04/05/05 00:14
【問題】 For a,b,c>0,
a/(b+2c) + b/(c+2a) + c/(a+2b) ≧ (a+b+c)^3/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}
≧ (1/3)(a+b+c){1/(b+2c)+1/(c+2a)+1/(a+2b)} ≧ 1.
Equality: a=b=c
※ 中央は Sierpinski(AAH≧GGG≧AHH), 右側は A≧H らしいyo.
107:１３２人目の素数さん
04/05/05 00:35
>>106 示すべき不等式を X≧Y≧Z≧1 で表す。
[X≧Y]
(左辺)-(右辺) = {a(a-c)^2+b(b-a)^2+c(c-b)^2} ≧ 0
[Y≧Z]
A=b+2c, B=c+2a, C=a+2b とおいて、(A+B+C)^2 ≧ 3(AB+BC+CA) を示す。
(左辺)-(右辺) = (1/2){(A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2} ≧ 0
[Z≧1]
相加平均≧調和平均、あるいはCauchy-Schwarzの不等式による。
／￣￣￣￣￣￣＼
／ 不等式ヲタ ＼. ﾜｸﾜｸ
/ ノ（ ヽ ｿﾞｸｿﾞｸ
l::::::::: ＾ ＼ ／ | ﾌﾞﾙﾌﾞﾙ
|:::::::::: （●） （●） | ﾊｧﾊｧ
|::::::::::::::::: ＿＿ | ｾﾞｴｾﾞｴ
ヽ:::::::::::::::::::. ＼／ ノ
108:１３２人目の素数さん
04/05/05 00:38
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞと言ってくれ！
.／￣￣￣＼.
|:::: ＼ .／ | ﾜｸﾜｸ
|:::: (● (● |
ヽ:::::::.....∀...ノ
109:106
04/05/05 01:12
>107-108
Very good job!!
Sierpinskiは牛刀．．．
X－Y = {a(a-c)^2+b(b-a)^2+c(c-b)^2}／{(a+2b)(b+2c)(c+2a)} ≧0.
110:１３２人目の素数さん
04/05/05 01:42
>>109
分母を書き忘れてたか。修正ｻﾝｸｽｺ。
.／￣￣￣＼.
|:::: ＼ .／ | ﾜｸﾜｸ
|:::: (● (● |
ヽ:::::::.....∀...ノ
111:103
04/05/05 20:19
※ の説明
左辺第1項 = (b+c-a)^2 /{(b+c)^2+a^2} = (3-2x)^2 /{(3-x)^2+x^2}
= 2－9/{(3-x)^2+x^2} ≡ 2-9･f(x).
x=1での接線は、 y = f(1) + f'(1)(x-1) = 1/5 + (2/25)(x-1) = (3/25)(1+2x/3).
(3/25)(1+2x/3)－f(x) = (2/25)f(x)(1+2x)(1-x)^2 ≧ 0.
等号成立は x=1, 3a=a+b+c.
112:111
04/05/05 20:25
3a/(a+b+c) =x と置きました。
113:１３２人目の素数さん
04/05/09 12:59
シンプルで易しい問題
a>0,b>0
y=b^x のグラフは下に凸
∴ (1,b)→(x,b^x) の平均変化率はxと共に単調増加。
∴ (b^x-b)/(x-1) > b-1.
【１】
a>1 ⇒ b/(a+b-ab) > b^a > ab+1-a.
a<1 ⇒ b/(a+b-ab) < b^a < ab+1-a.
(a^b)-a, (b^a)-b, (a-1)(b-1) の符号は一致する。
【２】
(a-1)(b-1)>0 ⇒ a^b+b^a > ab+1 > a+b.
(a-1)(b-1)<0 ⇒ a^b+b^a < ab+1 < a+b.
114:113
04/05/09 19:29
訂正 スマソ.
【１】
a>1 ⇒ ............ b^a > ab+1-a.
a<1 ⇒ b/(a+b-ab) < b^a < ab+1-a.
115:１３２人目の素数さん
04/05/11 07:44
>【２】
>(a-1)(b-1)>0 ⇒ a^b+b^a > ab+1 > a+b.
>(a-1)(b-1)<0 ⇒ a^b+b^a < ab+1 < a+b.
この辺が分からない私は、生産ラインに組み込まれる人材ですか？
116:１３２人目の素数さん
04/05/11 15:03
正の数 a_k に対して、次の不等式を示せ。
Σ[k=1 to n]1/(1+a_k) ≧ n/{1+(Π[k=1 to n]a_k)^(1/n)}
帰納法で解こうと思い、n=2のときは差をとって示しましたが、
そのあとが うまくいきません。おしえてください。
117:１３２人目の素数さん
04/05/11 16:11
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118:１３２人目の素数さん
04/05/12 00:41
>116
G≡（Π[k=1 to n]a_k）^(1/n) とおくとき、
G>1 ⇒ Σ[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≧ n/(1+G)
G<1 ⇒ Σ[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≦ n/(1+G)
Equality: a_k=const or G=1.
119:１３２人目の素数さん
04/05/12 00:55
>116,118
a_k≧1 (k=1 to n) に限定すれば成立するが．．．．
120:１３２人目の素数さん
04/05/12 04:37
(；ﾟдﾟ) ﾊｯ！ すみません。
問題文見なおしたら、a_k≧1だった・・・
どうやって次を示すのですか？
G≡（Π[k=1 to n]a_k）^(1/n) とおくとき、
G>1 ⇒ Σ[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≧ n/(1+G)
121:１３２人目の素数さん
04/05/12 16:02
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ヽ::::... .ワ....ノ
122:凡例
04/05/12 20:16
>118,120
a_1=1/10, a_2=2, a_3=5 のとき、左辺 < 1+1/3+1/6 = 3/2 = 右辺 (G=1).
a_1=10, a_2=1/2, a_3=1/5 のとき、左辺 > 0+2/3+5/6 = 3/2 = 右辺 (G=1).
123:１３２人目の素数さん
04/05/12 23:15
('A`)
124:１３２人目の素数さん
04/05/14 19:35
>120
G≡（Π[k=1 to n]a_k）^(1/n) とおくとき、
a_k>1 (k=1～n) ⇒ ∑[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≧ n/(1+G).
0<a_k<1 (k=1～n) ⇒ ∑[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≦ n/(1+G).
Equality: a_k=const.
125:124
04/05/14 19:37
(証) a_k=G (k=1～n)のときは、明らかに成立。 a_k≠G (k=1～m)とし、mに関する帰納法による。
a_m>G, a_{m-1}<G （またはその逆）としても一般性を失わない。
いま a_m, a_{m-1} を、それらの中間にある b_m=G, b_{m-1}=a_m･a_{m-1}/G=p/G で置換えてみる。
b_m + b_{m-1} = a_m + a_{m-1} - (a_m-G)(G-a_{m-1})/G < a_m + a_{m-1} = s.
上記の置換えにより、積pは不変で和sは減少する。
S = 1/(1+a_m) + 1/(1+a_{m-1}) = 1 + (1-p)/(1+s+p) は和sについて単調に増加／減少する。
∴ a_k>1 ⇒ p>1 ⇒ S > 1/(1+b_m) + 1/(1+b_{m-1}).
∴ a_k<1 ⇒ p<1 ⇒ S < 1/(1+b_m) + 1/(1+b_{m-1}).
上記の置換え｛a_1,～,a_m} → {a_1,～,a_{m-2},b_{m-1},b_m} により mが1つ減少し、Sも減少／増加した。
帰納法の仮定により m-1 に対しては成立しているから、mに対しても成立する。（終）
相加・相乗平均の証明法を使いました．．．
126:１３２人目の素数さん
04/05/15 00:48
>120
【定理】(Klamkin,1974)
0<a_k<1, e_k>0 (k=1 to n), Σ[k=1 to n]e_k=1, G'=Π[k=1 to n](a_k^e_k) のとき
Σ[k=1 to n] e_k/(1+a_k) ≦ 1/(1+G').
で e_k=1/n (k=1～n) とおく。（終）
※ 大関信夫・大関清太: ｢不等式への招待｣ 近代数学社(1987) のp.83
127:１３２人目の素数さん
04/05/15 01:48
>>124-126
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128:１３２人目の素数さん
04/05/15 09:31
「数学しりとりスレ 232-233」 より
【inglebyの不等式 】
x>0のとき、{1+x^2+x^4+…+x^(2n)}/{x+x^3+…+x^(2n-1)} ≧ (n+1)/n
【Ky Fan の不等式】
0 < x_k ≦ 1/2 のとき、S = Σ[k=1 to n](x_k) とおくと
Π[k=1 to n]{(x_k)/(1-x_k)} ≦ {S/(n-S)}^n
129:124
04/05/15 15:56
Note to [124] & [126]
Inequalities in [124] are equivalent.
∵ 1/(1+a) + 1/{1+(1/a)} = 1, 1/(1+G) + 1/{1+(1/G)} = 1.
[126] is equivalent to:
Let e_k>0 (k=1 to n), Σ[k=1 to n]e_k=1, G'=Π[k=1 to n](a_k^e_k), then
a_k>1 (k=1～n) ⇒ Σ[k=1 to n] e_k/(1+a_k) ≧ 1/(1+G').
130:125
04/05/15 17:09
>128
【Ky Fan】
x_k=S/n (k=1～n)のときは明らかに成立。 x_k≠S/n (k=1～m)とし、mに関する帰納法による。
x_m>S/n, x_{m-1}<S/n（またはその逆）としても一般性を失わない。
x_m,x_{m-1} をそれらの間にある y_m=S/n, y_{m-1}=x_m+x_{m-1}-S/n で置換えてみる。
y_m･y_{m-1} - x_m･x_{m-1} = （x_m-S/n)(S/n-x_{m-1})≧0. ∴ 和sは不変で、積pは増加する。
P = [x_m/(1-x_m)]･[x_{m-1}/[1-x_{m-1}]] =p/(1-s+p) は、s≦1では、sについて単調増加。
∴ 上記の置換え(x_1,････,x_m)→(x_1,････,x_{m-2},y_{m-1},y_m) により mが1つ減り Pは増加した。
帰納法の仮定より、m-1については成立するので、mについても成立する。（終）
大関信夫・青柳雅計: ｢不等式｣ 槇書店 p.60,p.128
大関信夫・大関清太: ｢不等式への招待」近代科学社(1987) p.88 例題9
131:１３２人目の素数さん
04/05/15 20:53
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132:１３２人目の素数さん
04/05/15 23:06
>128
【ingleby】
F_n ≡ n[1+x^2+x^4+････+x^(2n)] - (n+1)[x+x^3+････+x^(2n-1)] とおく.
F_1 = [1+x^2] - 2x = (x-1)^2 ≧0.
F_{n+1} - F_n = [1+x^2+････+x^(2n)+(n+1)･x^(2n+2)] - [x+x^3+････+x^(2n+1)+(n+1)･x^(2n+1)]
= (1-x){1+x^2+････+x^(2n) - (n+1)･x^(2n+1)}
= (1-x){1+x^2+････+x^(2n) - (n+1)･x^(2n) + (n+1)(1-x)x^(2n)}
= (1-x){Σ[k=0 to n-1]{x^(2k)-x^(2n)} + (n+1)･(1-x)x^(2n))}
= (1-x){Σ[j=0 to n-1](Σ[k=0 to j]1)･(1-x^2)x^(2j) + (n+1)･(1-x)x^(2n)}
= (1-x)^2{Σ[j=0 to n-1](1+j)･(1+x)x^(2j) + (n+1)･x^(2n)} ≧ 0. (∵すべての係数>0)
∴ xを固定したとき F_{n+1} ≧ F_n ≧ ･････ ≧ F_1 ≧ 0. 等号成立は x=1.（終）
133:130,132
04/05/15 23:14
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┏┛┗┓┃┏┓┃ ／ 不等式ヲタ ＼. ┃ ┃┃ ┃
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ついでに出しときますた．．．
134:132
04/05/16 01:15
(注) [132]の下から3行目で次を使いますた。
k<n のとき, y^k-y^n = Σ[j=k to n-1] (1-y)y^j
135:132
04/05/16 12:24
(注) Gauss の記号 [z] = max{m|z≧m} を使えば、[132]の
F_{n+1} - F_n = (1-x)^2 Σ{j=0 to 2n} [1+(j/2)] x^j
F_n = (1-x)^2 Σ{j=0 to 2n-2} [1+(j/2)][n-(j/2)] x^j
136:１３２人目の素数さん
04/05/16 15:29
【例題7】(Klamkin,1975)
a_i>0 (i=1～n)のとき, S≡Σ[k=1 to n]a_k とおくと,
Π[i=1 to n] {(1+a_i/S)/(1-a_i/S)} ≧ {(n+1)/(n-1)}^n.
等号成立は a_i=S/n (n=1～n)のとき (p.85)
【例題10】
a_i≧1 (i=1～n)のとき, G≡(Π[k=1 to n]a_k)^(1/n) とおくと
Σ[i=1 to n](1+a_i) > G･Σ[i=1 to n] {1+(1/a_i)}.
Σ[1≦i<j≦n](1+a_i)(1+a_j) > G^2･Σ[1≦i<j≦n]{1+(1/a_i)}{1+(1/a_j)}. (p.90)
よろしくおながいしまつ。
137:１３２人目の素数さん
04/05/16 22:51
不等式でげす。
１/ｐ＋１/ｑ＝１，ｐ＞１，ａ_i≧０，ｂ_i≧０，( ｉ＝1，2，3，･･･，n)としまする。
｛∑[i=1→n](ａ_i)^p｝^(1/p)｛∑[i=1→n](ｂ_i)^ｑ｝^(1/q)≧∑[i=1→n]ａ_iｂ_i
を示せ。
俺にはｻﾊﾟｰﾘ
138:１３２人目の素数さん
04/05/17 01:59
>>137
これは ヘルダーの不等式かな？ ﾊｧﾊｧ
証明は帰納法だったと思う…
＿＿＿
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|::::: (● (● | ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
ヽ::::... .ワ....ノ
139:１３２人目の素数さん
04/05/17 02:00
【系】でつ。
1/p＋1/q＋1/r = 1, p,q,r>1, ａ_i≧0, ｂ_i≧0, ｃ_i≧0 (i＝1，2，3，･･･，n)としまする。
{∑[i=1→n](ａ_i)^p}^(1/p) {∑[i=1→n](ｂ_i)^q}^(1/q) {∑[i=1→n](ｃ_i)^r}^(1/r) ≧ ∑[i=1→n]ａ_i･ｂ_i･ｃ_i
俺にはｻﾊﾟｰﾘ
140:39
04/05/17 02:31
>40-57
>>39の問題を書いたやつ出て来いや
では報告しまつ。
【問題】 0<a,b,c<1, s=a+b+c のとき,
F(a,b,c) ≡ a/(b+c+1) + b/(c+a+1) + c/(a+b+1) ≧ s/(2s/3+1) ≧ 7/8.
【方針】 さらに中間項を挟みまつ。 a> (s/3) >b として、
F(a,b,c) ≧ F(s/3,a+b-s/3,c) ≧ F(s/3,s/3,s/3)
141:39
04/05/17 02:36
F(a,b,c) ≧ F(s/3,a+b-s/3,c) ≧ F(s/3,s/3,s/3)
a=b=c=s/3 なら明らかに成立。 ∴ a> (s/3) >b とする。
(左側) まづ、a,b をそれらの間にある a'=s/3, b'= a+b-(s/3) = (2s/3)-c で置き換えてみまつ。
a'b'= ab + (a- s/3)(s/3 -b) ≧ ab ∴上の置換えで、和は不変で、積は増大する。またこのとき、
F(a,b,c) = a/(s+1-a) + b/(s+1-b) + c/(s+1-c)
= [(s+1)(a+b)-2ab]/[(s+1)(s+1-a-b)+ab] + c/(s+1-c)
= [(s+1)(s-c)-2ab]/[(s+1)(1+c)+ab] + c/(s+1-c)
≧ [(s+1)(s-c)-2a'b']/[(s+1)(1+c)+a'b'] + c/(s+1-c) = F(a',b',c).
