 -4ST +8U = (a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d) ･･････ (*)
対称式だから、a≧b≧c≧d>0 としてよい。 a-b=f, b-c=g, c-d=h とおくと、U≧abc.
S^3 -4ST +9U ≧ (f+2g+h)(f+h)(f-h) + abc = (f+2g+h)(f^2-h^2) + (f+g+h+d)(g+h+d)(h+d)
≧ (f+2g+h)(f^2 -h^2) + (f+g+h)(g+h)h = f^2(f+2g+h) +gh(f+g) ≧ 0. (終)
なお、3文字のときは [>>611]
※ S^2 -(8/3)T = (1/3)Σ[i<j] (a_i-a_j)^2,
ST-6U = (1/2)Σ[i<j] (S-a_i-a_j)(a_i-a_j)^2,
S^3 -4ST +8U = S{S^2 -(8/3)T} -(4/3)(ST-6U) = (1/3)Σ[i<j] (2a_i+2a_j-S)(a_i-a_j)^2 より.
652:１３２人目の素数さん
04/11/16 20:22:17
>>562
(6) [2002 Poland] 53rd, 2nd round, 2nd day (2002.2.23) No.6
n=2 のときはコーシーの不等式、n>2 のときは帰納法で。 n=1は不成立。[>590]
(7) a_1 = b_2 ≠ a_2 = b_1 の場合を考えると･･･
[562]の解答のレス番（主なもの）
(1) [651] (2) [651] (3) [567] (4)[651] (5) [651] (6) [590] (7) ?
ぬるぽ
653:１３２人目の素数さん
04/11/17 01:13:22
>651-652
神キタ━（ﾟ∀ﾟ）━ ！！！
651(4)、うますぎる！とても作り出せない…。
abcd=1 としてゴチャゴチャやってましたができませんでした。
＿|￣|○
654:１３２人目の素数さん
04/11/17 01:16:05
連立方程式をたてて解けばいいんだよ・・・
655:１３２人目の素数さん
04/11/17 01:18:27
実数 x に対して、|sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + cosec x| ≧ 2√2 - 1
[AMM_Oct._2004 P.682] より発掘。解答は P.685
(；´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！
656:１３２人目の素数さん
04/11/17 04:07:03
s=sinx,c=cosx,s^2+c^2=1
|s+1/s+c+1/c+s/c+c/s|≧2√2-1
657:１３２人目の素数さん
04/11/17 04:29:10
>656
ドラクエでもやれば？
( ﾟ∀ﾟ) ｱﾊﾊ八八ﾉヽﾉヽﾉヽﾉ ＼ ／ ＼／ ＼
658:１３２人目の素数さん
04/11/17 13:04:33
>655
(i) 0<x<π/2 のとき 各項>0 ゆえ
与式 = {sin(x) +1/sin(x)} + {cos(x) +1/cos(x)} + {tan(x)+cot(x)} > 2+2+2 = 6.
(ii) π/2 < x < 2π のとき
z=cot(x/2) とおくと, 1-z>0.
sin(x) + cos(x)= 1 -2(1-z)/(1+z^2),
tan(x) + 1/cos(x) = [sin(x)+1]/cos(x) = -(1+z^2)/(1-z) -ｚ,
cot(x) + 1/sin(x) = [cos(x)+1]/sin(x) = z.
∴ 与式 = 1 -2(1-z)/(1+z^2) -(1+z^2)/(1-z) ≦ 1 -2√2 (←相加･相乗平均).
等号成立は、z =－(1/2)√2 ± √(√2 -1/2) のとき.
659:658
04/11/17 20:57:29
>658(ii) (補足)
[sin(x) +1]/cos(x) + [cos(x)+1]/sin(x) = [1+sin(x)+cos(x)]/[sin(x)cos(x)]
= -2/[1-sin(x)-cos(x)].
660:659
04/11/18 08:57:13
(続き)
1-sin(x)-cos(x) =y とおくと 与式 = 1-y-2/y. ∴ ｜与式－1｜ =｜y +2/y｜≧ 2√2.
661:660
04/11/18 18:08:39
（続き） 以上により↓が示された。
【命題】 F= sin(x) + cos(x) + tan(x) + cot(x) + sec(x) + cosec(x) とおくとき
F≧ 3√2 +2 または F≦-(2√2 -1).
