04/10/02 14:27:30
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a_k/1998 = x_k とおく。
【補題】(Klamkin,1974)
x_k>1 ⇒ ∑[k=1,n] 1/(1+x_k) ≧ n/(1+u), ただし u = (x_1･x_2･･････x_n)^(1/n)：相乗平均。
（略証）nに関する帰納法による。
x_kがすべて等しいときは明らかに成立するので、 u は x_n と x_{n-1} の間にあるとしてよい。
いま y_n =u, y_{n-1} =x_n･x_{n-1}/u とおくと 積は不変で、和は
x_{n-1} + x_n - y_{n-1} - y_n = (u-x_{n-1})(x_n-u)/u ≧0 だけ減少する。
∴ 1/(1+y_{n-1}) + 1/(1+y_n) ≦ 1/(1+x_{n-1}) + 1/(1+x_n).
｛x_1 ････ x_{n-2}, y_{n-1}｝の n-1 個で考えると、相乗平均はu.
∴帰納法の仮定(n-1)により、
∑[k=1,n] 1/(1+x_k) ≧ ｛∑[k=1,n-2] 1/(1+x_k) + 1/(1+y_{n-1})｝ +1/(1+u)
≧ (n-1)/(1+u) + 1/(1+u)
= n/(1+u).
ぬるぽ