により、Fは減少する。
(右側) b',c≠s/3 のとき、再度 置換えを行う: b"=s/3, c'=s/3. 上記と同様にして
F(a',b',c) ≧ F(a',b",c') = F(s/3,s/3,s/3).
が得られますた。（終）
>57
普通の高校生でも分かりそうだな．．．．．(w
142:１３２人目の素数さん
04/05/23 11:07
やっぱむずかしいなぁ
143:１３２人目の素数さん
04/05/23 21:50
【問題】 IMO-2001 (USA) Problem 2
For any a,b,c>0 and λ≧8, the following inequality holds:
2 ≧ a/√(a^2+λbc) + b/√(b^2+λca) + c/√(c^2+λab) ≧ 3/√(1+λ).
Left equality: abc=0, and right equality: a=b=c.
URLﾘﾝｸ(imo.wolfram.com)
ヒント： r≧4/3 ⇒ x^2 ≦ 1－(4/3r) + (2/3r){1+(x^r)}(x^r), 等号成立は x=1.
144:143
04/05/23 22:01
ヒント： λ≧8 ⇒ 1＋λx^2 ≦ (1+λ)･{1＋2(x^r)}^2, r=(3/2)λ/(1+λ).
145:１３２人目の素数さん
04/05/24 03:47
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┏┛┗┓┃┏┓┃ ／ 不等式ヲタ ＼. ┃ ┃┃ ┃
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146:１３２人目の素数さん
04/05/24 05:00
ヒントがあるから楽勝だなって思ってたけど、難しいですね
＿ﾄ￣|○
147:143
04/05/24 07:35
ヒント： 1/√(1＋λx^2) ≦ 1/{(√λ)x}.
. x<1 ⇒ 1/√(1＋λx^2) ≦ 1-{1-1/(√λ)}x.
148:147
04/05/24 12:10
まちがい、すまそ。
. x<1 ⇒ 1/√(1＋λx^2) ≦ 1-{1-1/(√λ)}x^2. （下に凸だから）
149:143
04/05/24 19:49
【問題】(retold)
For any x,y,z>0, xyz=1 and λ≧8, the following inequality holds:
2 > 1/√(1+λx^2) + 1/√(1+λy^2) + 1/√(1+λz^2) ≧ 3/√(1+λ).
Right equality: x=y=z=1.
変わり映えしませんが、よろしくおながいします．．．
150:１３２人目の素数さん
04/05/24 20:48
x=bc/(a^2), y=ca/(b^2), z=ab/(c^2)とおくと、
xyz=1をみたし、a,b,c>0より x,y,z>0 であって、
149 ⇔ 143
＿＿＿
.／ ≧ ＼
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|::::: (● (● | ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
ヽ::::... .ワ....ノ
151:１３２人目の素数さん
04/05/24 22:42
>150
確かに、その方がシンプルでいいな．．．２乗する意味もないし．．
X=bc/(a^2), Y=ca/(b^2), Z=ab/(c^2) とでもおこうか。
152:１３２人目の素数さん
04/05/25 01:42
>150の形で証明できれば、簡単そうですよね…
まだできてないけど ＿ﾄ￣|○
153:１３２人目の素数さん
04/05/27 12:15
さくらスレにあったよ。
109 ：PrinceMathematician◇ ：04/05/27 12:02
>91
x_k≧0 (k=1,2,･･･,m)のとき・・・（中略）
F(n)≡(1/m)Σ[1≦k≦m] (x_k)^n とおく.
(補題) bc≧0 ⇒ F(a)･F(a+b+c) ≧ F(a+b)･F(a+c).
(系1) F(n-1)･F(n+1) ≧ {F(n)}^2.
(系2) {F(n)}^(1/n) はnに関して単調増加.
154:１３２人目の素数さん
04/05/27 19:48
まだ未解決不等式あるよーｶﾞﾝｶﾞﾚ不等式ヲタ
155:１３２人目の素数さん
04/05/27 20:27
>152
xyz=1のとき、 x,y≦1≦z または x≦1≦y,z としても一般性を失わないYo
156:１３２人目の素数さん
04/05/28 00:13
応援＆新ネタ 感謝です。
あちこち調べながら、>>149をやってみます
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|::::: (● (● | ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
ヽ::::... .ワ....ノ
157:１３２人目の素数さん
04/05/28 01:32
>>149 【問題】(retold)
For any x,y,z>0, xyz=1 and λ≧8, the following inequality holds:
2 > 1/√(1+λx) + 1/√(1+λy) + 1/√(1+λz) ≧ 3/√(1+λ).
Right equality: x=y=z=1.
(上限の証明)
λ≧8, t>0 のとき 1/√(1+8t) ≧ 1/√(1+λt) だから、
x,y,z>0, xyz=1 に対して
2 > 1/√(1+8x^2) + 1/√(1+8y^2) + 1/√(1+8z^2)
を示せばよい。この証明は、運よくコレクションにあった。
t>0 において f(t) = (1+8t)^(-1/2) とおくと、
f'(t) = -4t(1+8t)^(-3/2) < 0 だから単調減少する。
対称式かつ xyz=1 だから、次の２つの場合を考えればよい。
(i) 0<x≦1≦y≦z のとき
f(x)+f(y)+f(z) < f(0)+f(1)+f(1) = 5/3 < 2
(ii) 0<x≦y≦1≦z のとき
0<t≦1 において f(t) ≦ 1-(2t/3) が成り立つ。
これは g(t) = (1+8t){1-(2t/3)}^2-1 の増減を調べれば分かる。
1≦t では f(t) < 1/√(8t) を使うと
f(x)+f(y)+f(z) < 1-(2x/3) + 1-(2y/3) + 1/√(8z)
= 2 - 2(x+y)/3 + 1/√(8z) ≦ 2 - 4√(xy)/3 + 1/√(8z)
= 2 - 2( 2/3 - 1/√(8z) )/√z < 2
自分では思いつけません…
158:１３２人目の素数さん
04/05/28 12:00
>137
適当に規格化して、Σ[i=1→n](a_i)^p =1, Σ[i=1→n](b_i)^q =1 とする。
(1/p)+(1/q) =1 より (p-1)(q-1)=1.
y=x^(p-1) ⇔ x=y^(q-1) だからヤングの不等式より
a･b ≦ ∫[x=0,a]x^(p-1)･dx + ∫[y=0,b]y^(q-1)･dy = (1/p)(a^p) + (1/q)(b^q).
∴ Σ[i=1→n]a_i･b_i ≦ (1/p)Σ[i=1→n](a_i)^p + (1/q)Σ[i=1→n](b_i)^q = (1/p)+(1/q) =1.
159:１３２人目の素数さん
04/05/29 04:32
>>157
最小値のほうは？
160:１３２人目の素数さん
04/05/29 12:08
>>149の最小値のほうは、相加相乗を使うと
3/√(1+λ)よりも小さくなってしまって失敗。
ムスカしいなぁ…
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|::::: (● (● | ｳｰﾝ、ｳｰﾝ…
ヽ::::... .ワ....ノ
161:１３２人目の素数さん
04/05/30 15:25
>160
[144]使え
162:161
04/05/30 15:34
【144】
λ≧8 ⇒ 1＋λx^2 ≦ (1+λ)･{1＋2(x^r)}^2, r=(3/2)λ/(1+λ).
(証) 相乗平均≦相加平均 より x^2 ≦ 1－(4/3r) + (2/3r){1+(x^r)}(x^r).
これにλを乗じて１を加える。
右辺を平方完成する → ｒが定まる。
163:１３２人目の素数さん
04/05/31 16:41
>(証) 相乗平均≦相加平均 より x^2 ≦ 1－(4/3r) + (2/3r){1+(x^r)}(x^r).
ここが分かりません
どうか この愚か者に説明してください
164:162
04/05/31 21:31
[163] は A,B,C,q,r,s,x≧0, A+B+C=1 のとき
x^(Aq+Br+Cs) ≦ A(x^q) + B(x^r) + C(x^s).
とほぼ同じ。これをどう示すか。。。
165:１３２人目の素数さん
04/06/01 22:30
> x^(Aq+Br+Cs) ≦ A(x^q) + B(x^r) + C(x^s).
下に凸な関数 f(t)=x^t に関して、Jensenの不等式から得られるけど
上式が[163]の式とほぼ同じってのが分かりません。
＿＿＿
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|::::: (● (● | ｳｰﾝ、ｳｰﾝ…
ヽ::::... .ワ....ノ
166:164
04/06/02 22:18
>165
A=1-(4/3r), B=C=(2/3r), q=0, s=2r とおきますた。
167:１３２人目の素数さん
04/06/02 22:21
【問題】 0<a<x,y,z<b のとき、
(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z)
の取りうる値の範囲を求めよ。
さくらスレ１４５
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:465番)
どんな難しい問題も・・・
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:151番)
168:１３２人目の素数さん
04/06/02 22:23
>>167
たしか一般化されたのが、幾つかあったような…
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|::::: (● (● | ｳｰﾝ、ｳｰﾝ…
ヽ::::... .ワ....ノ
169:１３２人目の素数さん
04/06/02 22:30
1977 USAMO 問5 （解答あり）
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
1978 ASU 問13 （解答なし）
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
＿＿＿
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|:::: ＼ .／ | この不等式ヲタのコレクションに２つあった。
|::::: (● (● | ASUの方の模範解答をキボンヌ。 ﾊｧﾊｧ…
ヽ::::... .ワ....ノ ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞですか？
170:１３２人目の素数さん
04/06/02 22:48
（下限）
F(x,y,z) = (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) = 3 + (x/y+y/x) + (y/z+z/y) + (z/x+x/z)
= 9 + (x/y-2+y/x) + (y/z-2+z/y) + (z/x-2+x/z)
= 9 + {(x-y)^2}/xy + {(y-z)^2}/yz + {(z-x)^2}/zx ≧ 9. (Cauchy)
171:１３２人目の素数さん
04/06/02 22:51
（上限） x/y+y/x はx/y=1のとき最小で、両側でx/yに関して単調。すなわち、１から遠ざかるほど増加する。
a<x≦y≦z<bとすると、
F(x,y,z) ≦ F(a,y,b) = 3 + (a/y+y/a) + (y/b+b/y) + (b/a+a/b)
= 3 + (b/a+a/b) + {(a+b)/ab}(y+ab/y) = 1 + (b/a+2+a/b) + {(a+b)/ab}{a+b-(b-y)(y-a)/y}
≦ 1 + (b+a)^2/ab + {(a+b)^2}/ab = 1 + 2{(b+a)^2}/ab.
172:１３２人目の素数さん
04/06/02 23:00
＿＿＿
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|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | みんな ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
173:１３２人目の素数さん
04/06/03 00:31
>>166
なるほど
174:１３２人目の素数さん
04/06/03 19:26
>169
1978 ASU Problem 13
USAMO の解答から、Fが最大となるのはn個の変数がすべて a or b のとき。
あとは2組（p,n-p）に分けるだけ。
F(a･･･a,b･･･b)= n^2 + p(n-p){(b-a)^2}/ab だから最大は p=[n/2] or p=[(n+1)/2].
n:even ⇒ F≦n^2･{(a+b)^2}/4ab, n:odd ⇒ F≦1+(n^2-1){(a+b)^2}/4ab, n=3 ⇒ [171].
175:１３２人目の素数さん
04/06/04 01:59
[149]の最小値の証明について、>>162-166より
x^2 ≦ 1－(4/3r) + (2/3r){1+(x^r)}(x^r)
ここで r=(3/2)λ/(1+λ) を代入すると
1＋λx^2 ≦ {(1+λ)･{1＋2(x^r)}^2}/9 ≦ (1+λ)･{1＋2(x^r)}^2
したがって
1/(1＋λx^2) + 1/(1＋λy^2) + 1/(1＋λz^2)
≧ 1/(1＋λ)･(1/{1＋2(x^r)} + 1/{1＋2(y^r)} + 1/{1＋2(z^r)})
ここまでは分かりましたが、最後に
1/{1＋2(x^r)} + 1/{1＋2(y^r)} + 1/{1＋2(z^r)} ≧ 3
を示すには どうすればよいのでしょうか？
176:149
04/06/04 12:01
2 > 1/√(1+λx^2) + 1/√(1+λy^2) + 1/√(1+λz^2) ≧ 3/√(1+λ).
177:１３２人目の素数さん
04/06/04 13:39
>>175の計算で 1＋λx^2 ≦ {(1+λ)･{1＋2(x^r)}^2}/9 の後、
1/(1＋λx^2) + 1/(1＋λy^2) + 1/(1＋λz^2)
≧ 3/(1＋λ)･( 1/{1＋2(x^r)} + 1/{1＋2(y^r)} + 1/{1＋2(z^r)} )
だから、右辺が ≧ 3/√(1+λ) となるには 次を示したらいいんですよねえ？
1/{1＋2(x^r)} + 1/{1＋2(y^r)} + 1/{1＋2(z^r)} ≧ 1
178:175
04/06/04 20:30
>177
漏れの機種では"√"が表示されないか．．．．．と思ったら１カ所出てるYo.
あとは x,y,z を a,b,c に戻して, 相乗≦相加 で (終).
179:１３２人目の素数さん
04/06/04 21:21
すみません、もう少し詳しく教えてください。
x,y,z を a,b,c に戻さないと、相乗≦相加 できないのですか？
戻して相加相乗しましたが、やっぱり分かりません
a^(2r)/{a^(2r)+2(bc)^r} + b^(2r)/{b^(2r)+2(ca)^r} + c^(2r)/{c^(2r)+2(ab)^r}
≧ 3{(abc)^(2r)/({a^(2r)+2(bc)^r}{b^(2r)+2(ca)^r}{c^(2r)+2(ab)^r})}^(1/3)
180:１３２人目の素数さん
04/06/04 21:27
>>178
わざわざ x,y,z を a,b,c に戻してから 相乗≦相加 で (終) ということは
a,b,c の式に戻してから、式を何かに変形してからじゃないと
うまくいかないということなのでしょうね？
降参ですから、もったいぶらずに教えて下さいYo.
181:１３２人目の素数さん
04/06/05 07:15
x,y,zのままでも やれそうに感じて やってみたら、
いつの間にか符号が逆になってしまった。
182:178
04/06/07 12:06
>180
a/√(a^2+λbc) + b/√(b^2+λca) + c/√(c^2+λab)
= 1/√(1+λx^2) + 1/√(1+λy^2) + 1/√(1+λz^2)
≧ {3/√(1+λ)}[1/{1+2(x^r)} +/{1+2(y^r)}+1/{1+2(z^r)}]
= {3/(1+λ)}[(a^r)/{a^r+2(bc)^(r/2)}+(b^r)/{b^r+2(ca)^(r/2)}+(c^r)/{c^r+2(ab)^(r/2)}]
≧ {3/√(1+λ)}[(a^r)/{a^r+(b^r+c^r)}+(b^r)/{b^r+(c^r+a^r)}+(c^r)/{c^r+(a^r+b^r)}]
= {3/√(1+λ)}.
ここに x=(√bc)/a, y=(√ca)/b, z=(√ab)/c.