ぬるぽ
662:１３２人目の素数さん
04/11/18 21:23:57
>>563
(1) a+b+c=s、ab+bc+ca=t、abc=u とおき、次の同次形を示す。 s^2 -2t +2√(3su) ≦ s^2. [>>576]
(2) 綺麗な形をしているけど分からんちん。
同次形は (a+b+c)^2･(pa+qb+rc) -8abc(p+q+r) ≧0.
左辺－右辺 = {(a+b+c)^2 -8bc}pa + {･･･}qb + {･･･}rc としても {･･･}≧0 とは言えない...
題意により (p+q+r)/2 ≧ p,q,r ≧0 だから、 p,q,rは三角不等式を満たす。そこで
左辺－右辺 = f(a,b;c)(p+q-r) + f(b,c;a)(-p+q+r) + f(c,a;b)(p-q+r).
f(a,b;c)≡{(a+b)+c}^2･(a+b)/2 -8abc≧ {4(a+b)c}･(a+b)/2 -8abc≧ 0.
(3) 相加・相乗平均でハァハァと [>>578]
(4) できそうで できない。 a,b≧cの使い方。[>>639]
(5) 上に凸 [>624]
類題は (ab+bc+ca+1) - (a+b+c) = (1-a)(1-b)(1-c) + abc ≧0.
(6) f(x) = 1/x -1 とおくと {log|f(x)|} '' = {log(1-x) -log(x)} '' = 1/(x^2) -1/(1-x)^2.
log|f(x)| は 0<x<1/2 で下に凸 [>>620]
(7) 0≦y≦1, n≧1 のとき 1-y^n≧1-y を使う。
[563]の解答のレス番号（主なもの）
(1) [576] (2) これ (3) [578] (4) [639] (5) [624] (6) [620] (7) これ
ぬるぽ
663:１３２人目の素数さん
04/11/19 09:44:50
>>662 ぬるぽ神 ｷﾀ─wwﾍ√ﾚvv～(ﾟ∀ﾟ)─wwﾍ√ﾚvv～─ !!!
ありがとうございます。
(2) ｳﾎｯ！ どうやって同次系の不等式を思いつくのですか？ コツがあるのでしょうか？
a+b+c も p+q+r もどちらも１なので、組合せは何通りも考えられますよね。
その後の進め方もまた （；´ρ`） ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！
(5)類題、こんなにアッサリ片付くとは…。文字を固定してゴリゴリ証明してました。
(7) うう、分かりません。 「0≦y≦1, n≧1 のとき 1-y^n≧1-y を使う」 と、
左辺第１項 ≧ (1-x)^m
左辺第２項 ≧ x^n
となるから、左辺 ≧ (1-x)^m - x^n となって、その後どうするのでしょうか？
>654 なるほど、連立方程式の立て方が分かりました。 （ ￣ー￣） ﾆﾔｿ
664:１３２人目の素数さん
04/11/19 12:11:56
>>564
基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
(1) 相加･相乗でハァハァと [>>619]
a^3 +b^3 +c^3 = s^3 -3(a+b)(b+c)(c+a)
s^3 = {(3/2)[(a+b)+(b+c)+(c+a)]/3}^3 ≧ (3/2)^3･(a+b)(b+c)(c+a).
∴ 与式 = (s^3)/[(a+b)(b+c)(c+a)} -3 ≧ (3/2)^3-3 = 3/8.
(2) 分母 = (2a^2+b^2)(b^2+2c^2) = t^2 +(b^2 -ac)^2 +a^2(b-c)^2 +c^2(a-b)^2 ≧ t^2.
∴ 与式 = us/(t^2) ≦ 1/3.
(3) 最大値：√{3(p^2+q^2+r^2)}, 最小値：(p+q+r)/(√3). [>>613]
(4) 条件式が汚いからサッパリ。
b-c=x, c-a=y とおくと a-b=(-x-y), 条件式は xy≧1.
