04/10/28 19:25:18
>>875-876
がんばったけどこれより簡単にならん。
まず記号の整理。
w0,w1,w2,･･･
を有限列の列でw0=2,w1=123,w3=213123132,･･･とする。
定義はw0=2、w(i+1)=(12)wi+wi+(23)wi。ただし+は列の連結、
(12)wiはwiの1と2を入れ替えた列、(23)wiはwiの2と3を入れ替えた列。
以下w[k]でwの第k項をあらわすとする。ただし添え字は0からかぞえる。
また|w|はwの長さを表すとする。
たとえばw1=123に対しw1[0]=1、w1[1]=2、w1[2]=3、|w1|=3。
でまずは簡単な補題から。
(補題)
w=wp、l=|wp|、w'=w(p-1)とおく。
(1)mが3の倍数のとき{w[m],w[m+1],w[m+2]}={1,2,3}
とくにm<nが共に3の倍数のとき第m項から第n-1項までの総和は2(n-m)。
(2)w[3i+1]=w[i+l/3]=w'[i]
(3)wの先頭2文字と最後の2文字は(1,2,2,3)か(2,1,3,2)。(この繰り返し。)
(証明)
簡単な帰納法で定義から容易にでる。以下略。
(命題)
各w=wpと非負整数mと正の整数n>0にたいしてwの第m項から第m+n-1項からなる
部分列uと第m+n項から第m+2n-1項からなる部分列vが共に定義可能であるとき
それらはひとしくない。
(続く)