183:１３２人目の素数さん
04/06/08 21:41
(*ﾟ∀ﾟ)=３ ｳﾋｮｰｯ！
しまった、そこで使うのか！
ﾊｧﾊｧ、すばらすぃ！
184:１３２人目の素数さん
04/06/09 02:33
>178
おかげさまで、やっと理解できました。
ありがとうございます。
185:１３２人目の素数さん
04/06/09 02:47
【問題】 正の実数a,b,cに対し、次を示せ。
(a^a)(b^b)(c^c) ≧ (abc)^{(a+b+c)/3}
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | 既出？
ヽ::::... .ワ....ノ
186:１３２人目の素数さん
04/06/09 22:32
>>185
勃起してきた その不等式
＿＿＿
.／ 不 ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (≧ (≦ |
ヽ::::... .∩....ノ
187:１３２人目の素数さん
04/06/09 23:21
, -‐－-､ ヽ∧∧∧ // |
. /////_ﾊ ヽ＜ 釣れた！＞ ハ
ﾚ//ｊ け ,fjlﾘ / ∨∨V ヽ h. ﾟl;←不等式に魅入られた数ヲタ>>186
ﾊｲｲﾄ､"ヮノﾊ // |::: ｊ ｡
/⌒ヽヾ'ﾘ、 // ヾ､≦ '
. { j｀ｰ' ﾊ // ヽ∧∧∧∧∧∧∧∧/
ｋ～'ｌ ﾚﾍ. ,r'ス ＜ さぁ、君も今日から＞
| ヽ ＼ ト､ ヽ-kヾｿ ＜ 不等式ヲタだ！ ＞
. l ＼ ｀ｰ‐ゝ-〈/´ / ∨∨∨∨∨∨∨∨ヽ
l `ー-､___ﾉ
ﾊ ´￣｀ 〈/‐-､
188:１３２人目の素数さん
04/06/09 23:22
>>185
その証明がまた(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
一粒で２度美味しい(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
189:１３２人目の素数さん
04/06/10 01:45
＿＿＿
.／ ≧ ＼ 【>>185】 正の実数a,b,cに対し、
|:::: ＼ .／ | (a^a)(b^b)(c^c) ≧ (abc)^{(a+b+c)/3}
|::::: (● (● |
ヽ::::... .ワ....ノ ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
対称性から a≧b≧c>0 としてよい。
a^(3a)*b^(3b)*c^(3c) /(abc)^(a+b+c)
= (a/b)^(a-b)*(a/c)^(a-c)*(b/c)^(b-c) ≧ 1
等号成立条件は a=b=c
190:１３２人目の素数さん
04/06/10 11:53
>189
> 対称性から a≧b≧c>0 としてよい。
は不要？ x>0,y>0 ⇒ (x/y)^(x-y)≧1, 等号はx=y.
191:１３２人目の素数さん
04/06/10 12:11
ハッ！そうですね。
ってことは、こう書けばよかったんだ。
a^(3a)*b^(3b)*c^(3c) /(abc)^(a+b+c)
= (a/b)^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a) ≧ 1
∧＿∧
（´Д｀ ） 死んでお詫びを…
/ y/ ヽ
Σ(m)二フ ⊂[_ノ
（ノノノ | | | l ）
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
192:190
04/06/10 17:42
>191
つまり、a_k>0、 (a_1+a_2+････+a_n)/n=A とおくと、
(a_1^a_1)(a_2^a_2)････(a_n^a_n)／{(a_1･a_2････a_n)^A} = Π[i=1 to n](a_i)^(a_i-A)
= Π[i=1 to n] Π[j=1 to n] (a_i)^{(a_i-a_j)/n}
= Π[1≦i,j≦n] (a_i/a_j)^{(a_i-a_j)/n} ≧1 だな。
193:１３２人目の素数さん
04/06/10 22:04
∧＿∧
( ;´∀｀) ﾊｧﾊｧ…
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
194:１３２人目の素数さん
04/06/15 14:38
簡単だがネタを。何通りの証明があるかな？
正の数a,b,cに対して a^4 + b^4 + c^4 ≧ abc(a+b+c) を示せ。
195:KingMathematician ◆5lHaaEvFNc
04/06/15 15:11
[>>194]について、
普通に思いつくのが、解析学的な方法。
abc=0のときは、自明である。
以下、abc≠0とする。
a,b,cを-a,-b,-cに変えても左辺と右辺は変わらない。
だから、c>0を仮定してもよい。
a,b,cをka,kb,kc(k>0)にしても不等号は変わらない。
だから、c=1を仮定してよい。
f(a,b):=a^4+b^4-a*b*(a+b+1)
とする。
∂_{a}(f(a,b))=4a^3-2ab-b(b+1)
∂_{a}(f(a,b))=0をaについて解くと、大変なことに…。
196:１３２人目の素数さん
04/06/15 15:14
a^4+a^4+b^4+c^4>=4a^2bc
b,cも同様にして、加えると
4(a^4+b^4+c^4)>=4abc(a+b+c)
197:KingMathematician ◆5lHaaEvFNc
04/06/15 15:39
a^4+b^4-ab(a+b+1)
=(a+b)^4-4a^3b-4b^3a-6a^2b^2-ab(a+b+1)
=(a+b)^4-4ab(a^2+b^2)-6(ab)^2-ab(a+b+1)
=(a+b)^4-4ab((a+b)^2-2ab)-6(ab)^2-ab(a+b+1)
そして、(a+b)^2-4ab>=0より、ab<=(a+b)^2/4
さて、x=a+b,y=abとすると、
2y^2+(-4x^2-x-1)y+x^4,y<=x^2/4である。
平方完成(?)すると、
2(y-(4x^2+x+1)/4)^2+x^4-(4x^2+x+1)^2/8となる。
x^2/4<=(4x^2+x+1)/4は容易に分かる。
だから、y=x^2/4のとき、式が非負になればよい。
しかし…。
198:１３２人目の素数さん
04/06/15 16:25
kingって、結局できないのか。たいしたことないな。
分かってから書き込め！ ウザイ！
199:KingMathematician ◆5lHaaEvFNc
04/06/15 16:48
失敗のデータは、本当は成功のデータと同じくらい重要なのだ。
失敗のデータは、ここで行き止まりだという情報を含んでいるからだ。
200:１３２人目の素数さん
04/06/15 16:49
がんばれＫＩＮＧ！
201:１３２人目の素数さん
04/06/15 22:00
kingは荒らしてるだけか…、クズめ！
202:１３２人目の素数さん
04/06/15 22:24
不等式を制する者は解析を制す。
203:KingMathematician ◆5lHaaEvFNc
04/06/15 22:42
だれが荒らしていると？
204:１３２人目の素数さん
04/06/15 23:14
得るもののないレスが多い。
とくにキングマスかきのはな・・・
205:１３２人目の素数さん
04/06/16 03:30
ここ10レスで >>196だけか。
糞レスが多すぎ！
206:１３２人目の素数さん
04/06/16 04:12
>194 再掲
簡単だがネタを。何通りの証明があるかな？
正の数a,b,cに対して、次を示せ。
a^4 + b^4 + c^4 ≧ abc(a+b+c)
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | ６通りかな
|::::: (● (● | ﾊｧﾊｧ
ヽ::::... .ワ....ノ
207:１３２人目の素数さん
04/06/16 04:13
（解１） 相加相乗平均による解法 （by 196 さん）
a^4+a^4+b^4+c^4 ≧ 4a^2bc
a^4+b^4+b^4+c^4 ≧ 4ab^2c
a^4+b^4+c^4+c^4 ≧ 4abc^2 を辺々加える。
（解２） 相加相乗平均による解法 （その２）
a^4+b^4+c^4
= (a^4+b^4)/2 + (b^4+c^4)/2 + (c^4+a^4)/2
≧ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2
= (a^2b^2+b^2c^2)/2 + (b^2c^2+c^2a^2)/2 + (c^2a^2+a^2b^2)/2
≧ab^2c + abc^2 + a^2bc
= abc(a+b+c)
208:１３２人目の素数さん
04/06/16 04:14
（解３） Cauchy-Schwarzの不等式と相加相乗平均による解法
(1^2+1^2+1^2)(a^4+b^4+c^4) ≧ (a^2+b^2+c^2)^2
(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2) ≧ (a+b+c)^2
(a+b+c)/3 ≧ (abc)^(1/3)
a^4+b^4+c^4
≧(a^2+b^2+c^2)^2/3
≧{(a+b+c)/3}^3*(a+b+c)
≧abc(a+b+c)
（解４） Jensenの不等式（凸不等式）と相加相乗平均による解法
f(x)=x^4は下に凸だから、{f(a)+f(b)+f(c)}/3 ≧ f((a+b+c)/3)
(a+b+c)/3 ≧ (abc)^(1/3)
(a^4+b^4+c^4)/3
≧((a+b+c)/3)^3*(a+b+c)/3
≧abc(a+b+c)/3
209:１３２人目の素数さん
04/06/16 04:15
（解５） Cebysevの不等式と相加相乗平均による解法
(a^4+b^4+c^4)/3
≧(a^3+b^3+c^3)/3*(a+b+c)/3
≧abc(a+b+c)/3
（解６） 差をとる。
（左辺）―（右辺）
= {a^2+(b+c)^2}(b-c)^2 + {b^2+(c+a)^2}(c-a)^2 + {c^2+(a+b)^2}(a-b)^2
≧0
210:１３２人目の素数さん
04/06/16 04:16
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | >>196さんの証明が一番気に入ってる。
|::::: (● (● | ﾊｧﾊｧ、ﾝ～ﾓｳ ﾀﾏﾗﾝｯ！
ヽ::::... .ワ....ノ
211:１３２人目の素数さん
04/06/16 14:15
さすが不等式ヲタ
そこにシビれるあこがれる～ぅ！
212:１３２人目の素数さん
04/06/16 22:44
>>195
結局両辺を ｃ＾4 で割ってるだけだろ。
213:KingMathematician ◆5lHaaEvFNc
04/06/16 22:52
どうもおかしいと思ったら、1を足し忘れていた。
214:１３２人目の素数さん
04/06/16 22:58
ｋｉｎｇは、ただの荒らし
放置推奨
215:linear PDE ◆O5M8Y2WWjk
04/06/16 22:59
変身忍者嵐
216:１３２人目の素数さん
04/06/17 00:41
居直り強盗
↓
217:１３２人目の素数さん
04/06/17 04:53
このスレも とうとう荒らしに目をつけられたか…
218:１３２人目の素数さん
04/06/17 08:05
>206-210
【定理】a_i>0 のとき、Σ[i=1,n] (a_i)^(n+1) ≧ Ｇ･Σ[i=1,n] a_i.
ここに Ｇ≡Π[i=1,n] a_i.
（解１）相加相乗平均による方法 (by [196])
［(a_j)^(n+1) +Σ[i=1,n] (a_i)^(n+1)］/(n+1) ≧ a_j･Π[i=1,n]a_i = Ｇ･a_j
j=1,･･･,n を辺辺加えて
Σ[i=1,n] (a_i)^(n+1) ≧ Ｇ･Σ[i=1,n] a_i.
（解４） Jensenの不等式（凸不等式）より、
f(x)=x^(n+1) は下に凸だから、{Σf(a_i)}/n ≧ f({Σa_i}/n).
相加相乗平均より、(Σa_i)/n ≧ Ｇ^(1/n).
∴{Σ a_i^(n+1)}/n ≧ {(Σa_i)/n}^n ・(Σa_i)/n ≧ Ｇ･(Σa_i)/n.
（解５）Chebyshev不等式より
(1/n)Σ[i=1,n] (a_i)^(n+1) ≧ (1/n)Σ[i=1,n] (a_i)^n ･ (1/n)Σ[i=1,n] a_i
相加相乗平均より、(1/n)Σ[i=1,n] (a_i)^n ≧ Ｇ.
∴(1/n)Σ[i=1,n] (a_i)^(n+1) ≧Ｇ･(1/n)Σ[i=1,n] a_i.
（解６）差をとる方法。
（左辺）－（右辺）
= Σ[i=1,n]{(a_i)^(n+1)－Ｇ･a_i} = Σ[i=1,n]a_i･{(a_i)^n－Ｇ}
= Σ[i=1,n](a_i-g)･{(a_i)^n－Ｇ} + g･Σ[i=1,n]{(a_i)^n－Ｇ}
= Σ[i=1,n](a_i-g)･{(a_i)^n－Ｇ} + ng(Ａ－Ｇ).
ここに、g=Ｇ^(1/n), Ａ=(1/n)Σ[i=1,n] a_i.
219:１３２人目の素数さん
04/06/17 09:13
神降臨！
┏┓ ┏━┓ ／￣￣￣￣￣￣＼ .┏━┓┏━┓
┏┛┗┓┃┏┓┃ ／ 不等式ヲタ ＼. ┃ ┃┃ ┃
┗┓┏┛┃┗┛┃┏━━/ ヽ.━━┓┃ ┃┃ ┃
┏┛┗┓┃┏┓┃┃ l::::::::: ＼ ／ | ┃┃ ┃┃ ┃
┗┓┏┛┗┛┃┃┗━━|:::::::::: （●） （●） |━━┛┗━┛┗━┛
┃┃ ┃┃ |::::::::::::::::: ＿＿ | ┏━┓┏━┓
┗┛ ┗┛ ヽ::::::::::::::::::. ＼／ .ノ ┗━┛┗━┛
220:１３２人目の素数さん
04/06/17 12:05
>218 の末尾
= Σ[i=1,n](a_i-g)･{(a_i)^n－g^n} + ng(Ａ－Ｇ) ≧ 0.
ここに、g=Ｇ^(1/n), Ａ=(1/n)Σ[i=1,n](a_i)^n.
221:１３２人目の素数さん
04/06/17 22:53
| |- 20
| |
| |- 10
| |
| |- 0
| |
| |- -10
| |
| |- -20
| |
| |- -30 ∧＿∧ ／￣￣￣￣￣￣
|┃| （´∀｀ ） ＜ このスレ寒すぎ
|┃| （ ） ＼＿＿＿＿＿＿
. （●） ｜ ｜ |
￣ （＿（_＿）
222:１３２人目の素数さん
04/06/19 20:24
だが、それがいい。
223:１３２人目の素数さん
04/06/20 21:39
ｎを正の整数とするとき、次の不等式を示せ。
√(ｎπ) ＜ {(2ｎ)!!}/{(2ｎ-1)!!} ＜ √{(ｎ+0.5)π}
224:１３２人目の素数さん
04/06/21 01:53
>223
偶然だが昨日、次の不等式を証明したよ。
1/(2ｎ+1) ＜ {(2ｎ-1)!!}/{(2ｎ)!!} ＜ 1/√(2ｎ+1)
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ﾊｧﾊｧ
ヽ::::... .ワ....ノ
225:１３２人目の素数さん
04/06/21 11:45
>>196,206
東北学院大・経 (1997)か？
↓にもあるよ
安田亨:「入試数学 伝説の良問100」講談社ブルーバックスB-1407 (2003.4) \1155
226:１３２人目の素数さん
04/06/21 12:53
(2n)!!/(2n-1)!!=√πΓ(n+1)/Γ(n+0.5)だから、各辺logとって整理すると示すべき不等式は
log(n)<(f(n+1)-f(n+0.5))/0.5<log(n+0.5) ただし、f(x)=log(Γ(x))
あとは、log(n)=f(n+1)-f(n), log(n+0.5)=f(n+1.5)-f(n+0.5), fは凸関数であることに注意すればよい
227:１３２人目の素数さん
04/06/21 21:58
【問題】 0<a<π/4、0<b<π/4 であるa,bについて下の不等式が成立することを証明せよ。
√{tan(a)･tan(b)} ≦ tan((a+b)/2) ≦ {tan(a)+tan(b)}/2
分かスレ１７２
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:381番)
228:１３２人目の素数さん
04/06/21 22:08
>>227
自明すぎてつまらん．
229:１３２人目の素数さん
04/06/21 22:44
>228
y=ln(tan(x)) は上に凸、y=tan(x) は下に凸。
230:１３２人目の素数さん
04/06/22 07:53
>227
Right = sin(a+b)/[2cos(a)cos(b)] = Middle/[2cos(a)cos(b)]{1+cos(a+b)}.
(Right - Middle)･[2cos(a)cos(b)] = Middle･[1+cos(a+b)-2cos(a)cos(b)] = Middle･[1-cos(a-b)] ≧0.
Left = tan(a+b)/2[1-tan(a)tan(b)].
Middle = tan(a+b)/2[1-tan{(a+b)/2}^2].
Middle^2 - Left^2 = 1 - 2tan{(a+b)/2}/tan(a+b) - [1 - {tan(a)+tan(b)}/tan(a+b)]
= {2/tan(a+b)}(Right - Middle).
231:１３２人目の素数さん
04/06/22 21:13
>>223
∫(0→π/2)(sin x)＾ｎ dx を評価すれば出る。
232:１３２人目の素数さん
04/06/22 21:55
>231
上式を I_n とおくと、I_n = [(n-1)/n] I_{n-2}.