F(x,y) = {(x+y)^(2n+1)-x^(2n+1)-y^(2n+1)}/{xy(-x-y)}
= {(x+y)^(2n) - x^(2n) +x^(2n-1)･y-････+x･y^(2n-1)-y^(2n)}/xy
= Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]+(-1)^k} x^k･y^(2n-2-k)
= Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]+(-1)^k} {x^k･y^(2n-2-k) + x^(2n-2-k)･y^k}/2
≧ |xy|^(n-1)･Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]-(-1)^k} （←相加･相乗平均）
= |xy|^(n-1)･F(1,1) ≧ F(1,1) = 2^(2n) -1.
665:１３２人目の素数さん
04/11/19 12:13:32
>>564
(5) できるのか、これ？ [>>617,>>627-631]
0<a,b,c<1, a+b+c=s のとき, g(x)=1+x^r, f(x)=log|g(x)| とおくと
f '(x) = g '(x)/g(x) = r･x^(r-1)/(1+x^r),
f ''(x) = {g(x)g ''(x)-g '(x)^2}/{g(x)}^2 = r･(r-1-x^r)･x^(r-2)/[(1+x^r)^2].
(i) r≧2 のとき f(x) は 0<x<1 で下に凸だから
log(与式) = f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f(s/3) = 3log|g(s/3)|.
f(x) ≦ f(0)(1-x) + f(1)x.
∴ g(s/3)^3 ≦ 与式 ≦ g(0)^(3-s)･g(1)^s.
(ii) 0≦r≦1 のとき g(x)=1+x^r はx>0 で上に凸
∴ f(x)=log|g(x)| も上に凸： f(x) ≧ f(0)･(1-x) + f(1)･x
∴ log(与式) = f(a)+f(b)+f(c) ≧ f(0)･(3-a-b-c) + f(1)･(a+b+c) = f(0)･(3-s) + f(1)･s.
∴ g(0)^(3-s)･g(1)^s ≦ 与式 ≦ g(s/3)^3.
(6) k≧2 成立、 k<2 不成立。 [>>649]
[564]の解答のレス番号（主なもの）
(1) [619] (2) [664] (3) [613] (4) [664] (5) [617][627] (6) [649]
ぬるぽ
666:１３２人目の素数さん
04/11/20 04:19:07
>651(5)
遅レスですが、勉強になりました。ﾊｧﾊｧ…
667:１３２人目の素数さん
04/11/20 09:05:59
>664(4)
なるへそ。条件式を変形した式から b-c=x, c-a=y とおくことに気づくわけか…
その後の nCr の計算に ﾊｧﾊｧ…
条件式から xy≧1 だし、x^k･y^(2n-2-k) も x^(2n-2-k)･y^k も正だから相加相乗か…
計算の後を追いかけるのがやっとです。とても自力で出来ません。
だめぽ ＞ （：D）|￣|＿
668:580
04/11/22 11:39:24
>587
【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8.
-1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
フランダースの不等式 とか言うらしい．．．
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
ぬるぽ
669:１３２人目の素数さん
04/11/22 13:26:17
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( ﾟ)━( )━(ﾟ )━(∀ﾟ )━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!
