04/02/21 20:44
「恐ろしく難解な問題をだせ！ 223,241,967」より
1 ≧ F(a,b,c) ≡ a/(b+c+1) + b/(c+a+1) + c/(a+b+1) + (1-a)(1-b)(1-c) ≧ 7/8.
f(x)=1/(x+1)-1+x/2 とおくと、与式=a･f(b+c)+b･f(c+a)+c･f(a+b)+1-abc だから、求める式は、f(b+c)≦bc/3, etc.
0<x<1のとき、f(x)=-x(1-x)/2(x+1)<0≦bc/3.
1<x<2のとき、f(x)-(x-1)/3=(x-1)(x-2)/2(x+1)<0 より f(b+c)<(b+c-1)/3≦bc/3. q.e.d.
a+b+c=s とおき、F(a,b,c) ≧ F(s/3,s/3,s/3) ≧ 7/8 と分ける。
右側は F(m,m,m)＝3m/(2m+1)+(1-m)^3＝7/8+(m-1/2)^2･{1/2+m(3-2m)}/(2m+1)≧7/8.(0≦m≦1)
等号成立は m=1/2のとき.
基本対称式を a+b+c=s, bc+ca+ab=t, abc=u とおくと、
F(a,b,c)－F(s/3,s/3,s/3)＝(s+1){(7s/3+2)(s*s/3-t)-3(s^3/27-u)}/[(2s/3+1){(2s/3+1)^2-(s+1)(s*s/3-t)+(s^3/27-u)}]
-(s*s/3-t) + (s^3/27-u).
基本対称式を使って表すところが、うまくいかんですだ。
もっと楽な方法ないですか？