∴ I_{2m+1} = (2m)!!/(2m+1)!!, I_{2m} = [(2m-1)!!/(2m)!!](π/2)
I_0 = π/2, I_1=1, I_2=π/4, I_3=2/3, ･･･ で単調減少
233:１３２人目の素数さん
04/06/22 23:17
>>227
昔の京大の問題だから調べてね
234: ◆MC1Z7pcz5k
04/06/23 01:22
>>227 >>233
'91 前期 理 4番
の問題ですね。
結構難易度の高い問題だったはずです。
とくに, 左側の不等式は難問です。
235:１３２人目の素数さん
04/06/23 08:32
>>234
左側の不等式は，>>229の書いてるとおり，logとればただの凸不等式．
難問には思えないんだけどなあ．
236:230
04/06/24 11:57
3,4行目に誤り、すまそ。↓に訂正
tan(x)･tan(y) = 1 - {tan(x)+tan(y)}/tan(x+y)
237:１３２人目の素数さん
04/06/25 23:46
ネタを幾つか仕入れてきたので、
まずは自分で解いてみてから書き込みます。
, -‐－-､ ヽ∧∧∧ // |
. /////_ﾊ ヽ＜ 釣るぞ！＞ ハ
ﾚ//ｊ け ,fjlﾘ / ∨∨V ヽ h. ﾟl;←不等式に魅入られた私
ﾊｲｲﾄ､"ヮノﾊ // |::: ｊ ｡
/⌒ヽヾ'ﾘ、 // ヾ､≦ '
. { j｀ｰ' ﾊ // ヽ∧∧∧∧∧∧∧∧/
ｋ～'ｌ ﾚﾍ. ,r'ス ＜ さぁ、君も今日から＞
| ヽ ＼ ト､ ヽ-kヾｿ ＜ 不等式ヲタだ！ ＞
. l ＼ ｀ｰ‐ゝ-〈/´ / ∨∨∨∨∨∨∨∨ヽ
l `ー-､___ﾉ
ﾊ ´￣｀ 〈/‐-､
238:KingOfKingMathematician ◆H06dyzvgzA
04/06/26 08:53
お勧めトリップ集
KingOfKingMathematicianの後に付けるのがおしゃれ。
H06dWILLhA : #/{\@%YwX
H06djy9xBA : #SgHdO'H%
H06dYXOYLA : #*｢A@?NVF
H06dhKnt9A : #[Aｼsudｾl
H06dWifa1A : #{SfbN(6ｦ
H06dyzvgzA : #QAiEｼEp- ←使用中
239:１３２人目の素数さん
04/06/29 02:53
あげ
240:１３２人目の素数さん
04/06/29 11:59
非負整数x_kに対し
(x_1)! (x_2)!…(x_n)! ≧ [ { (x_1+ … +x_n)/n }! ]^n
右辺の[a]はガウス記号とする。
241:１３２人目の素数さん
04/06/29 12:02
すまん、書き間違えた。
非負整数x_kに対し
(x_1)! (x_2)!…(x_n)! ≧ ([(x_1+ … +x_n)/n]!)^n
右辺は相加平均にガウス記号つけたものの階乗のn乗です
242:１３２人目の素数さん
04/06/29 13:18
x≧1でlogΓ(x)は単調増大凸関数だから明らか。
243:１３２人目の素数さん
04/06/29 13:40
> x≧1でlogΓ(x)は単調増大凸関数だから明らか。
x≧2の間違いだな。
まあ、左辺は1より小さくならないから、
明らかであることに変わりはないけど。
244:１３２人目の素数さん
04/06/29 22:07
【問題】 次式を示してくださいです。。。
-3(√3)/2 ≦ sin(x) + sin(y) + sin(x+y) ≦ 3(√3)/2
さくらスレ１４６
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:461番)
面積最大の三角形
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:198番)
245:１３２人目の素数さん
04/06/29 22:32
周期2πだから、|x|,|y|≦πで考えれば十分。
sin(x) + sin(y) + sin(x+y) = 4sin((x+y)/2)cos(x/2)cos(y/2) と変形できるから、
(x+y)/2の正負で場合分けして、-log(cos(x))の凸不等式を使えばよい。
246:１３２人目の素数さん
04/06/29 23:34
どきどき | マダー？ マダー？
, -┴‐-､ﾟ ｡
/´ 237 ∠}ヽ ∧＿∧ ∧＿∧ ∧＿∧
| u ノ)）））（ ・∀・）（ ´∀｀）（ ´･ω･）
| u ｄ!!!l （ ∪ ∪（ ∪ ∪ （ ∪ ∪
f^ｉﾉ u ﾘノ と＿_）__）旦＿）__）旦＿）__） 旦
「((（(( (（（((ト､
| i######| }
`ｰ'l######レ' ｡oO（ど、どしよ……）
ﾉ#####〈
247:１３２人目の素数さん
04/06/30 21:39
>245
sin(x) + sin(y) + sin(x+y) = 2sin{(x+y)/2}[cos{(x-y)/2} + cos{(x+y)/2}],
-1 + cos{(x+y)/2} ≦ cos{(x-y)/2} + cos{(x+y)/2} ≦ 1 + cos{(x+y)/2}.
-2･sin{(x+y)/4}^2 ≦ cos{(x-y)/2} + cos{(x+y)/2} ≦ 2･cos{(x+y)/4)}^2.
までは出るが．．．
248:１３２人目の素数さん
04/06/30 21:59
>>247
0≦(x+y)/2≦πなら、sin((x+y)/2)≧0で、sin((x+y)/2)=cos(π/2-(x+y)/2)
-π≦(x+y)/2≦0なら、sin((x+y)/2)≦0で、sin((x+y)/2)=-cos(-π/2-(x+y)/2)
249:UltraMagic ◆NzF73DOPHc
04/06/30 22:02
どうでもいいけど、「け ,fj」って何？
250:１３２人目の素数さん
04/06/30 22:11
どうして荒らすのかなぁ > Q.man
251:１３２人目の素数さん
04/06/30 22:22
-log(cos(x)) (|x|≦π/2)の凸不等式をつかう。
(x+y)/2≧0のとき
0≦4sin((x+y)/2)cos(x/2)cos(y/2)=4cos(π/2-(x+y)/2)cos(x/2)cos(y/2)≦4(cos(π/6))＾3=3(√3)/2
(x+y)/2<0のとき
0≧4sin((x+y)/2)cos(x/2)cos(y/2)=-4cos(-π/2-(x+y)/2)cos(x/2)cos(y/2)≧-4(cos(-π/6))＾3=-3(√3)/2
∴-3(√3)/2≦sin(x)+sin(y)+sin(x+y)≦3(√3)/2
252:１３２人目の素数さん
04/06/30 23:44
新ネタ投下 ﾊｧﾊｧ
自然数nに対して、次の不等式を示せ。
(n!)e^n > {n+(1/2)}^{n+(1/2)}
253:１３２人目の素数さん
04/06/30 23:51
>>206-210
（解７）
2{(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)} = (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≧ 0
より a^2+b^2+c^2 ≧ ab+bc+ca が成り立つ。
これを２回繰り返す。
a^4+b^4+c^4 ≧ (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 ≧ abc(a+b+c)
254:１３２人目の素数さん
04/07/01 05:56
>>252
log(x)と接線を考えて積分で評価したら、ちょっとだけいい評価が出た
(n!)e^n > (√2){n+(1/2)}^{n+(1/2)}
255:１３２人目の素数さん
04/07/01 06:00
＿＿＿
.／ 不 ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (≧ (≦ | ﾊｧﾊｧ
ヽ::::... .∩....ノ
256:１３２人目の素数さん
04/07/01 12:02
実数a,b,c,d,eに対して、次の不等式を示せ。
1 < a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+d) + d/(d+e) + e/(e+a) < 4
まぁだまだ 逝くよぉ～
257:１３２人目の素数さん
04/07/01 12:44
n個の正の数 a_1,a_2,…,a_n に対して、
基本対称式（k個ずつの積の和）を s_k で表すとき、次を示せ。
(s_k)(s_{n-k}) ≧ (s_n)C[n,k]^2
不等式な上に、nCrまで…
＿＿＿
.／ 不 ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (≧ (≦ | ﾊｧﾊｧ
ヽ::::... .∩....ノ
258:UltraMagic ◆NzF73DOPHc
04/07/01 15:37
Re:>256 そういうのいけない。
a=1,b=-.999,c=10,d=1,e=1
範囲を正の数に限定すれば大丈夫だ。
259:１３２人目の素数さん
04/07/01 15:57
う、おっしゃるとおりで。
正の実数でした。
260:１３２人目の素数さん
04/07/01 16:36
任意の実数で成り立つ(*´д｀*)ﾊｧﾊｧする不等式はないの？
261:UltraMagic ◆NzF73DOPHc
04/07/01 16:49
(>_<)
262:１３２人目の素数さん
04/07/01 17:00
ａｂ≦１/２(ａ^2＋ｂ^2)ぐらいしか思いつかん
263:１３２人目の素数さん
04/07/01 20:33
>257
(s_k)/項数 = (s_k)/Ｃ[n,k] ≡ P_k とおくと P_0=1. もし
(P_i)/P_{i-1} ≧ P_{i+1}/(P_i) ･････ (1)
が成り立てば
(P_k)/(P_0) = Π[i=1,k] (P_i)/P_{i-1} ≧ Π[i=n-k+1,n] (P_i)/P_{i-1} ≧ (P_n)/(P_{n-k}).
∴ (P_k)(P_{n-k}) ≧ (P_0)(P_n).
よって (1) に帰着する。
264:１３２人目の素数さん
04/07/01 20:52
>>263
等号成立条件は？
＿＿＿
.／ 不 ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (≧ (≦ | ﾆﾔﾆﾔ
ヽ::::... .∀....ノ
265:１３２人目の素数さん
04/07/02 03:54
>263 神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
しかし、分からない…
266:１３２人目の素数さん
04/07/02 04:27
>263さん、あなたにかかっています。
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ﾊｧﾊｧ
ヽ::::... .ワ....ノ
267:１３２人目の素数さん
04/07/02 05:43
>264
等号成立条件は、a_1 = a_2 = … = a_n
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ﾊｧﾊｧ
ヽ::::... .ワ....ノ
268:１３２人目の素数さん
04/07/02 08:12
>254
n! = C･{(n+1/2)^(n+1/2)}/(e^n) とおく。
x=k での接線から Ln(k) > ∫[x=k-1/2,k+1/2] Ln(x)dx.
台形公式から {Ln(k)+Ln(k+1)}/2 < ∫[x=k,k+1] Ln(x)dx.
Ln(n!) = Ln(a!) + Σ[k=a+1,n] Ln(k) > Ln(a!) + ∫[x=a+1/2,n+1/2] Ln(x)dx
= Ln(a!) + (n+1/2){Ln(n+1/2)-1} - (a+1/2){Ln(n+1/2)-1},
∴ Ln(C) > Ln(a!) - (a+1/2)Ln(a+1/2) + a.
Ln(n!) = Ln(a!) + (1/2)Ln(a+1) + ∫[x=a+1,n] Ln(x)dx + (1/2)Ln(n)
= Ln(a!) + (1/2)Ln(a+1) + n{Ln(n)-1} - (a+1){Ln(a+1)-1} + (1/2)Ln(n)
= Ln(a!) + (n+1/2)Ln(n) -n -(a+1/2){Ln(a+1)-1} + 1/2
< Ln(a!) + (n+1/2)Ln(n+1/2) -n -(a+1/2){Ln(a+1)-1}
∴ Ln(C) < Ln(a!) - (a+1/2){Ln(a+1)-1}.
C → √(2π/e)=1.520347 (n→∞)
269:263
04/07/03 15:28
>264-266
【263の(1)】
1≦i≦n-1 ⇒ Q_i ≡(P_i)^2 - P_{i-1}･P_{i+1} ≧0.
(略証） n(変数の数)に関する帰納法で示す。
For i=1,
Q_1 = (P_1)^2 - P_0･P_2 = (1/n)^2･(∑[j=1,n] x_j)^2 - {2/n(n-1)}(∑[j>j'] x_j･x_j')
= {1/[n^2･(n-1)]}{(n-1)∑[j=1,n](x_j^2) -2･∑[j>j'] x_j･x_j'}
= {1/[n^2･(n-1)]}∑[j>j'] (x_j-x_j')^2 ≧ 0.
n=2 ⇒ i=1 ∴ n=2のとき成立。
Consider a new member x'= x_{n+1}.
s'_i ≡ s_i + x'･s_{i-1} (1≦i≦n),
P'_i ≡ [(n+1-i)/(n+1)]･P_i + [i/(n+1)]x'･P_{i-1},
Q'_i ≡ (P'_i)^2 - P'_{i-1}･P'_{i+1},
and
(n+1)^2･Q'_i = (n-i)(n-i+2)･Q_i + (n-i)(i-1)[P_i･P_{i-1}－P_{i+1}P_{i-2}]x' +(i^2-1)･Q_{i-1}(x')^2 +[P_i-P_{i-1}x'}^2.
Provided Q_i≧0, Q_{i-1}≧0 for a certain n, then
P_i/P_{i+1} increase monotonously with i: P_i/P_{i+1} ≧ P_{i-2}/P_{i-1}.
∴ Q'_i≧0.
270:263
04/07/05 20:59
【263の系】
P_1 ≦ (P_2)^(1/2) ≦ ････ ≦ (P_k)^(1/k) ≦ ････ ≦ (P_n)^(1/n)
271:263
04/07/05 21:01
スマソ
【263(1)の系】
P_1 ≧ (P_2)^(1/2) ≧ ････ ≧ (P_k)^(1/k) ≧ ････ ≧ (P_n)^(1/n)
272:１３２人目の素数さん
04/07/05 21:04
273:１３２人目の素数さん
04/07/06 16:01
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | ﾑｽﾞｶｼ…
|::::: (● (● | ﾊｧﾊｧ
ヽ::::... .ワ....ノ
274:１３２人目の素数さん
04/07/06 21:46
ここにも燃料を投下していたのですが、過疎スレだけに…。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:703番)
275:１３２人目の素数さん
04/07/06 22:15
＞274
反例？を書いて来たよ。
276:１３２人目の素数さん
04/07/06 22:23
いい加減自演止めろ、うざい。
277:１３２人目の素数さん
04/07/06 23:28
>276
自演じゃないですよ。
数オリや 数セミ 外国の月刊誌のAMMなどから
nCrの和や 三角関数や 不等式の問題を収集してきて
各スレに貼っている数オタは私ですが、解く力は弱い。
その問題を、私の写し間違いまで訂正した上で
一般化までして解説してくれている神は別人ですよ。
278:１３２人目の素数さん
04/07/06 23:32
>>276
失せろ, 嫌なら見るな
279:１３２人目の素数さん
04/07/06 23:34
>>278
氏ね、池沼。
280:１３２人目の素数さん
04/07/06 23:44
あちこちのスレでよく見かけるけど、
池沼の意味が分かんないんですが？
281:１３２人目の素数さん
04/07/06 23:49
>276は ageられたスレを見て、ウザイと反応しているのかな？
282:１３２人目の素数さん
04/07/06 23:59
>>280
おまいの事だよ。
283:１３２人目の素数さん
04/07/07 09:01
荒らしにも困ったものだ。
>256
f(a,b,c,d,e) = a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+d) + d/(d+e) + e/(e+a) とおくと
f(a,b,c,d,e)+f(a,e,d,c,b)=5 … (1)
また、a/(a+b) > a/(a+b+c+d+e) などから
f(a,b,c,d,e) > 1 … (2)
これらより、 1 < f(a,b,c,d,e) < 4
f(a^4,a^3,a^2,a,1) → 1 (a→0) だから、これと(1)より、
f(a,b,c,d,e)は1から4の間のすべての値をとる
284:１３２人目の素数さん
04/07/07 10:24
＞また、a/(a+b) > a/(a+b+c+d+e) などから
これは、実数a,b,c,d,eに対して無条件で明らかですか？
ー(a+b)＜c+d+e＜0＜a の時はまずそうですが？
これから、(2) が出るのも、おれには明らかではない？
285:１３２人目の素数さん
04/07/07 11:14
あぁ、問題文のミスで、a,b,c,d,eは正の数って約束があるんですよ。
すんません。>>259あたりにそのことが書いてあった。
286:１３２人目の素数さん
04/07/07 11:25
了解。
287:１３２人目の素数さん
04/07/07 13:37
＞227
＞ 0<a<π/4、0<b<π/4 であるa,bについて
＞ √{tan(a)･tan(b)} ≦ tan((a+b)/2) ≦ {tan(a)+tan(b)}/2
この相加平均と相乗平均の間に挟まれているタイプの不等式を拾ってきたYo！
異なる正の数a,bに対して
√(ab) < (a-b)/{log(a)-log(b)} < (a+b)/2
288:227
04/07/08 18:18
>287
sinh(|x|) ≧ |x| ≧ tanh(|x|) より １≦ sinh(x)/x ≦ cosh(x).
x=(1/2)･Ln(b/a) とおき, 各辺に√(ab) を掛ける。
等号成立は x=0 つまり a=b.