670:１３２人目の素数さん
04/11/22 13:52:11
>>388の証明(>>391)がよくわかんない。詳しく教えてくれ。
671:１３２人目の素数さん
04/11/22 15:43:58
>668
パトラッシュ、疲れたろう。
右側は相加相乗だけど、左側はどうするんだろうね
,.-─-、
/ /_wゝ-∠l
ヾ___ノ,. - >
/|／（ヽY__ノﾐ
.{ rｲ ノ
僕もう疲れたよ…
何だかとても眠いんだ…パトラ…
672:668
04/11/22 19:23:28
>671
f(x) = log|sin(x)| - log|x｜ とおいて f '(x) = 1/tan(x) -1/x,
f ''(x)= -1/[sin(x)^2] +1/(x^2) <0（上に凸）を使うんだろうな･･･ネロ･･･
AAらしい
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
壁紙らしい
URLﾘﾝｸ(www.accessup.org)
公式サイトらしい
URLﾘﾝｸ(www.bandaivisual.co.jp)
URLﾘﾝｸ(www.nippon-animation.co.jp)
URLﾘﾝｸ(www.nippon-animation.co.jp)
673:１３２人目の素数さん
04/11/22 21:33:28
>670
[>>391]にしたがって、まず極座標(r,θ)に変換する。
∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy = ∫{∫f(r･cosθ)g(r･sinθ)dr}/(cosθ+sinθ) dθ
次にrについてヘルダーの不等式を使う。
∫_[0,R]f(r･cosθ)g(r･sinθ)dr ≦ {∫_[0,R]f(r･cosθ)^p dr}^(1/p)･{∫_[0,R]g(r･sinθ)^q dr}^(1/q)
= {∫_[0,R･cosθ]f(r')^p dr'}^(1/p)･{∫_[0,R･sinθ]g(r")^q dr"}^(1/q)･(1/cosθ)^(1/p)･(1/sinθ)^(1/q)
→ (1/cosθ)^(1/p)･(1/sinθ)^(1/q)･F^(1/p)･G^(1/q). (R→∞)
一方、θについての積分は、
I = ∫_[0,π/2] 1/{(cosθ)^(1/p)･(sinθ)^(1/q)･(cosθ+sinθ)} dθ
となるが、ここで tanθ = t とおくと、cosθ=1/√(1+t^2), sinθ=t/√(1+t^2), dθ=dt/(1+t^2) を使えば
I = ∫[0,∞) 1/{(1+t)t^(1/q)} dt = π/sin(π/p) となる。 （←[391][396]）
∴ ∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy ≦ {π/sin(π/p)}F^(1/p)･G^(1/q).
ぬるぽ
674:１３２人目の素数さん
04/11/22 23:33:45
>>673
なるほど。
>>388に書かれてるように、真の不等号が成り立つっていうのは証明難しい？
675:673
04/11/23 01:12:56
>674
ヘルダーの不等式を使う所で、等号成立する場合がないことを示すのかなぁ？？
>>137-139, >>158 (総和形）
URLﾘﾝｸ(www007.upp.so-net.ne.jp)
676:１３２人目の素数さん
04/11/23 01:47:53
>671
フランダースの場合は あまりにも お犬さん
フランダースの場合は あまりにも 優しい
ベルギー アントワープの 大聖堂 雪の 朝に
ネロと そっと ひとつ
フランダース
(98/11/09)
URLﾘﾝｸ(www2.gol.com)
677:１３２人目の素数さん
04/11/23 04:13:26
>>672
なるへそ！ 凸な関数に目をつけるんだね、パトラッシュ。
678:１３２人目の素数さん
04/11/23 06:08:19
A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8
一方、相加相乗平均とJensenの不等式から
0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ ( [sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3 )^3 ≦ (3√3)/8
気になるのが ( [sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3 )^3 と {(3√3)/2π}^3 ABC の大小。
sin(A)+sin(B)+sin(C) = 4cos(A/2)cos(B/2)cos(B/2)
だから、f(x) = log cos(x) - (1/3)log(x) とおくと f(A/2)+f(B/2)+f(C/2) と log((3√3)/4π) の大小。
f(x) の 0<x<π/2 における凹凸が一定でないので、わからんちん。
,.-─-、
/ /_wゝ-∠l
ヾ___ノ,. - > 僕もう疲れたよ…
/|／（ヽY__ノﾐ 何だかとても眠いんだ…パトラ…
.{ rｲ ノ
679:１３２人目の素数さん
04/11/23 23:02:55
>>647(5) の類題
[2003 Baltic Way] URLﾘﾝｸ(www.liis.lv)
正の数 a, b, c に対して、2a/(a^2+bc) + 2b/(b^2+ca) + 2c/(c^2+ab) ≦ a/(bc) + b/(ca) + c/(ac)
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●|
ヽ::::......ワ...ノ ネタを仕入れるために
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ 旅立とう・・・
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
680:１３２人目の素数さん
04/11/24 01:46:36
>>647 a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと, s^2 -3t≧0, st-9u≧0, t^2 -3su≧0. これでゴリゴリ
(1) 左辺 = (1+s+t+u)/(3+2s+t)- u/t = 1/3 + [(st-9u) +2(t^2 -3su)]/[3t(3+2st+u)] ≧ 1/3.
