04/09/16 11:36:25
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【類題】n≧3, a_1～a_nのk次の対称式をＳ_k とおくと、
(Ｓ_1)^3 - Σ[k=1～n](a_k)^3 ≧ {6(n+1)/(n-2)}Ｓ_3.
（略証）
左辺 - 右辺 = 3(Ｓ_1･Ｓ_2 - Ｓ_3) - {6(n+1)/(n-2)}Ｓ_3
= [3/(n-2)]{(n-2)Ｓ_1･Ｓ_2 - 3nＳ_3}
(n-2)Ｓ_2･Ｓ_1 －3nＳ_3
= (n-2)Σ[i<j] a_i･a_j Σ[k=1～n] a_k - 3nΣ[i<j<k] a_i･a_j･a_k
= (n-2)Σ[i<j] a_i･a_j･(a_i+a_j) - 6Σ[i<j<k] a_i･a_j･a_k
= Σ[i<j] {Σ[k≠i,j]a_k}{(a_i)^2 +(a_j)^2} - Σ[i<j] {Σ[k≠i,j]a_k}2a_i･a_j
= Σ[i<j] {Σ[k≠i,j]a_k}(a_i-a_j)^2 ≧ 0.
ぬるぽ