289:１３２人目の素数さん
04/07/08 22:44
【問題】
0<x<y<1 または 1<x<y に対して
{y^(x^y)}/{x^(y^x)} > y/x > (y^x)/(x^y)
∧＿∧
( ;´∀｀) ﾊｧﾊｧ…
人 Y / ﾓｳ ﾀﾏﾗﾝ
( ヽ し
（＿）＿）
290:UltraMagic ◆NzF73DOPHc
04/07/08 22:55
0<x<y<1または1<x<yに対して、
x^y*y-y^x*xをxyで割り、
x^(y-1)-y^(x-1)を得る。
yで偏微分してln(x)x^(y-1)-(x-1)y^(x-2)を得る。
y>=xでそれは正となる(?)。
291:１３２人目の素数さん
04/07/09 07:52
>289
（右側）題意より (x-1)(y-1)>0.
Ln(x)/(x-1)>0 は単調減少だから
x<y ⇒ Ln(x)/(x-1)>Ln(y)/(y-1)>0 ⇒ x^(y-1)>y^(x-1)>1 ⇒ y/x > (y^x)/(x^y).
292:１３２人目の素数さん
04/07/09 14:21
>291
さすが！
>290
荒らすな！
293:１３２人目の素数さん
04/07/09 23:41
自演はげ
294:１３２人目の素数さん
04/07/18 08:53
age
295:１３２人目の素数さん
04/07/20 05:53
The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
296:１３２人目の素数さん
04/07/21 16:48
マルコフの不等式
297:１３２人目の素数さん
04/07/22 07:05
∧＿∧
( ;´∀｀) ﾊｧﾊｧ…
人 Y / ﾓｳ ﾀﾏﾗﾝ
( ヽ し
（＿）＿）
298:１３２人目の素数さん
04/07/22 07:12
三角形ABCの内角について、
sin(A)+sin(B)+sin(C) と sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)
の大小関係は定まりますか？
299:１３２人目の素数さん
04/07/22 08:12
>298
二等辺三角形(A=B)の場合を考えると
0<A<19.178215°では 2sin(A)+sin(π-2A) ＜ 2sin(A/2)+cos(A)
19.178215°<A< 90°では 2sin(A)+sin(π-2A) ＞ 2sin(A/2)+cos(A)
300:１３２人目の素数さん
04/07/22 08:48
>299
ありがとうございます。あと２式のとりうる値について、凸不等式から
0 < sin(A)+sin(B)+sin(C) < 3sqrt(3)/2
sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) < 3/2
となりましたが、下側の式の最小値がうまくでません。
1/2のようなのですが、証明のしかたを教えて下さい。
301:１３２人目の素数さん
04/07/22 09:03
書き間違い…
0 < sin(A)+sin(B)+sin(C) ≦ 3sqrt(3)/2
sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) ≦ 3/2
302:１３２人目の素数さん
04/07/22 12:07
>300
1 < sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) ≦ 3/2.
0 < {sin(A)+sin(B)+sin(C)} / {sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)} ≦ √3.
303:１３２人目の素数さん
04/07/22 13:11
>302
ありがとうございます。神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
１行目の式の下限が１になるのは、どのような計算でしょうか？
２行目の不等式を考えてますが、
sin(A)+sin(B)+sin(C) = 4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) = 4cos(A/4)cos(B/4)cos(C/4)
ここまで変形して、辺々割ってみたんですけど、その後が…
もう少し考えてみますが、よければヒント下さい。
304:１３２人目の素数さん
04/07/22 19:09
>303
sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2) = 4cos{(π+A)/4}･cos{(π+B)/4}･cos{(π+C)/4} +1
ぢゃないか？？
305:１３２人目の素数さん
04/07/22 22:54
>304
ほんとだ間違ってる、ありがとうございます
306:１３２人目の素数さん
04/07/23 07:36
telescopic 不等式
307:１３２人目の素数さん
04/07/29 07:24
任意の自然数 m,n と任意の正の数 x に対して
{(x+m)/(n+m)}^(n+m) ≧ (x/n)^n
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ﾊｧﾊｧ
ヽ::::... .ワ....ノ
308:１３２人目の素数さん
04/07/29 07:59
一般化して、正の数 a,b,c に対して
{(a+c)/(b+c)}^(b+c) ≧ (a/b)^b
が言えそうですね、ハァハァ。
309:１３２人目の素数さん
04/08/01 17:38
>307
平均値の定理（コーシー）より、
{Ln(x+m)-Ln(n+m)}/{Ln(x)-Ln(n)} = {1/(ξ+m)}/{1/ξ} = ξ/(ξ+m).
ところで、ξはxとnの中間の点だから、(ξ-n)(x-n) >0, (ξ-n){Ln(x)-Ln(n)} >0.
∴ (n+m){Ln(x+m)-Ln(n+m)} - n{Ln(x)-Ln(n)} = {(n+m)ξ/(ξ+m)-n}{Ln(x)-Ln(n)}
= {m/(ξ+m)}(ξ-n){Ln(x)-Ln(n)} ≧ 0.
∴ (n+m)･Ln{(x+m)/(n+m)} ≧ n･Ln(x/n).
微分法を使わない方法きぼんぬ
310:１３２人目の素数さん
04/08/01 18:13
>307
Ln(x)/(x-1)>0 は単調減少だから
{Ln(z)/(z-1) - Ln(y)/(y-1)}(y-z) >0.
これに z=1+a/(n+m), y=1+a/n を代入して、{(n+m)･Ln[1+a/(n+m)]-n･Ln[1+a/n]}/{n(n+m)} ≧0.
∴ (n+m)･Ln{1+a/(n+m)} ≧ n･Ln(1+a/n).
ここで a=x-n とおく。
311:１３２人目の素数さん
04/08/01 18:35
>309
>微分法を使わない方法きぼんぬ
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | 相加相乗でﾊｧﾊｧと…
|::::: (● (● |
ヽ::::... .ワ....ノ
312:309
04/08/02 02:16
>311
thanx. x/n がn個と１がm個でつね。
【系】
(1+a/n)^n はｎについて単調増加（極限はe^a）
[略証] 相加相乗ﾊｧﾊｧと･･･ 1+a/n がｎ個、１が１個。
313:１３２人目の素数さん
04/08/04 01:33
314:１３２人目の素数さん
04/08/04 04:33
>312 【系】 (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ
315:１３２人目の素数さん
04/08/07 19:43
掘り出し物
任意の実数 x,y,z に対して、次式をみたすMの最小値を求めよ。
√(x^2+y^2)+2√(y^2+z^2)+3√(z^2+x^2) ≦ M√(x^2+y^2+z^2)
316:１３２人目の素数さん
04/08/07 23:39
2√7
317:１３２人目の素数さん
04/08/08 00:18
>>315
ﾜﾛﾀ。
318:１３２人目の素数さん
04/08/08 04:30
>316
ハズレ
319:１３２人目の素数さん
04/08/08 04:49
M=3+√5
320:１３２人目の素数さん
04/08/08 04:54
>319
どないすんねん？
321:１３２人目の素数さん
04/08/08 04:58
おらおら！
322:１３２人目の素数さん
04/08/08 06:23
| _,.. -‐"／￣/ /| ￣ l ヽ ＼~`"'ー､ﾉ たのも～♪
ｹﾌ" ／ / ,.-'‐￣/ .i .i ￣＼- ＼ ＼ヾ
/ ／.l l l .// / .／ l / ヾ iヽ i.＼ たのも～♪
ノ | l l l Y ／"¨''ヽ .i / ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi. ﾘ
`ヽ r､ 丶l i` ﾚ | ｲ/"
＼ ヽ ヽ """ iー'ｰv' """ / '
ヽ ヾ- ゝ ._／ .／
/''"" ＼Ｙ.': ∧∧ ∧∧ｿ ｀"ヽ､
,ィ" ,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､
/" ヾ,.-" ～（ x）､ /（x ）～ ｀丶、
／ /" ＼⊃U U y U U⊂／ ヽ
323:１３２人目の素数さん
04/08/08 07:39
>316 の失敗は、シュワルツの不等式でやったんだろうな。
正解は >319 だが、どうやるのかにゃ？
324:１３２人目の素数さん
04/08/08 09:18
y=0 のときだと見破れば簡単
325:１３２人目の素数さん
04/08/08 10:57
見破るって…、それでいいのか？
ちゃんとした証明をキボンヌ
326:１３２人目の素数さん
04/08/09 01:27
普通に束縛条件x^2+y^2+z^2=1を設定して左辺の
x>0,y>0z>0での最小値と
x=0,y,z≧0、y=0,z,x≧0、z=0,x,y≧0での最小値をくらべればいいんじゃないの？
327:１３２人目の素数さん
04/08/09 01:32
>>326
＞x>0,y>0z>0での最小値と
↑これ極値ね。最小値であることまで示す必要はない。
･コンパクト領域x,y,z≧0、x^2+y^2+z^2=1のどこかで最小値をとる。
･内点で最小ならそれは極値である。
から境界での最小値と内点での極値のうちいちばん小さいのが最小値。
↑この論法でどんどん変数の次元をさげていくのが一般的な未定定数法の使い方だな。
328:１３２人目の素数さん
04/08/10 02:05
なるほど。
329:１３２人目の素数さん
04/08/10 20:06
>325
x^2=X, y^2=Y, z^2=Z, λ>0, μ=√(1+λ^2) とおく。
コーシーの不等式より、√(X+Y) + λ√(Y+Z) ≦ μ√(X+2Y+Z) ･････ (1)
ルートは上に凸だから、 √(X+2Y+Z) + √(X+Z) ≦ 2√(X+Y+Z) ･････ (2)
∴ √(X+Y) + λ√(Y+Z) + μ√(X+Z) ≦ 2μ√(X+Y+Z).
これに、√(X+Z) ≦ √(X+Y+Z) ･････(3) の(3-μ)倍を加える。
等号成立は (x,y,z)=x(1,0,λ) のとき.
ぬるぽ
330:329
04/08/11 00:00
【類題】
λ≧0とする。 任意の負でない実数 X,Y,Z≧0 に対して次式をみたすM
の最小値M(λ)を求めてくださいです。。。
√(X+Y) + λ･√(Y+Z) + (λ+1)･√(X+Z) ≦ M･√(X+Y+Z)
ぬるぽ
331:１３２人目の素数さん
04/08/11 08:38
>330
μ=√(1+λ^2) とおく。
コーシーの不等式より、√(X+Y) + λ√(Y+Z) + μ√(Z+X) ≦ √(1+λ^2 +μ^2)･√{2(X+Y+Z)} = 2μ√(X+Y+Z).
∴ M(λ) = 1+λ+√(1+λ^2).
332:１３２人目の素数さん
04/08/11 09:04
(ﾟДﾟ )ﾊｧ?
333:１３２人目の素数さん
04/08/11 09:17
>316のようにコーシーの不等式を使って、
とりえない解を出した前例があるッ！
気をつけろッ！
334:331
04/08/11 11:43
(X,Y,Z)=X(1,0,λ^2) で等号成立でつ。。。
335:331
04/08/11 21:03
>332
√(Z+X) ≦ √(X+Y+Z)
の(1+λ－μ)倍を [331]の式 に加えれ。
336:１３２人目の素数さん
04/08/17 15:04
>331
理解したッ！
君は英雄だ、最大の功績だ！
337:１３２人目の素数さん
04/08/17 16:27
コーシー・シュワルツの不等式を、ロシアでは
コーシー・ブニャコフスキーの不等式という。
北朝鮮ではなんと言うのだろうか？
金日成の不等式?
338:１３２人目の素数さん
04/08/20 17:20
暑いのぉ…
(a+b+c+d)^2 ≧ 8(ac+bd) が成り立つための実数 a,b,c,d の条件を求めよ。
339:１３２人目の素数さん
04/08/21 04:37
正の数 a,b,c が a^2+b^2+c^2=1 をみたすとき、次式を証明せよ。
(a^2)bc + a(b^2)c + ab(c^2) ≦ 1/3
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ｵﾗｵﾗ
ヽ::::... .ワ....ノ
340:１３２人目の素数さん
04/08/21 10:15
>339
左辺 = (a^2)bc + a(b^2)c + ab(c^2) = (a+b+c)abc
= (1/27)(a+b+c){(a+b+c)^3 -3a(b-c)^2 -3b(c-a)^2 -3(a-b)^2} ≦ (1/27)(a+b+c)^4,
(a+b+c)^2 = 3(a^2+b^2+c^2) -(b-c)^2 -(c-a)^2 -(a-b)^2 ≦ 3(a^2+b^2+c^2).
341:340
04/08/21 11:38
>339
a^2=A, b^2=B, c^2=C とおく。
左辺 = A{B+C-(b-c)^2}/2 + B{C+A-(c-a)^2}/2 + C{A+B-(a-b)^2}/2
≦ BC + CA + AB = (1/6){2(A+B+C)^2 -(B-C)^2 -(C-A)^2 -(A-B)^2}
≦ (1/3)(A+B+C)^2.
等号成立はA=B=C すなわち a=b=c.
342:１３２人目の素数さん
04/08/21 15:32
しょうも無い不等式やな。
343:１３２人目の素数さん
04/08/21 17:53
>338
0 ≦ (a+b+c+d)^2 -8(ac+bd) = (a+b-c-d)^2 +(a-b-c+d)^2 -(a-b+c-d)^2.
ぬるぽ
344:１３２人目の素数さん
04/08/21 20:52
ﾊｧ?
345:１３２人目の素数さん
04/08/21 21:33
正の数 a,b,c に対して、次を示せ。
(a^3-a^2+3)(b^3-b^2+3)(c^3-c^2+3) ≧ (a+b+c)^3
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ｵﾗｵﾗｵﾗ…
ヽ::::... .ワ....ノ
346:凡例
04/08/21 23:08
>345
a=b=c の場合を考える。
1<t<√3 ⇒ (t^3 -t^2 +3) - 3t = (t-1)(t^2 -3) < 0.
347:１３２人目の素数さん
04/08/22 01:28
>346
不等式の証明をしたことがありますか？
348:反例
04/08/22 01:34
を挙げますた。証明できんと思われ。 >347
349:１３２人目の素数さん
04/08/22 05:49
>345
問題文が違っていると思われ…
確認して切腹せよ！
350:１３２人目の素数さん
04/08/22 05:53
ﾁﾝﾁﾝ！ ﾁﾝﾁﾝ！ （AA省略）
問題文の訂正と、切腹まだあー
351:340
04/08/22 15:16
>339
abc = (1/27){(a+b+c)^3 -(3a+s)(b-c)^2 -(3b+s)(c-a)^2 -(3c+s)(a-b)^2} ≦ (1/27)(a+b+c)^3.
s = (a+b+c)/2.