(2) 相加・相乗平均により (ca^2/b +2ab^2/c +4bc^2/a)/7 ≧ bc. これを循環的に加えて,
(ca^2 +ab^2 +bc^2)(1/a +1/b +1/c) = (a^2 +b^2 +c^2) +(ca+ab+bc) +(ca^2/b + ab^2/c +bc^2/a)
≧ (a^2 +b^2 +c^2) +2(ab+bc+ca) = s^2.
左辺 = (ca^2 +ab^2 +bc^2)/u ≧ (s^2)/t,
右辺 = {(s^3 -st +3u) +(ca^2 +ab^2 +bc^2)}/(st-u).
[左辺－右辺]･(st-u) = (st-2u)(左辺) -(s^3 -st +3u) ≧ (st-2u)(s^2)/t -(s^3 -st +3u)
= -2(s^2)u/t +st -3u ≧ -2st/3 +st -3u = (st-9u)/3 ≧0.
(3) 1/(2ab) = a/(2a^2b) ≧ a/(a^4+b^2).
1/(2ab) = b/(2ab^2) ≧ b/(a^2+b^4).
辺々たす。
(4) 左辺 - 中辺 = (y-z)x/(a+z) +(z-x)y/(a+x) +(x-y)z/(a+y)
= [a(xz^2 +yx^2 +zy^2 -3xyz) +(t^2 -3su)]/[(a+x)(a+y)(a+z)] ≧0.
右側： x/(a+x), y/(a+y), z/(a+z) の大小と a+x, a+y, a+z の大小は一致する。
∴ チェビシェフの不等式により成立。
(5) (a^2)/(a^2 +2bc) ≧ (a^2)/(a^2 +b^2 +c^2) などより 左辺≧1.
bc/(a^2+2bc) ≦ (1/2)(b^2 +c^2)/(a^2 +b^2 +c^2) などより 右辺≦1.
なお、(左辺) + (右辺)×2 = 3.
(5)の類題[>679]： 相加･相乗平均より 2a/(a^2 +bc) ≦ a/√(au) = √(au)/u ≦ (2a^2 +b^2 +c^2)/4u.
循環的に加える。
681:１３２人目の素数さん
04/11/24 01:51:26
>>647 (続き)
(6) [1993 Poland] 44th, 2nd roud, 1st day No.1 (1993.2)
S=a+b+c+d, U=bcd+cda+dab+abc とおく。
左辺 - 右辺 = (a+c)(b+d)/S -ab/(a+b) -cd/(c+d)
= [(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)-SU]/[S(a+b)(c+d)] = (ad-bc)^2 /[S(a+b)(c+d)] ≧0.
(7) b/c=x, c/a=y, a/b=z とおくと u=xyz=1.
左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].
右辺 = 1/(y+1) +1/(z+1) +1/(x+1) = (t+2s+3)/[(x+1)(y+1)(z+1)].
[左辺－右辺]･(x+1)(y+1)(z+1) = (s^2 -2t) -s
= (1/2)[(x^2 +y^2 +z^2 -3) +(x-1)^2 +(y-1)^2 +(z-1)^2] ≧0.
ぬるぽ
682:１３２人目の素数さん
04/11/24 11:27:48
>680-681 さすが不等式王！
＿＿＿,
┏┓ ┏━┓ ／ ≧ ＼. .┏┓┏┓
┏┛┗┓┃┏┓┃ |:::: ＼ .／ | ┃┃┃┃
┗┓┏┛┃┗┛┃┏━━|::::: (● (● |━━━┓┃┃┃┃
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┗┓┏┛┗┛┃┃ （ （つ 丿ﾉ . ┏┓┏┓
┗┛ ┗┛ （ ヽノ ┗┛┗┛
し（＿）
683:１３２人目の素数さん
04/11/24 11:29:45
どうでもいいことだけど、>>392 + >>592 を合わせて…
非負実数 a, b, c, d に対して次式が成立。
4(a^3+b^3+c^3+d^3) + 24(abc+bcd+cda+dab) ≧ (a+b+c+d)^3 ≧ (a^3+b^3+c^3+d^3) + 15(abc+bcd+cda+dab)
（；´д｀）ﾊｧﾊｧして書いた。
不等式なら何でもよかった。
今は反省している。