すみません、間違ってました。
死んでお詫びを…
∧＿∧
（´Д｀ ）
/ y/ ヽ
Σ(m)二フ ⊂[_ノ
（ノノノ | | | l ）
352:345の訂正
04/08/22 18:56
ｱﾁｬｰ、間違ってました。５乗でした…
正の数 a,b,c に対して、次を示せ。
(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3) ≧ (a+b+c)^3
∧＿∧ 死んでお詫びを…
_ _ ξ （´Д｀ ）
(´ ｀ヽ、>>340 / y/ ヽ >>345
⊂,_と（ ）⊃ Σ(m)二フ ⊂[_ノ
（ノノノ | | | l ）
353:１３２人目の素数さん
04/08/24 02:40
||
||---
||
||---
||
||
||
||
|| 電柱でござる、電柱でござるぞ。 >351-352
354:１３２人目の素数さん
04/08/25 16:16
任意の複素数 x,y,z に対して
|x|+|y|+|z|+|x+y+z| ≧ |x+y|+|y+z|+|z+x|
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | 懲りずに
|::::: (● (● | ﾊｧﾊｧ
ヽ::::... .ワ....ノ
355:１３２人目の素数さん
04/08/25 23:08
| _,.. -‐"／￣/ /| ￣ l ヽ ＼~`"'ー､ﾉ たのも～♪
ｹﾌ" ／ / ,.-'‐￣/ .i .i ￣＼- ＼ ＼ヾ
/ ／.l l l .// / .／ l / ヾ iヽ i.＼ たのも～♪
ノ | l l l Y ／"¨''ヽ .i / ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi. ﾘ
`ヽ r､ 丶l i` ﾚ | ｲ/"
＼ ヽ ヽ """ iー'ｰv' """ / '
ヽ ヾ- ゝ ._／ .／
/''"" ＼Ｙ.': ∧∧ ∧∧ｿ ｀"ヽ､
,ィ" ,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､
/" ヾ,.-" ～（ x）､ /（x ）～ ｀丶、
／ /" ＼⊃U U y U U⊂／ ヽ
356:１３２人目の素数さん
04/08/26 01:24
＿＿＿
.／ ≧ ＼ 神降臨まだぁ～
|:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
357:１３２人目の素数さん
04/08/26 13:48
>354
Hlawkaの不等式.
x+y+z=-w, 左辺=|x|+|y|+|z|+|w|=Ｓ とおく。
|x+y|=|z+w|, |x+z|=|y+w|, |x+w|=|y+z| ･･････(1)
0 = |x+y+z+w|^2
= (|x+y|^2 +|z+w|^2) +(|x+z|^2 +|y+w|^2) +(|x+w|^2 +|y+z|^2) -2(|x|^2 +|y|^2 +|z|^2 +|w|^2).
∴ Ｓ^2 = (|x|^2 +|y|^2 +|z|^2 +|w|^2) + 2{|x||y|+|x||z|+|x||w|+|y||z|+|y||w|+|z||w|}
= (1/2){|x+y|^2 +|z+w|^2 +|x+z|^2 +|y+w|^2 +|x+w|^2 +|y+z|^2}
+2{|x||y|+|x||z|+|x||w|+|y||z|+|y||w|+|z||w|}
= |x+y||z+w| +|x+z||y+w| +|x+w||y+z| +2{|x||y|+|x||z|+|x||w|+|y||z|+|y||w|+|z||w|}
= |x+y||z+w| +(|x|+|y|)(|z|+|w|)
+|x+z||y+w| +(|x|+|z|)(|y|+|w|)
+|x+w||y+z| +(|x|+|w|)(|y|+|z|) ･･･････(2)
(1),(2)により、
Ｓ・{Ｓ -(|x-y|+|x+z|+|x+w|+|y+z|+|y+w|+|z+w|)/2}
= Ｓ^2 -Ｓ(|x+y|+|z+w|)/2 -Ｓ(|x+z|+|y+w|)/2 -Ｓ(|x+w|+|y+z|)/2
= |x+y||z+w| +(|x|+|y|)(|z|+|w|) +|x+z||y+w| +(|x|+|z|)(|y|+|w|) +|x+w||y+z| +(|x|+|w|)(|y|+|z|)
-(|z|+|w|)|x+y| -(|x|+|y|)|z+w| -(|y|+|w|)|x+z| -(|x|+|z|)|y+w| -(|y|+|z|)|x+w| -(|x|+|w|)|y+z|)}
= {|x|+|y|-|x+y|)(|z|+|w|-|z+w|) +(|x|+|z|-|x+z|)(|y|+|w|-|y+w|) +(|x|+|w|-|x+w|)(|y|+|z|-|y+z|) ≧0.
∴ Ｓ - (1/2)(|x+y|+|x+z|+|x+w|+|y+z|+|y+w|+|z+w|) ≧0.
大関：「不等式への招待」例題8, p.33 近代科学社 (1987.10) ￥1575
153p, A5判, ISBN:4764910063
358:１３２人目の素数さん
04/08/26 15:16
お～！
そんなところにありましたか
ありがとうございます。
359:357
04/08/26 21:39
(補足)
0 = |x+y+z+w|^2 = (x+y+z+w, x+y+z+w)
= |x|^2 +|y|^2 +|z|^2 +|w|^2 +2{(x,y)+(x,z)+(x,w)+(y,z)+(y,w)+(z,w)}
= |x+y|^2 +|z+w|^2 +|x+z|^2 +|y+w|^2 +|x+w|^2 +|y+z|^2 -2(|x|^2 +|y|^2 +|z|^2 +|w|^2).
360:１３２人目の素数さん
04/08/27 11:48
【問題】(D.D.Adamovic)
m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
1). (m-2) Σ[k=1,m] |x_k|^2 = Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2.
2). (m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.
を示してくださいです。。。
361:１３２人目の素数さん
04/08/29 17:33
>352
F(x) = x^5 -x^2 +3 ≧ F{(2/5)^(1/3)} = 3 - (3/5)[(2/5)^(2/3)] = 2.67426989 ≡ f.
次の補題を基にして評価する。
【補題】
F(a)F(b)F(c) ≧ 27abc ＋ (1-a)^2 [(f^2)a + (9f/2)(b+c)]
＋ (1-b)^2 [(f^2)b + (9f/2)(c+a)] ＋ (1-c)^2 [(f^2)c + (9f/2)(a+b)].
(1-a)^2 + (1-b)^2 = (1/2)(a-b)^2 + (1/2)(2-a-b)^2 ≧ (1/2)(a-b)^2 を使って変形すると、
F(a)F(b)F(c) ≧ 27abc ＋ (a-b)^2 {[9f/4 -(f/2)^2]c + (f/2)^2(a+b)}
＋ (b-c)^2{[9f/4 -(f/2)^2]a + (f/2)^2(b+c)} ＋ (c-a)^2 {[9f/4 -(f/2)^2)b + (f/2)^2(c+a)}
≧ 27abc ＋ (a-b)^2 (a+b+7c)/2 ＋ (b-c)^2 (7a+b+c)/2 ＋ (c-a)^2 (a+7b+c)/2
= (a+b+c)^3.
∵ 9f/4 -(f/2)^2 ≒ 4.2291774 > 7/2, (f/2)^2 ≒ 1.78792986 > 1/2.
362:361
04/08/29 18:13
【補題】の略証
F(x) = x^5 - x^2 + 3 = 3x + (1-x)^2 (3+3x+2x^2+x^3) = 3x + G(x) とおく。
F(a)F(b)F(c) = [3a+G(a)][3b+G(b)][3c+G(c)] = 27abc ＋ G(a)･D_a ＋ G(b)･D_b ＋ G(c)･D_c
D_a = 9bc + (3/2)[bG(c)+cG(b)] + (1/3)G(b)G(c),
D_b = 9ca + (3/2)[cG(a)+aG(c)] + (1/3)G(c)G(a),
D_c = 9ab + (3/2)[aG(b)+bG(a)} + (1/3)G(a)G(b).
ここで D_ の上限を２とおりに評価できる。
D_a ≧ (3/2){bF(c)+cF(b)} ≧ (3f/2)(b+c) = 4.01140483(b+c),
D_a ≧ F(b)F(c)/3 ≧ (1/3)f^2 = 2.38390647.
∴ (3+3a)D_a ≧ (f^2)a + (9f/2)(b+c)
また、G(x) ≧ (1-x)^2(3+3x) より,
F(a)F(b)F(c) = 27abc ＋ G(a)･D_a ＋ G(b)･D_b ＋ G(c)･D_c
≧ 27abc ＋ (1-a)^2(3+3a)･D_a ＋ (1-b)^2(3+3b)･D_b ＋ (1-c)^2(3+3c)･D_c
≧ 27abc ＋ (1-a)^2[(f^)a + (9f/2)(b+c)] ＋ (1-b)^2[(f^2)b + (9f/2)(c+a)] ＋ (1-c)^2[(f^2)c + (9f/2)(a+b)].
363:362
04/08/29 18:19
>352
等号成立は a=b=c=1 のとき。
[362]の]訂正
D_の下限を２とおりに・・・
364:１３２人目の素数さん
04/08/30 11:56
>360 (1)
0 = |Σ[k=1,m] x_k↑ |^2 = Σ[k=1,m] |x_k|^2 ＋ Σ[1≦i<j≦m] 2（x_i, x_j）
= Σ[1≦i<j≦m] {|x_i|^2 +|x_j|^2 +2（x_i, x_j）} － (m-2)Σ[k=1,m] |x_k|^2
= Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2 － (m-2)Σ[k=1,m] |x_k|^2.
365:ぬるぽ
04/08/31 23:03
>361
f=2 で十分と思われ．．．
x<1 のとき F(x)> -x^2 +3> 2
x>1 のとき F(x) = x^2(x^3-1)+3 > 3
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ぬるぽ
366:１３２人目の素数さん
04/09/02 03:26
いつもお世話になります、だめぽ不等式ヲタです。
いくつか入手したので、分からないのがあったら質問します。
よろしくお願いします。
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | 懲りずに
|::::: (● (● | ﾊｧﾊｧ
ヽ::::... .ワ....ノ
367:１３２人目の素数さん
04/09/04 10:59
>>352
F(x) = x^5 -x^2 +3 ≧ x^3 +2 だから次の［命題］に帰着する。
（証）F(x) - (x^3 +2) = x^5 - x^3 -x^2 +1 = (x^3 -1)(x^2 -1) ≧0.（終）
【命題】a,b,c≧0 ⇒ (a^3 +2)(b^3 +2)(c^3 +2) ≧ (a+b+c)^3.
（略証） 下の補題より、
(a^3 +2)(b^3 +2)(c^3 +2) = (abc)^3 + 2{(ab)^3 + (bc)^3 +(ca)^3} + 4(a^3 +b^3 +c^3) +8
= [(abc)^3 +1+1] + [(ab)^3 +a^3 +1] + [(ab)^3 +b^3 +1] +[(bc)^3 + b^3 +1]
+ [(bc)^3 +c^3 +1] + [(ca)^3 +c^3 +1] + [(ca)^3 +a^3 +1] + [a^3 +b^3 +c^3] +a^3 +b^3 +c^3
≧ 3{2abc + (a^2)(b+c) +(b^2)(c+a) +(c^2)(a+b)} + a^3 +b^3 +c^3
= (a+b+c)^3.
等号成立は a=b=c=1 のとき.（終）
【補題】（相加相乗平均）
x+y+z≧0 ⇒ [x^3 +y^3 +z^3] ≧ 3xyz.
(証) x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz
= (x+y+z)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx)
= (x+y+z){(x-y)^2 +(y-z)^2 +(z-x)^2}/2 ≧0.
等号成立は x=y=z のとき. (終)
368:１３２人目の素数さん
04/09/04 12:01
>367 神降臨キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
> (a^3 +2)(b^3 +2)(c^3 +2) ≧ (a+b+c)^3
Helderの不等式でもﾊｧﾊｧ…。
(a^3+1^3+1^3)^(1/3)*(b^3+1^3+1^3)^(1/3)*(c^3+1^3+1^3)^(1/3) ≧ a+b+c
369:１３２人目の素数さん
04/09/04 12:07
既出かもしれないけど、保守ついでに…。
a≧b≧c≧0, a+b+c=3 のとき、ab^2 + bc^2 + ca^2 ≦ 27/8
[2002 中国]らしい、確認できなかったけど…）
370:１３２人目の素数さん
04/09/05 15:05
>369
(a+b+c)^3 - 8(ab^2 +bc^2 +ca^2) -3abc = (a+5c)(a-b)^2 +(4a-4b+c)(b-c)^2 +c(a-b)(b-c) ≧ 0.
∴ ab^2 + bc^2 + ca^2 + (3/8)abc ≦ (1/8)(a+b+c)^3.
でもいいらしい。確認できなかったけど･･･
>368
Hoelder の式は >>137,>>139 にありまつ。略証は >>158
ぬるぽ
371:370
04/09/05 18:12
>369
(a+b+c)^3 - 8(ab^2 +bc^2 +ca^2) -3abc = (a+5b-5c)(a-b)^2 +(4a-4b+c)(b-c)^2 +c(a-b)(b-c) ≧ 0.
でないといけないらしい。すまそ．．．
372:１３２人目の素数さん
04/09/05 20:32
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● |
ヽ::::... .ワ.....ノ | | ｶﾞｯ
と ） .| |
Ｙ /ノ 人
/ ） < >__Λ∩
＿/し' ／／. Ｖ｀Д´）/ ←>>370
（＿フ彡 /
373:１３２人目の素数さん
04/09/08 00:47
任意の自然数ｎについて，∫[n-1/2→n+1/2]√ｘdx＜√ｎを示せ．
わからんぽ…教えてくり
374:１３２人目の素数さん
04/09/08 01:02
>>373
y=√xの点(n,√n)における接線をy=ax+bとするとax+b≧√x、等号はx=nのときのみ
なので
√n=∫[n-1/2,n+1/2](ax+b)dx＞∫[n-1/2,n+1/2]√xdx
375:１３２人目の素数さん
04/09/08 03:06
>374
y=√x は上に凸なので．．．．．
ぬるぽ
376:１３２人目の素数さん
04/09/08 18:09
任意の自然数ｎについて，∫_[n-1,n] √x dx ＞ {√(n-1)＋√n}/2 を示せ．
わからんぽ…教えてくり
377:１３２人目の素数さん
04/09/08 21:16
>>376
面積比べれ、台形と。
378:１３２人目の素数さん
04/09/09 06:33
＿＿＿
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ヽ::::... .ワ.....ノ | | ｶﾞｯ
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Ｙ /ノ 人
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＿/し' ／／. Ｖ｀Д´）/ ←>>375
（＿フ彡 /
379:１３２人目の素数さん
04/09/09 13:01
もっとおもろいん無いのけ
380:１３２人目の素数さん
04/09/09 22:20
>379
面白い問題おしえてーな
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
381:１３２人目の素数さん
04/09/10 09:33
>>357
x,y,zがベクトルのときの Hlawkaの不等式の等号成立条件は
「x,y,zが同じ向きのとき」 または 「x,y,zの少なくとも一つが0」
でよろしいですか？
382:357
04/09/10 20:21:09
>381
等号成立は「x,y,z,wのうちの3つが同じ向きのとき」でつ。
このとき x+y+z+w=0 から他の1つは逆向きとなり、x,y,z,wは共線または0でつ。
「x,y,zの少なくとも一つが0」であっても等号が成立するとは限りません。
ぬるぽ
383:１３２人目の素数さん
04/09/10 21:44:27
【Hlawkaの不等式】
任意のベクトル x,y,z に対して
|x|+|y|+|z|+|x+y+z| ≧ |x+y|+|y+z|+|z+x|
x,y,zのうちの少なくとも一つ、例えば z=0のとき
(左辺) = (右辺) = |x|+|y|+|x+y|
y=px, z=qx (p,q>0) のとき、
(左辺) = (右辺) = 2(1+p+q)|x|
384:１３２人目の素数さん
04/09/10 23:03:48
＿＿＿
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ヽ::::... .ワ.....ノ | | ｶﾞｯ
と ） .| |
Ｙ /ノ 人
/ ） < >__Λ∩
＿/し' ／／. Ｖ｀Д´）/ ←>>382
（＿フ彡 /
385:１３２人目の素数さん
04/09/11 00:09:08
>382の切腹まだぁ？
386:382
04/09/11 01:01:59
>385
等号成立は「x,y,z,wが共線で、その3つが同じ向きのとき」でつ。
このとき x+y+z+w=0 から他の1つは逆向きとなりまつ。（0↑はどの方向とも共線とする）
すみません、間違ってました。
死んでお詫びを…
∧＿∧
（´Д｀ ）
/ y/ ヽ
Σ(m)二フ ⊂[_ノ
（ノノノ | | | l ）
387:１３２人目の素数さん
04/09/12 14:27:44
【問題】
f(x),g(x)は 0≦x≦1で連続とし、f(0)=0, f(x)>x, g(1)≦1 を満たし、
f(x)/x, g(x)/x はともに狭義の単調増加であるとする。 このとき
0<x<1 で f(g(x)) ≦ f(x)g(x)/x ≦ g(f(x)).
を示してくださいです。 〔R.P.Boas: Math.Magazine,５２(1979)〕
388:１３２人目の素数さん
04/09/12 15:01:40
不等式（ヒルベルト）でげす。
1/p＋1/q=1, p>1, f(x)>0, g(y)>0 (x≧0,y≧0) としまする。
{∫_[0,∞) f(x)^p dx}^(1/p)｛∫_[0,∞) g(x)^q dy}^(1/q) > {sin(π/p)/π}∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy
を示してくださいです。
俺にはｻﾊﾟｰﾘ
389:１３２人目の素数さん
04/09/12 19:04:31
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ﾊｧﾊｧ
ヽ::::... .ワ....ノ
390:１３２人目の素数さん
04/09/12 19:12:36
>>387
f(x),g(x)は 0≦x≦1で0≦f(x)≦1とか0≦g(x)≦1とか仮定していいの？
でないとf(g(x))とかg(f(x))とかかんがえるとき困るとおもうんだけど。
391:１３２人目の素数さん
04/09/12 22:42:02
>>388
まず極座標(r,θ)に変換して、rについてヘルダーの不等式を使う。
t = 1/p, tanθ = s とすると、
∫[0,∞) (1+s)s^t ds = π/sin(πt) (0<t≦1/2)を示せばよいことがわかる。
t ≦ 1/2 かつ t が有理数のときは留数定理で計算できる。
tについての連続性からt ≦ 1/2でもこの等式は成立する。
392:１３２人目の素数さん
04/09/12 22:46:44
分かスレ１８５にありますた。
513 ：１３２人目の素数さん ：04/09/12 13:57:18
a,b,c,d>0 ならば (a+b+c+d)^3 - (a^3+b^3+c^3+d^3) ≧ 15abcd(1/a+1/b+1/c+1/d)
を示してくださいです。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:513番),547
393:１３２人目の素数さん
04/09/12 22:47:36
訂正 ∫[0,∞) (1+s)s^t ds → ∫[0,∞) 1/{(1+s)s^t} ds
394:１３２人目の素数さん
04/09/12 23:16:42
>>392
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:547番)
で解決したんじゃないの？
395:１３２人目の素数さん
04/09/13 03:12:52
>394
ここは 不等式の収集場所だから いいのれす。
396:１３２人目の素数さん
04/09/14 08:03:10
>393
> ∫[0,∞) 1/{(1+s)s^t} ds = π/sin(πt) (0<t<1)
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店
p.242 [例]
p.264 練習問題(5)-(8)[注意]
397:１３２人目の素数さん
04/09/16 02:17:47
マルチ
398:１３２人目の素数さん
04/09/16 11:36:25
>392
【類題】n≧3, a_1～a_nのk次の対称式をＳ_k とおくと、
(Ｓ_1)^3 - Σ[k=1～n](a_k)^3 ≧ {6(n+1)/(n-2)}Ｓ_3.
（略証）
左辺 - 右辺 = 3(Ｓ_1･Ｓ_2 - Ｓ_3) - {6(n+1)/(n-2)}Ｓ_3
= [3/(n-2)]{(n-2)Ｓ_1･Ｓ_2 - 3nＳ_3}
(n-2)Ｓ_2･Ｓ_1 －3nＳ_3
= (n-2)Σ[i<j] a_i･a_j Σ[k=1～n] a_k - 3nΣ[i<j<k] a_i･a_j･a_k
= (n-2)Σ[i<j] a_i･a_j･(a_i+a_j) - 6Σ[i<j<k] a_i･a_j･a_k
= Σ[i<j] {Σ[k≠i,j]a_k}{(a_i)^2 +(a_j)^2} - Σ[i<j] {Σ[k≠i,j]a_k}2a_i･a_j
= Σ[i<j] {Σ[k≠i,j]a_k}(a_i-a_j)^2 ≧ 0.
ぬるぽ
399:１３２人目の素数さん
04/09/16 14:25:23
＿＿＿
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|:::: ＼ .／ | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
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ヽ::::... .ワ.....ノ | | ｶﾞｯ
と ） .| |
Ｙ /ノ 人
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＿/し' ／／. Ｖ｀Д´）/ ←>>398
（＿フ彡 /
400:398
04/09/17 11:52:08
>392
【類題】n≧r≧1, a_1～a_n>0, j次の基本対称式をＳ_jとおくと、
(Ｓ_1)^r －Σ[k=1～n](a_k)^r ≧ {((n^r)-n)/Ｃ[n,r]}Ｓ_r,
等号成立は r=1,2, n=1 または a_1=･･･=a_n のとき。
Ｃ[n,r]は2項係数でつ。
401:１３２人目の素数さん
04/09/17 16:59:01
>398の最後の式変形は、解読するのにすごく時間が掛かった。
>400は、もっと大変そうな予感…。
402:１３２人目の素数さん
04/09/21 13:00:47
任意の実数a,bに対して、a^2+b^2+1 ≧ (√2)a(b+1) を示せ。
403:１３２人目の素数さん
04/09/21 21:59:03
>402
(a^2 +b^2 +1)^2 - 2{a(b+1)}^2
= a^4 +2(a^2)(b^2 +1) +(b^2 +1)^2 -2(a^2)(b^2 +2b +1)
= a^4 -2(a^2)(2b) + (2b)^2 + (b^2 -1)^2
= (a^2-2b)^2 + (b^2 -1)^2 ≧0.
∴ a^2 +b^2 +1 ≧ √2 |a(b+1)|.
404:１３２人目の素数さん
04/09/21 22:17:09
>402
2(b^2 +1) = (b+1)^2 + (b-1)^2 ≧ (b+1)^2.
∴ 左辺 = a^2 + (b^2 +1) ≧ 2|a|√(b^2 +1) = (√2)|a(b+1)| ≧ 右辺.
等号成立は a=√2, b=1 のとき。
ぬるぽ
405:１３２人目の素数さん
04/09/22 07:49:20
>402
(1/2)a^2 + b^2 = (√2)ab + (a/√2 -b)^2 ≧ (√2)ab, 等号は a/(√2)=b.
(1/2)a^2 + 1^2 = (√2)a + (a/√2 -1)^2 ≧ (√2)a, 等号は a/(√2)=1.
辺々たす。
ぬるぽ
406:１３２人目の素数さん
04/09/23 14:03:31
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!
405の解き方には全く気づきませんでした
＿＿＿
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|:::: ＼ .／ | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
|::::: (● (● |
ヽ::::... .ワ.....ノ | | ｶﾞｯ
と ） .| |
Ｙ /ノ 人
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＿/し' ／／. Ｖ｀Д´）/ ←>>403-405
（＿フ彡 /
407:１３２人目の素数さん
04/09/25 00:15:05
既出だったらスマソ。
正の数 a,b,c に対して、次の不等式を示せ。
1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/(1+abc)
408:１３２人目の素数さん
04/09/25 17:28:13
∑[k=1→n]1/2^k＜(n/(2^n))∑[k=0→n](nCk)/(2k+1)を証明せよ
ムズ
409:１３２人目の素数さん
04/09/26 02:15:02
>400
降参です。
模範解答を教えて下さい。
410:１３２人目の素数さん
04/09/26 08:35:46
>>400
相加相乗つかうだけじゃないの？
以下１以上の整数nと整数1≦r≦nを固定する。
D={(di)∈Z^n | diは非負実数}、d∈Dと不定元X1･･･Xnに対し
X^d=Π[i=1,n]Xi^diと書く。Πr={(πi) | π1≧π2≧･･･は非負整数列で∑πi=r}、
π∈Πに対しd(π)=(π1,π2,･･･πn)とする。
n次対称群G=SnをDに自然に作用させてG(d)={σ|σ(d)=d}とさだめる。以下をしめせばよい。
----
またπ∈ΠにたいしてS(π)=∑[σ∈G]X^(σ(d(π)))とする。このとき任意の正の実数の
組(x1,･･･xn)にたいしてS(π)(x1,･･･,xn)≧(n!/C[n,r])Sr(x1,･･･,xn)、等号成立はπ1=π2=･･･πr=1のとき
またはx1=x2=･･･=xnのとき。
(証明)d0=(1,1,･･･,1,0,･･･0,)(最初のr個が1である多重次数)とおく。
このとき相加相乗平均の関係式より
(1/r)∑[σ∈<(1,2,3,･･･,r)>]x^{σ(d(π))}≧(Π[σ∈<(1,2,3,･･･,r)>]x^{σ(d(π))})^(1/r)=x^d0
∴∑[σ∈<(1,2,3,･･･,r)>]x^{σ(d(π))}≧rx^d0
∴∑[τ∈G,σ∈<(1,2,3,･･･,r)>]x^{τσ(d(π))}≧r∑[τ∈G]x^τ(d(0))
等号成立は主張の等号成立条件が成立するとき。左辺はrS(π)
であり右辺は(n!/C[n,r])Sr(x1,･･･,xn)。
411:１３２人目の素数さん
04/09/27 08:33:20
>408
右辺 = {n/(2^n)}Σ[k=0,n] Ｃ[n,k]/(2k+1)
= ∫_[x=0,1] {n/(2^n)}Σ[k=0→n] Ｃ[n,k] x^(2k) dx
= ∫_[x=0,1] n{(1+x^2)/2}^n dx
> ∫_[x=0,1] n{(1+x^2)/2}^(n-1) xdx
= ∫_[u=1/2,1] n{u^(n-1)} du
= [u^n](u:1/2→1)
= 1-(1/2)^n
= Σ[k=1→n] 1/(2^k)
= 左辺.
ここに u=(1+x^2)/2 ≧x, du=xdx.
ぬるぽ
412:１３２人目の素数さん
04/09/27 22:15:18
>>411
すばらしいね。
うまく最後まで持っていくところは感銘を覚える。
ぬるぽ
413:１３２人目の素数さん
04/09/28 20:31:01
分かスレ１８７にありますた。
459 ：１３２人目の素数さん ：04/09/28 18:22:22
（前略）
0＜ｂ＋ｃ，0＜ｃ＋ａ，0＜ｃ＜ａ＋ｂならば，1/(ａ＋ｂ) ＜ 1/(ｂ＋ｃ) ＋ 1/(ｃ＋ａ)
の証明を教えてください．
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:459番),460
414:１３２人目の素数さん
04/09/29 15:34:11
460 ：１３２人目の素数さん ：04/09/28 18:40:18
>>459
(a+b)(a+b+2c)-(b+c)(c+a)
= (a+b)^2 +2(a+b)c -(c^2) -(a+b)c-ab
= (a+b)^2 +(a+b)c -(c^2) -ab
= (a^2)+ab+(b^2) +c(a+b-c) > 0
(b+c)(c+a) < (a+b)(a+b+2c)
1/(a+b) < (a+b+2c)/{(b+c)(c+a)} = {1/(b+c)}+{1/(c+a)}
415:１３２人目の素数さん
04/09/29 15:42:57
不等式のコレクションがイパーイ！
(;´Д`)ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／/ア／/ア！！
a,b,c,d は実数。a^2+b^2≦1 のとき次を示せ。
(a^2+b^2-1)(c^2+d^2-1) ≦ (ab+cd-1)^2
416:１３２人目の素数さん
04/09/29 15:46:14
正の数 a_1,…,a_n が、
1/(a_1+1998) + … 1/(a_n+1998) = 1/1998
をみたすとき、次を示せ
{(a_1…a_n)^(1/n)}/(n-1) ≧ 1998
417:１３２人目の素数さん
04/09/29 15:49:33
正の数 a,b,c,d が abcd=1 をみたすとき、次を示せ。
(a^3+b^3+c^3+d^3) ≧ max{a+b+c+d, (1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)}
418:１３２人目の素数さん
04/09/29 16:26:25
>415-417をたのもー
| _,.. -‐"／￣/ /| ￣ l ヽ ＼~`"'ー､ﾉ たのも～♪
ｹﾌ" ／ / ,.-'‐￣/ .i .i ￣＼- ＼ ＼ヾ
/ ／.l l l .// / .／ l / ヾ iヽ i.＼ たのも～♪
ノ | l l l Y ／"¨''ヽ .i / ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi. ﾘ
`ヽ r､ 丶l i` ﾚ | ｲ/"
＼ ヽ ヽ """ iー'ｰv' """ / '
ヽ ヾ- ゝ ._／ .／
/''"" ＼Ｙ.': ∧∧ ∧∧ｿ ｀"ヽ､
419:１３２人目の素数さん
04/09/29 22:45:45
>417
相加相乗の関係（Ｒべき）より、0≦r≦1 に対して
(1-r)･a^n + (r/3)(b^n +c^n +d^n) ≧ a^{n(1-r)}･(bcd)^(nr/3) = (abcd)^(nr/3)･a^s.
ここに、s=n(1-4r/3) とおいた。
文字変数を巡回的に入れ替えて加えると、
a^n +b^n +c^n +d^n ≧ (abcd)^(nr/3)･(a^s +b^s +c^s +d^s)
r=(3/4)(n-1)/n のとき s=1, r=(3/4)(n+1)/n のとき s=-1.
ぬるぽ
420:１３２人目の素数さん
04/09/29 23:19:08
>415
c^2+d^2≧1 のときは 左辺≦0≦右辺 より明らか。
c^2+d^2≦1 のときは、0 ≦ 1-a^2 -b^2 ≦ 1-2ab, 0 ≦ 1-c^2-d^2 ≦ 1-2cd より、
左辺 ≦ (1-2ab)(1-2cd) ≦ (1/4){(1-2ab)+(1-2cd)}^2 = (1-ab-cd)^2 = 右辺.
ぬるぽ
421:１３２人目の素数さん
04/09/29 23:37:05
神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！！ いつもありがとうございます。
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ! ＿_ ∩ ∩ ＿
-´─- ､＼H- 、_,,,,.....．イﾍへ、_/７'´＿~二ﾆ
ｒ=＝⊂ｴﾆ/__::_:::＼::／／ハ::::::::V´二二二
ｌ ／::/:::::::::::＞::::::::::/::ゞ;ｌ;::::::八コ⊃ /
l ／/::/:::/:::／::::::::::::/:ｉ::l:::ｌ::ｌ:::::::::::!ヽ＼
|/::/:::/:::/::/::/|:|:::::／|::|:::|::|!:l:::::::::::|::::ｌ ＼
/|:/|::/:|:::|:::||::|_,!|／::::::!:||::ｊ::|!::l::::::::::|::::::l＿ノ
//.|! .!::|::|::|ゞ|V_ｉ:|;､:::::::/ｊﾉjﾑﾉ|/!:::ｌ:::::l:::::::ｌ
// .|::|::|;;|/〇:ﾞli ゞノ ｆl〇::lﾄ |::::ｊ::::ｌ_::::::|ｌ
__ `ー-､ |::|::ｆ＾ﾍ.ゞ:ﾉｊ {|ゞ::ﾉｊ !:::/:::ｊ ﾘ::∧! ／
/ ｌ ＼!:|:八! ｀¨´ ｒｰ-ｖ、｀`¨´ ｌ:::/::/ノ K´
,．- !､_. { //|:ﾄ;:::::ゝ､. ! ﾉ _ﾉ:/!::/:|| |ｌ
. ｊ __ ） ﾞｉ＿// ゞｆ⌒ゞ=＞_`_ﾆ - ェヱ:/〆し|| |ｌ
. ! ￣）.八:::￣Ｔ''亠-く_冫 /:l ﾄ／／::::// _〕 |ｌ
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＼ ''´ノノ-ｌ:::::::::::::::::::::::（_/└ｰ亠─┘ 丶、 ﾉ~＼ |ｌ
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422:１３２人目の素数さん
04/09/30 05:46:35
>415の類題
a,b,c,d は実数。a^2+b^2≦1 のとき次を示せ。
(a^2+b^2-1)(c^2+d^2-1) ≦ (ac+bd-1)^2
423:１３２人目の素数さん
04/09/30 11:59:31
>422
c^2 +d^2 ≧1 のときは 左辺≦0≦右辺 で明らか。
c^2 +d^2 ≦1 のときは、(a,b)=ｒ↑, (c,d)=Ｒ↑, ｒ↑･Ｒ↑= s とおくと
1-a^2-b^2=1-r^2, 1-c^2-d^2=1-R^2, 1-ac-bd =1-s, s≦min(rR,2-rR) で、
右辺－左辺 = (1-s)^2 - (1-r^2)(1-R^2) = (r-R)^2 + (rR-s)(2-rR-s) ≧0.
ぬるぽ
424:１３２人目の素数さん
04/09/30 22:16:33
＞４１９
＞相加相乗の関係（Ｒべき）
なんですか、それは？
425:１３２人目の素数さん
04/10/01 11:37:32
>416
a_k/1998 = x_k とおくと、Σ[k=1,n] 1/(1+x_k) - 1 = 0.
(1+x_1)(1+x_2)･････(1+x_n) を掛けて通分すると
Σ[k=0,n] (n-k)Ｓ_k －Σ[k=0,n] Ｓ_k =0.
ここに、Ｓ_k は {x_1,x_2,････,x_n} のk次の基本対称式,
相乗平均 (x_1･x_2･････x_n)^(1/n) = (Ｓn)^(1/n) =u.
0 = Σ[k=0,n] (n-k-1)Ｓ_k
≧ Σ[k=0,n] (n-k-1)Ｃ[n,k]u^k （相加相乗平均）
= Σ[k=0,n] (n-k)Ｃ[n,k]u^k －Σ[k=0,n] Ｃ[n,k]u^k
= nΣ[k=0,n-1] Ｃ[n-1,k]u^k －Σ[k=0,n] Ｃ[n,k]u^k
= n{(1+u)^(n-1)} －(1+u)^n
= (n-1-u){(1+u)^(n-1)}.
∴ u/(n-1) ≧ 1.
ぬるぽ
426:419
04/10/01 16:56:12
>424
相加相乗の関係について
a,b,c,････≧0, r,s,t,････≧0, r + s + t + ･･････ = 1 のとき
a･r + b･s + c･t + ･････ ≧ (a^r)(b^s)(c^t)････.
べき r,s,t,････∈Ｑ（有理数）の場合、通分すれば相加相乗平均に帰する。
べき r,s,t,････∈Ｒ（実数）の場合は、連続性による。（やや面倒）
427:１３２人目の素数さん
04/10/01 21:30:22
>426
(;´Д`)ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／/ア／/ア！！
文献の紹介をキボンヌ。
428:426
04/10/02 01:36:26
>427
↓岩波数学辞典の付録の公式の不等式のところ。
ａ_1,ａ_2, ･････ ,a_n≧0 のとき ・・・・・ また重みつき平均値について,
∑[ν=1,n] λ_ν・ａ_ν ≧ Π[ν=1,n] ａ_ν^λ_ν （∑[ν=1,n] λ_ν =1, λ_ν>0）.
（略証）y=Ln(x) が上に凸であることからJensenの定理を使って導く。
ぬるぽ
429:426
04/10/02 02:02:12
y=exp(x) が下に凸であることから導いてもよい。
430:425
04/10/02 14:27:30
>416
a_k/1998 = x_k とおく。
【補題】(Klamkin,1974)
x_k>1 ⇒ ∑[k=1,n] 1/(1+x_k) ≧ n/(1+u), ただし u = (x_1･x_2･･････x_n)^(1/n)：相乗平均。
（略証）nに関する帰納法による。
x_kがすべて等しいときは明らかに成立するので、 u は x_n と x_{n-1} の間にあるとしてよい。
いま y_n =u, y_{n-1} =x_n･x_{n-1}/u とおくと 積は不変で、和は
x_{n-1} + x_n - y_{n-1} - y_n = (u-x_{n-1})(x_n-u)/u ≧0 だけ減少する。
∴ 1/(1+y_{n-1}) + 1/(1+y_n) ≦ 1/(1+x_{n-1}) + 1/(1+x_n).
｛x_1 ････ x_{n-2}, y_{n-1}｝の n-1 個で考えると、相乗平均はu.
∴帰納法の仮定(n-1)により、
∑[k=1,n] 1/(1+x_k) ≧ ｛∑[k=1,n-2] 1/(1+x_k) + 1/(1+y_{n-1})｝ +1/(1+u)
≧ (n-1)/(1+u) + 1/(1+u)
= n/(1+u).
ぬるぽ
431:１３２人目の素数さん
04/10/02 20:07:46
(;´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！
参考文献をキボンヌ！
432:１３２人目の素数さん
04/10/02 20:29:35
(Klamkin's Inequality)
-1 < x,y,z < 1 のとき、
1/{(1-x)(1-y)(1-z)} + 1/{(1+x)(1+y)(1+z)} ≧ 2
433:１３２人目の素数さん
04/10/03 00:53:28
>432
相加相乗ハァハァと･･･
左辺 ≧ 2/√{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)} ≧ 2.
ぬるぽ
434:１３２人目の素数さん
04/10/03 02:55:14
【問題】 正の数 a,b,cに対して、次式を証明せよ。
(1) \sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}
≧ abc + \sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}
(2) \sqrt(a^4+b^4+c^4) + \sqrt(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
≧ \sqrt(a^3b+b^3c+c^3a) + \sqrt{(ab^3+bc^3+ca^3)
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ 勃起しますた。 ﾊｧﾊｧ…
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
435:430
04/10/03 15:11:14
>416
（430の続き）
【補題】の条件を、 ∀(i≠j); x_i･x_j -1 >0 に緩めても成立する。
（略証） 1/(1+x_{n-1}) + 1/(1+x_n) = 1 - [x_{n-1}･x_n -1]/[1-(x_{n-1}+x_n)+x_{n-1}･x_n] は (x_{n-1}+x_n) について単調増加。
∴ 1/(1+y_{n-1}) + 1/(1+y_n) ≦ 1/(1+x_{n-1}) + 1/(1+x_n).
[416]では 1 > 1/(1+x_i) + 1/(1+x_j) = 1 - [x_i･x_j -1]/[(1+x_i)(1+x_j)] により x_i･x_j -1 >0.
>434
(2) 相加相乗とコーシーでハァハァと･････
{√(a^4 +b^4 +c^4) + √[(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2]}／2 ≧ {(a^4 +b^4 +c^4)[(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2]}^(1/4) ≧ √(a^3･b +b^3･c +c^3･a)
{√(b^4 +c^4 +a^4) + √[(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2]}／2 ≧ {(b^4 +c^4 +a^4)[(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2]}^(1/4) ≧ √(a･b^3 +b･c^3 +c･a^3)
辺々たす。
ぬるぽ
436:387
04/10/03 16:08:07
>390
f(0)=0, 0≦g(x)≦1 ですが、f(x)≦1 は不要。
たとえば f(x)=arcsin(x) も可。
大関信雄・大関清太 共著：「不等式への招待」,近代科学社 (1987) p.62の定理
437:435
04/10/03 20:23:45
>434 (1) ハァハァ
右辺 = abc･{1+[(a^2 +bc)(b^2 +ca)(c^2 +ab)/(abc)^2]^(1/3)} ≡ abc(1+u).
左辺 = √{(abc)^2 +(a^2 +bc)(b^2 +ca)(c^2 +ab)} = abc･√{1+(u^3)}.
u^3 = 8 +{bc/(a^2)+(a^2)/bc -2} +{ca/(b^2)+(b^2)/ca -2} +{ab/(c^2)+(c^2)/ab -2} ≧ 8.
∴ u ≧ 2.
(左辺)^2 -(右辺)^2 = (abc)^2･{(1+u^3)-(1+u)^2} = (abc)^2･u(u+1)(u-2) ≧0.
∴ 左辺 ≧ 右辺.
ぬるぽ
438:１３２人目の素数さん
04/10/05 17:05:22
>430
>いま y_n =u, y_{n-1} =x_n･x_{n-1}/u とおくと 積は不変で、
(y_kの積)
= (x_kの積)^2/{x_1*x_2*u^(n-2)}
= (x_kの積)u^2/(x_1*x_2)
≠(x_kの積)
だと思うのですが…
439:430
04/10/05 18:21:05
>438
分かりにくくてすまそ。全部書けば、
y_k = x_k (1≦k≦n-2), y_{n-1} = x_{n-1}･x_n/u, y_n = u.
したがって
y_{n-1}･y_n = x_{n-1}･x_n, (y_kの積) = (x_kの積) ≡ u^n.
ってことでつ。
ぬるぽ
440:１３２人目の素数さん
04/10/05 21:33:59
嗚呼、成程。
441:１３２人目の素数さん
04/10/06 01:38:03
この機会に、根号のついた不等式でハァハァしちゃうぞ！
⊿ ○ ∇ 、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､ ';冫 ☆
┏ ━ゝヽ''／ ≧ ＼━〆Ａ!ﾟ━┓。
╋┓"〓┃ ＜ ゝ＼',冫｡' |:::: ＼ .／ |゛△│´'´,.ゝ'┃. ●┃ ┃┃
┃┃_.━┛ヤ━━━|::::: (● (● |━━━━━ ━┛ ・ ・
∇ ┠─Σ- ヽ::::... .ワ.....ノ 冫 そ',´; ┨'ﾟ,。
.。冫▽ ＜ ⊂ ./⊃ 乙 ≧ ▽
。 ┃ Σ （⌒ゞ ,l, ､'' │ て く
┠─ム┼ ゝ,,ﾉ ﾉゝ. ､,, .┼ ｧ Ζ┨ ミｏ''｀
。､ﾟ`。､ i／ レ' o。了 ､'' × 个ｏ
○ ┃ `､,~´＋√ ▽ ',!ヽ.◇ ｏ┃
┗〆━┷ Ｚ,.' /┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
ヾ ⊿ '、´ ∇
442:１３２人目の素数さん
04/10/06 01:41:17
(1) [Carson's Inequality] a,b,c>0に対し
\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)/8} ≧ \sqrt{(ab+bc+ca)/3}
(2) a,b,c,d>0に対し
\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)/4} ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}
(3) a,b,c>0に対し
(|a-b|+|b-c|+|c-a|)/3 + \sqrt[3]{abc} ≧ (a+b+c)/3
(4) [1998,Hong Kong] a,b,c>1に対し
\sqrt{a-1} + \sqrt{b-1} + \sqrt{c-1} ≦ \sqrt{a(bc+1)}
(5) [1998 APMO] a,b,c>0に対し
(1+ a/b)(1+ b/c)(1+ c/a) ≧ 2(1+ (a+b+c)/\sqrt[3]{abc})
(6) [1997 Latvia] a,b>0、nは自然数のとき、
1/(a+b) + 1/(a+2b) + … + 1/(a+nb) < n/\sqrt{a(a+nb)}
(7) [1997 Hong Kong] a,b,c>0に対し
abc(a+b+c+\sqrt{a^2+b^2+c^2})/{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)} ≦ (3+\sqrt{3})/9
(8) [1999 Austria-Poland] a,b≧0に対し
{(\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2})/2}^(3/2)
≧ (a+\sqrt{ab}+b)/3
≧ (a+\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}+b)/4
≧ {(\sqrt{a}+\sqrt{b})/2}^2
443:LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
04/10/06 11:03:05
さて、
xを0より大きい実数とするとき、
Γ(x+1)≥(x/3)^x
となることを証明せよ。
444:数学科布施 ◆FUSEz5Eqyo
04/10/06 13:27:14
このスレまじ勃起する
445:１３２人目の素数さん
04/10/06 13:32:46
>443の馬鹿がまた荒らしとる！
446:１３２人目の素数さん
04/10/06 13:49:19
俺は不等式ヲタの神々とひっそりとﾊｧﾊｧしたいのに、
糞kingは、糞レスしかできないくせにage荒らししやがる！
>>194-204
447:１３２人目の素数さん
04/10/06 15:37:26
| | | | |┃| :|
| | | | |┃|i | ／>>408￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| | | | ｶﾞﾀｶﾞﾀ |┃| ＜ nCrと聞いちゃ、黙っていられ・・・・
| | | |＿＿＿＿＿＿|ミ | .i.| | あれ？開かない・・・？
| |￣￣￣￣￣￣| | |┃|:. ,| ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
| | | | |┃| i|
| | | | |┃| :|
| | | | |┃|i |
| | | | |┃|, :.|
|_|====―●==|_|＿＿＿＿＿＿|┃| i|＿＿＿＿＿＿＿
448:１３２人目の素数さん
04/10/06 15:43:13
>>408
示すべき不等式を変形すると (2^n-1)/n < Σ[k=0,n]C[n,k]/(2k+1)
>>411のその証明を真似ると、
Σ[k=0,n]C[n,k]/(2k+1) < Σ[k=0,n]C[n,k]/(k+1) = … （以下同様）
結局
(2^n-1)/n < Σ[k=0,n]C[n,k]/(2k+1) < (2^{n+1}-1)/(n+1)
＿＿＿
|┃三 .／ nCr ＼ ＿＿＿＿＿＿＿＿
|┃ |:::: ＼ .／ | ／ もっといい
|┃ ≡|::::: (● (●| ＜ 評価式はできないかなぁ…
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .∀....ノ ＼ ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ
|┃=＿＿ ＼ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
449:１３２人目の素数さん
04/10/06 16:48:04
自然数nに対して
Σ[k=0,n]C[n,k]/(2k+1)
≦ Σ[k=0,n]C[n,k]/(k+2)
= ∫[0,1]Σ[k=0,n]C[n,k]x^{k+1}dx
= ∫[0,1]x(1+x)^kdx
= （部分積分して）
= (n*2^{n+1}+1)/(n+1)(n+2)
＿＿＿
.／ nCr ＼ まだ いけるかなぁ
|:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
450:１３２人目の素数さん
04/10/06 20:22:56
>442
(8)の初めの不等号は a or b→0 の場合は成り立たな伊予柑....
451:１３２人目の素数さん
04/10/07 04:31:33
| | | | |┃| :|
| | | | |┃|i | ／>>442,450￣￣￣￣￣￣￣￣
| | | | ｶﾞﾀｶﾞﾀ |┃| ＜ 確かにAB=0のとき成り立たないね、(8)番
| | | |＿＿＿＿＿＿|ミ | .i.| | あれ？開かない・・・？
| |￣￣￣￣￣￣| | |┃|:. ,| ＼＿ (8)は1993年の問題で、…
| | | | |┃| i|
| | | | |┃| :|
| | | | |┃|i |
| | | | |┃|, :.|
|_|====―●==|_|＿＿＿＿＿＿|┃| i|＿＿＿＿＿＿＿
452:442(8)の訂正
04/10/07 04:38:51
>450 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ
(8)は引用元の問題が 既に誤植でした。
別のところから探してきて確認したら、正しい形は以下の通りです。
(8) [1993 Austria-Poland] a,b≧0に対し
{(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})/2}^(3/2)
≧ (a+\sqrt{ab}+b)/3
≧ (a+\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}+b)/4
≧ {(\sqrt{a}+\sqrt{b})/2}^2
∧＿∧ それでは、不等式solverの皆様方、
（´Д｀ ） よろしくお願いします。
/ y/ ヽ
Σ(m)二フ ⊂[_ノ とりあえず、死んでお詫びを…
（ノノノ | | | l ）